• No results found

Sluiproutes door realistische leergangen - ongewenste verkortingen

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Sluiproutes door realistische leergangen - ongewenste verkortingen "

Copied!
19
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Sluiproutes door realistische leergangen - ongewenste verkortingen

F . G o f f r e e , J . V e d d e r en K . B u y s1 S L O , Enschede

Summary

The authors state that students in mathematics, when introduced to negative numbers in accordance with the realistic teaching theory, tend to interpret these in a mechanistic manner. They attribute this to the nature of the topic, which allows certain short cuts to be taken and essential learning moments to be missed. Af ter analyzing this problem the authors conclude that a different structure of the curriculum within the framework of the realistic approach might result in a solution. In this respect they refer to Sawyer's ideas on the introduction of negative numbers.

1. I n l e i d i n g

In de O n t w i k k e l g r o e p voor L e r a r e n O p l e i d i n g e n ( O G L O ) v a n de S L O w o r d t sinds twee jaar gewerkt aan een boek over (negatie- ve) getallen. H e t is bedoeld voor hen die z i c h interesseren voor w i s k u n d e o n d e r w i j s aan leerlingen tussen 10 en 14 jaar. M e t de v o o r l o p i g e w e r k t i t e l : "Tussen T w e e ( G e t a l - ) W e r e l d e n2" , is de plaats v a n handeling ( i n de school en i n het leerplan) aangege- ven. B i j het o n t w i k k e l w e r k aan deze en gene zijde v a n het v a n oudsher beruchte b r e u k v l a k tussen lager- en m i d d e l b a a r (basis- en voortgezet-)onderwijs, k o m t m e n bekende a a n s l u i t i n g s p r o b l e - matiek tegen. E é n ervan w i l l e n we in het kader van een theorie over het r e k e n - w i s k u n d e o n d e r w i j s , naar v o r e n brengen. H e t is geen n i e u w p r o b l e e m , maar door recent o n d e r w i j s o n t w i k k e l i n g s - w e r k en de daarop gebaseerde t h e o r i e v o r m i n g , heeft de p r o b l e - matiek een actuele betekenis gekregen.

G l o b a a l k u n n e n we de p r o b l e m a t i e k en onze stellingname a l d u s s a m e n v a t t e n : d e e l l e e r g a n g e n v o o r n e g a t i e v e g e t a l l e n , o n t w o r p e n volgens de realistische onderwijstheorie, k u n n e n door de leerlingen g e m a k k e l i j k mechanistisch opgevat w o r d e n . D e aard v a n de l e e r s t o f maakt het n a m e l i j k m o g e l i j k s l u i p w e g e n te

(2)

b e n u t t e n d i e a a n e s s e n t i ë l e l e e r m o m e n t e n v o o r b i j g a a n . E e n oplossing v a n deze problematiek k a n , zo menen w i j , gevonden w o r d e n i n een andere o p b o u w van het w i s k u n d e c u r r i c u l u m .

A a n deze b e w e r i n g liggen theoretische opvattingen en p r a k - tische b e v i n d i n g e n ten g r o n d s l a g . In d i t a r t i k e l b r e n g e n we theorie en p r a k t i j k i n wederzijds v e r b a n d naar v o r e n o m v e r v o l - gens bovengenoemde constatering i n een o n d e r w i j s - o n t w i k k e - lingsperspectief te plaatsen.

- E e r s t g e v e n w e g l o b a a l o n z e i n t e r p r e t a t i e v a n r e a l i s t i s c h r e k e n - w i s k u n d e o n d e r w i j s en schetsen het daarbij behorende theoretische kader.

- D a n w o r d t als v o o r b e e l d v a n een fenomenologische analyse het spaarbankwezen beschreven, waarmee een v o e d i n g s b o d e m w o r d t gelegd voor een didactische fenomenologie en daarop gebaseerd educatief o n t w e r p w e r k . D e fenomenologische o r i ë n - t a t i e v a n b r u g k l a s s e r s , als eerste fase v a n het l e e r p r o c e s h i e r i n gerealiseerd, b l i j k t i n de p r a k t i j k echter een essentieel manco te vertonen.

O m de leerlingen op d i t punt te h u l p te k o m e n , dient eerder v e r r i c h t r e k e n w e r k b i n n e n N (dat op de b a s i s s c h o o l heeft plaatsgevonden), n u formele aandacht te k r i j g e n .

- H e t p e r m a n e n t i e - p r i n c i p e , v o o r de w i s k u n d e g e f o r m u l e e r d d o o r H a n k e l en i n een n i e u w en d i d a c t i s c h jasje gestoken d o o r S e m a d e n i , c o m b i n e e r t f e n o m e n o l o g i s c h e o r i ë n t a t i e en f o r m e l e d o o r d e n k i n g . Z o ontstaat het beeld v a n een r e a l i s - tische leergang.

- D a n is het moment aangebroken o m op basis v a n observaties i n de o n d e r w i j s p r a k t i j k nogmaals het vermoeden uit te s p r e - k e n , dat ( t h e o r e t i s c h ) ongewenste s l u i p r o u t e s h i e r niet te v e r m i j d e n z i j n . Z o u met d i t vermoeden een algemene w a a r h e i d z i j n o n t h u l d , dan zitten we met een theoretisch en een p r a c - tisch p r o b l e e m . Ontluistert de p r a k t i j k v a n het w i s k u n d e o n d e r - wijs een veelbelovende theorie erover?

- Tenslotte gaan we i n op de onderwijstheorie v a n realistisch r e k e n - w i s k u n d e o n d e r w i j s . D e bovengestelde vraag noopt n a m e - l i j k tot reflectie. D a a r o m k i j k e n we terug naar de theorie en doen d i t i n het perspectief van een n i e u w e o n t w i k k e l i n g . E e n andere o p b o u w v a n de leerstof, een n i e u w educatief o n t w e r p , zo laat het z i c h aanzien, biedt een praktische oplossing die de theorie niet alleen i n stand houdt, maar deze zelfs versterkt.

(3)

2. Het theoretisch kader van realistisch reken-wiskundeonderwijs H e t o n d e r w i j s t h e o r e t i s c h e kader, tot stand g e k o m e n door een reflectie op Wiskobas (Treffers en G o f f r e e , 1985, en G o f f r e e , 1986, p. 19-21), k a n i n grove t r e k k e n neergezet w o r d e n met V a n H i e l e s n i v e a u t h e o r i e , F r e u d e n t h a l s d i d a c t i s c h e fenomenologie ( F r e u d e n t h a l , 1984) en de d i d a c t i e k volgens progressieve m a t h e - matisering, zoals die i n Wiskobas o n t w i k k e l d is. W i s k u n d e , zo stelt m e n , w o r d t op het nulde n i v e a u geleerd door een f e n o m e - n o l o g i s c h e v e r k e n n i n g v a n , laten we e v e n s t e l l e n , w e r e l d s e zaken. Hoeveelheden w o r d e n v e r k e n d , georganiseerd en gestruc- t u r e e r d aan c o n c r e t e o b j e c t e n z e l f , de situaties w a a r i n d i t gebeurt z i j n h e r k e n b a a r i n de e i g e n o m g e v i n g o f t e n m i n s t e vanuit eerdere ervaringen voorstelbaar. D i t geldt overigens niet alleen voor het d o m e i n van de getallen, maar ook v o o r dat v a n de meetkunde, het meten, de functies, de kansen e.d. O p d i t nulde n i v e a u w o r d e n i n t u ï t i e v e noties aangescherpt en i n f o r m e l e procedures meer bewust gemaakt. R e f l e c t i e speelt een e s s e n t i ë l e r o l , e i g e n c o n s t r u c t i e s (zoals handige aanpakken o f g e m e m o - riseerde v o o r k e u r e n ) en eigen producties (zoals uitleggen aan m e d e l e e r l i n g e n o f het o n t w e r p e n v a n toetsopgaven v o o r de komende repetitie) dragen daaraan b i j . Tegens k o m e n s t e u n p u n - ten voor het d e n k e n (letterlijk) i n beeld, als organisatieschema's, tabellen, g r a f i e k e n , symbolische taaltjes en d e n k m o d e l l e n . Deze steunpunten z i j n als het ware geconstrueerd tijdens het b e w e r - ken van 'de realiteit'. A l s de d e n k m o d e l l e n later meer f o r m e e l w o r d e n ingezet o m i n het proces van verticale mathematisering o n d e r s t e u n i n g te geven, k a n zonodig deze v e r b i n d i n g met de realiteit o p n i e u w geactualiseerd w o r d e n .

L a n g z a m e r h a n d , b i j het v o o r t s c h r i j d e n i n de w i s k u n d e als systeem, k u n n e n leerlingen de banden met het concrete, v o o r - stelbare, r e ë l e verbreken. M a a r dan is men al v e r g e v o r d e r d op het eerste n i v e a u van V a n H i e l e , waar niet meer de objecten z e l f , maar de e i g e n s c h a p p e n e r v a n en de relaties tussen de objecten tot onderwerp van studie z i j n gemaakt.

V o o r de o n d e r w i j s o n t w i k k e l a a r , d i e o p b a s i s v a n d e z e theoretische overwegingen leergangen w i l o n t w e r p e n , is het n u zaak b i j de gekozen w i s k u n d i g e leerstof fenomenen te z o e k e n , waaraan die w i s k u n d e zichtbaar gemaakt k a n w o r d e n . A l s h i j geluk heeft, k o m t de geschiedenis van de w i s k u n d e h e m te h u l p . Wie het W i s k o b a s - en Hewetmateriaal analyseert, zal e v e n w e l tot

(4)

de conclusie k o m e n dat educatieve ontwerpers v o o r w i s k u n d e ook veel situaties z e l f moeten v e r z i n n e n .

In het geval v a n de negatieve getallen laat f i g . 1 h i e r v a n iets z i e n . D e ' h e k s ' staat v o o r f a n t a s i e , ' d o e l s a l d i ' v o o r een a a n - gepast actueel gegeven en ' b a n k ' voor een h i e r n a u i t te w e r k e n

' r e k e n w e r e l d j e ' . ,

et w i j "5

5 S

5 a i

3 .5

£ ox

« .S

"5 5 .2 o

•f >•

>- <-

4* . 5

horizontale mathematisering (fenomenologische o r i ë n t a t i e )

Het formele systeem

r-

Toepassingen van neg.getal- len in de wis- kunde

(5)

Tevens brengt deze f i g u u r de problematiek, zoals gesteld i n de i n l e i d i n g , i c o n i s c h i n beeld. E e n wiskundeleergang, o n t w o r p e n naar realistisch m o d e l , bestaat u i t een ' h o r i z o n t a a l ' deel ( i n d i t g e v a l e e n f e n o m e n o l o g i s c h e o r i ë n t a t i e op drie verschijnselen, v a n u i t hetgeen eerder ervaren en geleerd is b i j het rekenen met positieve getallen) en een ' v e r t i c a a l ' deel (hier met rekenen i n Z , toepassen v a n negatieve getallen e n voortgezette a c t i v i t e i t e n i n de r i c h t i n g v a n het formele systeem) o n d e r l i n g v e r b o n d e n i n een 'scharnierpunt', dat reflecteren op fundamentele w i s k u n d i g e e r v a r i n g e n e n anticiper en op het w i s k u n d i g e systeem s y m b o l i - seert. Z o te zien is e l k v a n de situaties i n het horizontale deel een m o g e l i j k beginpunt v a n een sluiproute naar dat punt i n het verticale deel, waar negatieve getallen a l w o r d e n toegepast. E e n o n b e d o e l d e v e r k o r t i n g treedt d a n i n het leerproces o p , omdat e s s e n t i ë l e momenten v a n reflectie o m z e i l d w o r d e n e n de gewens- te o r i ë n t e r i n g s b a s i s voor later w e r k i n het formele systeem niet tot stand komt.

3 . Fenomenologische analyse van het spaarbankwezen.

L a t e n we eens k i j k e n hoe het horizontale deel i n realistische z i n gearrangeerd k a n w o r d e n . Daartoe beginnen we met een f e n o m e - n o l o g i s c h e analyse v a n het verschijnsel Spaarbank. E e n w a a r - s c h u w i n g vooraf: leerlingen z i j n nog geheel u i t z i c h t , het gaat er slechts o m na te gaan o f d i t verschijnsel z i c h laat organise- ren e n structureren met het w i s k u n d i g e m i d d e l v a n de negatieve getallen. Wat we v a n de negatieve getallen a l weten, mogen we proberen toe te passen. A l s 'het past' k u n n e n we later w e l l i c h t nagaan o f k i n d e r e n , door d i e structurerende a c t i v i t e i t , de kennis van negatieve getallen ook k u n n e n v e r w e r v e n . A l s we zover z i j n k o m t pas de d i d a c t i e k i n beeld. A l s fenomeen beschouwen we

"het spaarbankwezen". Stelt een organisatie v a n d i t verschijnsel ons i n de gelegenheid o m de v e r z a m e l i n g Z (opnieuw) te v i n d e n ? K o m e n alle bekende wiskundige regels u i t de v e r f o f lopen we met onze v e r k e n n i n g v a n deze r e ë l e wereld vast? V r a g e n genoeg voor een spannende verkenningstocht.

S t e l U v o o r , de spaarbank v a n J i m m y e n e n k e l e a n d e r e k i n d e r e n . Wat er precies gespaard w o r d t zullen we v o o r l o p i g met n a t u u r l i j k e getallen gaan b e s c h r i j v e n ( W i e bang is zodoende ƒ 7 , 5 0 niet k w i j t te k u n n e n , bedenke dat het o m 750 cent gaat).

D e eerste spaargeschiedenis is d i e van J i m m y . Deze laat z i c h als volgt beschrijven:

(6)

1 j a n . + 350 tegoed 350 15 febr. + 725 tegoed 1075

2 mrt. - 500 tegoed 575 11 m e i - 300 tegoed 275

O p een spaarbank k u n je geld b i j laten s c h r i j v e n (storten) o f af laten s c h r i j v e n (opnemen). Storten en b i j s c h r i j v e n b e s c h r i j f je met o p t e l l e n ; o p n e m e n , a f s c h r i j v e n en o v e r s c h r i j v e n gaat met a f t r e k k e n . Stel n u dat J i m m y een k r a n t e n w i j k neemt en elke week 500 v a n z i j n verdiende geld op de spaarbank zet. O p 11 mei b i j v o o r b e e l d heeft h i j 275 op z i j n r e k e n i n g . O v e r 13 w e k e n is daar d a n 13 x 500 b i j g e k o m e n . E n 4 w e k e n eerder was dat nog maar 9 x 500. E r w o r d t b l i j k b a a r ook v e r m e n i g v u l d i g d , maar pas o p . In het product 9 x 500 staat 500 voor een spaarbedrag en 9 v o o r het aantal k e r e n dat d i t b e d r a g b i j g e s c h r e v e n is.

Straks moeten we nog letten op de c o m m u t a t i v i t e i t .

V o o r de tweede spaargeschiedenis k e r e n we nog even terug naar 11 m e i . J o h n n y , de broer van J i m m y , had toen ook 275 op z i j n r e k e n i n g . O p 15 m e i haalt h i j 300 v a n z i j n r e k e n i n g af.

E i g e n l i j k gaat dat niet, maar ach, iedere bank laat een beetje roodlopen w e l toe.

11 m e i tegoed 275 15 m e i - 300 tegoed -25

J o h n n y heeft n u een s c h u l d van 25, omdat 275 + 25 = 300 is.

( H i j o n t v a n g t dus de 275 d i e n o g o p z i j n r e k e n i n g staat en daarnaast 25 v a n de bank te leen.) Dat h i j 25 r o o d staat w o r d t aangegeven met -25 (of met 2 5 D ) . N u we toch negatieve getallen g e ï n t r o d u c e e r d hebben, k u n n e n we de laatste transactie o o k als volgt beschrijven: 275 - 300 = - 2 5 . (We moeten hier o n d e r s c h e i d m a k e n tussen het eerste m i n - t e k e n voor het bekende a f t r e k k e n (afschrijven) en het tweede m i n - t e k e n b i j - 2 5 dat slaat op een t e k o r t . ) B i j s o m m i g e ' b a n k e n ' laten ze dat v e r s c h i l ook zien:

275 - 300 = - 2 5 .

De derde spaargeschiedenis is van W i l m a . D e laatste regel v a n haar spaarbankboekje ziet er als volgt uit:

4 j u n i + 500 tegoed 3600

(7)

D e komende w e k e n heeft W i l m a elke week een bedrag v a n 100 n o d i g . Z e haalt dat v a n haar r e k e n i n g .

ver 3 w e k e n is het totaal van haar spaartegoed v e r m i n d e r d tot 3300. M e n k a n het (negatieve?!) spaargebeuren aldus beschrijven:

3600 - 3 x 100 = 3300.

M a a r k i j k e n we i n het spaarbankboekje, dan zien we:

4 j u n i 3600 11 j u n i -100 tegoed 3500

18 j u n i -100 tegoed 3400 25 j u n i -100 tegoed 3300

D e gang van zaken laat z i c h dus netter b e s c h r i j v e n door 3 x (- 100) d a n d o o r 3 x 100 er a f te t r e k k e n . H e t resultaat is i n beide gevallen hetzelfde. Evenals trouwens er i n é é n keer 300 afhalen. D e s c h r i j f w i j z e 3 x (-100) heeft onze v o o r k e u r , want die sluit het dichtst aan b i j het verschijnsel. E l k v a n de v o l - gende u i t d r u k k i n g e n symboliseert een andere s p a a r b a n k - h a n d e - ling:

3600 + 3 x (-100) H o e w e l - 300 en -K-300 hetzelfde effect 3600 - 3 x 100 begin saldo van 3600 hebben, zit er een 3600 + -3 x 100 v e r s c h i l l e n d e a c t i v i t e i t i n spaarbankter- 3600 - 300 m e n achter. A n d e r s gezegd, -300 en +(- 3600 + -300 300) h e b b e n v e r s c h i l l e n d e r e a l i s e r i n g e n

i n het spaarwezen.

A a n de hand van de volgende situatie zullen we z o ' n v e r s c h i l d u i d e l i j k maken: stel dat i e m a n d a l langere t i j d elke week een bedrag v a n 100 naar de bank brengt. D a t h i j er af en toe ook een bedrag afhaalt, doet even niets terzake. Je k u n t n u vragen:

hoe staat het met z ' n r e k e n i n g over 6 weken? A n t w o o r d : +(6 x 100), d i t bedrag w o r d t b i j het bedrag v a n n u opgeteld. M a a r dan een b l i k i n het v e r l e d e n . H o e stond h i j er 6 w e k e n geleden voor? D i e vraag k a n op twee manieren beantwoord w o r d e n : Eerste: i n zes w e k e n zou er 6 x 100 b i j g e k o m e n z i j n , dan was er zes w e k e n eerder 6 x 100 m i n d e r dus -(6 x 100).

Tweede: je zou ook k u n n e n zeggen dat je terugtelt op de k a l e n - der: elke week terug (-1), zes w e k e n terug (-6). D u s : (-6) x 100 (t.o.v. het bedrag v a n nu). D e uitkomst v a n -(6 x 100) o f v a n (-

(8)

6) x 100 is i n het verhaal niet m o e i l i j k te v i n d e n : - 6 0 0 , 600 m i n d e r dan n u .

T e n s l o t t e n e m e n we een vierde spaargeschiedenis, é é n met veel negatief e r i n : i e m a n d is gewend o m elke week 250 v a n z i j n r e k e n i n g te halen. E l k e week dus (-250) op het boekje. (We zien even v o o r b i j aan het a f en toe b i j s c h r i j v e n v a n fikse bedragen uit andere b r o n n e n o m roodstaan te v o o r k o m e n ) . H o e staat h i j er over 8 w e k e n voor? A n t w o o r d : bedrag v a n n u + 8 x (-250) en dat is -(8 x 250) "erbij", dus 2000 m i n d e r . E n hoe zat dat 4 w e k e n terug? A n t w o o r d : (-4) x (-250) en toe was dat bedrag 4 x 250 hoger dan vandaag.) ( A l s a n t w o o r d k a n ook: -(4 x (-250)) en dat is ook 1000 hoger dan vandaag.)

Z o te z i e n heeft het 'spaarbankwezen' ons n i e u w e getallen (negatieve) en een aantal bewerkingsregels opgeleverd. M a a r hoe verloopt de overgang van het b a n k w e z e n met z ' n spaarbedragen en t i j d s i n t e r v a l l e n naar het formele systeem v a n de getallen?

F o r m e e l w i l zeggen: afgezien v a n betekenissen i n r e ë l e v e r s - chijnselen. We hebben te maken met een geordende v e r z a m e l i n g g e t a l l e n met a f g e s p r o k e n regels v o o r de h o o f d b e w e r k i n g e n . Welke fundamentele wetten bepalen het r e i l e n en z e i l e n v a n een d e r g e l i j k systeem? D i e wetten hebben we met onze f e n o m e n o l o - gische o r i ë n t a t i e op het b a n k w e z e n niet ontdekt, want daar was b i j v o o r b e e l d - 5 x 99 iets heel anders dan 99 x - 5 . V r o e g e r ( i n N ) hadden we w è l : 5 x 99 = 99 x 5, meestal u i t g e v o n d e n i n een rekenachtige context, waar de w e t m a t i g h e i d rekengemak o p l e v e r - de. D e c o m m u t a t i v i t e i t van v e r m e n i g v u l d i g e n i n Z k o m t pas uit de v e r f als we ons losmaken v a n het b a n k w e z e n en reflecteren o p de s t r u c t u u r v a n de gehele g e t a l l e n en de b e w e r k i n g e n daarmee. B i j het reflecteren zou m e n het formele systeem d i r e c t i n het geding k u n n e n brengen, n a t u u r l i j k uitgaande v a n e r v a r i n - gen met de b e w e r k i n g e n i n N . S t r a t e g i e ë n v o o r h a n d i g rekenen en plezier i n patronen v o r m e n goede uitgangspunten.

M e t de laatste o v e r w e g i n g z i j n ongemerkt de l e e r l i n g e n i n z i c h t gekomen. D e fenomenologische analyse begint een d i d a c - tische fenomenologie te w o r d e n . D a a r i n w o r d t het gebied v a n de negatieve getallen o p n i e u w , v a n u i t diverse i n v a l s h o e k e n , en i n het perspectief v a n leren en o n d e r w i j z e n , onder de loep g e n o - m e n . N e m e n we als invalshoek de p r a k t i j k e r v a r i n g e n v a n vele l e r a r e n met h u n l e e r l i n g e n , dan zien we de laatsten i n grote getale s l u i p w e g e n inslaan voordat er ook maar enige sprake was van reflectie (zie f i g u u r 1). D a a r b i j w o r d t het o n t w i k k e l e n en

(9)

l e r e n k e n n e n v a n het f o r m e l e systeem op z i c h v o o r o n n o d i g g e h o u d e n . A l s j e de regeltjes maar kent, dan k u n je zonder k l e e r s c h e u r e n 'er' doorheen k o m e n . Z o n d e r reflectie, op basis van de genoemde i n v u l l i n g v a n het horizontaal mathematiseren a l l e e n , w o r d e n o n v o l l e d i g e i n z i c h t e n g e v o r m d . In dat g e v a l w o r d e n rekenregels aangenomen, overgenomen en b l i n d u i t g e - v o e r d . Deze regels w e r k e n , maar ontlenen h u n betekenis niet aan praktische ervaringen o f meer theoretische beschouwingen. M a a r we w i l l e n j u i s t dat de l e e r l i n g e n op een z e k e r m o m e n t dat formele systeem w e l o n t d e k k e n , dat ze de wetmatigheden e r v a n o n d e r k e n n e n , dat ze z i c h e r i n k u n n e n bewegen en dat ze, b i j het toepassen v a n negatieve g e t a l l e n i n het v e r v o l g v a n het o n d e r w i j s , enige steun k u n n e n ontlenen aan h u n begrip v a n dat formele systeem en de d a a r i n geldende regels en wetten.

Fundamentele wetten als die van de c o m m u t a t i v i t e i t k w a m e n i n het b a n k w e z e n zoals we gezien hebben, niet naar v o r e n . H e t organiseren en structureren van het b a n k w e z e n heeft l e e r l i n g e n dus w e i n i g te bieden b i j het nadenken over fundamentele wetten i n het formele systeem ( Z , +, .). D i t geldt daarentegen niet voor het b e g r i p 'tegengestelde' dat een centrale r o l k a n spelen b i j het b e r e d e n e r e n v a n de rekenregels. H e t tegengestelde-begrip kan b i n n e n de fenomenologische o r i ë n t a t i e naar v o r e n gebracht en g e ë x p l i c i t e e r d w o r d e n . E n d i t tegengestelde-begrip k a n later b i j het oplossen v a n ' k a l e ' sommen goed van pas k o m e n . O p basis daarvan k a n b i j v o o r b e e l d beredeneerd w o r d e n dat - 4 . l i het tegengestelde is van 4.1±, en dat de uitkomst dus -(4 x H ) moet z i j n . E n evenzo k a n beredeneerd w o r d e n dat - 2 i . - 2 ± het tegen- gestelde moet z i j n van 2 i . - 2 ± , waarvan de uitkomst z i c h op een vergelijkbare w i j z e laat afleiden. H e t tegengestelde-begrip k a n hier dus op formeel n i v e a u als steunpunt f u n c t i o n e r e n en het k a n t i j d e n s de f e n o m e n o l o g i s c h e o r i ë n t a t i e tot o n t w i k k e l i n g k o m e n . In het w e r e l d j e v a n de s p a a r b a n k b i j v o o r b e e l d k a n zonder moeite aan het l i c h t k o m e n dat - 2 en 2 elkaar als het ware opheffen: een tekort van 2 en een tegoed v a n 2 leveren een saldo op v a n 0. E v e n z o k a n d i t ' e l k a a r - o p h e f f e n d e - k a r a k t e r ' van positieve en negatieve getallen i n enkele andere v e r s c h i j n s e - len (zoals dat v a n de doelsaldi en dat v a n de warme en koude blokjes van de heks) ervaren w o r d e n . E c h t e r : het aan het l i c h t treden van deze eigenschap van gehele getallen gaat niet v a n - zelf! H e t is n o d i g dat er reflectie plaatsvindt op de uitgevoerde a c t i v i t e i t e n en dat de gemeenschappelijke w i s k u n d i g e i n h o u d

(10)

w o r d t blootgelegd en bewust gemaakt. E e n e s s e n t i ë l e stap i n het proces v a n horizontale mathematisering is d a n gezet: het m a t h e - matische object zelf k o m t naar voren en k a n als z o d a n i g o n d e r - zocht w o r d e n . We z i j n daarmee aangeland i n de fase w a a r i n het proces v a n verticale mathematisering verloopt. D e v o o r w a a r d e n z i j n n u geschapen o m een stap verder te gaan i n het o n d e r - w i j s l e e r p r o c e s en te o n d e r z o e k e n hoe, het opereren met deze ' n i e u w e ' g e t a l l e n i n z ' n w e r k gaat e n vast te s t e l l e n w e l k e regels hieraan ten grondslag liggen. D e vraag is d a n op w e l k e w i j z e we de leerlingen deze rekenregels laten opsporen, en hoe we ze daarbij g e b r u i k k u n n e n laten m a k e n v a n steunpunten i n h u n d e n k e n . S t e u n p u n t e n b i j v o o r b e e l d als het tegengestelde- b e g r i p , steunpunten ook als een direct u i t de realiteit afkomstige ' k r a c h t i g e ' situatie zoals de spaarbank. K a r a k t e r i s t i e k voor d i t d e e l v a n het leerproces is n u dat g e l e i d e l i j k aan een steeds formelere benaderingswijze v a n de sommen n o d i g is o m o p l o s s i n - gen te k u n n e n v i n d e n en beredeneren. B i j sommen als:

w o r d t het steeds m o e i l i j k e r en omslachtiger o m er nog iets v a n een r e ë l e betekenis aan toe te kennen met behulp w a a r v a n een oplossing uitgedacht k a n w o r d e n . In wezen doet z i c h h i e r iets zeer o p m e r k e l i j k s voor: het is w e l l i c h t voor het eerst i n h u n r e k e n / w i s k u n d i g e o n t w i k k e l i n g s p r o c e s dat de l e e r l i n g e n z i c h gesteld zien voor een reeks v a n w i s k u n d i g e p r o b l e m e n w a a r b i j de weg terug naar de realiteit waaruit d i e w i s k u n d e v o o r h e n is v o o r t g e k o m e n , steeds meer afgesneden en v e r b r o k e n raakt. H e t ziet ernaar u i t dat de leerlingen hier op een zeker moment op de d r e m p e l k o m e n te staan v a n een nieuwe getallenwereld, een w e r e l d waarvan ze bepaalde g r o n d t r e k k e n a l veel eerder hebben leren k e n n e n , maar d i e als zodanig n i e u w v o o r hen i s . D e vraag is d a n hoe we ze over deze d r e m p e l helpen en hoe we ze b i n - nenvoeren i n de formele getallenwereld. H o e verschaffen we ze toegang tot het formele systeem ( Z , +, .)?

4. De permanentie van concretiseringen door Semadeni

E e n i n t e r e s s a n t e b i j d r a g e aan de d i s c u s s i e w e r d enige t i j d geleden geleverd door de Poolse didacticus Z b i g n i e w Semadeni (1984), d i e getracht heeft op basis v a n H a n k e l s p e r m a n e n t i e p r i n -

-3 - - 2 = 5 - - 3 =

- 3 x 2 = -3 x - 5 =

(11)

c i p e een b r u g te slaan tussen de fenomenologische o r i ë n t a t i e (zoals i n het voorgaande aan de hand van het bankwezen) en het w e r k e n op formeel niveau. N i e t meer de permanentie v a n rekenregels o f a l g e b r a ï s c h e wetten staan centraal i n de e d u c a - t i e v e o n t w e r p e n v a n Semadeni, maar de permanentie v a n een concretisering (model, schema, context, e.d.). D i t betekent dat vanuit het d e n k m o d e l , dat tot stand is gekomen door organise- r e n d en s t r u c t u r e r e n d werk v a n een zekere situatie met w i s - k u n d i g e h u l p m i d d e l e n , een grensoverschrijding plaatsvindt. H e t m o d e l b l i j f t aanwezig als denkkader, het w i s k u n d i g d o m e i n w o r d t uitgebreid en k r i j g t een nieuwe betekenis. Z o k u n je b i j v o o r - beeld het v e r m e n i g v u l d i g e n b i n n e n N betekenis geven en b e g r i j - pen i n een rechthoekmodel:

3 x 7

M e t h a n d h a v i n g v a n het r e c h t h o e k m o d e l k u n je v e r v o l g e n s bedenken wat b i j v o o r b e e l d 3 i x 7 zou k u n n e n betekenen en zelfs 3± x 7±. Rekenregels als 3 x 7 = 3 x 5 + 3 x 2 , eerder i n het m o d e l zichtbaar gemaakt, leiden n u tot handige splitsingen als:

3 i x 7 i = (3 + i ) ( 7 + i ) = 3 x 7 + 3 x { + { x 7 + i x i . Semadeni beveelt de volgende v i e r stappen aan volgens w e l k e het onderwijsleerproces k a n w o r d e n ingericht.

1. D e l e r a a r z o e k t een g e s c h i k t e c o n c r e t i s e r i n g , d . w . z . een b r u i k b a a r d e n k m o d e l en een paradigmatisch v o o r b e e l d w a a r i n het d e n k m o d e l o n t w i k k e l d , v e r k e n d en geoefend k a n w o r d e n . 2. D e leerlingen w e r k e n aan het v o o r b e e l d , v a r i ë r e n de a a n t a l -

l e n , hoeveelheden, getallen en b l i j v e n b i n n e n de grenzen van het bekende d o m e i n .

3. D e leraar stelt voor o m het voorbeeld uit te b r e i d e n met nog onbekende getallen.

4. D e leerlingen gaan op onderzoek i n de n i e u w ontstane s i t u a - t i e en b e a n t w o o r d e n v r a g e n , d i e i n g e w o n e o m g a n g s t a a l geformuleerd z i j n . O p die manier v i n d e n ze nieuwe getallen u i t en b e d e n k e n hoe daarmee g e r e k e n d k a n w o r d e n . H e t denkkader, al dan niet aangepast, biedt steunpunten voor het denken.

(12)

M e t deze a a n w i j z i n g e n k u n n e n we p r o b e r e n een o n t w e r p te m a k e n v o o r het zojuist besproken, c r u c i a l e deel v a n het o n d e r - wijsleerproces r o n d negatieve getallen. Semadeni's aanpak b l i j k t d a n interessante a a n k n o p i n g s p u n t e n te b i e d e n . Interessant is v o o r a l dat h i j de leerlingen b i n n e n de gekozen c on c r et i s er i n g laat k o m e n tot een h e r b e w u s t m a k i n g v a n de r e k e n r e g e l s e n wetmatigheden die ze i n de loop der t i j d met b e t r e k k i n g tot het bekende d o m e i n der n a t u u r l i j k e getallen hebben leren k e n n e n en w a a r m e e ze tot op zekere hoogte v e r t r o u w d z i j n . V e r v o l g e n s laat h i j , nog steeds b i n n e n de i n deze tekst gekozen concretise- r i n g , de overstap m a k e n naar het nieuwe uitgebreidere d o m e i n en laat h i j , mede op basis v a n de geactualiseerde kennis omtrent {N,+,.}, onderzoeken welke regels daar gelden. H e t effect v a n een d e r g e l i j k e overgang k a n z i j n dat daarmee de eigen w i s k u n - d i g e k e n n i s r o n d het w e r k e n met de n a t u u r l i j k e getallen i n geactualiseerde v o r m als steunpunt o n d e r k e n d en g e b r u i k t k a n gaan w o r d e n . Daarmee zou dan het d e n k k a d e r g e c r e ë e r d k u n n e n z i j n waarmee de leerlingen de rekenregels die b i n n e n Z g e l d e n , k u n n e n onderzoeken en beredeneren: het formele systeem w o r d t hiermee toegankelijk gemaakt. Z o zou b i j de a a n w e z i g h e i d v a n een d e r g e l i j k d e n k k a d e r , voor wat betreft het leren v e r m e n i g - v u l d i g e n met negatieve getallen, g e b r u i k k u n n e n w o r d e n gemaakt v a n s t e u n p u n t e n d i e g e w o r t e l d z i j n i n r e ë l e situaties ( d o o r b i j v o o r b e e l d 3 x - 2 te interpreteren als 3 keer een tekort v a n 2 g u l d e n ) , maar ook van steunpunten die v o o r t v l o e i e n u i t de eigen w i s k u n d i g e kennis ( b i j v o o r b e e l d : - 2 x - 3 opvatten als het tegengestelde van 2 x - 3 ) . V r a a g is n u echter wat v o o r c o n - cretisering het zou moeten z i j n i n termen w a a r v a n de genoemde h e r b e w u s t m a k i n g v a n rekeneigenschappen b i n n e n het systeem der n a t u u r l i j k e getallen, gevolgd door het onderzoeken en i n kaart b r e n g e n v a n de r e k e n r e g e l s b i n n e n het systeem der gehele g e t a l l e n , k a n p l a a t s v i n d e n . E e n concretisering geeft een soort samenhang w a a r b i n n e n a c t i v i t e i t e n en h a n d e l i n g e n z i n hebben.

D e gezochte samenhang k a n die v a n de w i s k u n d e z i j n , die v a n het g e t a l l e n s y s t e e m - i n - a a n b o u w zoals dat tot o n d e r w e r p v a n onderzoek gemaakt k a n w o r d e n . D e w i s k u n d e z e l f en de eigen kennis daarvan gaat dan m i n o f meer als context fungeren en moet de l e e r l i n g e n ook als zodanig gepresenteerd w o r d e n . T e d e n k e n valt dan aan een reeks a c t i v i t e i t e n als:

* v e r m e n i g v u l d i g e n : wat is dat ook alweer? Wat betekent dat ook al weer?;

(13)

* reken eens uit: 3 x 4, 15 x 6, 64 x 2, 3 x 99, 16 x 25, 24 x 334;

* bedenk eens een situatie w a a r i n je 3 x 4 tegenkomt;

* hoe reken je dat uit: 64 x 2? K u n j e uitleggen w a a r o m dat zo mag?;

* hoe zou j i j aan een zusje v a n 7 jaar uitleggen wat v e r m e n i g - v u l d i g e n inhoudt;

* hoe r e k e n je 3 x 99 u i t het h o o f d uit? K u n je uitleggen w a a r o m dat zo mag?;

* teken eens op de getallenlijn: 4 x 3 ;

I 1 1 1—>

0 5 10 15

* weet je ook wat het verband is tussen v e r m e n i g v u l d i g e n en optellen? E n tussen v e r m e n i g v u l d i g e n en delen?

* je k u n t n a t u u r l i j k ook v e r m e n i g v u l d i g e n met negatieve g e t a l - len: 3 x - 2 , - 2 x 3, - 2 x - 3 , -3 x - 2 , probeer eens ;

* bedenk eens een situatie w a a r i n je 3 x - 2 tegenkomt;

* l u k t dat ook nog met - 2 x 3? E n met - 2 x - 3 ? ;

* 3 x - 2 k u n je vast w e l uitrekenen. K u n je uitleggen w a a r o m dat zo mag?;

* en - 2 x 3: hoe zou het daarmee zitten?;

* is er v e r b a n d tussen - 2 x 3 en 2 x 3? E n tussen 2 x -3 en 2 x 3? H o e zit dat?;

* en n u deze: - 2 x - 3 . Z i e je verband met 2 x - 3 ? Wat zou - 2 x - 3 moeten z i j n ? ;

O p een dergelijke w i j z e zou een k o p p e l i n g plaats k u n n e n v i n d e n van 'opgefriste' kennis van het getallensysteem der n a t u u r l i j k e getallen aan de recentelijk v e r w o r v e n kennis omtrent de gehele getallen. M e t behulp van het daarmee g e c r e ë e r d e d e n k k a d e r k a n d a n v e r v o l g e n s o n d e r z o c h t en b e r e d e n e e r d w o r d e n hoe het opereren met de gehele getallen i n z ' n w e r k gaat. N u hoeft het w e i n i g betoog dat een dergelijke reeks a c t i v i t e i t e n een z o r g v u l - dige en geleidelijke o p b o u w van het onderwijsleerproces vergt:

er w o r d t v a n de l e e r l i n g e n heel wat gevraagd als m e n ze de w i s k u n d e z e l f als context w i l doen ervaren. G r a v e m e i j e r en V a n G a l e n (1986, p. 139), doen ten aanzien van het g e b r u i k van de w i s k u n d e als context een nadere aanbeveling voor die o p b o u w van het leerproces. H e t l i j k t hen z i n n i g de w i s k u n d i g e kennis

(14)

z e l f pas tot onderwerp v a n onderzoek te m a k e n , als deze w i s - k u n d e de leerlingen even v e r t r o u w d is als de eerder gebruikte r e ë l e contexten. Waar het daarbij o m gaat is dat de opdrachten en de gehanteerde begrippen betekenis hebben v o o r de l e e r l i n - gen, zodat de leerlingen eigen aanpak k en , eigen kennis en eigen v a a r d i g h e d e n tot o n t w i k k e l i n g k u n n e n brengen. D e l e e r l i n g e n w o r d e n i n dat leerproces gestimuleerd over eigen oplossingen te reflecteren. In het geval v a n de gehele getallen zou d i t k u n n e n i n h o u d e n dat er b i j de l e e r l i n g e n iets v a n o v e r z i c h t v a n het getallensysteem aan het g r o e i e n is; b e l a n g r i j k e eigenschappen van getallen en b e w e r k i n g e n moeten d a a r i n een plaats hebben, evenals relaties tussen getallen (zoals het tegengestelde-begrip), enzovoorts. H e t l i j d t w e i n i g t w i j f e l dat de verdere u i t g r o e i v a n z o ' n o v e r z i c h t geruime t i j d vergt. E n hiermee z i j n we aangeland b i j het i n de aanhef v a n d i t a r t i k e l aangeduide p r o b l e m a t i e k .

5. Het vermijden van ongewenste sluiproutes

A l s we ons nog e v e n de t o t a l i t e i t v a n de geschetste leerweg voor de geest halen: w e r k e n i n contexten (bank, heks, d o e l s a l d i , enz.), reflecteren op N en anticiper en op het nieuwe systeem Z , gevolgd door toepassen dan b l i j k t o n m i d d e l l i j k dat het v e r w e r v e n van de rekenregels d a a r i n pas op een laat t i j d s t i p aan de orde komt. E n dat, t e r w i j l die rekenregels op z i c h e e n v o u d i g v a n aard z i j n . M e n k a n z i c h dan ook afvragen o f deze leerweg zo is i n te r i c h t e n dat de leerlingen het v e r w e r v e n v a n de rekenregels zo lang uit k u n n e n stellen tot een v o l w a a r d i g begrip v a n het s y - steem der gehele getallen g e v o r m d is. E r z u l l e n heel wat l e e r l i n - gen en ook l e r a r e n z i j n die sterk de n e i g i n g h e b b e n o m a l tijdens de fenomenologische o r i ë n t a t i e , als het begrip nog g r o - tendeels g e v o r m d moet w o r d e n , de rekenregels v i a wat k u n s t g r e - p e n u i t een c o n t e x t ' a f te l e i d e n ' . E e n groot d e e l v a n het v e r v o l g van het geschetste onderwijsleerproces z a l dan v r u c h - teloos aan leerlingen v o o r b i j g a a n , want ze weten toch a l hoe ze moeten rekenen met de nieuwe getallen. Z e hebben dan als het ware een eigen sluiproute langs de leerweg gevonden, met het gevaar dat d a a r d o o r een sterk i n s t r u m e n t e e l getinte attitude gaat ontstaan. Daarmee is het tegengestelde bereikt v a n hetgeen de ontwerpers van realistisch w i s k u n d e - o n d e r w i j s beoogden.

(15)

6. Terugblik en vooruitblik

D e a a n d a c h t v o o r s l u i p r o u t e s d o o r r e a l i s t i s c h e leergangen is bedoeld als bijdrage aan de theorie. H e t feit dat leerlingen i n het voortgezet onderwijs van deze sluiproutes g e b r u i k m a k e n , is waargenomen i n vele praktijksituaties, al k o n m e n het v e r s c h i j n - s e l tot n o g toe n i e t als z o d a n i g b e n o e m e n . Is n u met deze constatering de onderwijstheorie v a n het realistisch r e k e n - w i s - k u n d e o n d e r w i j s o n j u i s t o f o n t o e r e i k e n d g e b l e k e n ? T e n s l o t t e h e b b e n zeker w i s k u n d i g e n genoeg aan é é n tegenvoorbeeld o m een veronderstelling te verwerpen.

We menen v a n niet. In de voorgaande beschouwingen hebben we ons, b i j nader i n z i e n , te sterk laten l e i d e n door de p r a k t i j k v a n het b r u g k l a s o n d e r w i j s . H o e w e l d a a r i n sterke t r e k k e n v a n r e a l i s t i s c h e leergangen h e r k e n b a a r z i j n , is de daar g e v o l g d e d i d a c t i e k nog niet als directe afgeleide v a n de theorie te b e - s c h o u w e n . Wat o n d e r m e e r o n t b r e e k t is een i n g a n g naar het verticale mathematiseren. D e fenomenologische o r i ë n t a t i e s , die i n de brugklas plaatsvinden, z i j n gericht op concrete objecten en fenomenen (doelsaldi, koude en warme blokjes i n de heksenketel, p l u s - en mintreintjes e.d.). Dat de fenomenologische o r i ë n t a t i e z i c h ook k a n r i c h t e n op w i s k u n d i g e objecten en fenomenen, is i n die p r a k t i j k n a u w e l i j k s o n d e r k e n d . T o c h z i j n er i n het verleden d i d a c t i c i geweest d i e , vanuit z u i v e r praktische o v e r w e g i n g e n , op deze m o g e l i j k h e i d h e b b e n g e w e z e n . D a t v a n h u n o n t w e r p e n n a u w e l i j k s iets i n de schoolboeken is terecht g e k o m e n , is niet v e r w o n d e r l i j k . O m n a m e l i j k een stukje w i s k u n d e te k u n n e n g e b r u i k e n als object van een fenomenologische o r i ë n t a t i e , moet d i e w i s k u n d e eerst op het " g e b r u i k s n i v e a u " g e l e e r d w o r d e n . Negatieve getallen n u , w o r d e n i n het algemeen vooraan i n het v . o . - p r o g r a m m a b e h a n d e l d , zodat v o o r een m o g e l i j k andere aanpak ingrijpende v e r s c h u i v i n g e n van leerstof zouden moeten plaatsvinden. We veronderstellen n u dat de plaats v a n het o n - d e r w e r p ' n e g a t i e v e g e t a l l e n ' i n het c u r r i c u l u m er de oorzaak van is dat de theorie van het realistisch w i s k u n d e - o n d e r w i j s hier n i e t tot a d e q u a t e leergangen k a n l e i d e n . E e n zeer g e s c h i k t hoofdstuk uit het w i s k u n d e p r o g r a m m a is i n d i t v e r b a n d dat over functies en grafieken. Ondermeer Sawyer (1964) heeft daarop i n het b i j z o n d e r gewezen en dat niet alleen, h i j werkte z i j n g e - dachte nader uit. H i e r v a n is het volgende een afspiegeling. N e e m de grafiek van f(x) = 2x

(16)

P u n t e n op deze l i j n w o r d e n bepaald door c o ö r d i n a t e n : (1,2), (2, 4). D a a r i n herken je ook de v e r g e l i j k i n g weer, de y is steeds 2 keer zo groot als de x. In het derde k w a d r a n t w i l je n a t u u r l i j k dat hetzelfde opgaat. N a u i t v i n d i n g v a n de negatieve getallen voor a a n d u i d i n g e n l i n k s v a n de y - a s , is dat i n de c o ö r d i n a t e n van P ( - l , - 2 ) te z i e n . A l s je tenminste - 2 als 2 . ( - l ) w i l t z i e n . N u hebben we ook grond onder de voeten o m de g r a f i e k y = - 2 x te bestuderen. D e grafiek toont dat ondermeer ( - 2 , 4) h i e r o p l i g t , dus dat - 2 . - 2 = +4 niet zo onverstandig is. In de tabel, b e h o r e n d b i j deze v e r l i j k i n g , w o r d t de algemene r e k e n r e g e l achter deze aanname zichtbaar:

X 0 -1 - 2 -3 - 4

y 0 2 4 6 8

V o o r t g a a n d onderzoek aan kwadratische functies z a l het v e r t r o u - w e n i n de eerder gedane u i t v i n d i n g e n , gerezen vermoedens en daarop gebaseerde beslissingen versterken.

N e e m b i j v o o r b e e l d f(x) = x2 - 6x + 5

B i j b e h o r e n d e tabel

0 i 1

f(x)

5 i 6

2 i 0 - 3 0 2 i

(17)

D e v o r m v a n de hier bedoelde grafiek hebben we al een keer ontmoet b i j f(x) = x2. A l l e punten daarvan zaten echter b o v e n o f op de x - a s , omdat x2 > 0. N u zakt het deel tussen x = 1 en x = 5 er echter onder: de grafiek v a n f(x) is met b e h u l p v a n y

= x2 w e l te v i n d e n en v i a f(2) = 22 - 6.2 + 5 = 4 (een negatief getal) ook te reconstrueren (-3). N u k u n j e x2 - 6x + 5 o o k lezen als (x - 5) (x - 1). E n k i j k n u eens wat er v o o r x = 2 staat? (2 - 5) (2 - 1) = -3.1 en dat is -3 zoals we zagen. N a deze i n f o r m e l e beschouwingen over onderdelen v a n een f o r m e e l systeem i n w o r d i n g , gaan we een stapje verder. K e n m e r k e n d voor een stukje formele w i s k u n d e is ondermeer dat u i t s p r a k e n en redeneringen een algemeen karakter hebben. D a t w i l zeggen dat ze over een heleboel zaken tegelijk gaan. Sawyer, d i e we n o g steeds op de voet v o l g e n , geeft d a a r v a n een paar zeer doorzichtige voorbeelden. N e e m de grafieken v a n de volgende v i j f v e r g e l i j k i n g e n :

y = 2x + 2 y = 2x + 1 y = 2x y = 2x - 1 y = 2x - 2

O p het eerste g e z i c h t (van de v e r g e l i j k i n g e n ) z o u j e geneigd z i j n aan twee soorten te denken:

soort 1: y = 2x plus iets soort 2: y = 2x m i n iets

(y = 2x behoort tot beide soorten). M a a r k i j k je naar de g r a f i e - ken, dan is er e i g e n l i j k geen verschil tussen de soorten. Je k u n t dan ook beter over é é n soort, n.1. y = 2x + q spreken en t o e l a - ten dat q o o k n e g a t i e f mag w o r d e n . N a die beslissing is het ook nog aardig o m na te gaan wat de betekenis v a n q v o o r de grafiek is. N e e m x = 0, dan w o r d t y = q. D u s q is het door de grafiek v a n de y-as afgesneden stuk. Z i t dat deel b o v e n de x - a s , dan is q > 0, zit het eronder dan is q < 0. Negatieve getallen hebben er h i e r voor gezorgd dat onze uitspraken over lineaire v e r g e l i j k i n g e n een algemener karakter kregen en daardoor beter de meetkundige representatie beschreven. N a t u u r l i j k moet je na a ook b zeggen, o f beter, i n dit geval na q ook p . D e l i j n e n y =

(18)

p x + q (houd q even constant) v o r m e n ook é é n f a m i l i e , als p z o w e l groter als k l e i n e r dan 0 mag z i j n , zelfs een hechte f a m i - l i e . In een meetkundige presentatie is d i t heel goed te z i e n (y = p x + 2).

/ h

Z o te z i e n m a a k t de o n t d e k k i n g v a n negatieve getallen veel onaffe d i n g e n af. V r o e g e r lieten d i d a c t i c i d i t alleen maar zien aan de g e t a l l e n l i j n , die naar l i n k s v a n 0 voortgezet k o n w o r d e n . Bovenstaande beschouwingen gaan verder, ze betreffen b e l a n g - r i j k e consequenties voor het systeem v a n de w i s k u n d e . D e lezer k a n z i c h w e l voorstellen hoe op dezelfde manier de v e r g e l i j k i n g y = a x2 + b x + c algemene betekenis k a n w o r d e n toegekend en hoe d a a r b i j de "berg"- en "dal"parabolen h u n i n v l o e d d o e n gelden.

T o t zover W.W.Sawyer, die hiermee misschien de w e g heeft gewezen o m ongewenste sluiproutes door realistische leergangen te b l o k k e r e n . A l s d i t zo is en alleen de p r a k t i j k v a n het o n d e r - w i j s k a n d i t laten z i e n , dan is onze theoretisch g e ï n s p i r e e r d e p r a k t i j k w a a r n e m i n g uitgelopen op een n i e u w educatief ontwerp b i n n e n de realistische onderwijstheorie. A l s dat ontwerp succes heeft, d.w.z. als de leerlingen het beoogde h o r i z o n t a a l en v e r - ticaal mathematiseren zonder m a n k e r e n k u n n e n beoefenen, dan heeft ook op dit punt de realistische onderwijstheorie iets v a n z i j n constructieve capaciteit getoond.

(19)

Noten

1. Dit artikel is geschreven naar aanleiding van een lezing die de drie auteurs gehouden hebben op de NVORWO-conferentie voor onderzoekers van reken-wis- kunde-onderwijs te Noordwijkerhout op 29 en 30 mei 1986. Met denk aan Adri Treffers voor zijn verwijzing naar Sawyer.

2. OGLO (1987) Het boek verschijnt binnenkort bij Bekadidact onder de titel

"Tegengesteld". Het is speciaal bedoeld voor lerarenopleiders, bruikbaar als informatiebron ten behoeve van a.s. onderwijsgevenden, maar kan ook interes- sant zijn voor basisschool- en wiskunde-leraren, ouders en andere belangstel- lenden. Voor lerarenopleiders bevat het veel opleidingsdidactische noties ingebed in de didactiek van de wiskunde en het wiskundeonderwijs.

Literatuur

F r e u d e n t h a l , H . (1984) Didactische fenomenologie van wiskundige structuren, U t r e c h t .

F r e u d e n t h a l , H . (1984) Appels en peren/wiskunde en psychologie, A p e l d o o r n , 1984.

F r e u d e n t h a l , H . (1987) T h e o r i e v o r m i n g b i j het w i s k u n d e o n d e r w i j s . Geraamte en gereedschap, Panama-post 5, 3, 4 - 1 5 .

G o f f r e e , F . (1986) Rekenen, Realiteit en Rationaliteit (oratie).

Enschede.

G o f f r e e , F . & J . ter Pelle (1987) V a n R e k e n e n (op j e 10de) naar Wiskunde (op je 16de), Euclides 62, 5, 137-141.

G r a v e m e y e r , K . & F . v a n G a l e n (1986) D e betekenis v a n c o n t e x - ten, Panama cursusboek 4, 135-142.

Sawyer, W.W. (1964) Aanschouwelijk Algebra. U t r e c h t : P r i s m a , 316-337.

Semadeni, Z . (1984) A p r i n c i p l e o f concretization permanence for the formation o f arithmetical concepts, Educational Studies in Mathematics 15, 379-395.

T r e f f e r s , A . (1987), A model of Goal and Theory Description in Mathematics Instruction - the Wiskobas Project, D o r d r e c h t : R e i d e l .

T r e f f e r s , A . & F . G o f f r e e (1985) R a t i o n a l A n a l y s i s o f R e a l i s t i c M a t h e m a t i c s E d u c a t i o n - T h e W i s k o b a s P r o g r a m . I n : L . S t r e e f l a n d (ed.). Proceedings of the Ninth International Conference for the Psychology of Mathematics Education, Volume II, U t r e c h t , 9 7 - 1 2 1 .

Wansink, J . H . (1967) Didactische oriëntatie voor wiskundeleraren, tweede deel, G r o n i n g e n .

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

De ALS Liga heeft afgelopen donderdag een cheque van 20.000 euro uit het fonds ‘A cure for ALS’ overhandigd aan de Leuvense profes- soren Wim Robberecht, Philip Van Damme en Ludo

Gratis toegang voor leden van VOS/ABB en de Vereniging Openbaar Onderwijs en studenten en medewerkers van de aangesloten pabo’s. Aanmelden en meer

De meeste auteurs die ondergebracht zijn in de eerste twee lijsten, belijden “christelijk” te zijn ter- wijl zij ketterse leringen en/of gevaarlijke praktijken onderschrijven

V: Je zegt: “Hij heeft de wereld gered door Zijn goddelijk offer” en “Hij moest daarom God zijn”, maar wat is het probleem als God nu ‘gewoon’ Jezus uitgekozen had om het

Toch zou dat de belangrijkste doelstelling van het grammaticaonderwijs moeten zijn: leerlingen moeten dankzij dat onderwijs inzicht opdoen in hoe taal in elkaar zit, en ze moeten

Maar het belangrijkste vind ik de erva- ringen van leerkrachten die met de hierboven genoemde didactische bouwstenen dur- ven te experimenteren, die daar de tijd voor nemen en

Uit bijbehorend onder- zoek zou de voorzichtige conclusie kunnen worden getrokken dat opdrachten waarbij leerlingen creatief schrijven en daarbij literaire begrippen moeten

Gelet daarop heeft de minister van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap (OCW) de Koninklijke Nederlandse Akademie voor Wetenschappen (KNAW) gevraagd om een verkenning uit te