Uitwerking diagnostische toets

(1)

Uitwerking diagnostische toets

1

● Voor waarnemers die ten opzichte van elkaar stilstaan of met constante snelheid bewegen geldt dat de natuurkundige wetten hetzelfde zijn.

● De lichtsnelheid heeft in vacuüm in elk inertiaalsysteem dezelfde waarde en geen enkele snelheid kan groter zijn dan de lichtsnelheid.

2 a

𝑣 = 20

^m/s

b

𝑣 = −20

^m/s

c Zie de figuur hiernaast, met de blauwe lijn voor trein A en de rode lijn voor trein B.

d De voorkant van beide treinen bevindt zich volgens het

𝑥, 𝑡

-diagram op het tijdstip

𝑡 = 5

s op dezelfde plaats. Dit is in overeenstemming met de relatieve snelheden van vraag a en b. Voor het overbruggen van een onderlinge afstand van 100 m heeft trein B met een relatieve snelheid van 20 m/s een tijdsduur van 100/20 = 5 s nodig.

3

a Inertiaalsystemen zijn referentiesystemen die zich met een constante snelheid ten opzichte van elkaar bewegen.

b Bij twee inertiaalsystemen die ten opzichte van elkaar bewegen, is voor een waarnemer in het ene systeem de tijdsduur van een proces in het andere systeem langer, het proces verloopt voor de waarnemer langzamer.

c Als de verticale lichtklok in de trein staat, noteert de waarnemer op het perron de langste tijdsduur. Als de lichtklok op het perron staat, noteert de waarnemer in de trein de langste tijdsduur.

d Bij twee inertiaalsystemen die ten opzichte van elkaar bewegen, is voor een waarnemer in het ene systeem een lengte in het andere systeem in de bewegingsrichting korter.

e Als de (horizontale) lichtklok in de trein staat, noteert de waarnemer op het perron de kleinste afstand. Als de lichtklok op het perron staat, noteert de waarnemer in de trein de kleinste afstand.

4

a Gammafactor:

𝛾 =

_√( _{/ )}

=

_√( _, ₎

= 1,12

b Het ruimteschip heeft een lengte

𝐿 = 50

^m.

De waarnemer in het ruimtestation neemt een lengte

𝐿′ = =

_,

= 45

^{m waar.}

c Het ruimtestation heeft een lengte

𝐿 = 250

^m.

De waarnemer in het ruimteschip neemt een lengte

𝐿′ = =

_,

= 223

^{m waar.}

d Voor de waarnemer op het ruimtestation is de tijdsduur

∆𝑡 = 30

^s.

De waarnemer in het ruimteschip neemt een tijdsduur

∆𝑡 = 𝛾 ∙ ∆𝑡 = 1,12 × 30 = 34

^{s waar.}

5

a Voor de waarnemer op aarde is de tijdsduur van de reis in zijn referentiesysteem:

∆𝑡 = = 8,70 × 𝑐/0,600 ∙ 𝑐 = 14,5

^j

b Voor de waarnemer op aarde is de afstand

𝐿 = 8,70

lj. Voor de waarnemer in het ruimteschip is die afstand

𝐿 =

, met (in dit geval)

𝛾 = 1,25

^{. Dus:}

𝐿 =

^,_,

= 6,96

^lj

c Voor de waarnemer op aarde is de tijdsduur

∆𝑡 = 14,5

j (zie vraag a).

De waarnemer in het ruimteschip neemt een tijdsduur

∆𝑡 = 𝛾 ∙ ∆𝑡 = 18

,1 j waar.

K4 Relativiteitstheorie

Ruimtetijd | vwo

(2)

Zie de figuur hieronder.

7

Zie de figuur hiernaast: de gebeurtenis L is te vinden door het tekenen van de wereldlijnen (blauw) van lichtsignalen door de gebeurtenissen A en B. De aanname daarbij is dat de lamp het licht in alle richtingen uitzendt. De lamp staat dus op een afstand van 1 ls van waarnemer W1 en gaat aan op het tijdstip

𝑡 = 3

^s.

8

a Zie de figuur hiernaast. R1 stuurt op

𝑡 = 0

s een lichtsignaal naar R2, en R2 stuurt bij ontvangst van dat lichtsignaal onmiddellijk een lichtsignaal terug naar R1.

b Zie de figuur hiernaast. De gebeurtenissen op de tijdlijn (paarse streeplijn, evenwijdig aan de ruimte’-as (paars) in het systeem van R1 en R2) zijn gelijktijdig voor R1 en R2.

c R1 en R2 nemen twee gebeurtenissen gelijktijdig waar, die voor een waarnemer op het ruimtestation S op twee verschillende tijdstippen plaatsvinden. Gelijktijdigheid is dus niet absoluut, maar hangt af van de bewegingstoestand van de waarnemer.

d In het stelsel van de twee ruimteschepen (die niet ten opzichte van elkaar

bewegen) is het heengaande lichtsignaal even lang onderweg als het teruggaande

lichtsignaal. In het stelsel van het ruimtestation heeft het signaal van R1 naar R2 meer tijd nodig dan andersom.

e Zie de figuur hiernaast: in het stelsel van de twee ruimteschepen wordt hun onderlinge afstand (de paarse dubbele pijl) gemeten langs de ruimte’-as (paars) van hun stelsel.

9

a 𝑣 = 4 ∙ 𝑐/8 = 0,5 ∙ 𝑐

b Zie de figuur hiernaast. De ruimte’-as (paars) is te vinden door de tijd’-as (rood) te spiegelen ten opzichte van de diagonaal (de blauwe wereldlijn van een lichtsignaal).

c Voor de waarnemer in het ruimtestation S is de volgorde van de drie gebeurtenissen in zijn systeem: eerst C, dan B en ten slotte A.

d Voor de waarnemer in het ruimteschip R vinden eerst de gebeurtenissen C en B gelijktijdig plaats (de beide gebeurtenissen liggen op dezelfde tijdlijn (paarse streeplijn), evenwijdig aan de ruimte’-as (paars) van het systeem van R) en daarna A.

(3)

a Zie de figuur hiernaast. De gebeurtenissen A en B liggen op een tijdlijn (paars gestreept) van het systeem van W2, de ruimte’-as (paars) van dit systeem is daaraan evenwijdig, en de tijd’-as (rood) van dit systeem volgt uit spiegelen van de ruimte’-as ten opzichte van de diagonaal (de wereldlijn (blauw) van een lichtsignaal. Zie ook opgave 9b en d.

b

𝑣 = 2 ∙ 𝑐/6 = 0,33 ∙ 𝑐

11

a Zie de figuur hiernaast.

b Zie de figuur hiernaast.

c De tijdlijnen in het systeem van de waarnemer in het ruimteschip snijden de verticale tijd-as in de tijdstippen 0, 1,5 en 3,0 s. Met (in dit geval)

𝛾 = 1,155

^zijn

dit de tijdstippen 0, 1,73 en 3,46 s in het systeem van de waarnemer in het ruimteschip. Voor deze waarnemer is de frequentie van de lichtflitsen dus

𝑓 = =

_,

= 0,578

^Hz.

12

a Zie de figuur hiernaast. Teken eerst de wereldlijn van het ruimteschip R en ook zijn (paarse) ruimte-as, door spiegeling van zijn wereldlijn om de wereldlijn van een lichtsignaal door de oorsprong. Op een willekeurige tijdlijn (paars gestreept, evenwijdig aan de (paarse) ruimte’-as) in het systeem van het ruimteschip R geldt voor de afstanden: AB = 0,6 ∙ AC (omdat de snelheid

𝑢

van de raket Ra

0,60 ∙ 𝑐

^is

ten opzichte van het ruimteschip R). Daarmee is de (groene) wereldlijn van de raket Ra te tekenen.

b Zie de figuur hiernaast. Uit de helling van deze (groene) wereldlijn volgt voor de snelheid van de raket Ra ten opzichte van het ruimtestation S:

𝑤 = 5 ∙ 𝑐/6 = 0,8 ∙ 𝑐

^.

c Voor de snelheid

𝑤

waarmee de raket zich van het ruimtestation verwijdert geldt, met

𝑣 = 0,40 ∙ 𝑐

^en

𝑢 = 0,60 ∙ 𝑐

^:

𝑤 =

₍ ⁽ _{∙ / )}⁾

=

₍^{( ,} _{, × , )}^{, )∙}

= 0,81 ∙ 𝑐.

13

Voor de snelheid 𝑤 waarmee het licht zich ten opzichte van de aarde beweegt geldt, met

𝑣 = 0,20 ∙ 𝑐

^en

𝑢 = 𝑐

^:

𝑤 =

₍ ⁽ _{∙ / )}⁾

=

₍⁽ _{× , )}^{, )∙}

= 𝑐.

14

De rustmassa

𝑚

van het elektron is 0,511 MeV.

Dan is de totale energie van het elektron na het versnellen:

𝐸 = 0,511 + 1,50 = 2,01

^MeV.

Massa elektron, met

𝐸 = 𝑚 ∙ 𝑐

^:

𝑚 = =

^{, ∙}_{( , ∙}^{× , ∙}₎

= 3,57 ∙ 10

kg, ofwel

𝑚 = 3,92 ∙ 𝑚 .

Snelheid elektron, met

𝐸 = 𝛾 ∙ 𝐸

^:

𝛾 = =

_,^,

= 3,93.

𝛾 =

_{( / )}

= 3,93 → 𝑣 = 0,967 ∙ 𝑐

^{, ofwel}

𝑣 = 2,90 ∙ 10

^m/s

(4)

a Zie de figuur hiernaast.

b Zie de figuur hiernaast. Op een willekeurige tijdlijn (paars gestreept, evenwijdig aan de (paarse) ruimte’-as) in het systeem van deeltje D1 geldt:

𝑤 = ( ) ∙ 𝑐 → 𝑤′ = 0,95 ∙ 𝑐

^.

c Voor de onderlinge snelheid

𝑤′

waarmee de deeltjes uit elkaar gaan en dus ook elkaar naderden geldt, met

𝑢 = 𝑣 = 0,75 ∙ 𝑐

^:

𝑤′ =

₍ ⁽ _{∙ / )}⁾

=

₍^{( ,} _{, × , )}^{, )∙}

= 0,96 ∙ 𝑐.

16

a Bij een kleinere frequentie hoort een grotere waargenomen golflengte: er is dus sprake van een roodverschuiving, en het sterrenstelsel beweegt zich van de aarde af.

b Klassieke dopplerformule, met

𝜆 = 2,0 ∙ 𝜆

^{, en dus}

∆𝜆 = 𝜆

^:

𝑣 = (

^∆

) ∙ 𝑐 = 𝑐.

Volgens de klassieke dopplerformule zou de snelheid van het sterrenstelsel in dit geval gelijk zijn aan de lichtsnelheid, en dat is niet mogelijk.

c Relativistische dopplerformule, met

𝑓 = 0,50 ∙ 𝑓

^:

𝑓 = 0,50 ∙ 𝑓 = 𝑓 ∙

⁽₍ ⁾₎

→ 𝑣 = 0,60 ∙ 𝑐

^{, ofwel}

𝑣 = 1,8 ∙ 10

^m/s.