Uitwerking Rekenen en algebra (.pdf 345 kb)

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Maerlant College Brielle

1

5 oktober 2009

Inhoudsopgave

1 Rekenen met gehele getallen 7

1.1 De gehele getallen . . . 7

1.2 Optellen . . . 7

1.3 Opgaven . . . 8

1.4 Aftrekken . . . 10

1.5 Opgaven . . . 11

1.6 Gemengde opgaven optellen en aftrekken . . . 12

1.7 Vermenigvuldigen . . . 14 1.8 Opgaven . . . 15 1.9 Delen . . . 17 1.10 Opgaven . . . 17 1.11 Delen op nul . . . 17 1.12 Opgaven . . . 17

1.13 Delen door nul . . . 18

1.14 Nul gedeeld door nul . . . 18

1.15 Machtsverheffen . . . 18

1.16 Opgaven . . . 18

1.17 Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal . . . 19

1.18 Opgaven . . . 19

1.19 Delen van machten met hetzelfde grondtal . . . 20

1.20 Opgaven . . . 20

1.21 Machten van machten . . . 20

1.22 Opgaven . . . 20

1.23 Combinaties van bewerkingen . . . 21

1.24 Opgaven . . . 21

2 Breuken 23 2.1 De breuk . . . 23

2.2 Opgaven . . . 24

2.3 Optellen van breuken . . . 26

2.4 Opgaven . . . 26

2.5 Aftrekken van breuken . . . 29

2.6 Opgaven . . . 29

2.7 Vermenigvuldigen van breuken . . . 32 3

2.8 Opgaven . . . 32

2.9 Delen van breuken . . . 34

2.10 Opgaven . . . 34

2.11 Een deel van een deel . . . 36

2.12 Opgaven . . . 36 2.13 Decimale schrijfwijze . . . 37 2.14 Opgaven . . . 37 2.15 Procenten . . . 39 2.16 Opgaven . . . 39 3 Korter schrijven 45 3.1 Opgaven . . . 45

3.2 Optellen met letters . . . 47

3.3 Opgaven . . . 47

3.4 Meer letters . . . 48

3.5 Opgaven . . . 49

4 Rekenen met letters 51 4.1 Opgaven . . . 51

4.2 Aftrekken . . . 53

4.3 Opgaven . . . 53

4.4 Het tegengestelde van x+y . . . 58

4.5 Opgaven . . . 58 4.6 Vermenigvuldigen . . . 61 4.7 Opgaven . . . 61 4.8 Delen . . . 63 4.9 Opgaven . . . 63 4.10 Machten . . . 65 4.11 Opgaven . . . 65

4.12 Delen van machten . . . 66

4.13 Opgaven . . . 66

4.14 Machten van machten . . . 68

4.15 Opgaven . . . 68

4.16 Vereenvoudigen van breuken met letters . . . 70

4.17 Opgaven . . . 70

4.18 Optellen en aftrekken van breuken . . . 71

4.19 Opgaven . . . 72

4.20 Vermenigvuldigen van breuken . . . 73

4.21 Opgaven . . . 73 4.22 Haakjes wegwerken I . . . 75 4.23 Opgaven . . . 75 4.24 Haakjes wegwerken II . . . 78 4.25 Opgaven . . . 78 4.26 (a + b)2 _{. . . 82} 4.27 Opgaven . . . 82 4.28 (a + b)(a − b) . . . 83

INHOUDSOPGAVE 5 4.29 Opgaven . . . 83 4.30 Haakjesvaria . . . 87 5 Ontbinden in factoren 89 5.1 Ontbinden in factoren I . . . 89 5.2 Opgaven . . . 89 5.3 Ontbinden in factoren II . . . 91 5.4 Opgaven . . . 91 5.5 Ontbinden allerlei . . . 94 6 Breuken 99 6.1 Vereenvoudigen . . . 99

6.2 Optellen en aftrekken van breuken met letters . . . 102

6.3 Opgaven . . . 102

6.4 Breuken met letters vermenigvuldigen en delen . . . 105

Hoofdstuk 1

Rekenen met gehele getallen

1.1

De gehele getallen

De getallen 0, 1, 2, 3, 4, ... heten de natuurlijke getallen. Ze worden aangegeven met het symbool N De natuurlijke getallen kunnen we op een lijn zetten: de getallenlijn.

Met natuurlijke getallen kunnen we ieder tweetal getallen bij elkaar optellen. Maar als je alleen natuurlijke getallen gebruikt kun je niet ieder tweetal getallen van elkaar aftrekken.

Zo kun je 5 − 3 wel uitrekenen als je alleen Natuurlijke getallen gebruikt, maar 3 − 5 niet. De rij getallen op de getallenlijn kunnen we naar links uitbreiden:

De getallen ..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, .... heten de gehele getallen. Ze worden aangegeven met het symbool Z

De getallen 1, 2, 3, .. heten de positieve gehele getallen. Ze worden aangegeven met het symbool Z+

De getallen ..., −4, −3, −2, −1 heten de negatieve gehele getallen. Ze worden aangegeven met het symbool Z−

Twee getallen, zoals 3 en -3 of 4 en -4, die slechts van teken verschillen heten elkaars

tegenge-stelde.

1.2

Optellen

Om na te gaan hoe je met gehele getallen kunt optellen zo dat het optellen met gehele getallen een voortzetting is van het optellen met natuurlijke getallen maken we volgende tabel:

4 + 3 = 7 4 + 2 = 6 4 + 1 = 5

4 + 0 = 4 4 + −1 = 3 4 + −2 = 2 4 + −3 = 1 4 + −4 = 0 4 + −5 = −1 4 + −6 = −2 4 + −7 = −3

De getallen 3 en 4 in 3 + 4 = 7 heten de termen. Het getal 7 heet de somvan 3 en 4.

We zien dat optellenmet een getal hetzelfde resultaat geeft als aftrekkenmet het tegengestelde.

De eigenschap dat je bij het optellen van natuurlijke getallen, bijvoorbeeld 4 + 6 de volgorde van de termen mag verwisselen: 4 + 6 = 6 + 4, heet de commutatieve eigenschap van het optellen. Omdat de gehele getallen een uitbreiding zijn van de natuurlijke getallen spreken we voor het optellen van gehele getallen af, dat we ook voor die getallen de volgorde in de optelling mogen verwisselen. Bijvoorbeeld: 4 + −6 = −6 + 4

1.3

Opgaven

Som 1

Schrijf het tegengestelde op van: a. Het tegengestelde van −3 is 3 b. Het tegengestelde van4 is −4 c. Het tegengestelde van−5 is 5 d. Het tegengestelde van6 is −6

e. Het tegengestelde van12 is −12 f. Het tegengestelde van−32 is 32 g. Het tegengestelde van32 is −32 h. Het tegengestelde van−34 is 34 Som 2

Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit: a. 2 + 3 = 5 b. −2 + 3 = 1 c. −4 + 8 = 4 d. 8 + −3 = 5 e. 5 + −2 = 3 f. 6 + −3 = 3 g. −3 + −5 = −8 h. −1 + −5 = −6 Som 3

1.3. OPGAVEN 9 a. 6 + −4 = 2 b. −8 + 5 = −3 c. −4 + −5 = −9 d. −12 + 11 = −1 e. −7 + 9 = 2 f. −4 + −6 = −10 g. 12 + −8 = 4 h. 4 + −7 = −3 Som 4

Schrijf de opgave over en bereken: a. −5 + −8 = −13 b. 19 + −11 = 8 c. −17 + 38 = 21 d. −9 + −25 = −34 e. −4 + 7 = 3 f. 4 + −7 = −3 g. 4 + −7 = −3 h. 4 + 7 = 11 Som 5

Schrijf de opgave over en bereken: a. −3 + 8 = 5 b. 6 + −7 = −1 c. −5 + −4 = −9 d. −9 + 6 = −3 e. 16 + −15 = 1 f. 23 + −24 = −1 g. −1 + −5 = −6 h. 1 + −7 = −6 Som 6

Schrijf de opgave over en bereken: a. 13 + −6 = 7 b. −4 + −4 = −8 c. 2 + −2 = 0 d. 7 + −1 = 6 e. −11 + −7 = −18 f. 5 + −5 = 0 g. −8 + 9 = 1 h. −10 + −10 = −20 Som 7

Schrijf de opgave over en bereken: a. 6 + −5 + −4 = −3

b. −3 + 7 + −4 = 0

c. 8 + −10 + 7 = 5 d. 4 + −4 + 4 = 4

e. 9 + −4 + 7 = 12 f. 9 + 7 + −4 = 12

g. 7 + 9 + −4 = 12 h. −4 + 9 + 7 = 12 Som 8

Schrijf de opgave over en bereken: a. 7 + −3 + −4 = 0 b. −3 + −4 + −5 = −12 c. 3 + −3 + 0 = 0 d. 4 + −5 + 6 = 5 e. −1 + −2 + −3 = −6 f. −3 + 4 + −5 = −4 g. −2 + −2 + −2 = −6 h. −5 + −5 + −5 = −15 Som 9

Schrijf de opgave over en bereken: a. 17 + 24 + −11 + 1 = 31 b. 6 + −4 + −9 + 2 = −5 c. −14 + 7 + 11 + 2 = 6 d. −3 + 9 + −7 + 5 = 4 e. 3 + 28 + −7 + −4 = 20 f. 12 + −10 + −6 + 4 = 0 g. 19 + 38 + −64 + 25 = h. −18 + −75 + 12 + −21 Som 10

Schrijf de opgave over en bereken: a. 9 + −5 + −3 = 1 b. −6 + 9 + 5 = 8 c. −6 + 19 + 5 = 18 d. 4 + −11 + 8 = 1 e. 15 + −3 + 11 = 23 f. 10 + 5 − 4 = 11 g. 7 + 12 + −6 = 13 h. 4 + 19 + −11 = 12

1.4

Aftrekken

Hoe je gehele getallen van elkaar kunt aftrekken zo dat het aftrekken met gehele getallen een voortzetting is van het aftrekken met natuurlijke getallen maken we volgende tabel:

4 − 3 = 1 4 − 2 = 2 4 − 1 = 3 4 − 0 = 4 4 − −1 = 5 4 − −2 = 6

1.5. OPGAVEN 11 4 − −3 = 7

4 − −4 = 8

Dus: aftrekken met een getal levert hetzelfde resultaat als optellen met het tegengestelde.

1.5

Opgaven

Som 11

Schrijf de opgave over en bereken: a. 2 − 3 = −1 b. −2 − 3 = −5 c. −4 − 8 = −12 d. 8 − −3 = 11 e. 5 − −3 = 8 f. −3 − −5 = 2 g. −1 − −5 = 4 h. −8 − −2 = −6 Som 12

Schrijf de opgave over en bereken a. 17 − 4 = 13 b. 18 − 19 = −1 c. 14 − 20 = −6 d. 13 − 6 = 7 e. 6 − 13 = −7 f. 11 − 28 = −17 g. 17 − 15 = 2 h. 30 − 45 = −15 Som 13

Schrijf de opgave over en bereken: a. 0 − 7 = −7 b. −1 − 12 = −13 c. −5 − 14 = −19 d. −15 − 8 = −23 e. −11 − 25 = −36 f. 17 − 38 = −21 g. −17 − 38 = −55 h. −24 − 1 = −25 Som 14

Schrijf de opgaven over en bereken: a. 12 − −43 = 55

b. 34 − −54 = 88

c. −12 − −67 = 55 d. −45 − 23 = −68

e. −455 − −123 f. −867 − 435

g. −294 − 857 h. 645 − −746 Som 15

Schrijf de opgave over en bereken: a. −38 − 43 − −83 b. 73 − 27 − 68 c. −1 − 2 − 3 − 4 = −10 d. 0 − −2 = 2 e. 0 − −3 = 3 f. 1 − −2 − −3 − −4 = 10 g. −12 − −12 − 12 = −12 h. 12 − 12 − 12 = −12

1.6

Gemengde opgaven optellen en aftrekken

Som 16

Schrijf de som over en bereken a. 4 + −8 = −4 b. 18 − 11 = 7 c. −13 − 9 = −22 d. −10 + −15 = −25 e. 11 − 19 = −8 f. −24 + 16 = −8 g. 35 − −9 = 44 h. 12 − 24 = −12 Som 17

Schrijf de som over en bereken a. −7 − −7 = 0 b. 16 − 14 = 2 c. 29 + −19 = 10 d. 23 − −11 = 34 e. −14 − 14 = −28 f. −20 + −10 = −30 g. 16 − −1 = 17 h. 0 − −8 = 8 Som 18

Schrijf de som over en bereken a. 12 − 13 = −1

b. −12 − 13 = −25

c. 13 − −12 = 25

1.6. GEMENGDE OPGAVEN OPTELLEN EN AFTREKKEN 13 e. −12 − −13 = 1 f. −12 + 13 = 1 g. 12 + −13 = −1 h. −13 + −12 = −25 Som 19

Schrijf de som over en bereken a. 4 − −3 + −5 b. −9 − 16 − 11 c. −13 − −11 − 24 d. 15 + −8 − 7 e. 25 − 17 − −18 f. −14 − −11 − 13 g. 7 − 38 − 15 h. 11 + 19 − −10 Som 20

Schrijf de som over en bereken: a. 14 − 18 + 12 b. 7 + −9 − 13 c. 24 − −11 − 15 d. 19 + 25 − 12 e. −33 − −14 − 1 f. −16 + 38 − −10 g. 14 − 19 − −21 h. −12 + −15 − 15 Som 21

Schrijf de som over en bereken: a. 28 − 45 + 17 b. −12 − 15 − −8 c. 6 − −2 − 2 d. −14 + 17 − −5 e. 37 − 19 − −11 f. 25 − −13 + 9 g. −8 − 8 − −8 h. 7 − −13 − 17 Som 22

Schrijf de som over en bereken a. 22 + −18 − −14 b. −15 + 16 − 17 c. 41 − 25 − 28 d. −17 + 8 − 12 e. 38 + 17 − 20 f. 45 − 10 − 29 g. 18 + −23 − 12 h. −14 − 14 − 14

Som 23

Schrijf de som over en bereken a. −3 − −5 + 11 b. 8 − 6 − 8 c. 14 + −17 − 17 d. −9 + 9 − 9 e. 27 − −11 − 15 f. 16 + −14 − −3 g. −38 − 37 − 36 h. 10 + −27 + 9 Som 24

Schrijf de som over en bereken a. −1 − −1 − 1 b. 7 + 4 − −8 c. −5 + −5 + −5 d. 6 + −8 − 12 e. 11 − 7 − 15 f. −10 − 20 + 25 g. −13 + 26 − 13 h. −5 + 47 − −8 Som 25

Schrijf de som over en bereken a. 19 + −15 − 7 − −2 b. 31 − 18 − −5 + 12 c. −26 − 14 − 19 + 7 d. 17 + 11 − −10 − 3 e. −5 − 5 − −5 + 5 f. 7 + −12 − 9 + 4 g. 16 − 8 − 24 + 14 h. −7 − 13 − 19 − 25

1.7

Vermenigvuldigen

Gehele getallen kun je net zo vermenigvuldigen als gehele getallen. We maken volgende tabel: 4 × 3 = 12 4 × 2 = 8 4 × 1 = 4 4 × 0 = 0 4 × −1 = −4 4 × −2 = −8 4 × −3 = −12 4 × −4 = −16 4 × −5 = −20

1.8. OPGAVEN 15 Zoals 4 × 3 = 3 × 4 spreken we af dat deze eigenschap ook geldt voor vermenigvuldigen met gehele getallen:

4 × −2 = −2 × 4

Met deze eigenschap kunnen we de volgende tabel maken:

−4 × 3 = −12 −4 × 2 = −8 −4 × 1 = −4 −4 × 0 = 0 −4 × −1 = 4 −4 × −2 = 8 −4 × −3 = 12 −4 × −4 = 16 −4 × −5 = 20

We zien dat voor vermenigvuldigen met gehele getallen geldt: positief getal × positief getal = positief getal

positief getal × negatief getal = negatief getal negatief getal × positief getal = negatief getal negatief getal × negatief getal = positief getal

1.8

Opgaven

Som 26

Schrijf de sommen over en bereken a. 4 × 7 = 28 b. −4 × 7 = −28 c. 15 × −8 = −120 d. 7 × −9 = −63 e. −6 × −12 = 72 f. 9 × −11 = −99 g. 8 × 6 = 48 h. 7 × −5 = −35 Som 27

Schrijf de som over en bereken a. 14 × −5 = −70 b. 9 × −12 = −108 c. −6 × −13 = 78 d. 11 × 11 = 121 e. −4 × −8 = 32 f. 3 × −12 = −36 g. −7 × 7 = −49 h. −15 × 5 = −75

Som 28

Schrijf de som over en bereken a. 6 × −18 = −108 b. −5 × 5 = −25 c. 12 × −3 = −36 d. −9 × −9 = 81 e. −7 × −14 = 98 f. 12 × −12 = −144 g. 13 × −7 = −91 h. −5 × −10 = 50 Som 29

Schrijf de som over en bereken: a. 16 × 4 = 64 b. −15 × −6 = 90 c. 18 × −5 = −90 d. −17 × 4 = −68 e. 3 × −19 = −57 f. 11 × 13 = 143 g. −14 × −8 = 112 h. 15 × −4 = −60 Som 30

Schrijf de som over en bereken a. 6 × 8 × −3 = −144 b. 7 × −5 × −2 = 70 c. −9 × 10 × 3 = −270 d. 7 × −8 × −4 = 226 e. −5 × −2 × −8 = −80 f. −3 × 7 × −5 = 105 g. 4 × −4 × −4 = 64 h. −10 × −11 × 3 = 330 Som 31

Schrijf de som over en bereken a. 7 × 7 × −2 = −98 b. 9 × −5 × −4 = 180 c. −6 × 6 × −6 = 216 d. 4 × −5 × 6 = −120 e. 7 × 8 × −1 = −56 f. −3 × −6 × 9 = 162 g. −5 × −8 × −6 = −240 h. −2 × −3 × 0 = 0

1.9. DELEN 17

1.9

Delen

12 4 = 3, omdat 3 × 4 = 12 Daarom is 12 −4 = −3: Immers −3 × −4 = 12 Zo is: −12 −4 = 3 omdat 3 × −4 = −12 −12 4 = −3 omdat −3 × 4 = −12

1.10

Opgaven

Som 32

Schrijf de opgave over en reken uit: a. −15 5 = −3 b. ₋₇14 = −2 c. −24 8 = −3 d. 36 6 = 6 e. −48 16 = −3 f. −64₈ = −8 g. 45 −5 = −9 h. −45 −9 = 9 Som 33

Schrijf de opgave over en reken uit: a. ₋₁₆144 = −9 b. −162 18 = 9 c. −2226 53 d. −2226 53 e. 6450₋₇₅ f. −6450 75 g. 5208 62 h. −5208 62

1.11

Delen op nul

0 3 = 0, want 0 = 3 × 0. Net zo is 0 4 = 0 en 1270 = 0

1.12

Opgaven

Som 34

a. 0 6 = 0 b. 0 −3 = 0 c. 0 −1000 = 0 d. 0 −200 = 0

1.13

Delen door nul

3 0 =?

Welk getal kan er op de plaats van het vraagteken staan? Als je op de plaats van ? een getal denkt, dan moet 0×? = 2. Maar je ziet dat er op de plaats geen enkel getal gezet kan worden. Dus: Delen door nul kan niet.

1.14

Nul gedeeld door nul

0 0 =?

Wel getal kan er op de plaats van ??.

Voor zo’n getal moet gelden: 0×? = 0. Maar dan kan op de plaats van ? ieder getal staan. Daarom zeggen we 0₀ kan niet.

1.15

Machtsverheffen

54_{is de korte schrijfwijze van 5 × 5 × 5 × 5}

Een uitdrukking als 54_{heet een macht.}

De 5 heet het grondtal De 4 heet de exponent Voorbeelden: 1. 43_{= 4 × 4 × 4 = 64} 2. (−3)4_{= −3 × −3 × −3 × −3 = 81} 3. Pas op: −34_{= −3 × 3 × 3 × 3}

1.16

Opgaven

Som 35

Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht. a. 22_{= 4} b. 23_{= 8} c. 24_{= 16} d. 25_{= 32} e. 26_{= 64} f. (−2)2_{= 4}

1.17. VERMENIGVULDIGEN VAN MACHTEN MET HETZELFDE GRONDTAL 19 g. (−2)3_{= −8 h. (−2)}4_{= 16}

Som 36

Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht. a. (−2)3_{= −8} b. (−2)4_{= 16} c. (−2)5_{= −32} d. (−2)6_{= 64} e. −22_{= −4} f. −23_{= −8} g. −24_{= −16} h. −25_{= −32} Som 37

Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht. a. 32_{= 9} b. 33_{= 27} c. 34_{= 81} d. 35_{= 243} e. 36_{= 729} f. (−3)2_{= 9} g. (−3)3_{= −27} h. (−3)4_{= 81} Som 38

Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht. a. (−3)3_{= −27} b. (−3)4_{= 81} c. (−3)5_{= −243} d. (−3)6_{= 729} e. −32_{= −9} f. −33_{= −27} g. −34_{= −81} h. −35_{= −243}

1.17

Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal

Omdat 74_{= 7 × 7 × 7 × 7 en 7}5_{= 7 × 7 × 7 × 7 × 7is} 74_{× 7}5_{= 7 × 7 × 7 × 7} | {z } 4 f actoren 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7_{| {z }} 5 f actoren 7 = 79

Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigt, dan moet je de

expo-nenten van die machten bij elkaar optellen.

1.18

Opgaven

Som 39

a. 34_{× 3}6_{= 3}10 b. 105_{× 10}6_{= 10}11 c. 42_{× 4}3_{= 4}7 d. 77_{× 7}7_{= 7}14 e. 134_{× 13}8_{= 13}12 f. 1203_{× 120}4_{= 120}7 g. 1224_{× 12}12_{× 12}10_{= 12}46 h. 5 × 52_{× 5}3_{. . . × 5}9_{× 5}10_{= 5}24

1.19

Delen van machten met hetzelfde grondtal

712

74 = 78 omdat 712= 78× 74

Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal op elkaar deelt, dan moet je de exponenten van die machten van elkaar aftrekken.

1.20

Opgaven

Som 40

Schrijf als ´e´en macht: a. 39 33 = 36 b. 512 53 = 59 c. 47 4 = 46 d. 1212 1211 = 12 e. 106 102 = 104 f. 1245 1234 = 1211 g. 155 153 = 152 h. 2222 2221 = 22

1.21

Machten van machten

754_{heet een macht van een macht. Het is de 4-de macht van 7}5

754_{= 7}5_{× 7}5_{× 7}5_{× 7}5

| {z }

4 f actoren 75

= 720

Als je een macht van een macht wilt schrijven als ´e´en macht, dan moet je de exponenten van de beide machten met elkaar vermenigvuldigen.

1.22

Opgaven

Som 41

Schrijf de machten als macht van ´e´en grondtal: a. 745_{= 7}20

b. 222_{= 2}4

c. 234_{= 2}12

1.23. COMBINATIES VAN BEWERKINGEN 21 e. −234_{= 2}12

f. (−4)53_{= (−4)}15

g. 3456_{= 3}120

h. (−3)456_{= (−3)}120

1.23

Combinaties van bewerkingen

Gevraagd: Bereken 4 + 5 × 6.

Omdat 5 × 6 betekent 6 + 6 + 6 + 6 + 6 moet je bij 4 + 5 × 6 eerst 5 × 6 uitrekenen en dan pas bij de uitkomst 4 optellen.

Dus vermenigvuldigen gaat voor optellen. 4 + 5 × 6 =

4 + 30 = 34

Zou je toch eerst 4 en 5 willen optellen, dan moet je haakjes gebruiken: (4 + 5) × 6 = 9 × 6 = 54

1.24

Opgaven

Som 42 Bereken: a. 4 × 5 + 6 = 20 + 6 = 26 b. 4 + 5 × 6 = 4 + 30 = 34 c. 4 + 5 × 6 + 7 = 4 + 30 + 7 = 41 d. 4 + 5 + 6 × 7 = 4 + 5 + 42 = 51 e. 4 × 5 + 6 × 7 = 20 + 42 = 62 f. (4 + 5) × 6 + 7 = 9 × 6 + 7 = 54 + 7 = 61 g. 4 + 5 × (6 + 7) = 4 + 5 × 13 = 4 + 65 = 69 h. (4 + 5) × (6 + 7) = 9 × 13 = 117 Som 43 Bereken: a. (4 − 5) × (6 + 7) = −1 × 13 = −13 b. 4 − 5 × 6 + 7 = 4 − 30 + 7 = −19 c. 4 − 5 × 6 = 4 − 30 = −26 d. −4 − 5 × −6 = −4 + 30 = 26 e. (4 − 5) × −6 = −1 × −6 = 6 f. (−4 − 5) × −6 = −9 × −6 = 54 g. 4 − 5 + 6 × −7 = 4 − 5 − 42 = −43 h. 4 − 5 + −6 × −7 = 4 − 5 + 42 = 41 Som 44 Bereken

a. −4 + 5 − 6 × 7 = −4 + 5 − 42 = −41 b. −4 + 5 × −6 + 7 = −4 − 30 + 7 = −27 c. −4 − 5 × −6 − 7 = −4 + 30 − 7 = 19 d. (5 − 7) × −2 = −2 × −2 = 4 e. (5 − 9) × (5 − 11) = −4 × −6 = 24 f. 5 × 9 − 5 × 11 = 45 − 55 = −10 g. (5 − 8) × 3 − 10 = −3 × 3 − 10 = −9 − 10 = −19 h. (4 − 6) × −2 + 3 = −2 × −2 + 3 = 4 + 3 = 7 Som 45 Bereken a. 12+8 −5 = −520 = −4 b. −48+18 −4−1 =−30−5 = 6 c. 24−123 6−8 = 24−4−2 = −10 d. 4×3+1 −1+2×7 = −1+1412+1 = 1 e. 5×8+9×5 1+2×8 = 40+451+16 =8517 = 5 f. 5×(9+8)×5_40−16−1 = 5×17×5 23 = g. 4 +12+8 5 −−3−312−5 = 4 +205 −−67 = 8 +67 = 867 h. 5×−6×7 (3−2−1)×3 =−2100 = kanniet

Hoofdstuk 2

Breuken

2.1

De breuk

Hieronder zie je hoe je op een getallenlijn de deling 6

3 je kunt voorstellen.

Het deel van de getallenlijn vanaf 0 tot en met 6 is in drie gelijke delen verdeeld. Ieder deel heeft de lengte 2 en het eerste deel loopt van 0 tot en met 2, precies het getal 2 = 6

3.

Zoals 6

3 kun je ook van de deling 13 een voorstelling maken:

De uitkomst van de deling 1

3 noemen we de breuk 13. Het getal 1 in de breuk heet de teller.

Het getal 3 in de breuk heet de noemer.

Twee breuken met dezelfde noemer heten gelijknamige breuken. Dat 1₃ =2₆ kun je in het volgende plaatje zien:

Gevolg:

Als je de teller en de noemer van een breuk door hetzelfde getal(niet nul) deelt dan blijft de waarde van die breuk gelijk.

Als je de teller en de noemer van een brei met hetzelfde getal(niet nul) vermenigvuldigt dan blijft de waarde van die breuk gelijk.

Een breuk vereenvoudigje door de teller en de noemer door hetzelfde (meestal gehele) getal te delen. Met de uitdrukking 33

4 bedoelen we 3 +34

Voor 33₄ kunnen we ook 1₅4 schrijven.

2.2

Opgaven

Som 46

Laat met een getallenlijn zien: a. 10 5 = 2 b. 10 2 = 5 c. −8 4 = −2 d. −1 3 = −13 e. 33 4 =154 Som 47

Vereenvoudig de volgende breuken zover mogelijk: a. 4 20 = 15 b. ₃₀5 = 1₆ c. 15 18 = 56 d. −9 12 = −34 e. −8 12 = −23 f. 48₆₄ = 3₄ g. 40 60 = 23 h. −30 45 = −23

2.2. OPGAVEN 25 Som 48 Vereenvoudig a. 12₂₁ = 4₇ b. 16 24 = 23 c. 7 7 = 1 d. 11 33 = 13 e. 40₁₅ = 8₃ f. 8 34 = 174 g. 46 13 = is niet te vereenvoudigen h. 48 16 = 3 Som 49 Vereenvoudig a. 60 16 = 154 b. 44 16 = 114 c. 44 6 = 223 d. 144 12 = 12 e. 144 24 = 6 f. 303 202 =32 g. 46 184 = h. 25 172 = Som 50

Vul het ontbrekende getal in: a. 4 13 = 2891 b. 1 6 = 1166 c. 7 10 = 4970 d. 7 23 = 1446 e. 7 23 = 2169 f. 23 4= 2432 g. 45 6= 8096 h. 7 9 = 6381

2.3

Optellen van breuken

Hieronder zie je op een getallenlijn de voorstelling van 2₃+5₃ =7₃

Om twee breuken, waarvan de noemers gelijk zijn, op te tellen moet je de tellers van die breuken bij elkaar optellen en de noemers blijven gelijk.

Voorbeeld Om 2

4+34 uit te rekenen moeten de breuken eerst gelijknamig gemaakt worden: 2 3 = 128 3 4 = 129 Dus: 2 4+34= 8 12+129 =1712 Voorbeeld: Bereken 12 3+ 335 Uitwerking: 12 3= 53 33 5= 185 Dus: 5 3+185 =2515+5415 =7915 = 5154

2.4

Opgaven

Som 51 Leg uit hoe je 4

5+58 uitrekent. Som 52 Bereken a. 2 3+25 = 1015+156 = 1615 b. 1 4+12 = 14+24 = 34

2.4. OPGAVEN 27 c. 11 4+12= 114+24 = 134 d. 1 8+12 = 18+48 = 58 e. 2 3+18 = 1624+243 = 1924 f. 2 3+58 = 1624+1524 = 3124 g. 12 3+16= 146+16 = 156 h. 12 3+ 216 = 146+ 216 = 356 Som 53 Bereken a. 15 6+14= 11012+123 = 11312 = 2121 b. 11

4+56= 2121Gaat over dezelfde getallen als a.

c. 11 9+56= 1364 +3036 = 13436 = 11718 d. 21 9+34= 2364 +2736 = 23136 e. 23 4+ 279 = 22736+ 22836 = 45536 = 51936 f. 11 4+ 245 = 1205 + 21620 = 32120 = 4201 g. 5 6+ 117= 3542+ 1426 = 14142 h. 1 7+18 = 568 +567 = 1556 Som 54 Bereken a. 61 3+ 1214 = 6217 + 1214 = 71121 b. 82 3+301 = 82030 +301 = 82130 = 8107 c. 41 6+301 = 4305 +301 = 4306 = 415 d. 1 25+1001 =1004 +1001 = 1005 = 201 e. 21 2+1001 = 210050 +1001 = 210051 f. 15 6+307 = 12530 +307 = 13230 = 2151 g. 61 7+ 716 = 6426 + 7427 = 131342 h. 5₁₁8 + 1₅₅4 = 540₅₅+ 1₅₅4 = 644₅₅ = 64₅ Som 55 Bereken

a. 1 4+12 = 14+24 = 34 b. 11 4+12 = 134 c. 1 8+12 = 18+48 = 58 d. 1 8+14 = 18+28 = 38 e. 2 3+18 = 1624+243 = 1924 f. 2₃+5₈ = 16₂₄+15₂₄ = 31₂₄ = 1₂₄7 g. 12 3+16 = 146+16 = 156 h. 12 3+56 = 146+56 = 196 = 212 Som 56 Bereken a. 2 15+35 = 152 +159 = 1115 b. 2 15+56 = 304 +2530 = 2930 c. 2 15+107 = 304 +2130 = 2530 =56 d. 21 5+59 = 2459 +2545 = 23445 e. 1 + 7 13 = 1137 f. 3 8+ 112 =38+ 148 = 178 g. 15 24+ 2127 = 1245 + 21424 = 31924 h. 19 13+ 2394 = 12739+ 2394 = 33139 Som 57 Bereken a. 61 3+ 1214 = 6217 + 1214 = 71121 b. 82 3+301 = 82030+301 = 82130 = 8107 c. 41 6+301 = 4305 +301 = 4306 = 415 d. 1 25+1001 = 1004 +1001 = 1005 = 201 e. 7 25+101 = 1450+505 = 1950 f. 21 2+1007 = 10050 +1007 =10057 g. 1 60+307 = 601 +1460 = 1560 =14 h. 2 5+307 = 1230+307 = 1930

2.5. AFTREKKEN VAN BREUKEN 29

2.5

Aftrekken van breuken

Hieronder zie je op een getallenlijn de voorstelling van 7₃−5₃ =2₃.

Om twee breuken, waarvan de noemer gelijk is, van elkaar af te trekken moet je de tellers van die breuken van elkaar aftrekken en de noemers blijven gelijk.

2.6

Opgaven

Som 58

Maak de tekening met een getallenlijn om te laten zien dat 2

3−73 = −53. Som 59 Bereken a. 1 6−56 = −46 = −23 b. 6 7−27 = 47 c. 2 7−67 = −47 d. 7 15−1315 = −156 = −25 e. 14 19−195 = 199 f. 5 19− 11419= −1199 g. 13 7−57= 107 −57 =57 h. 23 7− 167 = 1107 − 167 = 147 Som 60 Bereken a. 1 3−16 = 26−16 = 16

b. 1 6−13 = 16−26 = −16 c. 11 3−15 = 1155 −153 = 1152 d. 11 5−13 = 1153 −155 = 1815−155 = 1315 e. 1₃− 11₅ =₁₅5 −18₁₅ = −13₁₅ f. 1 5− 113 =153 −2015 = −1715 = −1152 g. 1 5−13− 1 = 153 −155 −1515 = −1152 h. 1 −1 3−15 =1515−155 −153 =157 Som 61 Bereken a. 1 7−141 = 142 −141 = 141 b. 11 14−17 =1514−142 =1314 c. 23 14−17 = 2143 −142 = 2141 d. 45 6−78 = 42024−2421 = 34424−2124 = 32324 e. 11 12−1124 = 2224−1124 = 1124 f. 211 24−1112= 21124−2422 = 13524−2224 = 11324 g. 13 8−125 = 1249 −2410 = 3324−1024= 2324 h. 3 8−125 = 249 −1024 = −241 Som 62 Bereken a. 1 4−12 = 14−24 = −f rac14 b. 11 4−12 = 114−42 = 54−24 =34 c. 1 8−12 = 18−48 = −38 d. 1 8−14 = 18−28 = −18 e. 2₃−1₈ = 16₂₄−₂₄3 = 13₂₄ f. 2 3−58 = 1624−1524 = 241 g. 12 3−16 = 1128 −122 = 1126 = 112 h. 12 3−56 = 1128 −1012 = 2012−1012= 1012 =56 Som 63

2.6. OPGAVEN 31 Bereken a. 2 15−35 = 152 −159 = −157 b. ₁₅2 −5₆ = ₃₀4 −25₃₀ = −21₃₀ c. 2 15−107 = 304 −2130 = −1730 d. 21 5−59= 459 −2545 = −1645 e. 1 − 7 13 =1313 −137 = 136 f. 3 8− 112= 38−128 = −98 = −118 g. 15 24− 2127 = 1245 − 21424 = 2924−6224 = −3324 = −1247 h. 19 13− 2394 = 12739− 2394 = 1 +2739− 2 − 394 = −1 +2339= −1639 Som 64 Bereken a. 61₃− 1₂₁4 = 6₂₁7 − 1₂₁4 = 5₂₁3 = 51₇ b. 82 3−301 = 82030 −301 = 81930 c. 41 6−301 = 4305 −301 = 4304 = 4152 d. 1 25−1001 =1004 −1001 = 1003 e. 7 25−101 = 1450−505 = 509 f. 21 2−1007 = 210050 −1007 = 210043 g. 1 60−307 = 601 −1460 = −1360 h. 2 5−307 = 1230−307 = 305 =16

2.7

Vermenigvuldigen van breuken

Voor de vermenigvuldiging van de breuken 2₅ en 3₇ maken we de volgende afspraak: 2 5× 3 7 = 6 35

Twee breuken vermenigvuldig je door: teller × teller en noemer × noemer. Zo is: 22 3 × 3 1 5 = 8 3× 16 5 = 128 15 = 8 8 15 Een geheel getal zoals 4 kun je ook al een breuk zien: 4

1.

Dan is 4 ×1 5 =45

2.8

Opgaven

Som 65

Bereken en vereenvoudig het antwoord a. 2 3×15 = 152 b. 2 3×49 = 278 c. 2 63× 63 7 = 27 d. 63₈×2 63 = 14 e. 5 69× 69 25 = 15 f. 1 2×12 = 14 g. 7 611× 611 25 = 257 h. 7 11×1323 = 25391 Som 66

Bereken en vereenvoudig het antwoord a. 1

2.8. OPGAVEN 33 b. 1 6×56 = 365 c. 1 66× 66 5 = 15 d. 65₆₆×66₆₅ = 1 e. 0 3×47 = 0 f. 3 8×169 = 12827 g. 3 8×169 = 631 681×616 2 693 =2₃ h. 11 2× 112 = 32×32 = 94 = 214 Som 67

Bereken en vereenvoudig het antwoord a. 12 3× 215 = 53×115 = 113 = 323 b. 22 3× 115 = 83×65 = 4815 = 315 c. 31 4× 1131 =134 ×1314 = 18254 = 32054= 31027 d. 17 13× 314 =2013 ×134 = 5 e. 21 6× 216 = 136 ×136 = 16936 = 42536 f. 11 3× 258 = 641 631 ×621 7 682 =7₂ = 31₂ g. 6 7× 159= 67×149 =43 = 113 h. 11 4× 112 = 54×32 = 158 = 178

2.9

Delen van breuken

1 2 1 8 = 4 Want 4 ×1 8 = 1 2 Als we de uitdrukking 1 2 1 8

ook als breuk beschouwen, dan weten we dat we de teller en de noemer met hetzelfde getal mogen vermeningvuldigen: 1 2 1 8 = 1 2× 8 1 8× 8 = 1 2× 8 1 = 4 1 = 4 Belangrijk is het stukje:

1 2 1 8 =1 2 × 8 Daarom zeggen we:

Delen door een breuk (hier 1

8 levert hetzelfde antwoord als vermenigvuldigen met het omgekeerde

van die breuk ( 8

1 = 8) Zo is dus: 1 2 3 = 1 2 × 1 3 = 1 6

2.10

Opgaven

Som 68 Bereken a. 12 3 = 12×13 = 16 b. 13 3 = 13×13 = 19 c. 37 3 = 37×13 = 17 d. 25 3 = 25×13 = 152 e. 47 3 = 47×13 = 214 f. 112 3 = 32×13 = 12 g. 225 3 = 125 ×13 = 45 h. −225 3 = −125 ×13 = −45

2.10. OPGAVEN 35 Som 69 Bereken a. ₂61 2 = 6 5 2 = 6 1× 2 5 = 12 5 = 2 2 5 b. 6 24 7 = 6 18 7 = × = c. 3 11 5 = 3 6 5 = 3 1×56 = 156 = 212 d. ₄21 6 = 2 25 6 = 2 1× 6 25= 12 25 e. 5 41 6 = 5 25 6 = 5 1×256 = 65 = 115 f. 8 1 4 = 8 1 ×41 = 32 g. 83 4 = 8 1 × 4 3 = 32 3 = 10 2 3 h. 8 4 5 = 8 1 ×54 = 10

2.11

Een deel van een deel

Hieronder is 1₃ deel van de oppervlakte van een rechthoek gearceerd:

Hieronder is van het 1

3 deel nu het 25 deel gearceerd:

Het gearceerde deel is het 2

15 deel van de oorspronkelijke rechthoek.

Dus het 1₃ deel van het 2₅ deel is het 1₃×2₅ =₁₅2 deel van het geheel.

2.12

Opgaven

Som 70

Bereken wel deel van het geheel is: a. 1

3 deel van het 14 deel is 13 ×14 = 121

b. 3

5 deel van het 13 deel is 35 ×13 = 15

c. 2

7 deel van de helft is 27×12 =17

d. 1

5 deel van het 15 deel is 15 ×15 = 251

e. 2

2.13. DECIMALE SCHRIJFWIJZE 37

2.13

Decimale schrijfwijze

In het getal 235 staat de 2 voor 200

de 3 voor 30 de 5 voor 5 Zo kunnen we 2

10 schrijven als 0,2. 1002 als 0,02, 10002 als 0,002.

En zo verder. Willen we 1

4 schrijven als decimale breuk, dan moeten we bepalen hoeveel tienden, hondersten,

duizenden,..., er in 1 4 gaan.

Om uit te rekenen hoeveel tienden er in 1

4 gaan, delen we 14 door 101: 1 4 1 10 = 1 4× 10 = 212 Er gaan dus 2 10 in 14 en je houdt nog: 1 4 − 2 10= 25 100 − 20 100 = 5 100 Dus 1 4 = 2 10+ 5 100

Een staartdeling is de korte, misschien bekende manier van opschrijven van het proces hierboven:

2.14

Opgaven

Som 71

Schrijf de volgende breuken in de decimale schrijfwijze a. 3

8 = 0, 375

b. 11

c. 7 16 = 0, 4375 d. 1 2 = 0, 5 e. 23 32 = 0, 71875 f. 4 41 = 0, 097560 g. 3 7 = 0, 428571 h. 5 43 = 0, 116279069767441860465116279069767441860465 Som 72

Schrijf de volgende breuken in de decimale schrijfwijze a. 5

8 = 0, 625

b. 13

16 = 0, 8125

c. 7

23 = .3043478260869565217391Deze decimale schrijfwijze heeft periode 22. De decimalen zijn

onder andere te vinden door een staartdeling te maken. d. 1 7 = 0, 142587 e. 23 12 = 1.916 f. 4 53 = .0754716981132 g. 3 7 = 428571 h. 5 57 = .0877192982456140350 Som 73

Schrijf de volgende getallen als een breuk a. 0, 45 = 45 100 = 509 b. 0, 54 =₁₀₀54 = 27₅₀ c. 0, 30 = 30 100 = 103 d. 0, 75 = 75 100 = 34 e. 0, 72 = 72 100 = 1825 f. 0, 65 = ₁₀₀65 = 13₂₀ g. 0, 3030 = 3030 10000 = h. 0,1875

2.15. PROCENTEN 39

2.15

Procenten

De oorsprong van het woord pro-cent is per honderd Als je leest: 1

4 is 1 per 4, dan is 1 per 4 gelijk aan 25 per 100. Het aantal per 100 is het percentage

Dus 1 4= 25%

Om een breuk, zoals hier 1

4 in de vorm van procenten te schrijven, kun je als volgt te werk gaan:

• schrijf de breuk (hier 1

4)in decimale vorm: 0,25

• dit betekent 25 100 • en dus is 1 4 = 25% Zo is 35% van 83 is dus 35 100 × 83 = 0, 35 × 83 = 29, 05

2.16

Opgaven

Som 74

Schrijf de volgende breuken als procenten a. 1 2 = 12× 100% = 50% b. 1 8 = 18× 100% = 12, 5% c. 1 3 = 13× 100% = 33, 3% d. 2 7 = 27× 100% = 28, 6% e. 3 4 = 34× 100% = 75% f. 5 16 = 165 × 100% = 31, 25% g. 4 10 = 104 × 100% = 40% h. 4 9 = 49× 100% = 44, 4% Som 75

Schrijf de volgende breuken als procenten a. 2 5 = 25× 100% = 40% b. 5 12 = 125 × 100% = 41, 7% c. 2₃ = 2₃× 100% = 66, 7% d. 5₇ = 5₇× 100% = 71, 4% e. 3 2 = 32× 100% = 150%

f. 7 16 = 167 × 100% = 43, 75% g. 8 10 = 108 × 100% = 80% h. 2 9 = 29× 100% = 22, 2% Som 76

Schrijf de volgende percentages als breuk a. 10% = 10 100 =101 b. 15% = 15 100 =203 c. 25% = 25 100 =14 d. 40% = 40 100 =25 e. 45% = 45 100 =209 f. 12, 5% = 12,5₁₀₀ = 1 8 g. 65% = 65 100 =1320 h. 83% = ₁₀₀83 Som 77 Bereken a. 5% van 27 is 5 100× 27 = 1, 35 b. 8% van 120 is 8 100× 120 = 9, 6 c. 14% van 746 is14 100× 746 = 104, 4 d. 36 % van 847 is 36 100× 847 = 304, 92 e. 83% van 839 is 83 100× 839 = 696, 37 f. 124% van 748 is 124 100× 748 = 927, 52 g. 210 % van 3748 is 210₁₀₀× 3748 = 7870, 8 h. 0,12 % van 0,25 is 0,12₁₀₀ × 0, 25 = 0, 0003 Som 78

Hoeveel procent is: a. 2 van 3 is 2 3× 100 = 66, 7% b. 3 van 2 is 3 2× 100 = 150% c. 20 van 50 is 20 50× 100 = 40% d. 20 van 500 is 20 500× 100 = 4%

2.16. OPGAVEN 41 e. 78 van 183 is 78 183× 100 = 42, 6% f. 183 van 78 is 183 78 × 100 = 234, 6% g. 0,34 van 8 is 0,34₈ × 100 = 4, 25% h. 9,2 van 8,73 is _8,739,2 × 100 = 105, 4% Som 79

De prijs en de korting in procenten van de prijs zijn gegeven.Bereken de nieuwe prijs: a. De prijs is 23 euro. De korting is 12%

De korting is 23 × 0, 12 = 2, 76 De nieuwe prijs is 20,24 euro.

b. De prijs is 123 euro. De korting is 15% De korting is 123 × 0, 15 = 18, 45 De nieuwe prijs is 104,55 euro.

c. De prijs is 343 euro. De korting is 38% De korting is 343 × 0, 38 = 130, 34 De nieuwe prijs is 212,66 euro.

d. De prijs is 533 euro. De korting is 63% De korting is 533 × 0, 63 = 335, 79 De nieuwe prijs is 197,21 euro.

e. De prijs is 2 euro. De korting is 11,2% De korting is 2 × 0, 112 = 0, 224 De nieuwe prijs is 1,776 euro.

f. De prijs is 23,34 euro. De korting is 12,4% De korting is 23, 34 × 0, 124 = 2, 89 De nieuwe prijs is 20,45 euro.

g. De prijs is 2304 euro. De korting is 62,5% De korting is 2304 × 0, 625 = 1440 De nieuwe prijs is 864 euro.

h. De prijs is 5423 euro. De korting is 17,1% De korting is 5423 × 0, 171 = 927, 33 De nieuwe prijs is 4495,67 euro. Een uitwerking die korter is:

a. 23 × 100−12 100 = 23 × 0, 88 b. 123 ×100−15 100 = 123 × 0, 85 c. 343 ×100−38₁₀₀ = 343 × 0, 62 d. 533 ×100−63 100 = 533 × 0, 37 e. 2 ×100−11,2 100 = 2 × 0, 88, 8

f. 23, 34 ×100−12,4₁₀₀ = 23, 34 × 0, 876 g. 2304 ×100−62,5₁₀₀ = 2304 × 0, 375 h. 5423 ×100−17,1₁₀₀ = 5423 × 0, 829 Som 80

De prijs en de verhoging in procenten van de prijs zijn gegeven, bereken de nieuwe prijs: a. De prijs is 23 euro. De verhoging is 12%

De verhoging is 23 × 0, 12 = 2, 76 De nieuwe prijs is 25,76 euro

b. De prijs is 123 euro. De verhoging is 15% De verhoging is 123 × 0, 15 = 18, 45 De nieuwe prijs is 141,45 euro.

c. De prijs is 343 euro. De verhoging is 38% De verhoging is 343 × 0, 38 = 130, 34 De nieuwe prijs is 473,34 euro.

d. De prijs is 533 euro. De verhoging is 63% De verhoging is 533 × 0, 63 = 335, 79 De nieuwe prijs is 868,79 euro.

e. De prijs is 2 euro. De verhoging is 11,2% De verhoging is 2 × 0, 112 = 0, 224 De nieuwe prijs is 2,224 euro.

f. De prijs is 23,34 euro. De verhoging is 12,4% De verhoging is 23, 34 × 0, 124 = 2, 89 De nieuwe prijs is 26,23 euro.

g. De prijs is 2304 euro. De verhoging is 62,5% De verhoging is 2304 × 0, 625 = 1440 De nieuwe prijs is 3744 euro.

h. De prijs is 5423 euro. De verhoging is 17,1% De verhoging is 5423 × 0, 171 = 927, 33 De nieuwe prijs is 6350,33 euro. Een uitwerking die korter is:

a. 23 ×100+12 100 = 23 × 1, 12 b. 123 ×100+15 100 = 123 × 1, 15 c. 343 ×100+38 100 = 343 × 1, 38 d. 533 ×100+63 100 = 533 × 1, 63

2.16. OPGAVEN 43 e. 2 ×100+11,2₁₀₀ = 2 × 1, 112 f. 23, 34 ×100+12,4₁₀₀ = 23, 34 × 1, 124 g. 2304 ×100+62,5 100 = 2304 × 1, 625 h. 5423 ×100+17,1₁₀₀ = 5423 × 1, 171 Som 81

De nieuwe prijs en de verhoging in procenten van de oude prijs zijn gegeven. Bereken de oude prijs: a. De nieuwe prijs is 23 euro. De verhoging was 12%

De nieuwe prijs = 1,12 x de oude prijs. De oude prijs was _1,1223 = 20, 54 euro.

b. De nieuwe prijs is 123 euro. De verhoging was 15% De nieuwe prijs = 1,15 x de oude prijs.

De oude prijs was _1,15123 = 106, 96 euro.

c. De nieuwe prijs is 343 euro. De verhoging was 38% De nieuwe prijs = 1,38 x de oude prijs.

De oude prijs was 343

1,38 = 248, 55 euro.

d. De nieuwe prijs is 533 euro. De verhoging was 63% De nieuwe prijs = 1,63 x de oude prijs.

De oude prijs was 533

1,63 = 326, 99 euro.

e. De nieuwe prijs is 2 euro. De verhoging was 11,2% De nieuwe prijs = 1,112 x de oude prijs.

De oude prijs was 2

1,112 = 1, 798 euro.

f. De nieuwe prijs is 23,34 euro. De verhoging was 12,4% De nieuwe prijs = 1,124 x de oude prijs.

De oude prijs was 23,34_1,124 = 20, 77 euro.

g. De nieuwe prijs is 2304 euro. De verhoging was 62,5% De nieuwe prijs = 1,625 x de oude prijs.

De oude prijs was 2304

1,625 = 1417, 85

h. De nieuwe prijs is 5423 euro. De verhoging was 17,1% De nieuwe prijs = 1,171 x de oude prijs.

De oude prijs was 5423

1,171 = 4631, 09 euro.

Som 82

De nieuwe prijs en de korting in procenten van de oude prijs zijn gegeven. Bereken de oude prijs: a. De nieuwe prijs is 23 euro. De korting was 12%

De nieuwe prijs = 0,88 x de oude prijs. De oude prijs is 23

b. De nieuwe prijs is 123 euro. De korting was 15% De nieuwe prijs = 0,85 x de oude prijs.

De oude prijs is 123

0,85 = 144, 71

c. De nieuwe prijs is 343 euro. De korting was 38% De nieuwe prijs = 0,62 x de oude prijs.

De oude prijs is 343

0,62 = 553, 23

d. De nieuwe prijs is 533 euro. De korting was 63% De nieuwe prijs = 0,37 x de oude prijs.

De oude prijs is 533

0,37 = 1440, 54

e. De nieuwe prijs is 2 euro. De korting was 11,2% De nieuwe prijs = 0,888 x de oude prijs.

De oude prijs is 2

0,888 = 2, 25

f. De nieuwe prijs is 23,34 euro. De korting was 12,4% De nieuwe prijs = 0,876 x de oude prijs.

De oude prijs is 23,34_0,876 = 26, 64

g. De nieuwe prijs is 2304 euro. De korting was 62,5% De nieuwe prijs = 0,375 x de oude prijs.

De oude prijs is 2304

0,375 = 6144

h. De nieuwe prijs is 5423 euro. De korting was 17,1% De nieuwe prijs = 0,829 x de oude prijs.

De oude prijs is 5423

Hoofdstuk 3

Korter schrijven

7 + 7 + 7 + 7 = 4 × 7 8 + 8 + 8 + 8 = 4 × 8

−9 + −9 + −9 + −9 = 4 × −9

Zoals de drie regels hierboven kunnen we er nog veel meer opschrijven. Behalve 7 of 8 of 9 kun je ieder getal kiezen. Ook 123:

123 + 123 + 123 + 123 = 4 × 23 Merk op:

Er wordt niets uitgerekend, maar alleen wordt 7 + 7 + 7 + 7 korter geschreven. Omdat het er niet toe doet welk getal je kiest kunnen we ook opschrijven:

a + a + a + a = 4 × a Zo’n uitdrukking betekent:welk getal je ok voor a invult, of het 7 of 8 of 9 of

123 is, altijd is a + a + a + a = 4 × a. Notatie:

In plaats van het × -teken wordt ook wel eens een · gebruikt. Maar meestal schrijft men bij een vermenigvuldiging helemaal niets tussen een getal en een letter.

Dus: a + a + a + a = 4 × a = 4 · a = 4a

3.1

Opgaven

Som 83 Schrijf korter: a. 6 + 6 = 2 × 6 b. 6 + 6 + 6 = 3 × 6 c. 6 + 6 + 6 + 6 = 4 × 6 d. 12 + 12 + 12 = 3 × 12 e. 15 + 15 + 15 + ... + 15_{| {z }} 12keer = 12 × 15 f. 12 + 12 + 12 + ... + 12_{| {z }} 15keer = 15 × 12 g. 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6 × 4 h. 7 + 7 + 7 + 7 = 4 × 7 45

Som 84 Schrijf korter: a. a + a + a = 3 × a = 3a b. a + a + a + a = 4 × a = 4a c. a + a = 2 × a = 2a d. a + a + a + a + a = 5 × a = 5a e. b + b + b + b = 4 × b = 4b f. p + p + p = 3 × p = 3p g. x + x + x + x + x = 5 × x = 5x h. y + y + .. + y | {z } 100keer = 100 × y = 100y Som 85 Bereken voor a = 4 : a. a + a + a = 3a = 3 × 4 = 12 b. a + a = 2a = 2 × 4 = 8 c. a + a + a + a = 4a = 4 × 4 = 16 d. a + a + .. + a_{| {z }} 30keer = 30a = 30 × 4 = 120 e. 4a = 4 × 4 = 16 f. 5a = 5 × 4 = 20 g. 12a = 12 × 4 = 48 h. 130a = 130 × 4 = 520 Som 86 Bereken: a. 4a voor a = 5 is 4 × 5 = 20 b. 3a voor a = −2 is 3 × −2 = −6 c. 2a voor a = −5 is 2 × −5 = −10 d. 5a voor a = −8 is 5 × −8 = −40 e. 6a voor a = 8 is 6 × 8 = 48 f. 8a voor a = 21 2 is 8 × 212 = 20 g. 4a voor a = −21 2 is 4 × −212 = −10 h. 10a voor a = −31 2 is 10 × −312 = −35

3.2. OPTELLEN MET LETTERS 47

3.2

Optellen met letters

4a betekent a + a + a + a 5a betekent a + a + a + a + a Dus 4a + 5a = a + a + a + a+a + a + a + a + a = 9a Net zo is: 20a + 30a = a + a + .. + a_{| {z }} 20keer + a + a + .. + a_{| {z }} 30keer = a + a + .. + a_{| {z }} 50keer = 50a

3.3

Opgaven

Som 87

Bereken (schrijf korter): a. 5a + 7a = 12a b. 5a + 12a = 17a c. 8a + a = 9a d. 12a + 17a = 29a

e. 4x + 8x = 12a f. x + 18x = 19a g. 38x + 57x = 95a h. 14x + 7 = 14x + 7 Som 88 Bereken: a. 5p + 10p = 15p b. 21p + 21p = 42p c. 3p + 5p = 8p d. 2p + p = 3p e. 7q + 15q = 22p f. 3q + 8q = 11q g. 12q + 48q = 60q h. 9q + 16q = 25q Som 89 Bereken: a. 7a + 6a + 4a = 17a b. 8a + a + 10a = 19a c. 9x + 19x + 29x = 57x d. 6p + 23p + 14p = 43p e. 14q + 36q + 11q = 61q f. 9q + 9q + 18q = 36q g. 5m + 16m + 25m = 46m h. 2z + z + z = 4z Som 90 Bereken:

a. 4x + 12x + 15x + 8x = 39x b. 15b + 14b + 13b + 12b = 54b c. 18y + 24y + 30y + 36y = 108y d. p + 2p + 3p + 4p = 10p

e. 12a + 12a + a + 5a = 30a f. 6z + 16z + 26z + 36z = 84z g. 8p + 6p + 4p + 2p = 20p

h. 16m + 33m + 9m + 15m = 73m Som 91

Schrijf de opgave over en bereken: a. 7a + −3a + −4a = 0a = 0 b. −3b + −4b + −5b = −12b c. 3c + −3c + 0c = 0 d. 4d + −5d + 6d = 5d e. −p + −2p + −3p = −6p f. −3q + 4q + −5q = −4q g. −2x + −2x + −2x = −6x h. −5y + −5y + −5y = −15y Som 92

Schrijf de opgave over en bereken: a. 17a + 24a + −11a + 1a = 31a b. 6b + −4b + −9b + 2b = −5b c. −14c + 7c + 11c + 2c = 6c d. −3d + 9d + −7d + 5d = 4d e. 3p + 28p + −7p + −4p = 20p f. 12q + −10q + −6q + 4q = 0 g. 19x + 38x + −64x + 25x = 18x h. −18y + −75y + 12y − 21y = −102y Som 93

Schrijf de opgave over en bereken: a. 9a + −5a + −3a = a b. −6b + 9b + 5b = 8b c. −6c + 19c + 5c = 18c d. 4d + −11d + 8d = d e. 15p + −3p + 11p = 23p f. 10q + 5q − 4q = 11q g. 7x + 12x + −6x = 13x h. 4y + 19y + −11y = 12y

3.4

Meer letters

De uitdrukking a + b kun je niet korter schrijven.

a + b betekent dat je de getallen a en b bij elkaar wilt optellen als je weet hoe groot de getallen a

en b zijn.

De uitdrukking a + a + a + b + b + a + b kun je wel korter schrijven:

a + a + a + b + b + a + b = 4a + 3b.

3.5. OPGAVEN 49

3.5

Opgaven

Som 94

Schrijf de opgave over en bereken: a. 7a + −3b + −4a = 3a − 3b b. −3a + −4a + −5b = −7a − 5b c. 3a + −3a + 0b = 0 d. 4a + −5b + 6a = 10a − 5b e. −1a + −2b + −3b = −a − 5b f. −3x + 4x + −5y = x − 5y g. −2x + −2y + −2y = −2x − 4y h. −5x + −5y + −5x = −10x − 5y Som 95

Schrijf de opgave over en bereken: a. 17a + 24a + −11b + b = 41a − 10b b. 6a + −4b + −9a + 2b = −3a − 2b c. −14a + 7 + 11a + 2 = −3a + 9 d. −3a + 9b + −7b + 5a = 2a + 2b

e. 3a + 28 + −7a + −4b = −4a − 4b + 28 f. 12a + −10b + −6a + 4b = 6a − 6b g. 19a + 38a + −64a + 25b = −7a + 25b h. −18a + −75b + 12b + −21b = −18a − 84b Som 96

Schrijf de opgave over en bereken: a. 9x + −5y + −3y = 9x − 8y b. −6x + 9x + 5y = 3x + 5y c. −6x + 19y + 5y = −6x + 24y d. 4x + −11x + 8y = −7x + 8y

e. 15y + −3y + 11x = 11x + 12y f. 10x + 5x − 4 = 15x − 4 g. 7x + 12 + −6x = x + 12 h. 4y + 19y + −11 = 23y − 11 Som 97

Bereken (schrijf korter):

a. 3a + 7a + 5b + 8b = 10a + 13b b. 12x + 8y + 2y + 4x = 16x + 10y c. 7p + 5q + 15p + 17q = 22p + 22q d. 13n + 5 + 8 + 2n = 15n + 13 e. 14p + p + 8q + 11q = 15p + 19q f. 7 + y + 8 + y = 2y + 15 g. 43a + 16b + 27b + 8a = 51a + 43b h. 17c + 30c + 8d + 17d = 47c + 25d Som 98

a. 4x + 3x + 6y + 5x + y = 12x + 7y b. 9a + 3a + 5b + 6a + 12a = 30a + 5b c. 17m+12m+15m+11n+10n = 44m+21n d. 28q + 17 + 3q + 15q + 23 = 46q + 50

e. 12a + 15 + 26a + 8 + 25a = 63a + 23 f. 6p + 4q + 9q + 12p + 5p = 23p + 4q g. p + 10q + p + 10q + p = 3p + 20q h. 6x + 5x + 13x + 8y + 7x = 31x + 8y Som 99 Bereken: a. 4a + 3b als a = 2 en b = 3 is 4 × 2 + 3 × 3 = 8 + 9 = 17 b. 2a + 5b als a = 3 en b = −2 is 2 × 3 + 5 × −2 = 6 + −10 = −4 c. 3a + 4b als a = −2 en b = −3 is 3 × −2 + 4 × −3 = −6 − 12 = −18 d. 5a + 8b als a = −1 en b = 0 is 5 × −1 + 8 × 0 = −5 + 0 = −5 e. 12a + 15 + 26a + 8 + 25a als a = 2 is 63a + 23 = 63 × 2 + 23 = 149

f. 6p + 4q + 9q + 12p + 5p als p = −2 en q = 3 is 23p + 13q = 23 × −2 + 13 × 3 = −46 + 39 = −7 g. p + 10q + p + 10q + p als p = −1 en q = 1 is 3p + 20q = 3 × −1 + 20 × 1 = −3 + 20 = 17 h. 6x + 5x + 13x + 8y + 7x als x = −1 en y = 0 is 31x + 8y = 31 × −1 + 8 × 0 = −31

Hoofdstuk 4

Rekenen met letters

Twee getallen heten elkaars tegengestelde als hun som nul is. De getallen 7 en −7 zijn dus elkaars tegengestelde:7 + (−7) = 0 Zo zijn de getallen a en −a ook elkaars tegengestelde:a + (−a) = 0 Zo zijn ook 3a en 3(−a) elkaars tegengestelde want:

3a = a + a + a en 3(−a) = −a + −a + −a en a + a + a + −a + −a + −a = 0 Omdat 3(−a) = −3a geldt: 3a + −3a = 0. Dus het tegengestelde van 3a is −3a Voorbeelden: −3a + 8a = 5a 8a + −3a = 5a

4.1

Opgaven

Som 100 Bereken: a. −3a + 8a = 5a b. 6a + −7a = −a c. −5p + −4p = −9p d. −9p + 6p = −3p e. 16x + −15x = x f. 23x + −24x = −x g. −x + −5x = −6x h. x + −7x = −6x Som 101 Los op: a. 13m + −6m = 7m b. −4p + −4p = −8p c. 2x + −2x = 0 d. 7a + −a = 6a 51

e. −11b + −7b = −18b f. 5k + −5k = 0 g. −8k + 9k = k h. −10z + −10z = −20z Som 102 Bereken:

a. 6a + −5a + −4a = −3a b. −3a + 7a + −4a = 0 c. 8p + −10p + 7p = 5p d. 9x + 4x + −7x = 6x

e. 4q + −4q + 4q = 4q f. 7a + −3a + −5a = −a g. −6x + −6x + −6x = −18x h. −4p + −4p + 8p = 0 Som 103 Bereken: a. 17x + 24x + −11x + x = 31x b. 6b + −4b + −9b + 2b = −5b c. −14a + 7a + 11a + 2a = 6a d. −3 + 9 + −7 + 5 = 4 e. 3p + 28p + −7p + −4p = 20p f. 12q + −10q + −6q + 4q = 0 g. 19 + 38 + −64 + 25 = 18 h. −18x + −75x + 12x + −21x = −102 Som 104 Bereken: a. 7p + −4p + 3q = 3p + 3q b. −8x + 12x + 5y = 4x + 5y c. 13a + 5b + −5a = 8a + 5b d. −4p + 12p + 5 = 8p + 5 e. 8x + 15 + −7 = 8x + 8 f. 9a + −5a + 4b = 4a + 4b g. 16p + 11q + −8p = 8p + 11q h. 14p + 17 + −8 = 14p + 9

4.2. AFTREKKEN 53

4.2

Aftrekken

Zoals 7a + 3a = 10a is 10a − 7a = 3a Omdat 10a + −3a = 7a zeggen we

aftrekken is optellen met het tegengestelde.

4.3

Opgaven

Som 105 Bereken: a. 8a − 3a = 5a b. 6a − 7a = a c. −5p − 4p = −9p d. −9p + 6p = −3p e. 16x − 15x = x f. 23x − 24x = −x g. −x − 5x = −6x h. x − 7x = −6x Som 106 Bereken: a. 4q − 5q = −q b. 6p − 12p = −6q c. −4x − 8x = −12x d. −6a − 3a = −9a e. −4y + 12y = 8y f. −9p − 9p = −18p g. 5x − 5x = 0 h. −7z + 4z = −3z Som 107 Bereken: a. 3q − −5q = 3q + 5q = 8q b. 5p − 11p = −6p c. 5p − −11p = 5p + 11p = 16p d. −5p − 11p = −16p e. 11p − 5p = 6p f. −11p − 5p − 16p g. −11p − −5p = −11p + 5p = −6p h. −5p − −11p = −5p + 11p = 6p Som 108 Bereken:

a. 11q − −10q = 11q + 10q = 21q b. 17c + −12c = 17c − 12c = 5c c. 28z − −15z = 28z + 15z = 43z d. −19a + −15a = −34a

e. 14b − 17b = −3b f. −12q + −6q = −18q g. p + −5p = −4p h. 4a − −5a = 4a + 5a = 9a Som 109 Bereken: a. 16c − 11c = 5c b. −23x − 16x = −39x c. −18z − −z = −17z d. −a + −4a = −5a

e. 15p + −14p = p f. −q − q = −2q g. 6a − −5a = 11a h. −17z − −17z = 0 Som 110 Bereken: a. 13a − 15a + 6a = 4a b. 4x − −3x − 2x = 5x c. −6p + 3p − 5p = −8p d. 12q − 10q − 9q = −7q e. 6d − 8d + −5d = −7d f. −10y − 7y − 4y = −21y g. −2b + −14b − 8b = −24b h. 7a − 8a − −a = 0 Som 111 Bereken: a. 5q − −4q + 3q = 12q b. −6a − 8a − −10a = −4a c. 22x + −18x − 16x = −12x d. 12p − 8p + 7p = 11p

e. 16b − −11b − 14b = 41b f. 9y + 13y − 12y = 10y g. −4x − 16x + 7x = −13x h. 6a − −9a + −4a = 11a Som 112 Bereken: a. 14a + 8b − 6a − 3b = 8a + 5b b. 11p − 5q − 8p + 2q = 3p − 3q c. −3x + 5y − 4x − 7y = −7x − 2y d. 8m − 16n − 14n + 4n = 8m − 26n

4.3. OPGAVEN 55 e. 7c − 9d + 6c + 8d = 13c − d f. 14x − 17x − 6y + 11y = −3x + 5y g. 8a − 14b − 9b − a = 7a − 23b h. −6p − 7q − 8q − 9p = −15p − 15q Som 113 Bereken: a. 9c − 4d − −3c + 11d = 12c + 7d b. 6a − 5 − 19 − 6a = −24 c. −7x + −7y − 5x − −5y = −12x − 2y d. 12p − 12q − 17p + 17q = −5p + 5q e. 6y − −7x − 3x − 2y = 4x + 4y f. 14p + 18q − −q + −4p = 10p + 19q g. −2b − 8c − 4b + 2c = −6b − 6c h. 4x − 9x − −y − y = −5x Som 114 Bereken: a. 14p − 8q − −6p + 5p − 3q = 25p − 11q b. 5 + 5z − 7 − −4 − 13 = 5z − 11 c. 4x − −4x + −7y − 5y − x = 7x − 7y d. 11b − 16a − −3a + 2a − 4b = −11a + 7b

e. 3q − 11 − −q − 5q + −2q = −3q − 11 f. 16m − 14m − 11m − 7n + 13n = −9m + 6n g. 8y − 6z − −4y − 6z + y = 13y − 12z h. a − 4b − 9a − −4b + 8a = 0

Som 115

Schrijf de som over en bereken a. 4a + −8a = −4a b. 18b − 11b = 7b c. −13c − 9c = −22c d. −10d + −15d = −25d e. 11p − 19p = −8p f. −24q + 16q = −8q g. 35x − −9x = 44x h. 12y − 24y = −12y Som 116

Schrijf de som over en bereken a. −7a − −7a = 0 b. 16b − 14b = 2b c. 29c + −19c = 10c d. 23d − −11d = 34d e. −14p − 14p = −28p f. −20q + −10q = −30q g. 16x − −1x = 17x h. 0y − −8y = 8y

Som 117

Schrijf de som over en bereken a. 12a − 13a = −a

b. −12b − 13b = −25b c. 13c − −12c = 25c d. −12d − 13d = −25d e. −12p − −13p = p f. −12q + 13q = q g. 12x + −13x = −x h. −13y + −12y = −25y Som 118

Schrijf de som over en bereken a. 4a − −3a + −5a = 2a b. −9b − 16b − 11b = −36b c. −13c − −11c − 24c = −26c d. 15d + −8d − 7d = 0 e. 25p − 17p − −18p = 26p f. −14q − −11q − 13q = −16q g. 7x − 38x − 15x = −46x h. 11y + 19y − −10y = 40y Som 119

Schrijf de som over en bereken: a. 14a − 18a + 12a = 8a b. 7b + −9b − 13b = −15b c. 24c − −11c − 15c = 20c d. 19d + 25d − 12d = 32d e. −33p − −14p − 1p = −20p f. −16q + 38q − −10q = 32q g. 14x − 19x − −21x = 16x h. −12y + −15y − 15y = −42y Som 120

Schrijf de som over en bereken: a. 28a − 45a + 17a = 0 b. −12b − 15b − −8b = −19b c. 6c − −2c − 2c = 6c d. −14d + 17d − −5d = 8d e. 37p − 19p − −11p = 29p f. 25q − −13q + 9q = 47q g. −8x − 8x − −8x = −8x h. 7y − −13y − 17y = 3y Som 121 Bereken:

4.3. OPGAVEN 57 a. 13a − 15a + 6a als a = 2 is 4a = 4 × 2 = 8

b. 4x − −3x − 2x als x = −1 is 5x = 5 × −1 = −5 c. −6p + 3p − 5p als p = −3 is −8p = −8 × −3 = 24 d. 12q − 10q − 9q als q = 1 is −7q = −7 × 1 = −7 e. 6d − 8d + −5d als d = 0 is −3d = −3 × 0 = 0 f. −10y − 7y − 4y als y = 1 2 is −21y = −21 ×12 = −1012 g. −2b + −14b − 8b als b = 5 is −24b = −24 × 5 = −120 h. 7a − 8a − −a als a = 12 is 0a = 0 Som 122 Bereken:

a. 13a − 15a + 6b − 5b als a = 2 en b = 1 is −2a + b = −2 × 2 + 1 = −3 b. 4x − −3y − 2x + 3y als x = −1 en y = 2 is 2x + 6y = 2 × −1 + 6 × 2 = 10 c. −6q + 3q − 5p + q als p = −3 en q = −1 is −5p − 2q = −5 × −3 − 2 × −1 = 17 d. 12q − 10q − 9p − −p als p = 0 en q = 1 is −8p + 2q = 8 × 0 + 2 × 1 = 2 e. 13a − 15a + 6b − 5b als a = 3 en b = −1 is −2a + b = −2 × 3 + −1 = −7

f. 4x − −3y − 2x + 3y als x = −1 en y = −2 is 2x + 6y = 2 × −1 + 6 × −2 = −14 g. −6q + 3q − 5p + q als p = −3 en q = −4 is −5p − 10q = −5 × −3 − 10 × −4 = 55 h. 12q − 10q − 9p − −p als p = 0 en q = −1 is −8p + 2q = −8 × 0 + 2 × −1 = −2

4.4

Het tegengestelde van x+y

Het tegengestelde van x + y is −(x + y) want (x + y) + −(x + y) = 0

Maar: x + y + −x + −y = 0. Dus −(x + y) = −x + −y of −(x + y) = −x − y. Zo is ook: −(2x + 3y) = −2x − 3y −(2x − 3y) = −2x + 3y −(−2x − 3y) = 2x + 3y 5x + −(3x − 4y) = 5x − 3x + 4y = 2x + 4y

4.5

Opgaven

Som 123

Schrijf zonder haakjes: a. −(a + 2b) = −a − 2b b. −(a − 2b) = −a + 2b c. (a − 2b) = a − 2b d. (a + 2b) = a + 2b e. −(−3a − 3b) = 3a + 3b f. −(−2a + 3b) = 2a − 3b g. −(4a − 2b) = −4a + 2b h. −(−4a − 2b) = 4a + 2b Som 124

Schrijf zonder haakjes: a. −(2x + 3y) = −2x − 3y b. −(x − 2y) = −x + 2y c. (x − 3y) = x − 3y d. (x + 3y) = x + 3y e. −(−4x − 5y) = 4x + 5y f. −(−3x + 4y) = 3x − 4y g. −(5x − 3y) = −5x + 3y h. −(−5x − 3y) = 5x + 3y Som 125

Schrijf zo kort mogelijk:

a. 4a − (2a + 2b) = 4a − 2a − 2b = 2a − 2b b. 5b − (a − 2b) = 5b − a + 2b = −a + 7b c. 2a + (a − 2b) = 2a + a − 2b = 3a − 2b d. 6a + (a + 2b) = 6a + a + 2b = 7a + 2b e. 8b − (−3a − 3b) = 8b + 3a + 3b = 3a + 11b

4.5. OPGAVEN 59 f. 2a − (−2a + 3b) = 2a + 2a − 3b = 4a − 3b

g. 4a − (4a − 2b) = 4a − 4a + 2b = 2b h. −2b − (−4a − 2b) = −2b + 4a + 2b = 4a Som 126

Schrijf zo kort mogelijk:

a. 3a − (a + 2b) − 4b = 3a − a − 2b − 4b = 2a − 6b b. 2a − (a − 2b) + 3a = 2a − a + 2b + 3a = 4a + 2b c. a + (a − 2b) − 4b = a + a − 2b − 4b = 2a − 6b d. 4b + (a + 2b) − 2a = 4b + a + 2b − 2a = −a + 6b e. −3a − (−3a − 3b) − 3b = −3a + 3a + 3b − 3b = 0

f. −2a + 3b − (−2a + 3b) = −2a + 3b + 2a − 3b = 0 g. b − (4a − 2b) − a = b − 4a + 2b − a = −5a + 3b h. a − (−4a − 2b) − b = a + 4a + 2b − b = 5a + b Som 127

Schrijf zo kort mogelijk:

a. −(4x + 3y) − (−x + 2y) = −4x − 3y + x − 2y = −3x − 5y b. 3p + −5q − (2p + q) = 3p − 5q − 2p − q = p − 6q c. 6a − 5b − (2a − 4b) = 6a − 5b − 2a + 4b = 4a − b d. 18 − (4c + 7) − (−14 − c) = 18 − 4c − 7 + 14 + c = −3c + 25 e. 7q + 12p − (3p − 5q) − 4q = 7q + 12p − 3p + 5q = 9p + 12q f. 5x − (4y − 6x) + −4x − 3y = 5x − 4y + 6x − 4x − 3y = 7x − 7y g. −4a − (4b − −4a) = −4a − 4b − 4a = −8a − 4b

h. −(5k − 11) − (−12 + 7k) − 3k = −5k + 11 + 12 − 7k = −12k + 23 Som 128

Schrijf zo kort mogelijk:

a. −(5x + 4y) − (−x + 3y) = −5x − 4y + x − 3y = −4x − 7y b. 4p + −6q − (3p + q) = 4p − 6q − 3p − q = −5p − q c. 7a − 6b − (3a − 5b) = 7a − 6b − 3a + 5b = 4a − b

d. 19 − (5c + 8) − (−15 − c) = 19 − 5c − 8 + 15 + c = −4c + 26 e. 8q + 13p − (4p − 6q) − 5q = 8q + 13p − 4p + 6q − 5q = 9p + 9q

f. 6x − (5y − 7x) + −5x − 4y = 6x − 5y + 7x − 5x − 4y = 8x − 9y g. −5a − (5b − −5a) = −5a − 5b − 5a = −10a − 5b

4.6. VERMENIGVULDIGEN 61

4.6

Vermenigvuldigen

3a = a + a + a 4 · 3a = a + a + a_{| {z }} 3 + a + a + a_{| {z }} 3 + a + a + a_{| {z }} 3 + a + a + a_{| {z }} 3 = 12a Anders: 3a = 3 · a, dus 4 · 3 · a = (4 · 3) · a = 12 · a = 12a Daarom is 3a · 4b = 3 · a · 4 · b = 3 · 4 · a · b = 12ab

4.7

Opgaven

Som 129

Schrijf zo kort mogelijk: a. 12a.3 = 36a b. 4x.7y = 28xy c. 6p.5 = 30p d. 8c.4d = 32cd e. 3x.6y = 18xy f. 2p.q = 2pq g. a.8b = 8ab h. 4m.20 = 80m Som 130

Schrijf zo kort mogelijk: a. 14a.3b = 42ab b. 8q.2p = 16pq c. 17.3x = 51x d. 5y.7z = 35yz e. 5k.7 = 35k f. 7p.3q = 21pq g. 11y.z = 11yz h. 6a.4b = 24ab Som 131

Schrijf zo kort mogelijk: a. 5b. − 3c = −15bc b. −2p.7q = −14pq c. −4x. − 6y = 24xy d. 8m.8n = 64mn e. 3a. − 3b = −9ab f. −15x.6y = −90xy g. 12p. − 10q = −120pq h. 9m. − 4 = −36m Som 132

a. 14.3k = −42k b. −11p. − 6q = 66pq c. 10a.8b = 80ab d. −5x.9y = −45xy e. −2y.3x = −6xy f. −6k. − 3m = 18mk g. 5z. − 7 = −35z h. 3b. − 2 = −6b Som 133

Schrijf zo kort mogelijk: a. 5a. − 2b. − 6c = 60abc b. 10x.5y. − 7z = −350xyz c. −4p.q. − 3r = 12pqr d. 7m. − 8n. − 5 = 280nm e. −7x. − 5y. − 2z = −70xyz f. 3p.8q. − 4 = −96pq g. −2a. − 9.4b = 72ab h. 17. − 2c. − 2d = 68cd

4.8. DELEN 63

4.8

Delen

6a 2 = 3a want 2.3a = 6a 6a 2a = 3 want 2a.3 = 6a Zo geldt ook: ab a = b 6ab 2b = 3a 6ab 2ab = 3 −12a 3 = −4a

4.9

Opgaven

Som 134 a. 4a 2 = 2a b. 9b 3 = 3b c. 5c c = 5 d. 4p_2p = 2 e. 12x x = 12 f. 18q_6q = 3 g. 10m 4 = 212m h. 27a 3a = 9 Som 135 a. 16bc 4b = 4c b. 24pq_3q = 8p c. 12mn 4 = 3mn d. 60ab_10ab = 6 e. 48pq_16q = 3p f. 25cd 5c = 5d g. 18ap₃ = 6ap h. 18ap_3a = 6p Som 136 a. 2x 5x = 25 b. _xy4y = 4 x c. 3pq_3q = p d. 5a 10ab =2b1 e. 7pm_7qm =p_q f. 16ab 4ab = 4 g. 8a 6b = 4a3b h. 15qr 30q =r2

Som 137 a. 22pq_33p = 2q₃ b. −17ad 51d = −a3 c. 14m −21m = −23 d. −4a 7b = −4a7b e. 40cd 10c = 4d f. −25a −75a =13 g. _−6q3p = −_2qp h. −15x 30x = −12 Som 138 a. 16b −32ab = −2a1 b. −10x_40x = −1₄ c. −6pq_24pq = −1₄ d. 9a 3b =3ab e. −56 8xy = −xy7 f. _−14qr−28p = 2p_qr g. −7ab −7ac = bc h. 12x −24 = −x2 Som 139 a. 4x.6y_12y = 2x b. 18xy6c 3y = 18xy 6c.3y = xc c. 9ab

3a.5b =15ab9ab =35

d. 10ab6a 5b = 6a. 5b 10ab= 30ab 10ab= 3 e. 30q5q 2pq = 30q 5q.2pq1 = 150pq 2pq = 75 f. 16pq 4p 2p = 16pq 2 = 8pq g. 54p6p 3q =3q9 = 3q h. 18mn 3.3n = 2m