Hoofdstuk 12 : Exponenten en Logaritmen

PARAGRAAF 12.1 : EXPONENTIËLE GROEI

LES 1 EXPONENTIËLE FUNCTIES

DEFINITIE EXPONENTIËLE FUNCTIES

• Algemene formule : N = b · gt _waarbij

b = beginhoeveelheid t = tijd g = groeifactor

• Exponentiële functies gebruik je als :

- Iedere keer met hetzelfde getal vermenigvuldigd wordt (x3) - Iedere keer hetzelfde percentage erbij komt of eraf gaat. ( Iedere keer + 3%  Iedere keer vermenigvuldigen met 1,03)

VOORBEELD 1

Op 1 jan 2003 zet Harrie 500 euro op de bank. Hij krijgt 6% rente per jaar. a. Is dit lineair of exponentieel ? Waarom ?

b. Bepaal de formule en bereken daarmee het bedrag na 5 jaar.

c. Bereken in welk jaar het bedrag voor het eerst meer dan verdubbeld is.

Jan zet op 1 jan 2003 700 euro op de bank. Hij krijgt €50 rente per jaar d. Stel de formule van Jan op

OPLOSSING 1

a. Exponentieel, iedere keer +6%  x 1,06. b. N = 500⋅1,06t_.

c. N(5) = 500⋅1,065 _{= 669,11 (euro’s dus 2 decimalen)}

d. 1000 = 500⋅1,06t

(1) Y1 = 500⋅1,06t _{en Y2 = 1000} (2) Intersect

(3) x =11,9 = 12 jaar (rente krijg je pas aan het einde) Dus in 2003 + 12 = 2015

e. Nu komt er iedere keer een vast bedrag bij (+50). Dus nu een lineaire formule : 𝑦𝑦 = 700 + 50𝑡𝑡

f. Harrie > Jan  _{500 ⋅ 1,06}𝑡𝑡_{> 700 + 50𝑡𝑡}

Eerst oplossen 500 ⋅ 1,06𝑡𝑡 _{= 700 + 50𝑡𝑡}

(1) 𝑌𝑌1 = 500 ⋅ 1,06𝑥𝑥 _{𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑌𝑌2 = 700 + 50𝑥𝑥}

(2) Intersect

(3) x = 21,97 = 22 jaar (rente krijg je pas aan het einde) Dus in 2003 + 22 = 2025

EXTRA:

LES 2 : GROEIFACTOR BEREKENEN

VOORBEELD 1

Een bacterie groeit met 12 % per dag. Bereken de groeifactor en het groeipercentage per a. 2 dagen b. week c. halve dag d. uur OPLOSSING 1 100 + 12 = 112  _{112/100 = 1,12} Groeifactor per dag 1,12

a. 𝑔𝑔 = 1,12 𝑔𝑔2𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑔𝑔2= 1,122= 1,2544 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝑒𝑒𝐺𝐺𝐺𝐺𝑒𝑒𝐺𝐺𝐺𝐺𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝐺𝐺𝑔𝑔𝑒𝑒 = 125,44 − 100 = 25,44% b. 𝑔𝑔 = 1,12 𝑔𝑔𝑤𝑤𝑑𝑑𝑑𝑑𝑤𝑤 = 𝑔𝑔7 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑔𝑔7= 1,127= 2,2107 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝑒𝑒𝐺𝐺𝐺𝐺𝑒𝑒𝐺𝐺𝐺𝐺𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝐺𝐺𝑔𝑔𝑒𝑒 = 221,07 − 100 = 121,07% c. 𝑔𝑔 = 1,12 𝑔𝑔1 2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑔𝑔 1 2= 1,1212= 1,0583 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝑒𝑒𝐺𝐺𝐺𝐺𝑒𝑒𝐺𝐺𝐺𝐺𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝐺𝐺𝑔𝑔𝑒𝑒 = 105,83 − 100 = 5,83% d. 𝑔𝑔 = 1,12 𝑔𝑔𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢= 𝑔𝑔1 24 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑔𝑔 1 24= 1,12 1 24= 1,0047 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝑒𝑒𝐺𝐺𝐺𝐺𝑒𝑒𝐺𝐺𝐺𝐺𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝐺𝐺𝑔𝑔𝑒𝑒 = 100,47 − 100 = 0,47%

VOORBEELD 2

Een andere bacterie verdubbelt in 10 jaar. Bereken het groeipercentage per jaar.

OPLOSSING 2

Je kunt dit op 2 manieren oplossen :

(1) Neem als beginhoeveelheid bijvoorbeeld 100 en gebruik de formule 𝑁𝑁 = 𝑏𝑏 ∙ 𝑔𝑔𝑡𝑡_.

Dit geeft :

100 ∙ 𝑔𝑔10_{= 200}

𝑔𝑔10_{= 2}

𝑔𝑔 = 2101 = 1,072 dus 𝑔𝑔𝐺𝐺𝐺𝐺𝑒𝑒𝐺𝐺𝐺𝐺𝑒𝑒𝐺𝐺𝐺𝐺𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝐺𝐺𝑔𝑔𝑒𝑒 = 7,2%

(2) Het verdubbelt in 10 dagen. Dus 𝑔𝑔10 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2

PARAGRAAF 12.2 GROEIFORMULES

LES 1 : EXPONENTIËLE FORMULE BEPALEN

VOORBEELD 1

Een hoeveelheid neemt exponentieel af. Op 𝑡𝑡 = 3 is 𝑁𝑁 = 505 en op 𝑡𝑡 = 8 is 𝑁𝑁 = 150.

Stel de formule op van N.

OPLOSSING 1

Je kunt een stappenplan gebruiken : (1) Formule 𝑁𝑁 = 𝑏𝑏 ∙ 𝑔𝑔𝑡𝑡

(2) Groeifactor berekenen 𝑔𝑔…𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝐴𝐴𝐴𝐴ℎ𝑡𝑡𝑑𝑑𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑑𝑑_{𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑢𝑢𝑡𝑡𝑡𝑡𝑑𝑑}

(3) Beginwaarde b berekenen door een punt in te vullen (4) Formule opschrijven

(1) Formule 𝑁𝑁 = 𝑏𝑏 ∙ 𝑔𝑔𝑡𝑡

(2) Groeifactor uitrekenen. Dit kan op twee manieren :

(2.1) Neem als beginhoeveelheid 505 en gebruik de formule 𝑁𝑁 = 𝑏𝑏 ∙ 𝑔𝑔𝑡𝑡 _:

150 = 505 ∙ 𝑔𝑔5 _{(of los dit op met intersect)}

𝑔𝑔5₌150 505= 0,297.. 𝑔𝑔 = 0,29715= 0,784 (2.2) 𝑔𝑔5 𝑗𝑗𝑑𝑑𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑 =150₅₀₅= 0,297.. 𝑔𝑔1 𝑗𝑗𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢= 0,297 1 5= 0,784 (methode boek) (3) beginwaarde uitrekenen Je weet 𝑁𝑁 = 𝑏𝑏 ∙ 0,748𝑡𝑡

Punt (3,505) invullen 505 = 𝑏𝑏 ∙ 0,7483 _{(of intersect)}

𝑏𝑏 = _0,78435053 = 1048

LES 2 : VERZADIGINGSNIVEAU BEPALEN

DEFINITIE

• Verzadigingsniveau = { y-waarde waar de formule op termijn naar toe gaat } • Verzadigingsniveau berekenen  t heel groot maken (t = 1000000)

VOORBEELD 1

Beredeneer het verzadigingsniveau en de praktische betekenis van

a. De hoeveelheid medicijn (M) in het bloed gedraagt zich volgens de formule 𝑀𝑀 = 1 + 3 ∙ 0,2𝑡𝑡

b. Het aantal bacteriën (B) groeit volgens de formule 𝐵𝐵 =_6+3∙0,4180 𝑡𝑡

c. Beredeneer of de formule van B stijgend of dalend is.

OPLOSSING 1

a. 𝑡𝑡 ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑔𝑔𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝑡𝑡 ⟹ 3 ∙ 0,2𝑡𝑡 _{≈ 0 ⇒ 1 + 3 ∙ 0,2}𝑡𝑡 _{≈ 1}

Dus het verzadigingsniveau is 1 (gram)

Dit betekent dat er altijd 1 gram medicijn in het bloed blijft !!!

b. 𝑡𝑡 ℎ𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑔𝑔𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝑡𝑡 ⟹ 3 ∙ 0,4𝑡𝑡 _{≈ 0 ⇒ 6 + 3 ∙ 0,2}𝑡𝑡 _{≈ 6 ⇒} 180 6+3∙0,4𝑡𝑡=

180

6 = 30

Het aantal bacteriën (B) gaat op lange termijn naar 30

c. 𝑡𝑡 ↑ ⇒ 0,4𝑡𝑡 _{↓ ⇒ 3 ∙ 0,4}𝑡𝑡 _{↓ ⇒ 6 + 3 ∙ 0,4}𝑡𝑡 _{↓ ⇒} 180 6+3∙0,4𝑡𝑡 ↑

Dus een stijgende functie.

OPMERKING

Je kunt c al beredeneren omdat op t = 0 er 𝐵𝐵 =_6+3∙0,4180 0=180₉ = 20 beestjes zijn en het

PARAGRAAF 12.3 : LOGARITMEN

LES 1 LOGARITMEN

DEFINITIE LOGARITMEN

• _{Hoofdregel : 𝑔𝑔}𝑡𝑡 _{= 𝑏𝑏 ⇔ 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}𝑑𝑑 _{(𝑏𝑏) met domein 𝑏𝑏 > 0}

Voor logaritmen uit je hoofd berekenen gebruik je de hulpregel • _{Hulpregel : 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}𝑑𝑑 _(𝑔𝑔)𝑡𝑡 _{= 𝑡𝑡}

Voorbeeld 1 Bereken uit je hoofd

a. 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔3 _{(9) =} b. log�√27�. 3 c. 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔 �. 2 1₂� Oplossing 1 a. 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔3 _{(9) = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}3 ₍₃2_{) = 2} b. 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔�√27�. 3 = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔�√33� = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔 �(33) 1 2 � = . 3 . 3 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔 �31 1 2 � = . 3 11₂ c. 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔 �. 2 1₂�= 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(2. 2 −1) = −1 Opmerking

Als je op de GR 𝑦𝑦 = log (2𝑥𝑥 + 1)6 _{wil intikken, moet dit als volgt doen :}

PARAGRAAF 12.4 WERKEN MET LOGARITMEN

LES 1 : LOGARITMISCH PAPIER

DEFINITIES

Op logaritmisch papier is :

• de macht lineair (iedere keer + 1)

• _{wordt in een stapje alles 10 keer zo groot}

• _{de formule y = b⋅g}t _{(exponentiële) een rechte lijn !!!!}

VOORBEELD 1

LES 2 : REKENREGELS LOGARITMEN

REKENREGELS LOGARITMEN

De belangrijkste 4 regels zijn :

(1) _{𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}𝑑𝑑 (𝐺𝐺) + 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔𝑑𝑑 (𝑏𝑏) = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔𝑑𝑑 (𝐺𝐺 ∙ 𝑏𝑏) 3𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔 (5) + 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔3 (𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔3 (5𝑥𝑥) (2) 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔𝑑𝑑 _{(𝐺𝐺) − 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}𝑑𝑑 _{(𝑏𝑏) = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}𝑑𝑑 ₍𝑑𝑑 𝑏𝑏) 2𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔 (10) − 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔2 (5) = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔2 ( 10 5) = 1 (3) _{𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}𝑑𝑑 _�𝐺𝐺𝑤𝑤_{� = 𝑘𝑘 ∙ 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}𝑑𝑑 _(𝐺𝐺) 3_{𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(𝐺𝐺}5_{) = 5 ∙ 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}3 _(𝐺𝐺) (4) _{𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}𝑑𝑑 _(𝑔𝑔)𝑡𝑡 _{= 𝑡𝑡} 7_{𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(7)}5 _{= 5}

Er zijn ook nog een aantal regels die handig kunnen zijn :

(5) _{𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}𝑑𝑑 _{(1) = 0} 7_{𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(1) = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}7 ₍₇0_{) = 0}

(6) 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(𝐺𝐺) = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔10 _{(𝐺𝐺) 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(3) = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}10 ₍₃₎

(7) _{𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}𝑑𝑑 (𝐺𝐺) =_{𝑙𝑙𝑉𝑉𝑑𝑑 (𝑑𝑑)}𝑙𝑙𝑉𝑉𝑑𝑑 (𝑑𝑑) 8𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔 (20) =𝑙𝑙𝑉𝑉𝑑𝑑 (20)_{𝑙𝑙𝑉𝑉𝑑𝑑 (8)}

VOORBEELD 1

Bereken exact met de rekenregels a. 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(6)3 _{+ 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(12)}3 b. 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(25)3 _{+ 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(5)}13 c. 2 ∙ 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(6)3 _{− 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(12)}3 ₌ OPLOSSING 1 a. 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(6)3 _{+ 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(12) = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(6 ∙ 12) = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(72)}3 3 3 b. 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(25)3 _{+ 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(5)}13 _{= 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(5}3 2_{)− 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(5) = 2 ∙ 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(5)}3 3 _{− 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(5) = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(5)}3 3 c. 2 ∙ 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(6)3 _{− 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(12)}3 _{= 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(6}3 2_{)− 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(12) = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(36)}3 3 _{− 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(12)}3 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔 �36₁₂� 3 _{= 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔(3) = 1}3 _{{ want 3}1_{= 3 }} VOORBEELD 2

Gegeven is de formule 𝑁𝑁(𝑥𝑥) = 3 + 6 log (𝑥𝑥). Bereken wat er gebeurt met de waarde van N als :

a. De waarde van x verdubbelt. b. De waarde van x halveert.

OPLOSSING 2

a. 𝑁𝑁(2𝑥𝑥) = 3 + 6 log(2𝑥𝑥) = 3 + 6 [ log(2) + log(𝑥𝑥) ] = 3 + 6 log(2) + log(𝑥𝑥) 𝑁𝑁(2𝑥𝑥) = 3 +1,81+ log (𝑥𝑥)

De waarde van N neemt dan altijd met 1,81 toe.

b. 𝑁𝑁 �1₂𝑥𝑥� = 3 + 6 log �1₂𝑥𝑥� = 3 + 6 � log �1₂� + log(𝑥𝑥) � = 3 + 6 log �1₂� + log(𝑥𝑥) 𝑁𝑁(2𝑥𝑥) = 3 −1,81+ log (𝑥𝑥)

PARAGRAAF 12.5 GROEISNELHEID

LES 1 : HET GETAL E

We kijken naar een paar afgeleiden VOORBEELDEN a. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2,5𝑥𝑥 _{→ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0,916 ∙ 2,5}𝑥𝑥 b. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 _{→ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1,10 ∙ 3}𝑥𝑥 c. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2,718. .𝑥𝑥_{= 𝑒𝑒}𝑥𝑥 _{→ 𝑓𝑓 ‘(𝑥𝑥) = 1 ∙ 𝑒𝑒}𝑥𝑥_{= 𝑒𝑒}𝑥𝑥 Dus er geldt 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥 _{→ 𝑓𝑓 ‘(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒}𝑥𝑥 OPMERKING

• Omdat e een getal is (en wel = 2,718…) is e2 _{= 7,389.. ook een getal en dus alle} machten zijn getallen

VOORBEELD 1 Herleid a. 3𝑒𝑒 + 6𝑒𝑒 = b. 3𝑒𝑒2_{∙ 13𝑒𝑒}2 ₌ c. 𝑑𝑑_𝑑𝑑2𝑥𝑥𝑥𝑥₋₃−9 = d. ( 1 + 𝑒𝑒3𝑥𝑥₎2 ₌ OPLOSSING 1 a. 9𝑒𝑒 b. 39𝑒𝑒4 c. 𝑑𝑑_𝑑𝑑2𝑥𝑥𝑥𝑥₋₃−9 =(𝑑𝑑 𝑥𝑥_{−3)(𝑑𝑑}𝑥𝑥₊₃₎ 𝑑𝑑𝑥𝑥₋₃ = 𝑒𝑒𝑥𝑥+ 3 d. ( 1 + 𝑒𝑒3𝑥𝑥₎2 _{= ( 1 + 𝑒𝑒}3𝑥𝑥_{)( 1 + 𝑒𝑒}3𝑥𝑥_{) = 1 + 𝑒𝑒}3𝑥𝑥_{+ 𝑒𝑒}3𝑥𝑥_{+ 𝑒𝑒}6𝑥𝑥 _{= 𝑒𝑒}6𝑥𝑥_{+ 2𝑒𝑒}3𝑥𝑥_{+ 1}

LES 2 : DIFFERENTIËREN VAN E-MACHTEN

DIFFERENTIËREN VAN E-MACHTEN

• _{Hoofdregel voor e-machten : 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒}𝑥𝑥 _{→ 𝑓𝑓}′_{(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒}𝑥𝑥

OPMERKING

• Ook bij e-machten kun je productregel, quotiëntregel of kettingregel nodig hebben!!!

VOORBEELD 1 Differentieer a. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 5𝑒𝑒3𝑥𝑥 b. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥 c. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥2 d. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =3𝑥𝑥−5_𝑑𝑑2𝑥𝑥 OPLOSSING 1 Differentieer a. 𝑓𝑓′_{(𝑥𝑥) = 5𝑒𝑒}3𝑥𝑥_{∙ 3 = 15𝑒𝑒}3𝑥𝑥 b. 𝑓𝑓′_{(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥𝑒𝑒}𝑥𝑥_{+ 4𝑒𝑒}𝑥𝑥 c. 𝑓𝑓′_{(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒}𝑥𝑥2_{∙ 2𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥𝑒𝑒}𝑥𝑥2 d. 𝑓𝑓′_{(𝑥𝑥) =}𝑑𝑑2𝑥𝑥∙2∙(3𝑥𝑥−5)−3𝑑𝑑2𝑥𝑥 𝑑𝑑4𝑥𝑥 = 6𝑥𝑥𝑑𝑑2𝑥𝑥_{−10𝑑𝑑}2𝑥𝑥_−3𝑑𝑑2𝑥𝑥 𝑑𝑑4𝑥𝑥 = 6𝑥𝑥𝑑𝑑2𝑥𝑥_{−13𝑑𝑑}2𝑥𝑥 𝑑𝑑4𝑥𝑥 = 𝑑𝑑2𝑥𝑥_{(6𝑥𝑥−13)} 𝑑𝑑2𝑥𝑥 _∙𝑑𝑑2𝑥𝑥 = 6𝑥𝑥−13 𝑑𝑑2𝑥𝑥

LES 3 : DE NATUURLIJKE LOGARITME { LN(X) }

DEFINITIES LN(X)

• _{𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑥𝑥) = { de natuurlijke logaritme van x }} • _{𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}𝑑𝑑 _(𝑥𝑥)

Omdat ln(x) een logaritme is gelden alle logaritme regels! Bijvoorbeeld : • _{𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑒𝑒}𝑥𝑥_{) = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}𝑑𝑑 _(𝑒𝑒𝑥𝑥_{) = 𝑥𝑥{ 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}𝑑𝑑 _(𝑔𝑔𝑥𝑥_{) = 𝑥𝑥 }}

• _{𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑒𝑒}3_{) = 3}

VOORBEELD 1

Los de volgende vergelijkingen exact op. Denk aan de regel : 𝑔𝑔𝑡𝑡 _{= 𝑏𝑏 ⇔ 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔}𝑑𝑑 _(𝑏𝑏).

a. 𝑒𝑒𝑥𝑥_{= 10} b. 𝑒𝑒2𝑥𝑥+1_{= 18} OPLOSSING 1 a. 𝑒𝑒𝑥𝑥_{= 10} 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔𝑑𝑑 _{(10) = 𝑒𝑒𝑒𝑒(10)} b. 𝑒𝑒2𝑥𝑥+1_{= 18} 2𝑥𝑥 + 1 = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔𝑑𝑑 (18) = 𝑒𝑒𝑒𝑒(18) 2𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑒𝑒(18) − 1 𝑥𝑥 =1₂𝑒𝑒𝑒𝑒(18) −1₂

REKENREGELS LOGARITMEN

De belangrijkste 4 logaritme regels in ln-vorm zijn : (1) 𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝐺𝐺) + 𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑏𝑏) = 𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝐺𝐺 ∙ 𝑏𝑏)

(2) 𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝐺𝐺) − 𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑏𝑏) = 𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑑𝑑_𝑏𝑏)

(3) 𝑒𝑒𝑒𝑒�𝐺𝐺𝑤𝑤_{� = 𝑘𝑘 ∙ 𝑒𝑒𝑒𝑒(𝐺𝐺)}

(4) 𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑒𝑒𝑡𝑡_{) = 𝑡𝑡}

VOORBEELD 2 Herleid tot één vorm a. 𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑒𝑒2_{) =} b. 𝑒𝑒𝑒𝑒(3) + 𝑒𝑒𝑒𝑒(13) = c. 𝑒𝑒𝑒𝑒2_{(𝑒𝑒) + 2 =} d. 𝑒𝑒𝑒𝑒(3) + 2 = OPLOSSING 2 a. 𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑒𝑒2_{) = 2} b. 𝑒𝑒𝑒𝑒(3) + 𝑒𝑒𝑒𝑒(13) = 𝑒𝑒𝑒𝑒(3 ∙ 13) = 𝑒𝑒𝑒𝑒(39) c. 𝑒𝑒𝑒𝑒2_{(𝑒𝑒) + 2 = (𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑒𝑒))}2_{+ 2 = 1 + 2 = 3} d. 𝑒𝑒𝑒𝑒(3) + 2 = 𝑒𝑒𝑒𝑒(3) + 𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑒𝑒2_{) = 𝑒𝑒𝑒𝑒(3𝑒𝑒}2₎

LES 3 : DIFFERENTIËREN VAN DE NATUURLIJKE LOGARITME LN(X)

DEFINITIE DIFFERENTIËREN VAN LOGARITMISCHE FUNCTIES

• _{Hoofdregel : 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒍𝒍𝒍𝒍(𝒙𝒙) → 𝒇𝒇}′_{(𝒙𝒙) =}𝟏𝟏 𝒙𝒙 • _{Hulpregel : 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍𝒍 (}𝒍𝒍 _{𝒙𝒙) → 𝒇𝒇}′_{(𝒙𝒙) =} 𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝒍𝒍𝒍𝒍(𝒍𝒍) VOORBEELD 1 Differentieer a. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑥𝑥) b. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑒𝑒 (𝑥𝑥2_{+ 5𝑥𝑥)} c. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑒𝑒3_(𝑥𝑥) d. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝐺𝐺𝑔𝑔 (3 _{6𝑥𝑥 + 7)} OPLOSSING 1 Differentieer a. 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 ∙ 𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑥𝑥) + 3 ∙1_𝑥𝑥= 3𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑥𝑥) +_𝑥𝑥3 b. 𝑓𝑓′_{(𝑥𝑥) =} 1 𝑥𝑥2_+5𝑥𝑥∙ (2𝑥𝑥 + 5) =(2𝑥𝑥+5)_𝑥𝑥2_+5𝑥𝑥 c. 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3 ∙ 𝑒𝑒𝑒𝑒2_{(𝑥𝑥) ∙}1 𝑥𝑥 { KETTINGREGEL MET u = ln(x) } d. 𝑓𝑓′_{(𝑥𝑥) =} 1 (6𝑥𝑥+7)𝑙𝑙𝑑𝑑(3)∙ 6