Euclides, jaargang 47 // 1971-1972, nummer 4

Maandblad voor

de didactiek

van de wiskunde

Orgaan van

de Nederlandse

Vereniging van

Wiskundeleraren

van Liwenaget

en van

de Wiskunde-

werkgroep

van de w.v.o.

47e jaargang

1971/1972

no 4

december

Wofters Noordhoff

EUCLIDES

Redactie: G. Krooshof, voorzitter - Drs. A. M. Koldijk, secretaris - Dr. W. A. M. Burgers - F. Goifree - Dr. P. M. van Hiele - Drs. J. van Lint - L. A. G. M. Muskens - Dr. P. G. J. Vredenduin.

Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren, van Liwenagel en van de Wiskundewerkgroep van de W.V.O. Het blad verschijnt 10 maal per cursusjaar.

Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

Secretaris: Drs. J. W. Maassen, Traviatastraat 132, Den Haag. Penningmeester en ledenadministratie: Drs. J. van Dormolen, Lange Voort 207, Oegstgeest. Postrekening nr. 143917 t.n.v. Ned. ver. v. Wiskundeleraren, te Amsterdam.

De contributie bedraagt f15,— per verenigingsjaar.

Adreswijziging en opgave van nieuwe leden aan de penningmeester.

Liwenagel

Leden van Liwenagel kunnen zich op Euclides abonneren door aan-melding bij de penningmeester: Dr. C. P. Koene, Willem Klooslaan 20, Heemstede, postrekening t.n.v. Liwenagel nr. 87185.

Wlskundewerkgroep van de W.V.O.

Leden van de groep kunnen zich abonneren op Euclides door aan-melding bij de secretaris: Drs. H. C. Vernout, van Nouhuysstraat 11, Haarlem (N), postrekening 261036 t.n.v. de penningmeester te Voorburg.

Artikelen ter opname worden ingewacht bij G. Krooshof, Dierenriemstraat 12, Groningen, tel. 050-772279. Zij dienen met de machine geschreven te zijn.

Boeken ter recensie aan Dr. W. A. M. Burgers, Prins van Wiedlaan 4, Wassenaar, tel. 01751-3367.

Mededelingen, enz. voor de redactie aan Drs. A. M. Koldijk, Johan de Wittlaan 14, Hoogezand, tel. 05980-3516.

Opgave voor deelname aan de leesportefeuille (buitenlandse tijdschriften) aan Dr. A. J. E. M. Smeur, Prins Alexanderlaan 13, Breda.

Abonnementsprijs voor niet-leden f 15,—. Hiervoor wende men zich tot: Wolters-Noordhoff N.V., Groningen, Postbus 58.

Advertenties zenden aan:

intermedia Groningen N.V., Oude Boteringestraat 22, Groningen, tel. 050-129786-30785.

Prof.'.

Dr. 0. Bottema 70 jaar

Op 25 december 1971 hoopt prof. dr. 0. Bottema zijn zeventigste verjaardag te vieren. We stellen er prijs op aan dit feit in Euclides enige aandacht te besteden in verband met de bijzondere verdiensten van Bottema voor ons tijdschrift. Zijn eerste bijdrage in Euclides bevatte de tekst van de openbare les door hem in 1931 gegeven bij de aanvaarding van het ambt van privaat-docent aan de Groningse universiteit, een van zijn laatste grotere bijdragen handelde over de

Stelling van Pompeïu, waarover hij op de jaarvergadering van Wimecos in 1961

een voordracht had gehouden. 'Maar karakteristiek in de relatie Bottema-Euclides zijn de korte bijdragen die sinds 1945 onder de naam

'Verscheiden-heden' een plaats in ons tijdschrift hebben gevonden: hun aantal heeft de 80

reeds overschreden. In deze lange reeks is het inderdaad de verscheidenheid die opvalt, een verscheidenheid die getuigt van een ongemene belangstelling voor de meest uiteenlopende terreinen op het gebied van de 'wiskunde. Het spel-karakter, dat karakteristiek is voor de belangeloze beoefening van de wiskunde, krijgt door deze bijdragen bijzonder relief. Uiteraard worden dé verscheiden-heden die bestudering vereisen niet door âlle lezers van Euclides doorgewerkt. Maar we weten dat er ook intens belangstellenden zijn die ervan getuigen dat BQttema's bijdragen voor hen de hoofdattractie van ons tijdschrift uitmaken. Op de betekenis van het spelelement voor de beoefening van de wiskunde heeft Bottema nadrukkelijk gewezen in zijn artikel 'Euclides in wonderland'dat in de 27ste jaargang van Euclides werd opgenomen. In dit verband wijzen we er ook nog op, dat Bottema eertijds zijn medewerking verleende bij de samenstelling van de opgaven voor de eerste Wiskunde Olympiade in ons land.

Bottema heeft zijn gehele leven een grote belangstelling aan de dag gelegd voor de problemen waarvoor het wiskundeonderwijs, ook dat van het v.h.m.o. dat hij 17 jaren lang als leraar en als directeur van de h.b.s. te Sappemeer en te Deven-ter diende, hem stelde. Hieraan danken we enkele bijdragen in Euclides. Zijn waardering voor het vraagstuk als didactisch kleinood werd door hem tot uit-drukking gebracht in een lezing over het wiskundig gedeelte van het eind-examen h.b.s. uit de jaren waarin de samenstelling van de opgaven voor dit examen niet buiten hem om tot stand kwam. Van zijn belangstelling voor de problematiek van ons wiskunde-onderwijs'getuigt zijn nog steeds lezenswaar-dige oratie uit 1941 getiteld 'De dienst der wiskunde'. Ook wijzen we erop dat hij in de jaren 1936-1941 docent aan de Leidse universiteit is geweest voor de didactiek van de wiskunde. Zijn'actievé belangstelling voor didactische pro-blemen krijgt bovendien relief door zijn bemoeienissen inzake de instelling van het instituut der instructeurs te Delft, spoedig aan andere universiteiten en hogescholen nagevolgd.

Het herlezen van Bottema's grotere artikelen is een genot, dank zij zijn sprankelende geest die er in doorbreekt, door zijn grote culturele kennis en inzicht, door het telkens weer doorbreken van enge vakwetenschappelijke gren-zen. We prijzen ons daarom gelukkig, dat een aantal van zijn publikaties die

buiten het vakgebied van de wiskunde liggen gebundeld zullen verschijnen in

Steen en schelp, een boekwerk waarvan de verschijning werd aangekondigd ter gelegenheid van het door hem gegeven afscheidscollege op 4juni1971. We wensen prof. Botteina en de zijnen van harte geluk met zijn zeventigste verjaardag en spreken de hoop uit dat het hem gegeven zal zijn zich nog zeer lang te kunnen wijden aan de beoefening van de wetenschap die hem lief is.

Joh. H. Wansink

Ten geleide

Dit nummer van Euclides is aan alle scholen voor m.a.v.o., h.a.v.o. en v.w.o. toegezonden. Dit werd mogelijk gemaakt door de financiële medewerking van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren en de uitgever Wolters-Noordhoff.

Door Dr. Joh. Wansink werd op verzoek van de redactie een lijst samengesteld van boeken die kunnen worden aanbevolen zowel voor de leraren- als voor de leerlingenbibliotheek. Nu namelijk het wiskundeprogramma zo ingrijpend ge-wijzigd is hebben leraren en leerlingen behoefte aan materiaal om zich wat breder te oriënteren in de nieuwe terreinen van wiskundestudie. De leraren om zich een betere achtergrond bij hun lessen te verschaffen. De leerlingen o.a. bij de voorbereiding van keuzeonderwerpen en schooltoetsen. In de meeste school-bibliotheken is nauwelijks iets aanwezig op wiskundig gebied.

Bij het aanvragen van extra credieten voor aanschaffing van de bibliotheek-boeken kan deze lijst goede diensten bewijzen. De prijs voor elk boek afzonder-lijk kon niet vermeld worden, maar wel is een schatting gemaakt voor het totale bedrag, dat voor beide bibliotheken aangevraagd zou kunnen worden.

Van de gelegenheid dat Euclides met dit nummer zich ook aan niet-abonnees presenteert, willen we gebruik maken om even iets over dit blad te vertellen. Het is het officiële orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskun-deleraren (vroeger Wimecos), de groep Liwenagel van het Genootschap van leraren aan Gymnasia en Lycea en van de Wiskunde werkgroep van de Werk-gemeenschap tot Vernieuwing van Opvoeding en Onderwijs.

De Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren heeft sinds kort ook zijn poorten opengezet voor m.a.v.o.-leraren. Er zijn nu ongeveer 500 van deze leraren lid van de vereniging. Voor hen worden speciale voordrachten op de jaarvergadering gehouden en o.a., in verschillende plaatsen van het land bijeen-komsten georganiseerd om de experimentele examens te bespreken. De Wiskunde Werkgroep van de W.V.O. heeft al jarenlang een sterke invloed gehad op de vernieuwing van het wiskunde-onderwijs. In de maandelijkse bijeenkomsten en dikwijls ook de weekend-conferenties zijn allerlei ideeën, die nu in de nieuwe leerplannen verwezenlijkt zijn, voorbereid.

Euclides heeft van de werkzaamheden van de verenigingen voortdurend ver-slagen, voordrachten, lezingen, discussies gepubliceerd.

Daarnaast treft men artikelen aan over de didaktiek van de (nieuwe) wiskunde en zo nu en dan een bijdrage in de geest van 'elementaire wiskunde van hoger standpunt beschouwd'.

In de lopende jaargang zal Euclides niet alleen de hierbij gepubliceerde boekenlijst opnemen, maar eveneens de interimrapporten van de nomen-clatuurcommissie en een dubbelnummer gewijd aan de werkzaamheden van het pas opgerichte Instituut voor Ontwikkeling van Wiskunde-Onderwijs (IOWO), dat gerust een unicum op het gebied van het wiskundeonderwijs genoemd mag worden. Niet alleen landelijk, maar ook internationaal.

Voor hen die geïnteresseerd zijn in het werk van de verenigingen of van Euclides wijzen wij op de adressen vermeld op de binnenzijde van de omslag.

Relaties *

G. KROOSHOF Groningen

Mamma, Piet Ls even oud als mij, hè? 1 Inleiding

Al op zeer jeugdige leeftijd zijn we begonnen relaties te herkennen. Zodra het vergelijken een rol begon te spelen hadden we het over:

is even groot als is even oud als

heeft dezelfde kleur als

maar ook over

is groter dan is ouder dan is goedkoper dan.

Toen we gingen rekenen en later wiskunde bedrijven werd het werken met relaties uitgebreid. Het was een voortzetting van wat we allang gesend waren te doen. Nu leerden we relaties kennen als:

is de helft van is het kwadraat van is groter dan of gelijk aan

of zulke als:

is con gruent met is parallel met staat loodrecht op.

In de 'klassieke' schoolwiskunde werd gewerkt met relaties, zonder dat ze als zodanig door de leerlingen werden herkend. Hun aard en onderlinge samen- hang werden niet opgemerkt. De relaties waren niet het eigenlijke onderwerp * Voordracht gehouden tijdens de jaarvergadering van de Ned. Ver, van Wiskundeleraren 16

van studie. Dat waren de eigenschappen van figuren en de vaardigheden in het hanteren van getallen.

Duidelijk blijkt dit wanneer we bijvoorbeeld letten op de rol die de relatie is

congruent met vroeger speelde en nu is toebedeeld.

De congruentiegevallen waren in de schoolwiskunde van nog-niet-zo-heel-lang-geleden hèt onderwerp van de meetkunde in de eerste klas. Met enkele andere stellingen, bijvoorbeeld die over evenwijdige lijnen gesneden door een derde lijn, vormden ze zo ongeveer het fundament van het bouwwerk meet-kunde, dat altijd nog herinnerde aan de grote bouwmeester Euclides.

Nu wordt er aan de congruentiegevallen geen of nauwelijks aandacht ge-schonken. Soms worden -figuren congruent genoemd als ze 'passen in elkaars opening'. Later wordt gedefinieerd dat figuren die elkaars beeldfiguur kunnen zijn bij zekere meetkundige afbeeldingen, bijvoorbeeld spiegelen, congruent zijn.

Maar de zg. congruente afbeeldingen worden niet in de eerste plaats als bewijs-materiaal gebruikt. Ze zijn zelf onderwerp van studie, bijvoorbeeld wanneer onderzocht wordt welke afbeelding in de plaats kan komen van een spiegeling gevolgd door een tweede.

Een ander aspect van het onderwerp relaties en afbeeldingen komt meteen met dit voorbeeld te voorschijn: het bestrijkt de hele wiskunde, algebra en meet-kunde.

2 De ontwikkeling van het begrip relatie in de schoolwiskunde

In de inleiding zijn voorbeelden van relaties gegeven in de vorm van open beweringen met twee variabelen. Verschillende methoden voor het voortgezet onderwijs maken van deze wijze van introduceren van relaties gebruik. De methode van A tot Z begint op een andere manier. Dadelijk in het eerste stuk van deel 1A wordt gesproken over origineel en beeld, in het tweede hoofd-stuk wordt dan het begrip functie ingevoerd. In deze methode is in deel 1A een functie een voorschrjft, een vaste regel, die je vertelt wat je met de getallen moet doen. Later in de methode worden ook de voorschriften die vertellen wat je met punten in een vlak moet doen (spiegelen, enz.) functies genoemd. Relaties

worden geîntroduceerd via de groter dan- of kleiner dan-relatie.

Bij de ontwikkeling van het begrip relatie of functie is het voorschrjftkarakter daarvan een fase. Een relatie is dan een voorschrift waardoor elementen van een verzameling worden toegevoegd aan elementen van een andere verzame-ling. Toevallig is mij eens' gebleken aat Ieerlingen bij toevoegen soms denken aan 'erbij optellen'. Bij het gebruik van deze uitdrukking moet dus wel rekening worden gehouden met de mogelijkheid van verkeerd begrijpen.

Het voorschriftkarakter van een relatie kan tot uitdrukking worden gebracht door de schrijfwijze met een pijl, bijvoorbeeld x -+ x + 2 of door de schrijfwijze

A EB. -

Ook de tekeningen met pijlen ('Papygrammen') accentueren het voorschrift-karakter.

Geleidelijk aan zal het accent echter wat verlegd worden. Het blijkt dat de zg.

binaire relaties (open beweringen met twee variabelen) aanleiding geven tot het

vormen van geordende paren. De verzameling van deze geordende paren zou men de oplossingsverzameling van de relatie kunnen noemen.

Er hoeft dan nog maar één stap te worden gedaan om over te gaan op de

definitie: Een relatie is een verzameling geordende paren.

Dat is echter voor de leerlingen een grote stap, die zorgvuldig moet worden voorbereid. Het is een veel abstracter definitie dan die waarin een relatie een voorschrift wordt genoemd. Mits goed voorbereid kunnen de leerlingen de nieuwe definitie wel aanvaarden. Het is dan ook mogelijk relaties te definiëren zonder dat expliciet een voorschrift voor het vormen van de paren onder woor-den wordt gebracht. Zo zou gezegd kunnen worwoor-den dat

3), (3, 7), (8, 12)

een relatie is met domein { 1,3,8 } en met bereik 13, 7, 12 }.

Wanneer een voorbeeld als dit op het bord komt, proberen de leerlingen toch nog een voorschrift te vinden waardoor het tweede element van elk paar aan het eerste wordt gekoppeld. De mededeling dat dit voorschrift is gegeven door het opschrijven van de relatie verwekt altijd enige tegenstand.

3 Relatie, afbeelding, fiznctie

Een binaire relatie is gericht van een gegeven verzameling V naar een tweede

verzameling W. We zeggen wel het is een relatie van V naar W. Daarbij hoeft

niet elk element van Vgekoppeld te zijn met elk element van W.

De nomenclatuurcommissie beveelt uitdrukkelijk aan om de van-naar-ter-minologie te gebruiken en dus bijvoorbeeld ook als er sprake is van een relatie

waarbij bron- en beeldenverzameling beide EN zijn, niet te spreken van een relatie in EN maar van een relatie van EN naar N.

De verzameling van alle eerste elementen van de paren, die dus een echte deel-verzameling van V kan zijn, wordt het domein van de relatie genoemd. De

verzameling van alle tweede elementen van de paren heet dan het bereik van de

relatie. In de methode Moderne Wiskunde is men van een andere opvatting uitgegaan. Die zal in de toekomst wel herzien worden. Bij relaties nI. is in deze methode ook een verzameling die meer elementen bevat dan de eerste ele-menten van de paren, domein genoemd. Eveneens is het begrip bereik daar ruimer genomen. Bij afbeeldingen en functies ligt de zaak anders, omdat déze zo gedefinieerd zijn dat er geeist wordt dat bij ieder element van het domein een element van het bereik zal behoren. Daarbij is het wee'r niet zo, dat elk element van het bereik aan een domeinelement gekoppeld behoeft te zijn. Ook dat zal veranderen tengevolge van het werk van de nomenclatuurcommissie. Het is goed zich nog even verder bezig te houden met het rapport van deze

commissie. Het is nog een interimrapport, dat in nummer 7 van jaargang 1970-71 van Euclides is opgenomen. De mogelijkheid bestaat dus er op te reageren en wijzigingen voor te stellen. Of daar veel gebruik van wordt gemaakt betwijfel ik. In dit interimrapport worden twee opvattingen voor het begrip aee/ding van V naar W (functie van V naar W) vermeld. De commissie heeft gekozen voor de tweede daarvan.

a Een afbeelding van V naar Wis een relatie van V naar W die aan elk element van V precies één element van W koppelt.

b Een afbeelding van Vnaar Wis een relatie van Vnaar Wdie aan elk element van V ten hoogste één element van W koppelt.

Bij opvatting a valt het domein dus met V samen, bij opvatting b kan het domein een echte deelverzameling van V _{zijn. 1}

Bij opvatting a moet men zeggen dat de functie x -* - een relatie is van ER\{ 0) naar R.

Bij opvatting b kan men zeggen dat deze functie een relatie is van ER naar P. Nu is eraan het element 0 van ER geen element van ER gekoppeld maar dat is toege-staan bij opvatting b.

4 Injectie, surjectie. bijectie

Van het drietal termën in de kop van deze paragraaf wordt meestal alleen de laatstgenoemde in de schoolwiskunde vermeld. De nomenclatuurcommissie vindt ook geen duidelijke behoefte aan het gebruik van injectie en surjectie aanwezig. Zelfs wil de commissie het gebruik van de term bijectie facultatief stellen, om de leerlingen een 'terminologie-jungle' te besparen.

Een afbeelding van V naar W waarbij elk element van W aan de paarvorming

meedoet heet afbeelding op W of surjectie.

Een afbeelding van Vnaar Wdie 1-1 is heet injectie.

Een afbeelding die zowel injectie als surjectie is, is een bijectie. 5 Bijzondere relaties

Wanneer een relatie gericht is van een verzameling V naar V zelf dan kan deze onderzocht worden op het bezit van de volgende eigenschappen:

1 een relatie R heet reflexief in V als voor elk element a van V geldt (a, a) e R

Is dit voor.geen enkel element van Vhet geval dan is de relatie irreflexief in V.

Het is mogelijk dat een relatie zowel niet-reflexief als niet-irreflexief in V is. 2 Een relatie R is svmmetrisch in Vals voor elk tweetal elementen a en b van V

geldt(a,b)eR=(b,a)€R

Geldt voor elk tweetal elementen van V: (a, b) eR => (b, a) IR dan is de relatie

asymmetrisch in V.

Ook nu kan het weer gebeuren dat een relatie, zowel symmetrisch als niet-asymmetrisch is.

3 Een relatie R is transitief in Vals voor elk drietal elementen a, b en c van V geldt (a, b) € R A (b, c) € R (a, c) € R

4 Een relatie R is samenhangend in V als voor ieder tweetal verschillende

ele-nienten a en b van V tenminste één van de beide formules (a, b) € R of (b,a ) € R waar is.

Relaties die zowel reflexief als symmetrisch als transitief zijn heten

ekwi-valen tierelaties.

Het prototype van de ekwivalentierelaties is de relatie is gelijkaan van P naar P.

Elk element van IR is gelijk aan zichzelf.

Elk tweetal elementen van ER heeft de eigenschap dat uit a = b volgt b = a Voor elk drietal elementen van ER geldt: a = b en b = c => a = c

Het is niet moeilijk ekwivalentierelaties te vinden:

is even oud als is con grueni met

is even duur als is parallel niet

heeft dezelfde leraar als is gelijkvormig met heeft dezelfde ouders als

Een bijzondere ekwivalentierelatie vinden we op de volgende manier: (Papy doet dat o.a. in zijn deel 1 van Mathématique Moderne)

We verdelen de verzameling V in deelverzamelingen met de volgende eigen-schappen:

1 geen enkele deelverzameling is leeg

2 de deelverzamelingen zijn disjunct, hebben dus een lege doorsnede. Zulke deelverzamelingen worden partities of klassen genoemd. Beschouw nu de relatie behoort tot dezelfde klasse als

Het is een ekwivalentierelatje.

1 elk element behoort tot dezelfde klasse als het element zelf,

2 als a behoort tot dezelfde klasse als bdan ook b tot dezelfde klasse als a, 3 als a behoort tot dezelfde klasse als b en b tot dezelfde klasse als c dan ook a tot dezelfde klasse als c.

Iedere ekwivalentierelatie van Vnaar Vverdeelt Vin klassen, bijvoorbeeld:

is even oud als leeftijd

is geli/kvormig met vorm

is parallel met richting

is even duur als prijs

Buiten de wiskunde geldt de volgende wijze van redeneren: alle artikelen die even duur zijn hebben dezelftle prijs. Men zegt ook wel ze behoren tol dezeitde prijsk/asse (al wordt daar meestal een iets ruimer begrip mee bedoeld, namelijk een interval van prijzen, bijvoorbeeld een tv van f 800.— en een van f

900.-vallen in dezelfde prijsklasse).

In de wiskunde wordt nu gezegd: Elke klasse is een prijs. De overgang van in elke klasse zitten artikelen van dezelfde prijs op elke klasse is een prijs _kan

vergeleken worden met de overgang van deze relatie heeft als oplossings-%'erzwneling een verzameling geordende paren op de verzameling pareiz is de rela iie.

Het is gebleken dat v.w.o. leerlingen wel de stap kunnen doen om te zeggen:

elke klasse van ekwipollente vectoren is een Vrije vector. _{ze begrijpen ook dat}

elk element van zo'n klasse gekozen kan worden als representant van de klasse. Maar misschien hangt dat samen met het feit dat het begrip vrije vector nieuw is en nog niet met ervaringen belast.

In de verzameling © kan ook een klasse-indeling worden aangebracht. In elke klasse vinden we dan de breuken die vereenvoudigd of uitgebreid kunnen worden tot een gegeven breuk. (Het is lastig dat in het Nederlands wel de uit-drukking 'vereenvoudigen' voorkomt, maar niet een woord dat de inverse be-werking aanduidt. In het Duits zegt men daarvoor 'erweitern').

Het is wel mogelijk om de leerlingen duidelijk te maken dat ieder element van een klasse van breuken voor elk ander element van die klasse in de plaats gezet kan worden. Maar de vraag is of ze zullen accepteren: elke klasse is een rationaal getal.

Het onderwerp 'ekwivalentierelaties' wordt voor de onderbouw v.w.o. in het rijksscholenleerplan expliciet genoemd. Voor de andere schooltypen treffen we het niet in het leerplan aan en voor geen enkel schooltype is het vermeld in het eindexamenprogramma.

Toch zou ik willen adviseren, waar dat mogelijk is, de eigenschappen van de ek-wivalentierelaties te vermelden en telkens even te doen constateren. Worden de ekwivalentierelaties als een apart onderwerp onderwezen, dan is het de moeite waard er eens een op te bouwen uitgaande van de definitie een relatie is een verzameling geordende paren.

Het is bijvoorbeeld mogelijk een ekwivalentierelatie van V naar V op te bouwen met V= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

In de eerste plaats moeten de paren (1,1), (2, 2), (3, 3), (4,4), (5, 5) en (6,6) elementen van de relatie zijn. -

Nemen we (2, 3) op als element dan moet ook (3, 2) element zijn. Verder zouden bijvoorbeeld de volgende paren opgenomen kunnen worden: (4, 5), (5, 4), (4, 6), (6,4), (5, 6) en (6, 5)

Het is gemakkelijk te constateren dat nu voldaan is aan de eisen van reflexivi-teit, symnietrie en transitiviteit.

Vooral door de volgende figuur te tekenen kan aangetoond worden dat V in drie klassen wordt verdeeld, nl. _{ 1 }, 12, 3 } en 14, 5, 6

Een aardig voorbeeld van een klasse-indeling wordt geleverd door het rekenen met restklassen. In de methode Moderne Wiskunde wordt dat klokrekenen genoemd. Het rekenen op een vijfurenklok bijvoorbeeld is eigenlijk rekenen in restklassen modulo 5, d.w.z. klassen gevormd door de relatie laat als rest bij

deleiz door 5.

Elk natuurlijk getal wordt door deze relatie ingedeeld in een van de vijf klassen waarvan de resten bij delen door 5, nl. 0, 1, 2, 3 en 4 de vertegenwoordigers zijn. Als we nu bij het klokrekenen zeggen dat 4 +2 = 1 dan bedoelen we dat de som van elk getal uit de klasse vertegenwoordigd door 4 en een getal van de klasse vertegenwoordigd door 2 een getal is van de klasse vertegenwoordigd door 1. Een voorbeeld van zo'n optelling is 19 + 12 = 31.

6 Relaties in de schoolwiskunde

In de meeste schoolboeken wordt het begrip relatie beschouwd als voor-bereiding voor het hanteren van de begrippen functie en afbeelding. Ekwiv alentierelaties en orderelaties worden 1 niet ofimaar vluchtigbehandeld Bij de behandeling in de huidige schoolboeken volgt de introductie van het begrip relatie na de behandeling van de verzamelingen. Het zouook mogelijk zijn het behandelen van verzamelingen te motiveren met behulp van de relaties. Zoals in de inleiding al werd gereleveerd: relaties worden al door zeer jonge kinderen gebruikt. Door Z.P. Dienes en enkele anderen zijn spelen bedacht voor leer-lingen van het basisonderwijs om hen te laten experimenteren met relaties. In dit opzicht moeten we ook verwijzen naar het werk van Prof. Papy en zijn vrouw Frédérique in België.

Het door Papy sterk ontwikkelde gebruik van pijldiagrammen kan ook in het basisonderwijs plaats vinden. Een spel als bijvoorbeeld voornaam-achternaam dat voorkomt in het eerste deel van het boek Mathématique Moderne van Papy kan door leerlingen van de basisschool gemakkelijk gespeeld worden. Ik ver-wacht dus dat het werk van Wiskobas onder meer zal gâan in de richting van het ontwikkelen van het relatiebegrip in de basisschool.

De inrichting van de vakbibliotheek voor

wiskunde op elke school

Joh. H. WANSINK

Arnhem

Het aantal popularisaties over wiskundige onderwerpen is in de laatste decennia buitengewoon sterk gegroeid, zo sterk dat de algemene bibliotheken met de toegenomen belangstelling voor mathematische onderwerpen slechts onvol-doende rekening kunnen houden. Eveneens is het aantal publikaties op didac-tisch gebied die informatie verschaffen over de op gang zijnde modernisering zo sterk toegenomen, dat het gevaar dreigt dat de vakbibliotheken van de wiskundedocenten geen bevredigend beeld meer zullen opleveren van de ter beschikking staande lectuur.

In verband met de toegenomen behoefte aan informatie lijkt het ons urgent, dat er op iedere school voor v.w.o. en a.v.o. op korte termijn wordt overgegaan tot het inrichten van speciale wiskundebibliotheken.

Elke schoolbibliotheek op wiskundig gebied kan dan twee afdelingen omvatten:

A een afdeling met populaire lectuur voor de leerlingen; B een didactische afdeling voor de docenten.

Voor de eerste inrichting van zo'n vakbibliotheek zou naar mijn mening met een bedrag van 1250 gulden kunnen worden volstaan. Hiervoor zouden dan een honderdtal boeken kunnen worden aangeschaft: 50 voor de docenten tot een bedrag van 1000 gulden, 50 voor de leerlingen tot een bedrag van 250 gulden.

Indien dan voor de jaarlijkse aanvulling nog een bedrag van minimaal 250 gulden ter beschikking komt, kan er op de duur een behoorlijke boekenvoor-raad van verantwoorde samenstelling tot stand komen.

Onderstaande lijsten A en B dienen om voor de docenten de keuze van titels te vergemakkelijken. Elke opstelling van zo'n lijst blijft uiteraard een subjectief karakter dragen.

We raden aan ook de door de Unesco aanbevolen titels, die men kan vinden in Ezclides 42, p. 1487149, te raadplegen, alsmede de door Leujes opgestelde lijsten

in Euclides 35, 36 en 43.

In de A-lijst vindt men vooral boekjes voor oudere leerlingen. Slechts weinig titels zijn, zoals nr 23 van de A-lijst, voor eersteklassers geschikt.

Men houde er rekening mee dat sommige titels uitverkocht kunnen zijn. Om teleurstelling te voorkomen hebben we uit de lijst reeds weggelaten: Platland, ee,: roman van vele afmetingen

geschreven door een Vierkant; 138 p.; Emmering, Amsterdam 1920. Het is een vertaling door L. van Zanten van Flatland door H. A. Abbot dat misschien nog uit de Doverserie is te be-trekken. Wie echter een boekje als Platland antiquarisch kan krijgen, late zich die kans niet ontgaan.

In de B-lijst zijn geen titels van wiskundige periodieken opgenomen. Het lijkt me echter uitermate gewenst, dat elke school minstens één abonnement neemt uit de volgende tijdschrif-ten:

1 Der Mathematikunterricht; vier monografieen per jaar; Klett Verlag.

2 Educational Studies in Mathematics; Reidel, Dordrecht.

3 Praxis der Matkematik; Aulis Verlag, Keulen.

4 Mathematica & Paedagogia, Brussel.

5 Niko, Belgisch tijdschrift voor de Methodiek van de Wiskunde.

6 Bulletin de l'Association des Professeurs de Mathématiques, Parijs.

Voorts spreekt het m.i. vanzelf, dat elke schoolbibliotheek over een zo compleet mogelijke verzameling van jaargangen van Euclides dient te beschikken. Nadere inlichtingen over de tijdschriften worden gegeven door dr. A. J. E. M. Smeur, Breda. -

A. 60 titels van aanbevolen boeken voor leerlingenbibliotheken

1 Irving Adler, Nieuwe Wiskunde; 188 p.; vertaling van Tj. Blanksma; Prismaboeken

1152; Utrecht-Antwerpen 1966

2 Irving Adier, Rekenkunde, nieuwe stijl; 293 p.; vertaling van R. A. M. Lopik; Prisma- boeken 1303; Utrecht-Antwerpen 1968

3 Irving Adier, Waarschjjnljjkheidsrekening en statistiek; 233 p.; Aula-boeken 295;

Utrecht 1966

4 Irving Adler, The giant colourbook of mathematics, exploring the world of number and

space; met voorwoord van Howard F. Febr; 92 p.; 1960; Paul Hamlyn, London

5 E. T. BelI, Men of mathematics; twee delen samen 646 p.; Pelican-serie 276, 277;

Harmondsworth 1953

6 E. T. Beil, The development of mathematics; 637 p.; Mc. Graw Hill, New York- London, 1945

7 E. Bentel, Die Quadratur des Kreises; Math-Phys. BibI. 12; 57 p.; 1920; sindsdien tal van malen herdrukt; Teubner-Leipzig -

8 G. Bosteels, Wiskunde vandaag; 116 p.; De Sikkel, Antwerpen 1963

9 0. Bottema, Meetkunde, gewoon en anders; Torusreeks 7, 53 p, Wolters-Noordhoff, Groningen 1971

10 Bruno Ernst, Pythagoras Festival; selectie uit de eerste acht jaargangen van het jeugd- tijdschrift Pythagoras; 264 p.; Wolters-Noordhoff, Groningen 1970

11 L. N. H. Bunt, Van Ahmes tot Euclides; hoofdstukken uit de geschiedenis van de Wiskunde; 183 p.; Wolters-Noordhoff, Groningen 1968

13 N. A. Court, Mathematics in fun and in earnest; 192 p.; a Mentor-Book, MD. 344,

The New American Library, 1958

14 H. J. A. Duparc, Inductie en iteratie; Torusreeks 2; 75 p.; Wolters-Noordhoff, Gro-

ningen 1968

15 M. C. Escher, Grafiek en tekeningen, met een bijdrage van Prof. dr. P. Terpstra en een

inleidend commentaar; 63 p.; Tiji, Zwolle 1960

16 H. Freudenthal, Van Sterren tot inlegzolen; een bundel artikelen; 180 p.; Van Loghum

Slaterus, Arnhem 1954

17 H. Freudenthal, Wiskunde in wetenschap en dagelijks leven; 253 p.; Wereldakademie,

De Haan-Meulenhoff 1967

18 Martin Gardner, Mathematics, magic and number; Doverserie, New York. Zie ook zijn

periodieke bijdragen in Scientific Anierican

19 R. L. Goodstein, Grondbegrippen van de wiskunde;270 p.; Aula-boeken 271; Utrecht-

Antwerpen 1960

20 Paul R. Halmos, Intuïtieve verzamelingenleer, 159 p.; Aula-boeken 372; Utrecht-

Antwerpen 1968

21 Darrell Huif, Gebruik en misbruik van de statistiek; Prismaboeken 572; 190 p.; Utrecht-

Antwerpen 1960

22 Darrell Huif, Bereken uw kansen; Prisma-boeken 1096; 158 p.; Utrecht-Antwerpen 1958 23 J. A. H. Hunter, Rekenkundige raadsels; vertaling van C. van der Linden; 159 p.;

Prismaboeken 637; Utrecht-Antwerpen 1961

24 0. Jacoby en W. H. Benson, Wiskunde voor je plezier, vertaling van 152 p.; Prisma-

boeken 1256; Utrecht-Antwerpen 1967

25 Morris Kline, Mathematics and the physical world;

26 M. Kraitchik, Mathematical recreations; Doverserie, New York

27 Edna E. Kramer, Wiskunde, mogelijkheid voor de moderne wetenschappen; vertaling

van Aula-boeken 177; 368 p.; Utrecht-Antwerpen 1964

28 W. Lietzmann, Lustiges und Merkwiirdiges von Zahlen und Figuren; 276 p.; Vanden-

hoeck & Ruprecht, Göttingen

29 W. Lietzmann, Der Pythagorische Lehrsatz; Math.-Phys. BibI. 3; 69 p.; 1917 sindsdien

tal van malen herdrukt, Teubner, Leipzig

30 W. Lietzmann, Wo steckt der Fehler, Math.-Phys. BibI. 10; 53 p.; 1917; sindsdien

tal van malen herdrukt; Teubner, Leipzig

31 C. van der Linden, Moderne Wiskunde; Prisma-boeken 1248; 170 p.; Utrecht-Antwer-

pen 1967

32 Karl Menninger, Zwisciien Raum und ZahI; Ullsteinbücher 267

33 Karl Menninger, Mathematik and Kunst; Kleize Vanderhoeckserie 76; Göttingen 34 Karl Menninger, Wij en de Wiskunde; Vertaling van Van Went en Meyer; 295 p.;

Bibliotheek voor Algemene Ontwikkeling; Amsterdam-Antwerpen 1963

35 Karl Menninger, Ali-Baba und die 39 Kamele; 108 p.; Vandenhoeck & Ruprecht,

Göttingen

36 M. J. Moroney, Feiten Uit cijfers; Marka 71, Utrecht-Antwerpen 1967

37 Ç. Stanley Ogilvy, De wiskunde van morgen; Aula-serie 185; vertaling van C. van der

38 C. Stanley Ogilvy en J. T. Anderson, Getallentheorie, Aula-serie 403; vertaling van

C. Paris; 157 p.; Utrecht-Antwerpen 1969

39 Dan Pedoe, De speelse wiskunde; Aula-serie 282; vertaling van D. F. M. van de Wiel;

185 p.; Utrecht-Antwerpen 1966

40 Rôzsa P6ter, Wiskunde spelenderwijs; Prisma-boeken 1203; vertaling van C. van der

Linden; 184 p.; Utrecht-Antwerpen 1966

41 Jan Poortenaar, De gulden snede en goddelijke verhouding; 72 p.; In den Toren, Naarden

z.i.

42 Constance Reid, Van nul tot oneindig, getaltheorie voor iedereen; vertaling en be-

werking van W. A. van der Spek: 152 p.; Prisma-boeken 1067; Utrecht-Antwerpen 1965 43 Evelyn B. Rosenthal, Moderne wiskunde voor iedereen; vertaling van C. Kila; 280 p.;

Kluwer e.a., Deventer 1965

44 W. W. Sawyer, Wegwijs in de wiskunde; vertaling van C. van der Linden; 119 p.;.

Aula-serie 104; Utrecht-Antwerpen 1962

45 W. W. Sawyer, Wiskunde zonder omslag; vertaling van J. J. P. Boezeman; 222 p.;

Prisma-boeken 203; Utrecht-Antwerpen, z.j.

46 E. Schneider, Van nul tot oneindig, wiskunde als ontspanning; vertaling van N. B.

van Went en J. A. Meijer; 294p.; Bibliotheek voor Algemene Ontwikkeling; Bussum-Antwer-pen z.j.

47 Fred. Schuh, Hoe bepaal ik mjjn kans? Kansrekening met toepassing op spel en statistiek;

165 p.; Agon Bibliotheek 4; Elsevier, Amsterdam-Brussel 1964

48 J. J. Seidel, Computerwiskunde; 155 p.; Aula-boeken 407, Utrecht 1969

49 A. van der Sluis, Computers en Algoritmen; Torusreeks 5; 88 p.; Wolters-Noordhoff,

Groningen 1969

50 D. E. Smith, Number stones from long ago; Ginn, Boston

51 H. Steinhaus, Mathematical snapshots; 266 p.; Oxford University Press, New York,

1950

52 D. J. Struik, Tellen zonder en met cijfers; Torusreeks 6; Wolters-Noordhoff, Groningen

1971

53 J. van Tiel, Versnelling en beweging; Torusreeks 3; 55 p.; Wolters-Noordhoff, Gro-

ningen 1968

54 H. Tietze, Problemen uit de Wiskunde; vertaling van Bruno Ernst; twee delen van 175

en 160 p.; Thieme, Zutphen 1964

55 H. E. Timerding, Der goldene Schnitt; Math.-Phys. BibI.; 57 p.; Teubner, Löipzig 1925

56 P. G. J. Vredenduin, Verzamelingen; Torusreeks 1; 80 p.; Wolters-Noordhoff, Gro-

ningen 1967

57 P. G. J. Vredenduin, Vijfentachtig wiskundige puzzels; 86 p.; Wolters-Noordhoff,

Groningen 1964

58 B. L. van der Waerden, Ontwakende wetenschap; Egyptische, Babylonische en Griekse

wiskunde; 321 p.; Wolters-Noordhoff, Groningen 1930

59 J. Wessels, Rekenén met kansen; Torusreeks 4; 71 p.; Wolters-Noordhoff, Groningen

1969

60 A. N. Whitehead, Wiskunde, basis van het exacte denken; vertaling van J. Engelfriet

B. 125 titels van aanbevolen boeken voor lerarenbibliotheken

De nummers 1-60 zijn dezelfde als die van de A-lijst. Omdat vele docenten echter de oor-spronkelijke uitgaven zullen verkiezen boven de vertalingen laten we enige van de oorspronke. lijke titels volgen.

1 Irving Adier, The new mathe,natics; 192 p.; a Mentor Book; 1960

2 Irving Adier, A new book at arithmetic; The John Day Comp., New York 1964

3 Irving Adler, Probility and Sta titics for everyman; The John Day Comp.; New

York 1965

19 R. L. Goodstein, Fundamental concepts of mathematics; 279 p.; Pergamon Press,

Oxford 1964

20 Paul R. Halnios, Naive set theory; 104 p.; D. van Nostrand Comp.; Princeton 1964 21 Darrell Huif, How to lie with statistics; Victor Gollancz Ltd, London

22 Darrell Huif, How to take a chance; W. W. Norton & Comp., New York

23 J. A. H. Hunter, Fun with figures and Figurets (More fun with figures); Oxford Uni-

versity Press

24 0. Jacoby & W. H. Benson, Mathematics for pleasure; McGraw-Hill Comp.; New York 27 Edna E. Kramer, The main stream of mathematics; Oxford University Press, New York

36 M. J. Moroney,Eats from figures; 472 p.; A Pelican Book; Melbourne-London- Baltimore 1954

37 C. Stanly Ogilvy, Tomorrow's Math.; Oxford University Press, New York 1962 38 C. Stanley Ogilvy and John T. Anderson, Excursions in Number Theory; Oxford University Press, New York 1966

39 Dan Pedoe, The Gentle Art of Mathematics; The English University Press; London 1958

40 Rôzsa Péter, Playing with Infinity; C. Bel! and Sons Ltd; 1961

42 Constance Reid, From Zero to Infinity; Thomas Y. Croweli Company, New York 44 W. W. Sawyer, Relude to mathematics, 214 p.; A Pelican Book, Harmoruisworth 1960 45 W. W. Sawyer, Mathematician's Delight; 238 p.; A Pelican Book, Harmondsworth 1956

54 H. Tiëtze, Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit;

1 216 p., II 303 p., Biederstein Verlag, München 1949

60 A. N. Whitehead, An Introduction to Mathematics; Oxford University Press; London 1961

Aan deze A-lijst voegen we de volgende titels toe:

61 J. van Achter, De modernisering van het wiskunde-onderwijs op de basischool; 107 p.;

Malmberg, Den Bosch 1969

62 H. Behnke e.a., Die Neugestaltung des Mathematikunterrichts an den höheren Schulen;

142 p.; Referate der IUUK-Tagung Wien 1966; Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1969

63 H. Behnke e.a., Grundzüge der Mathematik für Lehrer an Gymnasien sowie für Mathe- matiker in Industrie und Wirtschaft;

1 Grundlagen der Mathematik, Arithmetik und Algebra; 584p.; derde druk 1966 II Geometrie, 646 p., tweede druk 1966, nu gesplitst in deel A en deel B

III Analysis, 638 p., 1962

IV Praktische Methoden und Anwendungen der Mathematik: Geometrie und Statistik; 406p.

V Praktische Methoden und Anwendungen der Mathematik: Algebra und Analysis; 1967 Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen

64 H. Behnke e.a., Les repercussions de la recherche mathémazique sur l'enseignemen:;

verslag van een C.J.E.M.-conferentie te Echternach 1965; Imprimé en offset par Ossa, Luxem-bourg 1965

65 H. Behnke e.a., Le passage du secondaire â l'université et les études mathémariques;

verslag van een C.I.E.M.-conferentie te Echternach 1969; Service central des imprims de l'Etat, Luxembourg 1969

66 H. Behnke und H.-G. Steiner, Mathematischer Unterricht an deutschen Unjversitöten und Schulen; 335 p.; Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967

67 E. Bouqué, De algebra der verzamelingen en relaties; 104 p.; Story's wiskundige mono-

grafieen 1; Wetenschappelijke Uitgeverij Gent, 1967

68 E. Bouqué, Boole'se algebra's; 98 p.; Story's wiskundige monografie6n II; Wetenschap-

pelijke Uitgeverij Gent, 1968

69 E. Bouqué, Kardinaalgetallen; 92 p.; Story's wiskundige monografleën III; Weten-

schappelijke Uitgeverij Gent, 1970

70 Nicolas Bourbaki, Eléments d'histoire de mathématiques; 277 p.; Histoire de la Pensée

4; Hennann, Parijs 1960

71 R. Courant en H. Robbins, Was ist Mathematik? 399 p.; Springer Verlag; Berlin-

Göttingen-Heidelberg 1962

72 H. S. M. Coxeter, Introduction to geometry; 443 p.; John Wiley & Sons, New York

1967; in Duitse vertaling: Unvergöngliche Geometrie; 550 p.; Sammlung Wissenschaft und

Kultur 17

73 H. S. M. Coxeter en S. L. Greitzer, Geometry revisited; 160 p.; Random House, New

York 1967

74 Z. P. Dienes, An experimental study of mathematics learning; 207 p.; Hutchinson,

London 1963

75 Z. P. Dienes, Building up mathematics; 124 p.; London 1961; In Nederlandse ver-

taling van S. van der Krogt-Terstegge: Wij bouwen wiskunde op; Wiskunde paperbacks;

Malmberg-Van In, 's-Hertogenbosch-Lier, 1970

76 Z. P. Dienes en M. A. Jeeves, Thinking in structures, 128 p.; Hutchinson, London 1965

77 Z. P. Dienes en E. W. Golding, De eerste stappen in de wiskunde:

1 Logica en spelen; 129 p.;

II Verzamlingen, getallen en machten; 155 p.; Nederlandse vertaling van M. J. A.

Bouw-meester-de Witte van: First years in mathematics, Logic and logica! games; Sets, numbers and

primes; Malniberg-Van In, 's-Hertogenbosch-Lier, 1970

78 J. Dieudonné, Foundations of modern analysis, London 1960

79 E. J. Dijksterhuis, Simon Stevin; 379 p.; Martinus Nijhoif, Den Haag 1943

80 E. J. Dijksterhuis, De elementen van Euclides; twee delen van opv. 220 en 283 p.;

Wolters-Noordhoff, Groningen 1929-1930

81 E. J. Dijksterhuis, Vreemde woorden in de wiskunde; 96 p.; Wolters-Noordhoff, Gro-

ningen 1939

82 T. Ehrenfest-Afanassjewa, Didactische opstellen Wiskunde; 169 p.; verzorgd door

Bruno Ernst, Thieme, Zutphen 1960

83 Howard F. Fehr e.a., Mathematics to-day, a guide for teachers; proceedings of an

International Working Session on New Teaching Methods; Athene 1963; 420 p.; O.E.C.D.-uitgave 1964; besteladres o.a. Meulenhoff & Co, Amsterdam

84 Howard F. Fehr e.a., New Thinking in School Mathematics; _{verslag van een O.E.E.C.-}

conferentie in Royaumont 1959; 246 p.; besteladres o.a. Meulenhoff & Co, Amsterdam

85 Lucienne Félix, Elementarmathematik in moderner Darstellung; 558 _{p.; Vieweg,} Braunschweig 1966. Vertaling van: Exposé moderne des mathématiques élementaires; _{421 p.;}

Dunod, Parijs 1959

86 T. J. Fletcher, Some lessons in mathematics; a handbook on the teaching of 'modern' mathematics; 367 p.; Cambridge University Press 1964

87 H. Freudenthal, Waarschijnljjkheid en statistiek; 185 p.; Bohn, Haarlem 1962 88 H. Freudenthal, Exacte logica; 119 p.; Bohn, Haarlem

89 Gerhard Frey, Einführung in die philosophischen Grundlagen der Mathematik; 116 p.; Schroedel-Schözingh; Hannover-Paderborn, 1968

90 C. Gattegno, W. Servais e.a., Le matériel pour l'enseignement des mathématiques;

212 p.; Delachaux, Neuchâtel 1958

91 J. C. H. Gerretsen, Raakljjn en oppervlak; 380 p.; Bohn, Haarlem 1959

92 J. C. H. Gerretsen, Grondslagen van de leer der reële getallen en de reële analyse,

243 p.; CM L.W. stencil, Utrecht 1967

93 A. D. de Groot, Bewegingsmeetkunde; 158 p.; verslag van een gecontroleerd innovatie- experiment. Empirische studies over Onderwijs, deel II; Wolters-Noordhoff, Groningen 1968 94 A. D. de Groot en R. F. v. Naerssen, Studietoetsen; 358 p.; Mouton, Den Haag 1969 95 P. M. van Hiele, Development and learning process; 31 p.; Wolters-Noordhoff, Gro- ningen 1959

96 P. M. van Hiele, De problematiek van het inzicht; Utrechtse dissertatie; 215 p.; Purmerend 1957

97 D. van Hiele-Geldof, De didaktiek van de meetkunde in de eerste klas van het v.h.m.o.;

Utrechtse dissertatie; 183 p.; Purmerend 1957

98 D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie (1899); 271 p.; Teubner, Leipzig 1962 99 J. E. Hofmann, Geschichte der Mathematik; Sammlung Göscher 226, 875, 882; Walter de Gruyter & Co, Berlijn

100 D. A. Johnson and G. R. Rising, Guidelines for teaching mathematics; 446 p.;

Wad-worth Publ. Comp.; Delmont, Cal. 1967

101 G. Kropp, Geschichte der Mathematik; Probleme und Gestalten; 230p.; Heidelberg 1969 102 M. J. Mansfield, Introduction to topology; 116 p.; D. van Nostrand, New York 1963

103 Karl Menninger, Zahlwort und Zijer; eine Kulturgeschichte der Zahi; 314 p.; Van-denhoeck & Ruprecht, Göttingen 1958

104 Herbert Meschkowski, Wandlungen des mathematischen Denkens; 141 p.; Vieweg,

Braunsweig 1960

105 J. A. Neumann e.a., The world of mathematics; artikelen van wiskundigen 'from

A'h-mosé the Scribe to Albert Einstein', met commentaren; 4 delen, totaal 2535 p.; Simon and Schuster, New York 1956

106 G. Papy, Uit zijn zesdelig schoolboek wijzen we i.h.b. op: Géométrieplane, deel 6 van Mathématique Moderne; 277 p. Labor-Didier, Brussel 1966. Ook bevelen we aan: Papy-Debbant, Ebene Geometrie und reëlle Zahlen; 69 p.; Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1965 en: Inleiding tot de vectorruimten (83 p); Plantijn n.v., Antwerpen 1966

107 J. Piaget, E. W. Beth e.a., L'enseignemenf des mathématiques; 175 p.; Delachaux, Neuchâtel 1955. Aanbevolen wordt de Duitse vertaling ten name van C. Gattegno, Zur Didaktik des Mathematikunterrichts; Neue Ansötze; 120 p.; Hannover 1969

108 G. Polya, Schule des Denkens; 266 p.; Bern 1949. De Engelse uitgave draagt de titel:

How to solve ii; 204 p.; Princeton University Press; 1946

109 G. Polya, Mathematik undplausibles Schlie/ien;

1 Induktion und Analogie in der Mathematik; 403 p.; 1962 II Typen und Strukturen plausibler Folgerung; 282 p.; 1963

Sammlung Wissenschaft und Kultur, nr. 14 en 15; Birkhguser Verlag, Basel-Stuttgart. De oorspronkelijke Engelse uitgave verscheen onder de titel: Matlzematics and plausible reasoning; Princeton 1954

110 B. van Rootselaar en P. G. J. Vredenduin, The use _of the axiomatic method in secondary school teaching; 32 p.; rapport 8 van de N.O.C. voor Wiskunde, Mathematisch Instituut,

De Uithof, Utrecht 1965

111 M. Rueff en M. Jeger, Sets and Boolean algebra; 192 p.; George Allen and Unwin

Ltd.; London 1970. Duitse uitgave onder de titel: Menge, Boole'scher Verband und Mali im Schulunterricht, Râber Verlag, Luzern-Stuttgart 1970

112 J. J. Seidel e.a., Computerkunde; 155 p.; Aula-serie 407; Utrecht-Antwerpen 1969 113 D. J. Struik, Geschiedenis van de wiskunde, 256 p.; Aula-serie 195; Utrecht-Antwerpen 1965

114 Karl Strunz, Der neue Mathematikunterricht in pödagogisch-psychologischer Sicht;

355 p.; Quelle und Meyer, Heidelberg 1968

115 J. J. Verdonk, Petrus Ramus en de wiskunde; 445 p.; Van Gorcum, Assen 1966 116 Hk. de Vries, De vierde dimensie; een inleiding tot de vergelijkende studie der ver- schillende meetkunden; 142 p.; Wolters-Noordhoff, Groningen, 1915

117 B. L. van der Waerden, Einfall und Oberlegung; drie kleine Beitrilge zur Psychologie

des mathematischen Denkens; 28 p.; Birkhiiuser Verlag, Basel-Stuttgart, 1968

118 Joh. H. Wansink, Didactische Oriëntatie voor Wiskundeleraren; drie delen van opv. 340, 368 en 399 p.; Wolters-Noordhoff, Groningen 1966-1971

119 B. L. van der Waerden, De logische grondslagen der euklidische meetkunde; 87 p.; Wolters-Noordhoff, Groningen 1927

120 J. D. Williams, Speliheorie; 240 p.; Markaboeken; Utrecht 1966

121 Georg Wolf e.a., Handbuch der Schulmathematik;

1 Arithmetik; Zahlenlehre; 295 p.; II Algebra; 296 p.;

III Geometrie der Unter-und Mittelstufe; 256 p.; IV Geometrie der Oberstufe 288 p.;

V Einzelfragen der Mathematik; 270 p.; VI Analysis; 268 p.;

VllNeuere Entwicklungen; 336 p.; verschenen sinds 1960. Schroedel Verlag, Hannover

122 A. 1. Wittenberg, Bildung und Mathematik, 313 p.; Stuttgart 1961

123 E. J. Wijdeveld, Nieuwe wiskunde 1; Taal en logica; 176 p.; 1969; Nieuwe wiskunde 2;

Structuren; 215 p.; 1969; Nieuwe wiskunde 3; ter perse 1971

124 M. L. Wijvekate, Verklarende statistiek; 232 p.; Aula-serie 39; Utrecht-Antwerpen, 1960 125 J. M. Yaglom, Geometric transformations 1; 133 p.; 1962; Geometric transformations II;

Kanttekeningen bij de nomenclatuur *)

HANS FREUDENTHAL,

Utrecht

1 De schrijfwijze (blz. 42)

x 1 x < 12 A x heeft geen echte delers

wordt 'uit wetenschappelijk oogpunt niet correct' genoemd. Ik vind dat een mathematische formule internationaal leesbaar moet zijn, maar het bezwaar van de Commissie kan ik niet delen. Ik vermoed, dat hier twee zaken vermengd worden. Het is waar dat men een verzameling liever niet door middel van een eigenschap definieert zonder te stipuleren uit welke gegeven verzameling zijn elementen te putten zijn, maar dit heeft niets te maken met notaties. Er bestaan een heleboel notaties die niets betekenen - dit laat zich niet vermijden. De voorbeelden, die hierop volgen, zijn niet goed gekozen. De definities van V U W en V x W, zoals ze daar staan zijn geheel correct.

2 De spreekwijze '(3,5) is een oplossing van 7x - = 6 ' (blz. 248) is af te keuren. Ze berust op de stilzwijgende afspraak dat x altijd vôôr y komt. Hoe zou het zijn met: (1,-1) is oplossing van aa2 = 1? Men wenne de leerling aan 'de oplossingen (x,y).= (3,5) en (oça) = (-1,1)'

3 Relatie van.., naar.., vind ik bezwaarlijk. Wat te doen met de veel vaker voorkomende relaties tussen drie en meer variabelen?

4 Waarom is het woord 'doorlopen' (p. 243) niet erg duidelijk?

Men komt zelfs wel eens de bewering tegen dat het fout is. Ik hoorde de motivering 'a heeft geen pootjes'. Maar net zo kan men tegen 'a is element vanA' inbrengen, dat dit ongewenste associaties met de scheikunde wekt, en tegen 'a behoort tot A' dat het aan eigendomsrelaties doet denken. 'Doorlopen' wekt associaties met zeer belangrijke natuurkundige toepassingen. Het schijnt, dat die tegenwoordig ook ongewenst zijn.

In plaats van deze zeer suggestieve notatie vergoeljkt men als zeer suggestief zijnde een die knetterfout is:

(x,y)jx = 3aA y = a - 2,a c D}.

Verder verklaart men een notatie die te voren impliciet meermalen goedgekeurd is,

{(3a,a-2)1aeP}

als ongewenst.

5 Vanaf blz, 251 heb ik meer essentiële bezwaren.

'Met de functief: x -+f(x) van Ven naar W bedoelen we een functie, waarvan het domein bestaat uit alle x e V, waarvoorf(x) betekenis heeft?

Vraag 1: Wat betekentf(x) alsf(x) geen betekenis heeft?

Vraag 2: Hoe zie ik aan die letterf, voor welkex dief(x) betekenis heeft?

Vraag 3: Hoe moet ik in 't vervolg aangeven dat f een functie van V naar Win de

oude zin is? Bijvoorbeeld: Zij f een functie van V naar W die voor elk element van V betekenis heeft? Of: zij f een functie van V naar W met domein V?

Vraag 4: Hoe moet ik in 't vervolg definiëren, wat gelijkmachtigheid van twee verzamelingen V, 1V betekent? Er is een bijectie f van V naar W met domein Ven bereik 1V?

Vraag 5: Hoe moet ik in 't vervolg een permutatie van { 1,..., n definiëren? Een bijectie van 11,..., n} naar i 1,.... n} met bereikt en domein 1... n} ? Vraag 6: Hoe moet ik een kromme in 't vlak definiëren? Een continue afbeelding van een interval in het vlak met datzelfde interval als domein?

Vraag 7: Volgens de voorstellen blijft het in 't midden of x van P naar

x

- v1

dezelfde of verschillende functies zijn. Is dit didactisch verantwoord? Vraag 8: Volgens de voorstellen definieert

f(x)'J_{— l -- x2}

een functie f. Is dit doelmatig?

Vraag 9: Het aantal functies van { 1,..., n naar { 0,1' was tot nu toe het préttige getal 2fl. Het verandert nu tenzij ik zeg: het aantal functies van

11,

Ik meen dat ik met deze voorbeelden aangegeven heb waar de schoen knelt. De door de Commissie voorgestane notatie heeft zekere (minieme) voordelen in 't geval van numeriek gegeven functies uit het vraagstukkenrepertoire van de school. Ze veroorzaakt onnodige complicaties in uitspraken, waar functies meer algemeen in voorkomen. Om haar voorkeur te rechtvaardigen, haalt de Commissie alleen lelijke schoolsommetj'es aan. Een bredere kijk ware wenselijk. Lang genoeg is er een schoolwiskunde, los van de echte wiskunde, gecultiveerd. Begint dit wëer? De korte bondige spreekwijze 'functie van A naar B' voor het fundamentele begrip, dat men nu gewend is zo aan te duiden, is zo'n grote weelde, dat geen nomenclatuur-commissie eraan mag komen; het mag geen lettergreep langer worden - denk maar aan al die consequenties voor 'homomorfisme van A naar B, afbeelding van A naar B, operator van A naar B, injectie van A naar B, karakter van

A', die thans allemaal met de toevoeging 'met het domein A' of zo iets opgezadeld

worden! De nomenclatuur-commissie zou niet vanuit het kléine hoekje van de schoolsommen, dat ordening behoeft, een algemene vernieling moeten propageren. Is er in dat hoekje behoefte aan een speciale notatie voor functies van een deel van

A naar B, kies dan maar iets. Bij voorbeeld:

Een functie van uit*)A naar B is een relatie, die aan elk element van A ten hoogste een element van B koppelt.

Men late de overige wiskunde in 't genot van

Een functie van uit*)A naar B is een relatie, die aan elk element van A ten hoogste een element van B koppelt.

Antwoord aan Freudenthal

door

P.G.J. VREDENDUIN Oosterbeek

Het begrip, functie (afbeelding) heeft de nomenciatuurcommissie veel hoofd-brekens gekost. De na ampele discussie voorgestelde terminologie biedt voor het onderwijs veel voordelen, maar wijkt inderdaad af, althans voorzover het de term afbeelding betreft, van de in de literatuur meest gangbare. Vandaar dat ik dan ook blij ben, dat Freudenthal zich de moeite getroost heeft zijn weten-schappelijke bezwaren op schrift te stellen.' Dit geeft me de gelegenheid uitvoeriger op het probleem in te gaan, hetgeen alleen maar verhelderend kan werken.

Voor het gemak van de lezer herhaal ik eerst de door de nomenclatuur-commissie voorgestelde definitie van een functie en van een afbeelding.

Definitie. Een functie van Vnaar Wis een verzameling geordende paren,

waar-van het eerste element tot Ven het tweede tot W behoort, met de eigenschap dat elk element van V in hoogstens één van de geordende paren als eerste ele-ment voorkomt. Onder een afbeelding wordt hetzelfde verstaan als onder een functie.

Terzijde opgemerkt: in België is dit de bij het onderwijs aanvaarde functie-definitie, ook voorgestaan door Papy. De Belgen geven echter een andere defi-nitievan een afbeelding;zij vervangen bij afbeeldingen 'hoogstens' door 'precies'. Om ons standpunt duidelijk te rnaken, gaan we uit van een meetkundige af-beelding:de centrale projectie. Volgens ons is dit een afbeelding van II naar II f:X-Xhet snijpûnt van de lijn door 0 enX met!, waarin lCllen O/ LTrek door 0 een lijn m evenwijdig aan 1 en kies daarop een punt P. Het snijpunt van de lijn door 0 en P met 1 bestaat dan niet en P heeft dus geen f-beeld. Het domein van de afbeelding is dus II \ m.

Het afbeeldingsvoorschriftf laten we dus werken op alle elementen van 11. Soms is daarbij het resultaat, dat aan een punt P een beeld P' toegevoegd wordt; soms is het resultaat nihil. We spreken nu van een afbeelding van II naar 11. 'Van II', omdat we het afbeeldingsvoorschrift laten werken op alle elementen van II, en 'naarff, omdat het beeld element van His.

Een voorbeeld uit de algebra maakt dit nog duidelijker. Beschouw de af -beelding van ER naar ER

f:x - - -

Laten we dit afbeeldingsvoorschrift (functievoorschrift) werken op een van 0 verschillend reëel getal a, dan blijkt het f-beeld.+ te zijn. Laten we het werken op het getal 0, dan ontstaat geen beeld. Het domein van de afbeelding is

ER\O.

Men zou ook kunnen zeggen, dat de afbeelding x

per definitie hetzelfde is als de relatie van ER naar ER Cv. v) •' -

x

Hier heeft niemand bezwaar om te spreken van een relatie van ER naarER. Ook is er geen bezwaar tegen te zeggen, dat door deze relatie aan elk van 0 ver-schillend reëel getal a het getal - toegevoegd wordt. Evenmin is er bezwaar tegen te constateren, dat aan 0 geen enkel getal toegevoegd wordt. Ten slotte is er ook geen bezwaar tegen te zeggen, dat deze relatie gelijk is aan een functie

f: x --,

mits - en nu komt de controverse - men maar niet zegt, dat dit een functie van ER naar ER is. De nomenciatuurcommissie heeft daartegen geen bezwaar. Velen uit het w.o. stellen echter de eis, dat men hier zegt: functie van ER \

bi

Ik heb Freudenthal eens horen zeggen (op de heroriënteringscursus over logica te Utrecht), dat men in zo'n geval spreekt van een functie van ER naar ER voor-zover gedefinieerd. Ik geef direct toe, dat hij daarbij niet in strijd komt met zijn eigen zienswijze. Maar de standpunten zijn elkaar dan wel dicht genaderd. Natuurlijk zijn er ook functievoorschriften, die vaker falen, zoals

g : x - X.

Door wordt aan elk niet-negatief reëel getal een beeld toegevoegd, echter niet aan een negatief reëel getal. Wat zullen we nu zeggen:

g is een functie van ER naar[R.

g is een functie vanERnaarlRvoorzover gedefinieerd, g is een functie van ER _{\bO} naar ER?}

De nomenclatuurcommissie geeft er de voorkeur aan g een functie van ER naar ER te noemen. Deze functie is gelijk aan de relatie van ERnaar ER: { (x, y) 1 y = Totnogtoe is alleen het standpunt van de nomenclatuurcommissie verduide-lijkt, maar is niet gebleken, dat dit standpunt voordelen heeft. Nu een paar voorbeelden om dit aan te tonen.

Gegeven is de functie van ER naar ER

f:x Ex.

Gevraagd de functie f'.

Rare vraag. Het heeft alleen maar zin te spreken van een functief' van V naar W. We moeten dus specificeren, welke verzamelingen die Ven W zijn. Wel, dat

leide van f is. Volgens de definitie van een functie conform Freudenthal, die ik voortaan kortweg de F-definitie noem, bestaat deze functie niet.

Volgens de definitie conform de nomenclatuurcommissie (n-definitie) luidt het antwoord:

f'x voorx>O

x -lvoorx<O

Gegeven is de differentiaalvergelijking dx+x2 dy=O

Bij het oplossen van een differentiaalvergelijking vraagt nien in het algemeen niet naar functies. Het komt echter stellig voor, dat nien vraagt een functie te vinden, die aan deze vergelijking voldoet. Rare vraag. Goed dan: gevraagd een functie van R naarlR, die aan de vergelijking voldoet. Conform de F-definitie be-staat er geen dergelijke functie. De n-definitie laat als antwoord o.m. toe

f:x 1 .

Er zijn meer praktische voordelen van de n-definitie. Ze zijn in het rapport al gereleveerd, maar volledigheidshalve herhaal ik ze.

Gevraagd de inverse van de functie van IR + U _{O } naar IR f:x/x.

Opzettelijk zeg ik 'van IR U {O}naarlR' en niet 'van IRnaarIR' om geen menings-verschil te krijgen op een moment, waarop het er nog niet toe doet.

Volgens de F-definitie bestaat een dergelijke inverse niet. Weliswaar is ƒ een injectie, maar het is geen surjectie. En dus is er geen functie van IR naar IR + U 10 }, die de inverse is van _f.

Zouden we de opgave veranderen en vragen naar de inverse van de functie g van

IR UOf naar

IR

dan is volgens de F-definitie deze inverse er wel. Het is namelijk de functie van u{O} naar IRUO:

mv

g :x-*x 2.

Volgens de n- definitie is de inverse van de functie van

IR

fex

de functie van IR iaar IR mv

f : x-*x 2 voorxO.

We zijn blijkbaar van enige subtiliteiten bevrijd. Elke functie, die een injectie is, heeft een inverse. Weinig behoefte hebben we nunog aan de term injectie, die niet anders voor ons betekent dan inverteerbare functie. Ook het belang van de term surjectie verdwijnt voor ons onderwijs.

Evenzo is volgens de n-definitie de inverse van de functie van IRnaar IR

cle functie van IR naar IR - arcsin x

maken: niet een functie is, als er niets bij vermeld is, een functie van ERnaarER bedoeld.

Ten slotte nog één kwestie: de samenstelling van functies. Gegeven zijn de functies

f:x-->2x---1

g : x - 'Jx(volgens de F- definitie een functie van ER + UOnaar ER). Stel de functie g of op.

Volgens de n-definitie is er geen vuiltje aan de lucht. Men vindt gof:x _{-*J (2x-1).}

Volgens de F-definitie bestaat gofniet, omdat het bereik van fgeen deel is van het domein van g en dus niet aan elk reëel getal door g of een beeld toegevoegd zou worden. De samenstelling lukt wel, als we enige voorzichtigheid in acht nemen en de functies

f1 :x-+2x-1 van(xeERIx- - ) naar ER g:x-+-s,/x vanERU{O}naarER beschouwen. Samenstelling levert nu

gof1 :x _*/(2x— 1 )van1xeERIx4}naarER

Ook van deze narigheid zijn we met onze n-definitie af. Van elk paar functiesf van V naar Wen g van Wnaar U kunnen we de samengestelde functie gofvan

V naar U vormen. Als we pech hebben, heeft geen enkel element van V een beeld en is de functie g of dus leeg. Maar waarom zou een relatie wel en een functie niet leeg kunnen zijn? Een consequentie van de n-definitie is, dat de leg functie niet uitgesloten wordt.

Ongaarne zouden we dus ons standpunt verlaten en het voortgezet onderwijs belasten met de F- definitie. Gaarne geef ik toe, dat we het jammer vinden een, in onze ogen niet groot, verschil te creëren tussen de n-defmitie en de in de literatuur gebruikelijke definitie van afbeelding.

Zou het aanbeveling verdienen bij het voortgezet onderwijs te gaan spreken van een afbeelding uit V naar W ?. In de nomenclatuurcommissie is overwogen of dit beter zou zijn. We dachten van niet. Niemand heeft deze uitdrukking te voren gehoord en het lijkt ons erg waarschijnlijk, dat een advies de uitdrukking te gaan gebruiken niet nageleefd zal worden. Het betrekkelijk geringe percentage leerlingen, dat zich later intensief met wiskunde zal bezighouden, zal er dunkt ons geen last van ondervinden, als ze later horen, dat alleen van een afbeelding van V naar W gesproken wordt, als elk element van V afgebeeld wordt. Ze zullen hun terminologie toch al moeten herzien, omdat ze bij het voortgezet onderwijs alleen hebben leren spreken over een afbeelding naar, terwijl ze nu zullen gaan spreken over een afbeelding in en een afbeelding op. Zou het ze veel helpen, als ze bovendien nu 'uit' door 'van' moesten vervangen? Deze over-wegingen hebben de nomenclatuurcommissie ertoe geleid niet op haar mening terug te komen.

Nu de vragen 1-9. Ik zou deze als volgt kort willen beantwoorden.

Vraag 1 en 2. Toegegeven, dat de formulering slordig is. De juiste formulering is:

Met de tunctie van V naar W

f:x -A,

waarin A een uitdrukking is, bedoelen we een functie, waarvan het domein bestaat uit allex € V,waarvoorde uitdrukking die uit A ontstaat door overal

waar x in A vrij voorkomt x te vervangen door v. Hiermee vervalt het tweemaal voorkomen van de letterf, en verdwijnen de door Freudenthal terecht geopper-de bezwaren.

Vraag 3. M.i. kan men het beste zeggen:f is een functie van V naar W met domein V.

Vraag 4. Ook hier kan ik niet zeggen, wat men moet. Wel kan ik zeggen, wat mij het eenvoudigste lijkt. Men kan een bijectie van V naar W definiëren als een functie van V naar W, die een inverse heeft en die Vals domein en W als bereik heeft. Ven W zijn gelijkmachtig wil dan zeggen: er is een bijectie van V naar

W.

Vraag 5. En een perniutatie van 11, 2 ...n is dan een bijectie van l, 2..., n} naar 11, 2...n.

Vraag 6. Lijkt me prima.

Vraag 7. Of men nu de FLdefinitie of de n-definitie bezigt, beide functies bestaan uit dezelfde geordende paren en zijn dus gelijk. Ten minste als men een functie beschouwt als een bijzonder geval van een relatie en dus als een ver-zameling geordende paren. Ik weet, dat Freudenthal in zijn Exacte Logica dit standpunt niet huldigt en functie als een logisch grondbegrip axiomatisch invoert. Eerst dan zouden er verschillen kunnen ontstaan tussen de twee genoemde functies.

Vraag 8. Deze vraag is hierboven bij het samenstellen van functies al beves-tigend beantwoord.

Vraag 9. Het doet me toch genoegen, dat ik hier moet antwoorden: in dit geval geeft de F- definitie een kortere formulering dan de n- definitie.

Nu nog de niinder essentiële bedenkingen. 1 De schrijfwijze

x IA}. waarin A een uitdrukking is,

heeft tot paradoxen geleid.die voorkomen kunnen worden door te eisen, dat men schrijft

€ V IA }.

Vandaar dat er principieel verschil is tussen

xIAAx€V} en {xcV!A}

De tweede schrijfwijze verdient de voorkeur boven de eerste. Dit is o.a. ter sprake gekomen in de secties van bovengenoemde heroriënteringscursus en is

door Freudenthal in de door hem gegeven samenvatting gereleveerd.

Natuurlijk moeten we onze leerlingen niet met dit subtiele verschil lastigvallen. Desondanks is het nuttig, dat wijzelf op de hoogte zijn van dit verschil, dat toch ook iiiet nomenclatuur te maken heeft.

2 Inderdaad is 13, 5) is een oplossing van 7x - = 6' eigenlijk niet correct. Wel correct zou zijn

(3,5) c(,y) 1 7x - 3y = 6}. x=3Ay=5='7x-3y=6 en ook b.v.

(3. 5) is een oplossing van de vergelijking 7x —3y = 6 niet eerste verander lijke .v eii tweede veranderlijke v.

Ik vrees, dat de terecht gesignaleerde slordigheid,die berust op de stilzwijgende afspraak dat 'x voorv komt', wel onuitroeibaar zal zijn, omdat ....we deze

af-spraak nu eenmaal stilzwijgend maken. Maar slordig blijft het.

3 Relatie van V naar W vind ik niet bezwaarlijk. Juist de terminologische analogie niet functie (afbeelding) van V naar W werkt bevorderend op het in-zicht. Relaties tussen drie verzamelingen komen bij het voortgezet onderwijs expliciet nauwelijks voor. We hebben er dan ook geen last van, dat de gekozen terminologie niet gegeneraliseerd kan worden voor relaties tussen meer dan twee verzamelingen.

4 Het woord 'doorlopen' is erg duidelijk. Net zo duidelijk als 'continu',

'naderen tot', 'naderen tot oneindig' e.d. Hoe duidelijk ze zijn, blijkt pas als men vraagt, wat er nu precies onder verstaan wordt. Vandaar onze definities voor limiet, continuïteit e.d.

Welnu, de verzameling van alle geordende paren (3a. a - 2), waarin a de reële getallen doorloopt, is exact genoteerd

(x,y)jae :x=3aAy=a-2. (1)

In de bovenbouw, met name bij het vak meetkunde met vectoren, is een derge-lijke exacte notatie m.i. onontbeerlijk. Maar in de onderbouw verfoeilijk. In de onderbouw zouden we ons dus kunnen redden door te schrijven

(x,y)x=3aAy=a-2, a€D. (2)

Knetterfout? Hoe kan een notatie, die nog geen betekenis heeft, knetterfout zijn? We moeten er eerst een betekenis aan hechten. Niemand zou mij kunnen beletten te definiëren, dat (2) per definitie betekent (1). Wetenschappelijk maak ik dan geen fout. Dus niet knetterfout. Knettergek misschien? Daar zou ik niets tegen kunnen zeggen. Het is een subjectieve appreciatie. Als logicus zou ik het hier direct niee eens zijn. Maar als leraar niet. Als leraar heb ik een tijdelijke notatie bedacht, die aanspreekt. En die later, als men er rijp voor is, door een betere vervangen kan worden.

Het bewijs door volledige inductie

Drs. J. VAN DORMOLEN

Oegstgeest

Een fictief (maar niet onmogelijk) gesprek. Wiskundeleraar (schr (1fl): 1 = 1 4=1+3 9 = 1+3+5 16 = 1+3+5+7 25 = 1+3+5+7+9 = 1+3+5+7+9+ 11

(vraagt): Wat moet hier staan? (Wijst op de lege plek links van het onderste geljkteken).

Leerling: 36.

(In het vervolg is met L steeds een van de leerlingen bedoeld. Het hoeft niet steeds dezelfde leerling te zijn.)

W: Hoe weet je dat?

L: Dat zie je aan die kwadraten.

W: Weet je daardoor dat er 36 moet staan of geloof je dat er 36 moet staan? L: Nou ja, ik geloof het.

W: Wat moet je dus nu nog doen? L: Bewijzen.

W: Hoe?

L: Ik zou het gewoon uit kunnen rekenen. Maar dat is toch geen bewijs? W: Waarom zou dat geen bewijs zijn?

L: Bewijzen is redeneren .

W: Redeneren heeft wel vaak iets met bewijzen te maken, maar wat is bewijzen? Ik bedoel, wat wil je bereiken met een bewijs?

L: Aantonen dat iets waar is.

W: Precies. En als je door rekenen kunt aantonen dat 1 plus drie plus vijf plus zeven plus negen plus elf gelijk is aan zesendertig, is dat dan een bewijs of niet?