Memorandum 2032 (December 2013). ISSN 1874−4850. Available from: http://www.math.utwente.nl/publications Department of Applied Mathematics, University of Twente, Enschede, The Netherlands
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s②st❡♠ ✇✐t❤ t❤❡ ❈❉P ❛ s✐♥❣❧❡ s❡r✈❡r ✇✐t❤ r❛t❡ λ✱ ❜✉t ♥♦✇ ✇✐t❤ K ✈❡❤✐❝❧❡s ❛♥❞ ❛♥❛❧②③❡ t❤✐s s②st❡♠ ❜② ▼❉❆✳ ❇② t❤✐s ♠❡t❤♦❞✱ ✇❡ ✜♥❞ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ❛❧❧ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ❜✉s②✱ t❤❛t ✐s P(NK V 0= 0)✇❤❡r❡ NV 0K ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛t t❤❡ ❈❉P✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ ❜② r❡♥❡✇❛❧ t❤❡♦r②✱ ✇❡ ❝❛♥ ❡①♣r❡ss t❤✐s ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❛❧s♦ ❛s t❤❡ ❢r❛❝t✐♦♥ ♦❢ t✐♠❡ t❤❛t ❛❧❧ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ❜✉s② ❛♥❞ t❤❡ t✐♠❡ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❡♣♦❝❤s ❛t ✇❤✐❝❤ ❛❧❧ ✈❡❤✐❝❧❡s ❜❡❝♦♠❡ ❜✉s②✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ t✐♠❡ t❤❛t ❛❧❧ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ❜✉s② ✐s ❥✉st ES✱ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❛♥ ❋✲♣❡r✐♦❞ ✐s ❥✉st t❤❡ t✐♠❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥ts t❤❛t t❤❡ ✜rst ✈❡❤✐❝❧❡ ❜❡❝♦♠❡s ✐❞❧❡ ✉♥t✐❧ ❛❧❧ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ❜✉s② ❛❣❛✐♥✳ ❚♦❣❡t❤❡r t❤✐s ❣✐✈❡s t❤❛t t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦❢ TF✱ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❛♥ ❋✲♣❡r✐♦❞✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ETF = P(N K V 0> 0) P(NK V 0= 0) ES. ✭✺✮ ❚❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞ ✐s ❢♦✉♥❞ ❜② ✜rst ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t t❤❡ ❜✉s② ♣❡r✐♦❞ ♦❢ t❤❡ s❡r✈❡r ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ t✐♠❡ ❡❧❛♣s❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠♦♠❡♥ts ❛t ✇❤✐❝❤ t❤❡ s❡r✈❡r ❧❡❛✈❡s ❛♥ ❡♠♣t② q✉❡✉❡✱ t❤❛t ✐s L = 0✳ ❉✉r✐♥❣ t❤✐s ♣❡r✐♦❞ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s❡r✈✐❝❡ st❛rts ❡q✉❛❧s 1/P(L = 0)✱ s♦ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤✐s ❜✉s② ♣❡r✐♦❞ ✐s ETBP = ES/P(L = 0)✳ ❆ ❇✲♣❡r✐♦❞ ❡♥❞s ✇❤❡♥ t❤❡ s❡r✈❡r ❧❡❛✈❡s ❛♥❞ ♥♦ ♦♥❡ ❡♥t❡rs ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ♥♦ r❡q✉❡sts ❡♥t❡r ❞✉r✐♥❣ ❛ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ˆA(0) = ˆS(λ)✳ ❚❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜✉s② ♣❡r✐♦❞s ❞✉r✐♥❣ ❇✲♣❡r✐♦❞ ✐s ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ ✇✐t❤ s✉❝❝❡ss ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ˆS(λ) s♦ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦❢ TB✱ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❛ ❇✲ ♣❡r✐♦❞✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ETB= ETBP ˆ S(λ) = ES ˆ S(λ)P(L = 0). ✭✻✮ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② PF t❤❛t t❤❡ s②st❡♠ ✐s ✐♥ ❛♥ ❋✲♣❡r✐♦❞ ❛t ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② t✐♠❡ ♣♦✐♥t ✐s ♥♦✇ ❣✐✈❡♥ ❜② PF = ETF ETF + ETB . ✭✼✮ ❚❤❡ ▼❉❆ ❛❧❣♦r✐t❤♠s ♣r♦✈✐❞❡ ✉s ✇✐t❤ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛t ❡✈❡r② ♥♦❞❡ ✭❝❢✳ ❡q✳ ✭✶✮✮✱ ❜♦t❤ ❞✉r✐♥❣ ❛♥ ❋✲♣❡r✐♦❞ ❛♥❞ ❛ ❇✲♣❡r✐♦❞✳ ❚♦ ❛♣♣❧② ▲✐tt❧❡✬s ▲❛✇ ❤♦✇❡✈❡r✱ ✇❡ ❞♦ ♥❡❡❞ t♦ ❦♥♦✇ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❡q✉❡sts ✐♥ t❤❡ s②st❡♠✳ ❙✐♥❝❡ ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ✐♥ ❇ ❋ ❇ ❋ ❇ ❋ ❙②st❡♠ ❈②❝❧❡ ❋✐❣✉r❡ ✻✿ ■❧❧✉str❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❝②❝❧❡✳ ✶✵
t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ ❝❛♥ ❝❛rr② ♠♦r❡ ❝♦♥t❛✐♥❡rs✱ ✇❡ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❝❛♣❛❝✐t② ✉s❡❞ ❜② t❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡s ✭✇❤✐❝❤ ✐s ❛t ♠♦st ❝✮✳ ❲❡ ✜rst ✜♥❞ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s t❤❛t ❧❡❛✈❡ ❞✉r✐♥❣ ❛♥ ❋✲♣❡r✐♦❞ ❛♥❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❇✲♣❡r✐♦❞✳ ❇② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ❡✈❡r② ❛rr✐✈❛❧ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❋✲ ♣❡r✐♦❞ ✐s s❡r✈❡❞ ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧②✱ s♦ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s t❤❛t ❞❡♣❛rt ❞✉r✐♥❣ t❤✐s ♣❡r✐♦❞✱ ❡q✉❛❧s t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❛rr✐✈❛❧s ❞✉r✐♥❣ t❤✐s ♣❡r✐♦❞ ✇❤✐❝❤ ✐s λETF✳ ❉✉r✐♥❣ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞❡♣❛rt✐♥❣ ✈❡❤✐❝❧❡s ✐s ˆS(λ)P(L = 0)−1✱ ✐♥❝❧✉❞✐♥❣ t❤❡ ✜rst ✈❡❤✐❝❧❡✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛s ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ ❝♦✉♥t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞✳ ❈♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣❧②✱ ♦♥ ❛✈❡r❛❣❡✱ t❤❡ ❝❛♣❛❝✐t② ✉s❡❞ ❜② ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ❡q✉❛❧s ECV = λ(ETF + ETB) λETF + ˆS(λ)P(L = 0) −1 − 1 . ✭✽✮ ◆♦✇ ✇❡ ❝❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦❢ LP✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❡q✉❡sts ❜❡✐♥❣ ♣r♦❝❡ss❡❞✱ ❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ♣r♦❝❡ss✐♥❣ ❛ r❡q✉❡st ❜② ECV ♦r ELP = M −1 X i=1 PFENV iF + (1 − PF)ENV iB ECV. ❚❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥s ENF V i ❛♥❞ ENV iB ❢♦❧❧♦✇ ❢r♦♠ t❤❡ ▼❉❆✳ ❇② ❛♣♣❧②✐♥❣ ▲✐tt❧❡✬s ▲❛✇✱ ✇❡ ✜♥❞ EW = ELP + ELT(1 − PF) λ , ✇❤❡r❡ ELT✱ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❡q✉❡sts ✐♥ t❤❡ ❡①t❡r♥❛❧ q✉❡✉❡ ❞✉r✐♥❣ ❛ ❇✲♣❡r✐♦❞✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❡q✳ ✭✹✮ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ❧♦♦❦ ❛t t❤❡ ♦t❤❡r ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♠❡❛s✉r❡✱ ♥❛♠❡❧② t❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡ ✉t✐❧✐③❛t✐♦♥ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❢r❛❝t✐♦♥ ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s t❤❛t ✐s ♥♦t ✐❞❧✐♥❣ ❛t t❤❡ ❈❉P✳ ❉✉r✐♥❣ ❛ ❇✲ ♣❡r✐♦❞ ❛❧❧ K ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ❜✉s②✱ ✇❤❡r❡❛s ✐♥ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞ K − ENC ❛r❡ ❜✉s②✳ ❙♦ t❤❡ ✉t✐❧✐③❛t✐♦♥ U ✐s U = 1 − ENKC · PF. ✭✾✮ ❲❡ ✜♥✐s❤ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ❜② s♦♠❡ r❡♠❛r❦s ♦♥ t❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞✳ ❚❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ✐s r❡❛❞✐❧② ❢♦✉♥❞ ❜② t❤❡ ▼❉❆✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ✐s ❛❧r❡❛❞② ♠✉❝❤ ♠♦r❡ ❞✐✣❝✉❧t t♦ ✜♥❞✱ ❧❡t ❛❧♦♥❡ t❤❡ ✇❤♦❧❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳ ■t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ ❜② ❞♦✐♥❣ ❛ ❞❡t❛✐❧❡❞ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ✉♥❞❡r❧②✐♥❣ ♣r♦❞✉❝t ❢♦r♠ ♥❡t✇♦r❦✱ ❜✉t ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡ ♦❢ t✇♦ t❡r♠✐♥❛❧s ❛♥❞ ♦♥❡ str❡❛♠✱ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♠♦♠❡♥t ✐s ❛❧r❡❛❞② ❤❛r❞ t♦ ✜♥❞✳ ■♥ t❤❡ s❡q✉❡❧✱ s♦♠❡ ❝❤♦✐❝❡s ♦❢ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s ❛r❡ ❣✐✈❡♥✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ✜rst t✇♦ ♠♦♠❡♥ts✳ ❋♦r ♥♦✇✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ✇❡ ❦♥♦✇ ES ❛♥❞ c2 S = var(S)/(ES)2 ≤ 1✳ ❚♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ˆS(s)✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ♠❛❦❡ ✶✶
s♦♠❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✳ ❲❡ ♥❡①t ♣r❡s❡♥t s❡✈❡r❛❧ ♦♣t✐♦♥s ❢♦r ♠♦❞❡❧✐♥❣ t❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞✳ • ❚❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ✐s t❤❡ s✉♠ ♦❢ ❛ ❝♦♥st❛♥t ❛♥❞ ❛♥ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡✳ ■t ✐s ❡❛s✐❧② ❢♦✉♥❞ t❤❛t ˆ S(s) = µ µ + se −sD, ✭✶✵✮ ✇✐t❤ D = ES(1 − cS) ❛♥❞ µ−1= cSES✳ • ❚❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ✐s ❡✐t❤❡r ❝♦♥st❛♥t D ✭✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② p✮ ♦r ❛♥ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✇✐t❤ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ 1/µ✳ ■t ✐s ❡❛s✐❧② ❢♦✉♥❞ t❤❛t ✇❡ ♠❛② t❛❦❡ D = 1/µ = ES ❛♥❞ p = (1 − c2 S)✳ ❚❤✐s ❣✐✈❡s ˆ S(s) = pe−sD+ (1 − p) µ µ + s. ✭✶✶✮ • ❚❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ✐s t❤❡ s✉♠ ♦❢ ❛♥ ❊r❧❛♥❣✐❛♥(k, ν) r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛♥❞ ❛♥ ❡①♣♦✲ ♥❡♥t✐❛❧ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✇✐t❤ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ 1/µ✳ ■t ✐s ❡❛s✐❧② ❢♦✉♥❞ t❤❛t ˆ S(s) = µ µ + s ν ν + s k ✭✶✷✮ ✇✐t❤ k ≥ 1−c2S c2 S ✱ µ = (αES) −1❛♥❞ ν = k((1−α)ES)−1✱ ✇❤❡r❡ α = √c2Sk 2 −(1−c2 S)k+1 k+1 ✳ • ❚❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ✐s ❡✐t❤❡r ❛♥ ❊r❧❛♥❣✐❛♥(k, ν) r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② p ♦r ❛♥ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ r❛♥❞♦♠ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❜♦t❤ ✇✐t❤ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ k/ν = 1/µ = ES✳ ■t ✐s ❡❛s✐❧② ❢♦✉♥❞ t❤❛t ✇❡ ♠❛② t❛❦❡ ˆ S(s) = µ µ + s ν ν + s k ✭✶✸✮ ✇✐t❤ k ≥ c−2 S ❛♥❞ p = 1−c2 S 1−1/k✳ ❖✉r ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ✐♥❞✐❝❛t❡ t❤❛t t❤❡ r❡s✉❧ts ❛r❡ ♥♦t ✈❡r② s❡♥s✐t✐✈❡ t♦ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐♥ ✉s❡✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡✱ ✇❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t ✉s✐♥❣ t❤❡ ♠✐① ♦❢ ❛ ❞❡t❡r♠✐♥✐st✐❝ ❛♥❞ ❡①♣♦♥❡♥t✐❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥✱ s❡❡ ❡q✳ ✭✶✶✮ ✇✐t❤ c2 S = (1 − K−1/2)2✱ ❣✐✈❡s ❛ ❣♦♦❞ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✳ ✶✷
✷✳✸ ▼✉❧t✐✲str❡❛♠ ❝❛s❡ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❝❛s❡ ✇✐t❤ ♠✉❧t✐♣❧❡ t❡r♠✐♥❛❧s ❛♥❞ ♠✉❧t✐♣❧❡ str❡❛♠s✳ ❆s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡✱ s❡❡ ❋✐❣✉r❡ ✼✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ♥♦t ✐❞❧❡ ✇❤❡♥ ❛ r❡q✉❡st ✐s ❚❡r♠✐♥❛❧ ❆ ❚❡r♠✐♥❛❧ ❇ ❚❡r♠✐♥❛❧ ❈ ❈❡♥tr❛❧ ❉✇❡❧❧✐♥❣ P♦✐♥t ❋✐❣✉r❡ ✼✿ ❚❤❡ ♠✉❧t✐✲str❡❛♠ ❝❛s❡ ✇❛✐t✐♥❣✳ ■❢ ❛❧❧ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ❜✉s②✱ ✐♥❝♦♠✐♥❣ r❡q✉❡sts ❛r❡ q✉❡✉❡❞✳ ❲❤❡♥ ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ r❡t✉r♥s t♦ t❤❡ ❈❉P✱ ✐t ✇✐❧❧ ♣✐❝❦ ✉♣ t❤❡ ✜rst r❡q✉❡st ✐♥ t❤❡ q✉❡✉❡ ❛♥❞ ❛❧❧ r❡q✉❡sts ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ❖❉P ✉♣ t♦ ✐ts ❝❛♣❛❝✐t② c✳ ❘❡q✉❡sts ✇✐t❤ ❖❉P i ❛rr✐✈❡ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❛ P♦✐ss♦♥ ♣r♦❝❡ss ✇✐t❤ r❛t❡ λℓ✱ ℓ = 1, · · · , M✱ ✇❤❡r❡ M ✐s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ❖❉P✬s✳ ❚❤❡ t♦t❛❧ ❛rr✐✈❛❧ r❛t❡ λ = PM ℓ=1λℓ✳ ❆❧❧ ❖❉P r❡q✉❡sts ♦❢ t②♣❡ ℓ ❤❛✈❡ ❛ ✜①❡❞ r♦✉t❡ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦ ✭s♦ t❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡s s❡r✈✐❝❡✐♥❣ ❛ t②♣❡ ℓ r❡q✉❡st t♦✮✱ r❡✢❡❝t❡❞ ✐♥ t❤❡ r♦✉t✐♥❣ ♠❛tr✐① Rℓ✳ ❆❢t❡r ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ❤❛s ❞❡❧✐✈❡r❡❞ t❤❡ ❝♦♥t❛✐♥❡rs ❛t t❤❡ ❞❡st✐♥❛t✐♦♥ t❡r♠✐♥❛❧✱ t❤❡ t②♣❡ ♦❢ t❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡ ❝❤❛♥❣❡s t♦ ✬✵✬✱ ♥♦t s❡r✈✐❝✐♥❣ ❛ r❡q✉❡st✳ ◆♦t❡ t❤❛t ❜② t❤✐s ❞❡✜♥✐t✐♦♥✱ t❤❡ ❛rr✐✈❛❧ r❛t❡ ♦❢ t②♣❡ ✵ ✈❡❤✐❝❧❡s ✐s λ0= λ✳ ❚❤❡ ✈✐s✐t r❛t✐♦s ♦❢ ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ♦❢ t②♣❡ ℓ t♦ ❛ ♥♦❞❡ i ✐s Vℓi✳ ❋♦r t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s✱ ✇❡ ❛❣❛✐♥ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞s ❛♥❞ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞s✳ ❉✉r✐♥❣ ❛♥ ❋✲♣❡r✐♦❞✱ ❡✈❡r② ✐♥❝♦♠✐♥❣ r❡q✉❡sts ✐s ♣r♦❝❡ss❡❞ ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧②✳ ❚❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤✐s ♣❡r✐♦❞ ✐s ❛❣❛✐♥ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ▼❉❆ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✭♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✷✮ ❜✉t ♥♦✇ ✇✐t❤ ❞✐✛❡r❡♥t t②♣❡s ♦❢ ❝♦♥t❛✐♥❡r r❡q✉❡sts✱ s♦ ✇✐t❤ ❛♥ ❛❣❣r❡❣❛t❡❞ r♦✉t✐♥❣ ♠❛tr✐① ✇❤✐❝❤ r❡✢❡❝ts t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t t②♣❡s❀ ♠♦r❡ ❡①♣❧✐❝✐t❡❧②✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t t❤❡ ❡♥tr✐❡s ♦❢ R✱ t❤❡ r♦✉t✐♥❣ ♠❛tr✐① ❢♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ✈❡❤✐❝❧❡✱ ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ❜② Rij = M X ℓ=0 pℓiRℓ,ij, ✭✶✹✮ ✶✸
✇❤❡r❡ pℓi✱ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ❛t st❛t✐♦♥ i ✐s ♦❢ t②♣❡ ℓ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② pℓi= λℓVℓi PM ℓ=0λℓVℓi . ✭✶✺✮ ❚❤❡ ▼❉❆ ❣✐✈❡s ✉s t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ NF V i✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛t ♥♦❞❡ i✱ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ENF V i ❢♦❧❧♦✇s✳ ❖♥❧② ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ♠♦❞❡❧ t❤❡ ❡①t❡r♥❛❧ q✉❡✉❡✳ ❲❡ ♠♦❞❡❧ t❤❡ s②st❡♠ ✇✐t❤ M = K(K − 1) ❞✐✛❡r❡♥t ❖❉P✬s ❛s M q✉❡✉❡s✱ ♦♥❡ ❢♦r ❡✈❡r② str❡❛♠✳ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❋✐❣✉r❡ ✼✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r M = 6 q✉❡✉❡s✱ ❡❛❝❤ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ str❡❛♠✳ ❖♥❝❡ ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ r❡t✉r♥s t♦ t❤❡ ❈❉P✱ ✐t ❣♦❡s t♦ t❤❡ q✉❡✉❡ t❤❛t ❤❛s t❤❡ ❡❛r❧✐❡st ❛rr✐✈❡❞ ❝✉st♦♠❡r ✭♦r ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣❧②✱ t❤❡ ❧♦♥❣❡st ✇❛✐t✐♥❣ ❝✉st♦♠❡r✮ ❛♥❞ t❛❦❡s ❛t ♠♦st c r❡q✉❡sts ❢r♦♠ t❤✐s q✉❡✉❡✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ♦❢ ❛❧❧ ♥♦♥❡♠♣t② q✉❡✉❡s✱ r❡q✉❡sts ❛r❡ t❛❦❡♥ ❢r♦♠ t❤❡ q✉❡✉❡ ❜② t❤✐s r❡t✉r♥✐♥❣ ✈❡❤✐❝❧❡✱ ✐s ♣r♦♣♦rt✐♦♥❛❧ t♦ t❤❡ ❛rr✐✈❛❧ r❛t❡✳ ▼♦r❡ ❢♦r♠❛❧❧②✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t ✇❤❡♥ t❤❡ s❡r✈❡r r❡t✉r♥s t♦ t❤❡ ❈❉P✱ ❛ ♥✉♠❜❡r ♦❢ q✉❡✉❡s ❛r❡ ♥♦t ❡♠♣t②✳ ▲❡t MNE ❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ♥♦♥❡♠♣t② q✉❡✉❡s ✉♣♦♥ ❛rr✐✈❛❧ ♦❢ ❛ ✈❡❤✐❝❧❡✱ s♦ MNE ⊂ M = {1, · · · , K}✳ ❆ q✉❡✉❡ m ∈ MNE ✐s s❡r✈❡❞ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② pm = λm/Λ ✇❤❡r❡ Λ = Pm∈MNEλm✳ ❲✐t❤ t❤❡s❡ r✉❧❡s✱ ❧❡t qm ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t q✉❡✉❡ m ✐s ❡♠♣t② ❛❢t❡r ❛ s❡r✈✐❝❡ ❛♥❞ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤✐s q✉❡✉❡ ✐s ❡♠♣t② ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ ♦t❤❡r q✉❡✉❡s✳ ❚❤❡♥ P (MNE) = Y m∈MNE (1 − qm) Y m∈MC NE qm. ✭✶✻✮ ❚♦❣❡t❤❡r✱ t❤✐s ❣✐✈❡s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t q✉❡✉❡ ℓ✱ ❣✐✈❡♥ t❤❛t t❤✐s q✉❡✉❡ ✐s ♥♦♥ ❡♠♣t②✱ ✐s s❡r✈❡❞ ˜ pℓ = λℓ X MNE∈Mℓ P (MNE)/(1 − qℓ) P m∈MNEλm . ✭✶✼✮ ■♥ ❡q✳ ✭✶✼✮✱ Mℓ ❞❡♥♦t❡s s❡t ♦❢ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ✇✐t❤ q✉❡✉❡ ℓ ♥♦♥ ❡♠♣t②✳ ❚♦ ❛♥❛❧②③❡ t❤❡ q✉❡✉❡s✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❛ ♥♦♥ ❡♠♣t② q✉❡✉❡ i ✐s ❛❧✇❛②s s❡r✈❡❞ ✇❤❡♥ t❤❡ s❡r✈❡r ❣❡ts ❢r❡❡✱ ❜✉t t❤❛t t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s❡r✈❡❞ r❡q✉❡sts ✐s ③❡r♦ ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② 1 − ˜pi✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ t❤❡ ③✲tr❛♥s❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ r❡q✉❡sts s❡r✈❡❞ ❢r♦♠ q✉❡✉❡ i ✐s ✶✹
1 − ˜pi(1 − zc)✳ ❚❤❡ ③✲tr❛♥s❢♦r♠ ♦❢ t❤❡ q✉❡✉❡ ❧❡♥❣t❤ ❛t q✉❡✉❡ ℓ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✭❝❢✳ ❡q✳ ✭✸✮✮ ˆ Lℓ(z) = c˜pℓ− λℓES Qc−1 j=1(1 − zj) ! (1 − z)Qc−1 j=1(z − zj) ˆ Aℓ(z)((1 − ˜pℓ)zc− ˜pℓ) − zc ! . ✭✶✽✮ ✇❤❡r❡ t❤❡ zj✱ j = 1, · · · , c − 1 ❛r❡ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① r♦♦ts ♦❢ t❤❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛t♦r ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ✉♥✐t ❝✐r❝❧❡ ❛♥❞ ˆAℓ(z) = ˆS(λℓ(1 − z))✳ ❚❤❡ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡s ❛r❡ ❢♦✉♥❞ ❜② t❤❡ ▼❉❆ ✭❛s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ✐♥ ❙❡❝t✐♦♥ ✷✳✷✮ ✇❤❡r❡ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❞✉r✐♥❣ ❛ ❇✲♣❡r✐♦❞ ❛ ❞❡♣❛rt✐♥❣ ✈❡❤✐❝❧❡ ✐s ♣r♦❝❡ss✐♥❣ ❛ t②♣❡ i r❡q✉❡st ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧t② λi/λ✳ ❇② t❤✐s ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ t❤❡ r♦✉t✐♥❣ ♠❛tr✐① ❢♦r ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ❞❡♣❛rt✐♥❣ ✈❡❤✐❝❧❡ ✐s R✱ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❡q✳ ✭✶✺✮✳ ❚❤❡ ▼❉❆ ❛❧s♦ ♣r♦✈✐❞❡s ✉s t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♦❢ NB V i✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛t ♥♦❞❡ i ✐♥ t❤❡ ❇✲s②st❡♠✱ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ENB V i❢♦❧❧♦✇s✳ ◆♦t❡ t❤❛t ˆLℓ(z) ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ ˜pℓ ❛♥❞ ˜pℓ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ qk = ˆLk(0) ˆAk(0)✱ k = 1, · · · , M✳ ❲❡ ❝❛♥ ✜♥❞ ❛ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ ˜pℓ ❛♥❞ qℓ t❤❛t s❛t✐s❢② t❤❡s❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝② r❡❧❛t✐♦♥s✱ ✉s✐♥❣ ❛♥ ✐t❡r❛t✐✈❡ ❛♣♣r♦❛❝❤✳ ❚❤✐s ✐s ❢♦r♠❛❧❧② st❛t❡❞ ❛s ❛ ❧❡♠♠❛ ❜❡❧♦✇✳ ▲❡♠♠❛ ✶✳ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❝❤❡♠❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s✿ ✶✳ ❙❡t n = 1 ❛♥❞ ˜p(1) ℓ = 1✱ ℓ = 1, · · · , M❀ t❤✐s ❛ss✐❣♥s ❛❧❧ ❝❛♣❛❝✐t② t♦ ❛❧❧ q✉❡✉❡s✳ ✷✳ ❈♦♠♣✉t❡ ˆL(n) ℓ (z) ✇✐t❤ ˜p (n) ℓ ✱ ℓ = 1, · · · , M❀ ✸✳ ❙❡t n = n + 1 ❛♥❞ q(n) ℓ = ˆL (n−1) ℓ (0) ˆAℓ(0)✱ ℓ = 1, · · · , M❀ ✹✳ ❯s❡ q(n) ℓ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ ˜p (n+1) ℓ ❜② ❡q✳ ✭✶✼✮❀ ✺✳ ■♥❝r❡❛s❡ ♥ ❛♥❞ ✐t❡r❛t❡ st❡♣ ✷✱ ✸ ❛♥❞ ✹ ✉♥t✐❧ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ Pr♦♦❢✳ ❚♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤❡ ❛❜♦✈❡ s❝❤❡♠❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s✱ ✇❡ ✜rst ♥♦t❡ t❤❛t ✐❢ ˜p(n−1) ℓ ≥ ˜p (n) ℓ t❤❡♥ q(n) ℓ ≥ q (n+1) ℓ ✳ ❚❤✉s✱ ✐❢ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t q (n−1) ℓ ≥ q (n) ℓ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ˜p (n) ℓ ≥ ˜p (n+1) ℓ ✱ ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ t❤❛t ✇❡ ✇♦✉❧❞ t❤❡♥ ❣❡t ❞❡❝r❡❛s✐♥❣ s❡q✉❡♥❝❡s ˜p(n) ℓ ❛♥❞ q (n+1) ℓ ✱ ❢♦r n = 1, 2 · · · ♦❢ ♣♦s✐t✐✈❡ ♥✉♠❜❡rs t❤❛t s❤♦✉❧❞ ❝♦♥✈❡r❣❡✳ ❆s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❢r♦♠ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✼✮✱ ˜pℓ ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ q1, · · · , qM❀ ❛♥❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ♠❛❦❡ t❤✐s ❡①♣❧✐❝✐t✱ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ✐t ❛s ˜pℓ(q1, · · · , qM)✳ ❋✉rt❤❡r✱ ❧❡t qℓ∗ ❜❡ ❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ❧❡ss t❤❛♥ qℓ✳ ❲❡ ✇❛♥t t♦ s❤♦✇ t❤❛t ˜pℓ(q1, · · · , qM) ≥ ˜pℓ(q∗1, · · · , q∗M)✳ ❲✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✱ ✇❡ ✇✐❧❧ s❤♦✇ t❤✐s ❢♦r ℓ = 1✳ ◆♦✇ ✜rst ❛ss✉♠❡ t❤❛t ♦♥❧② qM ≥ qM∗ ✳ ▲❡t MZ ❞❡♥♦t❡ ❛♥② s✉❜s❡t ♦❢ {2, · · · , M − 1} ✶✺
❛♥❞ P(MZ) =Qm∈MZ(1 − qm) Q m∈MC Z qm ✇❤❡r❡ M C Z ⊂ {2, · · · , M − 1}✳ ❚❤❡♥ ˜ p1(q1, · · · , qM) ✭✶✾✮ = λ1 X MZ P (MZ) P qM m∈{1}∪MZλm + 1 − qM λM +Pm∈{1}∪MZλm ! ✭✷✵✮ ≥ λ1 X MZ P (MZ) qM∗ P m∈{1}∪MZλm + 1 − q ∗ M λM +Pm∈{1}∪MZλm ! ✭✷✶✮ = ˜pi(q1, · · · , qM −1, qM∗ ). ✭✷✷✮ ❲❡ ❝❛♥ r❡♣❡❛t t❤✐s ❛r❣✉♠❡♥t t♦ s❤♦✇ t❤❛t ˜ p1(q1, · · · , qM) ≥ ˜p1(q1, · · · , qM −1∗ , qM) ≥ ˜p1(q1, · · · , qM −1∗ , qM∗ ). ✭✷✸✮ ❇② r❡♣❡❛t✐♥❣ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❛r❣✉♠❡♥t❛t✐♦♥ ✇❡ ❣❡t ˜ p1(q1, · · · , qM) ≥ ˜p1(q1, q2∗· · · , q∗M) = ˜p1(q1∗, · · · , qM∗ ). ✭✷✹✮ ❚❤✐s ♣r♦✈❡s t❤❡ ❧❡♠♠❛✳ ◆♦✇ t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ❛♥❛❧②s❡ t❤❡ q✉❡✉❡s ❢♦r t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❖❉P✬s✱ ✇❡ ❝❛♥ ❣✐✈❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♠❡❛s✉r❡ ❢♦r t❤❡ ♠✉❧t✐✲str❡❛♠ ❝❛s❡✳ ▼♦st ♦❢ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❛r❡ ❡q✉❛❧ t♦ t❤♦s❡ ✐♥ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ str❡❛♠✱ ❜✉t ❢♦r ❝♦♠♣❧❡t❡♥❡ss✱ ✇❡ ❛❧s♦ ❣✐✈❡ t❤❡♠ ❤❡r❡✳ ❆❣❛✐♥ ✇❡ ✜rst ❣✐✈❡ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞ ❛♥❞ ❇✲♣❡r✐♦❞✱ t❤❡♥ ✇❡ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ✉t✐❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛♥❞ t❤❡ ✉s❡❞ ❝❛♣❛❝✐t② ♣❡r tr✐♣ ♦❢ ❛ ✈❡❤✐❝❧❡✳ ❋✐♥❛❧❧② ✇❡ ❣✐✈❡ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ t❤r♦✉❣❤♣✉t t✐♠❡ ♦❢ ❛ r❡q✉❡st✳ ❚❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✭s❡❡ ❡q✳ ✭✺✮✮✱ ETF = P(N ∗ C > 0) P(N∗ C = 0) ES. ✭✷✺✮ ❚❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞ ✐s ❢♦✉♥❞ ❜② ✜rst ❧♦♦❦✐♥❣ ❛t t❤❡ ❜✉s② ♣❡r✐♦❞ ♦❢ t❤❡ s❡r✈❡r ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ t✐♠❡ ❡❧❛♣s❡❞ ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❝♦♥s❡❝✉t✐✈❡ ♠♦♠❡♥ts ❛t ✇❤✐❝❤ t❤❡ s❡r✈❡r ❧❡❛✈❡s ❛❧❧ q✉❡✉❡s ❡♠♣t②✱ t❤❛t ✐s Lm = 0✱ m = 1, · · · , M✳ ❉✉r✐♥❣ t❤✐s ♣❡r✐♦❞ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ s❡r✈✐❝❡ st❛rts ❡q✉❛❧s 1/ QM m=1P(Lm = 0)✱ s♦ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ t❤✐s ❜✉s② ♣❡r✐♦❞ ✐s ETBP = ES/QMm=1P(Lm = 0)✳ ❆ ❇✲♣❡r✐♦❞ ❡♥❞s ✇❤❡♥ t❤❡ s❡r✈❡r ❧❡❛✈❡s ❛♥ ❡♠♣t② s②st❡♠ ❛♥❞ ♥♦ ♦♥❡ ❡♥t❡rs ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② t❤❛t ♥♦ r❡q✉❡sts ❡♥t❡r ❞✉r✐♥❣ ❛ s❡r✈✐❝❡ t✐♠❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ˆA(0) = ˆS(λ)✳ ❚❤✉s t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❜✉s② ♣❡r✐♦❞s ❞✉r✐♥❣ ❛ ❇✲♣❡r✐♦❞ ✐s ❣❡♦♠❡tr✐❝❛❧❧② ❞✐str✐❜✉t❡❞ ✇✐t❤ s✉❝❝❡ss ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ˆS(λ) ✶✻
s♦ t❤❡ ❡①♣❡❝t❛t✐♦♥ ♦❢ TB✱ t❤❡ ❧❡♥❣t❤ ♦❢ ❛ ❇✲♣❡r✐♦❞✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ETB = ETBP ˆ S(λ) = ES ˆ S(λ)QM m=1P(Lm= 0) . ✭✷✻✮ ❚❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② PF t❤❛t t❤❡ s②st❡♠ ✐s ✐♥ ❛♥ ❋✲♣❡r✐♦❞ ❛t ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② t✐♠❡ ♣♦✐♥t ✐s ♥♦✇ ❣✐✈❡♥ ❜② PF = ETFET+ETF B✳ ❉✉r✐♥❣ ❛ ❇✲♣❡r✐♦❞ ❛❧❧ K ✈❡❤✐❝❧❡s ❛r❡ ❜✉s②✱ ✇❤❡r❡❛s ✐♥ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞✱ ♦♥ ❛✈❡r❛❣❡✱ K − ENC ❛r❡ ❜✉s②✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ✈❡❤✐❝❧❡ ✉t✐❧✐③❛t✐♦♥ U ✐s U = 1 − ENC K PF. ✭✷✼✮ ◆❡①t✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢r❛❝t✐♦♥ ♦❢ ❝❛♣❛❝✐t② ✉s❡❞ ❜② ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ❢♦r str❡❛♠ m✱ m = 1, · · · , M✳ ❇② ❛ss✉♠♣t✐♦♥✱ ❡✈❡r② ❛rr✐✈❛❧ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞ ✐s s❡r✈❡❞ ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧②✱ s♦ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s t❤❛t ❞❡♣❛rt ❞✉r✐♥❣ t❤✐s ♣❡r✐♦❞ ❝❛rr②✐♥❣ str❡❛♠ m ❝♦♥t❛✐♥❡rs✱ ❡q✉❛❧s t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❛rr✐✈❛❧s ♦❢ t②♣❡ m ❞✉r✐♥❣ t❤✐s ♣❡r✐♦❞ ✇❤✐❝❤ ✐s λmETF✳ ❉✉r✐♥❣ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❞❡♣❛rt✐♥❣ ✈❡❤✐❝❧❡s ✐sQM m=1P(Lm = 0) −1 ✱ ✐♥❝❧✉❞✲ ✐♥❣ t❤❡ ✜rst ✈❡❤✐❝❧❡✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛s ❛❧r❡❛❞② ❜❡❡♥ ❝♦✉♥t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞✳ ❊❛❝❤ s✉❝❤ ✈❡❤✐❝❧❡ ✐s ✇✐t❤ ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② λm/λ ❝❛rr②✐♥❣ str❡❛♠ m ❝♦♥t❛✐♥❡rs✳ ❈♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣❧②✱ ♦♥ ❛✈❡r❛❣❡✱ t❤❡ ❝❛♣❛❝✐t② ✉s❡❞ ❜② ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ♦❢ t②♣❡ m ❡q✉❛❧s ECV = λm(ETF + ETB) λmETF + (λm/λ) QM m=1P(Lm = 0) −1 − 1 . ✭✷✽✮ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡ ✉s❡❞ ❝❛♣❛❝✐t② ❞♦❡s ♥♦t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ t❤❡ t②♣❡✳ ◆♦✇ ✇❡ ❝❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t②♣❡ i r❡q✉❡sts ❜❡✐♥❣ ♣r♦❝❡ss❡❞✱ ❜② ♠✉❧t✐♣❧②✐♥❣ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ♣r♦❝❡ss✐♥❣ ❛ r❡q✉❡st ♦❢ t②♣❡ m ❜② ECV✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♣r♦❝❡ss✐♥❣ t✐♠❡ ♦❢ ❛ r❡q✉❡st ✐s t❤❡ t✐♠❡ ❢r♦♠ t❤❡ ♠♦♠❡♥t t❤❛t ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ❧❡❛✈❡s t❤❡ ❈❉P ✉♥t✐❧ t❤❡ ❞❡❧✐✈❡r② ♦❢ t❤❡ ❝♦♥t❛✐♥❡r✭s✮✳ ❋r♦♠ t❤❡ ▼❉❆ ♦❢ t❤❡ ❋✲♣❡r✐♦❞ ❛♥❞ t❤❡ ❇✲♣❡r✐♦❞ ✇❡ s❡❡ t❤❛t ENV i ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡❤✐❝❧❡s ❛t ❛ st❛t✐♦♥ ✭t❤❛t ✐s ❛ t❡r♠✐♥❛❧ ♦r ❛ ❧❛♥❡✮ ✐♥ t❤❡ ♥❡t✇♦r❦✱ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ENV i= ENV iFPF + ENV iB(1 − PF). ✭✷✾✮ ❚♦ ✜♥❞ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t②♣❡ i ✈❡❤✐❝❧❡s ❛t t❤✐s st❛t✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦ ♠✉❧t✐♣❧② ENV i ❜② pim✱ t❤❡ ♣r♦❜❛❜✐❧t② t❤❛t ❛ ✈❡❤✐❝❧❡ ❛t t❤✐s st❛t✐♦♥ ✐s ♦❢ t②♣❡ m✳ ❚❤✐s ♣r♦❜❛❜✐❧✐t② ✐s ✶✼
