PEDIC-nascholing in Gent - februari 2005

(1)

Rijen en

differentievergelijkingen /

recursieve vergelijkingen

met de

TI-83/84-familie

Johan Deprez

PEDIC

Gent, februari 2005

(2)

Kennismaking

► jullie:

jullie:



ASO – TSO?, veel – weinig uren wiskunde?

_{ASO – TSO?, veel – weinig uren wiskunde?}



niet - een beetje - goed vertrouwd met gebruik van

_{niet - een beetje - goed vertrouwd met gebruik van}

TI83/84 voor rijen/recursieve vergelijkingen?

► ik:

ik:



_{EHSAL = economisch hoger onderwijs van 2 cycli,}

wiskunde in de kandidaturen



_{academische lerarenopleiding}



T

_T

33

(3)

Materiaal

► slides: op www.ua.ac.be/johan.deprez

slides: op www.ua.ac.be/johan.deprez

(opschrijven!)

► werkteksten om tijdens de sessies te gebruiken

werkteksten om tijdens de sessies te gebruiken

► tekst om achteraf te lezen

tekst om achteraf te lezen

(4)

Recursieve vergelijkingen: waar te

gebruiken?

► leerplan 3de graad ASO - 6u:

leerplan 3de graad ASO - 6u:



“

_“

De leerlingen kunnen problemen met betrekking tot

_{De leerlingen kunnen problemen met betrekking tot}

discrete veranderingsprocessen wiskundig

modelleren en oplossen. (DI3)”



_{keuze-onderwerp iteratie}



vrije ruimte

_{vrije ruimte}

► discrete veranderingsprocessen/iteratie ook

discrete veranderingsprocessen/iteratie ook

toegankelijk voor andere richtingen in ASO en

TSO

(5)

Bronnen

J.D. en Jan Roels, Discrete

dynamische systemen,

Uitwiskeling 20/3, mei

2004

( tekst om achteraf te

lezen)

(6)

Bronnen

C. Biront, J.D., Wiskundige

begrippen en methoden –

deel 3, Wolters-Plantyn,

1998

(7)

Overzicht

► inleidinginleiding

► werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en recursieve

vergelijkingen (werktekst 1) vergelijkingen (werktekst 1)

► synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeeldensynthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden ► inleiding op werkmoment 2inleiding op werkmoment 2

► werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2)werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2) ► synthese werkmoment 2synthese werkmoment 2

► werkmoment 3: uitbreiding (keuze, werkteksten met antwoorden werkmoment 3: uitbreiding (keuze, werkteksten met antwoorden

bijgevoegd) bijgevoegd)

 recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3)_{recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3)}

 een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4)_{een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4)}

 een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking _{een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking}

(werktekst 5)

TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN

DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

(8)

Overzicht

(werktekst 5)

(9)

Overzicht

(werktekst 5)

(10)

Overzicht

(werktekst 5)

(11)

Overzicht

vergelijkingen (werktekst 1,

vergelijkingen (werktekst 1, errata: zie volgende slideerrata: zie volgende slide))

► werkmoment 3: uitbreiding (keuze)werkmoment 3: uitbreiding (keuze)

 recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3)recursieve vergelijkingen en matrixmodellen (werktekst 3)

 een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4)een niet-lineaire recursieve vergelijking (werktekst 4)

 een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking een differentiaalvergelijking oplossen m.b.v. een recursieve vergelijking (werktekst 5)

(werktekst 5)

TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE

DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

(12)

Errata



Werktekst 2, vraag 5: … Druk 6 keer op [pijltje

_{Werktekst 2, vraag 5: … Druk 6 keer op [pijltje}

rechts] (i.p.v. [TRACE])



Werktekst 2, vraag 7: … druk hiervoor verschillende

_{Werktekst 2, vraag 7: … druk hiervoor verschillende}

keren op [pijltje rechts] (i.p.v. [TRACE])



Werktekst 3, in de commentaar na vraag 6: 'en bij

_{Werktekst 3, in de commentaar na vraag 6: 'en bij}

de matrix uit de volgende paragraaf' weglaten



Werktekst 4, vraag 7 en commentaar bij vraag 8:

_{Werktekst 4, vraag 7 en commentaar bij vraag 8:}

Ook 0 is

x

-coördinaat van een snijpunt (maar dat

_{-coördinaat van een snijpunt (maar dat}

heeft verder weinig belang)

(13)

Overzicht

►

inleiding

►

werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en

recursieve vergelijkingen (werktekst 1)

►

synthese werkmoment 1

en bijkomende voorbeelden

►

inleiding op werkmoment 2

►

werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2)

►

synthese werkmoment 2

►

werkmoment 3: uitbreiding (keuze)

(werktekst 5)

TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE

DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

(14)

Een bos beheren: basisscherm

…

op lange termijn:

(15)

Een bos beheren: recursieve

vergelijking - differentievergelijking

450 )

1 (

1 .

0 )

1 (

)

(

t



B

t





B

t





B

450 )

1 (

9 .

0 )

(

t





B

t





B

3000

)

0 (



B

recursieve vergelijking:

beginvoorwaarde:

)

(

)

1 (

)

(

t

B

t

B

t

B









differentie:

differentievergelijking:



B

(

t

)





0 .

1 B

(

t

)



450

(16)

Een bos beheren: vergelijking en tabel

accolades worden door

de rekenmachine

(17)

Een bos beheren: grafiek

(18)

Een bos beheren: expliciete vergelijking

GRAPH: geen

(19)

De tijd: een netelige kwestie

aantal bomen op het perceel op een zeker

ogenblik, tijdstip

0 1 2 3 4 5 6 7

1ste

jaar jaar2de jaar3de jaar4de jaar5de jaar6de jaar7de

aantal gekapte bomen tijdens het jaar 1

= 10% van het aantal bomen bij het begin van jaar 1

= 10% van het aantal bomen op tijdstip 0

aantal gekapte bomen in een zekere

periode, tijdsinterval

starten met 1

(20)

Een bos beheren: LIST-commando’s

verschillen

worden steeds

(21)

Een bos beheren: dynamisch evenwicht

bij evenwicht:

450 bomen worden gekapt

450 bomen worden geplant

AANTAL bomen blijft gelijk, maar het zijn niet

allemaal dezelfde bomen:

dynamisch evenwicht

evenwicht = getal B met B = 0.9B + 450, dus B = 4500

opgave 12

(22)

Een bos beheren: evenwicht

opgave 14: als je start op het evenwicht: aantal bomen

blijft constant

opgave 15: als het systeem uit evenwicht gebracht

wordt, keert het terug naar het evenwicht:

stabiel

evenwicht

opgave 16:

evenwicht = getal B met B = 0.9B + 450 , dus B = 4500

evenwicht = getal B met B = 0.9 B +450 , dus B = 4500

evenwicht = getal B met B = 0.9B + 450 , dus B = 4500

500 ?

5000

?

(23)

TI83/84 en rijen (deel 1)

► gebruik van de [ANS]-toets bij berekeningen op

gebruik van de [ANS]-toets bij berekeningen op

het basisscherm met recursieve voorschriften

► LIST-commando’s

LIST-commando’s



seq(… voor een rij

_{seq(… voor een rij}



sum(seq(… voor een partieelsom

_{sum(seq(… voor een partieelsom}



∆

_∆

List(seq(… voor een verschilrij

► TABLE en GRAPH in SEQ-vorm

TABLE en GRAPH in SEQ-vorm

► (STAT-omgeving)

(STAT-omgeving)

(24)

Overzicht

►

inleiding

►

werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en

recursieve vergelijkingen (werktekst 1)

►

synthese werkmoment 1

en

bijkomende voorbeelden

►

inleiding op werkmoment 2

►

werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2)

►

synthese werkmoment 2

►

werkmoment 3: uitbreiding (keuze)

(werktekst 5)

TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE

DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

(25)

LIST-commando’s: differenties van

‘veeltermrijen’

(26)

LIST-commando’s: financiële algebra

Vanaf het jaar waarin ik 40 werd, stort ik elk jaar op 1 januari 1000

EUR op een rekening die 5% (samengestelde) intrest per jaar

opbrengt. Ik zal dat volhouden tot het jaar waarin ik 64 word.

Hoeveel geld zal er op deze rekening staan op 1 januari van het jaar

waarin ik 65 word?

waarde van de 1ste storting: 1000×1.05

25

waarde van de 2de storting: 1000×1.05

24

waarde van de 3de storting: 1000×1.05

23

waarde van de laatste = 25ste storting: 1000×1.05

1

…

(27)

TABLE/GRAPH in SEQ-vorm: grafieken

van meetkundige rijen

reden positief en >1

punten op de

grafiek van een

stijgende

exponentiële

functie

versneld stijgend,

limiet +∞

(28)

TABLE/GRAPH in SEQ-vorm: grafieken

van meetkundige rijen

punten

verbinden!

explosief

schommelend,

geen

limietwaarde

(29)

TABLE/GRAPH in SEQ-vorm: rij van

Fibonacci

recursieve

vergelijking van

de tweede orde

twee

beginwaarden!

zelf accolades en

komma plaatsen!

beginterm met

rangnummer 1

(30)

TABLE/GRAPH in SEQ-vorm: rij van

Fibonacci

5

1

5

1

5

2

5

2

n n n

x





_







_





_



_



_



_









(31)

TABLE/GRAPH in SEQ-vorm: rij van

Fibonacci

5

1

5

1

5

2

5

2

n n n

x





_







_





_



_



_



_









een expliciet voorschrift:

-1 < grondtal < 0

 0 als

n

groot is

(32)

Overzicht

►

inleiding

►

werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en

recursieve vergelijkingen (werktekst 1)

►

synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden

►

inleiding op werkmoment 2

►

werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2)

►

synthese werkmoment 2

►

werkmoment 3: uitbreiding (keuze)

(werktekst 5)

TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE

DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

(33)

vergelijking (1), aanbod:

product met productietijd van ongeveer één jaar

(wintertarwe, varkens, …)

Vraag en aanbod: inleiding –

vergelijking (1)

1 



_n n

p

a

beslissing om te produceren (en product op de markt

aan te bieden) valt één jaar vóór het effectief

aanbieden

1

4

30 

_





_n n

p

a

aanbod reageert met

vertraging op de prijs

(34)

Vraag en aanbod: inleiding –

andere vergelijkingen

n n

p

v



n n

a

v



n n

p

v



150 

5 vergelijking (2), vraag:

25

0



p

vergelijking (3), evenwicht:

vergelijking (4), begin:

mechanisme:

prijs van jaar n – 1 bepaalt aanbod van jaar n

in jaar n stijgt/daalt prijs om evenwicht te krijgen

er worden geen voorraden opgebouwd (product is

bederfbaar, modegevoelig, …)

(35)

Vraag en aanbod

...

2



a

16

1



p

25

0



p

70

25

4

30

1











a

1 1

?

zo

dat

70

150

5 p

p





70

1 1

 a



v

rechtstreeks !

(36)

Overzicht

► werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2, werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2, errata oef. 5 en 7: errata oef. 5 en 7:

pijltje rechts i.p.v. [TRACE]

pijltje rechts i.p.v. [TRACE]))

► synthese werkmoment 2synthese werkmoment 2

► werkmoment 3: uitbreiding (keuze)werkmoment 3: uitbreiding (keuze)

(werktekst 5)

TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE DAN

DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN ! DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

(37)

Overzicht

►

inleiding

►

werkmoment 1: basisbediening TI83/84 i.v.m. rijen en

recursieve vergelijkingen (werktekst 1)

►

synthese werkmoment 1 en bijkomende voorbeelden

►

inleiding op werkmoment 2

►

werkmoment 2: webgrafieken (werktekst 2)

►

synthese werkmoment 2

►

werkmoment 3: uitbreiding (keuze)

(werktekst 5)

TIJDENS DE WERKMOMENTEN KUN JE GERUST AAN ANDERE

DAN DE VOORZIENE WERKTEKSTEN WERKEN !

(38)

Vraag en aanbod

25

0



p

x

y



recursievergelijking:

webdiagram:

)

16 ,

25 (

36

8 .

0

₁







_n_ n

p

36

25

8 .

0

16 







(16,16)

36

8 .

0 





x

y

?

25 invullen

voor p

₀

25 invullen

voor x

prijs verloopt gedempt

schommelend met

(39)

Vraag en aanbod

(40)

Overzicht

► werkmoment 3: uitbreiding (keuze, werkmoment 3: uitbreiding (keuze, antwoorden achter de antwoorden achter de