Modelstudie en simulatie van een lineaire robotarm

MODELSTUDIE EN SIMULATIE VAN £EN LlNEAlRE ROBOTARM W.T.J. Smits

A.

Udo Juni 1987 WPA-rapport nr.WPA-0442

INHOUDSOPGA VE

SAMENVATIING

VOORWOORD

HI INLEIDING

H2 DE ROBOTARM

§ 2.1 ALGEMENE BESCHRIJVING VAN DE ROBOTARM § 2.2 WERKING EN BESTURING VAN DE ROBOTARM

§ 2.2.1 De SBC en het programma § 2.2.2 De versterker

§ 2.2.3 Het meetsysteem § 2.2.4 Het regelsysteem

H3 RET ONTWERPEN VAN EEN MODEL VOOR DE LlNEAlRE ROBOTARM

§ 3.1 DE THEORETISCHE ACHTERGROND § 3.2 MODELVORMING

§ 3.2.1 Model van de motor

§ 3.2.2 Model van motor en tacho

§ 3.2.3 Model van motor, tacho en spindel § 3.2.4 Model van het gehele systeem

1 3 3 5 5 7 7 8 11 11 16 16 18 22 27

H4 UITWERKING VAN MODELLEN MET BEHULP VAN SIMULATIEPROGRAMMA'S

30

§

4.1 ALGEMENE INFORMATIE OVER PCMATLAB

30

§

4.2 ALGEMENE INFORMATIE OVER TRIP

30

§

4.3 UITWERKING VAN MODELBEWERKINGEN

31

§

4.3.1

Model van de motor

32

§

4.3.2

Model van motor en tacho

34

§

4.3.3

model van motor, tacho en spindel

37

H5 BE PALEN VAN DE SYSTEEMOVERDRACHT MET BEHULP VAN EEN ANALYZER 40

§

5.1 DE WERKING VAN DE ANALYZER

§

5.2 HET METEN VAN VERPLAATSINGSFUNCfIES

§

5.3 HET METEN VAN DE SYSTEEMOVERDRACHT

H6 NABESPREKING EN EINDCONCLUSIE

LITERATUURLI.IST

BIJLAGEN

40

41

44

45 50

51

SAMENVATTING

Dit verslag beschrijft het afstudeerwerk dat door ons. bij de afdeling Werktuigbouwkunde aan de Technische Universiteit te Eindhoven. werd verricht. De opdracht was het opstellen van een model van een lineaire

robotarm. Het gevonden theoretische model moest aan de praktijk getoetst worden. Hiervoor werd het model bewerkt met

simulatieprogramma's.

De

resultaten hiervan werden vergeleken met de meetresultaten die voortkwamen uit metingen aan de robotarm.

De

verschillen en overeenkomsten tussen theorie en praktijk moeten een beter inzicht geven in het systeemgedrag van de lineaire robotarm. Het

totale gedrag is na dit onderzoek zeker nog niet vastgelegd. Daarom kan dit rapport dienen als inleiding voor verder onderzoek aan de robotarm of als handleiding voor de aanpak van soortgelijke projecten.

VOORWOORD

Ooze afstudeerperiode hebben wij doorgebracht op de Technische

Universiteit Eindhoven, afdeling Werktuigbouwkunde. De TUE (voorheen Technische Hogeschool Eindhoven) bestaat momenteel 31 jaar en biedt plaats aan zo'n 6000 studenten. Sinds de oprichting zijn er ongeveer 8000 studenten afgestudeerd op de TUE.

De afdeling Werktuigbouwkunde op de TUE heeft 1000 studenten en 200 medewerkers (zowel leraren als technische medewerkers). Deze afdeling

is opgedeeld in diverse vakgroepen, waaronder de vakgroep WPA

(Werktuigbouwkunde, Productietechnologie en Automatisering). Binnen deze vakgroep hebben wij gewerkt aan onze opdracht.

Deze opdracht bestond uit het opstellen van een model van een lineaire robotarm. Gedurende de gehele periode van afstuderen hebben wij samen gewerkt aan de diverse modellen en simulatieprogramma's. Het

uiteindelijke verslag is ook door ons beiden in onderling overleg tot stand gekomen. A. Udo heeft het grootste gedeelte geschreven van de hoofdstukken 3 en 5, W. Smits heeft het meeste werk verricht aan de hoofdstukken 1, 2 en 4. Hoofdstuk 6 is niet aan een persoon toe te schrijven.

Tenslotte willen we onze afstudeerbegeleider, de heer Ir. p.e.

Mulders. hartelijk danken voor zijn hulp en adviezen. Verder bedanken wij ook onze afstudeermentor, mevrouw Ir. J. Jansen. de medewerkers

Ing. H. van Rooij en Ir. H. Smit en de studenten Jean Heren. Pascal Mazure en Leon Pijls voor de prettige samenwerking.

HI INLEIDING

Wanneer men meerdere producten kan maken op eenzelfde

bewerkingsmachine. spreekt men van een Ilexibele machine. Een goed voorbeeld van een flexibele machine is de industriele robot. De

besturing hiervan geschiedt met behulp van micro-electronica. waardoor deze machine snel is en eenvoudig om te schake len.

De

drie Technische Universiteiten in Nederland doen gezamenlijk

onderzoek naar Flexibele Automatisering en Industriele Robots ( het zogenaamde FAIR-project ). Dit project heeft tot doel om Nederland een

vooraanstaande positie te geven op dit gebied. Op de Technische

Universiteit Eindhoven draagt men ondermeer bij aan het FAIR-project op de afdeling Wektuigbouwkunde. vakgroep WPA ( Werktuigbouwkunde. Productietechnologie en Automatisering ).

Gedurende de afstudeerperiode is er gewerkt aan een digitaal geregeld servosysteem, een zogenaamde lineaire actuator oftewel robotmodule. De afstudeeropdracht was in eerste instantie het opstellen van een model van de actuator. Vervolgens moest dit model ingevoerd worden in diverse simulatieprogramma's, waarna de resultaten vergeleken moesten worden met de werkelijkheid. Dit onderzoek moet leiden tot een beter

inzicht in het systeemgedrag van de actuator.

Het raport is ingedeeld naar de volgorde waarin het onderzoek verricht 1s. In hoofdstuk 2 wordt een beschrijving gegeven van de versch111ende

onderdelen van de actuator. In hoofdstuk 3 staat beschreven hoe naar het uiteindelijke model van de actuator is toegewerkt. Hoofdstuk 4 geeft een beschrijving van de gebruikte simulatieprogramma's en de

resultaten die de modellen geven in deze programma's. In hoofdstuk 5 zijn enkele metingen beschreven die aan de actuator zijn verr1cht. Deze metingen. die bestaan uit verplaatsingsmetingen en

overdrachtsmetingen. zijn met een dynamic signal analyzer verricht. In hoofdstuk 6 worden de resultaten van de simulat1eprogramma's met de resultaten van de analyzer vergeleken. In dit hoofdstuk wordt dus de

theorie aan de praktijk getoetst. Hoofdstuk 7 geeft tot slot de eindconclusies van dit onderzoek en aanbevelingen voor verder onderzoek.

-H2 DE ROBOT ARM

§ 2.1 ALGEMENE BESCHRIJVING VAN DE ROBOTARM

Het eerste ontwerp en de realisatie van de robotarm is in 1984

verwezenlijkt door L.van Bommel. Hij is toen blj de ontwikkeling van de robotarm uitgegaan van enkele. zeer strenge. eisen. Zo moest de verplaatsingssnelheid 1 mls. de maximale versnelling 5 mls2 en de maximale last 50 kg zijn. De arm moest bovendien op 10 ~m nauwkeurig kunnen positioneren. Voordat besloten werd om de robotarm zelf te ontwikkelen werd onderzocht of er ergens een robotarm te koop was die aan al deze eisen voldeed. Er waren er te koop die gedeeltelijk

voldeden. maar geen voldeed aan aIle eisen. De opbouw van de robotarm is als in figuur 2.1.

2 ₇

4

6

figuur 2.1. opbouw van de robotarm.

De robotarm bestaat uit de volgende onderdelen: een

armprofiel (4). een moer (5) en een meetlineaal (6). Voor de motor is een op het anker gestuurde gelijkstroom-servomotor gekozen. Het

toerental van dit type motor is continu en goed regelbaar. Ook wordt het maximale koppel geleverd bij lage snelheden. omdat een

schijfankergestuurde motor een klein massatraagheidsmoment heeft ( de rotor is dun en licht ). Dit is nodig om vanaf stilstand een grote versnelling te reali~eren. Uiteindelijk is gekozen voor een motor. type MCI9P. die standaard uitgerust is met een analoge tachogenerator. Van het signaal dat de tachogenerator levert kan de snelheid van de motor worden afgeleid. Het tachosignaal kan als terugmeldingssignaal van het systeem gebruikt worden. Aan de rotor van de motor is de

spindel bevestigd. De spindel heeft een grote spoed van 25 mmlomw. ( meestal heeft een spindel een spoed van 10 mmlomw.). De spindel moet bij een snelheid van 1 mls een hoeksnelheid kunnen halen van 40

omw./s. Deze eis is aIleen haalbaar als oliesmering wordt toegepast en als de spindel tweezijdig wordt gelagerd. Deze tweezijdige lagering geeft ook de mogelijkheid om de spindel een bepaalde voorspanning te geven. Het beweegbare gedeelte van de robotarm heeft aIleen al een gewicht van zo'n honderd kilo. Er is ook een mogelijkheid om de robotarm een willekeurige beweging te "leren" met behulp van een krachtsensor (7). De gemeten kracht wordt door de Single Board

Computer ( SBC ) omgezet in een stuurspanning voor de motor waardoor de arm zich beweegt. Deze beweging kan opgeslagen worden in de SBC. en

later nog eens worden nagespeeld.

-§ 2.2 WERKING EN BESTURING VAN DE ROBOTARM

De robotarm wordt bestuurd volgens figuur 2.2

I

,---L-I ---,

I~II~I

ssc

MECH OEEL

L -_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ --~TELLER

Figuur 2.2. besturing van de robotarm. De besturing wordt voornamelijk uitgevoerd door de software in de SBC.

De

actuele plaats en snelheid van de arm worden rechtstreeks afgeleid van de meetlineaal. Deze waarden worden in de SBC vergeleken met de gewenste waarden van plaats enlof snelheid.

Aan

de hand van deze verschilsignalen en de ingestelde regelactie. wordt een signaal

gegeven aan de DAC. De DAC geeft een analoog signaal aan de versterker waarmee de motor gestuurd wordt. Er is dus een constante

terugkoppeling van systeem naar SBC.

§ 2.2.1 De SBC en het programma

Voor de SBC is een Intel 86/05 single board computer gekozen. Deze SBC is gebaseerd op een 8086 CPU. Het geheugen bestaat uit S kilobytes statische RAM en 64 kilobytes ROM. Het programma wordt in de SBC

geladen met een Intel ontwikkelsysteem. Na het laden van de SBC en het opstarten van het programma voIgt het met een toetsenbord ingeven van de parameters. Eerst wordt de sampletijd gevraagd {deze is minimaal

1.2 ms}. Dit geeft aan dat de SEC elke 1.2 ms de positie van de arm inleest en de motor aanstuurt. Hierna wordt de belasting van de arm gevraagd en tot slot kunnen de regelparameters van de PID-regelaar

ingegeven worden. Na deze initialisatie verschijnt er een menu op het scherm. Dit menu geeft de gebruiker een keus uit de volgende functies: -[D]rive robot to required position.

Dit houdt in dat je een bepaalde positie in kunt geven waar de robot met een constante snelheid naar toe beweegt.

-[GJo to position with control-algorithm.

De robot beweegt nu ook naar een in te geven positie. maar nu met maximale snelheid en met behulp van de PID-regelaar.

-[T]each operation via force-sensor.

Met deze functie kan met de hand een traject ingegeven worden. Door

een lichte druk uit te oefenen op de kracht-sensor kan de arm bewogen

worden. Deze beweging wordt in het geheugen opgeslagen. -[RJeplay teached trajectory.

Hiermee kan de ingegeven beweging herhaald worden.

-[P]arameter initialisation.

Met deze functie kunnen de parameters geherinitialiseerd worden. -[S]teprespons.

Een positieve of negatieve snelheid kan ingegeven worden. Deze

beweging wordt gestart en gestopt met een interruptkey. -[O]utput robotrespons.

Hiermee kan een uitgevoerde beweging geregistreerd worden met een

plotter.

-§ 2.2.2 De versterker

Voor de versterker is een Axodyn 05LV05 gekozen. Dit is een standaard

versterker bij de toegepaste servomotor. Deze versterker kan in twee

rotatierichtingen werken en dus zowel in motor- als ook in generatorbedrijf functioneren. De versterker heeft een maximale outputstroom van 40 A. Hierdoor wordt de maximale snelheid en versnelling van de motor bepaald.

§ 2.2.3 Het meetsysteem

In de eerste versie van de robotarm, werd de positie van de arm bepaald aan de hand van het tachosignaal. Met deze indirecte

meetmethode werd de vereiste positioneernauwkeurigheid niet gehaald. Dit was een gevolg van het feit dat er door torsie een zekere fout

gelntroduceerd werd. Op dit moment wordt de positie van de arm direct

bepaald met behulp van een meetlineaal. Deze lineaal, die onder op de

arm gemonteerd zit, heeft een raster van 40 ~m. De lineaal wordt

afgetast met een lichtbron en twee detectoren (zie fig. 2.3.a). Bij beweging van de arm worden deze twee detectoren, die een onderlinge

afstand hebben van 50 ~m geactiveerd. Uit de signalen die de twee

detectoren afgeven kan. na versterking (fig. 2.3.b) de

bewegingsrichting bepaald worden (fig. 2.3.c). Oak kan uit deze twee

signalen de plaats bepaald worden op 10 ~m nauwkeurig. Uit de

positiegegevens van de robotarm wordt door de SBC de snelheid en de versnelling van de arm berekent.

Ud 2,2 d b e d § 2.2.4 Het regelsysteem

o

o

c fi- ->, bl I I _'d Ic::::-

_:1

a

o

Ud 2,1 '---_l....-_"--- U d 2 ,2

o

figuur 2.3. theorie meetsysteem.

Het schema van de regelkring met regelaar en proces ziet er als voIgt uit. zie fig 2.4.

REGELAAR _"~ PROCES I

-

I i 110.. X

.

UI .~

-

R

P

I ' I

,

i I I _-. I

-

- ...

-

- - ~

-

-

-

--Xw

ftguur 2.4. schema regetkrtng.

-Uit de figuur blijkt dat de regelaar bestaat uit het regelorgaan, met een overdracht R, en uit een vergelijkingsorgaan. Het

vergelijkingsorgaan bepaalt het verschilsignaal tussen de ingestelde

waarde

X

en de gemeten waarde

X

van de te regelen procesuitgang:

n w

x

= X - X _{n w}

Het type regelaar wordt gekenmerkt door de vorm van de

overdrachtfunctie

R

van de regelaar. De regelaar kan combinaties

bevatten van proportionele-. differentierende- en integrerende acties. Deze regelaars worden ook weI kort PID-regelaars genoemd. De

overdrachten van de drie acties zijn achtereenvolgens:

proportioneel: U. (t)

₌

_K

_*

x(t) 1 dx(t) differentierend: U. (t) _{= Td * dt} 1 1 T", integrerend: U. ₁ (t)

₌

:r*!x{t) dt i 0

De drie basis akties zijn naar eigen keuze in te vullen. waardoor p,

PD. PI en PID-regelaars gekozen kunnen worden. Voor een PID-regelaar

geldt dan de volgende algemene vergelijking:

1 T ~ dx(t)

Ui(t)

=

K

* x(t) + Ti

*

b

x{t) dt + Td

*

dt

Bij digitale regelsystemen wordt de procesuitgang

X

niet continu,

w

maar op zekere sampletijdstippen gemeten. Het signaal

X

is dus slechts

op de sampletijdstippen k*T aanwezig. Door het samplen verandert de

s

bovenstaande formule in:

x(nT)-x(nT-T) 1 Ui(nT)

=

K

*

x(nT) + Td * + T T. n

*

!

T

*

x(kT)+x{kT-T) +

k=l s 2 s 1

Hierin zijn K = proportionele constante Ti= integratietijd Td= differentiatietijd T = sampletijd s

Met behulp van bovenstaande formule kan een digitale PID-regelaar samengesteld worden. Het grote voordeel van de softwarematig

samengestelde PID-regelaar is zijn flexibiliteit. Het is softwarematig namelijk zeer eenvoudig om de regelparameters K. Ti en Td te

veranderen. Hierdoor is eenvoudig elk soort PID-regelaar in te stellen.

Om een voorbeeld te geven van bovenstaand verhaal. zie bijlage I. Bijlage Ia geeft een verplaatsing weer van 1 mm met een last van 0 kg. Hierbij is gewerkt met ideale regelparameters. zoals die uitgerekend kunnen worden met een programma in PCMATLAB. Op dit programma wordt hier verder niet ingegaan. omdat het werkt met de state-space methode. Deze figuur is bepaald met een verplaatsingsopnemer. een

meetversterker en een analyzer. In bijlage Ib is deze zelfde

verplaatsing te zien zoals die geregistreerd is rechtstreeks met de meetgegevens van het besturingsprogramma van de robotarm. Tussen Ia en

lb is een grote overeenkomst te zien. zodat gesteld mag worden dat de meting met de analyzer betrouwbaar is.

In bijlage Ie is. bij wijze van demonstratie. de D-regeling verkleind en in bijlage ld is deze vergroot. Vergelijk bijlage Ia met Ie en Id en geeonstateerd mag worden dat de parameters die gebruikt zijn in Ia inderdaad guns tiger zijn dan die gebruikt zijn in Ie en Id.

-H3 RET ONTWERPEN VAN EEN MODEL VOOR DE LlNEAlRE ROBOTARM

§ 3.1 DE THEORETISCHE ACHTERGROND

Wanneer van een systeem een model wordt opgezet. wordt geprobeerd om de verschillende onderdelen van dit systeem met behulp van

vergelijkingen te beschrijven. Het systeem. de lineaire robotarm. wordt in de volgende onderdelen opgesplitst: motor. tacho. spindel. moer en arm.

De

onderdelen worden hierna apart besproken.

De motor kan met een electrische vergelijking beschreven worden. Om te beginnen is er de impedantie van de motor. Deze wordt bepaald door eerst de rotor vast te zetten. waarna een sinusvormige spanning met een varierende frequentie op de motor gezet wordt. De stroom die gaat

lopen wordt gemeten en de impedantie voIgt uit de spanning gedeeld door de stroom. De impedantie bIijkt te bestaan uit een weerstand in

serie met een parallel geschakelde spoel en weerstand. zie fig. 3.1.

La

Ia

R

Rl

ftguur 3.1. etectrisch uus motor (I).

De

weerstand RL staat voor de verliezen in het magnetisch circuit. ~

is meestal groter dan R. Het effect van ~ op de motorwerking is erg klein waardoor deze weerstand verwaarloosd kan worden.

Ten tweede ontstaat er een spanning tegengesteld aan de aangelegde motorspanning de zgn. tegen-EMK. Deze tegen-EMK ontstaat wanneer de

rotorspoelen in het magnetisch veld van de stator draaien. hierdoor

wil er een stroom tegengesteld aan de voedingsstroom I gaan lopeno

De

a

grootte van de tegen-EMK blijkt evenredig aan de hoeksnelheid van de

motor te zijn. Uit deze gegevens kan het volgende vervangingsschema

v~~r de motor afgeleid worden. fig. 3.2.

R La

figuur 3.2. etectrisch vvs motor (2).

De vergelijking vor de motor wordt dan:

U

_m (t)

=

L

_{a a}

i

(t) +

RI

_a (t) +

U

_em k(t).

Verder geldt nog dat:

U

k(t)

=

K

wet) . wet)

staat voor de

em e

hoeksnelheid van de rotor en K voor de spanningsconstante van de

e

motor. K bepaalt de snelheid van de motor bij een zekere _e

voedingsspanning. In K zitten de magnetische eigenschappen van de

e

motor verwerkt.

Ook kan de motor met een mechanische vergelijking beschreven worden.

Er wordt bij deze vergelijking uitgegaan van het koppel dat de motor

levert. Omdat het magnetisch veld van de motor constant is. is de stroom die door de stator gaat lopen evenredig met het door de motor

geleverde koppel. of wei: Tm(t)

=

Kt1a(t). Hier staat K_t voor de

koppelconstante van de motor. In dit geval geldt dat K

=

K . Het

t e

-koppel dat de motor levert wordt verdeeld over een versnellings-koppel {Ta(t)}. een constant wrijvingskoppel {Tf(t)}. een visceus

dempingskoppel {Td(t)} en een koppel dat aan de last wordt toegevoerd {T1(t)}. Of in formule: Tm(t) = Ta(t) + Tf{t) + Td{t) + T1{t).

Het koppel voor de versnelling is gelijk aan de massatraagheid (J_m)

van de rotor maal de hoekversnelling [~(t)J van de rotor :

T

_a (t) = J _m ~{t}.

Het koppel voor de constante wrijving is een constant koppel en is dus onafhankelijk van de hoeksnelheid.

Het koppel voor de visceuze demping is weer weI afhankelijk van de hoeksnelheid. hiervoor geldt: Td(t)= Dw(t). D staat voor de visceuze dempingsfactor.

Het koppel dat op de last aangrijpt, wordt gebruikt voor het

overwinnen van de massatraagheid en de wrijving van de last. T (t) kan

m nu als voIgt geschreven worden:

Er is tot nu toe uitgegaan van het feit dat de snelheid van de motor gelijk is aan die van de last. Dit is in werkeIijkheid niet zo omdat de as tussen motor en last een zekere elasticiteit heeft waardoor

torsie optreedt. Door deze torsie is het zelfs mogeIijk dat bij sommige frequenties de snelheden van rotor en last tegengesteld gericht zijn. Dit verschijnsel wordt resonantie genoemd.

LAST

MOTOR

if

(JJI.Dl)

_{k1 , d 1}

5)

Jm,Dm)

Pm

Figuur 3.3, mod,eL voor motor met Last.

k staat voor de torsieconstante van de as, ~ staat voor de

hoekverdraaiing ; ~(t)

=

wet).

Voor het systeem uit figuur 3.3 geldt:

T (t) _m = J _mm ~ (t) + Tf(t) + D w (t) _mm + Tl(t) en:

T1(t)

=

Jl~l(t)

+ _{D1w 1}

=

Jl~l(t)

+

Dl~l(t)

Wordt de as nu niet ideaal voorgesteid dan geldt:

Uit deze gegevens voIgt de volgende vergelijking:

Voor de tacho en de spindel kunnen dezelfde mechanische vergelijkingen

worden opgesteld als voor de motor. De last in figuur 3.3 kan

vervangen worden door tacho of spindel. De vergelijking van b.v. de

tacho wordt dan:

Door de moer wordt de roterende beweging van de spindel omgezet in een translerende beweging. De moer wordt als ideaal beschouwd in de

volgende paragrafen. De spoed van de spindel (h) is gelijk aan 25 mm. Wanneer de spindel een omwenteling maakt voIgt er een verplaatsing van 25 mm. van de arm.

-14-Wanneer de arm ook in het model opgenomen wordt, moeten de massa en de wrijving die in translerende richting werken omgezet worden in

roterende grootheden. De hoeksnelheid is gelijk aan w of ~ [radls],

dit is ~/2v omwentelingen per seconde. De snelheid. V van de arm, is

dan: V= hw/2v. Voor de kinetische energie van de arm geldt:

~in= ~ mV2

=

~ m

*

(whl2v)2 . Bij een roterende beweging geldt:

F_ .

=

~

J

w2 . Uit deze twee vergelijkingen voIgt dat:

inn v

~ m

*

(whl2v)2 = ~ J w2 • Om de massa van de arm (m ) om te schrijven

v a

in een massatraagheid (J ) kan de volgende formule worden gebruikt:

v

Voor het omzetten van de wrijving van translerend naar roterend geldt iets dergelijks. roterend T . , . WrlJvlng = D v ~ W

=

Td<.p Nu geldt ook Td<.p

=

T~t

Wanneer de overbrenging van

geldt dat : D w2 = D V2 v a V = (h/2v)

*

w translerend Fwrijving W = Fdx Fdx = F~dt

roterend naar translerend ideaal is.

}

D w2 = D

_*

(h/2V}2

*

w2

~ v a

dan

Om een wrijving om te schrijven van roterend naar translerend geldt

dus: D = D _{v a}

*

(h/2V)2.

Voor het omschrijven van roterende naar translerende grootheden is de moer steeds ideaal verondersteld.

§ 3.2 MODELVORMING

In eerste instantie is begonnen met het opstellen van een zo eenvoudig mogelijk model. Dit model bevat aIleen maar de motor. Vanuit dit

eenvoudige model wordt verder gewerkt naar een steeds complexer model. In het Iaatste model zijn aIle onderdelen van de robotarm verwerkt. met uitzondering van de moer die steeds ideaal verondersteld wordt.

§ 3.2.1 Model van de motor

In deze paragraaf wordt het model besproken van een losstaande motor. Voor deze motor kunnen de volgende vergelijkingen opgesteid worden :

U

_m (t)

=

L

_{a a}

i

(t) +

RI

_a (t) +

U

_em k(t) T (t)

=

J ~ (t) + D ; (t) m mm mm

T

(t)

=

K I

(t) m ea

U

_e mk(t)

=

K

_e w (t)

=

K ;

(t) m e m

U

(t)

=

L

i

(t) +

RI

(t) +

K ;

(t) m aa a em

o

=

-K I

(t) + J ~ (t) +

D ;

(t) ea mm mm

}

~

Omgeschreven naar het frequentiedomein (Laplacenotatie) geeft dit

U (s) _m

=

(R + sL ) _a

*

I (s) _a + sK _{e m} ~ (s)

o

=

-K I

_{e a r n} (s) + (S2J +

sD )

_m

*

~ _m

(s)

-~ Deze twee vergelijkingen in matrixnotatie. geeft [ R+sLa

-K

_e sK e s2J +sD m m

Hieruit wordt de overdrachtsfunctie Hi{s) = W _m {s)/U (s) van de motor _m

berekend. [ R+sLa -K <P _m (s) = e [ R+sLa -K _e =

U

(5) m

U

_m (s) 0 sK e s2J +sD m m s<p (5) m U (s) m

1

=

1

=

K U

{s} e m {R+sL )*(S2J +sD ) a m m K e + sK 2 e (R+sL )*(sJ +D ) + Ke_{a m m} 2

Dit is een tweede-orde systeem met een electrische en een mechanische tijdconstante. Het vervangingsschema hiervan is te zien in figuur 3.4.

1 I K T 1 W .', _a m m R + sL _a e D _m + sJ _m K t

figuur 3.4. blokdiagram motoruergelijking.

Indien het systeem niet teruggekoppeld is. liggen de polen op p =-RIL _{e a}

en op p =-D /J . Door de terugkoppeling zullen de polen. langs de

m m m

p • bijna niet te verschuiven. De electrlsche tijdconstante (T ) is

m e

dan evenredig met p (T =-2~/p ). Wordt L I door z'n kleine waarde bij

e e e a

Iage frequenties verwaarloosd. dan verandert Hi(s) in :

K e sJ

R

+

RD

+

K

2 m m e

=

[K /(RD +K

2)] e m e 1

+

s[RJ

/(RD +K

2)] m m e

De pool p blijkt nu verschoven te zijn naar

-[(RD +K

2)1RJ ]. De

m m e m

mechanische tijdconstante (T ) wordt dus [2~RJ

/(RD +K

2)]. Uit deze

m m m e

gegevens blijkt dat de mechanische tijdconstante in dit systeem een veel grotere ro1 speelt in de lage frequentieband. en dat de

electrische tijdconstante een veel grotere rol speelt in de hoge frequentieband.

In ons systeem gelden de volgende waarden :

R = 4.00

*

10-1 Q _L

=

_1.00

*

10-4 _H

a

J m 1.20 :::

*

10-:3 kgm 2 D

=

3.82

*

10-4 Nms/rad m

K _e = 2.12

*

10-1 NmlA

Ingevuld geeft dit :

Pe

=

-4.00

*

10+:3 p _m

=

-9.40

*

10+1

§ 3.2.2 Model van motor en tacho

In deze paragraaf wordt een model opgesteld van een systeem dat

bestaat uit een motor-tacho-combinatie. Voor dit model kunnen de volgende vervangingsschema's opgesteld worden (zie figuur 3.5).

-d1 Jt Jm U_t U _m

~

m.echanisch el.ectrisch Figuur 3.5, vvs. m.otor-tacho. Uit deze schema's volgen de onderstaande vergelijkingen

U

_m (t)

=

L

_{a a}

i

(t) +

RI

_a (t) +

U k

_em

Tm(t} = Ke1aCt)

=

Jm~mCt)

+

Dm~m(t)

+

Jt~t{t)

+

Dt~t{t)

k1

*

[~m(t)

-

~t(t)J

+ d1

*

[~m(t)

-

~t(t)]

=

Jt~t(t)

+

Dt~t(t}

~ Dit geeft in Laplacenotatie :

~ Dit geeft in matrixnotatie

[ R+sLa sK e 0 I a (5) U m (5)

-K s2J +sD 52Jt+5Dt

_*

~m(s}

₌

0

e m m

0 -(sd1+kd s2Jt+s{Dt+dt}+k1 CPt(s) 0

Uit deze matrix kan

Ha{s)

=

W

(s)/U

(5) afgeleid worden.

.p _m (s)

=

R+sL

_a U _m

(s)

0

-K

e

o

o

o

s2Jt+sDt

S2J +s(D +d

_{t t} 1

)+kl

A

A staat voor de determinant.

H2(S)

=

s.p (s)/U (s)

_{m m} =

Ke* [s2J t+s{D

t

+d

1

)+k

1 ]

A/s

De

nulpunten van deze overdrachtsfunctie Iiggen op

-(D

_t

+d

1 ) !

j/[4Jtkt-(Dt+dl)2J

2J

t

Hier voIgt uit dat W ongeveer geIijk is aan l(kt/J

t ). rl A/s

=

_{(R+sL ) * {[sJ +D ]*[S2J +s(D +d}

_{a m m} 1

}+k

1 ]

+ [sd

1

+k

1

J*[sJ

_t

+D

_t

J} +

t t

Ke

2

* [s2Jt+s(Dt+dl)+klJ.

H

2

(0)

=

K

_e I

[R(D +D )+K 2J

_{m t e}

Bij lage frequenties gelden de volgende benaderingen

(1)

s2J +s(D +d

_{t t} 1

)+kl

~

k1

(2)

sdt+kt

~

kl

{3} R+sL

_a ~

R

Em

Voor lage frequenties geldt dus :

{A/s)l _aag

=

R * {[sJ +D J*[k

_mm 1

J + [sJ +D J*[k

_{t t} 1 ] }

+ Ke2k1'

=

k1 * [s(Jm+Jt)R + (Dm+Dt}R + Ke

2

]

=

k,

M [

R(Dm+Dtl + K.2

1

M [

I +

(Jm+Jt)R * s

1

R(Dm+D

_t

>

+

Ke

2

Uit de pool. die uit deze vergelijking tevoorschijn komt. kan de

mechanische tijdconstante gehaald worden :

20

p _m

=

-[R(D +D )+K _m 2]/[R(J +J )]

t e m t

T

=

-2T/p

=

2TR(J +J )/[R(D +D )+K

2J

m m m t mt e

De andere polen corresponderen met frequenties die veel hoger liggen.

Uit (A/s)l kan afgeleid worden dat in het hoge frequentiegebied

aag geldt :

s » [R(Dm+Dt}+Ke2]/[R(Jm+Jt)] dus:

sR{Jm+Jt ) »Ke2 en s(Jm+J t ) »(Dm+Dt ) ~

~ Hierdoor verandert A/s voor hoge frequenties in :

J

_m

»

J

t

~ (A/s)h _oog

=

sJ _{- m a t t}

*

[R+sL

J

*

[S2J +s(D +d1)+k1 ]

De onderstreepte s. staat hier voor (s-p ). p is reeds gevonden uit

m m

{A/s)1 . De tweede pool p

=

-RiL correspondeert met de

aag e a

electrische tijdconstante (p = -T 12T). Er blijven nu nog twee

e e

toegevoegd complexe polen. PI

.

2' over. Deze twee polen corresponderen

met de resonantiefrequentie van motor en tacho. -(D t+d1 )

!

j[[4J tk1-(D_t+d1)2] P1 2 = ---____ __ 2J t

~ hieruit voIgt dat w ~ [(k1/J

t).

r2

De totale overdrachtsfunctie kan nu dus geschreven worden als

(1+2j~lWlw -w2lw )

H

2(jw)

=

H2(O)

* __________

r_l _ _ _ r_l _ _ _ _

Resonantiefrequentie van de tacho t.o.v de motor;

De motor draait constant rondo de tacho draait al

resonerend mee.

Resonantiefrequentie van motor en tacho t.o.v elkaar De bewegingen van motor en tacho zijn in tegenfase.

w /2~ De inverse mechanijchp tijdconstante van de motor.

m

w /2~ De inverse electrische tijdconstante van de motor.

e

In dit model gelden de volgende waarden :

R ₌ 4.00

*

10-1 0 L

₌

1.00

*

.10-4 H a J_m

₌

1.20

*

10-3 kgm2 D ₌ 3.82

_*

10-4 Nms/rad m J_t 1.60

*

10-4 kgm 2 D t 3.82

*

10-4 Nms/rad

=

= ki

=

1.10

*

10+3 Nm/rad d1

=

9.95

*

10-6 _Nms/rad K ₌ 2.12

*

10-1 Nm/A e

Ingevuld geeft dit

n1

=

-2.00

*

10-1 + 3.49

*

10+ 2 n2

=

-2.00

*

10- 1 3.49

*

10+2 Pm

=

-8.32

*

10+1 Pe

=

-4.00

*

10+3 Pi

=

-1.38

_*

100 + 2.62

_*

10+3 P2

=

-1.38

*

100 2.62

_*

10+3

§ 3.2.3 Model van motor. tacho en spindel

Figuur 3.6 geeft een vervangingsschema van het in deze paragraaf beschreven model.

-! , JI

I

I

~~

dl d2 ftguur 3.6, 1'1'S IlOtor-tacho-sptndel.

Voor dit model kunnen de volgende formules opgesteld worden:

U _m (t)

=

L _{a a}

i

(t) + RI (t) + _a U _em k Tm(t} = Ke1a{t)

=

Jm~m(t)

+

Dm~m{t)

+

Jt~t{t)

+

Dt~t(t)

+

Js~s

+

Ds~s

kl

*

[~m{t)

-

~t(t)J

+ d1

*

[~m(t)

-

~t(t)J

=

Jt~t(t)

+ Dt;t{t)

k2

*

[~ _m (t) - ~ _{s (t)] + d2}

*

[~ _m (t) - ~ _s (t)]

=

J _{s s} ~ (t) + D ; (t) _{s s} ~ Dit geeft in Laplacenotatie :

U _m {s}

=

(R + sL ) _a

*

I _a (5) + 5K _{e m} ~ (s)

o

=

-K _ea I (5) + (S2J + sD ) _{m m}

*

~ _m (s) + (S2J + 5D ) _t

*

~ (s) + t t (S2J + sD )

*

~ (s) ~ s s s

o

= -(sdi + kt )

*

~ _m (5) + [S2J + s

*

(Dt + d1) +

k

1]

*

~ (s) t t

o

=

-(sd2 + k2)

*

~ _m (s) + [S2J + s _s

*

_{(D + d2) + k2] s}

*

~ (5) 5 R+sL _a sK _e 0 0 I (s) a -K s2J +sD _s2Jt+sDt s2J +sD _~m{s} e m m S 5

_*

0 -(sd1+kd s2J +s(D +d_{t t} t )+k1 _. 0 ~t{s) 0 _-(sd2+k2) 0 S2J +s{D +d_s 2}+k2 ~s{s) S

=

U

(s)

m

o

o

o

Uit deze matrix wordt H3(S)

=

ws(s}lUm(s)

=

s'Ps(s}lUm(s}

Um(s) R+sL sK 0 -K e

o

o

a e S2J +sD m m -(sd1+kl) -(sd2+k2) s2Jt+sDt s2J +s(D +d1)+kl t t

o

o

o

o

'Ps(s)

=

---A/s A/s

=

(sL +R) _a

* {

[sJ +D J[S2J +s(D +d_{mm t t} t}+ktJ[S2J +s(D +d 2}+k2J + _{s s} [sd1+klJ[SJ +D J[S2 J +s(D +d2)+k2J + _{t t s s} [Sd2+k2J[SJs+DsJ[S2Jt+s(Dt+dl}+klJ } + K 2 _e

* {

[S2J +s(D +d_{t t} 1)+k1J[S2 J +s(D +d2)+k2J }. _{s S} H3(O}

=

K I(RD +K 2} e r n e

De overdrachtsfunctie heeft een reeel en twee complexe nulpunten.

De toegevoegd complexe nulpunten liggen op

-(D_t+d1 ) ! j/[4k1J_t-(D

t+d1)2J

2J_t

Hieruit voIgt dat w

rt ~ /(k1/J_t ).

De overdrachtsfunctie heeft dus 6 polen. Het is onmogelijk om deze

punten precies te bepalen. maar ze zijn weI te benaderen. V~~r de lage

frequenties geIden de volgende benaderingen

-(l) s2Jt+s{Dt+dl}+kl ~ kl en s2J +s(D +d2}+k2

~

k21

s s (2) sd1+kl ~ kl en sd2+k2 ~ k2 (3) R+sL ~R a ~ (A/s)l _aag

=

sRk1k2(J +J +J ) + Rklk2(D +Dt+D ) + K 2k1k2 _{m t s m s e} = k1k2

* {

sR[J +J +J ] + [R(D +D +D }+K 2] } _m t s m t s e

De pool die correspondeert met de laagste frequentie is R{D +D +D )+K 2

m t s e

Pm

= -

-R-(-J-+-J-+-J-)-m t s

~

Deze pool is evenredig met de mechanische tijdconstante van motor, tacho en spindel. De andere polen corresponderen met frequenties die

veel hoger liggen. Uit (A/s)l kan afgeleid worden dat voor hoge

aag frequenties geldt : R(D +D +D )+K 2 m t 5 e

s»

R(Jm+Jt+Js ) ~ _{5R{Jm+Jt+Js }}

»

Ke2 en _s(Jm+Jt+Js

»>

(Dm+Dt+Ds) ~ ~ (A/s}h _oog

=

_-5(sL +R) _a

* {

J [5_m 2J +s(D +d_{t t} 1)+k1][S2J +s(D +d2)+k2] + _{s s} Js[s2Jt+s(Dt+d1}+kt][sd2+k2] + Jt[s2Js+s(Ds+d2)+k2] }

In deze vergelijking staat de onderstreepte s voor de pool p die al _m

gevonden was op een lage frequentie. De tweede pool p =-R/L , is

e a

evenredig met de electrische tijdconstante van de motor. Uit de rest

van de noemer kunnen nog 2 toegevoegd complexe poolparen gevonden

worden.

De massatraagheid van de motor blijkt in de praktijk zo'n 6

a

7 keer

groter te zijn dan de massatraagheden van tacho en spindel. Daarom

kunnen de termen met J en J in (A/s)h verwaarloosd worden. Als we

t s oog

ook de reeds gevonden polen uitsluiten, houden we van (A/s}h over:

De

twee toegevoegd complexe polen die staan voor de

resonantiefrequentie van motor en tacho. liggen ongeveer op -(D

t+d 1)

!

1[4J

tk 1-(Dt+d 1)2]

Pi 2

=

---.---2J

t

Hieruit voIgt dat de resonantiefrequentie w ~

l(k

1/J_t)

r2

De twee toegevoegd complexe polen die staan voor de

resonantiefrequentie van motor en spindel liggen ongeveer op -(D +d_{2 )} +

1[4J

k₂-(D +d_{2 )2]}

s - S S

P3

4

=

---2J _s

Hieruit volgt dat de resonantiefrequentie w ~

l(k2/J )

r3 s

De gehele overdracht kan nu geschreven worden als :

ws(s) (s-n1)(s-n2)(s-n3) H;)(s) =

=

H;)(O)

* ______________

_

w1/2-rr w 12-rr m w _e 12-rr Um(s) (s-p )(s-p _{m e}

)(S-P1)(S-P2)(S-P3)(S-P4)

De inverse tijdconstante door elasticiteit van de spindel De inverse mechanische tijdconstante van motor. tacho en spindel

De

inverse electrische tijdconstante van motor, tacho en spindel.

Resonantiefrequentie van de tacho t.o.v. de motor (de motor draait constant rond. de tacho draait al resonerend mee). Resonantiefrequentie van motor en tacho t.o.v. elkaar

(beweging van motor en tacho zijn in tegenfase).

Resonantiefrequentie van motor en spindel t.o.v. elkaar (beweging van motor en spindel zijn in tegenfase).

-R

=

_4.00

*

10-1 0 L _a

₌

1.00

*

10-4 H

J

_m

₌

1.20

*

10-:) kgm2 D

₌

3.82

*

10-4 Nms/rad m

J

_t

₌

1.60

*

10-4 kgm2 D t

=

3.82

*

10-4 _Nms/rad

J

_s

₌

2.51

*

10-4 kgm2 D _s

₌

4.00

*

10-4 Nms/rad d1

=

9.95

*

10-5 Nms/rad d2

=

9.95

*

10-5 _Nms/rad ks

₌

1.10

*

10+:) Nm/rad k2

=

1.33

*

.10+:3 Nm/rad K

₌

2.12

*

10-1 Nm/A e

Ingevuld geeft dit

nl

₌

-2.00

*

10-1 + 3.49

*

10+ 2 n2 = -2.00

*

10-1 3.49

*

10+2 n:)

₌

-1.34

*

10+7 Pm = -7.00

*

10+1 Pe = -4.00

*

10+ 3 Pi = -1.38

*

100 _{+ 2.62}

_*

10+ 3 P2

=

-1.38

*

100 _2.62

_*

10+3 P3 = -9.95

*

10-1 + 2.30

*

10+ 3

P ...

= -9.95

*

10-1 2.30

*

10+3

§ 3.2.4 Model van het gehele systeem

J s

fig 3.7. vvs. motor-tacno-spindel-arm. De variabele i staat hier voor de overdracht van de moer. Omdat deze overdracht ideaal verondersteld wordt. kunnen de translerende

grootheden m en D omgezet worden in de roterende grootheden J en

a a v

en

De vervangende grootheden J en D kunnen nu opgeteld worden bij J en

v v s

D.

s

J I = J + J

s s v en D 5 I = D + D 5 V

De

vergelijkingen en de matrix die van dit model opgesteld kunnen

worden. zijn dezelfde als die uit de vorige paragraaf. met J =J I en

s s

D =D '. Uit de nieuwe matrix wordt H4(S} afgeleid.

s s

H4(5)

=

~

(5)/U (5)

= (2~/h)*V

(5)/U

(s)

5 m a m

Hierin is V (5) de translerende snelheid van de arm.

a

H4(S) heeft dezelfde nulpunten als H3(S) uit de vorige paragraaf.

evenals de polen p . P1 en P2'

De

polen p . P3 en P4 verschuiven weI.

e m R(D +D +D )+K 2 m t s e P3 4 = ---

_2J

I s 28

-Ingevuld geven deze polen

Pm

=

-1.41

*

10+1

Pa

=

-2.05

*

100 + 8.53

*

10+2

H4 UITWERKING VAN MODELLEN MET BEHULP VAN SIMULATIEPROGRAMMA'S

§ 4.1 ALGEMENE INFORMATIE OVER PCMATLAB

PCMATLAB is een simulatieprogramma voor modellen. MATLAB staat voor MATrix LABoratory. Oorspronkelijk was het programma bedoeld voor het rekenen met matrices. maar in de loop van de tijd zijn er steeds meer mogelijkheden gelmplementeerd.

MATLAB bezit op dit moment ook grafische mogelijkheden. Verder kan men

zelf functies schrijven die in MATLAB aangeroepen kunnen worden.

En modelbeschrijving kan op twee rnanieren ingegeven worden. In de vorm van een overdrachtsfunctie of in de vorm van een state-space

beschrijving. Deze laatste methode is niet toegepast omdat de theoretische kennis daarvoor niet aanwezig was.

§ 4.2 ALGEMENE INFORMATIE OVER TRIP

Het simulatieprogramrna TRIP is gebaseerd op de filosofie dat een

lineair. single-input-single-output systeem voorgesteld kan worden op

diverse rnanieren (zie figuur 4.1). In TRIP is het mogelijk om een bepaalde voorstelling van een model om te zetten naar een andere voorstelling. Deze verschillende omzettingen zijn ook te zien in figuur 4.1.

-transfer

function

Figuur 4.1. opbouw van

TRIP.

Een nadeel van TRIP is dat er bij elke omzetting van tijddomein en frequentiedomein een bepaalde fout gelntroduceerd wordt. Dit komt doordat in deze domeinen, modellen beschreven worden in een bepaald aantal punten.

§ 4.3 UITWERKING VAN DE MODELBEWERKINGEN

In deze paragraaf worden de modellen. zoals die in hoofdstuk 3 gevonden zijn. ingevuld en uitgewerkt. Verder wordt de totale overdracht van het systeem. van ingaande spanning naar uitgaande

dUidelijke evolutie te zien van een model waarin enkel de motor niet-ideaal verondersteld is, naar het uiteindelijke model waarin motor, tacho en spindel niet-ideaal verondersteld worden.

In de volgende paragrafen worden de volgende waarden gebruikt

J

= 1.20 * 10-3 kgm2 D = 3.82 * 10-4 Nrns/rad m m

J

_t

₌

1.60

*

10-4 kgm2 D t

=

3.82

*

10-4 _Nms/rad

J

_s = 2.51 * 10-4 kgm2 D ₌ 4.00 * 10-4 _Nrns/rad s d_s = 9.95 * 10-6 Nms/rad d2

=

9.95 * 10-6 Nms/rad kl

₌

1.10 * 10+3 Nmlrad k2

=

1.33 * 10+3 Nmlrad R ₌ 4.00 * 10-1 0 L

₌

1.00 * 10-4 H a m

₌

1.00 * 10+2 kg a h

=

2.50

*

10-2 m K

₌

2.12

*

10-1 NmlA e

§ 4.3.1 model van de motor

In § 3.2.1 is de overdrachtsfunctie van de motor gevonden

wm(s) Ke

H1 (5) = _ _ = ~ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ...",-_ _

S2

+

[(J

R+L D

)/J

L

]s

+ (RD +K

2)/J

L

u

(s)

m m am rna m e ma

Dit is een tweede-orde systeern met:

de eigen hoekfrequentie r.3 7a~10+6 -_ 6.13*10+2

Wo = ". . V"'"

rad/S}

~

~ De dempingsfactor. ~

=

3.26. is groter als 1. dus het tweede-orde 32

-systeem is te ontbinden in twee eerste-orde systemen.

D f i h f b kf ' 9.63""-10+1 _{rad/s en}

eze unct e ee t twee ree requentles voor w

=

-voor w

=

3.90*10+3 rad/s. Het schematisch verloop van Hi(s) is gegeven in figuur 4.2.

H(O) 1---...:.

-2

W1 WO W 2

figuur 4.2, schematisch uerLoop uan H1(s) en H (5).

u1

Nu worden de massatraagheden en wrijvingscoeficienten van de tacho en spindel in dit model betrokken. Hi '(s)

=

Hi(s) met

J

=

J '

en

m m

D

=

D '. Het vervangingsschema is te zien in figuur 4.3

m m

J

_m'

=

J

_m +

J

_t +

J

_s +

J

_v

D'=D +D +D +D

m m t s v

~m'

figuur 4.3, uus. geheLe systeem (1).

met

J

_v

=

m

a(h/2u)2

met D

=

D (h/2V)2

J .

=

3.19

*

10-3 kgm2 m D . = 3.06

*

10-3 _Nms/rad m W • (s) ~ H1 '(S)

=

_m _ _ Um(s) 2.12*10-1 = -=---~---~ S2 + 4.00*10+3s + 1.45*10+5

Omdat het systeem vanaf de motor star verondersteld wordt. mag gezegd

worden dat wm'(s)

=

wt(s)

Dus H1 '(s) = W _m '(s)/U (s) _m

=

W (5). S

=

W (s)/U (s) s m

De overdracht van ingaande spanning naar uitgaande translerende

snelheid van de robotarm [H (s)J is : hl2v

*

W (s)/U (s)

v1 5 m H (s) = 8.44*10-4 Vi 52 + 4.00*10+3s + 1.45*10+5 Wo

=

11.45*10+5

=

3.80*10+2 rad/s -1.65*10+2 dB 3.70*10+1 H (s) = H (0)

* ____

---:-;_

Vi Vi (s + 3.70*10+1)

H

(s) heeft dus twee breekfrequenties op w=3.70*10+1

rad/s en op

V 1

w=3.96*10+3 rad/s (zie fig. 4.2). Voor de uitwerking van dit model zie

bijlage II (IIa ~ MATLAB ; lIb ~ TRIP).

§ 4.3.2 Model van motor en tacho

In § 3.2.2 is de overdrachttsfunctie van ingaande motorspanning naar

uitgaande motor-hoeksnelheid gevonden (met inachtneming van de tachogenerator)

wm{s)

H2{S)

= _ _

=

U

(s)

m

[JtKeJS2 + _{[Ke (Dt+d1»)s} + k1Ke

()

34

6

=

[J JtL ]s· + [J (DtL +J tR}]S3 + [J klL +Jt(ktL +K 2)J S2 + m a m a m a a e [(D +d_t 1)K _e 2+ klL (D +D )+ k_{a m t} 1R(J + J )]s + [klR(D + D_{m t m t}}+ k1K _e 2] 3.40*10-6_s2 _{+1.02*10-·s +2.33*10+}2 H2(S} = ______ ~~---~~---~~---~---~~ 1.92*10-11S· +7.68*10-8S3 +1.56*10-·s2 +5.98*10-15 +4.98*10+ 1 = 4.69*10° = 13~4 dB

H2(S) is via een staartdeling op te lossen in componenten en te schrijven als

H2(S} = H2(0}

*

(s+1.5+2.62*10+3j )(s+1.5-2.62*10+3j)

(s+8.30*10+1)(s+3.80*10+3_{}(s+65+2.70*10+3}

j }(s+65-2.70*10+ 3j)

Het schematisch verloop van deze overdrachtsfunctie is weergegeven in figuur 4.4, waarbij geldt

W 1

=

8.30*10+1 (,)2

=

3.80*10+ 3 w = 2.62*10+3 r1 w

=

2.70*10+3 r2 rad/s _H(OI rad/s rad/s - 2 rad/s W1 Wrl Wr2 W2

figuur 4.4, schemattsch vertoop van H2(S) en H (s).

v2

Nu wordt dit model zo aangepast dat het gehele systeem beschreven wordt. Hierbij zijn aIle verbindingen, met uitzondering van de

motor-tacho verbinding, star verondersteld. Figuur 3.5 gaat dan over

Jt

ftguur 4.5, vvs. geheLe systeem (2).

Dit geeft de volgende veranderingen in H2(S) te zien :

D ---+ D ' , waarbij D '

=

D + D + D m m m m 5 v = 2.68

*

10-:3 kgm2 } Nms/rad

~

J ---+J' _{m m} waarbij J ' _m = J _rn + J _s + J _v = 3.03 * 10-:1 W '(5) =*12' (s)= _m _ _ Urnes) 3.40*10-552 +1.02*10-45 +2.33*10+2

=

---~~---=~---~~~---~---~ 4.85*10-11S4 +1.94*10-7s:3 +3.58*10-452 +1.40*100s + 5.08*10+1

Omdat de motor-spindel verbinding star verondersteld wordt, mag gezegd worden dat w '(s)

=

W (5)

=

2~/h

*

V (s) m 5 arm W '(s) Hv (s) = ::.-

*

_m _ _ 2 2~ U (s) rn

=

---~~---=~---~~~---=---~ 4.85*10-1184 +1.94*10-7s3 +3.58*10-452 +1.40*10°5 + 5.08*10+1 H (0) = 1.83*10-2 = -34.8 dB V2

Ook deze functie i5, via een staartdeling, op te delen in componenten.

H (s)

=

H (0)

*

V2 V2

Het schematisch verloop van deze functie is te zien in figuur 4.4.

waarbij :

-=

3.63*10+ 1 rad/s

=

2.62*10+ 3 rad/s

=

2.69*10+3 _rad/s

Voor de uitwerking van dit model zie bijlage III (IlIa ~MATLAB

IlIb ~ TRIP) .

§ 4.3.3 Model van motor. tacho en spindel

In § 3.2.3 is de overdrachtsfunctie van ingaande motorspanning naar

uitgaande spindel-hoeksnelheid gevonden (met inachtneming van de motor-tacho- en de motor-spindel-verbinding). (Us(s) H3(S)

=

=

Um(S) J d2K 53 + K {D d_{t e e t} 2+d1d2+J k2)s2 + K (d2k1+Dtk2+d_{t e e} 1k2)S + k1k2K

o

=

J JtJ L 5° + J J J Rs5 + m 5 a m t s [JtJ (L k2+K 2)+L (J J k1+J tJ k1+J Jtk2)]5· s a e a m s s m met + [J

Rk

_{1(J +J t )+J} tRk2(J +J

)J

S 3 + [L k1k2(J +Jt)+J k1{L k2+K 2)+ 5 m ms a m s a e Jtk2Ke2]s2 + k1k2[R(J +J +J )+L D ]s + k1k2[R(D +D +D )+K 2] _m t s as m t 5 e Ingevuld : H3(5)

=

3.36*10-9s3 + 4.48*10-252 + 1.59*10-15 + 3.08*10+6

o

met:

o

=

4.82*10-15 so +1.93*10-11 s5 +7.02*10-8 5. +2.74*10-·s3 + 2.58*10-1 52 H3(0)

=

4.67

=

13.4 dB

H3(5) i5 via een staartdeling op te lossen in componenten en te schrijven als :

H3{s)

=

H3(0} * (s+1.33*10+7)(s+1.78+2.62*10+3j)(s+1.78-2.62*10+3j)

{)

met {) = (s+3.42*10+ 2 )(s+7.04*10+1)

(s+4.31*10+ 2+1.81*10+3 j )(s+4.31*10+2-1.81*10+3 j )

(s+1.36*10+ 3+3.26*lO+3j ){s+1.36*10+3-3.26*10+3 j )

Het schematische verloop van H3(S) is weergegeven in figuur 4.6. waarbij geldt dat :

H{O) 1 - - -... W2

=

3.42*10+2 rad/s w:l

=

1.33*10+7 rad/s - 2 w

=

1.86*10+ 3 rad/s -4 r1 w

₌

3.53*10+3 rad/s _-3 r2 w

=

2.62*10+ 3 rad/s W2Wrl Wr3Wr2W3 r3 Wl

figuur 4.6. schematisch vertoop van H3(S).

Nu wordt H3(S) omgewerkt tot het uiteindelijke model. waarbij aIleen

de moer ideaal verondersteld is. Figuur 3.6 gaat dan over in figuur

4.7.

,

Jt J s

ftguur 4.7. vvs. gehele systeem (3).

~ J ~ J . = J + J

=

1.83*10-3 S S S v D ~ D . = D + D

=

2.30*10-3 S S S v kgm2 } Nms/rad

~

38

-met

H

(s) V:l h ws'(s) =

*

= 21T U (s) m 1.34*10-11 s3 +

Na een staartdeling ontstaat uit deze functie :

H (s):: H (0) * (s+1.35*10+7)(s+1.78+2.63*10+3j)(s+1.78-2.63*10·3j) V3 V3 {j met (j

=

(s+3.52*10+1)(s+1.62*10+3 ) (s+1.93*10+2+1.18*10+3_{j)(s+1.93*10+}2_-1.18*10+3_j) (s+9.84*10+2+2.74*10+3j){s+9.84*10+2-2.74*10+3j)

De schematische voorstelling van deze overdrachtsfunctie is te zien in

figuur 4.8, waarbij : W 2 :: 1.62*10+3 rad/s w:l

=

1.35*10+7 rad/s W

=

1.20*10+3 rad/s r1 W

=

2.63*10+3 rad/s r2 W :: 2.91*10+3 rad/s r3 HIO) f--~ I _{.-_1_.} ... ~-. Wl Wr1 -3 -4 -2 I 1\-4 I I I

\-3

I I \ 1. . .L.. L ... _I _ _ W2Wr2Wr3W3

figuur 4.8, schematisch vertoop van H (s).

V:l

Voor de uitwerking van dit model zie bijlage IV (IVa ~ MATLAB ;

H5 BEPALEN VAN DE SYSTEEMOvERDRACfIT MET BEHULP VAN EEN ANALYZER

§ 5. 1 DE WERKING V AN DE ANALYZER

De HP5423 A is een dynamic signal analyzer die in drie domeinen kan

werken. het tijddomein. het frequentiedomein en het modale domein.

De

analyzer is gebaseerd op een snelle Fourier transformatie. Di t is een mathematische methode om meetwaarden om te zetten van het tijddomein

in het frequentiedomein. De meetwaarden kunnen niet continu omgezet w()r,den naar het frequentledomein. het ingangssignaal wordt daarom gesampeld. Al de sampels in het tijddomein zijn nodig om het

frequentiespectrum te berekenen. Elke twee tijddomeinsamples worden omgezet in een frequentiedomeinsample. De frequentiedomeinsample bevat echter informatie van zowel amplitude als fase. Omdat bij

·domeintransformaties veel uitgebreide berekeningen voorkomen is de analyzer voorzien van een computer.

Voor het meten van een overdrachtsfunctie van e~n systeem moeten twee grootheden van het systeem gemeten worden. Bekijken we b.v. een motor dan kan het ene signaal de voedingsspanning. Um(t). zijn en het andere , signaal zou de boeksnelheid van de rotor. w

m( t) ,kunnen zijn. Er kan I

nu een overdrachtfunctie w (t)IU (t) berekend worden. De analyzer kan

m m

van deze overdrachtfunctie een amplitude- en fasediagram laten zien Voor bet bepalen van een systeemoverdracht in het frequentiedomein wordt vaak een bepaald gedeelte van de frequentieband bekeken. Om in dat gedeelte van defrequentieband een goed inzicht in het

-MEETLIN.

SBe

~

V

ROBOT VERPLOPN --3!-- ANALYZER / ;

Figuur5.1. meetopstetttng uoor uerptaatstngsfunctie. Eerst zijn er verplaatsingsfuncties bepaald die zonder regelalgoritme uitgevoerd zijn. De robotarm verplaatst zich hierbij met een constante snelheid naar een van te voren opgegeven positie. De SBC controleert steeds uit de gegevens van de meetlineaal of de gewenste positie al bereikt is. Zolang deze niet bereikt is stuurt de SBC een vaste

stuurspanning naar de versterker. Is de positie weI bereikt dan wordt de stuurspanning 0 en stopt de arm. Om de verplaatsing te compenseren die net na het afschakelen van de voedingsspanning nog afgelegd wordt. wordt de uitgelezen waarde Yan de meetlineaal vergeleken met een· posi tiewaarde{x ) die net iets voor de gewenste positie ligt. Het·

. v ~

verschil tussen x en de gewenste positie is ongeveer gelijk aan de v

remafstand van de arm bij de vaststaande snelheid. Voor de resultaten hiervan zie bijlage Va.

regelalgoritme uitgevoerd zijn. Voor een schema van de robot met de terugkoppeling via de PID-regelaar zie fig 5.2.

BUFFER1

Xn

Xw

_..

ROBOT & VERST.

_"

Uj X

-X

PIO-REGEL RECONSTRUC TIE

X'

- I

X

I

ftguur 5.2. terugkoppettngsschema.

Bij het verplaatsen van de robotarm met gebruik van het regelalgoritme probeert de robot zo snel mogelijk op de van tevoren opgegeven

positie(x } te komen. De robot bevindt zich echter op de plaats x •

n

w

die de meetlineaal doorgeeft. Het verschil tussen x en x is de

n

w

positiefout x. Uit de positiefout wordt ook de snelheidsfout berekent. De positiefout en de snelheidsfout worden doorgegeven aan de

PID-regelaar die hieruit een nieuwe stuurspanning(U.} berekent. Uit

1

deze nieuwe stuurspanning voIgt weer een nieuwe positle x • en zo

w

begint de regellus opnieuw. Voor de resultaten van de verplaatsing met regelalgoritme zie bijlage Vb.

Uit de bijlage Va en Vb valt af te leiden dat de verplaatsing met regelaar. sneller verloopt. Ook is te zien dat de arm met PID-regelaar

-sneller afremt. in de buurt van de gewenste positie. dan wanneer de regelaar niet gebruikt wordt. Er treedt zelfs overshoot op doordat de arm niet zo snel kan remmen als hij eigenlijk zou willen. Dit komt omdat de versterker maximaal 40 A. kan leveren. terwijl voor het maximaal remmen veel meer nodig is.

De

verplaatslng die in de bijlage uitgezet is was in beide gevallen 5

em. Ult de resultaten blijkt duidelijk dat de robot met gebruik van de regelaar veel effieienter werkt dan zonder gebruik van de regelaar te maken.

§ 5.3 HET METEN VAN EEN OVERDRACI-ITFUNcrIE

Met de analyzer is de overdrachtfunctie van de robotarm bepaald om deze te kunnen vergelijken met de overdrachtfunetie die bij het model gevonden is. De meetopstelling die gebruikt werd voor het bepalen van de overdraehtfunetie staat in fig 5.3

2 VERSNfLLlNGS OPN,

ANAL YZ ER 1

\

t

WI TTE RUI S GEN, ..,

1:0

ROBO T

V

De overdrachtfunctie die hier bepaald is staat voor de (snelheid van de arm)/(de stuurspanning van de motor). Of in formule:

V

(t)

H{t)

=

_a _ _

Um{t)

Als stuurspanning voor de motor is witte ruis gebruikt. die via de versterker aan de motor werd toegevoerd. De snelheid van de arm is afgeleid van een versnellingsopnemerdie op de arm gemonteerd was Eerst werd de overdracht(versnelling arm)/{stuurspanning motor) bepaald. Uit deze overdracht kan na integratie de overdrachtfunctie .Va(t)

Um(t}

gehaald worden. De resultaten hiervan staan in bijlage VIa en Vlb. In bijlage VIa staat de overdrachtfunctie die bij een zo kort mogelijk gebruikte spindellengte hoort. Inbijlage Vlb staa,t de

overdrachtfunctie die bij een zo lang mogelijk gebruikte spindellengte hoort.

De verschillen en overeenkomsten van de resultaten die bij de

modelbewerking zijn gevonden en die met behulp van de analyzer zijn gevonden. worden in hoofdstuk 6 besproken.

-H6 NABESPREKING EN EINDOONCLUSIES

Zie bijlage II : a-HieS) en b-H1(s) zijn de bodediagrammen van het

model uit § 3.2.1 en § 4.3.1. Dit model heeft 2 polen die overeenkomen

met de breekfrequenties van het model. Bij elke breekfrequentie daalt de amplitude verder met -6 dB/octaaf. Deze breekfrequenties zijn uit

de bodediagrammen te halen bij een fase van -45 en een fase van -135.

De

fase voor w

=

oneindig is gelijk aan -180. Ditzelfde verhaal gaat

op voor a-H (s) en b-H (s). Cesteld kan worden dat de figuren

Vi Vi

gemaakt met TRIP. veel onduidelijker zijn dan de figuren in MATLAB. De frequentie in TRIP wordt weergegeven in rad/s. MOD en ARC geven de modulus en het argument van de cursor weer.

Zie bijlage III : a-H2(s) en b-H2(S) geven het model uit § 3.2.2 en

§ 4.3.2 weer. We hebben hier te maken met 2 resonantiefrequenties die

vrij dicht bij elkaar liggen. De resonantiefrequentie w /2v (uit de

r 1

teller) veroorzaakt een fasesprong van +180 en w /2v geeft een

r2

fasesprong van -180. TRIP geeft deze gegevens goed weer, MATLAB geeft eerst een fasedaling en daarna een fasestijging. In de MATLAB-manual wordt hier weI voor gewaarschuwd. maar het is tach een gebrek. Dit gebrek treedt slechts af en toe op. zoais te zien is in a-H (s). waar

V2

het programma weer weI goed werkt. De uiteindelijke fase gaat naar

-ISO. omdat er twee polen meer zijn dan nulpunten.

Zie bijlage IV : a-H3(s) en b-H3(S) horen bij het model uit § 3.2.3 en

§ 4.3.3. In dit model treden 3 resonantiefrequenties op die in de

bodediagrammen relatief kort op elkaar volgen. Bij w /2v daalt de

fase -lS0. Bij w /2~ stijgt de fase 1S0 en bij W /~ daalt de fase

rn r2

weer -lS0. In de bodediagrammen zijn de eerste twee

resonantiefrequenties niet te zien. omdat ze elkaar opheffen.

De

uiteindelijke fase moet naar -270 lopeno Het fasediagram a-H3(s) is dus weer erg dubieus terwijl de amplitudekarakteristiek in TRIP weer erg onduidelijk is. Het uiteindelijke model van het gehele systeem uit

§ 3.2.4 en § 4.3.3 is ook te zien in bijlage IV. Hier gaan eigenlijk

dezelfde bezwaren op die hiervoor ook zijn genoemd. Ais de funeties

H (s). H (s) en H (5) na elkaar bekeken worden. kan men de

V1 V2 Vn

veranderingen in het bodediagram van het totale systeem. als het model uitgebreid wordt. zien.

Resumerend kan gezegd worden dat in het simulatieprogramma MATLAB

nogal eens een fasefout sluipt. als het model wat uitgebreider wordt. Dit in tegenstelling tot TRIP. Daar staat tegenover dat de plaatjes die MATLAB produceert stukken duidelijker zijn dan de plaatjes uit TRIP.

Ais laatste worden de bodediagrammen van het model van het gehele systeem (zie bijlage IVa en IVb). die met behulp van Matlab en Trip berekend zijn • vergeleken met de meetresultaten van de Dynamic Signal

Analyzer (bijlage VIa).

De

resultaten van de Dynamic Signal Analyzer

zijn niet in dB-waarden uitgezet.

De

frequentie-assen zijn niet

allebei in dezelfde eenheid. de een is in Hz en de ander in rad/s.

Wanneer men metingen verricht met de analyzer dan moet de meetduur van een meting overeenkomen met tien maal de periodetijd van de laagst

-gemeten frequentie, wat hier overeenkomt met een tijdsduur van 100 ms voor een meting. Omdat de meetduur niet zo groot genomen is zijn de meetwaarden tussen de 100 en 200 Hz niet betrouwbaar. De

amplitude-karakteristiek moet hier een vlak verloop hebben evenwijdig aan de horizontale-as. in de rratlab-grafiek is dit weI goed. Wanneer

vanaf de 300 Hz gekeken wordt dan daalt de ampli~ude-grafiek langzaam.

wat erop wijst dat zich hiervoor een pool bevindt. In de

matlab-grafiek is deze pool weI te zien. De eerste piek in de

analyzer-grafiek en de daling geIijk erna kunnen ook teruggevonden worden in de matlab-grafiek. aIleen Iiggen diepieken niet op dezelfde

frequentiewaarden. De rest van de beide grafieken zijn moeilljk met

eikaar te combineren. Het bIijkt dus dat de praktijk en de theorie niet met elkaar overeenkomen. Oorzaken hiervan kunnen zljn dat parameterwaarden die in het model gebruikt zijn niet goed bepaald zijn. Of dat het model te veel geYdealiseerd is en nog verder moet worden uitgewerkt. De moer. die in het model ideaal gesteld is. zou een grotere rol in het gehele systeem kunnen spelen dan voorzien was. Ook kunnen er fouten zijn gemaakt bij het meten met de analyzer. Het was beter geweest om de metingen in een kleiner bandbreedtegebied te doen. en dan meerdere metingen uit te voeren.

De eindconclusie van dit rapport is dat het opgestelde model nog

verder uitgewerkt moet worden om een betere vergelijking met de werkelijkheid te krijgen. Ook zouden de parameterwaarden nog eens gecontroleerd moeten worden. Wanneer er metingen met de analyzer aan de robot worden gedaan moet dit in kleinere frequentiegebieden gedaan worden. Ook moet een betere meetopstelling bedacht worden om de

overdracht van de robot te bepalen. Het zou beter zijn om eerst de overdracht van de verschillende onderdelen apart te bepalen en daarna pas van het geheel. Hieruit kunnen dan ook beter de fouten of

tekortkomingen van het model afgeleid worden.

-LITERATUURLIJST

- Arends.Ir.J .• Reimert.Ir.F., Schrage,Ir.J.J., Inleiding tot de regeltechniek. 1983, Nijgh en van Ditmar, 's Gravenhage.

- Bommel,L.V.M.van. Ontwerp,productie en de dynamische analyse van een lineaire actuator, T.H.Eindhoven. oktober 1984, WPB-0067.

- Min,Ir.J.L .• Schrage.Ir.J.J .• Ontwerpen van analoge en digitale regelsystemen, 1982. Nijgh en van Ditmar, 's Gravenhage.

- Mulders.Ir.P.C., Besturingstechnologie deel I. collegedictaat TU-EindhoveIl, 1986.

- Mulders,Ir.P.C .. Oosterling.J.A.J .. Wolff.Prof.dr.ir.A.C.H.van der. A model study of a feeddrive for a numerical controlled lathe. Brugge. CIRP Annals 1982. vol.3/1, pp 293-298.