• No results found

Herhalingsopgaven Kracht van vectoren

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Herhalingsopgaven Kracht van vectoren"

Copied!
4
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

► Diagonalen in een vierhoek

Van vierhoek ABCD zijn gegeven de punten A(4, 5), B(5, 13) en C(12, 17). Punt D ligt op de lijn met vergelijking y = 9.

1 Geef een vectorvoorstelling van lijn AC.

2 Bereken met behulp van deze vectorvoorstelling de exacte coördinaten van de snijpunten van de diagonalen van vierhoek ABCD als D de coördinaten (9, 9) heeft.

3 Bereken de coördinaten van D als de diagonalen loodrecht op elkaar staan.

4 Toon aan dat in dat geval de diagonalen elkaar bovendien middendoor delen (dan is vierhoek ABCD dus een ruit).

► De toren van Pisa

De scheve toren van Pisa is 55 meter hoog en heeft een diameter van 15 meter. Hij staat 5 à 6 graden uit het lood. Hij mag nog wel wat schever zakken voordat hij omvalt. Dat gebeurt namelijk pas als zijn zwaartepunt buiten de voet van de toren valt. Veronderstel dat de toren een cilinder is en het zwaartepunt in zijn middelpunt zit.

5 Bereken hoeveel graden uit het lood de toren dan hoogstens mag staan om niet om te vallen.

► Saturnus, Jupiter en Zon

Het komt voor dat Saturnus, Jupiter en Zon nagenoeg op een lijn liggen.

Saturnus heeft massa 565,5·1024 kg, Jupiter 1900·1024 kg en Zon 1978·1027 kg.

De stralen van Saturnus, Jupiter en Zon zijn respectievelijk 115.000 km, 138.000 km en 696.500 km.

Saturnus staat 1427·106 km van de Zon en Jupiter 778·106 km van de Zon, gemeten vanaf hun middelpunten.

6 Bepaal met een berekening of het zwaartepunt van het systeem van deze drie planeten binnen Zon ligt.

► Lijn en vierkant

Lijn k snijdt de x-as in A(–88, 0) en de y-as in B(0, –66). 7 Geef een parametervoorstelling van k.

ABCD is een vierkant.

8 Bereken de coördinaten van C en D.

Lijn m gaat door het midden van lijnstuk AB en staat loodrecht op AB. (Lijn m is dus de middelloodlijn van AB.)

(2)

► Trapezium

Voor a > 0 is OABC met coördinaten O(0, 0), A(2, a), B(4, a) en C(6, 0) een symmetrisch trapezium.

Beschouw het trapezium gemaakt van eenzelfde homogeen materiaal.

10 Bereken exact de coördinaten van het zwaartepunt van het trapezium als a = 3.

We beschouwen nu de vier hoekpunten van het trapezium als losse punten, elk met massa 1. 11 Druk de coördinaten van het zwaartepunt van het

systeem van deze 4 punten uit in a.

12 Bereken exact voor welke waarde van a de diagonalen OB en CA loodrecht op elkaar staan.

Op de zijde BC van het trapezium zetten wij een vierkant BCEF. Zie figuur.

M is het midden van dit vierkant. Door de waarde van a te veranderen, ligt M telkens op een andere plek.

Er geldt: OMOC 12 (CB CE )    

13 Ga dit na.

Er geldt: M  (5 12a,112a).

14 Toon dit aan.

15 Bereken exact voor welke waarde van a geldt OM 8 

. M ligt voor elke waarde van a op een rechte lijn.

(3)

► Diagonalen in een vierhoek 1 •

 

8 12 AC  , ofwel richtingsvector is

 

2 3 •

 

   

4 2 5 3 x t y   

2 • Vergelijking lijn BD: ∆x = 4, ∆y = –4, dus rc = –1; y = –x + 18

Voor lijn AC geldt x = 4 + 2t en y = 5 + 3t invullen: 5 + 3t = –(4 + 2t) + 185t = 9 → t = 9/ 5 → x = 4 + 18/5 = 73/5 en y = 5 + 27/5 = 102/5, dus snijpunt (73/5, 102/5) 3 • D(d, 9), dan

   

5 5 9 13d d 4 BD    en

 

8 12 AC  • Loodrecht, dus

   

5 8 0 4 12 d  → 8d – 40 – 48 = 0 → 8d = 88 → d = 11Het antwoord D = (11, 9)

4 • Vergelijking lijn BD: ∆x = 6, ∆y = –4, dus rc = –2/3; y = –2/3x + 161/3

Voor lijn AC geldt x = 4 + 2t en y = 5 + 3t invullen: 5 + 3t = –2/3(4 + 2t) + 161/3 • 15 + 9t = –2(4 + 2t) + 49 → 13t = 26 → t = 2 → snijpunt S(8, 11)

 

4 6 ASSC   en

 

3 2 BSSD   

, dus S is het midden van zowel AC als BD ► De toren van Pisa

5 • Maak een schets, noem de maximale hoek α

• 7,5 3 tanα 27,5 11   → α ≈ 15,255º dus de toren mag hoogstens 15º uit het lood staan. ► Saturnus, Jupiter en Zon

6 • Zie figuur hierboven; noem de afstand van mpt. Zon tot het zwaartepunt (kantelpunt) z • 1978·1027·z = 565,5·1024·(1427·106 – z) + 1900·1024·(778·106 – z)

• Alles delen door 1024 geeft 1978·103·z = 565,5·(1427·106 – z) + 1900·(778·106 – z)

• Uitwerken/verzamelen: (1978·103 + 565,5 + 1900)·z = 565,5·1427·106 + 1900·778·106 • 6 6 3 565,5 1427 10 1900 778 10 1.153.854 1978 10 565,5 1900 z          km

Dit is groter dan de straal van de zon, dus het zwaartepunt ligt niet binnen de zon. of

• Voer coördinaten in: Zon = (0, 0), Jupiter = (778·106; 0) en Saturnus = (1427·106, 0)

• Coörd. zwaartepunt = 27 24 27 24 24 27 24 24 24 27 24 24 6 6 197810 1900 10 1978 10 1900 10 565,5 10 1978 10 1900 10 565,5 10 565,510 1978 10 1900 10 565,5 10 (0;0) (778 10 ;0) (1427 10 ;0) (1.153.854;0)                           

(4)

► Lijn en vierkant 7 •

 

88 66 AB   , ofwel richtingsvector is

 

4 3  • pv: (x, y) = (–88, 0) + t·(4, –3) = (–88 + 4t, –3t)

(5)

8 • 1e mogelijkheid linksom:

 

     

0 0 66 66 66 ABL  66  88  22    geeft C(66, 22); en

         

66 66 66 88 22 22  88 L  22  66  88 geeft D(–22, 88) • 2e mogelijkheid rechtsom:

 

     

0 0 66 66 66 ABR  66  88  154      geeft C(–66, –154); en

         

66 66 66 88 154 154 88 R 154 66 88       geeft D(–154, –88)

9 • MAB = (–44, –33) en richtingsvector van de middelloodlijn is

   

4 3

3 L  4 

pv middelloodlijn: (x, y) = (–44, –33) + t·(3, 4) = (–44 + 3t, –33 + 4t)x = 0 geeft t = 44/3 en snijpunt (0, 252/3) met de y-as

y = 0 geeft t = 33/4 en snijpunt (–19

¼

, 0) met de x-as ► Trapezium

10 • Opdelen van het trapezium in twee rechthoekige driehoeken en een rechthoek

• Het zwaartepunt van de linker rechthoek heeft coördinaten 13(0,0)13(2,0)13(2,3) ( ,1) 43 met

gewicht ½·2·3 = 3

• Het zwaartepunt van de rechter rechthoek heeft

coördinaten 31(4,0)13(6,0)13(4,3) ( ,1) (4 ,1) 143  31 met gewicht ½·2·3 = 3

• Het zwaartepunt van de rechthoek heeft coördinaten (3,1 )12 met gewicht 2·3 = 6

• Het zwaartepunt van het trapezium heeft coördinaten

3 4 6 1 3 14 1

12 3( ,1)12(3,1 )2 12 3( ,1) (3,1 ) 4

11 • Het zwaartepunt heeft coördinaten

1 1 1 1 1 1 4(0,0)4(6,0)4(2, )a 4(4, )a 4(12, 2 ) (3,a  2a) 12 •

 

4 OB a en

 

4 CA a • Loodrecht, dus

   

4 4 0 OB CA  a  a    • Dus a2 – 16 = 0 → a2 = 16 → a = 4 (want a > 0) 13 • OMOC CM OC 21 CF OC  12 (CB CE )         14 •

 

2 CB a en R

 

2 a CE CB   •

         

1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 5 6 2 6 2 ( ) 0 ( 2 ) 0 2 1 a a a OM OC CB CE a a a                        

De coördinaten van M zijn dus (512a,112a)

15 • Pythagoras: 2 2 1 1 2 2 (5 ) (1 ) 8 OM   a   a

(6)

Omdat a > 0 is geldt a = –6 + √112

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

d Bereken de oppervlaktevergroting door de oppervlakte te vermenigvuldigen met de factor 0,2... Opgave 2.4 Uitzetting van

Voert men in een Euclidische ruimte een andere oorsprong en een andere ortho- normale basis in, dan blijven de determinant van de matrix van het kwadratische gedeelte uit het

(In feite vermenigvuldigen we de eerste rij van A met de eerste kolom van B en stoppen het resultaat in element c 11 van C... 2D

5p 5 Bereken langs algebraïsche weg de exacte waarden van de x -coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en g.. Het punt P ligt op de grafiek van

Het multidimensionale karakter van vertrouwen uit zich in een brede waaier van factoren die de beslissing al dan niet te vertrouwen sturen. De factoren vertonen onderlinge

Als in een driehoek de oppervlaktes van de vierkanten op twee zijden samen gelijk zijn aan de oppervlakte van het vierkant op de derde zijde,.. dan heeft de driehoek een rechte

Teken twee vectoren, één op lijn a en één op lijn b, zó dat de som van de vectoren die je getekend hebt de vector v in het plaatje opleverta. De twee vectoren die

We zeggen dat twee vectoren, beide niet 0 , (onderling) afhankelijk zijn als ze dezelfde of tegen- gestelde richting hebben... Geef een pv