Examen VWO
2018
tijdvak 1 maandag 14 mei 13.30 – 16.30 uurwiskunde B
Formules
Goniometriesin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) sin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( )
t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u t u
sin(2 ) 2sin( )cos( )t t t
2 2 2 2
Bewegend punt
De beweging van een punt P figuur wordt figuur gegeven door de volgende
bewegingsvergelijkingen: 2 2 ( ) 1 ( ) (1 ) x t t y t t
In de figuur is de baan van P weergegeven. De baan van P snijdt de y-as in de oorsprong O en in punt A.
Zie de figuur.
4p 1 Bereken exact de snelheid waarmee P door punt A gaat.
Voor elke waarde van t bevindt P zich op de kromme met vergelijking: (x y )2 4y
4p 2 Bewijs dit.
Lijn door de toppen
Voor elke waarde van a met a0 wordt figuur 1 de functie fa gegeven door f xa( )xeax.
De afgeleide functie fa' wordt gegeven door
'( ) ax ax
a
f x e axe .
In figuur 1 zie je voor een aantal waarden van a de grafiek van fa. Ook is de lijn l met
vergelijking 1
e
y x weergegeven.
Voor elke waarde van a met a0 heeft de grafiek van fa precies één top.
4p 3 Bewijs dat deze top op lijn l ligt.
De functie Fa is gegeven door: ( ) 1 12
ax ax
a a a
F x xe e
Fa is een primitieve van fa.
3p 4 Bewijs dat Fa inderdaad een primitieve van fa is.
figuur 2
Voor f1 geldt 1( )
x
f x xe . In figuur 2 is de grafiek van f1 getekend, en ook lijn l. Het
vlakdeel tussen lijn l en de grafiek van f1 is
grijs gemaakt.
5p 5 Bereken exact de oppervlakte van het grijze vlakdeel.
Zwaartepunt en rakende cirkels
Gegeven is cirkel c met middelpunt M(14, 8) en straal 10. Deze cirkel snijdt de x-as in de punten A en B met xA xB. Zie figuur 1.
In A bevindt zich een puntmassa met massa 3, in B een puntmassa met massa 1 en in M een puntmassa met massa 2.
figuur 1 figuur 2
5p 6 Bereken exact de coördinaten van het zwaartepunt van deze drie puntmassa’s. De cirkel d met middelpunt N raakt de y-as in de oorsprong O en raakt cirkel c zoals weergegeven in figuur 2. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
5p 7 Bereken exact de straal van cirkel d. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.
Maxima en minima
De functie f wordt gegeven door
( ) 6 sin( ) cos(2 )
f x x x .
De grafiek van f heeft oneindig veel toppen. 6p 8 Bereken exact de x-coördinaten van alle
toppen van de grafiek van f.
Een van de toppen is het punt 1 2
(1 , 5)
P . De grafiek van f is symmetrisch ten opzichte van de verticale lijn door P.
Boven P wordt een horizontaal lijnstuk van lengte 2 geplaatst, waarvan de eindpunten op de grafiek van f liggen. Zie de figuur.
4p 9 Bereken de afstand van P tot het horizontale lijnstuk. Rond je eindantwoord af op twee decimalen.
Sheffield Winter Garden
Voor elke waarde van k met k 0 wordt de functie fk gegeven door:
1 2
( ) ( kx kx)
k k
f x e e
De grafiek van fk wordt een kettinglijn genoemd. figuur 1
Op de grafiek van fk worden twee punten P en Q met
gelijke y-coördinaat gekozen. De lengte van het deel van de kettinglijn tussen P en Q noemen we l.
De top T van de kettinglijn ligt op de y-as. De afstand van T tot de horizontale lijn PQ noemen we d. Zie figuur 1. Er geldt: 2 8 2 4 d k l d
In figuur 1 is voor k 0,7, xP 3 en xQ 3 het
bijbehorende deel van de kettinglijn getekend.
4p 10 Bereken voor de situatie van figuur 1 de lengte van het deel van de kettinglijn tussen
P en Q. Rond je eindantwoord af op twee decimalen.
Als het deel van de grafiek van fk tussen P foto
en Q wordt gespiegeld in de x-as en vervolgens omhoog wordt geschoven, ontstaat een boog. Bij de bouw van de Sheffield Winter Garden, een in 2003 geopende plantenkas, is
gebruikgemaakt van dergelijke bogen. Zie de foto. De ontwerpers hebben een tekening gemaakt
van het vooraanzicht van het gebouw. Dit figuur 2 vooraanzicht bestaat uit acht bogen. Zie figuur 2.
In de rest van deze opgave kijken we naar de grootste boog. Deze boog is in figuur 2 dikker gedrukt.
Voor de grootste boog in deze tekening geldt: - de lengte van de boog is 49,63 meter; - het hoogste punt van de boog bevindt zich
20,51 meter boven de grond.
Bij deze grootste boog gaan we een functievoorschrift opstellen. We kiezen daartoe een assenstelsel waarbij de x-as door de onderste punten van de boog gaat en de top van de boog op de y-as ligt. De eenheden langs de assen zijn meters.
In dit assenstelsel wordt de boog weergegeven door de grafiek van een functie h. De grafiek van deze functie h ontstaat door de grafiek van een functie fk te spiegelen in
de x-as en de beeldgrafiek vervolgens omhoog te schuiven. Er is precies één waarde van k waarvoor de beeldgrafiek de juiste lengte en hoogte heeft.
5p 11 Stel een functievoorschrift op van h. Rond de getallen in je eindantwoord af op twee decimalen.
Natuurlijke logaritme van de wortel
De functie f wordt gegeven door f x( ) ln( x).
Deze functie heeft een inverse functie finv. Er geldt: finv( )x e2x.
3p 12 Bewijs dat inderdaad geldt finv( )x e2x.
De grafiek van finv wordt ten opzichte van de x-as met
factor 1
2 vermenigvuldigd. Zo ontstaat de grafiek van
de functie g.
Elke verticale lijn rechts van de y-as snijdt de grafiek van f in één punt en de grafiek van g in één punt. Het lijnstuk tussen deze twee punten heeft een lengte die afhangt van de plaats van de verticale lijn. Zie de figuur. 4p 13 Bereken de minimale lengte van het lijnstuk. Rond je
eindantwoord af op drie decimalen. De functie h wordt gegeven door:
ln( ) ( ) ln( ) x h x x
De grafiek van h heeft rechts van de y-as één perforatie. 4p 14 Bereken exact de coördinaten van deze perforatie.
Vierkant onder grafiek
Voor x 0 wordt de functie f gegeven door 1
( )
f x x
.
In de figuur is de grafiek van f getekend. Onder de grafiek is een vierkant getekend met twee zijden evenwijdig aan de x-as en twee zijden evenwijdig aan de y-as.
Het vierkant heeft linksonder hoekpunt (1, 0). Het hoekpunt rechtsboven ligt op de grafiek van f.
4p 15 Bereken exact de lengte van de zijde van het vierkant.
Twee vierkanten op een kwartcirkel
Gegeven zijn de punten A(1, 0) en B(0, 1). Punt C bevindt zich op de kwartcirkel door
A en B met middelpunt O(0, 0). Op de lijnstukken AC en BC worden twee vierkanten ADEC en BCFG getekend. Zie figuur 1.
figuur 1
De grootte van hoek AOC (in radialen) noemen we t,
met 1
2
0 t .
Punt C heeft dus coördinaten (cos( ), sin( ))t t .
Er is een waarde van t waarvoor de oppervlakte van vierkant ADEC twee keer zo groot is als de
oppervlakte van vierkant BCFG.
5p 16 Bereken deze waarde van t. Rond je eindantwoord af op twee decimalen. In figuur 2 is de situatie van figuur 1 uitgebreid met figuur 2
vector OFuuur.
Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
Voor elke waarde van t met 1 2 0 t geldt: 1 sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) t t OF t t uuur
Wiskunde B
2018-I
Uitwerkbijlage.
NAAM: . . . . . . . . . . . .
vraag 7
Wiskunde B
2018-I
Uitwerkingen.
(N=0,9)
Bewegend punt
1 maximumscore 4 x0 oplossen geeft t 1 t 1 P1(0, 0)O en P1(0, 4)A 1 v ( 2 ) t 2(2(1t))2 8t28t4 2 t 1 invullen geeft v 20 1 2 maximumscore 4 (x y )2 (1 t2 (1 t) )2 2 (1 t2 1 2t t 2 2) (2 2 ) t 2 4 8t4t2 3 4y 4(1t)2 4(1 2 t t 2) 4 8 t4t2 1Lijn door de toppen
3 maximumscore 4 fa'( ) 0x geeft eax(1ax) 0 1 eax 0 en 1ax 0 geeft 1 T a x 1 1 1 1 1 1 T a a e e T
y e x en ligt dus op lijn l. 2
4 maximumscore 3 '( ) 1 1 12 ax ax ax a a a a F x e x ae ae 2 … 1 ax ax 1 ax ax ( ) a a e x e a e xe f x 1
Als bij het differentiëren de kettingregel niet of niet correct heeft toegepast, voor deze vraag maximaal 1 scorepunt toekennen
5 maximumscore 5 x 1 e xe x geeft x 1 x0 1 0 1 1 ( x) e Opp x xe dx
1 een primitieve is: 1 2 2 x x ex xe e 2 1 1 1 1 2 2 2 1 ( e ) 1 e e Opp e e 1
Zwaartepunt en rakende cirkels
6 maximumscore 5 c x: ( 14)2(y8)2 100 1 y 0 geeft (x14)2 36 1 x14 6 x14 6 geeft xA 8 en xB 20 1 3 1 2 6 6 6 2 3 12 8 20 14 2 0 0 8 Z en dus 2 3 (12, 2 ) Z 2
7 maximumscore 5
d raakt de y-as in O, dus N ligt op de x-as.
P is de loodrechte projectie van M op de x-as.
MN r 10 en NP 14r 2 (14r)282 (r 10)2 1 196 28 r r 264r220r 100 1 48r 160 geeft 1 3 3 r 1
Maxima en minima
8 maximumscore 6 f x'( ) 6cos( ) 2sin(2 ) x x 2 f x'( ) 0 geeft 6cos( ) 4 sin( )cos( ) 2cos( )(3 2sin( )) 0x x x x x 2
1
2
cos( ) 0x sin( )x 1 1
1
2
x k en de tweede vergelijking heeft geen oplossingen 1
9 maximumscore 4
de x-coördinaten van de eindpunten van het lijnstuk zijn 1 2 1 1 x en 1 2 1 1 x 2 1 2 (1 1) 3,66 f 1
de afstand van P tot het horizontale lijnstuk is ongeveer 1,34 1
Sheffield Winter Garden
10 maximumscore 4 1 2,1 2,1 0,7(3) 1,4( ) 5,92 P Q y y f e e en 1 0 0 0,7(0) 1,4( ) 1,43 T y f e e 1 dit geeft d 4,49 1 2 2 2 8 4,49 35,935 0,7 4 4,49 80,708 l l 1 deze vergelijking oplossen geeft l 11,49 1
11 maximumscore 5
d 20,51 en l 49,63 geeft k 0,21 1
f0,21( )x spiegelen in de x-as geeft g x( ) 2,38(e0,21x e0,21x) 1
f0,21(0) 4,76 , dus de grafiek van g moet 25,27 m omhoog 2
h x( ) 2,38(e0,21x e0,21x) 25,27 1
Natuurlijke logaritme van de wortel
12 maximumscore 3 xln( y) 1 y ex geeft y ( )ex 2 e2x 1 13 maximumscore 4 1 2 2 ( ) x g x e 1 L x( )g x( )f x( ) 1e2x ln( x) 114 maximumscore 4
perforatie als teller en noemer 0 is; dat is als x 1 1
12 1 2 ln( ) ln( ) ( ) ln( ) ln( ) x x h x x x mits ln( ) 0x 2 perforatie: 1 2 (1, ) 1
Vierkant onder grafiek
15 maximumscore 4 f(1a)a 1 1 1a a geeft a2 a 1 0 1 1 5 1 1 2 2 2 5 a 1 De lengte van de zijde is 1 1
2 2 5
1
Twee vierkanten op een kwartcirkel
16 maximumscore 5 2 sin ( ) (1 cos( ))2 2 2 2cos( )
ADEC
Opp AC t t t 1
2 cos ( ) (1 sin( ))2 2 2 2sin( )
CFGB
Opp BC t t t 1
2 2cos( ) 4 4 sin( ) t t 1
Voer in: y14sin( ) 2cos( ) 2x x zero: x t 0,93 2
17 maximumscore 4
OF OC CFuuur uuur uuur 1
cos( ) 1 sin( ) t CB t uuur 1 CFuuur uuurCB geeft 1 sin( )
cos( ) t CF t uuur 1 cos( ) 1 sin( ) 1 sin( ) cos( )
sin( ) cos( ) sin( ) cos( )
t t t t OF t t t t uuur 1
