Optimaal verzekeringscontract voor een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid

(1)

Optimaal Verzekeringscontract voor

een Verzekeraar met Beperkte

Aansprakelijkheid

Laura Menting

Afstudeerscriptie voor de

Bachelor Actuari¨ele Wetenschappen Universiteit van Amsterdam

Faculteit Economie en Bedrijfskunde Amsterdam School of Economics

Auteur: Laura Menting Studentnr: 10219439

Email: lauramenting@live.nl Datum: 27 juni 2015

(2)

(3)

Optimaal Verzekeringscontract — Laura Menting iii

Abstract

In deze scriptie is het onderzoek beschreven naar een optimaal verzekerings-contract voor een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid. Bij verschillende modellen wordt de winst van de verzekeraar gemaximaliseerd en de optimale premie bepaald. Om de optimale premie te bepalen moet aan de belangen van de polishouder worden voldaan. Tevens wordt de kans op faillissement bij deze optimale premie onderzocht. Uit het onderzoek volgt dat de winst van de ver-zekeraar wordt vergroot en de kans op faillissement kleiner wordt naarmate meer polishouders de verzekering aanschaffen. De beperkte aansprakelijkheid zorgt voor risicovollere beleggingen en een grotere kans op faillissement. Uit onderzoek blijkt dat de polishouder voor een groter risico op faillissement een kleinere premie wil betalen.

(4)

Inhoudsopgave

Voorwoord v

1 Inleiding 1

2 Theoretisch kader 3

2.1 Het model van Biffis en Millossovich . . . 3

2.2 Onderzoek naar optimaal beleggingsbeleid en premiebeleid. . . 4

2.3 Onderzoek naar een effici¨ente verdelingsregeling . . . 5

3 Het model 6

3.1 Het standaardmodel . . . 6

3.2 Het uitgebreide model . . . 7

3.3 Andere verdeling voor de claim en het common-shockmodel . . . 8

4 Resultaten en analyse 9

4.1 Resultaat modellen met ´e´en polishouder . . . 9

4.2 Modellen voor een verzekeraar met meerdere polishouders . . . 12

4.3 Vergelijking tussen modellen met ´e´en en meerdere polishouders . . . 14

4.4 Vergelijking tussen modellen met andere verdelingen voor de claim . . . 15

5 Conclusie 20

Appendix 21

Bibliografie 30

(5)

Voorwoord

Ter afsluiting van de bachelor actuari¨ele wetenschappen heb ik deze scriptie gemaakt, hierbij heb ik mijn onderzoeksvaardigheid en mijn schrijfvaardigheid verbeterd. Met interesse en plezier heb ik aan dit onderzoek gewerkt. Ik wil graag iedereen bedanken die mij heeft ondersteund in dit process. In het bij-zonder mijn begeleider Dr. Tim Boonen voor zijn ondersteuning, hij heeft me gemotiveerd om aan deze scriptie te werken. Ik ben hem dankbaar voor alle feedback en uitleg. Ik wil Nancy de Bruin bedanken voor haar ondersteuning bij het schrijven van deze scriptie en voor de seminars die mijn presentatievaardig-heid hebben verbeterd. Ook dank aan mijn ouders die me altijd ondersteunen en mij de mogelijkheid hebben gegeven om te studeren en mezelf te ontwikkelen.

(6)

(7)

Hoofdstuk 1

Inleiding

Verzekeraars lopen een risico op faillissement. Als de verzekeraar niet genoeg vermogen heeft om de claims van de polishouders te vergoeden zal deze niet aan zijn verplichtin-gen kunnen voldoen en failliet gaan. Door de vliegtuigaanslag op neverplichtin-gen september 2001, waarbij het Amerikaanse World Trade Centre is getroffen en vele mensen slachtoffer zijn geworden, zijn er een record aantal claims ingediend (Los Angeles Times, 2004). Polis-houders kunnen grote verliezen lijden door catastrofes zoals een terroristische aanslag of een natuurramp. Volgens Mahul (2003) is dit een groeiend probleem voor de ver-zekeringsmarkt. De verzekeraar kan door toedoen van deze verliezen niet voldoen aan zijn verplichtingen tegenover de polishouder. Door het risico op een faillissement van de verzekeraar, loopt de polishouder een risico op verlies. Wanneer dit tegenpartijrisico aanwezig is, heeft de polishouder kans om twee verliezen lijden. Enerzijds het verlies door de claim die niet kan worden vergoed en anderzijds het verlies van de betaalde premie voor het aanschaffen van de verzekering.

Dit tegenpartijrisico wordt groter bij een verzekeringscontract met beperkte aanspra-kelijkheid. Deze beperkte aansprakelijkheid zorgt ervoor dat belegd wordt in risicovollere beleggingen, de aandeelhouders zijn namelijk beperkt aansprakelijk en worden hierdoor gestimuleerd om een deel van het vermogen van de verzekeraar risicovol te beleggen. Door te beleggen in deze risicovolle beleggingen is het risico groter dat de verzekeraar failliet gaat. Volgens Filipovi´c et al. (2014) zorgt een groter risico op een faillissement ervoor dat een polishouder minder wil betalen voor de verzekering of zelfs geen belangen heeft om de verzekering aan te schaffen.

In deze scriptie wordt het tegenpartijrisico geanalyseerd bij een optimaal contract voor een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid. Hoe dit optimale contract eruit ziet en wat het premiebeleid is voor een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid staat centraal in dit onderzoek. Er zijn verschillende modellen opgesteld om een opti-maal verzekeringscontract te vormen. Deze modellen zijn afgeleid van het onderzoek van Biffis en Millossovich (2012). Het onderzoek van Biffis en Millossovich (2012) wordt in het volgende hoofdstuk beschreven. Om een optimaal verzekeringscontract op te stellen wordt zowel rekening gehouden met de belangen van de verzekeraar als naar de be-langen van de polishouders. De winst van de verzekeraar wordt gemaximaliseerd onder de voorwaarden dat voldaan is aan de belangen van de polishouder. Als niet aan deze voorwaarde voldaan is, heeft de polishouder er geen baat bij om de verzekering af te sluiten. De optimale premie die de polishouder wil betalen voor het optimale verzeke-ringscontract wordt bepaald, bij dit optimale verzekeverzeke-ringscontract wordt de winst van de verzekeraar gemaximaliseerd.

Om dit optimale verzekeringscontract te vormen wordt het beleggingsbeleid van een verzekeraar en de invoering van een verdelingsregeling geanalyseerd. Deze verdelings-regeling verdeelt het beschikbare vermogen van de verzekeraar, nadat deze failliet is gegaan, over de polishouders. Een situatie waarbij het vermogen na faillissement wordt verdeeld is ge¨ıntroduceerd door Ibragimov et al. (2010) en Mahul (2003), deze worden

(8)

2 Laura Menting — Optimaal Verzekeringscontract

in het volgende hoofdstuk besproken. Voor de claim van de polishouder worden verschil-lende kansverdelingen geanalyseerd en wordt een common-shock model bestudeerd.

Het verloop van deze scriptie is als volgt, in het tweede hoofdstuk wordt literatuur beschreven die relevant is voor dit onderzoek, gevolgd door het derde hoofdstuk waarin het standaardmodel en het uitgebreide model worden behandeld. In het vierde hoofdstuk worden de resultaten van de analyse beschreven. Tenslotte volgt in Hoofdstuk vijf de conclusie.

(9)

Hoofdstuk 2

Theoretisch kader

In dit hoofdstuk wordt de theorie beschreven die relevant is voor het onderzoek van deze scriptie. Het model dat in dit onderzoek wordt gebruikt is gebaseerd op de artikelen die in dit hoofdstuk worden vermeld. Ten eerste wordt het model van Biffis en Millossovich (2012) beschreven, daarna wordt ingegaan op het onderzoek naar een optimaal beleg-gingsbeleid en premiebeleid door Filipovi´c et al. (2014). In de laatste paragraaf worden de verdelingsregelingen van Ibragimov et al. (2010) en Mahul (2003) toegelicht.

2.1 Het model van Biffis en Millossovich

Biffis en Millossovich (2012) hebben onderzoek gedaan naar de invloed van tegenpartij-risico op verzekeringen. Bij tegenpartijtegenpartij-risico is een kans op een faillissement dat bijvoor-beeld optreedt wanneer een catastrofale situatie zich voordoet en de verzekeraar niet genoeg vermogen heeft om alle vergoedingen uit te betalen. Biffis en Millossovich (2012) onderzoeken een optimale verzekering waarbij rekening wordt gehouden met deze risicos op faillissement

Het model van Biffis en Millossovich beschrijft een one-period economy met twee agenten, de verzekeraar en de polishouder. Aan het begin van de periode heeft de verze-keraar een begin vermogen A en ontvangt een premie P , die de polishouder betaalt om zich te verzekeren tegen een verlies X. Als de polishouder dit verlies maakt krijgt deze een vergoeding I(X) van de verzekeraar. De polishouder heeft een beginvermogen W . Er zijn twee situaties die in deze periode kunnen gebeuren, de verzekeraar gaat failliet, of dit gebeurt niet. De kans op faillissement van de verzekeraar wordt als endogeen be-schouwd. Als het vermogen van de verzekeraar plus de premie die hij ontvangen heeft aan het begin van de periode niet voldoende is om alle claims te vergoeden dan gaat de verzekeraar bankroet. In dit geval geldt A + P < I(X). Als deze situatie zich voordoet wordt slechts een deel van de claim door de verzekeraar vergoed. De verzekeraar heeft namelijk niet genoeg vermogen om de gehele claim te vergoeden en moet faillissements-kosten betalen. Wanneer dit het geval is zal het vermogen dat de polishouder aan het einde van de periode bezit, kleiner zijn dan het vermogen in het geval dat de hele claim wordt uitbetaald.

Het belangrijkste resultaat uit het onderzoek van Biffis en Millossovich (2012) is een expliciete karakterisering van de wisselwerking tussen het vermogen van de verzekeraar, de premie en de vergoeding van de claim voor verschillende vormen van afhankelijkheid van de risicos op een claim. De kans op faillissement wordt endogeen beschouwd en hangt alleen af van deze wisselwerking. Uit het onderzoek volgt dat bij een optimaal verzekeringscontract kleinere en/of grotere verliezen niet worden verzekerd en dat de middelgrote verliezen wel grotendeels verzekerd zijn. Bij een dergelijk optimaal verzeke-ringscontract is sprake van een eigenrisico en/of wordt een bovengrens gesteld aan het verlies dat verzekerd is.

(10)

In het onderzoek van Biffis en Millossovich (2012) wordt het model analytisch op-gelost. Het model dat in deze scriptie wordt gebruikt is gebaseerd op dit model.

2.2 Onderzoek naar optimaal beleggingsbeleid en

premie-beleid

In het volgende onderzoek wordt ook gekeken naar een model met twee partijen en de belangverschillen van deze partijen. Filipovi´c et al. (2014) doen onderzoek naar een op-timaal beleggings- en premiebeleid. In het onderzoek wordt rekening gehouden met de belangenverschillen van de aandeelhouder en de polishouder. Daarbij wordt uitgegaan van een situatie waarbij het risico op verlies verschoven kan worden van de aandeelhou-der op de polishouaandeelhou-der. Dit risico wordt verschoven door de beperkte aansprakelijkheid van de aandeelhouder. Door deze beperkte aansprakelijkheid zal de aandeelhouder een incentive hebben om te beleggen in risicovolle beleggingen en door deze beleggingen zal het risico dat de verzekeraar failliet gaat groter zijn. De andere partij, de polishouder, heeft een ander belang. Deze polishouder wil juist dat niet belegd wordt in risicovolle beleggingen en wil de kans op faillissement van de verzekeraar zo klein mogelijk houden. De polishouder wil minder betalen voor een verzekering waarbij een grotere kans bestaat dat de verzekeraar failliet gaat.

Filipovi´c et al. (2014) bestuderen een one-period economy model met twee agenten, de aandeelhouder en de polishouder. De aandeelhouder is risiconeutraal en de polishou-der is risico-avers. De polishoupolishou-der betaalt aan het begin van de periode een premie om zich te verzekeren tegen een verlies. De aandeelhouder kan aan het begin van de periode een deel van het vermogen van de verzekeraar, dat voor een deel opgebouwd is uit de betaalde premies, beleggen in risicovolle beleggingen. Hierdoor heeft de verzekeraar een onzekerder vermogen. Er is namelijk een kans dat het rendement, dat ontvangen wordt over de beleggingen, negatief is. De aandeelhouder maakt in dit geval geen verlies omdat deze beschermd is door de beperkte aansprakelijkheid. De polishouder moet het risico opvangen doordat de claims van de polishouder niet volledig vergoed worden.

Door middel van nutsfuncties voor de aandeelhouder en de polishouder wordt het optimale beleggings- en premiebeleid onderzocht. De nutsfuncties zijn afhankelijk van de fractie α van het vermogen dat door de aandeelhouder belegd wordt, en de premie p die de polishouder betaald om zich te verzekeren tegen een verlies X. Door gebruik te maken van data van een gemiddeld portfolio van een schade verzekeraar van de QIS3 (Quatitative Impact Study 3) Benchmarking Study van de Chief Risk Officer Forum, wordt een kalibratie studie toegepast op het model.

In dit onderzoek wordt een pareto-optimaal beleid beschreven waarbij rekening is gehouden met een serie van voorwaarden. Er wordt aangetoond dat voor elk nutsniveau een pareto-optimaal beleid bestaat. Vervolgens wordt naar de situatie gekeken waarbij het belangen probleem van de aandeelhouder en de polishouder aanwezig is in het mo-del. Er kan in dat geval geen pareto-optimaal beleid worden behaald, dit wordt het een na beste pareto-optimale beleid genoemd. Vervolgens wordt het model uitgebreid door solvabiliteitseisen toe te voegen. Deze solvabiliteitseisen beperkt het beleggings- en pre-miebeleid omdat de verzekeraar aan deze solvabiliteitseisen moet voldoen. Filipovi´c et al. (2014) concluderen dat het een na beste pareto-optimale beleid wordt verbeterd na de invoering van deze solvabiliteitseisen. Volgens hen wordt door de invoering van solva-biliteitseisen een beperking gelegd op het beleggingsbeleid en het premiebeleid waardoor een optimaler beleid ontstaat onder beperkte aansprakelijkheid van de aandeelhouder.

Deze scriptie is gebaseerd op het onderzoek van Filipovi´c (2014) , er wordt ook onderzoek gedaan naar een optimaal beleid waarbij rekening wordt gehouden met de belangen verschillen van twee partijen. Er wordt tevens onderzoek gedaan naar een optimale fractie van het vermogen van de verzekeraar dat belegd wordt in risicovolle beleggingen en naar de optimale premie.

(11)

Optimaal Verzekeringscontract — Laura Menting 5

2.3 Onderzoek naar een effici¨

ente verdelingsregeling

In de volgende twee studies is ook onderzoek gedaan naar de meest effici¨ente situatie. In de studies van Ibragimov et al. (2010) en Mahul (2003) is bestudeerd hoe het vermogen van een verzekeraar na faillissement het beste verdeeld kan worden over de polishouders. De verdelingsregelingen in beide onderzoeken zijn verschillend van elkaar.

Ibragimov et al. (2010) stellen in hun onderzoek een model op om te analyseren hoe het vermogen en de kosten van de verzekeraar het best gealloceerd kan worden bij een multiline verzekeraar1. Dit onderzoek is gebaseerd op het onderzoek van Phillips et al. (1998), toch verschillen de resultaten. Phillips et al. (1998) onderzoeken de verdeling van het vermogen volgens de ex ante regel, bij deze regel wordt het vermogen verdeeld door gebruik te maken van de verwachte hoogte van een claim. Na faillissement van de verzekeraar wordt het vermogen verdeeld op basis van de grootte van de verwachte claim van een individuele polishouder in verhouding met de hoogte van de totale verwachte claims van alle polishouders. Hierbij zou het kunnen voorkomen dat een polishouder met een kleine verwachte claim geld zou moeten overmaken naar een polishouder met een grote verwachte claim. Dit zal in de praktijk niet voorkomen, de ex ante regel is daarom niet goed toepasbaar in de realiteit.

Ibragimov et al. (2010) maken gebruik van een ex post pro rata verdelingsregel, het verschil met de regel die Phillips et al. (1998) hebben gebruikt, is dat nu wordt uitgegaan van de geobserveerde claims in plaats van de verwachte. Als een verzekeraar failliet gaat wordt de vergoeding, die de polishouder zou ontvangen, verminderd om zo het verlies van de verzekeraar te compenseren. De hoogte van de totale uitbetaalde vergoedingen is gelijk aan het beschikbare vermogen van de verzekeraar.

In het onderzoek dat in deze scriptie is beschreven zal net als in het onderzoek van Ibragimov et al. (2010) rekening worden gehouden dat polishouders onderling geen be-talingen aan elkaar doen. Ook zal het totaal aantal uitbetaalde vergoedingen, na faillis-sement van de verzekeraar gelijk zijn aan het beschikbare vermogen van de verzekeraar. De verdelingsregeling die in dit onderzoek gebruikt wordt verschilt van de proportionele regeling die door Ibragimov et al. (2010) is ge¨ıntroduceerd. De verdelingsregeling in dit onderzoek is gebaseerd op het onderzoek van Mahul (2003).

In het onderzoek van Mahul (2003) wordt onderzocht wat de meest efficiënte manier is om het risico op faillissement te verdelen over de polishouders. Hij benadrukt vooral het risico op faillissement door toedoen van een catastrofe zoals een natuurramp of een terroristische aanslag. Als een catastrofe optreedt zullen vele polishouders verlies leiden waardoor veel claims in één keer vergoed moeten worden, dit kan ervoor zorgen dat een verzekeraar failliet gaat. Mahul(2003) onderzoekt hoe het verlies dat dan wordt geleden het beste verdeeld kan worden over de polishouders.

Mahul (2003) gaat net als Ibragimov et al. (2010) uit van een ex post verdelingsrege-ling. In de regeling die hij gebruikt betalen alle polishouders een premie vooraf die gelijk is aan het verwachte verlies dat de polishouder in die periode zal maken. Wanneer in die periode een catastrophe optreed die leidt tot faillissement van de verzekeraar, dan zul-len de individuele verliezen van de polishouders geheel vergoed worden. De verzekeraar heeft hier niet genoeg vermogen voor, de polishouder zal dit verlies moeten compenseren door een ex post premie te betalen. Deze ex post premie zal dus achteraf betaald worden als de gerealiseerde verliezen groter zijn dan de verwachte verliezen. Mahul houdt er rekening mee dat polishouders die geen verliezen maken geen risico dragen en dus geen ex post premie betalen.

In het onderzoek van deze scriptie wordt premie ex post beschouwd als een aftrekpost op de volledige vergoeding. De verdelingsregeling zal verder grotendeels overeenkomen met de regeling die Mahul (2003) in zijn onderzoek heeft ge¨ıntroduceerd.

(12)

Hoofdstuk 3

Het model

In dit hoofdstuk worden de modellen toegelicht die de basis zijn voor dit onderzoek om het optimale verzekeringscontract te onderzoeken. Door simualties te maken in het pro-gramma Matlab1 worden de de modellen geanalyseerd. In de eerste paragraaf wordt het standaard model beschreven en uitgelegd. In de tweede paragraaf worden uitbreidingen op dit standaard model beschreven en wordt een toelichting gegeven op dit uitgebreide model. Het model is gebaseerd op eerdere onderzoeken die in de literatuur staan be-schreven. Het model is afgeleid van het model van Biffis en Millossovich (2012) en de uitbreidingen zijn gebaseerd op de theorie die in Hoofdstuk 2 is beschreven.

3.1 Het standaardmodel

Het standaardmodel beschrijft een situatie tussen twee agenten, de polishouder en de verzekeraar. De duur van het model is ´e´en periode. het uitgangspunt is dat de polis-houder risico-avers is en de verzekeraar risiconeutraal. Om het optimale verzekerings-contract op te stellen wordt het vermogen van de verzekeraar gemaximaliseerd onder de voorwaarde dat aan de belangen van de polishouder is voldaan.

In de beginsituatie heeft de verzekeraar een bepaald vermogen W ≥ 0 en ontvangt de verzekeraar premie π ≥ 0 van de polishouder . De polishouder heeft een beginvermogen w ≥ 0 en betaalt aan het begin van de periode een premie π ≥ 0 om zich te verzekeren tegen een verlies X ≥ 0. De verzekeraar zal, indien deze niet failliet gaat, deze claim in zijn geheel betalen aan de polishouder. De claim X is een onafhankelijke stochast met een exponenti¨ele kansverdeling, X ∼ Exp(λ). Met verwachtingswaarde µ = 1_λ en variantie µ2 = (_λ1)2, in dit onderzoek is de verwachtingswaarde vastgesteld op µ = 5 en de variantie is gegeven door µ2 _{= 25.}

Aan het einde van de periode heeft de verzekeraar een vermogen van W + π − I(X). I(X) is het bedrag dat wordt vergoed aan de polishouder. In het geval dat de verzekeraar niet bankroet gaat zal in dit standaard model gelden, I(X) = X. Het vermogen van de verzekeraar is door beperkte aansprakelijkheid nooit negatief en het eindvermogen is gegeven door [W + π − I(X)]+, waarbij Y+= max [Y, 0].

Het vermogen van de polishouder is aan het eind van de periode gelijk aan w − π − X + I(X) · 1D=0 . Wanneer de verzekeraar failliet gaat zal er geen uitbetaling aan de

polishouder worden gedaan. Hierbij wordt gebruik gemaakt van een indicatorfunctie. Deze functie heeft waarde 1 als de verzekeraar niet failliet gaat en waarde 0 wanneer dit wel het geval is. Deze indicatorfunctie is gegeven door

1D=0 =

(

1 als W + π − I(X) ≥ 0, 0 als W + π − I(X) < 0.

Hier betekent D = 0 dat de verzekeraar niet failliet gaat en D = 1 dat de verzeke-raar wel bankroet gaat. De kans dat de verzekeverzeke-raar bankroet gaat is bepaald door de

1_{http://www.mathworks.nl/producs/matlab}

(13)

wisselwerking van het vermogen, de premie en de vergoeding.

Om het nut van de polishouder weer te geven wordt de CRRA, constant relative risk aversion, nutsfunctie gebruikt. Dit is een geschikte nutsfunctie voor een risico-averse polishouder. De nutsfunctie van de polishouder is gedefinieerd door:

u(x) =

( _x1−γ₋₁

1−γ als γ 6= 1,

log(x) als γ = 1. Deze functie geldt alleen voor x > 0 en γ > 0.

De polishouder zal alleen de verzekering aanschaffen wanneer het verwachte nut bij aanschaffen van een verzekering aan het einde van de periode groter is dan het verwachte nut wanneer hij niet verzekerd is. Er moet daarom aan de volgende voorwaarde worden voldaan: E[u(w − π − X + I(X) · 1D=0)] ≥ E[u(w − X)]. Onder deze voorwaarde kan het

optimale verzekeringscontract gevonden worden door de verwachte winst van de verze-keraar te maximaliseren. De verwachte winst van de verzeverze-keraar wordt gemaximaliseerd naar de premie π: max

π [E[W + π − I(X)]+],

waarbij E(Y+) = E(X · 1Y >0),

zodanig dat E[u(w − π − X + I(X) · 1D=0)] ≥ E[u(w − X)].

3.2 Het uitgebreide model

Het standaardmodel dat in de vorige paragraaf is opgezet wordt op verschillende ma-nieren uitgebreid. Deze uitbreidingen geven een realistischer model weer. Het model wordt uitgebreid door meer polishouders in het model op te nemen. In het standaard model is gekozen voor n = 1. Dit model wordt uitgebreid door grote waarde van n te veronderstellen. De stochasten Xi zijn i.i.d. random stochasten met een eindige

varian-tie daarom mag, wanneer n groot genoeg , de centrale limietstelling2 worden gebruikt. Door gebruik te maken van de centrale limietstelling wordt verondersteld dat de som van alle claims een normale verdeling heeft,

n

X

i=1

Xi ∼ N (n · µ, n · µ2), met µ = 5. De

verwachtingswaarde van de normaalverdeelde som van alle claims is n · 5 en de varian-tie is n · 25. Het eindvermogen van de verzekeraar wordt bij een model met meerdere polishouders gemaximaliseerd, max

π [E[W + n · π − n

X

i=1

I(Xi)]+],

waarbij E(Y+) = E(X · 1Y >0) zodanig dat E[ui(wi − π − Xi + I(X)i · 1D=0)] ≥

E[ui(wi− Xi)], met 1D=0= ( 1 als W + n · π −Pn i=1I(Xi) ≥ 0, 0 als W + n · π −Pn i=1I(Xi) < 0, ∀i = 1, . . . , n.

Dit model wordt verder uitgebreid door rendement op beleggingen mee te nemen in het model. De verzekeraar zal aan het begin van de periode een deel van zijn vermogen (W + n · π) · α beleggen en hierover een rendement R ontvangen. Hier geeft α de fractie van het vermogen van de verzekeraar dat belegd wordt. Het rendement R is een discrete stochast met een uniforme verdeling, R ∼ U (a, b). Het verwachte vermogen van de verzekeraar zal in dit geval gelijk zijn aan [E[(W + n · π)(1 + α · R) −Pn

i=1I(Xi)]]+. Dit

uitgebreide model wordt gedefinieerd door max

π [E[(W + n · π)(1 + α · R) −

Pn

i=1I(Xi)]+]

waarbij E(Y+) = E(X ·1Y >0), zodanig dat E[ui(wi−π −Xi+I(X)i·1D=0)] ≥ E[ui(wi−

Xi)] met 1D=0 = ( 1 als (W + n · π)(1 + α · R) −Pn i=1I(Xi) ≥ 0, 0 als (W + n · π)(1 + α · R) −Pn i=1I(Xi) < 0. 2

Volgens de centrale limietstelling heeft de som van i.i.d., independent and identically distributed, random stochasten met een eindige variantie bij benadering een normale verdeling.

(14)

Het model wordt uitgebreid door een verdelingsregeling mee te nemen die wordt ge-hanteerd wanneer de verzekeraar failliet gaat. Bij deze regeling wordt het overgebleven vermogen van de verzekeraar verdeeld over de polishouders en zullen niet alle claims volledig worden uitbetaald. Bij alle polishouders wordt een constante c ≥ 0, van vergoe-ding afgehaald. De vergoevergoe-ding mag niet negatief zijn, polishouders die geen of een hele kleine claim hebben zullen dus geen geld betalen in de vorm van een negatieve vergoe-ding. Bij faillissement van de verzekeraar is de vergoeding I(xi) gedefineerd door I(Xi) =

[Xi− c]+. Hier is c een unieke oplossing vanPni=1[Xi− c]+= (W + n · π)(1 + α · R)(1 − δ).

Deze formule geeft aan dat de totale uitbetaling aan vergoedingen voor claims gelijk is aan het beschikbare vermogen van de verzekeraar. Hierbij is δ de fractie van het vermogen dat betaald moet worden als faillissmentskosten aan andere instanties.

Wanneer de verzekeraar niet failliet gaat dan geldt c = 0 en is I(Xi) = Xi. Het

uitgebreide model is gedefinieerd door max

π [E[(W + n · π)(1 + α · R) −

Pn

i=1I(Xi)]+]

waarbij

Y+= max[Y, 0] zodanig dat E[ui(wi− π − Xi+ I(Xi))] ≥ E[ui(wi− Xi)]

en

I(Xi) =

(

Xi als (W + n · π)(1 + α · R) −Pni=1I(Xi) ≥ 0

(Xi− c)+ als (W + n · π)(1 + α · R) −Pni=1I(Xi) < 0

waarbij c de unieke is oplossing van Pn

i=1[Xi− c]+= (W + n · π)(1 + α · R)(1 − δ).

3.3 Andere verdeling voor de claim en het common-shockmodel

De modellen die hierboven zijn opgesteld zullen niet alleen worden onderzocht voor een exponentieel verdeelde claim, de invloed van een andere verdeling voor de claim en de invloed van een common-shockmodel wordt namelijk onderzocht.

De claim neemt een lognormale verdeling aan waarbij de verwachtingswaarde en de variantie gelijk zijn aan die van de exponenti¨ele verdeling die in Paragraaf 3.1 is beschreven. De resultaten van beide modellen kunnen dan goed met elkaar vergeleken worden. In deze scriptie is de verwachtingswaarde van de claim vastgesteld op µ = 5 en de variantie op µ2 = 25. De claim wordt gedefinieerd door Xi ∼ LogN (β, σ), in de

appendix staan β en σ uitgedrukt in de verwachtingswaarde µ en is de bereking voor de numerieke waarde van β en σ te vinden.

De som van de claims, als het aantal polishouders groot genoeg is, is normaal verdeeld met verwachtingswaarde n · µ en variantie n · µ2. De lognormale verdeelde stochasten zijn namelijk, net als bij de exponentieel verdeelde stochasten, ook i.i.d, independent and identically distributed, en hebben een eindige variantie. Door gebruik te maken van de centrale limietstelling kan voor de som van deze lognormaal verdeelde stochasten benaderd door de normale verdeling. De som van de claims voor n polishouders is gedefinieerd als Pn

i=1Xi ∼ N (n · µ, n · µ2) met µ = 5.

Bij een common-shockmodel is de verdeling van de claim samengesteld uit twee verdelingen,Xi = Z + Yi. Hier is Z binominaal verdeeld met verwachtingswaarde 1 en

variantie 9, Z ∼ Bin(0, 1; 1) · 10, en Yi is exponentieel verdeeld met verwachtingswaarde

4 en variantie 16, Yi ∼ Exp(1₄). De verwachtingswaarde voor Xi is dan gelijk aan 5

en de variantie is 25, dit is hetzelfde als bij vorige verdelingen die gebruikt zijn voor de claim Xi bij µ = 5. De som van de claims bij meerdere polishouders is gelijk aan

Pn

i=1Xi = n · Z +Pni=1Yi. Hier heeft Z dezelfde verdeling als hierboven genoemd en

wordt voor de som van Yi, door gebruik te maken van de centrale limietstelling, de

normale verdeling genomen, Pn

(15)

Hoofdstuk 4

Resultaten en analyse

In dit hoofdstuk worden de resultaten en de analyse beschreven. Voor de resultaten en analyse van de modellen die in Hoofdstuk 3 beschreven zijn, is gebruikt gemaakt van simulaties in het programma Matlab. In de eerste paragraaf staan de resultaten en analyse van de modellen met ´e´en polishouder beschreven, in de tweede paragraaf de resultaten en analyse van modellen met meerdere polishouders. In de derde paragraaf volgt een vergelijking tussen de modellen met n en meerdere polishouders. Tot slot worden de resultaten en analyse vergeleken met modellen waar de claim een andere verdeling heeft.

4.1 Resultaat modellen met ´

e´

en polishouder

De figuren die in deze paragraaf weergegeven worden zijn gemaakt door de modellen die in Hoofdstuk 3 staan beschreven te simuleren in het programma Matlab. In de appendix A zijn de scripts te vinden waarin staat hoe de simulaties zijn uitgevoerd. De grafieken in deze paragraaf geven weer wat het verwachte eindvermogen is van de verzekeraar voor een bepaalde premie bij een model met ´e´en polishouder.

Om het verwachte eindvermogen van de verzekeraar te bepalen is er een waarde toegekend aan het beginvermogen van de verzekeraar, deze is vastgesteld op W = 5 tenzij anders is vermeld. Tevens is het van belang welke waarde is toegekend aan het beginvermogen van de polishouder, dit beginvermogen is vastgesteld op w = 15. De waarde die de premie kan aannemen is ook van belang, deze waarde ligt tussen 0.1 en 10. De claim X is een exponentieel verdeelde stochast met verwachte waarde µ = 5 en variantie µ2 = 25. De claim X neemt overigens nooit een waarde kleiner dan 0 aan. De CRRA nutsfunctie van de risico-averse polishouder is gedefinieerd door u(x) = log (x). Deze nutsfunctie heeft de parameter γ = 1. Er is gekozen voor parameter γ = 1 omdat deze CRRA nutsfunctie niet begrensd is. Bij deze nutsfunctie moet de waarde die in deze functie wordt ingevuld groter zijn dan nul, daarom is het beginvermogen van de polishouder op w = 15 vastgesteld.

In de grafieken is het verwachte eindvermogen van de verzekeraar uitgezet tegen de premie die bij dit eindvermogen hoort. Wanneer dit verwachte eindvermogen groter is dan het beginvermogen van de verzekeraar, wordt naar verwachting winst gemaakt. Indien het verwachte eindvermogen van de verzekeraar kleiner is dan het beginvermogen wordt verwacht dat de verzekeraar verlies maakt. In dat geval zal de verzekeraar geen verzekering willen verkopen aan de polishouder omdat deze geen baat heeft om verlies te maken. Een andere situatie waarbij geen verzekering wordt afgesloten is wanneer niet aan de belangen van de polishouder is voldaan. Om aan deze belangen te voldoen moet het verwachte nut van de polishouder, aan het einde van de periode, groter zijn wanneer deze een verzekering aanschaft dan wanneer de polishouder dit niet doet. Er moet aan deze voorwaarde zijn voldaan om een optimaal verzekeringscontract te vormen. Bij iedere situatie wordt bekeken wat de maximale premie is die de polishouder wil

(16)

betalen voor de verzekering, wat het maximale verwachte eindvermogen en de kans op faillissement is voor de verzekeraar bij deze premie.

Bij het standaardmodel met ´e´en polishouder, zoals staat beschreven in Paragraaf 3.1, hoort Figuur 4.1. In Figuur 4.1a is te zien dat de polishouder bereid is om een bedrag aan premie te betalen tot de maximumpremie van 8,9. Bij deze premie is het verwachte eindvermogen van de verzekeraar 9,15 en de kans op faillissement 0,039. Als de premie hoger is dan 8,9 dan wordt niet aan de voorwaarde van de polishouder voldaan en heeft deze geen baat om de verzekering aan te schaffen. Het verwachte eindvermogen zal in dat geval gelijk moeten zijn aan het beginvermogen van de verzekeraar, echter is gekozen om het verwachte eindvermogen op nul te stellen wanneer niet aan de voorwaarde van de polishouder is voldaan. Er is geen minimum premie die de polishouder wil betalen. In deze situatie is namelijk een hele kleine kans dat de verzekeraar failliet zal gaan. In Figuur 4.1b is hetzelfde model weergegeven voor een verzekeraar met beginvermogen W = 15. De kans op faillissement bij de maximumpremie van 8,7 is gelijk aan 0,0075, de kans op faillissement is kleiner naarmate het beginvermogen van de verzekeraar groter is. Dit komt omdat de verzekeraar dan genoeg vermogen heeft om bij bijna alle waarde die de claim aan kan nemen te kunnen vergoeden. Er is slechts een kans van 0,0075 dat de claim groter is dan de maximumpremie vermeerderd met het beginvermogen, 8,7+15=23,7.

(a) W = 5 (b) W = 15

Figuur 4.1: Het verwachte eindvermogen van de verzekeraar bij een bepaalde premie voor het standaardmodel met ´e´en polishouder.

In Figuur 4.2 worden de grafieken weergegeven die horen bij een model met rende-ment op beleggingen van de verzekeraar. De verzekeraar belegt een fractie α van het beginvermogen en de ontvangen premies in risicovolle beleggingen. Het rendement dat hierop wordt behaald is uniform verdeeld en neemt een waarde aan tussen -0,4 en 0,45. Er is kans op een groot positief rendement. Daartegenover loopt de verzekeraar het ri-sico dat een groot negatief rendement wordt behaald op zijn beleggingen. Het verwachte rendement is positief zodat de verzekeraar een incentive heeft om te beleggen. In Figuur 4.2a is het deel van het vermogen dat belegd wordt gelijk aan α = 0, 5 en in Figuur 4.2b is dit gelijk aan α = 1.

(17)

(a) α = 0, 5 (b) α = 1

Figuur 4.2: Het verwachte eindvermogen van de verzekeraar bij een bepaalde premie voor het model met ´e´en polishouder en waarbij de fractie α van het beginvermogen is belegd.

Wanneer de helft van het beginvermogen van de verzekeraar en de ontvangen premie aan het begin van de periode wordt belegd in risicovolle beleggingen, zoals te zien in Figuur 4.2a, is de polishouder bereid een premie te betalen tot 8,9. Bij deze maximum-premie is het eindvermogen van de verzekeraar gelijk aan 9,29 en de kans op faillissement 0,0658. Wanneer het gehele vermogen wordt belegd, zoals te zien in Figuur 4.2b, is de maximumpremie die de polishouder bereid is te betalen gelijk aan 8,8. De verzekeraar heeft bij deze premie een verwacht eindvermogen van 9,56 en een kans op faillissement gelijk aan 0,0724. Wanneer een groter deel van het vermogen wordt belegd in risicovolle beleggingen, is de kans op faillissement bij de maximumpremie groter. De risicovolle beleggingen verhogen namelijk het risico op faillissement. Het beschikbare vermogen van de verzekeraar aan het begin van de periode, het beginvermogen en de ontvangen premie, wordt belegd en het verwachte rendement op beleggingen is positief. Hierdoor is het verwachte eindvermogen en dus de verwachte winst van de verzekeraar groter dan in een situatie waar niet belegd wordt.

Model Maximale premie Maximaal verwachte eindvermogen Kans op faillisse-ment n = 1, standaardmodel met W = 5 8,9 9,15 0,039 n = 1, standaardmodel met W = 15 8,7 18,71 0,0075 n = 1, rendement op beleggin-gen met α = 0, 5 8,9 9,29 0,066 n = 1, rendement op beleggin-gen met α = 1 8,8 9,56 0,072

Tabel 4.1: Maximumpremie met bijbehorende maximaal verwachte eindvermogen en kan op faillissement voor verschillende modellen met ´e´en polishouder

In Tabel 4.1 is voor verschillende modellen met één polishouder de maximumpremie, het maximale verwachte eindvermogen en de kans op faillissement weergegeven. Bij de modellen voor één polishouder is de kans op faillissement wanneer de maximumpremie wordt betaald kleiner wanneer het beginvermogen van de verzekeraar groter is. De

(18)

verzekeraar heeft dan een grotere kans dat hij genoeg vermogen heeft om de claim te vergoeden. Wanneer er een groter deel van het vermogen wordt belegd stijgt de kans op faillissement, de winst gaat tevens omhoog.

4.2 Modellen voor een verzekeraar met meerdere

polis-houders

In deze paragraaf worden de resultaten weergegeven voor een verzekeraar met meerdere polishouders. Bij de modellen met meerdere polishouders gelden de zelfde waarden voor het beginvermogen van de verzekeraar en de polishouder. Het begin vermogen van de verzekeraar is W = 5 en alle polishouders hebben hetzelfde beginvermogen gelijk aan wi = 15. Alle polishouders hebben ook dezelfde CRRA nutsfunctie u(x) = log (x). De

claim voor alle polishouders is exponentieel verdeeld met µ = 5 net als in de modellen voor een verzekeraar met ´e´en polishouder. Het totaalaantal claims is normaalverdeeld met een verwachte waarde van n · µ en een variantie van n · µ2_{, met µ = 5. Het}

stan-daardmodel wordt weergegeven voor 100 polishouders, n = 100 en voor 500 polishou-ders, n = 500, echter wordt daarna alleen gekeken naar modellen met 100 polishouders zodat de verschillende modellen goed met elkaar vergeleken kunnen worden.

In Figuur 4.3a is de grafiek voor het standaardmodel met 100 polishouders en in Figuur 4.3b met 500 polishouders weergegeven. Hier is duidelijk te zien dat meer polis-houders in de portfolio van de verzekeraar een groter verwacht eindvermogen oplevert. De verwachtingswaarde van de claims gelijk is aan n · 5 en de som van de premies gelijk is aan n · premie, kan de verzekeraar daarom veel winst maken wanneer een premie groter dan 5 wordt betaald. De som van de premies is dan weer meer dan de som van de verwachte claims. In de grafieken lijkt dat de polishouders een premie willen betalen, bij 100 polishouders tussen de 4,6 en 8,6 en bij 500 polishouders tussen de 4,9 en 8,6. Ech-ter als er nader onderzocht wordt is bij het model met 100 polishouders, de polishouder bereid tevens een premie te betalen tussen 0 en 3,2 en bij het model met 500 polishou-ders tussen 0 en 3,0. Bij deze premies wordt wel aan de voorwaarde van de polishouder voldaan, maar is de verzekeraar failliet gegaan en is het verwachte eindvermogen gelijk aan nul.

(a) n = 100 (b) n = 500

Figuur 4.3: Het verwachte eindvermogen van de verzekeraar bij een bepaalde premie voor het standaardmodel met meerdere polishouder.

De maximumpremie die de polishouder wil betalen is bij een model met 100 en met 500 polishouders gelijk aan 8,6. Het maximale verwachte eindvermogen van de verzekeraar is gelijk aan 366,82 en 1817,71 respectievelijk. De kans op faillissement bij de maximale premie die polishouder wil betalen is in beide modellen gelijk aan 0. De

(19)

verzekeraar verhoogt zijn verwachte eindvermogen en de kans op faillissement wordt kleiner wanneer de verzekering aan meerdere polishouders wordt verkocht.

(a) α = 0, 5 (b) α = 1

Figuur 4.4: Het verwachte eindvermogen van de verzekeraar bij een bepaalde premie voor het standaardmodel met meerdere polishouders en waarbij de fractie α van het beginvermogen is belegd.

In de Figuren 4.4a en 4.4b zijn de grafieken weergegeven voor een model met 100 polishouders waarbij een deel van het beginvermogen en de ontvangen premies wordt belegd in risicovolle beleggingen. Het rendement is net als bij de situatie met ´e´en po-lishouder uniform verdeeld en kan een waarde aannemen tussen -0,40 en 0,45. Figuur 4.4a hoort bij het model waarbij de helft van het beschikbare vermogen is belegd en Figuur 4.4b hoor bij het model waarbij het gehele beschikbare vermogen is belegd. De hoogste premie die de polishouder bereid is te betalen bij α = 0, 5 is gelijk aan 8,6 en bij α = 1 gelijk aan 8,5. Bij deze premie is het maximale eindvermogen gelijk aan 382, 0, respectievelijk 401,10. De kans op faillissement bij deze premie is bij α = 0, 5 gelijk aan 0,00 en bij α = 1 gelijk aan 0,0212. Het verwachte eindvermogen is groter naarmate een groter deel van het vermogen wordt belegd, omdat de verwachtingswaarde van het rendement positief is. De kans op faillissement wordt ook groter naarmate een groter deel van het vermogen risicovol wordt belegd.

In de grafieken is niet te zien dat de polishouder geen premie wil betalen bij α = 0, 5 tussen 3,0 en 4,0 en bij α = 1 niet tussen 2,7 en 3,8. Bij deze premies is namelijk niet aan de voorwaarde van de polishouder voldaan; de kans op faillissement is te groot en bij deze premies heeft de polishouder een risico op een groot verlies. Bij premies lager dan 3,0 en 2,7 respectievelijk, is wel aan de voorwaarde van de polishouder voldaan, deze premies zijn klein en bij faillissement zal de polishouder daarom een klein verlies maken. Het verwachte eindvermogen is bij deze premies gelijk aan nul omdat de verzekeraar naar verwachting failliet gaat bij deze premies.

Bij een model met 100 polishouders en een verdelingsregeling wordt het beschikbare vermogen van de verzekeraar, dat resteert na aftrek van faillissementskosten, bij faillis-sement verdeeld over de polishouders. De faillisfaillis-sementskosten zijn gelijk aan een fractie, δ = 0, 3, van het eindvermogen van de verzekeraar. Iedere polishouder, indien zijn claim groot genoeg is, betaalt een bepaalde constante c die het verlies van de polishouders moet compenseren. Figuur 4.5 hoort bij het model met zodanige verdelingsregeling. In de grafiek is het niet te zien maar uit onderzoek blijkt dat bij een model met verde-lingsregeling de polishouder elke premie wil betalen tot het maximum van 8,6. Bij alle premies die lager zijn dan de maximumpremie is aan de voorwaarde van de polishouder voldaan. De reden hiervoor is dat de polishouder, wanneer de vezekeraar failliet gaat, nog steeds een vergoeding krijgt en dus baat heeft om een verzekering aan te schaffen.

(20)

De maximale winst die behaald wordt bij een verdelingsregeling is 366,6 en de kans op faillissement bij de maximumpremie is gelijk aan 0.

Figuur 4.5: Het verwachte eindvermogen van de verzekeraar bij een bepaalde premie voor het standaardmodel met meerdere polishouders en de verdelingsregeling.

Model Maximale premie Maximaal verwachte eindvermogen Kans op faillisse-ment n = 100, standaardmodel 8,6 366,82 0,000 n = 500, standaardmodel 8,6 1817,71 0,000 n = 100, rendement op beleg-gingen met α = 0, 5 8,6 382,00 0,000 n = 100, rendement op beleg-gingen met α = 1 8,5 401,10 0,0212 n = 100, verdelingsregeling 8,6 366,60 0,000

Tabel 4.2: Maximumpremie met bijbehorende maximaal verwachte eindvermogen en kans op faillissement voor verschillende modellen met meerdere polishouders

Er kan geconcludeerd worden dat een groter aantal polishouders resulteert in een groter verwachte winst voor de verzekeraar. Tevens is het voordelig om te beleggen als de maximale premie wordt betaald, de winst wordt voor de verzekeraar groter en er is maar een hele kleine kans op faillissement wanneer deze premie wordt betaald. Bij een verdelingsregeling is de polishouder, in tegenstelling tot wanneer geen verdelingsregeling wordt toegepast, bereid om alle premies te betalen tot aan de maximumpremie, omdat de polishouder bij faillissement een deel van de vergoeding krijgt.

4.3 Vergelijking tussen modellen met ´

e´

en en meerdere

po-lishouders

In deze paragraaf worden de modellen met één en meerdere polishouders vergeleken. Het is opvallend dat er niet veel verschil is in de maximumpremie die de polishouder wil betalen voor de verzekering. Bij alle modellen voor een verzekering met één polishouder wordt aan de voorwaarde van de polishouder voldaan bij alle premies tot aan de deze maximumpremie. Bij meerdere polishouders is dit niet het geval. De reden hiervoor is dat de som van de claims bij meerdere polishouders vele malen groter is dan het beginvermogen van de verzekeraar. Bij de modellen met meerdere polishouders wordt wel aan de voorwaarde van de polishouder voldaan bij hele lage premies, omdat de polishouder bij deze premies een klein verlies leidt en dit risico wel wil nemen.

(21)

Wanneer de maximumpremie wordt betaald heeft een model met één polishouder een grotere kans op faillissement dan een model met 100 polishouders. De kans op een extreme uitkomst is namelijk bij één polishouder groter dan bij meerdere polishouders. Dit komt door diversificatie. De kans dat iedere polishouder een hele hoge claim heeft is veel kleiner dan dat één polishouder een hele hoge claim heeft. Deze diversificatie is ook te zien wanneer naar het effect van een hoger beginvermogen van de verzekeraar wordt gekeken. Bij een model met één polishouder wordt de kans op faillissement klei-ner naarmate het beginvermogen van de verzekeraar groter wordt. Bij een model met 100 polishouders is geen verschil te zien, het beginvermogen is namelijk heel klein in vergelijking met het inkomen uit premie.

Wanneer een deel van het vermogen wordt belegd, wordt bij een model met één po-lishouder en met 100 popo-lishouders meer winst behaald dan wanneer niet belegd wordt. Het is dus in beide situaties voordelig om een deel te beleggen als de maximale premie wordt betaald. Bij het model met één polishouder moet een kleiner deel van het vermo-gen belegd worden, omdat daar de kans op faillissement bij de maximumpremie groter is.

Bij een verdelingsregeling wordt in beide gevallen bij alle premies tot de maximum-premie voldaan aan de voorwaarde van de polishouder. De polishouder krijgt namelijk in beide gevallen, wanneer de verzekeraar failliet gaat, nog steeds een deel van de claim te-rug. De polishouder heeft bij alle claims tot de maximumpremie baat om de verzekering aan te schaffen.

4.4 Vergelijking tussen modellen met andere verdelingen

voor de claim

In deze paragraaf worden de resultaten van modellen, waarbij de claim een andere kansverdeling heeft beschreven. In de vorige paragrafen is uitgegaan van een exponenti¨ele verdeling voor de claim met een verwachtingswaarde 5 en een variantie 25. In deze paragraaf wordt naar twee andere situaties gekeken voor de verdeling van de claim. In beide stiuaties blijven de andere waardne die aan de constanten en variabelen zijn toegekend gelijk aan die van de vorige paragraven. Eerst wordt gekeken naar de modellen waarbij de claim lognormaal verdeeld is. Daarna worden de resultaten weergegeven voor common-shockmodellen, zoals staat beschreven in Paragraaf 3.3. In alle modellen is, net als bij de exponentieel verdeelde claim, de verwachte waarde van de claims gelijk aan 5 en de variantie gelijk aan 25.

In de figuren 4.6a en b zijn de grafieken weergegeven die horen bij de modellen met ´

eén polishouder en een lognormale verdeelde claim. Bij deze modellen is een grotere invloed op te merken wanneer een groter deel van het vermogen wordt belegd. De maximumpremie die de polishouder wil betalen is lager wanneer een groter deel van het vermogen wordt belegd, omdat de kans op faillissement groter wordt en de polishouder bij een groter risico op faillissement een lagere premie wil betalen. Bij de modellen voor één polishouder in Paragraaf 4.1 is de maximumpremie niet veranderd, alleen is de invloed te zien op de kans op faillissement. In Tabel 4.3 is voor de modellen met één polishouder en een lognormale verdeelde claim, de maximumpremie met het bijbehorende verwachte eindvermogen en kans op faillissement weergegeven.

(22)

(a) α = 0 (b) α = 0, 5

Figuur 4.6: Het verwachte eindvermogen van de verzekeraar bij een bepaalde premie voor modellen met een lognormaal verdeelde claim en ´e´en polishouder, (a) het stan-daardmodel waarbij geen vermogen wordt belegd, α = 0, en (b) het model waarbij de helft van het beginvermogen wordt belegd, α = 0, 5.

Model Maximale premie Maximaal verwachte eindvermogen Kans op faillisse-ment n = 1, standaardmodel 6,0 6,52 0,079 n = 1, rendement op beleggin-gen met α = 0, 5 5,5 6,44 0,098

Tabel 4.3: Maximumpremie met bijbehorende maximaal verwachte eindvermogen en kans op faillissement voor verschillende modellen met een lognormaal verdeelde claim

In de figuren 4.7 a, b, c en d zijn de grafieken weergegeven die horen bij modellen met 100 polishouders en een lognormaal verdeelde claim. Net als bij één polishouder is de invloed van risicovol beleggen groter dan bij modellen met een exponentieel verdeelde claim. In Figuur 4.7c is te zien dat wanneer de helft van het vermogen van de verzekeraar wordt belegd in risicovolle beleggingen er niet aan de voorwaarde van de polishouder is voldaan. De polishouder vindt het namelijk te risicovol om deze verzekering voor elke premie aan te schaffen. In Figuur 4.7b is te zien dat wanneer een fractie van 0,3 wordt belegd nog net aan de voorwaarde van de polishouder wordt voldaan. De maximumpre-mie is net als bij de modellen in Paragraaf 4.2 bij de drie modellen redelijk hetzelfde. Bij een model met 100 polishouders en een verdelingsregeling is bij iedere premie tot aan de maximumpremie voldaan aan de voorwaarde van de polishouders, net als bij een exponentiële verdeling, terwijl dit bij modellen zonder verdelingsregelingen niet het geval is.

(23)

(a) α = 0 (b) α = 0, 3 (c) α = 0, 5

Figuur 4.7: Het verwachte eindvermogen van de verzekeraar bij een bepaalde premie voor modellen met een lognormaal verdeelde claim en honderd polishouders waarbij een fractie α van het beginvermogen wordt belegd.

Model Maximale premie Maximaal verwachte eindvermogen Kans op faillisse-ment n = 100, standaardmodel 6,2 124,41 0,006 n = 100, rendement op beleg-gingen met α = 0, 3 6,2 130,90 0,031 n = 100, rendement op beleg-gingen met α = 0, 5 n.v.t. n.v.t. n.v.t. n = 100, verdelingsregeling 6,2 124,55 0,007

Tabel 4.4: Maximumpremie met bijbehorende maximaal verwachte eindvermogen en kans op faillissement voor verschillende modellen met een lognormaal verdeelde claim

Bij de modellen waar de claim een lognormale verdeling heeft is de invloed van be-leggen in risicovolle beleggingen groter, dan bij modellen waar de claim exponentieel verdeeld is. Er wordt namelijk bij minder premies aan de voorwaarde van de polishou-der voldaan. De rest van de resultaten geven dezelfde conclusie als bij een exponentieel verdeelde claim; de kans op faillissement wanneer er een fractie van het vermogen wordt belegd is groter dan wanneer dit niet wordt gedaan. Tevens is de kans op faillissement veel kleiner bij meerdere polishouders door diversificatie. Bij een model met 100 polis-houders en een verdelingsregeling, is de polishouder bereid om iedere premie te betalen tot aan de maximumpremie. Dit is in tegenstelling tot een model met 100 polishouders zonder verdelingsregeling.

In de Figuren 4.8 a,b en c zijn de grafieken weergegeven voor de common-shockmodellen met ´e´en polishouder. Bij deze common-shockmodellen is, zoals staat beschreven in Pa-ragraaf 3.3, een grotere kans op een claim van 10 dan bij geen common-shockmodel. In Figuur 4.8a en 4.8b, die horen bij het standaardmodel en bij het model waar een deel van het vermogen wordt belegd, is te zien dat niet aan de voorwaarde van de polishouder is voldaan bij alle premies tot aan de maximumpremie, in tegenstelling tot een model met een exponentieel verdeelde claim. Bij het standaardmodel is de polishouder bereid een premie te betalen van 0 tot 2,4 en van 5,5 tot 6,4. De premie tussen 2,4 en 5,5 wil de polishouder niet betalen, omdat de kans op faillissement bij die premie te groot is en de premie te hoog om aan de voorwaarde van de polishouder te voldoen. De polishouder heeft dan een grote kans om een groot verlies te lijden. Bij premies groter dan 5,5 is de kans op faillissement klein genoeg; het beginvermogen samen met de premie is groot

(24)

genoeg om de grotere kans op een claim van 10 te dekken. Bij premies kleiner dan 2,4 wordt wel aan de voorwaarde van de polishouder voldaan, omdat deze premies klein zijn en de polishouder wel bereid is om deze te betalen en risico op een klein verlies te nemen.

Voor het model met rendement op beleggingen geldt hetzelfde met betrekking tot de premie die de polishouder bereid is te betalen. Hier is de kans op faillissement gro-ter, net als bij het model zonder common-shock. Bij een model met verdelingsregeling wordt voor iedere premie tot aan de maximumpremie aan de voorwaarde van de polis-houder voldaan. Bij een faillissement van de verzekeraar krijgt de polispolis-houder namelijk nog steeds een deel van de claim vergoed en is het verwachte nut, wanneer deze wel een verzekering aanschaft groter dan wanneer deze dit niet doet. In de modellen met common-shock is de maximumpremie kleiner dan in een model zonder common-shock. Dit komt doordat de kans op faillissement groter is en de polishouder het risico niet wil lopen dat hij een premie betaalt en hierdoor verlies lijdt.

(a) standaardmodel (b) α = 0, 5 (c) verdelingsregeling

Figuur 4.8: Het verwachte eindvermogen van de verzekeraar bij een bepaalde premie voor verschillende common-shockmodellen met ´e´en polishouder.

Model Maximale premie Maximaal verwachte eindvermogen Kans op faillisse-ment n = 1, standaardmodel 6,4 6,86 0,120 n = 1, rendement op beleggin-gen met α = 0, 5 6,3 7,01 0,130 n = 1, verdelingsregeling 6,1 6,61 0,124

Tabel 4.5: Maximumpremie met bijbehorende maximaal verwachte eindvermogen en kans op faillissement voor verschillende common-shockmodellen

In Figuren 4.9 a,b en c zijn de grafieken weergegeven die horen bij het common-shockmodel met 100 polishouders. De kans op een common-shock is 0,10. Het grote verschil tussen het common-shockmodel en een model zonder common-shock, zoals in Paragraaf 4.2 staat beschreven, is dat voor minder premies aan de voorwaarde van de polishouder is voldaan. De reden hiervoor is dat de kans er een kans is van 0,10 of groter dat de som van de claims gelijk is aan n · 10, dit is een veel grotere kans dan bij een model zonder common-shock. Hierdoor is de kans op faillissement ook groter. De polishouder wil ten eerste zorgen dat de kans op faillissement niet te groot is en wil daarom geen lagere premie betalen dan rond de 4,2. Ten tweede wil de polishouder geen hogere premies betalen dan rond 6,2, omdat als de verzekeraar dan failliet gaat, de polishouder een groot verlies zal lijden omdat deze een grote premie heeft betaalt. Verder kunnen dezelfde conclusies getrokken worden als bij een model zonder commonshock;

(25)

de kans op faillissement is groter wanneer belegd wordt in risicovolle beleggingen en de polishouder is bij een model met verdelingsregeling bereid om alle premies te betalen tot aan de maximumpremie, in tegenstelling tot een model zonder verdelingsregeling.

(a) standaardmodel (b) α = 0, 5 (c) verdelingsregeling

Figuur 4.9: Het verwachte eindvermogen van de verzekeraar bij een bepaalde premie voor verschillende common-shockmodellen met honderd polishouders.

Model Maximale premie Maximaal verwachte eindvermogen Kans op faillisse-ment n = 100, standaardmodel 6,2 203,36 0,101 n = 100, rendement op beleg-gingen met α = 0, 5 6,2 210,47 0,110 n = 100, verdelingsregeling 6,1 201,23 0,094

Tabel 4.6: Maximumpremie met bijbehorende maximaal verwachte eindvermogen en kans op faillissement voor verschillende common-shockmodellen.

Bij de common-shockmodellen wordt bij de modellen zonder verdelingsregeling bij minder premies aan de voorwaarde van de polishouder voldaan, dan bij modellen zonder een kans op een common-shock. Dit komt omdat de kans op een common-shock, de kans dat de som van de claims gelijk is aan n · 10, gelijk of groter is dan 0,10. Dit is een grotere kans dan bij een model zonder common-shock. Het verschil in deze kans wordt groter naarmate n groter wordt. De premie die de polishouder wil betalen moet groot genoeg zijn om te zorgen dat de kans op faillissement niet te groot wordt. Echter moet deze premie niet te hoog zijn, omdat de polishouder het risico loopt om bij faillissement een groot verlies te lijden.

(26)

Hoofdstuk 5

Conclusie

In deze scriptie is onderzoek gedaan naar een optimaal verzekeringscontract voor een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid. Bij verschillende modellen is de maximale verwachte winst gemaximaliseerd onder de voorwaarde dat het verwachte nut van de polishouder hoger is bij het aanschaffen van een verzekering dan wanneer deze geen verzekering aanschaft. Bij deze maximale verwachte winst van de verzekeraar hoort een optimale premie en een kans op faillissement. De optimale premie is gelijk aan de hoogste premie die de polishouder bereid is te betalen.

De resultaten laten zien dat de verwachte winst groter is naarmate meer polishouders in de portfolio van de verzekeraar zitten en dat de kans op faillissement kleiner wordt door diversificatie. Ook wordt de verwachte winst groter naarmate een groter deel van het vermogen wordt belegd in risicovolle beleggingen. Echter wordt om die reden de kans op faillissement vergroot. De risico-averse polishouder prefereert geen hoog risico op faillissement van de verzekeraar en zal bij een hoger risico minder premie willen betalen. Bij een verdelingsregeling is de polishouder bereid om alle premies te betalen tot aan de maximumpremie.

Bij een vervolgonderzoek zou de rol van solvabiliteitseisen, die de overheid stelt aan de verzekeraar, meegenomen kunnen worden in het model. Tevens zou onderzoek kunnen worden gedaan naar verzekeringen met een eigenrisico of een verzekering met een bovengrens voor een vergoeding.

(27)

Appendix

Berekening voor de waarde van β en σ bij de lognormale verdeling.

LogN (β, σ2) heeft verwachtingswaarde eβ+σ22 , deze verwachtingswaarde wordt

ge-lijkgesteld aan 5, eβ+σ22 = 5. X ∼ LogN (β, σ2) heeft variantie (eσ2− 1)e2β+σ2, deze

variantie wordt gelijkgesteld aan 25, (eσ2 − 1)e2β+σ2

= 25. Uit deze vergelijkingen wordt de waarde voor µ en σ bepaald.

eβ+σ22 = 5 β + σ₂2 = log(5) β = log(5) − σ₂2 (eσ2− 1)e2β+σ2 = 25 (eσ2− 1)e2(log(5)−σ22 )+σ 2 = 25 25(eσ2) − 25 = 25 eσ2 = 2 σ2 = log(2)_{log e} = 0, 693147 σ = 0, 832555 β = log(5) − σ₂2 = log(5) − 0,832555₂ 2 β = 1, 262864

Hieruit volgt X ∼ LogN (1, 262864; 0, 693147).

(28)

Bijlage 1 Matlab script voor het standaardmodel met ´e´en polishouder.

W=5; %Beginvermogen v e r z e k e r a a r wp=15; %Beginvermogen p o l i s h o u d e r mu=5; %V e r w a c h t i n g s w a a r d e c l a i m u=@( x ) log ( x ) ; %N u t s f u n c t i e p o l i s h o u d e r p = 0 . 1 : 0 . 1 : 1 0 ; Xi = 1 : 1 0 ; pd=m a k e d i s t ( ’ e x p o n e n t i a l ’ , ’mu ’ ,mu) ; Pr=p d f ( pd , Xi ) ;%Kans op v e r l i e s f o r k =1: length ( Xi ) ;

Un( k )=u (wp−Xi ( k ) ) ; PUn( k )=Pr ( k ) ∗Un( k ) ; end

ExpUn=sum(PUn) ; %Verwachte n u t p o l i s h o u d e r wanneer n i e t v e r z e k e r d %S i m u l a t i e om h e t maximale e i n d v e r m o g e n t e b e r e k e n e n f o r i =1: length ( p ) f o r j =1:10000 x j=exprnd (mu, 1 , 1 0 0 0 0 ) ; Y( i , j )=max(W+p ( i )−x j ( j ) , 0 ) ; %I n d i c a t o r f u n c t i e i f W+p ( i )−x j ( j ) <0 I d ( i , j ) =0; e l s e I d ( i , j ) =1; end Uj ( i , j )=u (wp−p ( i )−x j ( j ) +( x j ( j ) ∗ I d ( i , j ) ) ) ; end

ExpUj ( i )=mean( Uj ( i , : ) ) ; %Verwachte n u t p o l i s h o u d e r wanneer v e r z e k e r d

ExpY( i )=mean(Y( i , : ) ) ; %Verwachte e i n d v e r m o g e n v e r z e k e r a a r %Voorwaarde van de p o l i s h o u d e r i f ExpUj ( i )>=ExpUn MaxY( i )=ExpY( i ) ; e l s e MaxY( i ) =0; end end p o p t =[p ; MaxY ] ; %G e e f t p r e mi e b i j maximale e i n d v e r m o g e n plot ( p , MaxY, ’− ’ )

(29)

Bijlage 2 Matlab script voor een model met ´e´en polishouder, verdelingsregeling en rendement op beleggingen. W=5; %Beginvermogen v e r z e k e r a a r wp=15; %Beginvermogen p o l i s h o u d e r mu=5; %V e r w a c h t i n g s w a a r d e c l a i m a l p h a = 0 . 5 ; %F r a c t i e van vermogen d a t w o r d t b e l e g d d e l t a = 0 . 3 ; %F r a c t i e van vermogen b e t a a l t a l s f a i l l i s s e m e n t s k o s t e n u=@( x ) log ( x ) ;%N u t s f u n c t i e p o l i s h o u d e r p = 0 . 1 : 0 . 1 : 1 0 ; Xi = 1 : 1 0 ; pd=m a k e d i s t ( ’ e x p o n e n t i a l ’ , ’mu ’ ,mu) ; Pr=p d f ( pd , Xi ) ;%Kans op v e r l i e s f o r k =1: length ( Xi ) ;

ExpUn=sum(PUn) ; %Verwachte n u t p o l i s h o u d e r wanneer n i e t v e r z e k e r d

a = −0.4; b = 0 . 4 5 ;

R=(b−a ) . ∗ rand ( 1 , 1 0 0 0 0 )+a ;%Rendement

%S i m u l a t i e om h e t maximale e i n d v e r m o g e n t e b e r e k e n e n f o r i =1: length ( p ) f o r j =1:10000 x j=exprnd (mu, 1 , 1 0 0 0 0 ) ; Y( i , j )=max( (W+p ( i ) ) ∗(1+ a l p h a ∗R( j ) )−x j ( j ) , 0 ) %Het v e r l i e s w o r d t b e p a a l d i f (W+p ( i ) ) ∗(1+ a l p h a ∗R( j ) )−x j ( j ) <0 C( i , j )=max( x j ( j ) −1∗(W+p ( i ) ) ∗(1+ a l p h a ∗R( j ) ) ∗(1− d e l t a ) , 0 ) ; e l s e C( i , j ) =0; end %De v e r g o e d i n g i f (W+p ( i ) ) ∗(1+ a l p h a ∗R( j ) )−x j ( j ) <0 IX ( i , j )=max( x j ( j )−C( i , j ) , 0 ) ; e l s e IX ( i , j )=x j ( j ) ; end Uj ( i , j )=u (wp−p ( i )−x j ( j )+IX ( i , j ) ) ; end

(30)

Bijlage 3 Matlab scritp voor het standaardmodel met honderd polishouders.

W=5; %Beginvermogen v e r z e k e r a a r wp=15; %Beginvermogen p o l i s h o u d e r n =100; %A a n t a l p o l i s h o u d e r s mu=5; %V e r w a c h t i n g s w a a r d e c l a i m u=@( x ) log ( x ) ;%N u t s f u n c t i e p o l i s h o u d e r p = 0 . 1 : 0 . 1 : 1 0 ; Xi = 1 : 1 0 ; pd=m a k e d i s t ( ’ e x p o n e n t i a l ’ , ’mu ’ ,mu) ; Pr=p d f ( pd , Xi ) ;%Kans op v e r l i e s f o r k =1: length ( Xi ) ;

%S i m u l a t i e om h e t maximale e i n d v e r m o g e n t e b e r e k e n e n f o r i =1: length ( p )

f o r j =1:10000

x j=exprnd (mu, 1 , 1 0 0 0 0 ) ;

XN=round ( ( sqrt ( n ) ∗mu) . ∗ randn ( 1 0 0 0 0 , 1 )+mu∗n ) ; XNT=XN’ ; Y( i , j )=max(W+n∗p ( i )−XNT( j ) , 0 ) ; %I n d i c a t o r f u n c t i e i f W+n∗p ( i )−XNT( j ) <0 I d ( i , j ) =0; e l s e I d ( i , j ) =1; end Uj ( i , j )=u (wp−p ( i )−x j ( j ) +( x j ( j ) ∗ I d ( i , j ) ) ) ; end

(31)

Bijlage 4 Matlab script voor een model met honderd polishouders, verdelingsregeling en rendement op beleggingen. W=5; %Beginvermogen v e r z e k e r a a r wp=15; %Beginvermogen p o l i s h o u d e r n =100; %A a n t a l p o l i s h o u d e r s mu=5; %V e r w a c h t i n g s w a a r d e c l a i m a l p h a = 0 . 5 ; %F r a c t i e van vermogen d a t w o r d t b e l e g d d e l t a = 0 . 3 ; %F r a c t i e van vermogen b e t a a l t a l s f a i l l i s s e m e n t s k o s t e n u=@( x ) log ( x ) ;%N u t s f u n c t i e p o l i s h o u d e r p = 0 . 1 : 0 . 1 : 1 0 ; Xi = 1 : 1 0 ; pd=m a k e d i s t ( ’ e x p o n e n t i a l ’ , ’mu ’ ,mu) ; Pr=p d f ( pd , Xi ) ;%Kans op v e r l i e s f o r k =1: length ( Xi ) ; Un( k )=u (wp−Xi ( k ) ) ; PUn( k )=Pr ( k ) ∗Un( k ) ;

end

a = −0.4;b = 0 . 4 5 ;

f o r j =1:10000

x j=exprnd (mu, 1 , 1 0 0 0 0 ) ;

XN=round ( ( sqrt ( n ) ∗mu) . ∗ randn ( 1 0 0 0 0 , 1 )+mu∗n ) ;XNT=XN’ ; Y( i , j )=max( (W+n∗p ( i ) ) ∗(1+ a l p h a ∗R( j ) )−XNT( j ) , 0 ) ; %Het v e r l i e s w o r d t b e p a a l d en v e r d e e l d o v e r p o l i s h o u d e r s Cn( i , j )=max(XNT( j ) −1∗(W+n∗p ( i ) ) ∗(1+ a l p h a ∗R( j ) ) ∗(1− d e l t a ) , 0 ) i f (W+n∗p ( i ) ) ∗(1+ a l p h a ∗R( j ) )−XNT( j ) <0 C( i , j )=Cn( i , j ) /n ; e l s e C( i , j ) =0; end %De v e r g o e d i n g i f (W+n∗p ( i ) ) ∗(1+ a l p h a ∗R( j ) )−XNT( j ) <0 IX ( i , j )=max( x j ( j )−C( i , j ) ) ; e l s e IX ( i , j )=x j ( j ) ; end Uj ( i , j )=u (wp−p ( i )−x j ( j )+IX ( i , j ) ) ; end

ExpUj ( i )=mean( Uj ( i , : ) ) ;%Verwachte n u t p o l i s h o u d e r v e r z e k e r d ExpY( i )=mean(Y( i , : ) ) ;%Verwachte e i n d v e r m o g e n v e r z e k e r a a r %Voorwaarde van de p o l i s h o u d e r i f ExpUj ( i )>=ExpUn MaxY( i )=ExpY( i ) ; e l s e MaxY( i ) =0; end end p o p t =[p ; MaxY ] ; %G e e f t p r e mi e b i j maximale e i n d v e r m o g e n plot ( p , MaxY, ’− ’ )

(32)

Bijlage 5 Matlab script voor het standaardmodel met ´e´en polishouder en lognormaal verdeelde claim. W=5;%Beginvermogen v e r z e k e r a a r wp=15;%Beginvermogen p o l i s h o u d e r mu2=5;%V e r w a c h t i n g s w a a r d e u=@( x ) log ( x ) ;%N u t s f u n c t i e p o l i s h o u d e r mu= 1 . 2 6 2 8 6 4 ; sigma = 0 . 8 3 2 5 5 5 ; p = 0 . 1 : 0 . 1 : 1 0 ; Xi = 1 : 1 0 ;

pd = m a k e d i s t ( ’ Lognormal ’ , ’mu ’ ,mu, ’ sigma ’ , sigma ) ; Pr=p d f ( pd , Xi ) ;%Kans op v e r l i e s

f o r k =1: length ( Xi ) ; Un( k )=u (wp−Xi ( k ) ) ; PUn( k )=Pr ( k ) ∗Un( k ) ; end

ExpUn=sum(PUn) ; %Verwachte n u t p o l i s h o u d e r wanneer n i e t v e r z e k e r d %S i m u l a t i e om h e t maximale e i n d v e r m o g e n t e b e r e k e n e n f o r i =1: length ( p ) f o r j =1:10000 x j=l o g n r n d (mu, sigma , 1 , 1 0 0 0 0 ) ; Y( i , j )=max(W+p ( i )−x j ( j ) , 0 ) ; %I n d i c a t o r f u n c t i e i f W+p ( i )−x j ( j ) <0 I d ( i , j ) =0; e l s e I d ( i , j ) =1; end Uj ( i , j )=u (wp−p ( i )−x j ( j ) +( x j ( j ) ∗ I d ( i , j ) ) ) ; end

(33)

Bijlage 6 Matlab script voor het standaardmodel met honderd polishouders en lognor-maal verdeelde claim.

W=5;%Beginvermogen v e r z e k e r a a r wp=15;%Beginvermogen p o l i s h o u d e r mu2=5;%V e r w a c h t i n g s w a a r d e n =100;%A a n t a l p o l i s h o u d e r s mu= 1 . 2 6 2 8 6 4 ; sigma = 0 . 8 3 2 5 5 5 ; u=@( x ) log ( x ) ;%N u t s f u n c t i e p o l i s h o u d e r p = 0 . 1 : 0 . 1 : 1 0 ; Xi = 1 : 1 0 ;

pd = m a k e d i s t ( ’ Lognormal ’ , ’mu ’ ,mu, ’ sigma ’ , sigma ) ; Pr=p d f ( pd , Xi ) ;%Kans op v e r l i e s

f o r k =1: length ( Xi ) ; Un( k )=u (wp−Xi ( k ) ) ; PUn( k )=Pr ( k ) ∗Un( k ) ; end

ExpUn=sum(PUn) ;

a = −0.4; b = 0 . 4 5 ;

f o r j =1:10000

x j=l o g n r n d (mu, sigma , 1 , 1 0 0 0 0 ) ;

XN=round ( ( sqrt ( n ) ∗mu2) . ∗ randn ( 1 0 0 0 0 , 1 )+mu2∗n ) ; XNT=XN’ ; Y( i , j )=max( (W+n∗p ( i ) ) ∗(1+ a l p h a ∗R( j ) )−XNT( j ) , 0 ) ; %I n d i c a t o r f u n c t i e i f (W+n∗p ( i ) ) ∗(1+ a l p h a ∗R( j ) )−XNT( j )<0 I d ( i , j ) =0; e l s e I d ( i , j ) =1; end Uj ( i , j )=u (wp−p ( i )−x j ( j ) +( x j ( j ) ∗ I d ( i , j ) ) ) ; end

ExpUj ( i )=mean( Uj ( i , : ) ) ;%Verwachte n u t p o l i s h o u d e r wanneer v e r z e k e r d

ExpY( i )=mean(Y( i , : ) ) ;%Verwachte e i n d v e r m o g e n v e r z e k e r a a r %Voorwaarde van de p o l i s h o u d e r i f ExpUj ( i )>=ExpUn MaxY( i )=ExpY( i ) ; e l s e MaxY( i ) =0; end end p o p t =[p ; MaxY ] ; %G e e f t p r e mi e b i j maximale e i n d v e r m o g e n plot ( p , MaxY, ’− ’ )

(34)

Bijlage 7 Matlab script voor het common-shockmodel met ´e´en polishouder.

W=5;%Beginvermogen v e r z e k e r a a r wp=15;%Beginvermogen p o l i s h o u d e r u=@( x ) log ( x ) ;%N u t s f u n c t i e p o l i s h o u d e r p = 0 . 1 : 0 . 1 : 1 0 ; Xi = 1 : 1 0 ; mu=4; pd1=m a k e d i s t ( ’ e x p o n e n t i a l ’ , ’mu ’ ,mu) ; Pr1=p d f ( pd1 , Xi ) ; pd2 = m a k e d i s t ( ’ B i n o m i a l ’ , ’N ’ , 1 , ’ p ’ , 0 . 1 0 ) ; Prr=p d f ( pd2 , Xi ) ; Pr2=f l i p l r ( Prr ) ; Pr=Pr1+Pr2 ;%Kans op v e r l i e s f o r k =1: length ( Xi ) ;

ExpUn=sum(PUn) ;%Verwachte n u t p o l i s h o u d e r wanneer n i e t v e r z e k e r d %S i m u l a t i e om h e t maximale e i n d v e r m o g e n t e b e r e k e n e n f o r i =1: length ( p ) f o r j =1:10000 x j=exprnd (mu, 1 , 1 0 0 0 0 )+b i n o r n d ( 1 , 0 . 1 , 1 , 1 0 0 0 0 ) ∗ 1 0 ; Y( i , j )=max(W+p ( i )−x j ( j ) , 0 ) ; %I n d i c a t o r f u n c t i e i f W+p ( i )−x j ( j ) <0 I d ( i , j ) =0; e l s e I d ( i , j ) =1; end Uj ( i , j )=u (wp−p ( i )−x j ( j ) +( x j ( j ) ∗ I d ( i , j ) ) ) ; end

ExpY( i )=mean(Y( i , : ) ) ; %Verwachte e i n d v e r m o g e n v e r z e k e r a a r %Voorwaarde p o l i s h o u d e r i f ExpUj ( i )>=ExpUn MaxY( i )=ExpY( i ) ; e l s e MaxY( i ) =0; end end p o p t =[p ; MaxY ] ; %G e e f t p r e mi e b i j maximale e i n d v e r m o g e n plot ( p , MaxY, ’− ’ )

(35)

Bijlage 8 Matlab script voor het common-shockmodel met honderd polishouders.

W=5;%Beginvermogen v e r z e k e r a a r wp=15;%Beginvermogen p o l i s h o u d e r n =100;%A a n t a l p o l i s h o u d e r s u=@( x ) log ( x ) ;%N u t s f u n c t i e p o l i s h o u d e r p = 0 . 1 : 0 . 1 : 1 0 ; Xi = 1 : 1 0 ; mu=4; pd1=m a k e d i s t ( ’ e x p o n e n t i a l ’ , ’mu ’ ,mu) ; Pr1=p d f ( pd1 , Xi ) ; pd2 = m a k e d i s t ( ’ B i n o m i a l ’ , ’N ’ , 1 , ’ p ’ , 0 . 1 0 ) ; Prr=p d f ( pd2 , Xi ) ; Pr2=f l i p l r ( Prr ) ; Pr=Pr1+Pr2 ;%Kans op v e r l i e s f o r k =1: length ( Xi ) ;

ExpUn=sum(PUn) ;%Verwachte n u t p o l i s h o u d e r wanneer n i e t v e r z e k e r d

f o r j =1:10000

x j=exprnd (mu, 1 , 1 0 0 0 0 )+b i n o r n d ( 1 , 0 . 1 , 1 , 1 0 0 0 0 ) ∗ 1 0 ; XN=round ( ( sqrt ( n ) ∗mu) . ∗ randn ( 1 0 0 0 0 , 1 )+mu∗n )+n∗

b i n o r n d ( 1 , 0 . 1 , 1 , 1 0 0 0 0 ) ∗ 1 0 ; XNT=XN’ ; Y( i , j )=max(W+n∗p ( i )−XNT( j ) , 0 ) ; %I n d i c a t o r f u n c t i e i f W+n∗p ( i )−XNT( j ) <0 I d ( i , j ) =0; e l s e I d ( i , j ) =1; end Uj ( i , j )=u (wp−p ( i )−x j ( j ) +( x j ( j ) ∗ I d ( i , j ) ) ) ; end