Elastische cylinder belast door starre cylindrische schaalelementen

schaalelementen

Citation for published version (APA):

Damen, G. M. J. (1976). Elastische cylinder belast door starre cylindrische schaalelementen. (Eindhoven University of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 7602). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1976

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Memorandum 1976-

3'''~

j anuar i 1976

Elastische cylinder belast door starre cylindrische schaalelementen

Technische Hogeschool Onderafdeling der Wiskunde PO Box 513, Eindhoven Nederland

door

G.lvf.J. Darnen

1. Probleemstelling.

We beschouwen een oneindig lange cirkelcylinder waartegen we twee on-eindig lange, starre, cirkelvormige schoenen drukken.

Zo ontstaat een twee-dimensionale vlakke vervormingstoestand voor de doorsnede, welke we in onderstaande figuur weergegeven hebben. We ver-onderstellen symmetrie ten opzichte van de x- en y-as.

x-as

v-as

2. Herleiding van het probleem

De verplaatsingen u. (i = x,y,z) in Carthesische coordinaten voldoen aan ~

de Navier-vergelijkingen. Zoals bekend [J ] kunnen we ze voor een stervormig gebied uitdrukken in drie potentiaalfuncties B. (i

=

x,y,z):

~ ..,.

(2. 1) u. == 4 (1 - v) B. - (x.B.),. ,

~ ~ . J J ~ i == x,y,z

Bij overgang op cylindercoordinaten r en ~"geIdt:

(2.2) en (2.3) B == B cos ~ - Bcp sin <p, x r B. == B s~n <p + B~ cos <p, y r B == B z z x.B. == rB + zB ~ J J r z

Voor de vlakke vervormingstoestand vinden we met de definities

(2.4)

v

== U J ~ dat. (2.5)" u == (3 -:-:4v)B - rB ;.- .··.c . ·r· r-,r;~ v == (4 - 4v)B - B cp r,~

Uit het feit dat B en B potentiaalfuncties zijn en dat

x y (2.6) voIgt -(2.7) B + iB == eicp(B + iB ) x y r cp 2B B 2B B B

'.L.!.

+

1.L!:

+...!....L..!. - _~

-.1..u

= 0 ~~2 r ar 2 ~ 2 2 2 ocp or r ocp r r ~2 2 . o B I aB ) a B B 2 aB ---!2.. + - --2. + _ --5£.. -

J.

+ -

---=:

== 0

a

2 r ar 2 ~ 2 2 2 dCP 1:' r a<il r r

We stellen

. (2.8)

B (r,~) == C(r) sin m~ ~

Gesubstitueerd in (2.3) levert dit de volgende vergelijkingen voor B(r) en C(r): Bf 2 ₊ 1 _{_ 2m C} B" + - - m ₂ B == 0 r 2 r r (2.9) 2 C" + - -

c '

m +1 C _ 2m B :::: 0 2 r 2 r r

Dit systeem .kunnen we oplossen. De oplossing van (2.7) luidt dan, indien we begrensdheid van de oplossing voor r == 0 eisen:

co B :::: bor +

I

[b rm+1 +b 2 r: m -1] cos mq> r _m= I I,m ,m (2.10) QO B ==

L

[c rm+1 + C 2 r m_- I ] sin

m~

q> m= 1 1 ,m ,m

B en B volgens (2.10) substitueren we in (2.7). Dit levert r q> (2. 1 1) Hiermee is (2. 12) c == b . 1 fm .. I,m c 2,m = - b 2,m co B r == b r +

I

[b r m +1 + b 2 r m - I] cos

m~

o

1 I,m ,m = m=

l

[b

r m

+1 I,m m=1

Met (2.12) en (2.5) zijn de verplaatsingen u en v bepaald. De onbekende constantes volg~n uit de randvoorwaarden.

3. Randvoorwaarden, dude reeks vergelijking We formuleren de volgende randvoorwaarden:

(3.1) r = R, r

=

R,

(3.2) r

=

R (3.3) -IT < cP < IT -a < cp < a 'Ii -a < cp ~. 11' -IT < ql < - IT + a t == 0 rql u

=

e

De deformaties volgen uit:

(3.4)

Uitgedrukt (3~5) e rql e rz ~n e rr ) dV u e = + -cpcp r 3ep r' : ; e ::: e ::: O. epz zz

B en B met behulp van r cp : ; _{(2 - 4v)B} -r,r B

=

(4 ';';'4v)~­ r rB r,rr (2.5)

...

luiden ze: B 2e

=

(4 - 4v)B - 2B - (4 -

4v)!1

+ (4 -

4v)~

rep cp,r r,rep r r We substitueren B en B volgens (2.12) in (3.5)3. r (J)

Vervolgens berekenen we met de wet van Hooke t en stellen deze voor r = R, - IT < cP S'IT rep

gelijk aan nul (3.1). Dit levert:

(3.6) b _{J ,m} == t3 b

m 2,m met

(3.7) _t3

=

(m - I) (4 -

4v -

m) I m m(m + I) _R2

zodat nu

00

-B

=

bOr +

L

b [S rm+1 +rm-IJ cos mq>

r m==1 2,m m

(3.8)

00

B =

I

b [S rm+1_rm-1J sin mcp

q> m=1 2,m m

Na enig rekenwerk vinden we, gebruik'makend van de wet van Hooke, (2.5),

(3.5), (3.7) en (3.8) (3.9) u(R,rp) 00 2 ( 2) \' b Rm- I 4 - 4v - m [4 (1 ) 2 (2 1 ] == I - v Rb O + m= L 1 2, m m (m + I) • m -v + v - cos m(jl 00 t (R,rp)=4(A+11)(1-Zv)b O+4(A+tl)(I-2v)

L

b2 R m -2 x rr . . m=l ,m (3.10) ...,.(_4 _-_4_v_-_m .... _- ) .... (m_-_l~) _{cos mcp} m Met de definities 4 - 4v - m m-2 c _m

=

b m R 2,m (3. 11) 1 - 2v e y == 2(1 - v) , _{e 1} == 4(1 - v)R

leveren de randvoorwaarden (3.2) en (3.3) de volgende betrekkingen voor de c's

(3.12) terwijl (3.13) 00

i

Co

+

L

c m (m - I) cos mcp == 0 m=l - TI < cP < - ~ + a a < <p < 1T - a - 1T + a < q> < - a == 4C\ + 11)(1-2v){!c O +

L

cm(m- 1) cos mql} m=1

Tot nu toe hebben we weI de symmetrie ten opzichte van de x-as maar niet die ten opzichte van de y-as in rekening gebracht. Deze symmetrie houdt in dat (3.12) hetzelfde resultaat moet geven, als we qJ door 1f - rp vervangen. Met de definities

(3.14) (3.15)

~

=

2rp , c == 2a

vinden we de volgende duale reeks-vergelijking. "" _{\' 2k - Y 1}

h

d O + L d2k 2k + I 2k _ 1 cos k1j! = e1 , k=l (3.16) "" c < 1j! < 1f.

4.

Integraalvergelijking We stellen

(4.1) ~dO + ""

I

d_2k cos k1j!

=

q(1j!) voor 0 < ~ < c

k=1

o

< ~ < c,

De-functie q(ljJ) isop defact:or 4(>" +\l)(l ~-2v) en argumenthalvering nat juist de druk t (R,rp). 2

rr

Uit (3.16) en (4.1) voIgt (4.2) c d2k

=

~J q(~)

cos k1j!d1j!,

o

k ;::: 0

Deze uitdrukking voor d

2k substitueren we in (3.16)1 en verwisselen het somma tie- en integratieteken:

c (4.3)

J

_q(t)

I

o

k==) 2k -y 2k + 1

I

c I 'II' '(

2k -1 cos kt cos kxdt =2e~

-'2

q(t)dt,O < x < c

o

Omdat de functie q(t) symmetrisch is, kunnen we dit herschrijven tot

(4.4)

c

!

Jq

(t)

I

. k=1 c 2k - X I 'If 1.

J

2k + 1 2k - 1 cos kt cos kxdt

_,

= ~l - 4

q(t)dt, ;"c < x < c -c .

_-c

Met de reeks uitgewerkt en de integralen vereenvoudigd wordt ditna enig rekenwerk: (4.5) of met

(4.6)

c

I

t-x 2 t - x ' l f . . x-t

q'(t){~ cos ~ In tan -4- - 2'Y ngnfx - t) Sl.n -2- + I} dt == -c t

e

== -_2' a - 2'1fe - c < x < C I '

I

2 6 - 1 1 ; .

<He)

cos (6 -1/1) In tan

' 2 -

'lfy sl.gn (1/1 -

e)

sin (1/1 - 6) + 2} de =

-a

We gaan over op de drukaan het oppervlak:

(4.7)

zodat

(4.8)

pee) == - q(e) :4(;1. + lJ) (1 - 2v)

I;(e){cos

(6 -1/1) In tan2 6

2-1/1 - 'lfy sign (1/1 - e) sin (1/J - 6) + 2} de =

-a

5. Eerste alternatieve aanpak

5.1. Hydrostatische belasting

We beschouwen de oneindig lange cirkelcylinder belast door de radiale span-ning

:R

met

R

de straal. Voor deze vlakke vervormingstoestand vinden we op elementaire wijze dat

(5. 1) t

=

t

rr !p(jl

p =

-5.2. Twee diametrale puntlasten

p

p

Figuur 2.

De spanningen t.g.v. de puntlasten in ] en 2 en de radiale druk P/~R zijn bekend. Zie (2J bIz. 85

& 107.

Deze spann1ngen zijn gegeven ten opzichte van een locaal assenkruis in I en 2. We willen nu overgaan op het systeem van cylindercoordinatenzoals weergegeven in figuur 1.

Bij de assentransformatie, zoals weergegeven in figuur 3, behoren de volgende Richtingscosinussen (5.Z) (5.3) r 1 _CPl r - cos (cp + cp 1 ) cos (cp + CPl) Spanning en t.g.v. puntlast'in J: 2P cosel 1f r 1 t. . = 0, 1.1,J_l

Bij de assentransformatie, zoals weergegeven in figuur 4 behoren de volgende Richtingscosinussen r (5.4) cP - sin (cp - cP 2) Spanningen t.g.v. puntlast in Z 2P cos 62 (5.5)

We transformeren deze spanningen op de coordinaten r en cp volgens bijvoor-beeld [3J pagina 14 en 15.

De normaal-spanni~gen ten gevolge_van puntlast in zijn:

to) 2 = t _{cos (cp + cp.})} rr _r]rl (5.6) to) _t . 2 ( cP 1 )

=

Sl.n cP + CPCP _{r1r 1}

en ten gevolge van die in 2:

t (2) 2 CPZ) = t cos (cp-rr r 2r2 (5.7) t(2)

₌

_{. 2(}

"

t Sl.n cp- (j)2) <pcp r Zr2

De som van deze spanningen is 2 2P R .,.. r cos-;2 t = ~R cos q> - r) rr 1T 2 _{r 2} J2 [R - 2Rr cos cp + (5.8)

_...

2P R +.r cos 9: (R cos cp + r)2 + -1T 2 _{r 2}

J

2 [R + 2Rr cos q> + 2P R - r cos cp . 2 sin 2 t

= - -

2 2 R cp -<P<P 1f _{[R - 2Rr cos} 2 cp + r ] (5.9) 2P' R + r cos q> _{R2 sin 2} + - _{2 .} r 2_J2 !p 1T [R + 2Rr cos <p + 5.3. Invloedsfunctie

Voor de vlakke vervormingstoestand geldt:

(5.10) 2E.=_l[(I-v)t - v t ]

or

2~ rr <p<p

Omdat u =. 0 voor r

=

0 levert integratie:

R

(5. II) u(R,!p)

=

-21 J[O-V)t - vt Jdr

~

rr

cpcp

Q(cp

=

..

cons tant) ..

Nemen we voor de spanningen die teu gevolge van de belastingsgevallen ge-noemd in paragraaf 5.1 en 5.2 dan levert (5.11) de verplaatsing aan de rand ten gevolge van twee diametrale puntlasten waarbij de overige rand spanningsvrij is. De-krachtlijn maakt hierbij een hoek cp met de radius-vector van het punt waar de verplaatsing bepaald wordt. Uitdrukking (5.11) noemen we de invloedsfunctie.

We sommeren de spanningen (5.1), (5.8) en (5.9), veronderstellen q> ~ O,1T

en voeren'de integratie (5.11) uit. Na enig rekenwerk vinden we

(5a12) u(R,cp)

=

- 2 P (1 - v) cos cp In . ~---..I.. 1 - cos cp

1T~ I + cos cp

(I - 2v)P

I' 1+

(l - v)P

- 4~ SLn q> 1f~

5.4. Integraal vergelijkin~

Met behulp van bovenstaande invloedsfunctie kunnen we op eenvoudige wijze een integraal vergelijking opstelle~ voor het oorspronkelijke

prob1eem geformu1eerd in paragraaf 1. De'veronderste11ing dat ~ ~ O,~

b1ijkt niet essentiee1 te zijn omdat dit slechts een nu1puntsverzameling is voor de integratie.

We vinden het vo1gende verb and tussen de belasting en de verp1aatsing:

a

f[2(1 -v)

(5.13) B=-a

"'"

cos(l/J- e)ln ) -cos(t-B) -1f(1-2v)lsin(I/J-6)! +

1 ~ cos (I/J - e)

+ 4(1-v)J.Fill de.,. e

4'iTJ.l - a < I/J < a. Herschreven luidt deze:

(5.14)

f~COS(I/J

- 6)1n tan2

1/1;

6 -

~Ylsin(I/J

- 6)

I

+ 2Jp(e)d6 =

8~J.le),

-a

Deze uit9rukking is ge1ijk aan (4.8).

6. Tweede alternatieve aanpak

Deze methode berust op die van de complexe functietheorie. Beschouwen we in [4J pag. 100, dan is in ons geval

(6. I) . . n(z)

₌

-.-

_2~ P 1 o g -z + R + -zp z - R 2~R en (6.2) . w(z) =

L

log'~

-!!.

z 2~ z - R ~ _{z2 _R}2 zodat (6.3) ~f (z) = -PR + -P ~ 2 _{_R2} 2~R z Volgens pagina 87 is

(6.4) 2Jlu'" Re[e-icp{(3-4v)n(z) -

i~I(Z)

- lIl(Z)}]

We substitueren (6.1)-(6.3) in (6.4)· en stellen z

=

Reicp Dit 1evert

(6.5) u

=

_{(1 - v)-2}P _cos cp In

! :

~::

:e -

(1 - 2v)L[ sin cp

I

+ (1 - v)L

~Jl cp 4 Jl ~Jl

en dit is weer juist (5.12).

7. Integraalvergelijking

Beschouw integraalvergelijking (4.8)

(7.1) fccds (1J! - e) In tan2

!/!;

e - wy

I

sin(1J! -

e:

I

+4'2]p(e)de

=

8TIlle1, - a < 1J! < a

-a

We herschrijven deze tot:

(7.2) met I

f

{In

I

s - t

I

+ k (s , t) } h ( t) d t = I, t==-) - 1 < s < 1

(7.3) k(s,t) =

i

cos [a(s-t)]ln tan2 a(s2- t) - Inls-tl - irisin [a(s-t)]! +)

(7.4)

Voor het gedrag van k(s,t) zie Appendix 1

We stellen (7.5) h(t)

=

get)

~

waarmee (7.2) overgaat in I (7.6)

f

_{{lnl s - tl} t=-l + k(s,t)} g(t)-dt == 1,

!t7

Vervolgens stellen we 00

get) ::

~aO +

I

a 2kT2k

(t)

k=1 - 1 < S <: I

met Tt(t) het Chebyshev polynoom van de eerste soort van gra~d t. Dit substitueren we in (7.6) 1

i~o

I

t=-l In! s - t

I

dt

Ii -

t2

(7.8) - 1 < s < 1

Apendices 2 en 3 leveren hierin gesubstitueerd

(7.9) 1

~a

J

k(s,t)

e ;;.

2 -1 I - t 1 00

'J

T2k (t) dt +

I

a_2k k(s,t) dt

=

1 t k-l -1

li-t

2 - 1 < s < 1

We nerschrijven de integralenmet A 1.4, vermenigvuldigen linker-en rechteriid

T (s) .

met 2m (m

~

0) en integreren over s:

ii -

52 (7.10) Dit is (7.11) 1 l' T (s) +

i

a O

J

(J

k (s , t) + k (- 8, t) d t) 2m d s + -1 0 .

A -

t2

It -

s2 ····1 'r~ 00 .

I

J

T

(t)

T

(8)

fl

+

r

a2k

([k(s,t).+k(-~tt)J

2k dt) 2m ds= k-l -1 0

Ii -

t 2

A -

s 2 -1 2 0 0 0 0

- t

aO In2omO + 1T 2 0_mo

k~l

_{a2kd2k -} 1T kL k(s,t) +k(-s,t)

~

_ t 2 a2k

;0

2k '" 1T

2'

k.,.

m k=m + 00

f1

I

l

T (t) T (s) + 2

L

a 2k . [k(5,t) +k(-s,t)J 2k 2m ds = 1TOmO ' k= 1 0 0 {I _ t 2 {I _ s 2 m ~ 0 m ~ 0

We stellen 1T S ::: cos

'2

cp 1T t ::: cos

'2

e zodat

o

k

1-

m.

t

'2

k = m + (7.12) 2 1 1

+ aO

~

J J

[k(cos

~,

cos

'2

1T G) +k(- cos

2'

1T cp, cos"28) cos m 1T(jldcpd6 + 1T

o

0 2 ():) 1 1 +

T

~

_a2k

J

J

[k(cos k-l 0 0 1T 'II"

'2

cp, cos '2 ~) +

+ k(- cos ; cp, cos Ie)] cos in'll"CP' cos krr6dcpd6

=

'll"0mO' m

~

O. Definieer de Fo~riercoefficienten

1 1

(7. 13) FCm,n] _:=

_J

_fCkCCOSI CP., cos'2e) +k(- COS 'II"

2'

'II" cp, cos

2'

'II" 6)]cos n'll"S cos mmpdedcp

-00

dan is de definitieve scbrijfwijze:

(7.14) ():) 0 \' 1 { + _-1 l a o d _{2n { mO 2n} - - -_2n· I n- ~ n

1-

m 0 + F[m,n]} =

...E!Q.

2 'II" . , m ~ O. n=m

Dit zijn oneindig veel vergelijkingen (m ~ 0) voor oneindig veel onbekenden a_2n (n ~

0).

We maken bier een eindig stelsel van met eindig veel onbekenden door m en n te begrenzen door G:

8. Nurnerieke resultaten

Bij onderzoek van de coefficienten d

2k volg~ns A 3.7 bleken deze nurneriek gelijk aan nul te zijn. Analytisch hebben we dit nog niet aangetoond.

Verder onderzochten we numeriek de functie k(s,t) volgens (7.3) en Appendix en de Fouriercoefficienten (7.13). Deze laatste be~ekenden we volgens de methode van Goertzel voor een verschillend aantal (N) deelintervallen van het

interval [O,lJ.

De coefficienten a

2k gegeven door (7.14) werden bepaald voor diverse boven-grenzen G (7! 15)

4

Dit (7.4), (7.5) en.(3.11) voIgt

(8. 1) = -7f

1 - v

get)

2

II -

t zodat, met de definitie,

(8.2) c(a) = 7fg(l) a(l - v) waarin volgens (7.7) (8.3) volgt (8.4) co g(I)

=

~aO'+

L

a 2k k=) peat) e \.1-R c(a) 2

II -

t (t t 1) Met de coefficienten a

2k werd tenslotte g(l) volgens (8.3) bepaald voor een aantal waarden van de contacthoek a en met behulp daarvan de gezochte functie c(a).

Tenslotte zij opgemerkt dat met de bepaling van de coefficienten a

2k alle grootheden vastliggen.

We hebben een aantal waarden van a

2k in de volgende tabel weergegeven en de functie c(a) grafisch uitgezet

Tabel. De coefficienten a

2k voor N

=

16, v

=

.25, G

=

8 bijenkele waarden van ct.. "'" 2 .2 .4 .• 6 .8 ct..

- =

1T a O ... 400089 -.700300 -1.145844 -1.661225 a 2 -.000529 .003267 .064148 .265274 a 4 .000981 .003582 .008847 .022953 a 6 .000263 .000898 .001940 .003881 a 8 .000110 .000374 .000799 .001237 a 10 .000056 .000193 .000414 .000590 a₁₂ .000033 .000114 .000245 .000344 a₁₄ .000021 .000073 .000159 .000224 a 16 .000015 .000051 .000111 .000157 . '~ " ..:-, .... ~ ",' -:.: ' .

!

20 15 10 · 5

0.2

0,4 0.6 0.8 1.0

- - - a·1.

_it

Appendix 1

SteIIen we s - t

=

u, zodat t

=

s - u, dan is

A 1.1 k(s,s - u)

=

i

cos au In tan2 a; - lnlu!

--~y'l

sin aul + 1 zodat

A 1.2 lim k (s ,s - u)

=

u+O

+ ln ~

2

We zien dat k(s,t) een continue functie is.

..

De partiele afgeleide naar t van k(s,t) gedraagt zich in de buurt van t

=

s als

A 1.3

- '2

'If ya sign (8 - t)

DUB k(B,t) heeft een sprong in de afgeleide. Verder geldt A 1.4 k(s, - t)

=

k(- s ,t)

Appendix 2

Volgens [5J pag. 184 3.616 (4) geldt

7f/2 2

J

1n(p2 - sin2x) dx = - 27f 1n 2, p 2 ~ A 2. I

o

zodat met 7f/2

J

1n[(p - sin x)2(p + sin x)2Jdx = 7f/2 7f/2

J

In(p - sin x) 2dx +

J

In(p + sin x) 2dJl

o

o

0

7f/2 0 7f/2

=

J

1n(p-sin x)2dx+

J

In(p-sin x)2dx =2

J

lnlp-sin xldx

o

-7f/2 -7f/2

volgt, na substitutie van

sin x

=

t, dat 1 A 2.2

J

_1n[s -} p = s,

= -

'lfln2, s 2

Appendix 3

Volgens [6J, pag 180, 4.3 (22) geldt:

A 3.1

1

1

J

--L-

T2k(y) -uy

~

7r Y - X U 2k-I (x)

-1

Ii

_y2

Dit interpreteren we formeel naar x:

. A 3.2 s 1

J

1

J

1 T_2k(y) (- - - d y ) d x

=

7r y - x · x=o -1 ;. _y2 1 s s (k ~ 1) s

J

U_2k-I (x)dx x=o (k ~ 1) :;

" -==:;: (

1

I

T2k(y)

I

y d

~X>dy ~

I

U_{2k- I} (x)dx -1 11 - y2

x~o

x=o (k ~ 1) of A 3.3 De ontwikkeling van T 2k(t) luidt: A 3.4 zodat· S 7r

I

U_2k-1 (x)dx x=O k 1 2

L

c2R, 2k

J

2R, R,=O '

_o

lnl tl t dt

II -

t2 Volgens [5J, pag 187, 3.627 (4) en pag 186, 3.624 (4) is

1 ,t

=

0

. J

o

lnl tl 2t· (-1) j ~ {In 2 +

L .}

2 j=1 J

Volgens [7J, pag IX geldt

,

s A 3.6

J

, (k ~ I) x=Q Definieren we , A 3.7 { in 2 ) I 2R, ( J) j !=

~J

+

(;~)

k (2~ - I . {In 2 +

l -. }

,!~ . 22£-1!!(~-1)! j=l J (k ~ 1, Q! :

=

1) dan is A 3.8 1

J

In

I

8 - t I d T2k (t) t = lTd - 'IT TZk Zk (8)

;----;x

2k -1 - { ] - t " (k ~ 1)

,

Literatuur

. [IJ Al~las, prof. dr. J.B. Lineaire Elasticiteitstheorie college-dictaat, Technische Hogeschool Eindhoven nr. 2.224

[2J Timoshenko,S. and J.N. Goodier, Theory of ~leasticy, Me. Graw-Hill Book Company, Inc.~ New York, 1951.

[3J Muskhelishvili, N.I., Some basic problems of the mathematical theory of elasticy, P. Noordhoff Ltd. Groningen, 1953.

[4J England, A.H., Complex Variable Methods in Elasticity, Wiley-Interscience, London, 1971.

[5J Ryshik-Gradstein, Tafeln, Tables Veb. Deutscher Verlag der Wissen-schaften, Berlin, 1957.

[6J Tricomi, Integral Equations, Interscience Publishers, Inc. New York, 1957.

[7J Tables of Chebyshev Polynomials S (x) and C (x), National Bureau of

n n