Krachten op een resistieve rotor geplaatst in een kwasi-elektrostatisch draaiveld

(1)

Krachten op een resistieve rotor geplaatst in een

kwasi-elektrostatisch draaiveld

Citation for published version (APA):

Kooy, C. (1967). Krachten op een resistieve rotor geplaatst in een kwasi-elektrostatisch draaiveld. Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1967

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(2)

KRACHTEN OP EEN RESISTIEVE ROTOR UEFLAATS;r IN EEN KWASI-ELEK'rROSTATISCH l)RAAIVELD~ door ire C.Kooy Rapport 1967 ETA 17 ;

.,.

"

.'

.

(3)

'

..

;

,.

Krachten op een resist~e rotor geplaatst in een kwasi-elektrostatisch draaiveld. I. Probleemstelling. , , I I

We beschou~en een cirkelcilinder van di~l~ktrisch materiaal bedekt

met een zeer dunne laag weerst,andmaterlaal. Deze cilinder fungeert als rotor in een kwasi-elektrostatisch draaiveld waarvan de bronnen onIl1iddellijk boven de weerstandlaag zijn gedacht. Fig. I geeft een momentopname van het systeem.

Het draaiveld, ontstaan gedacht

I

door een roterend~ ladingsbelegging, zal een koppel teweegbrengen op de rotor. I

,

I I \ \ \

,

.'

De grootte vandit koppel zal theo-retisch worden bepaald in afhanke-lijkheid van de grootte van de speci-fieke oppervlakteweerstand van de laag op de rotor, van de straal van de rotor en het aanta1 omwentelingen per seconde van het draaiveld.

II. Analzse.

Indien'we onderstellen dat de afstand van de bronlsag tot de rotor veel'kleiner is dan jie straal van de rotor mag de vlakke configuratie als geschetst in fig. 2 met goede benadering ter verklaring van de eigenschappen van het,systeem volgens fig. I worden gebruikt.

.

'1

.... +----

-.--+

++.++

-.

,.

~'

Hoewel een analyse van het syateem direkt volgena fig. I zeer wel mogelijk is, ~s die van fig. 2 aanzienlijk een-voudiger en is het reaultaat gemakke-lijker te interpreteren •

(4)

r

2

-De bronlaag zij gegeven met een ladingsdichtheid

. f('1:''Z::l) .::

\(0,; (wt

~ i'>~) J'(~-

h) Op grond van decontinuIteitsbetrekking

oJz _

~..e

,,'Z. - -

()t

is de bronlaag ook uitdrukbaar in een'stroomdichtheid

'i

(11'Z~)

=

(.,)<to~(,-h)co'5l(\lJt-~:r..)

dz

(b

De fase-snelheid

Vf

van d'e bronlaag in fig. 2 moet corresponderen met h,oeksnelheid en, straal van de bronlaag in fig. 1.

De hoeksnelheid is gelijk aan de toegepaste frekwentie ~ , zodat met een straal r

anderzijds, uit t3)

zodat

.A.=!.

,,1-

r

(4)

De weerstandlaag stellen wij ons voor als een laag met een tot nul naderende dikte A, zodanig dat

waarin

( 6)

(J" = soortelijk geleidingsvermogenvan het materiaal Van de laag.

~

=

specifieke oppervlakteweerstand van de laag.

De vektorpotentiaal

elf ,

gedefinieerd 'ui t het induktieveld

~

volgens

•

voldoet, bij. toepassing van de Lorentz-ijk in de Maxwell-vergelijkingen, aan eeu inhomogene Relmholtz-vergelijking v~~r ~

>

0 en aan een

horno-gene Helmhol tz-vergel ijking voar ~<o , met name

(5)

•

,

,.

'\' 3

Wegensde harmonische tijdafhankelijkheid van de bron gaan we over op complexe grootheden volgens de definitie _,

\

(~I"ZIi:)

:

'Re

t

t(,\,z,w)

~_!~t~

"

(7) gaat dan over in

i:J1.A't

_ I : ...

() "Z. 'l

A± ]f)

De complex~ veldgrootheden zi~n volledig bepaald door ~

Er geldt: - + - ±

B-

:\lxA

E

+ ::

iwA-t _

7(V.$..)

0 ,

Jw

f..l!'"_ .

E -

=. ~wA.~

_

:~(V.A

)

JW£.£rf'o ..

Een methode die op elegante wijze tot een oplossing leidt voar

K

is

I Z

gebruik te maken van de Laplace-'getransformeerde met betrekking tot de z-coordinaat.

Definieer

( 8)

( 10)

!:

waarbij stilzwijgend is aangenom.en dat Al:(z,'i'w) zich zodanig gedraagt voor

12.\-+ - da teen conv..ergentiegebied voor de integraal il1 het

i'

-vlak is aan

te wijzen.

.

De vergelijking~(8) krijgen na transformatie volgens (10) de gedaante

y'o..:<y,

~,~)

+

J';;(!.

~.w\

",".r.

(1:(,);

'1-"')

=':1-

clt'i-IV

orr

b{j

<.if'-l()}

** )

,

d/i()

-

(Qe(l'):

0)

We noteren - ,

'(2.ril'i,'1'Io»

+

c1~~'}1f>

+

w'"(_£"o

o../f,

",4» = 0

Je) Zie Collin, "Field Theory of Guided Waves" bIz. 23, 24 Ha)v.d. Pol

&

Bremmer, Operational Calculus, bIz. 114.

(6)

.. 4

Gezien de aard van de vergelijkingen (11) kunnen we oplossingen voor

verw~cbten van de gedaante

...

}t,'i-t\_(~I'i'IU)

..:;

C,('~\~).J!-

. (

~

>

h)

+

-it,'S-

jt

~

.

h

~(¥I'}tu)= C'l.~l,.)/~

...

Cl,('¥.vJ)f,. I (o<~<) (12)

.

..~e.~ a.i(Yl'1-.~) 0; C 4(,(.W)..e.. . t (~< 0) • De coefficienten C , C

,c.

en C

4 'wordenvastgelegd door de

randvoor-I I 3

w/!larden voor

'1=

0 en ~=

h •

f.1et name moet gelden voor ~::: h :

..

( 0.: ) _

«(1;) _

~

0

(

'~o.~)

_

(h+J~

) : ' " _

~Tt!A)~.

d

{~(Ar---d')~

d~ ~

d~J~

~

en voor ~ ... 0 : (13)

(E..zJ -

(Ez.t.:o

">

liwa.-f.

T

i

La.

Tt -

{~Cl:

...

j

i

a-

1

== 0 " " , A {If % <f~£_~

:tS

"Z wHJJ, z,)

\ I ' " ., 0 0+ 0 7 Q

0-t

(B~) _

(BJ'

~-~9(E) ~ (J~)

_

(dCl~\

=

-,1':2

(J,wa-

+j~tfl

,,+ -' R ~. c:J.u i

<1v.2-

,...,

1.

z w£/-,14 J:

f_

v . 0 , C > t 0'" ~' I') I'(' rl I> 0

De vergelijkingen (13) bepalen een. inhomogeen stelael van vie~

verge-lijkingen in de vier onbekenden

C,

tim

Cit

vo1gens het coefficientenachema

ic.

I

C

1

c.

_{J "} C

'~h

.e..

t -~

-jl,h

-..e.;

i .",

0 ()

't'

~~h

_it,.e:i

_'t~ _I

_jel;e,~

₀

_-

_{2rr1q·~h<i~-~)}}

d',.e

CiW~'bL)

I • I

-(jw+~~~~

0

_(Jw

+J ..

\,!

0 r..,f..fo 0

-Jf.

_I

-I,

_I

it

+~O(J\aJ+~)

a ~

tvi.ar".

0 waard.n Voor ( 14)

(7)

- 5

-zodat nu door terugtransformatie A-;z(u,.-z.,t.'J) te bepalen is. Voor ~=o ·geldt . , '

A-<~~(.I)I

=

~.

r

o.:(¥,~I0»)\(.rz4¥.= ~

)

C.t,(4',Io).C/d),

z

1:0,

de)' ,\'0 _Jc., '

Subt;ltitutie van'(4) leidt .tot een integraal die zich direkt laat

be-t *)

palen door de 0 -funktie in de integrand •

We, vinden

met

t i l

=

k

l' _

~

'I.

~':

'

, 4:;.

k:

_.~ll .•

Voor de e1ektrische Ve1dsterkte ~ in de' weerstandlaag vinden we dan op grond van de betrekk~ng

waar'in:

, 16)

(8)

6

Teneinde enig inzicht te ktijgen in het gedrag van b, als funktie van w,

R

en ~ kiezen we voorshands £1": &," £,.

We weten verder

t->=

~ (5)

terwijl

K=

l.tJ';;:;;;o

=

~

(

Co

=

lichtsnelheid)

In praktische gevallen worden steeds w en ... zodanig gekozen dat ~»k.

i$ zoda t ui tdrukking' (18) met E. .. " £," £..

We vinden dan

m'et; ,

v~n toepassing is.

Daze uitdrukking is verder vereenvoudigbaar tot

met:

I ~ 2R k t

"V

=

<»"(.,;,. l

"'\.1

LIs

'"tto=

/t=u.O'ffn.

=

kara~teristieke

irnpedantie van vacuum.

De oppervlaktestre6mdichtheid in de weerstandlaag voIgt nu uit (20) volgens

(20)

Veor de opperVlakteladi~:gsdiCh theid f~~' vinden we dan met behulp Van de

c,antinui tei tsbetrekking ". ~ ~ ~

.

-!rr&

= -

~~p

.

0

'l. '

,()t

de uitdrukking

Voar de Iokale en momentane druk ~~~) gericht langs het weerstandvlak

voIgt dUB

(9)

7

Gemiddeld langs de omtrek

(1:'>

=

cJq!R [

{?'-

k" .]

.o.lllh

(23)

...

'1~

rp" ""

(i&-~)'<a.

IZ.

De normalecomponent E~ van het kwasi-statischedraaiveld laat zich direkt, bepal ~ri ui t, de betrekking

. 1

E~(1'Z''')

=

j

w:J'

¥JA:(~.",

...

~

, o . ~ .

voor W ~ Q vinden we aan de oppervlakte van de weerstandlaag

(w -,">0)

Invoering van het'p6tentiaalverschii tussen bronlaag en rotor, met ampli tudo

V

_{o '}leidt tot

+ '

~ -~~

£~o;z) == ~~QI() (OS

r--'Z.

=

~

e

2. Cos ~z. (w-+-o) (24)

SuBstitutie van en

Dit

-~(2/1-k''''

-

i)

.e.

Uitdrukking (25) beschrijft dus het moment uitgeoefend op een niet-draaiende rotor door het draaiveld. Ingeval de rotor een konstante hoeksnelheid

w'

oezit wordt het moment 9P deze draaiende rotor ook bes'chreven door (25); echter rrret

-C

I

(10)

, .

8

·Bij gegeven frekwentie.en rotorstraal kan worden gevraagd naar de weerstandwaarde Van de laag waarbij het moment optimaal is.

Deze weerstandwaarde

"Rapt·

voIgt ui t

(26) leidt tot

waarbij

In praktijkgevallen is

ky.:

wlc

zeer veel kleiner dan 1 zodat praktisch

(26)

(28)

.(29)

waarin

'1

de fa;sesnelheid v~n het draaiveld gemeten langs de rot.or-omtrek voorstelt.

Uitgaand.evan· (;18) is ~ensoortgelijke analyse uit te voeren indien

We vinden in dat geval

en

,

,.

"

(30)

(11)

9

waarbij

Voor het praktlache geval ~kr«~

_,

geldt met goede benadering

Het langs deze weg teehn~sch bereikbare moment zal altijd klein blijven doordat de normale veldaterkte e~ niet onbeperkt kan worden opgevoerd. Slechta kleine, zeer zwak belaste motoren zal men volgens dit principe kunnen ontwerpen. Om een indruk te krijgen van de grootte van qe optimale weeratand .van de'~rotorlaag kiezen we bij wijze van voorbeeld de rotor ...

atraal: r

=

1 em

frekwentie van' het draaiveld:

f

=

3000 Hz permi tti vi tei t van de rotorkern: f ...

=

3

:I.. dan geld t: Dus: of: III. Concluaie. • V

f

::

w.r'

=

2Tt. ')OOO.IO-lm~= boll ~c 'R...l..J.

=

lIG '.

£..

=

1201t "'r"" £,.1. T ~ V

t

4 8 3.10 . • '6.lT

1<cpt

=

t;

.108 .Q

Het moment uitgeoefend.op een niet-draaiende dielektriaehe rotor met _, weerstandbele€,!ging door een kwasi-elektrostatiach draaiveld blijkt bij

gege~en frek .. ientie van het draaiv:eld en rotorstraal een optimum te ver-tonen ala fu~ktie' van de apecifieke oppe~vlakteweerstand

R •

In geval de fasesnelheid van het draaiveld,

kleiner is dan de lichtsnelheid

(M

_w

).,,+-+

(28)

en

(34).

.

zich door relatief

gemeten san de rotoroppervlakte, veel late,n de optimale grootheden RO~T en eenvoudige formules weerge~en. zie (27),

Verhoging van de permittiviteit van de rotorkern verlaagt het optimale moment en de optimale specifiek, beleggingsweerstand lGo~t

(12)

HV. Drukkerij .. Mercurius" Wormerveer No. 12 TR X·as log. verdeeld 1-10' Eenheid 62,5 mm. y.as. verdeeld in mm.

- - - -... ~

(13)

"'-V. Drukkerij .. Mercurius" Wormerveer No. 12 TR X·as log. verdeeld 1.10' Eenheid 62.5 mm. V.as verdeeld in mm .

.. /"-R.

(14)

I'l.V. Drukkerij "Mercurius" Wormerveer No. 12 TR X·as log. verdeeld 1-10' Eenheid 62.5 mm. Y·as verdeeld in mm.

- -... V

2R

(15)

10

Literatuur

L R. E. Collin. "Field Theory of Guided Waves" Mac Graw-Hil1 Bk Cy

"

_{1960, b1z. 486-488}

2. v.d. Pol

&

Bremmer. "Operational Calculus based

on

the two-sided

Laplace Integra111, Cambridge University Press 1955

3. D.S. Jones.' "The Theory of Electromagnetism", Pergamon Press, 1964