De mathematische formulering van de waterhuishouding in een stroomgebied

(1)

NN31545,0160

)R CULTUURTECHNIEK EN WATERHUISHOUDING i n r . 160 d . d . 13 d e c e m b e r 1962

De m a t h e m a t i s c h e f o r m u l e r i n g van de waterhuishouding in een s t r o o m g e b i e d W. C. V i s s e r

BIBLIOTHEEK D

au i : •• •• : '^ 'À Droeveodaalsesieeg 3a Postbus IA ; 6700 AE Wagcuingeiï Inleiding

De s t r o m i n g van w a t e r in de grond en door de beek wordt b e h e e r s t door een aantal fundamentele v e r g e l i j k i n g e n . Wanneer h i e r een v o o r b e e l d w o r d t uitgewerkt l a t e n wij de s t r o m i n g door de c a p i l l a i r e zone even buiten b e

-schouwing. Een studie van wat in dat gedeelte van de weg, die de r e g e n d r u p p e l aflegt, g e b e u r t i s r e e d s v e r g e v o r d e r d , m a a r lijkt zo g e c o m p l i c e e r d e r e

sultaten te geven, dat opnemen van dit deel in de afvoervergelijking de g r o n d -p r i n c i -p e s zou v e r s l u i e r e n . Bovendien lijkt het dat v e e l a l deze s t r o m i n g in de c a p i l l a i r e zone in het v r a a g s t u k zal worden opgenomen a l s een o m r e k e n i n g , die de t i j d - r e g e n s o m c u r v e omzet in de c u r v e , die de a a n v o e r van w a t e r

aan het p h r e a t i s c h vlak in v e r b a n d m e t de tijd geeft. Dit wordt dan een o n d e r -d e e l van het v o o r p e r i o -d e - o n -d e r z o e k .

In de volgende beschouwing zullen de vijf grondleggende v e r g e l i j k i n g e n worden b e s p r o k e n , die bij de m e e s t eenvoudige opzet de afvoer b e h e e r s e n .

De formule v o o r hét t e r r e i n v e r v a l

De f o r m u l e s l a t e n zich over het a l g e m e e n het eenvoudigste u i t s c h r i j v e n w a n n e e r ze w o r d e n gegeven ten opzichte van de b e e k b o d e m . Men m o e t dan e c h t e r een formule voor de ligging van de beekbedding beneden het niveau van de beek bij de b r o n geven, w a a r o p de overige f o r m u l e s b e t r o k k e n w o r d e n .

CENTRALE LANDBOUWCATALOGUS

(2)

Als a l g e m e n e formule kan m e n gebruiken:

h = <*. 1 (7) h = ligging beneden het b r o n n i v e a u

A,= lengte l a n g s de beek vanaf b r o r

n op 2 te stellen De ligging van de g r o n d w a t e r s p i e g e l kan nu m e t h + G (£jt) worden w e e r g e g e v e n , het slootpeil m e t h + S (l %)

De formule voor de g r o n d w a t e r s t r o m i n g

Voor de g r o n d w a t e r s t r o m i n g zijn vele f o r m u l e s ontworpen, welke alle h e t debiet b e r e k e n e n uit de drukhoogte (h+S) (h+G) = S G. H i e r z a l de e e n v o u d i g

-ste formule a l s voorbeeld w o r d e n genomen en wel

s =

/h

(s

-G)

Q *

S= afvoerintensiteit

welke formule door h a a r l i n e a i r e eigenschappen de b e s t e k a n s e n op een o p l o s -sing biedt.

De b a l a n s f o r m u l e voor het g r o n d w a t e r

De r e g e n valt m e t een i n t e n s i t e i t S. gedurende een tijd ét en v o e r t een h o e -veelheid S.St aan w a t e r aan. Ondergronds s t r o o m t een d e e l van het w a t e r m e t een debiet s gedurende een tijd S.t af, zodat een hoeveelheid Sot v e r d w i j n t . Het overblijvende w a t e r zal geborgen worden m e t een b e r g i n g s p e r c e n t a g e Mt

p e r eenheid g r o n d w a t e r s t i j ging. Bij een stijging o;G wordt y ^ o G aan w a t e r g e -b o r g e n . De -b a l a n s f o r m u l e i s dus -blijk-baar:

De formule voor de beekafvoer

De formule v o o r de beekafvoer moet o n d e r s c h e i d e n worden in een t r a n s -p o r t f o r m u l e , die geldt w a n n e e r door elke d o o r s n e d e van h e t beek-pand e v e n v e e l w a t e r loopt, en d a a r n a a s t een formule voor het geval dat over elke lengte ol zijdelings w a t e r wordt opgenomen. Dit zou m e n de d r a i n a g e f o r m u l e kunnen noemen. In dit geval i s de t r a n s p o r t f o r m u l e van b e l a n g , w a a r v o o r m e n een type van die van Manning z a l k i e z e n . In deze formule v e r v a n g t m e n e c h t e r de n a t t e

(3)

r a d i u s door de hoogte v a n de w a t e r s p i e g e l boven de b e e k b o d e m . H i e r d o o r wordt de formule een bijzonder geval, m a a r voor het uit te w e r k e n v o o r b e e l d wat e e n v o u d i g e r . Als v o o r b e e l d k i e z e n wij: ^ = t r a n s p o r t door beek &(h+S) y $ ^-N <^ = afvoerfactor

T T — ' T T ©

_{£^ m k i e z e m e n 2} p k i e z e m e n 5

SS

^— = v e r v a l op afstand 1 vanaf b r o n o -6 De b a l a n s f o r m u l e voor de beek

Op de beek s t r o o m t zijdelings de afvoer uit de a k k e r s o v e r een tijd St en een lengte Si af. Deze hoeveelheid i s so t é l . Een d e e l van dit w a t e r s t r o o m t af a l s t o e n a m e &Q van de afvoer Q. In e e n tijd &.t s t r o o m t e x t r a af oQdt. H e t a n d e r e d e e l wordt in het beekprofiel geborgen m e t e e n bergingscoé"fficiétat ju en een stijging a S . Over een lengte al n e e m t de b e r g i n g yuaSal aan w a t e r o p . Als v e r g e l i j k i n g voor de b a l a n s f o r m u l e voor de beek geldt dus

aélét = oQot +yulé.Sd"l © Samenvoeging en b e w e r k i n g v a n de f o r m u l e s Van de vijf f o r m u l e s : h = JLX Q)

-ß(S-(j)

_®

<z

t!h±slrÊ_ ®

SA __*

±

SGi

st

~

^i^ll

<B

m o e t nu één formule w o r d e n g e m a a k t . V e r d e r z a l m e n een a a n t a l g r o o t h e d e n willen e l i m i n e r e n , w a a r v o o r in a a n m e r k i n g komen de grootheden h, s, G en Q. E r blijven dan a l s v a r i a b e l e n over S, 1, t en,f., a l s m e d e de h y d r o l o g i s c h e c o n s t a n t e n ^ , J*-X\A t ß Jt~- jr.

(4)

Het samenstellen van de formules vindt plaats door formule 3 in 4 en 6 te substitueren.

st

A A A I T

W

Door formule 8 nog eens naar t te differentieren, ontstaat in deze for-mule een t e r m 4-*-» die vervangen kan worden door fo*rfor-mule 7. Hiermede heeft men de twee formules samengesteld tot een enkele formule voor de

stroming in de grond, zowel als in de beek.

QL-JL ÂL-L&-L. *

%

&

St

z

A ét ^ J f A Tust

®

Substitueer formule 7:

St

z

A St A A /AAt A/a 7 ƒ S\ Uit*

Nu elimineert men G in formule 10 met behulp van formule 8. Uit 8 volgt:

(JL C -jLr).-JL±tâ..iL& CD

^ / i r ^ A '" >>y\ll S. St

Het blijkt dat ook de t e r m met S in formule 10 wegvalt.

Uit de formules 10 en 11 volgt de eenvoudigste vergelijking, die het proces beschrijft en wel:

SV / > > t A 0 SS 4- M - Z*

3

/ S& j_ s \ ß)

TT

5 7

( A A / «ft A A ~-^< A 3T " ^ z Uit

Zou men het deel na het gelijkteken op grond van metingen als functie van t en s. kunnen schrijven, dan sou dit de oplossing in sterke mate v e r -eenvoudigen. Men kan echter verder gaan en de Q elimineren. Voor de hiervoor benodigde verdere bewerkingen zie menblz. 5.

De metingen van de waterdiepte S als zelfre gistre rende meting levert behalve S na grafisch differentieren ook £Sj- en £ - £ . D e waarde van | i l

of ot Sx - of het verhang - is echter uit deze metingen niet af te leiden. Hiertoe

(5)

dienen v e r v a l m e t e r s ingeschakeld te w o r d e n , die a l s z e l f r e g i s t r e r e n d e m e t e r in staat stelt niet a l l e e n ^ 7 - m a a r na d i f f e r e n t i e r e n ook ~— te geven. Van

è x ci n oxSt

belang i s v e r d e r om grootheden a l s -Tpï d i r e c t te m e t e n . Zou dit mogelijk zijn, dan volgt uit een z e l f r e g i s t r e r e n d e optekening d o o r grafische d i f f e r e n t i a -tie d i r e c t Ar—

Hst

Uit 5 volgt: ÙL+Ù. 2

*& S& stßt SS fà

si

1

si

x

' s

s

sT ~J

r

~ si ^

Uit 1 volgt: %

IL-lal (/g) Lk

x

-1 (7%)*

Si

SJL Uit 13 en 14b volgt: Uit 15 volgt:

Ä - ill ÙL il _ J l & iÂ _£l S*

%

S

SlSt li-ßf «Si St 2c£ Tl St UrOL Sl*

l

St

, s si éG. s®. AT sS . sGL s

z

S

zï st TT~ TpTI St S Ust

à- ÖL st ~ * et- sT

Uit formule 5 volgt: AvT - TFrZ d a a r de m a a i v e l d s h o o g t e h niet van t afhangt.

6lS xtOL SQ[ _ s*OLX Sf

sut' s

5

f s" ft

o f w e l

sOL-£L£L

+J

Lâ£*

TF'iïCL fist i s ft*

V e r d e r volgt uit 5:

Samenvattend volgt uit 16 en 17:

ï^Assls

x

s s-a éf

+

s+s

,H

1 ss

Sist "J

1

^ JJF 'if Si è-Ot J st

_ J j L l i ï _ £ . sf + +f

s

)f f

s

l

f

t

ffl ss )*

\Z*G?

sr ir st tof ]\iOi sist zS' st j*

+ -£." JJT , sOL S*

X

S (fö

(6)

6

-Eveneens volgt uit 12 en 15:

rif Js.+s\]Sf , H _ Af éS

t

sfi & S f

J

^_ f*

_UJLÈ

<TK

Jpn^^jTT^^A Î / < A ^ s? W S TT + ^.yu^-^ sut ^y*

Door 18, 19, 20 en 21 te combineren heeft men een vergelijking afgeleid, die alleen S, t en 1 bevat en wat dat betreft oplosbaar zou zijn. De uiteinde-lijk verkregen formule ziet e r niet naar uit oplosbaar te zijn. Door de juiste metingen te verrichten, kan men een indruk krijgen van de termen, die in de definitieve oplossing wel verwaarloosd kunnen worden.