uitwerkingen 5 havo D H1

(1)

Hoofdstuk 1:

Hoeken.

1.

a. De overeenkomstige hoeken zijn even groot.

b. 7 3 4 14 c. 3 1 4 4 1 3 5 PR    en 3 1 4 2 1 2 3 QR    . 2.

a. CAB CDE (F-hoeken) en CBA CED (F-hoeken). Hoek C hebben ze gemeenschappelijk. ABC DEC V : V b. 13 621 9 9 DE    en 8 9 6 12 BC _  _ c. BE BC  8 4 3. a. VABC: VADB 8 8 10 6,4 AD_  _ b. 6,4 6 8 4,8 BD _  _ c. VABC: VAED 6 6,4 10 3,84 DE _  _ 4. DE  6 3₄₅ 2,68 AMD FED V : V EF  2,68 3₄₅ 1,2 5. a. (42x) 25 10  x 1050 25 10 35 1050 30 x x x x     b. AB DE: 25 : 10 25 35 42 30 AC    c. (moeilijk) 25 42 35 10 30 AC AB AF AD AB AD AF BF DE AC         6. a. B(10, 10, 0) E(4, 0, 8) G(0, 4, 8) b. c. De helling van AE is 1 3 1 . De hoogte is 1 1 3 3 8 4 1  13

d. zie het vooraanzicht. e. VABP : VFEP f. AP FP: AB EF: 10 : 4 2 2 2 10 10 14 14 6 4 8 7,7 AP  AF      1 2 13 AB BC ... AC 9 ... DE  CE8 CD6 10 AC  BC 6 6,4 AD DE ... 8 AB BC 6 AC 10 ... AD BD... AB8 25 AB ACx 10 DE  DC42x

(2)

7. a.  180o90o40o 50o 8 tan 40 8 tan40 6,71 BC BC AC BC     o o 8 8 cos 40 cos 40 10,44 AC AB AB AB    o  o b. 22 22 2 2 2 2 2 2 2 sin cos ( )BC ( )AC BC AC BC AC AB AB AB AB AB  _  _ _ _ _ _ 

c. In VABC geldt de stelling van Pythagoras: _BC2__AC2 __AB2

2 2 2 2 2 2 2 sin cos BC AC AB 1 AB AB  _  _  _ _ 8. a. sin80 CD CD₁₀ AC   o 10 sin80 9,85 CD o  b. cos80 AD AD₁₀ AC   o _AD__10cos80o __1,74 15 1,74 13,26 BD AB AD    c. _BC _ _BD2__CD2 _ _13,262__9,852 __16,52 9. a. sin CD b   CD b sin cos AD b   AD b cos en BDAB AD c b   cos

b./c. _a2 __BD2__CD2 _₍_{c b}_ _{cos )}_ 2__{( sin )}_b _ 2 __c2_₂_bc_cos_ __b2_cos2___b2_sin2_ _

__c2_₂_bc_cos_ __b2_(sin2_ __cos2_₎__b2__c2_₂_bc_cos_

10. a. _BC2 _₁₅2_₁₉2_{ }_{2 15 19cos39}_ o _₁₄₃ _BC _11,96 b. _QR2 _₃₅2_₁₃2_{ }_{2 35 13cos125}_ o _₁₉₁₆ _QR __43,77 c. ₁₂2 _₁₅2_₈2_{ }_{2 15 8cos L}_ _ ₁₅2 _₁₂2_₈2_{ }_{2 12 8cos M}_ _ 240cos 145 cos 0,60 53 L L L       o 192cos 17 cos 0,09 95 M M M         o 11. a. b. _KW2 __2,752__4,722_{ }_{2 2,75 4,72cos 42}_ o __10,55 3,25 3250 KW  km m 12. a. ₆₅2 _₅₆2_₃₃2_{ }_{2 56 33cos}_ _ 3696cos 0 cos 0 90       o

b. VABC is een rechthoekige driehoek.

(3)

13. a. sin CD b   CD b sin cos AB BD c BD b b  _  _  _{c BD b}_ _ _cos_ _{BD b}_ _cos___c

b. In VBDC geldt de stelling van Pythagoras: _a2 __BD2__CD2

c. _a2 __{( cos}_b ___c₎2__{( sin )}_b _ 2 __b2_cos2_ _₂_bc__cos_ __c2__b2_sin2_ _

__b2_(sin2___cos2_₎__c2_₂_bc__cos_ __b2__c2_₂_bc__cos_

14.

a. _AC_ ₈2_₆2 _₁₀ _AP _ ₆2__5,52 __8,14 _BP _ ₆2__2,52 __6,5

b. BAS  PCS en ABS CPS (Z-hoeken). En ASB  CSP (overstaande hoeken). c. 2,5x  8 (10x) 80 8  x 10,5 80 7,62 2,5 8 (6,5 ) 52 8 10,5 52 4,95 6,5 1,55 x AS x y y y y y PS y              d. _{66,25 7,62}_ 2__1,552_{ }_{2 7,62 1,55cos ASP}_ _ 23,58cos 5,80 cos 0,25 104 ASP ASP ASP         o e. ASB CSP 180o ASP 76o_en__BSC_₁₀₄o_. 15. a. 45o b. In vlak EBG. 6 2

EB BG EG   . Driehoek EBG is gelijkzijdig. Alle hoeken zijn 60o_.

c. In het vlak BCHE d.

e. ES HS , dus driehoek ESH is gelijkbenig.

6 2 6 tan 2 54,7 180 2 54,7 71 EHS EHS ESH           o o o o 16.

a. 45o_{: CFDA is een vierkant.}

b. _{AP CP}_ _ ₄2_₂2 _ ₂₀ 2 2 2 4 ( 20) ( 20) 2 20 20 cos 16 20 20 40cos 40cos 24 cos 0,6 53 APC APC APC APC APC                 o 8 AB AS x BS y 2,5 CP  CS10x PS 6,5y

(4)

c. AE CE 4 2 AP FP  20 en AF 4 2 2 2 2 4 2 cos 16 32 32 64cos 64cos 48 cos 0,75 41 AE CE AE CE AEC AEC AEC AEC AEC                o 2 2 2 ₂ _cos 32 20 20 40cos 40cos 8 cos 0,2 78 AF AP FP AP FP APF APF APF APF APF                 o 17.

a. BE is evenwijdig aan CH. De hoeken zijn z-hoeken.

b. 8 6 tan ABE  53 ABE   o

c. H ligt boven het vlak ABCD waar AB in ligt en alleen punt C van lijn CH.

d. BE // CH en die hebben dus dezelfde richting.

e. (BP CH, ) (BP BE, ) PBE 4 6 tan 34 53 34 19 ABP ABP PBE         o o o o 18.

a. Ligt vlak BGHA eruit. 1

3 6 2 2 2 QG   2 2 6 tan 25 GHQ GHQ     o 6 2 6 tan 55 GHB GHB     o 4 2 6 tan 43 GHP GHP     o 18 PHQ GHP GHQ       o b. _AP _ ₆2__{(2 2)}2 _ ₄₄ _AH __{6 2} _PH _ ₆2__{(4 2)}2 _ ₆₈ c. 44 72 68 2 6 2     68 cos AHP cos 0,69 47 AHP AHP     o

d. B ligt niet in het bovenvlak EFGH; lijn GH helemaal en alleen punt G van lijn BG.

e. (HF BG, ) (AH HF, )

AHB

V is gelijkzijdig, dus (HF BG, ) 60 o_.

19.

a. VABM is gelijkbenig (AM BM) met tophoek 60o_{. Dus is}_V_ABM_{gelijkzijdig.} 6

AM BM  . En dit geldt voor elk lijnstuk naar M. De diagonalen door M zijn 12.

b. 10 6 tan ADT  59 ADT   o c. _AT _ ₃2_₁₀2 _ ₁₃₆

d. sin ATK  ₁₃₆3 e. sin ATM  ₁₃₆6 f. AC 2 3 3 6 3

14,9 2 14,9 29,8 ATK ATB       o o o 31,0 2 31,0 61,9 ATM ATD       o o o 3 3 136 sin 26,5 ATL ATL     o ATC   2 ATL52,9o

(5)

20. a. FF' 4 en 10 4 2 ' 3 F P _  _ _FP _ ₄2_₃2 _₅ b. _FB _ ₅2_₃2 _ ₃₄_en_FQ_ _{( 34)}2_₃2 _₅ c.

d. Punt L is het midden van AD

3 5 tan 31,0 2 31,0 61,9 AEL AEL AED         o o o 21. a.

b. In de loodrechte stand van de geodriehoek. c. ja.

d. Als de schuine zijde samenvalt met zijde PQ.

e. De lijnen die loodrecht staan op de zijde van de geodriehoek die op het tafelblad ligt.

22.

a. AB en BG maken een hoek van 90o_{met elkaar: ABGH is namelijk een rechthoek.}

b. De hoek tussen AB en BP is ook 90o_{(ze vormen ook een rechthoek). Alle hoeken}

zijn 90o_.

c. De hoek tussen AB en FC is gelijk aan de hoek tussen EF en FC, dus 90o_.

d. Die hoek is 90o_.

23.

a. CB en CG. Ja, CD staat loodrecht op twee snijdende lijnen in vlak BCG.

b. AC staat loodrecht op BD (diagonalen van een vierkant) en loodrecht op BF. BF

staat namelijk loodrecht op het grondvlak en dus loodrecht op iedere lijn in het grondvlak.

c. GF staat niet loodrecht op FC.

d. MN is evenwijdig aan EG, en die staat loodrecht op HF (diagonalen van een

vierkant).

e. Nee, MN staat niet loodrecht op HC of FC.

24. a.

b. VABT is gelijkzijdig. De loodlijnen snijden de overstaande zijden middendoor.

c. Ja, zie b.

d. Dat is vlak ACM e.

25.

a. AD staat loodrecht op DT en op DC, dus AD staat loodrecht op vlak CDT. Dus AD

staat loodrecht op CT. DE staat loodrecht op TC.

6 8 10 4,8 DC DT CT DE DE       6 4,8 tan 51 AED AED     o

(6)

b. In VABT is hoek A recht. AF staat loodrecht op BT. 6 10 136 5,14 AB AT BT AF AF  CF       c. _{(6 2)}2 __5,142__5,142_{ }_{2 5,14 5,14cos AFC}_ _ 72 52,94 52,94cos 52,94cos 19,06 cos 0,36 111 AFC AFC AFC AFC            o 26. a. 3 6 tan CBK  6 3 tan BCM  26,6 180 90 CBK BSC CBS BCM          o o o 63,4 BCM   o

b. MC staat loodrecht op BK (zie opgave a) en CD staat loodrecht op BK, want CD

staat loodrecht op vlak BCGF (CB en CG). BK staat loodrecht op DCM.

c. _PM _ _1,52_₆2 _₃2 _ _47,25 _CM _ ₆2_₃2 _ ₄₅

2 2 2

4,5 6 3 92,25

PC     . Er geldt: _PM2__CM2 __PC2

In VPCM geldt de stelling van Pythagoras, met PC als schuine zijde, dus

90 PMC   o_. 27. a. 4 3 tan BAC  53 BAC   o b. B AC' ' is kleiner. 28. a. AD. b. (AT ABCD, ) (AT AD, ) TAD 3 4 tan 36,9 TAD TAD     o

c. AC staat loodrecht op BD (diagonalen van een vierkant).

AC staat loodrecht op DT, omdat DT loodrecht staat op ABCD (DT loodrecht op CD

en AD).

d. MT, met M het snijpunt van AC en BD.

e. (CT BDT, ) (CT MT, ) CTM 2 2 5 sin 34,4 CT CM CTM CTM      o 29. a. KB (AB) KL (CF) KE (CE) BL (BD)

b. De loodrechte projectie van CF op ABC is punt C. c. (BF KLE, ) (BF BL, ) FBL 2 2 2 2 80 8 4 tan 12,6 FL BL FBL FBL        o

(7)

d. (CE ABE, ) (CE ME, ) CEM M is het midden van AB. 2 2 2 3 2 3 68 8 2 tan 22,8 CM EM CEM CEM        o 30.

a. AF (ABFE) BG (BCGF) DG (DCGH) AH (ADHE) AC (ABCD) EG (EFGH)

b. Alle kubussen zijn gelijkvormig met elkaar. c. (AG BCGF, ) (AG BG, ) AGB 4 4 2 tan 35 AGB AGB     o

d. Vanwege de symmetrie van de kubus.

e. (AG BDHF, ) (AG MN, ) NSG, met M het midden van BD en N het midden van FH. 2 2 2 tan 55 NSG NSG     o

f. (AQ EFCD, ) (AQ ED, ) APD (in het zijvlak ADHE, en P het snijpunt van

AQ en ED) 4 2 45 tan 63 180 45 63 71,6 EDA DAQ DAQ APD            o o o o o o 31.

a. (PR ABC, ) (PR RB, ) BRP P ligt precies boven BR

2 2 90 (6 3) 6 6 2 36 108 72 2 6 3 6 2 cos 72 6 cos 144 cos 0,82 35 ARP PR BRP BRP BRP BRP                  o o

b. P ligt precies boven het midden van QS, met S het midden van BC. (PQ ABC, ) (PQ QS, ) PQS

    

Driehoek PQS is een gelijkzijdige driehoek (ribbe 6) dus PQS60o_.

c. Vanwege de symmetrie van het viervlak.

32.

a. (AF ABED, ) (AF AS, ) FAS met FS loodrecht op DE.

1 2 2 2 15 2 1 4 2 15 40 2 6 40 15 sin 18 EM DF DE FS AF AF DSF DME FS ASF ASF              o V : V

(8)

b. (AB CE, ) (DE CE, ) 28 8 52 52, 4 40 40 52 16 2 52 4cos cos 61,0 CE ED en CD CED CED CED              o 33. a. -b. 90o

c. In de richting van EF. d. AEB is groter dan 90o_.

34. -35.

a. De snijlijn van ABCD met TBC c. Vlak ABCD staat loodrecht op de is BC. Vlak TDC staat loodrecht snijlijn van de vlakken BDT en ADT. op BC. 4 10 ( , ) ( , ) tan 21,8 ABCD TBC CD CT DCT DCT        o 10 8 ( , ) ( , ) tan ADB 51,3 BDT ADT BD AD ADB        o

b. De snijlijn van ABCD met ACT is AC.

Vlak TDP staat loodrecht op AC met P op AC zo dat DP AC.

80 164 4 6,26 ( , ) ( , ) 6,26 tan 32,6 AD CD AC ABCD ACT PD TP ACD ADP DP DPT DPT            o V : V

d. Bedoeld wordt de vlakken waar TD in ligt. En die maken een hoek van 90o_{met het}

grondvlak. 36. a. TBAS en TBCS, dus TBACS b. ABT en CBT. c. _AS_ ₈2_₄2 _ ₄₈ __CS 1 3 8 2 128 48 48 2 48cos cos 109 AC ASC ASC ASC            o d.

-e. (AC BT, ) (AC MN, ), met N op het midden van DT. Deze hoek is vergelijkbaar met DMS.

(9)

37.

a. 45o

b.

c. 7 3

d. De bovenkant is 14 2

De extra zijstukjes aan de bovenkant zijn 14 2 14

2 7 2 7

Voor de hoogte geldt: _h_ _{(7 3)}2__{(7 2 7)}_ 2 __11,8_cm.

e. tan  _{7 2 7}11,8_ 76,2   o 38. a. _QR2 __1,52_{  }₁2 _{2 1,5 1cos135}_ o __5,37 2,3 QR b. ₁2 __1,52__2,32_{ }_{2 1,5 2,3cos PQR}_ _ 6,95cos PQR 6,62 cos PQR 0,95 PQR 17,8       o 180 135 17,8 27,2 PRQ   o o o  o 39.

a. De vloeistofspiegel blijft evenwijdig aan het grondvlak. b. Van 0 tot 90o_. c. 2 1 tan x 63,4 x o 40. a. 4 3

tan ABK  b. (KL AB, ) (KL DE, ) EKL

53,1 ABK   o _EK __EL_₃_en__LEK _₆₀o EKL V is gelijkzijdig: EKL60o c. CFK is het standvlak. d. (KL CM, ) (DM CM, ) CMF 4 1,5 3 tan 57     o 4 3 tan 53,1 CMF CMF     o

e. BL en AM liggen in één vlak. Ze snijden elkaar in S op CF op hoogte 8.

ABS V is gelijkbenig. _{AS BS}_ _ ₆2_₈2 _₁₀ 3 1 2 10 1 2 sin 17 35 ASB ASB ASB       o o 41. a. 28 m. b. Ja, PE // BT en QG // BT dus PE // QG c. PF is evenwijdig aan AE, ET en SH

d. PQ  2 PF FQ1

2 2 2

PF FQ PQ ; de zijden voldoen aan de stelling van Pythagoras, dus

90

PFQ

(10)

PFGR is de helft van een regelmatige zeshoek. VPMF, VFMG en VGMR zijn gelijkzijdige driehoeken, met M het midden van PR. PFG PFM MFG120o

. e. 1 2 2 3 3 PT    en PT' 1 1 3 cos ' ' 54,7 T PT T PT     o 2 2 cos ' ' 45 T BT T BT     o

Het scheelt ongeveer 9,7o_.

42. a. 1 6 10 cos BM BM CM    1 6 10 sin BC BC CM    1 6 10cos 5 3 BM    1 6 10 sin 5 BC    2 (2 5 3 5) 20 3 10 44,6 Omtrek        b. BM 10cosx en BC 10 sinx

( ) 2 (20cos 10sin ) 40cos 20 sin

P x   x x  x x

c. 1

2

0 x  

d.

(11)

T-1. a. VABC: VDEC 12 6 18 4 DC _  _ _AD_₈ b. 15 3 5 DE   ABF EDF

V : V De verhouding van de zijden is 5 :15 1: 3 3 4 99 7,46 AF    T-2. a. ₅₉2 _₈₂2 _₂₄2_{ }_{2 82 24cos ABC}_ _ 3936cos 3819 cos 0,97 14 ABC ABC ABC       o

b. De hoek van A naar B en het zuiden is 73o_{(Z-hoek). De hoek van C naar B en het}

zuiden is 73o14o 59o_{. Deze hoek is ook weer even groot als de hoek van B naar} C en het noorden. 2 2 2 24 82 59 2 82 59cos 9676cos 9629 cos 0,995 5,6 59 53,3 BCA BCA BCA BCA BCA                  o o o T-3. a.

b. De buizen van PQR zijn 1 m.

c. Die hoek is 60o_{(zie bovenaanzicht).}

d. _AQ_ _{( 3)}2__{( 3)}2 _ ₆ 2 2 2 6 2 1 2 2 1 cos 4cos 1 cos 0,25 104,5 APQ APQ APQ APQ                o

e. Als je AP evenwijdig opschuift zo dat P in Q terecht komt, ontstaat er een gelijkbenige driehoek met basis 1. __AQC_{ }_{2 sin (0,25) 29}1 _ o

T-4.

a. BC staat niet loodrecht op BT.

b. S ligt in het midden van BT.

c. BT is een loodlijn van vlak ACS.

T-5. a. b. (DH V, ) (HR RG, ) met R op DH in vlak V. 45 HRG   o 18 BC AC 12 6 EC  DC ...

(12)

c. (HC V, ) (HC GQ, ) CSG 4 3 tan 53,1 GCH GCH     o tan 1 45 CGQ CGQ     o 180 53,1 45 81,9 CSG   o o o o d. e. (HF EBCH, ) (HF HS, ) FHS 4 4 1 4 2 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 2 1 5 5 3 2 (2 ) ( 3 (3 ) ) 5 2 19,24 5cos 43,9cos 38,48 cos 0,88 28,7 ABE SEF EF EB dus ES AB en FS AE FHS FHS FHS FHS                      o V : V T-6.

a. De snijlijn van ADT en ADH is AD. Neem als standvlak het vlak evenwijdig aan het voorvlak door punt T.

b. (ADT ADH, ) (MT MN, ) TMN met M het midden van AD en N het midden van EH. 3 6 tan 26,6 TMN TMN     o

c. De snijlijn van ABT en CDT is NT.

Het standvlak evenwijdig aan de zijvlakken door T.

(ABT CDT, ) (ST UT, )

   waarbij S en U de midden zijn van de ribben AB en CD.

3 1 2 6 1 2 tan 26,6 53,1 STU STU STU       o o T-7.

a. De vierkanten vormen een regelmatige achthoek. De gelijkbenige driehoeken hebben een tophoek van 360

8 45

o_{. Elke basishoek is dan}180 45

2 67,5

o_{. Twee}

vierkanten maken dus een hoek van 2 67,5 135  o_.

b. Die zijn 45o_.

T-8.

a. De loodlijnen staan loodrecht op de vlakken, dus de hoek tussen de loodlijnen blijft dan gelijk aan de hoek tussen de vlakken.

b. V en W vallen samen of zijn evenwijdig.