Hoofdstuk 5 Lijnen

(1)

Hoofdstuk 5:

Lijnen

V-1.

a. het startgetal is 5 en de richtingscoëfficiënt is -2.

b. Als de x-coördinaat één groter wordt, neemt de y-coördinaat met 2 af. c. de richtingscoëfficiënt van l is 1 2 1 . d. 1 2 1

y   x b gaat door (2, -3) e. y  2x b gaat door (-3, -4) 1 2 1 2 3 1 2 6 1 6 b y x         4 2 3 10 2 10 b y x           f. 4 0 1 6 2 2 a     1 2 1 2 1 2 0 2 1 1 y x b b y x          V-2. a. y  3x7 b. 3 4 y  x c. 1 1 2 2 18 13 y   x d. 1 2 y   x b e. 4 1 5 4 2 6 a       f. 1 1 2 1 4 5 a       1 1 2 2 1 2 4 1 5 5 b y x        5 6 5 2 6 3 5 2 6 3 1 2 y x b b y x             2 5 3 2 5 5 3 2 5 5 1 4 y x b b y x          V-3. a. 2 3 2 1 3 4       2 14 12 klopt. b.

c. Als x met 1 toeneemt wordt de y telkens 2 3 groter. d. 2 3 e. 2x3y 12 2 3 3 2 12 4 y x y x     V-4. a. 1 2 2x  1 8 1 x b. 4 1 7 7 2 2 1 4 y     1 2 4 7 3 9 2 x x   V-5. a. y  4x9 b./c. 6x 2( 4x9) 3 1 2 6 8 18 3 14 21 1 x x x x      d. 1 2 4 1 9 3 y      x -1 0 1 2 3 y 2 3 4  -4 1 3 3  2 3 2  -2

(2)

V-6. a. 1,5x 0,5x4 b. x(2x8) 7 c. y  2x9 2 4 2 3 x x en y    3 15 5 2 x x en y    3 ( 221 9) 12 x x x      7 5 x  en y   d. x3y8 e. 2x5(4x6) 12 f. y  x 2 2 2 3 2(3 8) 3 1 9 15 1 3 y y y y en x         2 20 30 12 18 18 1 2 x x x x en y          ( 2 2) 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 x x x x x en y             1. a. x 0: 1 2 2 0 5 5 y      dus door (0, 5) 0 : y  1 2

2 x5 en daaruit volgt x 2 dus door (2, 0)

b. m: 1 2 3 y   x c. k: 1 2 2 y  x d. 1 2 2 5 y   x e. 1 2 3 y   x 1 2 2 y  x 2 5 10 5 2 10 y x x y      2 6 2 6 y x x y      2 4 2 4 y x x y     2.

a. Als x 0 dan moet 1 5

y  en dus y 5 en voor het snijpunt met de x-as volgt iets

dergelijks. b. m: ₁ 2 2 1 3 3 3 1 x y x y    _{ en k:} 2 1 4 4 4 2 x y x y      c. de x-as in (-6, 0) en de y-as in (0, 3) d. 1 9 4 x _ y _

 . Links en rechts vermenigvuldigen met 36 levert 4x9y 36 3. a. 2 3 7 y   x b. y  2x3 c. 1 2 1 2 1 y x    3 2 21 2 3 21 y x x y      1 2 3 1 2 3 1 y x x y    12 2 5 2 1 1 x y    x

(3)

4. k: ₁ ₁ 2 2 1 2 3 x _ y _ l: 1 2 5 15 y  x m: x 3 5. a. 1 6 18 x _ y _ b. y   x 4 c. 1 4 20 x _ y _  d. 1 2 1 5 7 x y     3 18 3 18 x y y x      4 1 4 4 x y x y     5 20 5 20 x y y x      1 1 2 2 3 2 15 1 7 x y y x       6.

a. Als a0 dan is by c. Hieruit volgt c b

y  : een horizontale lijn. b. Als b0 dan is ax c . Hieruit volgt c

a

x : een verticale lijn. c. Als c 0 dan is ax by 0, ofwel a

b

y   x: een rechte lijn door de oorsprong. Er is dan sprake van een recht evenredig verband.

d. Als a b 0 dan is c 0

Als a c 0 dan geldt by 0. Hieruit volgt dat b0  y 0. Dus de x-as. Als b c 0 dan is x 0: de y-as.

7. a. x0 : y 0 : 1 2 4 18 4 y y   

 3_xx_{ } ₆18 De snijpunten met de assen zijn (0, 4 )21 en ( 6, 0) b./d. -c. 5x7y 19 5 4 5 7 5 7 1 19 19 3 2 x y x y  _ _ _ _ 

De snijpunten van m met de assen zijn: 4 5 ( 3 , 0) en 5 7 (0, 2 ). e. 3x4y  18 3 1 4 2 7( x4 ) 5 x19 3 1 4 2 4 3 18 4 y x y x     1 1 4 122 50 x x     Het snijpunt van l en m is (-50, -33).

8. x y 1 pq  1 q p y x q p y x q      

l en m zijn evenwijdig, dus q 4

p   (of 4p q). 9. a. 8 0 12 4 1 a     10 2 2 0 12 3 a      2 3 4 10 x   x 0 4 4 : 4 y x b b AC y x         2 3 : 10 BD y   x 2 3 2 5 2 2 5 5 1 14 8 (8 , 4 ) x x S  

(4)

b. AD: 1 4 10 x _ y _{ en BC:} 12 x  1 10 3 1 10 2 20 y y y      

De coördinaten van T zijn: (12, -20)

10. y   x 2 c 2 ( 2 ) 4 2 4 6 6 2 8 2 x x c x c x c en y c c c                11. a. 5g7s 26 19 45  euro b. g s 26 19 7  euro c. 6g8s 2 (3g4 ) 2 26 54s    d. 6g9s 3 (2g3 ) 3 19 57s    e. s (6g9 ) (6s  g8 ) 57 54 3s    f. met opdracht b: g 4 12. a. 5x 20 4 1 x en y 

b. Als je ze daarna bij elkaar optelt, dan valt 2y weg uit de vergelijking. c. 6x15y 36 en hier haal je de tweede vergelijking vanaf:

16 32 2 1 y y en x      13. a. 2x4y 4 b. 6x4y 80 c. 2x10y 40 9 18 2 6 y y x      6 9 132 13 52 4, 16 x y y y x        3 4 3 4 12 33 2 y y y     d. 2x4y 24 0 e. 10x4y 12 f. 7y 7 3 4 5 5 5 34 0 5 34 6 1 y y y en x      1 1 3 3 10 25 5 21 7 1 x y y y en x      1 4 y x   14. a. A en C. b. y   x 2 14x8y  4 1 2 2x( x2) 3 3 2( 2) 4 3 2 4 4 5 0 0 2 x x x x x x en y            14 35 133 43 129 3 2 x y y y en x          1 2 1 2 2 2 3 2 5 2 1 x x x x en y       

(5)

15. a. Ja; 3 2 y 8 b.  4 2y 8 1 2 2 5 2 y y   2 612 y y  

c. voor alle waarden van x. Het stelsel heeft oneindig veel oplossingen. d. De lijnen vallen samen.

e./f. x2y 6 1 2 2 6 3 y x y x      

De lijnen hebben dezelfde richtingscoëfficiënt, maar een verschillend snijpunt met de y-as. De lijnen zijn evenwijdig.

16. a. 2x5y 6 b. 1 2 3x2y 1 c. 8x8y 4x3 2 1 5 5 5 2 6 1 y x y x       1 2 3 1 2 4 2 3 1 1 y x y x     3 4 4 8 3 2 x y x y      

1 oplossing oneindig veel geen oplossingen 17. a. 4x4py 12 b. 2y 2qx8 c. r ry( 2) 4 y 4 1 4 4p 1 p     2 4 2 q q   2 2 (4 ) 4 2 4 0 r y r r      strijdig afhankelijk r   2 r 2 2 r   : strijdig en als 2 r  : afhankelijk 18. deze zijn echt niet leuk

a. 2x2 2y 3 2 b. x 2 3 2 y 4 2 c. x 2 2 y 4 2 1 2 3 2 3 1 2 2 2 (3 2 2) 0 0 2 3 2 1 2 2 3 1 2 y y x x x x          3 2 3 2 2 9 2 3 2 2 (3 2 2) 3 2 4 y y x        1 2 1 2 4 4 2 6 2 1 2 1 2 y y x       19.

a. Van O naar P is 2 naar rechts en 5 omhoog; de richtingscoëfficiënt is 1 2 2 .

b. 5 1

2 2

tan(POQ) 2 . Deze is dus gelijk aan de richtingscoëfficiënt. c. POQ68o d. 2 4 tan(ROS) e. 4 3 tan( )  f. 1 3 tan( )   27 ROS   o _ _₅₃o _ _{ }₁₈o De hoek is 18°. 20. 4x5y 0 4x  y 2 ₃x _{ }₅y 1 4 5 1 4 5 tan ( ) 39 y x         o 1 4 2 tan (4) 76 y x       o 2 3 1 2 3 1 5 tan ( 1 ) 59 y x          o

(6)

21. a. tan(30 ) 0,58o  _y __0,58_x b. tan( 45 ) o  1 _y  _x c. y 0 22. a. De richtingscoëfficiënt is 1 2 en de richtingshoek tan ( ) 271 12  _ o b. l y:   x 2 De richtingscoëfficiënt is -1 en de richtingshoek -45°. c. De hoek tussen k en l is 27o45o72o 23. a. 1 2 3x y 4 2y 3x6 b. 2 5 4 y  x 2y5x1 1 2 1 3 4 6 8 tan (6) 81 y x y x         o 1 2 1 1 2 2 3 6 1 3 tan ( 1 ) 56 y x y x             o 1 2 5 tan ( ) 22  _   o 1₂ ₂1 1 1 2 2 5 1 2 tan ( 2 ) y x y x          

De hoek tussen de lijnen is 43°. Deze hoek is 90°.

c. 1 2 2 x y 5 2 3 2 y  x 1 2 1 1 2 2 5 tan ( 2 ) 68 y x          o 1 2 3 tan ( ) 34  _  _ o

De hoek tussen de lijnen is 78°.

d. 1 2 3 2 y   x en 1 2 2 2 3 y    x 1 1 2 tan ( 3) 41  _  _ o 1 1 2 tan ( 2) 35  _  _ _{ } o _{De hoek is 76°.} 24. a. De richtingscoëfficiënt van AB is 2 6 : hellingshoek 18° De richtingscoëfficiënt van AD is 12 4 3    : hellingshoek -72°.  A 90o De richtingscoëfficiënt van BC is 3: hellingshoek 72°

De richtingscoëfficiënt van CD is 4 1 12 3    : hellingshoek -18°.  C 90o b. De richtingscoëfficiënt van AC is 8 8 1: hellingshoek 45° De richtingscoëfficiënt van BD is 10 10 1    : hellingshoek -45°. De hoek tussen de diagonalen AC en BD is 90°.

25. a. 15° er onder of 15° er boven. b. 2x3y 9 r₁tan(48,7 ) 1,14o  en r2 tan(18,7 ) 0,34 o 2 3 1 2 3 3 2 9 3 tan ( ) 34 y x y x         o 1,14 1 1,14 6 5,82 1,14 5,82 y x b b y x          0,34 1 0,34 6 1,03 0,34 1,03 y x b b y x          26. a. 3y2x 6 0 2y3x 9 0 2 3 3 2 6 2 y x y x     1 1 2 2 2 3 9 1 4 y x y x       rcmrcl   32 112  1

(7)

b. 3 2

tan( ) DE AB tan( )

AD BC ACB

      dus ACB c. In driehoek ABC geldt:  90o  180o

90

   o_{: l en m snijden elkaar loodrecht.}

27. a. DE BC p en ADAB q b. 1 p q m  en 2 q p m   c. 1 2 1 p q q p m m     28. a. y  3 21 24

l: y   x 2 en het product van de richtingscoëfficiënten is -1.

b. 1 3 4 3 104 10 y      1 2 : 2 1 4 2 m y x y x     en 4   14 1, dus loodrecht. 29. a. l: 2y  x 1 1 1 2 2 y  x 2 y   x b en 1 2 2 1

    dus staan loodrecht op elkaar. b. 2      2 2 b 4 b 6 b c. y  2x6 30. a. 2x3y 5 loodlijn: 1 2 1 y   x b gaat door (-2, -1) 2 2 3 3 3 2 5 1 y x y x     1 2 1 2 1 1 2 4 1 4 b y x           b. 1 2 3 1 5 2 3 1 3 y  x  x _loodlijn: 5 6 y   x b gaat door (-1, 3) 5 1 6 6 5 1 6 6 3 1 2 2 b y x         31. a. px qy 3 b. 3 3 4 4 1 p p q q  _{  } _{ } c. 4p q 3 3 3 p q q qy px y  x      3 4 3 4 0 p q p q     d. 9 12 12 13 13 13 3 4( 4 3) 13 12 0 13 12 4 3 p p p p p en q                dus 9 12 13x13y 3 32. a. 1 3 5 1 1 a       b. y  x b gaat door C(-3, -5) 3 1 4 4 y x b b y x          5 3 2 2 b y x        

(8)

c. 5 1 1 3 5 2

a    

  y  2x b gaat door A(1, 3) 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 5 3 3 3 y x b b y x            3 2 1 5 2 5 b y x        33. a. 7y 7 3x15y 27 3x6y 6 1 9 5 1 4 (4, 1) y x A      14 28 2 ( 1, 2) y y B    7 7 1 (0, 1) y y C      b. richtingscoëfficiënt van AB is 1 5  . Hoogtelijn uit C: y 5x1 richtingscoëfficiënt van AC is 2 4. Hoogtelijn uit B: y  2x richtingscoëfficiënt van BC is 3 1  . Hoogtelijn uit A: y  13x31 Het snijpunt van de hoogtelijnen uit B en C is:

1 2 7 7 5 1 2 7 1 x x x x en y       

Invullen in de hoogtelijn uit A: 1 1 1 1 7 6 2 3 7 3 21 21 21 7 y _{     }  _{ } _klopt. 34. ax by c bx ay d a c b b by ax c y  x      b d a a ay bx d y x     en ba  ba 1 35. _AB_ ₅2_₂2 _ ₂₉_en_PQ _ ₅2_₄2 _ ₄₁ 36. _ST _ _{(7 5)}_ 2_{  }_{( 11 6)}2 _ _{169 13}_ 37. a. b. 2 1 4 2 a  c. y  2x b 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 0 1 y x b b y x          1 1 2 2 1 2 1 2 3 4 2 4 b y x         d. 1 1 1 2x  2 2x42 e. CQ (3 2) 2  ( 11₂ ₂1)2  5 1 2 1 2 2 5 2 (2, ) x x Q   38. a. 1 1 4x3y  1 y  131x b 34x  3 113x161 1 1 3 4 3 4 1 3 y x y x     1 1 1 2 3 6 1 1 3 6 2 1 1 1 1 1 b y x          1 1 12 6 1 2 2 4 2 1 x x en y      2 2 ( , ) 3 4 5 d P l   

(9)

b. 2x3y 3 1 2 1 y   x b 2 3 3 2 3 1 y x y x     1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 b y x          Het snijpunt is (0, -1). 2 2 ( , ) (0 2) ( 1 2) 13 d Q m       39. a. y     2 3 7 1 , dus P ligt op l. 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 : 2 3 1 3 m y x y x b b y x              1 1 2 2 1 1 2 2 2 3 2 2 1 ( 1, 1) x x x x Q          2 2 ( , ) 4 2 2 5 d P m PQ   

b. Nee, de afstand tussen twee evenwijdige lijnen is overal hetzelfde. 40. a. P(0, -3) b. P(2, 0) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 3 2 3 4 2 7 3 3 3 6 3 5 y x x x x x en y d                5 1 4 8 2 8 21 8 2 21 2 4 0 4 2 8 x y y x y x y x b b              5 1 4 8 5 1 4 8 1 2 2 2 1 1 2 4 4 8 2 4 10 2 2 ( ) ( 2) 4 x x x x en y d             c. P(2, 0) 1 2 5 2 10 2 5 10 2 5 x y y x y x     

   De lijnen vallen samen; de afstand is 0.

41. a. b. 7 5 4 2 2 a       2 5 2 2 1 2 1 y x b b y x             c. M(-1, 1) d. 1 2 y  x b 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 b y x       

e. Een willekeurig punt op k is: 1 1

2 2 ( , 1 ) P x x 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 4 2 4 2 1 1 1 4 2 4 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 4 2 4 2 1 1 1 4 2 4 ( 2) ( 1 5) 4 4 6 42 1 2 46 ( 4) ( 1 7) 8 16 5 30 1 2 46 PA x x x x x x x x PB x x x x x x x x                               A B

(10)

42.

a. 1 3 1

6 4 5

a 



   Het midden van AB is (1, 2): 1 5 1 1 5 5 1 1 5 5 3 4 2 : 2 y x b b AB y x            5 2 5 1 3 : 5 3 y x b b l y x          b. 5 1 4 6 3 a   

  het midden van BC is (5, -2) 3 1 3 6 17 : 3 17 y x b b BC y x          1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 2 5 : y x b b k y x             c. 1 1 3 3 5x  3 x 1 2 3 3 1 1 2 2 5 x 2 x en y     d. 5 3 4 4 1 a   

   het midden van AC is (0, -1)

3 4 1 y x b b         1 y  x en 1 1 2 2

( , ) ligt op deze lijn.

e. M ligt op l, de middelloodlijn van AB, dus MA MB

M ligt op k, de middelloodlijn van BC, dus MB MC

Dus MA MB MC  . f. zie e. 43. 3x y  2 7x y  12 x2y 6 3 2 y   x y 7x12 1 2 3 y   x 3 2 7 12 10 10 1 (1, 5) x x x x A        1 2 1 2 3 2 3 2 5 2 ( 2, 4) x x x x B           1 2 1 2 7 12 3 7 15 2 (2, 2) x x x x C      

Middelloodlijn van AB: 1 3 y  x b gaat door 1 1 2 2 ( , ): 1 1 3 3 y  x Middelloodlijn van BC: y 2x b gaat door (0, 3): y 2x3

1 1 3 3 2 1 3 3 2 3 1 3 2 1 x x x x en y         

het middelpunt van de cirkel is M(-2, -1)

2 2 3 ( 4) 5 MA    , _MB_ ₀2_₅2 _₅_en_MC _ ₄2_₃2 _₅_{: straal is 5.} 44. y _x 1 b   a b a y   x b

De vergelijking van de loodlijn door O is: a b y  x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) b a a b a b a b b a ab ab a ab a b b a b a b a b a b ab x b x x x b b x en y                

(11)

2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ₂ ₂ ( ) ( ) ( ) ( ) ab a b a b a b a b b a d a b a b a b a b a b a b ab a b _a _b       _ _ _ _                 _ 45. a. y 2x2

b. door de grafiek 3 naar rechts te verschuiven, vervang je de x door x-3. c. y 2(x5) 2 x10 d. y 2(x2) 3 . Hieruit volgt: y 3 2(x2) 46. a. 3y x 1 3

y  x wordt 5 omlaag verschoven: 1 3 5 y  x 1 3 ( 5) 0 3( 5) 0 x y x y       b. 1 3( 3) 4 y  x  1 3( 3) 4 0 ( 3) 3( 4) 0 x y x y          c. 2(x3) 4( y5) 5 47. a. k_a:y 0,7(x3) 4 l_a: 3(x3) 2 y 6 : 3 1 4 3 a x y m     b. k_b:y  7 0,7x4 l_b: 3x2(y 7) 6 : 7 1 4 3 b x y m     c. k_c :y 2 0,7(x4) 4 l_c : 3(x4) 2( y 2) 6 : 4 2 1 4 3 c x y m      48. x  2 5 12 5 3 4 1 x    2 x 1 1 3x 24

k wordt 2 naar rechts verschoven 3

4 6

x 

m wordt 1

4

2 naar links verschoven

49. a. De beeldpunten zijn (0, 6) en (5, 21): y 3x6 b. De beeldpunten zijn (0, 4) en (15, 14): 2 3 4 y  x c. y 3x 6 1,5(2x4), dus 2 4 1,5 y x   _en 2 3 4 2 ₃ 4 x y  x    50. a. : ₅y 0,7 4 a k  x 2 5 : 3 6 a l x y  :₄x ₁₅y 1 a m  _  b. k_b:y  0,35x4 1 2 : 1 2 6 b l  x y  : x₈ y₃ 1 b m _ _ 

(12)

c. : 2 1,4 4 y c k _  x l_c : 6x y 6 :₂x ₆y 1 c m  

d. spiegeling in de x-as is een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met -1.

: 0,7 4

d

k  y x l_d : 3x2y 6 :₄x ₃y 1

d

m  

e. spiegeling in de y-as is een vermenigvuldiging t.o.v.de y-as met -1.

: 0,7 4 e k   y x l_e: 3 x2y 6 : x₄ y₃ 1 e m _ _  51. a. 0,5x 3 7 2x 6 7 y 0,5 2 3 4   en y     2 2 6 2 1 4 , 0,5 4 8 y as x x V _   1 4 1 2 , 2 1 y as x x V _ _     3 4 , 1 x as V _ 1 2 , 3 x as V _

b. Dan zou de beeldlijn y 6 moeten zijn.

c. Door lijn m 3 omlaag te verschuiven gaat de beeldlijn door (0, 3) welke bij een vermenigvuldiging t.o.v. de y-as niet verandert.

De verschoven grafiek gaat door (1, 1) en l gaat door (-4, 1): er moet dus met -4 vermenigvuldigd worden t.o.v. de y-as.

52.

a. m(4 4) 3  m  0 3 3 voor alle waarden van m.

b. y m x( 4) 3 mx 3 4m c. m x( 4) 3 0  1 1 4 2 1 3 4 8 2 4 5 1 m m m           3 3 3 4 4 1 4 8 m m m x x         3 3 4 3 4 1 m m en m        53. a. x2y  3 1 3 5 3 1 y x _{ } ₇_x_₆_y__{33 0}_ 1 1 2 2 2 3 1 y x y x     1 2 1 2 1 5 1 5 x y y x      1 1 6 2 6 7 33 1 5 y x y x       evenwijdig Eén oplossing samenvallend

geen oplossingen oneindig veel oplossingen 3x 4y 3    4 15 15 1 y x _ _ 3 3 4 4 4y 3x 3 y x     1 3 4 4 4 15 3 x y y x      Eén oplossing b. B: 1 1 2x 3 12x 5      D: 3 3 1 3 4x  4 4x34 x2 en y 2 x 3 en y 3 c. 1 2 (0, 5 ) en (3, 2) 54. a. _AB_ ₄2_{ }_{( 1)}2 _ ₁₇ __4,1 _AC _ ₉2_₉2 __{9 2 12,7}_ 2 2 5 10 5 5 11,2 BC     b. 9 9 1 AC rc   en 1 4 AB rc _  1 1 1 4 tan (1) tan ( ) 59 A        o 10 5 2 BC rc   1 1 1 4 180 (tan (2) tan ( )) 103 B     o    o

(13)

De overgebleven hoek is dan 180o59o103o18o c. De loodlijn uit B op AC:

2 1 1 1 1 y x b b y x             1 1 2 2 2 1 2 3 1 x x x x en y          2 2 1 1 1 2 2 2 ( , ) (2 ) ( 2 ) 2 2 d B AC     55. a. k: 1 2 1 y  x l: 2 3 4 y   x m: 2 3 6 y   x b. 1 1 1 2 2 3 ( , ) tan ( ) tan (k l   ) 60      o

c. De lijn door (0, 4) loodrecht op l is: 1 2 1 4 y  x 1 2 2 3 1 6 5 12 13 13 1 4 6 2 2 5 x x x x en y        2 5 2 12 13 13 ( , ) ( ) (1 ) 1,7 d l m   

d. eerst k 8 naar rechts verschuiven: 1 1 2( 8) 1 2 3

y  x   x

Deze lijn gaat door (0, -3) en na vermenigvuldiging door (0, 4): factor 1 3 1  1 1 2 3 2 3 1 ( 3) 4 y   x   x 56. a. 5x2y 3 en y  x 6 5 2( 6) 3 3 9 3 9 x x x x en y         

b. 2qx2y  12 en de twee vergelijkingen bij elkaar optellen levert (5 2 ) q x  p 12 c. 5 2 q0 en p12 0 ; dus voor p12 en 1 2 2 q  d. strijdig als 1 2 2 q  en p12 e. precies één oplossing als 1

2 2 q 57. a. 13( 2) ₁ 5 3 x y   b. 31 2 ₁ 5 3 x y   2 5 15 5 13 x y x y      1 3 3( 2) 5 15 5 9 x y x y      58. PS: 1 4 50 y   x QS: y 4x b gaat door (40, 10) 1 4x 50 4x 150     b_y _10 4 40₄_x _₁₅₀  150 1 4 1 4 17 17 4 200 47 38 S S x x en y    2 13 2 1 17 17 (47 ) ( 11 ) 48,5

PS     wordt afgelegd in 3.02 uur. De schipper komt om 12.02 uur aan in punt S.

(14)

De patrouilleboot moet 1 2 4 2

17 17

(7 ) (28 ) 29,1

QS   km afleggen in 47 minuten Dat moet hij dan doen met een snelheid van 47

60 29,1_₃₇ km/u 59. a. b. geen idee c. y mx10 en 1 m y   x 1 1 1 2 2 2 10 10 10 10 10 1 1 1 m m m mx x m x m m x en y m m m                d. 2 2 2 2 10 10 5 1 1 m SM m m       _ _ _  _        2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 100 100 100 25 ( 1) ( 1) 1 100 100 100( 1) 25 ( 1) 25 5 m m m m m m m                  T-1. a. k: 1 2 (2 , 0) en (0, 4) l: (3, 0) en (0, -2) b. 1 2 4x2 y 10 c. 3y 2x6 1 2 3 5 2 4 10 1 4 y x y x       2 3 2 1 3 2 y x x y      d. 3 5 1 y   x b gaat door (5, 12) 3 5 3 5 12 1 5 20 1 20 b y x        3 5 8 1 100 20 1 20 1 x y x y     1 12,5 20 x y  

(15)

T-2. a. 2x y  1 b. 2 3 2 x y   c. 6x4y 2 2 4 16 5 15 3 2 x y y y en x      2 3 1 2 2 4 1 1 y y en x     6 15 21 19 19 1 1 x y y y en x          d. 1 2 1 x y    1 2 3 4 5 5 3 3 2 2 x y y y en x          T-3. a. 3x4y 12 3 4 4 3 12 3 y x y x      

Het stelsel is strijdig. b. De lijnen zijn evenwijdig. T-4. l: y 3x m: 2 1 3 33 y   x 1 tan (3) 72 O     o 1 2 3 tan ( ) 34 A       o 180 72 34 74 B   o o o  o T-5. a. 4x10y 5 1 2 2 y   x b gaat door P(1, 2) 2 1 5 2 10y 4x 5 y x     1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 4 2 4 b y x        b. 2 1 1 1 5x  2 22x42 21 2 21 1 11 29 5 29 2 58 2,9 5 1 1 x x en y       T-6. a. 1 2 2x3y 8 de loodlijn door P: 1 1 2 2 1 1 y  x 1 2 5 2 3 6 3 2 8 2 y x y x       5 2 1 1 3 6 2 2 1 1 6 3 2 1 1 2 4 x x x      1 2 2 1 x  en y  2 1 2 2 ( , ) 1 (1 ) 1,8 d P l    b. 5 8 PQ rc _  3 5 1 y  x b gaat door 1 2 (5, 2 ) 3 1 1 2 5 2 3 1 5 2 2 1 5 10 1 10 b y x         T-7. 3( 4) 5 3 16 y x  _  2 3 3 1 4 9 5 12 x y x y    

(16)

T-8. a. _PQ _ ₂2_{ }_{( 4)}2 __{2 5} b. 4 2 2 PQ rc _  _{ } _c. 1 2 y  x 2 3 2 2 7 2 7 y x b b y x           1 2 1 2 4 2 5 5 2 7 2 7 2 1 x x x x en y       2 2 4 2 5 5 ( , ) (2 ) (1 ) 3,1 d O l    T-9. a. 2x4y 10 b. 2x3y  4 x2y 5 7 14 2 1 y y en x      2 1 3 3 3 2 4 1 y x y x     1 1 2 2 2 5 2 y x y x       1 2 1 1 3 2 ( , ) tan ( ) tan (l m   ) 60      o T-10. a. 4 1 3 13 l rc  _   2 1 4 2 m rc   1 3 1 2 3 3 1 2 3 3 1 5 1 1 3 1 3 y x b b y x            1 2 1 2 1 2 1 2 0 y x b b y x        b. 1 1 1 1 2 3 ( , ) 180l m (tan ( ) tan (1 )) 80    o   o c. 3 4 : AB l y  x b gaat door 1 2 ( , 3) m_BC :y  2x b gaat door (4, 2) 3 1 5 4 2 8 3 5 4 8 3 2 2 b y x       2 2 4 10 2 10 b y x        d. 1 3 1 4 (l_AB,m_BC) 180 (tan ( ) tan ( 2)) 80    o    o

(17)

Extra oefening Basis

B-1. a. 5x4y 10 1 2 2 2 1 y x   4 5 2 x   y  1 1 4 2 4 5 10 1 2 y x y x       4 5 1 1 4 2 2 1 2 y x y x       Vergelijkingen a, b en d passen bij lijn l. B-2. a. 3x2y  8 b. 2x12y 14 1 2 4 20 5 3 x x en y      1 3 9 3 9 y y en x    B-3. a. x3y 6 1 2 3 tan ( ) 34  _  _ o 1 3 1 1 3 3 6 2 tan ( ) 18 y x y x             o b. ( , ) 18l m  o34o 52o B-4. a. 3 1 4 2 1 x y 3    7y  4x14 3 1 4 2 1 3 y  x 4 7 2 y   x en 3 4 4 7 1    1, dus loodrecht. b. 2x5y 3 de loodlijn: 1 2 2 y   x b gaat door (2, 3) 3 2 5 5 5y 2x 3 y x     1 2 1 2 3 2 2 8 2 8 b y x        B-5. a. _PQ _ ₁2_₄2 _ ₁₇ __4,12 b. 1 3 l

rc   en rc_PQ 4: PQ staat niet loodrecht op l.

c. y 3x b gaat door P(5, 5) 1 1 3 3 3x10  x2 5 3 5 10 3 10 b y x        1 1 3 3 7 7 1 10 10 10 3 12 3 3 3 10 1 x x en y       2 2 3 9 10 10 ( , ) (1 ) (3 ) 4,11 d P l    B-6. a. ₁ 2 4 7 1 2 3 x _y _ b. 1 2 1 2 1 2 3 x y  _ _ 7( 4) 4( 7) 14 7 4 70 x y x y       1 2 3 4 14 7 8 28 x y x y      

(18)

Extra oefening Gemengd

G-1. a. _px_₂_{p y}2 _{ }₁₇_p 2 2 2 2 2 2 (2 4) 17 8 17 8 17 8 17 8 8 34 2 17 17 2 4 2 4 2 2 S S p y p p p p p p y en x p p p p p                   b. 2 2 2 17 8 8 34 16 68 2 4 2 2 4 p p p p p p  _  _     17 8 16 68 60 p p p     G-2. a. b. 1 3 6 4 6 y     : V(6, 6) c. 1 3x 4 1 1 3 3 9 x x     H(-9, 1) d. _PV _ ₀2_₅2 _₅ _PH _ ₁₅2_₀2 _₁₅ _HV _ ₁₅2_₅2 __{5 10} e. y  3x b gaat door P(6, 1) 1 3 3x 19 x 4     1 3 6 19 3 19 b y x        1 3 1 1 2 2 3 15 4 5 x x en y    2 2 1 1 1 2 2 2 ( , ) (1 ) ( 4 ) 1 10 d P l     G-3. a. k: y 3x1 b. l: 2x5y 5 0 loodlijn: 1 3 y   x b gaat door (-2, 4) 5y  2x5 1 1 3 3 1 1 3 3 4 2 3 3 b y x         2 5 1 2 1 2 5 y x y x      c.

d. De hoekensom van een vierhoek is 360°.

Vanwege de twee loodlijnen zijn de overstaande hoeken samen ook 180°.

180

  o_{, mar dan is de scherpe hoek tussen n en m} gelijk aan 180o(180o) _. G-4. a. 4 5 l rc  en 1 9 m rc _  1 4 1 1 5 9 ( , ) tan ( ) tan ( ) 45l m        o b. rcAC  pq , q BC p rc _  en rcAB p qp q   

c. rc_AC rc_BC  1, dus  C 90o_{. En verder}_AC _ _p2__q2 __BC_{. De andere hoeken} zijn dus 45°.

k m

(19)

G-5. Vermenigvuldigen met 1 4  : y 0,5 ( 4 ) 3  x   2x3 3 omhoog verschuiven: y  2x   3 3 2x6

Uitdagende opdrachten

U-1.

a. x 3 en y 4 invullen levert p   0 q 0 0 en dat geldt voor alle waarden van p en q. b. x y  7 0 en 2x y  2 0 2 ( 7) 2 0 9 16 x x x en y        

Alle lijnen gaan door (-9, 16) U-2. a. A(-5, 0) en B(5, 0) 4 2 2 AP rc   en 4 1 8 2 BP

rc _  _{ } _{. Het product van de richtingscoëfficiënten is -1, dus}

AP BP. b. 5 q AP p rc  _ en 5 q BP p rc  _ 2 2 2 2 2 2 25 25 5 5 25 25 25 1 q q q p p p p p p p               , dus AX BX. U-3. a. __{( , ) tan (2) tan (0,5) 36,9}_{u v} _ 1 _ 1 _ o 1 1 ( , ) tan (2) tan (1) 18,4u w       o b. 1 2 y   x b 1 1 2 2 2x  1 x1 p1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 b p p p y x p          1 1 2 2 3 1 5 5 2 1 1 1 x p x p en y p     UP  (52p)2 ( 15p)2  51p2 2 1 2 3 1 2 3 1 y x b b p p p y x p             1 2 1 2 3 1 5 5 1 2 3 1 2 3 1 1 x x p x p x p en y p          2 2 2 1 2 1 5 5 5 ( ) ( ) VP  p   p  p

(20)

U-4.

a. De loodlijn uit C op l is: Deze loodlijn snijden met l: 1 3 1 3 1 3 1 7 1 3 3 1 3 y x b b y x         3 1 3 4 1 3 3 0 3 (0, 3) x x x en y D       2 2 3 4 5

CD   OppABC  12 AB 5 1843 . Hieruit volgt AB712

A(-4, 6) en 3 4 ( , 3) B p  p : 2 3 2 2 9 2 1 4 16 2 2 9 1 16 2 2 9 1 1 16 2 4 2 9 1 1 16 2 4 ( 4) ( 3) 8 16 4 9 1 12 25 7,5 1 12 25 56 1 12 31 0 2 10 ABC formule AB p p p p p p p p p p p p p p                            Dus B(2, 1 2 1 )

De lijn n gaat door B en C(3, 7): 1 1

2 2

5 9

y  x

b. De oppervlakte van DEC is 4 keer zo groot als die van ABC

De zijden van DEC moeten dan 2 keer zo groot worden.

De loodlijn uit C op de verschoven lijn snijden elkaar in (-3, -1) of in (9, 15) 3 4 3 1 4 4 3 1 4 4 1 3 3 3 y x b b y x              3 4 3 3 4 4 3 3 4 4 15 9 21 21 y x b b y x          