De indicatorfunctie van Phragmén-Lindelöf

(1)

De indicatorfunctie van Phragmén-Lindelöf

Citation for published version (APA):

Koekoek, J. (1980). De indicatorfunctie van Phragmén-Lindelöf. (Eindhoven University of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 8016). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1980

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(2)

61

bllOt~1

_.

eek.

•

Memorandum 1980-16

~

-DE INDICATORFUNCTIE VAN PHRAGMEN-LINDELOF

door

J. Koekoek

(3)

DE INDICATORFUNCTIE VANPHRAGMiN-LINDEL6F

door

J. Koekoek

In deze notitie wordt een elementair bewljs gegeven _,

van

_{. '}een bekende eigen-_. sohap van indicatorfuncties dieop een interval eindigzijn.

1. Definitie

Zij I een re&el interval met lengte hoogstens

2w,

s

c: 0: de sector {z e: 0:1 arg z e: I} •

Zij f analytisch op S met de eigensohap: er bestaat een P 2: 0 zodaniq dat

geldt

(1) _'1£>0₃

( I

i&

I

p+e ' ) r >0 Vr>r

_o

_.

'r&El fer e ). < exp(r ) •

",0

Dan wordt de bij p behorende indicatorfunctie hp gedeflnieerd.door

«(1, pp.28, 30])

log.! f (re ie')

I

hp (3) -lim sup

r +00 r

P

,

. & E I •

N.B •. Als f vold,oet aan (l)voor zekere p - PO' dan geldt (1) voor aUe p

met p> Po C(l, p. 28])'~

In veelleerbOeken «(4, pp. 51-52J, [5, p. 272J, [7, p. 182), [8, p. 497J) wordt de indicatorfunotie h gedefinieerd door h- h~, waarin ~ het.

infimum is van alle p 2: .O~~arvoor (1) geldt.

(4)

2.

- 2 '.~

Voorbeeiden

1) I == [-1T,1T] , fez) = e ~Z

utt

If(re i-&)

I

= e -r cos -& ~ e r r ~

a

-& E I ,

If(re i1T>1

=

_er r ~

a ,

voIgt ~ ... 1

en dus

h (-&)

₌

hp (-&) = lim sup -r cos -&

=

- cos 6, -& E: I • r

r-+- co

Voor p > 1 geldt h (-&)

...

0, -& E I

P 2) Uit dus voIgt Er geldt 3) Uit p ...

a ,

(-& E I) h (-&)

...

p -z ... e { -co - r cos -&,., ,0 voor -& ... ± ~1T •

ro(e)

als

o

< p < 1 ,

- COf:j -& als p ... 1

. a

alB p > 1 •

I

=

(-1T,1T) , fez) ... eZ log(z+l) •

If(re H7

}1

~

exp[r(log(r + 1) + 'IT)] < exp(r1+e:)

voorr voldoende groot, -& E I, willekeurige e: > 0,

en If(r)

I ...

e r log(r+l) > e r voor . r > e - 1 ,

(5)

3

-Wegens

I

_f(rei& ₎

I

₌₌ _{exp[r cos & log re}

I

16 ₊_{1 - r sin & arg(re}

I

.

!& ₊_1)] levert dlt

hIS (&) == lim sup[cos & log Ire 1& + 11 - sin & arg(r e i& + 1)] ==

r + 00

=

{:~~

r:::

-00 voor 1&1 < ~'II' , 1&1 == ~'II' ~'II' < 1&1 < ~

Voor p > 1 geldt h (&) == 0, & € I • P

3. Eigenschappen van de indicatorfunctie

N.B. In deze paraqraaf is h

=

h de bij een posit!eve p behorende indicator~

p

functie.

3.1. Zij &1 € I , &2 € I met 0 < &2 - &1

Als voor zekere h1 € :R, h2 € :R, dan geldt (2) 'II' < -P

Voor het bewijs van deze eigenschap (de zg. trigonometri$che convexiteitvan h) zie bijvoorbeeld [1, p. 31J, [2, p. 99], [3, p. 460], [4, p. 53], [5,

p.

272],

[7, p. 183] of [8, p. 497].

3.2. Zij &1 € I , &2 € I met 0 < &2 - &1

Als

\Toor zekere h2 € ll,

< !. . p

(6)

4

-zodat de bewering voIgt uit (2) voor h1 -+ - co •

N.B. Uit voorbeeid 3) van de vorige paragraaf

(p

=

1 , -~ < ~1 < -~~ , ~2 = ~~ resp. ~2 = 0) voIgt dat 3.2 niet geldt voor ~2 - ~1 >

*

en dat de voorwaarde h(~2) < . niet kan wotd$n weggelaten.

Analoog aan 3.2 geldt: Als h (~1) < 00, h (~2)

voor ~1 < ~ ~ ~2 •

Zie ook [1, p. 42], [4, p. 531 en [7, p. 1831.

Zij P > 0 zodanig dat ereen deelinterval van I bestaat waarop de indieator-fUnetie h eindig is.Zij J zoln deelinterval.

Uit 3.1 (met h1

=

h(~l) , h2

=

h(~2» voIgt dan

(3) h(~1) sin P(~2 - ~) + h(~2) sin p(~ - ~1) h ( ~) ~ -...;;;...---~-.-::---:--:--=---..;..----...,;;... sin p ( ~ 2 - ~ 1 ) ~ < -_{p •} Vergelijk (3) met (4)

voor aIle ~1'~' ~2 If: J met ~1 S ~ s ~2' ~1< ~2 •

o

Als h voldoet aan (4) I d.w.z. alsh convex is op J, dan geldt· «(6, pp. 3-6]):

h is eontinu en links- en reelits-differentieerbaar in elk inwendig.punt van J7 de linkera£geleide is Kleiner dan of gelijk aan de rechtera£geleide op het inwendige van J.

De indieatorfunetie heeft ~ezeUde eigenschappen. Oit voIgt uit de h~erna geforululeerde stelling; waarin h niet noodzakelijk een indieatorfunetie is.

(7)

5

-Stelling. Zij J een willekeurig interval, peen positief getal en h : J + R een functie die voldoet aan (3) voor aIle ~1' ~, ~2 € J met ~1 S ~ S ~2'

1f

o (

~2 - ~1 <

P .

Zij ~O inwendig punt van J.

Dan geldt

i) h is continu in ~01

ii) de 11nker- en de rechterafgele1de van h in ~O' hL(~Ol en hR(~Ol, bestaan; iii) ~(~O) S hR(~O)'

In somm1ge leerboeken ([2, p. lOn, [5, p. 275J, [7, p. 184J) wordtvandeze stel-ling (al dan n1et.beperkt tot indicatorfuncties) aIleen onderdeel 1) vermeld, het bew1js h1ervan in [7J is tamelijk ingewikkeld.

In andere leerboeken ([3, pp. 461-4631, [8, p. 499]) worden i) en ii) bewezen door een (locaal) convexe functie H te construeren die zodan1g met h samen-hangt dat de bekende eigenschappen van H ook gelden voor h.

In [1, p. 45] wordt h(~O)

=

0 gesteld, de functie F~ : S + ~ gedefiniee~d.

_I

-iP~O)

0

door F

30(Z)

=

fez) eX~-h(30)ZPe heeft nl. de indicatorfunct1e h(~) - h(~O) cos p(~ - 3

0),

In [4, pp. 54-55J wordt de stelling bewezen met behulp van een in onherken-bare vorm opgeschreven ongelijkheid (3).

4. Elementair bewijs van de stelling

.De analogle van (3) met de definitie van convexitelt wordt gebruikt om

van

de stelling een bewijs te geven analoog aanhetbewijs van dezelfde eigen-schappen voor een op J convexe functle.

Bewijs.

i). Kiee

~1

€ J , &2 € J met

~1

<

~O

< :&2 '

~2- ~1

<

*

Zij:& €

[:&l'~OJ·

Toepassen van de ongelijkheid (3) op de tripels ~1'

&,

~O en ~, ~O' ~2

(8)

ii)

6

-h(-&1) sin p(-& - -&) :t- h(-&O) sin p(-& - -&1)

h (-6) 0 8

1 (-&) s;

sin p(-6₀- -&1) =: en

h (-&) sin P(-&2 - -&0) + h(-&2) sin p(-&O - -&) h(-6

o) s; sin p(-6

2 - -&} dus

hC-&O) sin P(-&2 - -&) + h(-&2) sin p(~ - -&0)

8₂(-&) h (-6) ~

sin P(-&2 - -&O} =:

.

De functies 8₁en 8

2 zijn continu met 81(&0)

=

82(-&0)

=

h(-&O)' zodat uit 8₂(-&) s; h(-6) s; 8

1(-&) , &1 s; -& s; -&0 ' voIgt lim h(e)

=

h(&Ol. -&+&0

Analooq: 8

1(-&) S; h(-&) S; 82(-&) voor -60 s; -& S; -&2,1 dus lim h(-&) = h(-&O)' Hiermee is bewezen dat h continu is in -&0. -&+&0

'If

Kies Xo met

a

< Xo < 2p zodaniq dat [&0 - xO,-&O + x_O] C J.

Zij

a

< 6' < 6 s; Xo •

Toepassen van (3) op de tripels -&0 - 6, -&0 - 6', &0 -&0 - 0·, &0' &0 + 5'; -&0' &0 + 6', &0 + 5 levert

h(-6

0 - 0) sin po' + h(-&O) sin p(o - 6') h (-&0 - 6')

s - - - : - - - : : - - - -

_sin

_po

=

h(-&O-O') sinp6' + h(&O+O') sin po'

h(-&O) S; sin 2p-&'

=

h(&0-61

) +h(&0+6')

2 cos

po'

sin

po'

h(&O + 0') S; h(.&O) cos

po'

+ sin

po

(h(-&O+o) - h('.&O) cos po) •

Voor de functie 9 qedefinieerd door

h(.&O + x) - h(-&o) cos px q (x)

=

---:----..;;.----sin px qeldt dus

(9)

7

-Op het interval [-xo'O) is 9 niet-dalend en begrensd (g(x)

s

g(x_O) voor x € [-xo'O», zodat lim q(x) bestaat.

xtO Analoog: lim g(x) bestaat.

x-l-O Uit hC-&O+x) -hC-&O) i 1 ( ) s n px h (1:1. ) cos px - "..,. .J. 0

=

9 x x +

'Va

x ' -x_O::> x:::. X_{O' x}r I x

iii) Zij 11

=

lim g(x) I 12

=

lim g(x) . Dan 1s h~(-&O)

=

p1

1 en h~(-&O) ==

pt2-xtO x-l-O.

Uit g(-6) S g(6)

dus

5. Voorbeelden

De volgende voorbeelden (van indicatorfuncties) laten zien dat de stelling niet verscherpt kan worden.

4)

Uit

voIgt

-z

f (z ) = exp (z e ) I P = 1 •

If

(r e i-&)

I

== exp[r e -r cos -&(cos -& cos (r sin -&) + sin -& sin (r sin -&) ) J. =

-r cos -&

=

exp[r e cos (-& - r sin -&)

J,

r ~. 0 , -& € J ,

h (-&) = lim sup e -r cos -& cos(-& - r sin -&) ==

r-+ oo

-c

VOor. -~11' < -& < ~11' , voor -& ₌₌_{±~11' •}

De indicatorfunctie is niet continu in de randpunten van J.

(10)

8

-5) J = [-"'11',"'11'] , fez) = sinz , p = 1 •

·Er geldt

log(sin2 (r cos -&) + sinh2 (r sin -&)]

I

h( -&)

=

lim sup - 2r

=

sin -& , -& € J ,

r+m

dus

b.L

(0) < h~ (0) •

Literatuur

(1] M.L. Cartwright, Integral Functions, University Press, Cambridge, 1956.

[2] M.A. Evgrafov, Asymptotic Estimates and Entire Functions, Gordon and Breech, New York, 1961.

[3] E. Hille, Analytic Function Theory, Vol. II, Ginn and Comp., Boston, 1962.

[4] B.J. Lewin, Nullste11enverteilung ganzer Funktionen, Akademie-Verlag, Berlin, 1962.

[5] A.I. Markushevich, Theory of functions of a complex variable, Vol. II, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1965.

[6] A.W. Roberts and D.E. Varberg, Convex Functions, Academic Press, New York, 1973.

[7] E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions, University Press, OXford, 1939.

(11)

8

-5) J

=

[-~1T/lrlT] , fez)

=

sin z , p

=

1 •

Er geldt

loq[sin2 (r cos -&) + sinh2 (r sin -&)

J

I

h( ~)

=

lim sup - 2r

=

sin -& , ~ € J , r -+ co

dus hi(O) < h~(O) •

Literatuur

[1] M.L. Cartwright, Integral Functions, University Pres.s, Cambridge, 1956.

[2] M.A. Evgrafov, Asymptotic Estimates and Entire Functions, Gordon and Breech, New York, 1961.

[3] E. Hille, Analytic Function Theory, Vol. II, Ginn and Comp., Boston, 1962.

[4] B.J. LeWin, Nullstellenverteilung ganzer Funktionen, Akademie-Verlag, Berlin, 1962.

[5J A.I. Markushevich, Theory of functions of a complex variable, Vol. II, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1965.

[6] A.W. Roberts and DaE. Varberg, Convex Functions, Academic Press, New York, 1973.

[7J E.C. Titchmarsh, The Theory of Functions, University Press, Oxford, 1939.