2degraads vergelijking ABC formule

Het oplossen van 2 _{graadsvergelijkingen}de

Het algebraïsch oplossen van 2de _{graadsvergelijkingen is erg eenvoudig. Er zijn}

in totaal namelijk maar drie verschillende oplossingsalgoritmen. Aangezien je aan de vorm van de 2de _{graadsvergelijking gelijk kunt zien welke van de drie}

oplossingsalgoritmen je moet toepassen, maakt het algebraïsch oplossen van 2de _{graadsvergelijkingen tot een eenvoudig aan te leren vaardigheid.}

Het stappenplan:

1. Herleid de 2de _{graadsvergelijking op nul.}

2. Je hebt nu één van de drie mogelijke vormen van een 2de

graadsvergelijking. Zie de tabel hieronder:

Mogelijkheid 1 Mogelijkheid 2 Mogelijkheid 3

2 ₀

ax  c _ax2_{bx0 ax}2_{bx c 0}

We gaan ervan uit dat a, b en c willekeurige getallen zijn, ongelijk aan 0 (bij mogelijkheid 1 heb je nog een speciaal geval als c=0, waar we straks op in zullen gaan).

Merk op dat als in mogelijkheid 2 of 3 één van de getallen b of c gelijk zijn aan nul, je gelijk over kunt gaan op mogelijkheid 1 of 2. Is a=0 dan heb je geen 2de _{graadsvergelijking meer, maar een lineaire vergelijking.}

Het oplossen gaat nu als volgt:

Mogelijkheid 1 Mogelijkheid 2 Mogelijkheid 3 2 2 2 0 of c a c c a a ax c ax c x x x            2 -0 ( ) 0 0 of 0 0 of -0 of b a ax bx x ax b x ax b x ax b x x            2 ₀ ax bx c  2 mogelijkheden: A. ontbinden in factoren: (x+…)(x+ …)=0 enz. B. ABC-formule 2 2 4 2 0 b b ac a ax bx c x        Merk op:

i. Bij mogelijkheid 1 als c>0, dat er dan geen oplossingen mogelijk zijn. ii. Verder bij mogelijkheid 1 als c=0 dat je dan het eenvoudige geval

2 ₀ 2 _{0 0}

ax  x   x hebt.

iii. Bij mogelijkheid 2 dat x=0 altijd een oplossing is, en dat er ook altijd twee oplossingen zijn.

iv. Bij mogelijkheid 3 is de methode van ‘ontbinden in factoren’ niet altijd toereikend. Bij deze mogelijkheid zijn er drie gevallen mogelijk, a) 1 oplossing, b) 2 oplossingen of c) geen oplossingen. Dit heeft te maken met wat onder het wortelteken staat. Ga dit na!

v. Als er geen b of c is, dan is deze uiteraard 0.

Juan Dominguez – www.dominguez.nl Oktober ‘04

Voorbeelden:

Mogelijkheid 1 Mogelijkheid 2 Mogelijkheid 3 2 2 2 8 2 8 2 8 2 2 8 0 2 8 4 = 4=2 of 4 2 x x x x x             2 -9 3 3 9 0 (3 9) 0 0 of 3 9 0 0 of 3 -9 0 of 3 x x x x x x x x x x              2 2x 6x 4 0 2 mogelijkheden: A. ontbinden in factoren: 2 2 2 6 4 0 3 2 0 ( 2)( 1) 0 2 0 of 1 0 2 of 1 x x x x x x x x x x                  B. ABC-formule 2 2 6 6 4 2 4 6 4 2 2 4 6 2 4 6 2 4 2 6 4 0 2 of 1 x x x x x                        Merk op:

i. Bij mogelijkheid twee kun je vaak samen met de variabele x ook een getal voor de haakjes halen. In dit geval zou je 3x voor de haakjes kunnen halen. Als het goed is wordt de opgave hierdoor iets

eenvoudiger maar leidt het uiteraard tot hetzelfde antwoord. Ga dit na!

ii. Bij mogelijkheid 3A wordt hier eerst de hele formule gedeeld door 2. Waarom mag dit en verandert er niets aan het uiteindelijke

antwoord? We zijn hier op zoek naar nulpunten, met andere woorden, snijpunten met de x-as. Als ik hier ga delen door een getal (of

vermenigvuldigen) dan blijven mijn nulpunten op dezelfde plek. Immers iets gedeeld door (of keer) 0 blijft altijd 0.

Test jezelf: 1. 2_x2_{ x}6 _4_0 2. _2x2_{4x 1 0} 3. 1 2 2x 2x 1 0 4. 2 6 6 0 x  x  5. 2 2x 12x 6 0     6. 6_x2  x3 11₂1 0 7. 2 3x 9x42 8. (_x2)2 _9 9. 2 (2x3)  1 17 10. x(x7)4 Tenslotte:

i. Ik geef geen antwoorden van deze sommetjes omdat je het zelf met je GRM heel eenvoudig kunt narekenen (MENU  EQUA  F2:

Polynomial  F1 (Degree 2), a, b en c invullen en op F1 (SOLV) klikken).

ii. Merk op dat je bij het oplossen van 2de _{graadsvergelijkingen eigenlijk}

op zoek bent naar de nulpunten (= snijpunten met de x-as) van de grafiek.

iii. Wil je nog meer oefenen met 2de _{graadsvergelijkingen dan verwijs ik}

je naar de oefenopgaven van klas 3 op www.dominguez.nl (klas 3 omdat deze stof wordt aangeleerd in klas 3, zoals je hopelijk nog weet).

Juan Dominguez – www.dominguez.nl Oktober ‘04