: Noorderpoort MBO Niveau 4

OPLEIDING

: Noorderpoort MBO Niveau 4

DOCENT

: H.J. Riksen

Goniometrie

Wiskunde - MBO Niveau 4

OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen

LEERJAAR: Leerjaar 2 - Periode 1 UITGAVE: 2018/2019

Goniometrie

1. Hoeken en zijden uitrekenen 1.1 Rechthoekszijden uitrekenen

1.2 Schuine zijde uitrekenen 1.3 Hoek uitrekenen

2. Verbanden 2.1 Een hoek van 45°

2.2 Hoeken van 30° en 60°

2.3

Hoofdstuk 1 - Hoeken en zijden uitrekenen

In je vooropleiding heb je geleerd om met behulp van SOS - CAS - TOA hoeken en zijden uit te rekenen van driehoeken. Dit hoofdstuk is een herhaling van die leerstof.

1.1 Rechthoekszijden uitrekenen

In deze paragraaf krijg je te maken met rechthoekige driehoeken, waarvan je één hoek en de schuine zijde weet. Jij moet steeds de twee rechthoekszijden uitrekenen.

Voorbeeld:

Bereken zijde a van deze rechthoekige driehoek.

Je weet de schuine zijde (AC = 12) dus ’S’: SOS - CAS - TOA

Zijde a is de Aanliggende zijde, dus er komt ‘A’ bij: SOS - CAS - TOA Dan blijft CAS over om mee te rekenen:

Voorbeeld:

Bereken zijde b van deze rechthoekige driehoek.

Je weet de schuine zijde (AC = 12) dus ’S’: SOS - CAS - TOA

Zijde b is de Overstaande zijde, dus er komt ‘O’ bij: SOS - CAS - TOA Dan blijft SOS over om mee te rekenen:

a

b

A B

C

30°

12

CAS : cos A= aanliggende zijde schuine zijde

⇒ cos30^!= a

12 ⇒ a = cos30^!×12 = 10,4

a

b

A B

C

30°

12

SOS : sin A= overst.zijde schuine zijde

⇒ sin30^!= b

12 ⇒ b = sin30^!×12 = 6

1.

Bereken steeds zijde a en b

a

b

A B

C

30°

40

a

A b B

C

60°

40

a

b A

B C

53°

16 a

b

A

B C

45°

12

a b

A C B

36,9°

15

a

b

A

B C

27°

8

a

b

A

B C

29° 100

A B C

D E

F

G

a

b

A B

C

60°

1 H

a

b

A

B C

14°

1

J

a b

A

B C

34°

1 I

1.2 Schuine zijde uitrekenen

In deze paragraaf krijg je te maken met rechthoekige driehoeken, waarvan je één hoek en een rechthoekszijde weet. Jij moet steeds de schuine zijde uitrekenen.

Voorbeeld:

Bereken de schuine zijde c van deze rechthoekige driehoek.

Je moet de schuine zijde berekenen, dus ’S’: SOS - CAS - TOA

Je weet de Aanliggende zijde, dus er komt ‘A’ bij: SOS - CAS - TOA Dan blijft CAS over om mee te rekenen:

Voorbeeld:

Bereken de schuine zijde c van deze rechthoekige driehoek.

Je moet de schuine zijde berekenen, dus ’S’: SOS - CAS - TOA

Je weet de Overstaande zijde, dus er komt ‘O’ bij: SOS - CAS - TOA Dan blijft SOS over om mee te rekenen:

10

b

A B

C

30°

c

CAS : cos A= aanliggende zijde schuine zijde

⇒ cos30^!=10

c ⇒ c = 10

cos30^! = 11,5

SOS : sin A= overst.zijde schuine zijde

⇒ sin30^!=8

c ⇒ c = 8

sin30^! = 16

a

8

A B

C

30°

c

2

^. Bereken steeds zijde c

20

b

A B

C

30°

c

10

A b B

C

60°

c

3

b A

B C

53°

c 4

b

A

B C

45°

c

a 30

A C B

36,9°

c

24

b

A

B C

27°

c

14

b

A

B C

29° c

A B C

D E

F

G

a

16

A B

C

60°

c H

a

2

A

B C

14°

c

J

a 1

A

B C

34°

c I

1.3 Hoek uitrekenen

In deze paragraaf krijg je te maken met rechthoekige driehoeken, waarvan je steeds twee zijden weet. Jij moet de hoek uitrekenen.

Voorbeeld:

Bereken hoek A als je zijde a en b weet.

Je weet de Aanliggende en de Overstaande zijde, dus dat is een ‘A’ en een ‘O’: SOS - CAS - TOA

Voorbeeld:

Bereken hoek A als je zijde a en c weet.

Je weet de Aanliggende en de Schuine zijde, dus dat is een ‘A’ en een ‘S’: SOS - CAS - TOA

Voorbeeld:

Bereken hoek A als je zijde b en c weet.

Je weet de Overstaande en de Schuine zijde, dus dat is een ‘O’ en een ‘S’: SOS - CAS - TOA TOA : tan A= overstaande zijde

aanliggende zijde

⇒ tan A =12

16= 0,75 ⇒ ∠A = tan⁻¹0,75= 36,9^!

16

12

A B

C

A 16 B

C

20

CAS : cos A= aanliggende zijde schuine zijde

⇒ cos A =16

20= 0,8 ⇒ ∠A = cos⁻¹0,8= 36,9^!

12

A B

C

20

SOS : sin A= overstaande zijde schuine zijde

⇒ sin A =12

20= 0,6 ⇒ ∠A = sin⁻¹0,6= 36,9^!

3.

Bereken steeds hoek A.

14

8,1

A B

C

?

10

C A

B

? 12

20

15 A

B C

? 4 5,7

A

B C

?

30

A C B

?

78 A 24

B C

? 27

38

21

A

B C

?

A B C

D E

F

G

A 18 B

C

? 36

H

2

A

B C

? 2,05

J

C 100

A B

? 121 I

Hoofdstuk 2 - Verbanden

2.1 Een hoek van 45°

Je geodriehoek is een driehoek met twee gelijke benen en twee hoeken van 45°.

De lange zijde is 16 cm lang.

We gaan nu beide andere zijden (gemarkeerd met a en b) uitrekenen, vanuit dezelfde hoek, gemarkeerd met een rode stip.

Zijde a = aanliggend en we weten schuin, dus:

Zijde b = overstaand en we weten schuin, dus:

Hieruit kunnen we concluderen dat de sinus van 45° gelijk is aan de cosinus van 45°.

2.2 Hoeken van 30° en 60°

In deze driehoek kunnen we zijde b uitrekenen met: . De andere hoek in de driehoek is 60°, want samen zijn alle hoeken 180°.

Als we nu vanuit die hoek zijde b uitrekenen komen we op:

.

Met andere woorden: de cosinus van 60° = sinus 30° en andersom.




a b

a= cos45^!×16 = 11,3cm b= sin45^!×16 = 11,3cm

sin 45^!= cos45^!

b= sin30^!×10 = 5

b= cos60^!×10 = 5

sin30^!= cos60^!

sin60^!= cos30^!

30°

a 10 b

4.

Iemand staat op 6 meter afstand van een boom en houdt een grote geodriehoek bij zijn ogen, zodat hij de boomtop precies onder een hoek van 45° ziet.

De ogen van deze persoon bevinden zich 1,73 m boven de grond.

Hoe hoog is de boom?

5.

Bereken zijde b.

a) b)

c)

d) Bij een hoek van 30° is de overstaande zijde blijkbaar precies de helft van de schuine zijde.

Bereken sinus 30°.

6.

Iemand is een schuur aan het bouwen met een dakhelling van 30°. Een dakbalk is 3 meter lang. Er komt een zoldervloer in de schuur. Kun je op die zolder rechtop staan?

30°

4 b

30°

10 b

30°

20 b

3 m

d) Bij een hoek van 60° is de aanliggende zijde blijkbaar precies de helft van de schuine zijde.

Bereken cosinus 60°.

8.

In Smilde staat een toren van 300 m hoog.

Hij wordt gebruikt voor radio, televisie en telefoonverbindingen. De toren is verankerd met 12 stalen kabels die aan betonblokken bevestigd zijn.

Het betonblok op de foto staat 115 m van de toren af.

Hoe lang is de kabel als deze onder een hoek van 60° omhoog gaat?

60°

a 4

60°

a 6

60°

a 8

Hoofdstuk 3 - De éénheidscirkel

3.1 Een driehoek in een cirkel

Stel je eens voor dat je een grote cirkel hebt met straal r = 1. Bijvoorbeeld r = 1 meter. In die cirkel teken je vervolgens driehoeken, waarbij de schuine zijde altijd loopt van het middelpunt naar de cirkelrand. De schuine zijde is dan altijd gelijk aan 1.

Zijde a berekenen we met de cosinus:

Zijde b berekenen we met de sinus:

Omdat de schuine zijde 1 is, vermenigvuldig je de sinus en cosinus van de hoek met 1 om de lengtes van de zijden te krijgen. Maar een vermenigvuldiging met 1 verandert niets aan het getal.

Je kunt in dit geval de vermenigvuldiging met 1 weglaten:

Zijde a:

Zijde b:

a= cos30^!×1= 0,87 ×1= 0,87 b= sin30^!×1= 0,5×1= 0,5

a= cos30^! = 0,87 b= sin30^!= 0,5

9.

Bereken steeds zijde a en b

a) b)

c) d)

e) f)

1 45°

a

b 1

60°

a b

1 30°

a

b 5° 1

a b

1

a 80°

b 1

90°

a b

3.2 De eenheidscirkel in een assenstelsel

Als je de eenheidscirkel in een assenstelsel tekent, kun je de punt van de driehoek die op de cirkelrand ligt met coördinaten aangeven. De x-coördinaat is de cosinus van de hoek en de y- coördinaat is de sinus van de hoek.

30°

x-as y-as

1 2 3

1 2

0

−1

−1

(0,87 ; 0,5)

10.

Hieronder staan steeds punten aangegeven op de rand van de eenheidscirkel. Geef de coördinaten van deze punten.

a) b)

c) d)

e) f)

45° 60°

30° 5°

80° 90°

11

. Een robot kun je vaak programmeren met behulp van coördinaten. Als die coördinaten op een cirkel liggen, kun je de cosinus en de sinus gebruiken om de x- en y-coördinaat te bepalen.

Bepaal de x- en y-coördinaat van de aangegeven wielbout ten opzichte van het middelpunt (de as).

Wat zijn radialen?

1. Je kunt betalen met o.a. Euro’s of Dollars. Afstanden kun je meten in kilometers of mijlen. Zo kun je hoeken ook aangeven in graden of radialen. Een hoek van 90° komt bijvoorbeeld overeen met ½π radialen. We gaan nu kijken hoe dat in elkaar zit.

a) Wij hebben een aantal keren gewerkt met de eenheidscirkel, die straal 1 heeO.

Wat is de diameter van de éénheidscirkel? ………..

b) De formule om de omtrek van een cirkel te berekenen is: Omtrek = Diameter × π.

Wat is de omtrek van de éénheidscirkel? ………..

Als het goed is ben je uitgekomen op ongeveer 6,28 of 6,3. Je hebt namelijk π vermenigvuldigd met 2.

Vanaf nu geen we dat niet meer echt uitrekenen. We laten gewoon staan: 2 × π, of nog beter: 2π.

c) Hoeveel is de halve omtrek van de éénheidscirkel? ……….. (geef je antwoord met π erin) d) Hoeveel is een kwart omtrek van de éénheidscirkel? ……….. (geef je antwoord met π erin) Je hebt nu automaZsch geleerd wat radialen zijn. Radialen bestaan namelijk uit een stukje omtrek van

de cirkel. Een hoek van 90° komt bijvoorbeeld overeen met ½π radialen, want als je de cirkel één kwart rond gaat, heb je een stukje omtrek gehad van ½π.

e) Vul nu naast iedere hoek in graden het aantal radialen in. Gebruik steeds “π rad” in je antwoord.

0°

45°

90°

135°

180°

225°

360°

0πrad

πrad

2πrad

…………..

…………..

…………..

f) Vul nu naast iedere hoek in graden het aantal radialen in. Gebruik steeds “π rad” in je antwoord.

2. Reken om van graden naar radialen − voorbeeld:

Geef alleen hele getallen of breuken (geen kommagetallen) en laat π in het antwoord staan.

a) 60° = ……..…π radialen e) 225° = ……..…π radialen i) 180° = ……..…π radialen b) 0° = ……..…π radialen f) 150° = ……..…π radialen j) 210° = ……..…π radialen c) 45° = ……..…π radialen g) 270° = ……..…π radialen k) 315° = ……..…π radialen d) 90° = ……..…π radialen h) 135° = ……..…π radialen l) 120° = ……..…π radialen

3. Reken om van radialen naar graden − voorbeeld:

a) radialen = ……..…° e) radialen = ……..…° i) radialen = ……..…°

b) radialen = ……..…° f) radialen = ……..…° j) radialen = ……..…°

c) radialen = ……..…° g) radialen = ……..…° k) radialen = ……..…°

d) radialen = ……..…° h) radialen = ……..…° l) radialen = ……..…°

30^o= 30^o

360^o!2π =¹₆π radialen

1

6π radialen = ¹⁶

2!360= 30^o

1

3π π ²3π

1

4π 1¹₂π 1⁵₆π

1

2π 1³₄π 1¹₄π

0π ⁵π 2π

0°

30°

90°

120°

180°

210°

270° 300°

360°

0πrad

πrad

2πrad

…………..

…………..

…………..

…………..

…………..

…………..

30°

60°

………….. 150° …………..

…………..

…………..

240°

330°

y-as

16 π 13 π 12 π 23 π 56 ππ1 16 π1 13 π1 12 π1 23 π1 56 π

S inus

0 0,5 1

−1 −0,5

éénheidscirkel


 16 π 13 π 12 π 23 π 56 ππ1 16 π1 13 π1 12 π1 23 π1 56 π2π0 0,5 1−1 −0,5 y-as

x-a

Cos inus

éénheidscirkel

60^! 120^!

45^! 30^! 135^!

150^!

0^! 180^!

210^!

225^! 240^!

270^!

300^! 315^!

330^!

0π

16π

14π

1 3π

1 2π

2 3π

34π

5 6π

π

1¹₆π

1¹₄π

1¹₃π

1¹₂π

1²₃π

1³₄π 1⁵₆π 90^!

360^! 2π

( )

^{1, 0}

12 3, ¹₂

( )

12 2, ¹₂ 2

( )

1 2, ¹₂ 3

( )

( )

0, 1

−¹₂, ¹₂ 3

( )

−¹₂ 2, ¹₂ 2

( )

−¹₂ 3, ¹₂

( )

−1, 0

( )

−¹₂ 3,−¹₂

( )

−¹₂ 2,− ¹₂ 2

( )

−¹₂,−¹₂ 3

( )

0,−1

( )

1

2,−¹₂ 3

( )

1

2 2,−¹₂ 2

( )

1

2 3,−¹₂

( )

Hoofdstuk 6 - Exacte waarden

60^! 45^!

30^!

0^! 0π

1 6π

1 4π

1 3π

12π 90^!

360^!2π ( )1, 0

12 3,¹₂

( )

1

2 2,¹₂ 2

( )

1 2,¹₂ 3

( )

( )0, 1

30°

1 sin= ¹₂

cos=¹₂ 3

1

2