FEW cursus

Jo van den Brand Variatierekening

Gravitatie en kosmologie

FEW cursus

Twee voorbeelden

• De calculus van variaties betreft het vinden van een extreme waarde (maximum of minimum) van een grootheid die in integraalvorm kan worden uitgedrukt.

• We kekijken twee voorbeelden:

– Het kortste pad tussen twee punten

– Het principe van Fermat (licht neemt de kortste weg)

• Wat is het kortste pad tussen twee punten in een vlak? Je weet het antwoord – een rechte lijn – maar je hebt waarschijnlijk nooit het bewijs gezien.

• Beschouw twee punten in het x-y vlak, zoals getoond in de figuur.

• Een willekeurig pad dat deze punten verbindt volgt de algemene curve y = y(x), en een element van lengte langs deze curve is

• We kunnen dit herschrijven als

en dat is geldig want

• De lengte is dus

2 2

ds  dx  dy

x y

x

x

y

y

y = y(x)

1 2 ,

) (

1 y x

dx ds   

dy ( )

dy dx y x dx

dx 

 

2

1

2 2

1 ^x

1 ( )

L   ds  

 y x dx 

Kortste pad tussen 2 punten

• Merk op dat we het probleem hebben omgezet van een integraal langs een pad, tot een integraal over x:

• We zijn er dus in geslaagd om het probleem op te schrijven. Nu hebben we nog wat extra wiskundekennis nodig om het pad te vinden waarvoor L

extremaal is (een minimum in dit geval).

Principe van Fermat:

• Een gelijksoortig maar wellicht interessanter probleem is het vinden van het pad dat licht door een medium met een bepaalde brekingsindex n  1 zal nemen. Je weet misschien dat licht door een dergelijk medium langzamer

beweegt en we definieren de brekingsindex als n = c/v, met c de snelheid van het licht in vacuum, en v de lichtsnelheid in het medium. De reistijd bedraagt

• De brekingsindex mag willekeurig afhangen van x en y.

. ) (

2

1

1

2 2

1



 ^{  }



x

y x dx

ds L

. ) ( 1

) , 1 (

1

1

2 2 1 2

1 2

1

  

 ^{    }



x

n x y y x dx

ds c c n

v dt ds



Variatieprincipes

• Dergelijke problemen zijn gelijksoortig en komen vaak voor.

• Als we een minimum of maximum van een functie f(x) zoeken, nemen we de afgeleide en vinden haar nulpunten (d.w.z. de x waarden waarvoor de helling van de functie gelijk is aan nul).

• Analoog hieraan willen we in staat zijn

oplossing van deze integralen te vinden die stationair zijn (extremaal) voor kleine

veranderingen in het pad. Dat wordt variatierekening genoemd.

• De methode die we ontwikkelen heet de variatiemethode, een principes zoals het principe van Fermat heten variatieprincipes.

• Deze principes worden veel gebruikt en zijn van groot belang in de natuurkunde (zoals in quantummechanica en algemene

relativiteitstheorie).

Euler-Lagrangevergelijking

• We bespreken nu de variatiemethode van Euler en Lagrange, waarmee we een extremaal (laten we een minimum beschouwen) vinden voor een vooralsnog onbekende curve die twee punten x

en x

, verbindt die voldoet aan de

integraalvergelijking

• De functie f is een functie van drie variabelen, maar omdat het integratiepad y = y(x) is, reduceert de integrand tot een functie van x.

• Beschouw twee curven die punten 1 en 2 verbinden, de `correcte’ curve y(x), en de `verkeerde’ curve

Y(x) met kleine verplaatsing van de `goede’ curve.

• We schrijven het verschil tussen beide curven als een functie h (x).

. ] ), ( ' ), (

2

[





x

f y x y x x dx

S

x y

x

x

y

y

(fout) ) ( ) ( )

(x y x x

Y  h

y = y(x) (correct)

1 2

. 0 ) ( )

( );

( ) ( )

( x  y x  x x

 x



Y h h h

Euler-Lagrangevergelijking

• Er zijn oneindig veel functies h (x), die `fout’ kunnen zijn, maar we eisen dat ze allemaal langer zijn dat het `correcte’ pad. Om te kwantificeren hoe dicht de `foute’ paden bij het `goede’ pad zijn, schrijven we Y = y + ah , zodat

• Dit staat ons toe om het kortste pad te karakteriseren als het pad waarvoor de afgeleide dS/d a = 0 als a = 0. Om de bovenstaande uitdrukking te kunnen differentieren naar a , moeten we de partiele afgeleide uitrekenen met de kettingregel

dus dS/d a = 0 levert

. ] , '

, [

] ), ( ' , [ )

(

2

1 2

1





 







x x

x x

dx x y

y f

dx x x Y Y f S

h a ah

a

a



 S / ) ,

, ,

(

y f y

f x

y y

f

 

 

 

 



 

 

 h h

a

h a ah

2

0

1 2

1

 



 





 

 

 

 



   

x

dx

y f y

dx f f d

dS h h

a

a

Euler-Lagrangevergelijking

• We integreren de tweede term partieel:

maar de eerste term van deze relatie is gelijk aan nul, omdat h (x) gelijk is aan nul is op de eindpunten.

• We vinden dan

• Dit geeft de Euler-Lagrangevergelijking

want de variatie moet nul zijn voor elke h (x).

, )

( )

(

1 2

1 2

1



 ^ _ ^ _ ^{ } _ ^ _ ^ _ ^ _ ^{ }

^ _ ^ _ ^ _ ^ _ ^

x x

x

dx

y f dx x d y

x f y dx

f h h

h

. 0 )

2

(

1

 



 





 

 



 

 dx

y f dx

d y x f

d

dS h

a

f d f 0 y dx y

   

  

Euler-Lagrangevergelijking

• Samenvatting: we kunnen een minimum (of meer algemeen een extreme waarde) voor het pad S vinden als we een functie voor het pad vinden die voldoet aan

• De procedure is het opzetten van het probleem zodanig dat de grootheid waarvoor je het stationaire pad zoekt voldoet aan

met de geschikte functie.

Schrijf nu de Euler-Lagrangevergelijking op, en los deze op naar de functie y(x) die het stationaire pad definieert.

• Laten we een voorbeeld behandelen.

f d f 0 y dx y

   

  

, ] ), ( ), (

2

[



^



x

f y x y x x dx

S

] ), ( ), (

[ y x y x x

f 

Kortste pad tussen twee punten

• We hebben eerder laten zien dat we het kortste pad tussen twee punten kunnen uitdrukken als

• De integrand bevat onze functie

• De twee partiele afgeleiden in de Euler-Lagrangevergelijking zijn:

• De Euler-Lagrangevergelijking geeft ons

• Dit stelt dat

• Herschikken geeft het antwoord: y

= constant (noem dat m

), dus y(x) = mx + b. Met andere woorden: een rechte lijn is het kortste pad!

. ) (

2

1

1

2 2

1



 ^{  }



x

y x dx

ds L

. ) ( 1

) , ,

( y y x y x

f    

. 1

and

0

y y y

f y

f

 

 

 

 





. 0

1

 



 

 



y y dx

d y

f dx

d

).

1 (

of , 1

2 2

2

2

C y C y

y

y     

 



Brachistochroon

• Beroemd probleem uit de variatierekening:

– Gegeven twee punten 1 en 2, met 1 hoger boven de grond. Welke vorm moet een wrijvingsloze achtbaan hebben, zodat een karretje losgelaten op punt 1, punt 2 in de kortst mogelijke tijd bereikt? Zie de figuur: neem punt 1 als oorsprong, met y positief naar beneden.

• Oplossing:

– De tijd om van punt 1 naar 2 te reizen is met , vanwege kinetische energie.

– Dit hangt van y af, we nemen y als de onafhankelijke variabele, dus

– Onze integraal wordt

– De Euler-Lagrangevergelijking:

2

,



 v

 ds

x

y

2 1

. 1 ) (

2

2

dy x y dy

dx

ds     

gy v  2

1 . 2

1

0

 ^

^



dy

y x

 g

x . f dy

d x

f

 

 





Merk op dat we y als

onafhankelijke variabele nemen.

We wisselen x en y om.

Brachistochroon

• Oplossing:

– Omdat dus en daarom.

– Uitrekenen van de afgeleide en kwadrateren geeft waar we de constante 1/2a noemen.

– Oplossen naar x geeft Om x te vinden, integreren we

– Dit kan opgelost worden met de substitutie y = a(1  cos q), waarmee

– Deze twee vergelijkingen geven het pad in termen van q.

– Deze curve is een cycloide. Het is het pad van een wiel dat (ondersteboven) langs de x as beweegt.

– De tijd die het karretje nodig heeft om van 23 te reizen hangt niet af waar 2 zich bevindt tussen 1 en 3!.

a x

y x

2 constant 1 )

1 (

2

 

 



2 a y . x y

 

 1 ,

2

y f x  

  0 ,



 x

f  constant .

 

 x

f

2 .

 _

 dy

y a x y

. const )

sin (

) cos 1

 ( ^{   }

 a q d q a q q

x

) cos 1

(

) sin (

q q q







 a y

a x

a 2a

1

2 3

De Lagrangiaan

• In onze discussie over de Lagrangiaan gebruiken we andere notatie. De integrand wordt

en de Lagrangiaan

• De onafhankelijke variabele is t. De snelheid wordt

• We make de actie stationair

en dit vereist dat L voldoet aan

.

;

;

;

2 2

1

1 N

dt x

d x

x dt

d x

x dt

d

x  



 

 







 







 



 L L L L L L

], , , , , , , , ,

[ x

x

x x

x

x t f 

   

].

, , , , , , , ,

[ x

x

 x

x 

x 

 x 

t L

L 

, ] , , , , , , , ,

[



 x x x x x x t dt

S L 

   

x