2 Energie en vermogen. Energie en vermogen 12

2

Energie en

vermogen

Hoofdstuk 2:

Energie en vermogen

• Verwarring in discussies over energieconsumptie en -productie door verschillende eenheden

• Discussie en verwarring gaan we vermijden, jullie zijn (toekomstige) ingenieurs dus:

1. Dit is geen filosofische cursus 2. Dit is geen politieke cursus

3. We zorgen dat we de onderwerpen begrijpen

4. Waar mogelijk zorgen we dat we resultaten kunnen berekenen

Energie en vermogen 13

1 J = 1 C × 1V

1W = 1 J/s

1W = 1 N × 1m/s 1W = 1 A × 1V

en dus

1 J = 1N × 1m

• Energie in joule (J)

• Vermogen in watt (W)

Waar mogelijk gebruiken we dus de joule en de watt

(andere eenheden zorgen soms voor verwarring en discussie)

Energie en vermogen 15

1 J = 1 C × 1V

1W = 1 J/s

1W = 1 N × 1m/s 1W = 1 A × 1V

en dus

1 J = 1N × 1m

• Energie in joule (J)

• Vermogen in watt (W)

Waar mogelijk gebruiken we dus de joule en de watt

(andere eenheden zorgen soms voor verwarring en discussie)

1 J = 1 C × 1V

1W = 1 J/s

1W = 1 N × 1m/s 1W = 1 A × 1V

en dus

1 J = 1N × 1m

• Energie in joule (J)

• Vermogen in watt (W)

Waar mogelijk gebruiken we dus de joule en de watt

(andere eenheden zorgen soms voor verwarring en discussie)

Energie (joule)

17

Energie en vermogen

Sommige historisch, andere beter bruikbaar bij een bepaalde toepassing.

Symbool Waarde Betekenis

1 eV 1,60218 × 10⁻¹⁹ J elektronvolt

1 BOE 6,12 GJ vat olie

1 t.o.e. 41,9 GJ ton olie equivalent

1 t.c.e. 29,3 GJ ton steenkool equivalent

1 BTU 1055 J British thermal unit

1 cal 4,184 J calorie

1 erg 100 nJ

1 TNT 4,18 J TNT equivalent

1 pk 735 W paardenkracht

2.3 Oefeningen

1. Leid uit de waarden van “één vat olie” en “één ton olie” af hoeveel kg olie in een vat zit.

Energie en vermogen 19

1

2.3 Oefeningen

1. Leid uit de waarden van “één vat olie” en “één ton olie” af hoeveel kg olie in een vat zit.

Energie per kg olie = 41,9 GJ/(1000kg) 6,12 GJ = 41,9 MJ/kg x (aantal kg)

146 kg

• Vaak gebruikt

• Geen SI-eenheid

• Vermenigvuldiging van 2 eenheden: kW en het uur

kWh

Energie en vermogen 21

1 kWh = 1 kW . 1 h = 1000 W . 3600 s = 3600000 W.s = 3,6 MJ

Voorbeelden

2.1.1 Potentiële energie 2.1.2 Chemische energie

2.1.3 Thermische energie

2.1.4 Elektrische energie

2.1.5 Magnetische energie

2.1.6 Energie van het licht 2.1.7 Kinetische energie 2.1.8 Warmtestraling

2.1 Types energie en

vermogen

De mogelijkheid om energie te leveren?

voorwerp

voorwerp

2.1.1 Potentiële energie

Energie en vermogen 23

Ԧ𝑟 _𝐴 Ԧ𝑟 _𝐵

Positie A of positie B

Kunnen we daar een zinvol getal (en een eenheid) op plakken?

Hoeveel potentiele energie?

Positie A of positie B

Ja, als het verschil in potentiële energie

= arbeid die geleverd of toegevoegd moet worden aan het systeem/voorwerp

2.1.1 Potentiële energie

voorwerp

voorwerp

Ԧ𝑟 _𝐴 Ԧ𝑟 _𝐵

𝑊 = 𝑈

− 𝑈

= න

𝐴 𝐵

𝐹 ∙ 𝑑 Ԧ𝑟 Ԧ

Arbeid Min het verschil in potentiële energie

Definitie van

de arbeid die geleverd wordt door de kracht bij deze verplaatsing van A naar B.

Enkel nuttig als dit onafhankelijk is van de baan!

Stelt sterke eis aan de eigenschappen van de kracht (conservatief)Energie en vermogen 25

2.1.1 Potentiële energie

voorwerp

voorwerp

Ԧ𝑟 _𝐴 Ԧ𝑟 _𝐵

Kunnen we daar een zinvol getal (en een eenheid) op plakken?

JA: als de kracht conservatief is!!!

Baan 1

Baan 2 D.w.z. JA als de arbeid onafhankelijk

is van de gekozen baan.

Één voorbeeld de zwaartekracht

𝑊 = 𝑈

− 𝑈

= න

𝐴 𝐵

𝐹 ∙ 𝑑 Ԧ𝑟 Ԧ

2.1.1 Potentiële energie

Ԧ 𝑒_𝑦

Ԧ 𝑒_𝑥 Kunnen we daar een zinvol getal (en een eenheid) op plakken?

𝑊 = න

𝐴 𝐵

𝐹 ⋅ 𝑑𝑟 = න Ԧ

𝐴 𝐵

𝑚𝑔 − Ԧ 𝑒

⋅ (𝑑𝑥 Ԧ 𝑒

+ 𝑑𝑦 Ԧ 𝑒

)

𝑊 = 𝑈

− 𝑈

= න

𝐴 𝐵

𝐹 ∙ 𝑑 Ԧ𝑟 Ԧ

27

Energie en vermogen

2.1.1 Potentiële energie

Baan 1

Baan 2

Ԧ 𝑒_𝑦

Ԧ 𝑒_𝑥

𝐹 = 𝑚 Ԧ Ԧ 𝑔 = 𝑚𝑔 −𝑒

𝑑 Ԧ𝑟 = 𝑑𝑥 Ԧ 𝑒

+ 𝑑𝑦 Ԧ 𝑒

Kunnen we daar een zinvol getal (en een eenheid) op plakken?

1. Enkel afhankelijk van het hoogteverschil

2. Min-teken dus naar een hogere positie brengen kost ons arbeid, spontaan is naar beneden dus dan levert het systeem arbeid

Onafhankelijk van de gekozen baan, enkel afhankelijk van de eindposities het is zinvol potentiële energie in te voeren en te gebruiken.

𝑊 = න

𝐴 𝐵

𝐹 ⋅ 𝑑𝑟 = න Ԧ

𝐴 𝐵

𝑚𝑔 − Ԧ 𝑒

⋅ (𝑑𝑥 Ԧ 𝑒

+ 𝑑𝑦 Ԧ 𝑒

)

2.1.1 Potentiële energie

𝑊 = −𝑚𝑔 න

𝐴 𝐵

𝑑𝑦 = −𝑚𝑔ℎ

Kunnen we daar een zinvol getal (en een eenheid) op plakken?

Het voordeel van te werken met potentiële energie (kracht is gekend op elke plaats)

29

Energie en vermogen

𝐹 = −𝛻𝑈 Ԧ𝑟 = − Ԧ ^𝜕𝑈

𝜕𝑥 𝑒 Ԧ _𝑥 − ^𝜕𝑈

𝜕𝑦 𝑒 Ԧ _𝑦 − ^𝜕𝑈

𝜕𝑧 𝑒 Ԧ _𝑧

𝑈 = 𝑚𝑔ℎ

2.1.1 Potentiële energie

𝑈 = 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑔𝑦

𝐹 = −𝛻𝑈 = −𝑚𝑔𝛻𝑦 = −𝑚𝑔 Ԧ Ԧ 𝑒 _𝑦

Met ons voorbeeld van de zwaartekracht:

Elektrische kracht is ook conservatief

Delen door de lading 𝒒

Potentiaalverschil/ Spanningsverschil

𝐹 = 𝑞𝐸 Ԧ

𝑈

− 𝑈

= − න

𝐵 𝐴

𝑞𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝑟

𝑉

− 𝑉

= − න

𝐵 𝐴

𝐸 ⋅ 𝑑 Ԧ𝑟

𝑊 = 𝑈

− 𝑈

= න

𝐴 𝐵

𝐹 ⋅ 𝑑 Ԧ𝑟 Ԧ

𝑈 = 𝑞𝑉

+50m

+0m

-20m

2.3 Oefeningen

Energie en vermogen 31

2. Bereken de potentiële energie van een voorwerp van 5kg bovenop een

gebouw van 50m. Neem als referentie voor de potentiële energie a) de grond, b) halverwege het gebouw (25m) c) in een put van 20m diep. Bereken de

eindsnelheid van dit voorwerp op de bodem de put van 20m, als het voorwerp van het gebouw valt (beginsnelheid nul).

2

h

2. Bereken de potentiële energie van een voorwerp van 5kg bovenop een

gebouw van 50m. Neem als referentie voor de potentiële energie a) de grond, b) halverwege het gebouw (25m) c) in een put van 20m diep. Bereken de

eindsnelheid van dit voorwerp op de bodem de put van 20m, als het voorwerp van het gebouw valt (beginsnelheid nul).

+50m

+0m

-20m

𝑈 = 𝑚𝑔Δ𝑦

= 𝑚𝑔ℎ

= 5 kg × 9,81 m/s2 × 50 m

= 2453 J

= 2,453 kJ a)

𝑈 = 𝑚𝑔Δ𝑦

= 𝑚𝑔 ℎ/2

= 1,226 kJ b)

h/2

h + 20m

33

Energie en vermogen

2. Bereken de potentiële energie van een voorwerp van 5kg bovenop een

gebouw van 50m. Neem als referentie voor de potentiële energie a) de grond, b) halverwege het gebouw (25m) c) in een put van 20m diep. Bereken de

eindsnelheid van dit voorwerp op de bodem de put van 20m, als het voorwerp van het gebouw valt (beginsnelheid nul).

+50m

+0m

-20m

𝑈 = 𝑚𝑔Δ𝑦

= 𝑚𝑔(ℎ + 20 m)

= 5 kg × 9,81 m/s2 × 70 m

= 3,434 kJ c)

𝑚𝑔 ℎ + 20𝑚 = 1

2𝑚𝑣²

𝑣 = 2𝑚𝑔(ℎ + 20 m) 𝑚

= 37,06𝑚 𝑠

= 2 ⋅ 9,81 ^𝑚

𝑠² ⋅ 70 m

2

3. Veronderstel hetzelfde bolvormig voorwerp (straal r=0.5m) als in de vorige vraag (5kg op een hoogte van 50m) dat valt tot op de grond. Maar nu houden we ook

rekening met het feit dat het voorwerp naast de gravitatie ook een kracht evenredig met zijn snelheid als gevolg van de wrijving met het omringende gas:

𝐹_𝑑 = −6πμ𝑟 Ԧ𝑣 ondervindt. Veronderstel μ = 18 × 10^{−6 𝑁.𝑠}

𝑚² de dynamische viscositeit van lucht.

Bereken de totale energie die omgezet wordt in warmte door deze val.

h +50m

+0m

Min de arbeid die geleverd wordt door de wrijving

Afhankelijk van v en dus van x!!!

35

Energie en vermogen

3. Veronderstel hetzelfde bolvormig voorwerp (straal r=0.5m) als in de vorige vraag (5kg op een hoogte van 50m) dat valt tot op de grond. Maar nu houden we ook

rekening met het feit dat het voorwerp naast de gravitatie ook een kracht evenredig met zijn snelheid als gevolg van de wrijving met het omringende gas:

𝐹_𝑑 = −6πμ𝑟 Ԧ𝑣 ondervindt. Veronderstel μ = 18 × 10^{−6 𝑁.𝑠}

𝑚² de dynamische viscositeit van lucht.

Bereken de totale energie die omgezet wordt in warmte door deze val.

𝐹

= −6πμ𝑟 Ԧ 𝑣

𝐹 = 𝑚 Ԧ Ԧ 𝑔

3

𝑊 = ∫ Ԧ 𝐹

⋅ 𝑑𝑥

x=+50m

x=+0m

h

x

37

Energie en vermogen

3. Veronderstel hetzelfde bolvormig voorwerp (straal r=0.5m) als in de vorige vraag (5kg op een hoogte van 50m) dat valt tot op de grond. Maar nu houden we ook

rekening met het feit dat het voorwerp naast de gravitatie ook een kracht evenredig met zijn snelheid als gevolg van de wrijving met het omringende gas:

𝐹_𝑑 = −6πμ𝑟 Ԧ𝑣 ondervindt. Veronderstel μ = 18 × 10^{−6 𝑁.𝑠}

𝑚² de dynamische viscositeit van lucht.

Bereken de totale energie die omgezet wordt in warmte door deze val.

3

𝑚 𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑚𝑔 − 6𝜋𝜇𝑟𝑣 𝑑𝑣

𝑔 − 𝜇6𝜋𝑟

𝑚 𝑣

= 𝑑𝑡

Snelheid in functie van de tijd

Van de vorm:

Snelheid in functie van de tijd

Van de vorm:

39

Energie en vermogen

3

Plaats in functie van de tijd (x=50m)

Benaderen !!!

Plaats in functie van de tijd (x=50m)

Kan ook makkelijker onmiddellijk benaderen

Invloed van de viscositeit verwaarloosbaar

41

Energie en vermogen

3

Redenering in oef 3 volledig bepaald door

Veronderstel dat een loden bolletje (straal 1mm) valt in een kolom honing van 1m?

-0,46mJ

43

Energie en vermogen

3

4. Bereken de bindingsenergie tussen een proton en een elektron in een

waterstofatoom als de afstand gelijk is aan 5,2917721092 17 × 10⁻¹¹m op een klassieke manier.

Energie en vermogen 45

4. Bereken de bindingsenergie tussen een proton en een elektron in een

waterstofatoom als de afstand gelijk is aan 5,2917721092 17 × 10⁻¹¹𝑚 op een klassieke manier.

𝑈 𝑟 = 𝑞

. 𝑞

4𝜋𝜖

𝑟

𝑒 = elementaire lading=q

𝑞 = 1,6022 . 10

𝐶

𝜖

= permittiviteit van het vacuüm (elektrische veldconstante)

𝜖

= 8,8544 . 10

𝐶

𝑁𝑚

𝑞

. 𝑞

4𝜋𝜖

𝑟 = −4,36 . 10

J

F F

47

Energie en vermogen

5. Hoeveel potentiële energie bezitten 3 ladingen (+q,-2q,+q) als deze op een lijn vast zitten met onderlinge afstand 𝑑?

-2q +q

+q

d d

5

5. Hoeveel potentiële energie bezitten 3 ladingen (+q,-2q,+q) als deze op een lijn vast zitten met onderlinge afstand 𝑑?

-2q +q

+q

d d

𝑈 = 𝑞 −2𝑞

4𝜋𝜖

𝑑 + 𝑞 𝑞

4𝜋𝜖

2𝑑 + 𝑞 −2𝑞

4𝜋𝜖

𝑑 = −7𝑞

4𝜋𝜖

2𝑑

Energie en vermogen 49

20. Het Dinorwig Power Station in het noorden van Wales verbindt het meer LLyn Peris met een hoger gelegen gecreëerd reservoir door een dam (Marchlyn Mawr Reservoir). Het hoogteverschil van beide wateroppervlakken is 535 m en het volume van het hoger gelegen reservoir is 9,2 × 10⁶ 𝑚³. Bereken het potentiële energieverschil voor dit volume water geïnduceerd door dit hoogteverschil. Er zijn zes turbines aanwezig met een vermogen van elk 288MW. Wat is het debiet nodig om deze installatie op maximum vermogen te laten werken? Op Wikipedia kan u vinden dat de opslagcapaciteit ongeveer 9,1 GWh is, welke fractie van het reservoir is er dan gevuld? Veronderstel dat elektriciteit kan gegenereerd worden met een efficiëntie van 87%, u hoeft geen rekening te houden met het hoogteverschil geïntroduceerd door fractionele vulling van het reservoir.

51

Energie en vermogen

20

h = 535m +635m

+100m

Δ𝑚𝑔ℎ = Δ𝑈

Δ𝑚 is de totale massa aan water.

Hou rekening met efficiëntie 𝜂.

𝜂Δ𝑚𝑔ℎ = Δ𝑊

Beide delen door de tijd Δ𝑡 𝜂 Δ𝑚

Δ𝑡 𝑔ℎ = Δ𝑊

Δ𝑡 Totale vermogen 𝜂 Δ𝑚

Δ𝑡 𝑔ℎ = 6 × 288 𝑀𝑊 Met ^Δ𝑚

Δ𝑡 = 𝜌^Δ𝑉

Δ𝑡

Δ𝑉

Δ𝑡 = 6 × 288 𝑀𝑊

𝜂𝜌𝑔ℎ = 6 × 288𝑀𝑊

0,87 × 1000 𝑘𝑔

𝑚³ × 9,81 𝑚

𝑠² × 535𝑚

≈ 380𝑚³ 𝑠

h = 535m +635m

+100m

𝜂Δ𝑉𝜌𝑔ℎ = Δ𝑊 Δ𝑊 = 𝜂𝜌𝑔ℎΔ𝑉

Δ𝑉 = Δ𝑊

𝜂𝜌𝑔ℎ = 9,1 × 10⁹ 𝑊ℎ 3600 𝑠 ℎ 0,87 × 1000 𝑘𝑔

𝑚³ × 9,81 𝑚

𝑠² × 535𝑚

≈ 7,1 × 10⁶ 𝑚³

7,1 × 10⁶ 𝑚³

9,2 × 10⁶ 𝑚³ = 77%