Cover Page
The handle http://hdl.handle.net/1887/67539 holds various files of this Leiden University
dissertation.
Author: Pagano, C.
Samenvatting
These results extend the only previously known case, which is c = 1, where there is only the ordinary class group. This was due E. Fouvry and J. Kl¨uners.
Next, we extend the Cohen–Lenstra and the Gerth heuristics from class groups to general ray class groups. The Cohen–Lenstra heuristic is a probabilistic model designed by H. Cohen and H. Lenstra, which predicts conjecturally the exact asymptotic outcome of most statistical questions about theZ[12]-module Cl(K)⊗Z
Z[1
2] as K varies among imaginary quadratic number fields. Later F. Gerth
for-mulated a heuristic about Cl(K)[2∞]. We formulate a more general probabilistic model aimed at predicting the exact asymptotic outcome of most statistical ques-tions about ray class groups, viewed as exact sequences of Galois modules. This statistical model agrees with our result on 4-ranks, yielding a heuristic interpre-tation of the equidistribution of the above mentioned cohomological obstructions. Moreover, our model explains the precise constants given by a theorem of I. Varma about the average 3-torsion of ray class groups. With this statistical model for ray class groups, both our results on 4-ranks and Varma’s result on the 3-torsion obtain a precise heuristical explanation and are placed within a broad conjectural framework.
Chapter 3 is about the arithmetic of local fields and it mostly focuses on the sub-class of p-adic fields for some prime number p. If p is a prime number, a p-adic field is a finite field extension K/Qp. The multiplicative group K∗carries a natural filtration
K∗⊇ O∗
K⊇ 1 + mK⊇ ... ⊇ 1 + miK⊇ ...,
where OK denotes the ring of integers of K and mK is its unique maximal ideal. One can show that the sequence
1 + mK⊇ ... ⊇ 1 + mi K⊇ ...
is a filtration of Zp-modules. In this work I give a parametrization of the set of sequences ofZp-modules
M1⊇ ... ⊇ Mi⊇ ...
that are isomorphic to 1 + mK⊇ ... ⊇ 1 + mi
K⊇ ... for some local field K. This means that there exists an isomorphism ofZp-modules
ϕ : 1 + mK→ M1
such that ϕ(1 + mi
K) = Mi. In case such a K exists, we say that the sequence M1 ⊇ ... ⊇ Mi ⊇ ... is admissible. I parametrize admissible sequences in terms of
certain combinatorial objects called jump sets. One of the main theorems in this study is the remarkable property that this parametrization is weight preserving, in the following sense. It turns out that there is a natural way to attach to each jump set a weight. One can give the weight of a jump set also a natural interpretation in terms of the Haar measure. On the other hand, Serre introduced a natural probability measure on the set of totally ramified extensions of given degree of a given local field. In this chapter I show that the total mass of the set of local fields whose filtration of subgroups is isomorphic to a given admissible sequence equals the combinatorial weight of the corresponding jump set. Finally I use my identification between the set of jump sets and the set of admissible sequences to give a simpler and more conceptual proof of a classification, due to H. Miki, of the possible sets of upper jumps of a cyclic totally ramified p-power degree extension of a fixed p-adic field K.
Samenvatting
Dit proefschrift bestaat uit drie hoofdstukken, waarbij ieder hoofdstuk een ander onderwerp behandelt. De hoofdstukken hebben echter gemeen dat zij problemen aanpakken die zich voordoen bij het tellen van aritmetisch interessante objecten.
Hoofdstuk 1 is een artikel dat geschreven is samen met Peter Koymans over eenheidsvergelijkingen in positieve karakteristiek. In dit artikel bewijzen wij de eerste bovengrens voor het aantal “oplossingen” van de eenheidsvergelijking die uniform is in de karakteristiek. Hiermee bewijzen wij een vermoeden van F. Voloch. Zij p een priemgetal, r een positief geheel getal, K een lichaam met char(K) = p en Γ ⊆ K∗× K∗ een eindig voortgebrachte ondergroep van rang r. Dan is de eenheidsvergelijking de vergelijking
x + y = 1,
met (x, y)∈ Γ \ Γp. Zij S(Γ) de verzameling oplossingen voor de eenheidsvergelij-king voor Γ. Dan zegt onze hoofdstelling dat
#S(Γ)≤ 31 · 19r.
Hoofdstuk 2 is een artikel dat geschreven is samen met Efthymios Sofos omtrent statistische eigenschappen van straalklassengroepen met een gegeven gehele con-ductor. Zij c een positief geheel getal en K een eindige uitbreiding vanQ. Dan is de straalklassengroep van conductor c van K de groep
Cl(K, c) := I(K, c) Pr(K, c),
waar I(K, c) de ondergroep van IK:={gebroken idealen in K} is die wordt voort-gebracht door idealen van OK die copriem zijn met c, en Pr(K, c) de ondergroep van IK is die wordt voortgebracht door hoofdidealen (α) met α∈ OK− {0} en α congruent met 1 modulo c. Als we K laten lopen over de imaginair-kwadratische getallenlichamen met discriminant copriem met c en congruent met 1 modulo 4, bepalen wij het asymptotische gedrag van de natuurlijke afbeelding
(2Cl(K, c))[2]→ (2Cl(K))[2]. Als gevolg hiervan vinden wij de gezamenlijke verdeling van
(#(2Cl(K, c))[2], #(2Cl(K))[2]).
Samenvatting
Dit proefschrift bestaat uit drie hoofdstukken, waarbij ieder hoofdstuk een ander onderwerp behandelt. De hoofdstukken hebben echter gemeen dat zij problemen aanpakken die zich voordoen bij het tellen van aritmetisch interessante objecten.
Hoofdstuk 1 is een artikel dat geschreven is samen met Peter Koymans over eenheidsvergelijkingen in positieve karakteristiek. In dit artikel bewijzen wij de eerste bovengrens voor het aantal “oplossingen” van de eenheidsvergelijking die uniform is in de karakteristiek. Hiermee bewijzen wij een vermoeden van F. Voloch. Zij p een priemgetal, r een positief geheel getal, K een lichaam met char(K) = p en Γ ⊆ K∗× K∗ een eindig voortgebrachte ondergroep van rang r. Dan is de eenheidsvergelijking de vergelijking
x + y = 1,
met (x, y)∈ Γ \ Γp. Zij S(Γ) de verzameling oplossingen voor de eenheidsvergelij-king voor Γ. Dan zegt onze hoofdstelling dat
#S(Γ)≤ 31 · 19r.
Hoofdstuk 2 is een artikel dat geschreven is samen met Efthymios Sofos omtrent statistische eigenschappen van straalklassengroepen met een gegeven gehele con-ductor. Zij c een positief geheel getal en K een eindige uitbreiding vanQ. Dan is de straalklassengroep van conductor c van K de groep
Cl(K, c) := I(K, c) Pr(K, c),
waar I(K, c) de ondergroep van IK:={gebroken idealen in K} is die wordt voort-gebracht door idealen van OK die copriem zijn met c, en Pr(K, c) de ondergroep van IK is die wordt voortgebracht door hoofdidealen (α) met α∈ OK− {0} en α congruent met 1 modulo c. Als we K laten lopen over de imaginair-kwadratische getallenlichamen met discriminant copriem met c en congruent met 1 modulo 4, bepalen wij het asymptotische gedrag van de natuurlijke afbeelding
(2Cl(K, c))[2]→ (2Cl(K))[2]. Als gevolg hiervan vinden wij de gezamenlijke verdeling van
(#(2Cl(K, c))[2], #(2Cl(K))[2]).
Hoewel er een surjectieve natuurlijke afbeelding 2Cl(K, c) 2Cl(K) is, bestaat er een cohomologische obstructie voor de surjectiviteit van de ge¨ınduceerde afbeel-ding (2Cl(K, c))[2]→ (2Cl(K))[2]. In een verfijnde versie van onze hoofdstelling
122
samenvatting
bewijzen we de gelijkverdeling van deze obstructie in de volledige obstructiegroep (gezien als een kansruimte onder de telmaat).
Deze resultaten generaliseren het enige eerder bekende geval c = 1, dat bewezen was door E. Fouvry and J. Kl¨uners.
Vervolgens breiden wij de heuristieken van Cohen–Lenstra en Gerth uit van klassengroepen naar algemene straalklassengroepen. De Cohen–Lenstra-heuristiek is een onbewezen probabilistisch model van H. Cohen en H. Lenstra dat voorspelt wat de exacte asymptotische uitkomst is van de meeste statistische vragen over hetZ[1
2]-moduul Cl(K)⊗ZZ[ 1
2] als K loopt over alle imaginair-kwadratische
getal-lenlichamen. Nadien formuleerde F. Gerth een heuristiek voor Cl(K)[2∞]. Wij formuleren een algemener probabilistisch model gericht op het voorspellen van de exacte asymptotische uitkomst van de meeste statistische vragen over straal-klassengroepen, gezien als exacte rijen van Galois-modulen. Dit statistische model komt overeen met ons resultaat voor 4-rangen, hetgeen een heuristische inter-pretatie van de gelijkverdeling van de bovengenoemde cohomologische obstruc-ties oplevert. Bovendien verklaart ons model de precieze constanten die worden verkregen uit een stelling van I. Varma over de gemiddelde 3-torsie van straal-klassengroepen. Met dit statistische model voor straalklassengroepen verkrijgen onze resultaten over de 4-rangen en Varma’s resultaat over de 3-torsie een precieze heuristische verklaring en worden zij tevens geplaatst binnen een breed kader.
Hoofdstuk 3 betreft de aritmetiek van lokale lichamen, en richt zich voor-namelijk op de deelklasse van p-adische lichamen, waar p een priemgetal is. Zij p een priemgetal. Dan is een p-adisch lichaam een eindige lichaamsuitbreiding K vanQp. De multiplicatieve groep K∗van K heeft een natuurlijke filtratie
K∗⊇ O∗
K⊇ 1 + mK⊇ ... ⊇ 1 + miK⊇ ...,
waar OK de ring van gehelen is van K en mKhet unieke maximale ideaal van OK is. De rij
1 + mK⊇ ... ⊇ 1 + mi K⊇ ...
is een filtratie vanZp-modulen. In dit hoofdstuk geef ik een parametrisering van de verzameling van rijen vanZp-modulen
M1⊇ ... ⊇ Mi⊇ ...
die isomorf zijn met 1 + mK ⊇ ... ⊇ 1 + mi
K ⊇ ... voor een zeker lokaal lichaam K. Dit betekent dat er een isomorfisme
ϕ : 1 + mK→ M1
vanZp-modulen met ϕ(1 + mi
K) = Mi bestaat. In het geval dat zo’n K bestaat, zeggen we dat de rij M1⊇ ... ⊇ Mi⊇ ... toelaatbaar is. Ik parametriseer
toelaat-bare rijen in termen van zekere combinatorische objecten genaamd sprongverza-melingen. Een van de hoofdstellingen in dit proefschrift is de opmerkelijke eigen-schap dat deze parametrisatie gewichtbehoudend is. Er blijkt namelijk een natuurlij-ke combinatorische manier te zijn om aan iedere sprongverzameling een gewicht toe te kennen. Deze toekenning heeft een natuurlijke interpretatie in termen van de Haar-maat. Anderzijds introduceerde Serre een natuurlijke kansmaat op de verza-meling van volledig vertakte uitbreidingen van gegeven graad over een gegeven
lokaal lichaam. In dit hoofdstuk laat ik zien dat het totale gewicht van de verza-meling van lokale lichamen waarvoor de filtratie van ondergroepen isomorf is met een gegeven toelaatbare rij, gelijk is aan het combinatorische gewicht van de bij-behorende sprongverzameling. Tot slot gebruik ik mijn identificatie tussen de verzameling van sprongverzamelingen en de verzameling van toelaatbare rijen om een eenvoudiger en conceptueler bewijs te geven van een classificatie van H. Miki van de mogelijke verzamelingen van bovenste sprongen van een cyclische totaal vertakte uitbreiding van p-macht graad over een gegeven p-adisch lichaam K.
bewijzen we de gelijkverdeling van deze obstructie in de volledige obstructiegroep (gezien als een kansruimte onder de telmaat).
Deze resultaten generaliseren het enige eerder bekende geval c = 1, dat bewezen was door E. Fouvry and J. Kl¨uners.
Vervolgens breiden wij de heuristieken van Cohen–Lenstra en Gerth uit van klassengroepen naar algemene straalklassengroepen. De Cohen–Lenstra-heuristiek is een onbewezen probabilistisch model van H. Cohen en H. Lenstra dat voorspelt wat de exacte asymptotische uitkomst is van de meeste statistische vragen over hetZ[1
2]-moduul Cl(K)⊗ZZ[ 1
2] als K loopt over alle imaginair-kwadratische
getal-lenlichamen. Nadien formuleerde F. Gerth een heuristiek voor Cl(K)[2∞]. Wij formuleren een algemener probabilistisch model gericht op het voorspellen van de exacte asymptotische uitkomst van de meeste statistische vragen over straal-klassengroepen, gezien als exacte rijen van Galois-modulen. Dit statistische model komt overeen met ons resultaat voor 4-rangen, hetgeen een heuristische inter-pretatie van de gelijkverdeling van de bovengenoemde cohomologische obstruc-ties oplevert. Bovendien verklaart ons model de precieze constanten die worden verkregen uit een stelling van I. Varma over de gemiddelde 3-torsie van straal-klassengroepen. Met dit statistische model voor straalklassengroepen verkrijgen onze resultaten over de 4-rangen en Varma’s resultaat over de 3-torsie een precieze heuristische verklaring en worden zij tevens geplaatst binnen een breed kader.
Hoofdstuk 3 betreft de aritmetiek van lokale lichamen, en richt zich voor-namelijk op de deelklasse van p-adische lichamen, waar p een priemgetal is. Zij p een priemgetal. Dan is een p-adisch lichaam een eindige lichaamsuitbreiding K vanQp. De multiplicatieve groep K∗van K heeft een natuurlijke filtratie
K∗⊇ O∗
K⊇ 1 + mK⊇ ... ⊇ 1 + miK⊇ ...,
waar OKde ring van gehelen is van K en mKhet unieke maximale ideaal van OK is. De rij
1 + mK⊇ ... ⊇ 1 + mi K⊇ ...
is een filtratie vanZp-modulen. In dit hoofdstuk geef ik een parametrisering van de verzameling van rijen vanZp-modulen
M1⊇ ... ⊇ Mi⊇ ...
die isomorf zijn met 1 + mK ⊇ ... ⊇ 1 + mi
K ⊇ ... voor een zeker lokaal lichaam K. Dit betekent dat er een isomorfisme
ϕ : 1 + mK→ M1
vanZp-modulen met ϕ(1 + mi
K) = Mi bestaat. In het geval dat zo’n K bestaat, zeggen we dat de rij M1⊇ ... ⊇ Mi⊇ ... toelaatbaar is. Ik parametriseer
toelaat-bare rijen in termen van zekere combinatorische objecten genaamd sprongverza-melingen. Een van de hoofdstellingen in dit proefschrift is de opmerkelijke eigen-schap dat deze parametrisatie gewichtbehoudend is. Er blijkt namelijk een natuurlij-ke combinatorische manier te zijn om aan iedere sprongverzameling een gewicht toe te kennen. Deze toekenning heeft een natuurlijke interpretatie in termen van de Haar-maat. Anderzijds introduceerde Serre een natuurlijke kansmaat op de verza-meling van volledig vertakte uitbreidingen van gegeven graad over een gegeven
123
lokaal lichaam. In dit hoofdstuk laat ik zien dat het totale gewicht van de verza-meling van lokale lichamen waarvoor de filtratie van ondergroepen isomorf is met een gegeven toelaatbare rij, gelijk is aan het combinatorische gewicht van de bij-behorende sprongverzameling. Tot slot gebruik ik mijn identificatie tussen de verzameling van sprongverzamelingen en de verzameling van toelaatbare rijen om een eenvoudiger en conceptueler bewijs te geven van een classificatie van H. Miki van de mogelijke verzamelingen van bovenste sprongen van een cyclische totaal vertakte uitbreiding van p-macht graad over een gegeven p-adisch lichaam K.
124
samenvatting
