Vector-en matrixvergelijkingen
(a)Parallellogramconstructie (b)Kop aan staartmethode Figuur:Vectoren, optellen
(a)Kop aan staartmethode, optellen
(b)Kop aan staart methode, aftrekken
Figuur:Het optellen en aftrekken van vectoren
Voorbeeld
Het stelsel vergelijkingen:
x1+ 5x2+ 3x3= 1 2x1+ x2+ 15x3= 8
−x1+ x2+ 3x3= 1 kan ook geschreven worden als:
x1 a1
z }| {
1 2
−1
+ x2 a2
z }| {
5 1 1
+ x3 a3
z }| {
3 15 3
=
b
z }| {
1 8 1
Vraag: zijn er co¨effici¨enten x1= s1, x2= s2en x3= s3van a1, a2 en a3 te vinden zodat s1a1 + s2a2 + s3a3 precies b oplevert?
We hebben gezien dat (s1, s2, s3) = (13, −16,12) voldoet.
1 3a1−1
6a2+1 2a3=
1 3
1 2
−1
−1 6
5 1 1
+1 2
3 15 3
=
1 3 2 3
−13
−
5 6 1 6 1 6
+
3 2 15 2 3 2
=
1
3−56+32
2
3−16+152
−13−16+32
=
1 8 1
Hierbij hebben wij gebruik gemaakt van de vermenigvuldiging van een vector uit R3met een scalar (getal) en de som van vectoren uit R3 zoals in de video.
Definitie
De vergelijking x1a1 + x2a2 + x3a3 = b wordt vectorvergelijking genoemd.
We zeggen dat b geschreven kan worden als een lineaire combinatie van de vectoren a1, a2en a3.
Opgaven
§1.3, Opgave 9
Schrijf het stelsel vergelijkingen:
x2+ 5x3= 0 4x1+ 6x2− x3= 0
−x1+ 3x2− 8x3= 0 als vectorvergelijking.
§1.3, Opgave 11
Onderzoek of b =
2
−1 6
geschreven kan worden als lineaire
combinatie van a1 =
1
−2 0
, a2 =
0 1 2
en a3 =
5
−6 8
.
Vectoren in R
nNotatie
De verzameling van alle geordende n-tallen re¨ele getallen wordt aangeduid met Rn .
Als u ∈ Rn dan u = [u1, u2, . . . , un] of
u =
u1 u2
... un
u1, u2, · · · , unheten de kentallen of componenten van u.
Opmerking
Voor n = 1, 2 en 3 heeft Rneen meetkundige interpretatie.
Definitie
Als u, v ∈ Rn en u = [u1, u2, . . . , un], v = [v1, v2, . . . , vn] dan wordt de som van u en v gedefinieerd door:
[u1 + v1, u2 + v2, . . . , un + vn]
Notatie
u + v
Definitie
Als u ∈ Rn en c ∈ R is een scalar dan wordt de scalaire vermenigvuldiging van u met c gedefinieerd door:
[c u1, c u2, . . . , c un].
Notatie
c u
Eigenschappen
Laten u, v en w vectoren zijn en c, d scalairen.
Dan geldt:
a. u + v = v + u (Commutatieve eigenschap) b. (u + v) + w = u + (v + w)
(Associatieve eigenschap) c. u + 0 = u
d. u + (−u) = 0
e. c (u + v) = c u + c v (Distributieve eigenschap) f. (c + d ) u = c u + d u (Distributieve eigenschap) g. c(d u) = (c d ) u
h. 1 u = u
Definitie
Een vector v heet een lineaire combinatie van de vectoren v1, v2, . . . , vnals er scalairen c1, c2, · · · , cn bestaan zodat:
v = c1v1 + c2v2 + · · · + cnvn
c1, c2, · · · , cnheten de co¨effici¨enten van de lineaire combinatie.
Definitie
Als a1, a2, . . . , an, b ∈ Rm dan heet de vergelijking:
x1a1 + x2a2 + · · · + xnan = b een vectorvergelijking in de onbekenden x1, x2, . . . , xn.
We kunnen onderzoeken of de vectorvergelijking:
x1a1 + x2a2 + · · · + xnan = b
een oplossing heeft door te onderzoeken of het equivalente stelsel vergelijkingen met als aangevulde matrix:
[ a1 a2 . . . an| b]
oplossingen heeft.
§1.3, Opgave 11
Onderzoek of b =
2
−1 6
geschreven kan worden als lineaire
combinatie van a1 =
1
−2 0
, a2 =
0 1 2
en a3 =
5
−6 8
.
x1a1+ x2a2+ x3a3= b ⇐⇒
x1
1
−2 0
+ x2
0 1 2
+ x3
5
−6 8
=
2
−1 6
x1
1
−2 0
+ x2
0 1 2
+ x3
5
−6 8
=
2
−1 6
⇐⇒
x1 + 5x3= 2
−2x1+ x2− 6x3= −1 2x2+ 8x3= 6
1 0 5 2
−2 1 −6 −1
0 2 8 6
∼
1 0 5 2 0 1 4 3 0 2 8 6
∼
1 0 5 2 0 1 4 3 0 0 0 0
(x1, x2, x3) = (2 − 5t, 3 − 4t, t) (t ∈ R)
Definitie
Als a1, a2, . . . , an, b ∈ Rm dan heet de vectorvergelijking:
x1a1 + x2a2 + · · · + xnan = b consistent als het minstens ´e´en oplossing heeft.
Stelling
De vectorvergelijking x1a1 + x2a2 + · · · + xnan = b is consistent alleen maar als:
b geschreven kan worden als lineaire combinatie van a1, a2, . . . , an
het stelsel vergelijkingen met aangevulde matrix:
[ a1a2. . . an| b] consistent is.
Definitie
Als a1, a2, . . . , an∈ Rm dan heet de verzameling van alle lineaire combinaties van deze vectoren het opspansel van a1, a2, . . . , an
Notatie
Span {a1, a2, . . . , an}
Voorbeeld
Als u, v ∈ R3\{0} wat is dan een meetkundige interpretatie van Span {u, v}?
En van Span {u}?
Stelling
De vectorvergelijking x1a1 + x2a2 + · · · + xnan = b is consistent alleen maar als b ∈ Span {a1, a2, . . . , an}
Conclusie
Het oplossen van een stelsels vergelijkingen en vectorvergelijkingen komt in essentie op hetzelfde neer.
Matrixvergelijkingen
Definitie
Als a1, a2, . . . , an∈ Rm en x ∈ Rn, x =
x1
x2
... xn
dan heet
x1a1 + x2a2 + . . . + xnan het product van de vector x en de matrix A = [ a1a2. . . an].
Notatie
Ax = x1a1 + x2a2 + . . . + xnan.
A is een matrix met m rijen en n kolommen, een m × n-matrix.
Voorbeeld
Als A =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
, en x =
x1 x2
x3 x4
dan
Ax = x1
1 5 9
+ x2
2 6 10
+ x3
3 7 11
+ x4
4 8 12
=
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4
5x1 + 6x2 + 7x3 + 8x4 9x1 + 10x2 + 11x3 + 12x4
Voorbeeld
Als A =
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
, en x =
x1 x2
x3 x4
dan
Ax = x1
1 5 9
+ x2
2 6 10
+ x3
3 7 11
+ x4
4 8 12
=
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 5x1 + 6x2 + 7x3 + 8x4
9x1 + 10x2 + 11x3 + 12x4
Opmerkingen
Het product van een vector x en een matrix A is alleen gedefinieerd als het aantal kolommen van A gelijk is aan het aantal kentallen van x.
Als Ax bestaat dan is het aantal kentallen van deze vector gelijk aan het aantal rijen van A.
Voorbeeld
Als A =
1 5 3
2 1 15
−1 1 3
, b =
1 8 1
en x =
x1 x2
x3
dan
1 5 3
2 1 15
−1 1 3
x =
1 8 1
matrixvergelijking
z }| { (Ax = b) ⇔
x1
1 2
−1
+ x2
5 1 1
+ x3
3 15 3
=
1 8 1
vectorvergelijking
z }| {
(x a + x a + x a = b)
x1
1 2
−1
+ x2
5 1 1
+ x3
3 15 3
=
1 8 1
vectorvergelijking
z }| {
(x1a1 = x2a2 + x3a3 = b) ⇔ x1+ 5x2+ 3x3= 1
2x1+ x2+ 15x3= 8
−x1+ x2+ 3x3= 1
| {z }
stelsel vergelijkingen
Stelling
Als A een m × n matrix is met kolommen a1, a2, . . . , an in Rm en b ∈ Rmdan heeft de matrixvergelijking:
Ax = b dezelfde oplossingen als de matrixvergelijking:
x1a1 + x2a2 + . . . + xnan = b
en die heeft op haar beurt dezelfde oplossingen als het stelsel vergelijkingen met als aangevulde matrix:
[ A | b ] = [ a1 a2 . . . an| b]
Stelling
Als A een m × n matrix zijn. Dan zijn de volgende beweringen allemaal waar of allemaal niet waar.
Voor iedere b ∈ Rmheeft de matrixvergelijking Ax = b minstens
´
e´en oplossing.
Iedere b ∈ Rm is een lineaire combinatie van de kolommen van A.
De kolommen van A spannen Rm op.
A heeft een pivotpositie in elke rij.
