1 • Hieruit volgt b≈3 1 • Invullen van bijvoorbeeld L = 30 en W = 0,12 geeft a= 30

(1)

Mosselen

1 maximumscore 3

• L=²⁹ invullen in de gegeven formule geeft C≈52 1

• De hoeveelheid gefilterd water is (ongeveer) ^{24 52 1248}^⋅ ⁼ ml per dag 1

• Dit is meer dan een liter (dus de bewering stemt overeen met de

gegeven formule) 1

• Als L (onbegrensd) toeneemt, nadert ^{0, 693}^L tot 0 1

• Hieruit volgt dat 1 179 0,693+ ⋅ ^L nadert tot 1 1

• Dit geeft dat C nadert tot 52,7, dus de grafiek heeft een horizontale

asymptoot 1

Vraag Antwoord Scores

(2)

▬ www.havovwo.nl www.examen-cd.nl ▬

• Uit de tabel volgen bijvoorbeeld de vergelijkingen 30a⋅ ^b =0,12 en 70^b 1, 51

a⋅ = 1

• Deze vergelijkingen op elkaar delen, geeft ⁷⁰ ^{1, 51} 30 0,12

  =b

 

 

(of 30 0,12 70 1, 51

  =b

 

  ) 1

• Hieruit volgt ^b^≈³ ¹

• Invullen van bijvoorbeeld L = 30 en W = 0,12 geeft ^0,12₃ ^{4, 4 10} ⁶ a= 30 ≈ ⋅ ⁻ 1 of

• Uit de tabel volgt dat als L verdubbeld wordt (van 30 naar 60), W met een factor 0, 95

0,12 wordt vergroot 2

• Uit 0, 95

2^b =0,12 volgt b≈3 1

• Invullen van bijvoorbeeld L = 30 en W = 0,12 geeft ^0,12₃ ^{4, 4 10} ⁶ 30

a= ≈ ⋅ ⁻ 1

Opmerking

Als met een nauwkeuriger waarde van b is gerekend, kan de waarde van a afwijken.

• 5,5 3,1 log

10⁻ ^{+ ⋅}

= ^L

W 1

• Hieruit volgt ^W ⁼¹⁰⁻^5,5^⋅¹⁰^{3,1 log}^⋅ ^L ¹

• Dus W =10⁻^5,5⋅10^log(^L^3,1⁾ 1

• Dit geeft ^W ⁼¹⁰⁻^5,5^⋅^L^3,1 ¹

of

• logW =log(10⁻^5,5) log(+ L^3,1) 2

• Dus logW =log(10⁻^5,5 ⋅L^3,1) 1

• Dit geeft ^W ⁼¹⁰⁻^5,5^⋅^L^3,1 ¹

Opmerking

Als voor 10⁻^5,5 een benadering is gegeven, hiervoor geen scorepunten aftrekken.

- 2 -

(3)

Functies met een wortel

• Invullen van (27, 108) geeft 27 27+ =a 108 1

• Hieruit volgt 27+ =a 4 1

• Dit geeft ²⁷^{+ =}^a ¹⁶, dus a= −11 2

• Opgelost moet worden x x+18=2x (met x≠0) 1

• Dus x+18=2 1

• Hieruit volgt x+¹⁸=⁴, dus x_P = −14 2

• Dit geeft y_P = −28 1

• Dus OP= (−¹⁴) (²+ −²⁸)² = 980 ( 14 5)= 1

• In het functievoorschrift van f moet x worden vervangen door x – 18 ¹

• Dit geeft ( ) ( 18)g x = x− x 1

• Haakjes wegwerken geeft ^{g x}^{( )}⁼^{x x}⁻¹⁸ ^x ¹

• ¹₂ 9

( ) 1

g ' x x

= − x (of een gelijkwaardige vorm) 2

• Beschrijven hoe de vergelijking ( ) 0g ' x = kan worden opgelost 1

• (Het minimum wordt aangenomen voor) ^x⁼⁶ ¹

(4)

Kruis in cirkel

• ^PS ⁼^MS⁻^MP ¹

• MP=( x²+x² =)x 2(omdat x>0) 1

• MS =¹, dus PS = −1 x 2 1

• Er geldt: 1−x 2 =²₃ (of 1−x 2=2x 2) 1

• Hieruit volgt x 2=¹₃ 1

• Dus x= ¹6 2 (of een gelijkwaardige vorm) 1

of

• Er geldt: MP=¹3 1

• Hieruit volgt x²+x² =¹9 1

• Dus x= ¹6 2 (of een gelijkwaardige vorm) 1

- 4 -

(5)

Een cosinusfunctie

• (sinx⋅cos )x ² =0 leidt tot sinx⋅cosx=0 1

• Hieruit volgt ^sin^x⁼⁰ of cosx=0 1

• Dit geeft de oplossingen ^x⁼⁰, x= en π x=¹₂π 2

• Beschrijven hoe de extreme waarden 0 en 0,25 van f worden gevonden

met de GR 2

• Hieruit volgt ^a⁼^0,125 en b=0,125 2

• Het bepalen van de periode met de GR ¹

• Hieruit volgt ^c⁼⁴ ¹

of

• De x-waarde van een top van de grafiek van f ligt midden tussen de

nulpunten x=0 en x=¹₂π 1

• f(¹4π =) (¹2 2⋅¹2 2)² =¹4 1

• Hieruit volgt a= en ¹₈ b= ¹₈ 2

• Met behulp van de nulpunten ^x⁼⁰ en x=¹₂π volgt dat de periode

gelijk is aan ¹₂π ¹

• Hieruit volgt ₁

2

2 4

c π

= =

π ¹

(6)

Punt op hyperbool

• Oppervlakte ( )∆OAP= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅¹2 b h ¹2 a f a 1

• Het functievoorschrift van f herschrijven tot ^{( )} ⁴ ⁶ 2

= −

− f x x

x ¹

• 4 6 2(2 ² 3 ) 2 ² 3

Oppervlakte

2 2 2( 2) 2

a a a a a a

OAP a a a

− − −

∆ = ⋅ = =

− − − ²

of

• Oppervlakte ( )∆OAP= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅¹₂ b h ¹₂ a f a 1

• Oppervlakte 4² 2

2 2 2

a a

OAP a

a a

 

∆ = ⋅ − + = − + ¹

• Oppervlakte ^{2 (} ²⁾ ² ² ³

2 2 2

a a a a a

OAP a a a

− −

∆ = + =

− − − ²

• Er geldt: [ ] 2 ²

(4 3)( 2) (2 3 ) Oppervlakte

( 2)

a a a a

OAP a

− − − −

∆ ′ =

− ²

• Beschrijven hoe [Oppervlakte∆OAP]′ = opgelost kan worden 0 1

• Hieruit volgt a=³ (a=1 voldoet niet) 1

• a = 3 invullen geeft de minimale oppervlakte 9 ¹

- 6 -

(7)

Scharnierende vierkanten

• Hulplijn AE verdeelt APED in twee gelijke driehoeken AED en AEP ¹

• Ôpp(ÂPED⁾^{= ⋅}^{2 Opp(}^∆ÂED⁾⁼^{AD DE}^⋅ ¹

• ^DE=^{tan 25}° 1

• ^Opp(^APED⁾^{= ⋅}^{1 tan 25}^° en dit is afgerond 0,47 1 16 maximumscore 5

• De cosinusregel in ^∆^ABP: BP² = + − ⋅1 1 2 cos∠BAP 2

• Hieruit volgt cos∠BAP=0,82 1

• Hieruit volgt ^∠^BAP^{≈ °}³⁵ ¹

• Het antwoord: α ^{= °}⁵⁵ 1

of

• ∆ABP is gelijkbenig, dus ∆AMP – met M het midden van BP – is

rechthoekig 1

• sin∠MAP=0, 3 1

• Hieruit volgt ^∠^MAP^≈^{17, 5}^° ¹

• Hieruit volgt ^∠^BAP^{≈ °}³⁵ 1

of

• Met F de loodrechte projectie van P op AB geldt:

=sin

AF α , dus BF= −1 sinα 1

• ^PF ⁼^cosα 1

• De stelling van Pythagoras in ∆^BFP geeft BP² =cos²α+ −(1 sin )α ² 1

• Beschrijven hoe ^cos²α + −^{(1 sin )}α ² =^{0, 6}² kan worden opgelost 1

(8)

Cirkel om vierhoek

• PR is een middellijn van c, het midden van PR is dus het middelpunt

van de cirkel 1

• Voor de coördinaten van het middelpunt M geldt 1 13 2 7 xM = + =

en ^{1 17} 9

M 2

y +

= = 1

• De straal van ^c= ^{(7 1)}− ²+ −^{(9 1)}² =¹⁰ 1

• x=1 invullen in de cirkelvergelijking geeft (y−9) ( 100 36)² = − =64 1

• Hieruit volgt y_S =17 1

• De richtingscoëfficiënt van ^{17 1} ⁴₃ PR 13 1−

= =

− ¹

• Lijn l staat loodrecht op PR, dus er geldt l y: = −³4x b+ 1

• Lijn l gaat door ^S^{(1, 17)}. Hieruit volgt b=17³₄ 1 of

• De y-coördinaat van P is ^{9 1 8}^{− =} minder dan de y-coördinaat van M 1

• Omdat x_S =x_P, geldt wegens symmetrie van de cirkel in de lijn met

vergelijking y= dat 9 y_S = + =9 8 17 1

• De richtingscoëfficiënt van ^{17 1} ⁴₃ PR 13 1−

= =

− ¹

• Lijn l staat loodrecht op PR, dus er geldt l y: = −³4x b+ 1

• Lijn l gaat door ^S^{(1, 17)}. Hieruit volgt b=17³₄ 1

- 8 -

(9)

• Punt Q ligt op lijn l ¹

• y= −³4x+17³4 substitueren in de cirkelvergelijking geeft

2 3 3 2

4 4

(x−7) + −( x+8 ) =100 1

• Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden ¹

• Dit geeft x_Q =16, 36 1

• Q ligt op l, invullen vanx in de vergelijking van l geeft _Q y_Q =5, 48

(dus Q(16, 36; 5, 48)) 1

of

• Punt Q ligt op lijn l ¹

• Punt Q is het beeldpunt van punt S bij spiegeling in PR ¹

• De lijn door PR heeft als vergelijking y= ⁴₃x− ¹₃ 1

• Het snijpunt van l met PR is (8,68; 11,24) ¹

• x_Q =8, 68 (8, 68 1) 16, 36+ − = en y_Q =11, 24 (11, 24 17)+ − =5, 48

(dus Q(16, 36; 5, 48)) 1