Spanningsanalyse van het femur op basis van een balkmodel

(1)

Spanningsanalyse van het femur op basis van een balkmodel

Citation for published version (APA):

Laaper, W. J. M. (1973). Spanningsanalyse van het femur op basis van een balkmodel. (DCT rapporten; Vol. 1973.012). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1973

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

(2)

SPA]ININGSANALYSE VAN HET FilldUR OP BASIS V~I EEN BALKMODEL Wim Laaper

met allerliefste dank aanl

Marje. (henrikje)

Eindhoven, augustus 1973

L~'

(3)

Appendix I : De schuifspanningsverdeling in een doorsnede t.g.v .. een wringend moment ..

Appendix II : De schuifspanJlingsverdeling in een

doorsnede t.g .. v. een dwarskracht ..

Appendix III Progra~~a voor het berekenen van

optredende spanningen in een balkmodel van het femur ..

INHOUD Inleiding. 1. Probleemstelling. 2. De modelvorming.

2.1 ..

Algemeen 2.2. De geometrie 2 ..

3.

De belasting

2.4.

De materiaaleigenschappen

2 .. 5 .. De spanningen en rekken in een balkmodel 2.5 ..1 .. Inleiding

2.5 .. 2 .. Invoergegevens

2 ..

5.3 ..

Sproh~ingen t ..g .. v .. normaalkraeht

2.5.4.

Spanningen t.g .. v .. bi-axiale buiging 2 ..

5.5 ..

Spanningen t .. g .. v .. een wri~gend moment 2 ..

5.6 ..

Spanningen t .. g .. v. dwarskrachten

2.5 .. 7 .. De vergelijkspanning

2.5 .. 8 ..

De hoofdspanningen en hoofdrekken

3.

De spanningen in het bot vfu~ Koch.

4. Uitslag van het T.H .. -bot ..

5. De onderlinge samenhang van de prograTh~a's.

6. Evaluatie Literatuur .. pag .. 1 II ₄ H

₅

II

₅

II

₆

II

₁₀

II

16

If

₁₇

"

17

II

18

II

₁₉

II

20

II

₂₀

l!

22

II

₂₃

n

₂₃

II

26

II

28

II

34

II

37

Il

₃₉

(4)

-1-INLEIDING ..

Door het verkrijgen van inzicht in het mechanisch gedrag van skeletdelen voor onder reele omstandigheden optredende belastingsituaties kan het effekt van ingrepen of

ver-vangingen beter worden nagegaan. Doel hie~ran is het gedrag

onder extreme kondities te kunnen voorspellen en kriteria te k~uuaen opstellen waaraan vervangingsmiddelen uit

mechanisch oogpvnt moeten Yoldoen.

Gekozen is voor een onderzoek op het femur (dijbeenbot) om de volgende redenen:

het femur is een belangrijk dragend element van het lichaam.

---~femu-:J?---:h-s-e-en.-Fede1i jk---i~~~a;t:!-e----un-i..t.... -het femur vormt een relatief eenvoudig gedeelte van het skelet.

klinische behandeling van vaak in het femur optre-dende breuken en andere schade is niet geheel

probleemloo,s.

In figu~r 1a op pagina 1a is aangegeven op welke diverse manieren hat mechanisch gedrag van biomechanische systemen

~~8n worden geanalyseerd@

,« Nadelen van de direkte methoden (la) zijn de beperkte

mogelijkheid tot experimenteren met hu,11aan materiaal en de bijna onoplosbare problemen dieoptreden bij het onder kontrole trachten te houden van faktoren die het experiment beinvloeden. Verder is het de vraag in hoeverre de resultaten van een dergelijk experiment generaliseerbaar zijn.

Een materieel model (1b) kan vaak niet of zeer moeilijk een als voldoende nauwkeurig geaksepteerd beeld van de realiteit

geven. Bovendien is het moeilijk zo niet on~ogelijk

varia-ties van een aantal parameters in dit model aan te brengen. In een mathematisch model (2) kunnen allerlei parameters betrekkelijk eenvoudig gevarieerd worden.

Om o.a. deze redenen is in het onderzoek naar het mechanisch gedrag van het femur besloten een aantal mathematische

modellen te konstrueren~ De resultaten van deze modellen

(sparillingen en vervormingen) worden met elkaar vergeleken en met die van een verifikatie-experiment.

(5)

analyse van het

mechanisoh ge~·

drag van biome,,'" chanische syste-men 1"experimentele t echrd. eken

/

,';

"

1b" indirekt via ean materieel model

1

bv .. rekstrook metingen I ,bv"rotO-:-18:!'3ti.scheL_ _

J

v{~:r.~fi~ati:~ tecbnJ.ek r~ "'~experJ.men\; fig ..1a 2 ..mathematische moo.ellen

,,,/'

,

2a .. analytisch , 2'bonumertek bv·"m.ethoo.e eindi.ge e10-menten ver:i.fikatie-expe::'iment U ....J. ~

(6)

-2-Tot voor kort werd er om o.a. biomechanische problemen op te lossen uitsluitend gebruik gemaakt van de klassieke analytische mechanika.

Een goede bBschrijving alleen op basis van analytische theorieen wordt echter bemoeilijkt door de volgende kom-plikaties: .

- de vaak ingevvikkelde geometrie van skeletdelen. over de belastingssituaties is vaak niet voldoende informatie aanwezig.

het gedrag van het botmateriaal i.e. anisotropie en inh:omogeniteit.

In eerste instantie werd daarom in de modelvormTIng gebruik gemaakt van op de computer afgestemde procedures (met name

de elemen~enmethode} (2b).

-~

I

Door de werkgroep biomechanika zlJn een aantal verschillende modellen op basis van' de elementenmethode ontwikkeld:

1., twee-dimensionaal, vlak, homogeen, isotroop model (lit.1).

2. twee-dimensionaal, vlak, anisotroop model (lit.16). 3~:twee-dimensionaal,variabel dik, homogeen,

isotroop model (lit.2).

Daa~~aast werden er in het kader van het femur-projekt een aantal experimenten uitgevoerd:

1. de niet-destruktieve geometriebepaling van een femur is onderzocht met behulp van rontgen-analyse technieken. (lit.17)

2. de destru~tieve geometriebepaling van een femur is gerealiseerd (lit.13).

3. aan een femur is een reeks rekstrook-metingen verricht (verifikatie-experiment).

Als onderdeel van de modelvorming is er een poging gedaan het mechanisch gedrag van het femur (en met name de schacht) te analyseren met behulp van een balkmodel gebaseerd op

(7)

-3-Voordeel van het balkmodel ten opzichte van twee-dimen-sionale modellen is dat de geometrie beter kan worden beschreven. Bovendien kvnnen er in het balkmodel drie--dimensionale belastingssituaties worden beschouwd.

Een nadeel ten opzichte van een volledig drie-dimensionaal model is dat de gekompliceerde geometrie en inhomogenE en anisotrope eigenschappen van het bot mogelijk nietrvoldoende

nauwkeurig beschreven killL~en worden.

In onderhavige studie zal getracht worden deze poging te verbeteren en af te ronden.

(8)

-4-1. PROBLEEMSTELLING.

De probleemstelling van deze studie wordt als voIgt om-schreven : konstrueer een mathematisch model, gebaseerd,;, op analytischetheorieen, om het mechanisch gedrag van het femur te bescrxijven.

Konfronteer de resultaten van dit z.g. balkmodel met e-nerzijds die van het twee-dimensionale en het semi-drie-dimensionale model, anderzijds met die van het verifika-tie-experiment.

Het perspektief van deze probleemstelling is dat als het balkmodel de realiteit voldoende beschrijft het de

(9)

voor- -5-2. DE MODELVORrilING. 2.1. Algemeen. 2.2. De geometrie. 2.3. De belasting. 2.4. De materiaaleigenschappen.

2.5. De spa~~ingen en rekken in een balkmodel.

2.1. Algemeen.

De paging het mechanisch gedrag van het femur te beschrij-ven d.ro.v. een balkmodel wordt in eerste instantie gerecht-vaardigd door de globale geometrie van het femur en de

optredende belastingssituaties:

De benaderingstheorie veor balken van J.Bernoulli berust op de veronderstelling dat een tweetal eigenschappen van zuivere buiging bij benadering ook toepasbaar zijn op buiging door dwarskrachten, dus met een verlopend buigend moment en ook in het geval van balken met een geleidelijk verlopende doorsnede.

De bedoelde eigenschappen zijn :

1. vlakke doorsnedes, loodrecht op de staafas,

blij-ven bij vervorming vlak en loodrecht op de (ge-bogen) staafas.

2. de relatie tussen de nO~illaalsparillingop de

door-snede en de rek in axiale richting in die van een lijnspanningstoestand.

De benadering van Bernoulli wordt gesteund door het feit

dat de buigspanningen bij niet te korte balken veel

gFo-ter zijn dan aIle andere spanningskomponenten en dat hun effekt goed wordt beschreven door zuivere buiging.

Verder wordt in het te ontwikkelen balkmodel aangenomen dat

1. de spa~ningstoestandent.g.v. zuivere buiging, dwarskrachten, normaalkracht, en wringend moment

(10)

-6-2. het materiaal isotroop, homogeen en lineair elas-tisch is.

In 2.2. wordt nader ingegaan op de beschrijving van de geometrie van het femur •

De belasting komt in 2.3. aan de orde en in 2.4. de ma-teriaaleigenschappen.

In 2.5. wordt tenslotte een balkmodel voor de spa~~ingen

en rekken van het femur ontwikkeld.

2.2. De geometrie.

De geometrie wordt beschreven in een rechthoekig ass en-stelsel X,Y,Z.

In de geometriebeschrijving van Koch loopt de Z-as even-wijdig aan de lengte-as van het femur.

Ret Y-Z vlak is evenwijdig aan het frontale vlak dat door

y

van het femur

Declinatiellock11Ii15° I~.,_, , \ \ \ \ , I I flnclinatiehoek125Ii1270 I I I I I I I / / / VLI\K lL--+~---"~X

de lengte-as van het lichaam loopt. Ret X-Y vlak loopt aan de distale zijde door de condyles (zie fig.1).

z

r

fig.1 De declinatie- en de inclinatiehoek tussen het collum en het corpus van het femur.

De vorm van het bot wordt verder o.m. gekarakteriseerd door twee hoeken :

(11)

-7-declinatiehoek; die de mate van anteversie aangeeft~

inclinatiehoek; die de steilheid van het collum t~o.v.

de schacht aangeeft.

De kro~ning van het femur t~o.v~ YZ-en XZ- vlak maken het moeilijk deze hoeken jUist te definieren.

De geometrie van het bot kan beschreven worden door ko-ordinaten van punten van doorsnedes evenwijdig aan het XY- vlak op te meten (zie fig.2).

Van deze doorsnedes kan men de koordinaten opmeten van

punten op de buiten- en bi~~enkontour.

Va~ twee femura is de geometrie bepaald n.l. :

1. het femur gebaseerd op gegevens ontleend aan pu-blikaties van Koch, verder bot van Koch genoemd. 2. het femur dat op de T.N.E. in araldite is

inge-goten, verder T.H.-bot genoemd.

z.

\

8-f.~--g

J---4~

Y

x

(12)

-8-ad

1-Koch heeft een aantal zaagsnedes aangebracht loodrecht op de staafas van het bot. De staafas wordt gedefinieerd

als de verbindingskrow~e van de zwaartepunten van de

door-snedes. De koordinaten van punten op de buiten-en bim~en

kontour van deze doorsnedes zijn opgemeten uit foto's die Koch van de snedes heeft gemaakt. De kromming van het YZ-vlak wordt hierbij verwaarloosd d.w.z. aIle X-ko-ordinaten van de zwaartepunten van de doorsnedes zijn gelijk. (zie fig.3)

De declinatiehoek is gelijk aan nul.

/-'r---.---.~---1$

It

I'll

I

~

B

y

(13)

-9-ad 2.

-Bij het femur dat op de T.E.E. is ingegoten in araldite

loapt de Z-as niet evenwijdig met de staafas. De Z-as loopt evenwijdig aan de lengte-as van het lichaam. De zaagsnedes zijn loodrecht opde Z-as aangebracht en

staan dus niet loodrecht op de staafas. De staafas wordt

hier gedefinieerd als de verbindingskromme van d&

zwaar-teplh~ten van de doorsnedes (zie fig.4).

Aangenomen wordt dat de afmeting van een doorsnede

lood-recht op de staafas met ZZW=Z gelijk zijn aan die van

een doorsnede ter hoogte Z 0~ie fig.4).

_

•....

_~~-~--I .,

y

1 .

"X

z

y

(14)

-10-Voorlopig zijn we vooral geinteresseerd in de spannings toestand in de schacht.

Van het bot van Koch zullen in eerste instantie de eerste 18 doorsnedes worden beschouwd. Van het T.H.-bot de eer-ste 16 doorsnedes.

In een oppervlaktegrootheden-progranuna, dat als onderdeel van het afstudeerwerk door L.B.M. Tomesen is gemaakt(lit.14),

zijn voor het bot van Koch de volgende grootheden berekend:

f - oppervlakte

imax maximale hoofdtraagheidsmoment

imin minimale hoofdtraagheidsmoment

fi ho'ek van de hoofdtraqgheidsassen t. o. v L-h_ei ..__. _

oorspronkelijke assenstelsel

j polair traagheidsmoment

xzw x-koordinaat zwaartepunt

yzw y-koordinaat zwaartepunt

zzw z-koordinaat zwaartepunt_{~>-':'''''--''} -JiI'

ru benaderingsstraal buitencirkel

ri benaderingsstraal bi~~encirkel

Met een ietwat gewijzigde versie van dit oppervlaktegroot-heden-programma werden van het T.H.-bot de bovengenoemde oppervlaktegrootheden berekend en de doorsnedes met hun

hoofdtraagheidsassen geplot (rekenprogra~~ater inzage).

Op pag.11 zijn de numerieke waarden van de

oppervlakte-grootheden van de doorsnedes van het bot van Koch weer-gegeven en tevens plotfiguren van enige doorsnedes met hun hoofdtraagheidsassen.

Op pag.12 en 13 staan de nu~erieke waarden van de

opper-vlaktegrootheden van de doorsnedes, alsmede plotfiguren\ van enige doorsnedes van het T.H.-bot.

2.3. De belasting.

Studies naar statische belasting van het femur bij het staan op een been zijn o.a. verricht door Inman (1947), Rydell (1966), Williams en Svensson (1968) en Me Leish

(15)

.. ', 90372" ~5(164no Tor~ESEN

17 Y.'

5 x

oppervlaktegrootheden

van

het Bot

van

Koch

,foiET ~~tlIHI" OOOi;l$IJe:!)"S= 1n

'. i ' D f I r1,\X I~!I1'1 . F' .) x~w Yl'l! n'll _{RV .} _..RI.,'.;;":

. 1. ... 4']0297 ... 4 _"._~"'764'i_••• 7 i ...J.4ii10l.o+ 7 - t41.881<)+ 2 ",2943931'1+ 7 • ;8271."

+

",260 ••+ 1 _{+',3681'+ 3} _{... ; 3'70 ...} ₂ _,'+1_DDOIOJt:' ₀

:2' ".292491 •• " ·1 + •11.17.7(11fJ"- 7 ; +.48'i691..~ 6 -.1.907,.+ 2 ,.. PS246.0+· '7 +.11\1 .. + 2 ·.220.... ·2 +,386 ... 3 +.325 ... 2 .,000 ... 0 • ·3 +.2f)4227 •• + 4 + • ')n:I:nn ",> (i .... 24n fli·;,,"· 6 -.1201,,+ 2 ... 898361,... 6 . +,214 .. + 2 +,287 ••+· 2 +.399 .. '" 3 ... ,275... 2 _.~DOO_..+ 0:' 4 +.566209 •• + 0 +.1'i1)4;:>7,.+ r-, +. 'l4572J.•• ' 5 ".lS4::;,o+ 2 +.26982.5 •• + 6· +.,260 ••+ 2 ..:; 341,... 2 .. ,411 ... 3 _{+,240 10 " 2} _{.;200 ... · 2} +.74'5;206,.+ S +, •j.,1q:7an,~+ r, ; +. 'l9jJ,73,... 5 +.3')16" ,. 1- ·+.360092,,+ 6 t,265"," 2 ... ,327 ... 2 "',424" ... 3 "',230". 2 .;. "';190 ... 2'

,

b +·,42447<:) ... .," -+-.7A~Si"l~,,,+ ,... . +. 5692?4,.+ 5 +,~~H6,,+ 1 +,125186,,+ 6 "',299 .. + ? +,329 •• + 2 "',436 .. ", 3 ·;190 .... 2 ·;190 .... 2 1 +.<I:188:~,.+ .'\ _,..._{S():"n:;~\u'4-} rj _!_+._{536.1r.;?1~·1'} ₅ +.2f_{'6R,.'· 2} _{'" .108914 •• +} ₆ _{",316 ..} + 2 .. ,323 .... 2 ",;461 ..+ 3 +,175" .. 2 "';;'25,.. 2 ~ +.4599;>0,.+ 0 .... 4~q11r~)I!).~ ~ : ....390795,o~ 5 -.10j,4,.+ 2 +..1:372357 •• + 5 .. ,347 .. + 2 +,326 ••+ 2 +,48,7 ..+ 3 .. ,1 6 0 .... 2 ";100 ... 2

9 +.4'\8445,.+ ~ +.3A1H~S4'!J+ 'j _+._?,7nJ1A6j.,·i. " - . l'3 4210'" 2 "',6300:'2'0+ 5 +,354 .. + 2 ·,330 •• + 2 .+ ,5t3 ..₊ 3

·,1aSI?" 2 ... ;800 ... 1 .) (0 +.461956<0+ :1 -+ •44n(,~()l"l+ r..':j _".to._{~'6:J.G2all}··~} _'1 _-.9739,,+ _1. _{",667273 .. +} ₅ +I361'0+ 2 "',316,.+ 2 • ,538 .... 3 ... ,150 .... 2 .,950 .... ₁ (I +.4/0157,.+ :; •.• 4:1:'!1(,;> ." +

"

+. 26J.r' 76 ••+ ₅ _{-. i}_{1.6(;,0 ,. 2} _{... ,6j,2375,,+ 5} _{+,365 •• + 2} _{",3:1,0 •• + 2} _{.. ,563 ... · 3} ... ,1 45'0 • 2 ... ,8S0 ..+ 1 ,t +.5495~j,.. + 3 +. r,?Srj"?Hn-i· l) _{+.3LI:576,,+ 5} _-._906~1~+ ₁ _{+,7575111,.+ 5} _{.... 359,0+ .} 2 +,305 .. + 2 +,590 .. + 3 "',150,.+ 2 +,'00 .... 1

13/4 +.5796+.6:15738,.+90,0+ .:\:'I 1". r;7n6,)I·jl'l"r~.'i?n1()(,;;>+ ~} (I+.321r~?6J.~+ 5 -.50?,;> .. '" 1 '" • 1126r,6w" 6 +,356 .. + 2 .. ,3:1,0 .... 2 _{",613 .. '"} 3 ",165,... 2 ..~'700 ....1

"

I ... ,:')814i5lJ,~+ ~5 +.3766,,+ l. ... 757501..+ 5 +,346.. + 2 ",3:1,4 ..+ 2 +,639 .... ·3 "',150 .... 2 .. ;700 .... 1

i~ +.65<'108 •• +

:,

+-.SC)l)t 74!,,+ 'i +.4~tj?431"·,. 5 - t:tn65!') + 2 ... 9797:'>6'0+ 5 .... 34!?l"+. 2 .,327 ••+ 2 +,66',.... 3 _{"',16010* 2} .,750 .... 1

,t .... 5Bfl57Q,... ·:~ ... 411(;f)Q';,o·· ') _..._{45!l31~1"'·'} ₅ _-.2:»).

"to

₊ _2' _{",,965007,.+ 5} _+,335JO+ ₂ _{+,340 .. +}

2 .... 689 ..+ 3 .. ,160 .... 2 .. ;800 .. + 1

'1 +,5"\74::15 ...

..

-+'.~nr)4il(,:.,·.. I; _+.429[if₁_{5,.> 5} _{+ •}_~:jQ_fLo₊

2 ...·.9(114<)5 ..+ 5 "',3391,+ 2 +,330 ..+ 2 "',71,4'0+ 3 .. ,160 .... 2 ... ,950 .... · 1 ..'

19 +,6'\5063'0+ ., ·•• 64:110'1·•.•+ _" + .~.9f34?)J., .... 5 .;., . ?_1._:\4'0+. 2 "', ')4744.1••+ 5 .+,326 ••+ 2 .... 3./\1 .. + 2 ",727 .. + 3 ",16010+ 2 .. ,850 .... 1

(16)

I (\J ,... I P 1 317785 ... 2 417699 ... 3 374609 ... 4 +.177301; ... 5 +.95496a!~... 6 +.366322 :3 7 +.361942 •• +,3 a +.324072 3 9 +.404362, 3 :1,0 +,38479' •• + 3 11 ,+.426580 ••+ :5 12+.413413 ... 3f 13 +,453564 ..+ 3 14 .... 435245 ... 3 15 +.445431~'" 3 16 +,418463 ... 3 oppervlakt egrootherden

van hat TH bot

fill 1(,00.0":? i200,~·2 . .... 100010..:2 .'.•',9000 ....:1' "", eOOOlo+1' .... 8000w+f ': ., (15 0010'';1 ..;+,~550,.·~~' +'.9500,,+1 'c''t.,16 (H)VI'~f;.·~T~-' ~0 00I.":f! '.•. '+.116001,,~~F+'i1060" ... 2

(17)

plotfiguren doorsnedes TH-bot hoofdtraag heidsassen -

-13-10

y

13

16 x

(18)

-14-Uit de literatuur blijkt dat de belangrijkste parameter in de beschouwingen de keuze van het lichaamszwaartepnnt

is. Vaak wordt aangenomen dat het lichaamszwaartepUL~t

ligt in een vlak door de verbindingslijn van de

middel-punten van de caputes femorv~, evenwijdig aan het

fron-tale vlak.

Williams en Svensson poneren dat het zwaartepunt achter de verbindingslijn van de middelpunten van de caputes femorum ligt.(lit.6)

Dit is de reden waarom dan niet meer met een twee-dimen-sionale analyse van het heupgewricht volstaan kan worden. De abductorspieren aIleen kupnen namelijk geen evenwicht

~ - - - ~""-"-"""--"-""""""""-garanderen in het sagitale vlak. Daarom worden de

iliop-soas, rectus femoris en het iliofemoraal ligament ook in de analyse betrokken.

Williams en Svensson komen tot een aanzienlijk hogere belasting van de caput femoris dan bijv. Rydell (lit.5), die direkt metingen heeft kunnen verrichten- zij het met een daarvoor aangepast prothese (fig.5)en(tabel 1).

tabel 1: krachten op het caput

femoris in Ne~~on.

Rydell Williams

&

Svensson Fx Fy Fz Wb

150 1350

1100

750

380

4400

1950

810

fig.5 Krachten op het

capu~ remoris. --_....

<1>:

deklinatie-hoek

Wb= lichaamsgewicht inN

De resulterende kracht op het caput is volgens Rydell ongeveer 2,5 x het lichaamsgewicht.

Williams en Svensson vinden een faktor 6. Het verschil is te danken aan de zwaartepuntsligging en daarmee

(19)

samen-

...15-hangende invloeden van spieren en ligamenten (fig.6).

I

-t

I

I . J I I .. Y

Y

I

K1

=

540

N

_F1

₌

4785

N

I

K 2

=

148

N

F2

=

168

N ! K 3

=

485

N F

3 =

899

N

I

=

403

N

=

1037

N

=

2809

N

=

5910

N fig .. 6 F t F a F._J.p

R

_u

F_t : resultante van de tensor fasciae latae en tractus

iliotibiale

Fa : resultante van de abductorspieren

F. : resultante van de iliopsoas, rectus femoris en het

J.p

ilio femoraal ligament

~f!!!l~n{lJt_.§J_E3!1. q:b.f1J"XU?y_ en McLeish. (lit.7}

servvaarlo-zen in hun twee-dimensionale analyse de invloed van F_t

en Fip • Ze komen tot waarden van de belasting op het caput die in grote lijnen overeen komen met de resultaten van Rydell.

(20)

-16-In voorgaande studies werd uitgegaan van de belasting, bepaald door Rydel en Charnley en Mc Leish en door Koch

(lit.4,5,7) te weten een kracht op het caput en een

kom-binatie van een kracht op het caput en de trochanter major.

De in lit.1,2 en 3 ontwikkelde modellen staan aIleen

be-lasting in het frontale vlak toe. AIleen de buigingsfe-nomenen in een vlak evenwijdig aan het frontale vlak wor-den beschreven.

De volgende konsekwenties vloeien er uit voort :

torsie in de schacht, veroorzaakt door F₂, F

3,

K₂ en K

3

(fig.6) wordt niet beschreven.

buiging nit het vlak -vanwege F1,F2,K2 ,K3,- wordt ---~n=ietbeschreven.

de invloed van F_ip en F_t wordt weggelaten waardoor

de buiging in het vlak juist beschreven wordt. In de drie-dimensionale spanningsanalyse van het balkmo-del zal in eerste instantie worden uitgegaan van de vol-gende belastingssituatie :

Een belasting zoals door Koch wordt gebru.ikt, zijnde

een kracht van 1000 N, werkende op de femurkop met een .,'

werklijn die de verbindingslijn is van het middel-punt van de kop en het midden tussen de condylis medialis err de condylis lateralis.

2.4. Materiaaleigenschappen.

Het materiaal is lineair elastisch, homogeen en isotroop verondersteld.

E-modulus

=

20.000 N/mm2

(21)

-17-2.5.

De spanningen en rekken in een bal~nodel. 2~5.1. In1eiding

In dit hoofdstuk wordt een rekenprograrr~agepresenteerd dat in doorsnedes van een konstruktie de optredende span-ningen berekend t.g.v. :

n - normaalkracht

dx dwarskracht in x-richting

dy dwarskracht in y-richting

fiX buigend moment in de x-as

my buigend moment in de y-as

~ - wringend moment (zie fig~7'

~ - - - ~ .__._..._ . _

-!

y

x

fig.7 Een doorsnede van een femur met snedegrootheden.

Met gegeven belastingsgrootheden in een doorsnede is het mogelijk omin--elkop-t-egeven-punt· P-(x,y)-de -spannings--toestand te bepalen.

(22)

-18-2.5.2. Invoergegevens

De invoergegevens worden in drie aparte blokken ingelezen. Dit i.v.m. het feit dat gebruik wordt gemaakt van pons-banduitvoer van andere programma's.

Definities

(x,y,z) is lokaal assenkruis van een doorsnede (zie fig.?). z-as in richting staafas.

staafas is verbindingskromme van de zwaartepunten van de doorsnedes.

(X,Y,Z) is globaal assenkruis (zie fig.4,5,6).

BLOIe 1 : abg

ill

p

aantal belastingsgevallen aantal doorsnedes

aantal punten waarin spaTh~ingen berekend

worden

PX X-koordinaat van P

PY Y-koordinaat van P

-N.B. p, PX, en PY (p~maal) moeten ill maal werden ingele~en.

ELOK 2 : ix iy fi j

xzw

YZW ZZW rtJ.

eppervlakte van de deorsnede maximale hoefdtraagheidsmement minimale hoofdtraagheidsIDoment

hoek van de heefdtraagheidsassen t.o.v. het glebale assenstelsel

polair traagheidsmement

X-keordinaat van de zwaartepunten Y-koordinaat van de zwaartepunten Z-koordinaat van de zwaartepunten straal uitwendige benaderingscirkel

I

j I I

ri straal inwendige benaderingscirkel

N.B. Alle gegevens van BLOK 2 meeten m maal ingelezen

werden. Er kan veer B10K 2 gebruik worden gemaakt van

hetopperv-lakt-egreotheden-programma..

-BLOIe ₃

.

n nerr.a.aalkracht

dx dwarskracht in x-richting

dy dwarskracht in y-richting

mx buigend moment in x-as

my buigend moment in y-as

(23)

-19-N.B. AIle gegevens van B10K 3 moeten m maal worden

inge-lezen Er kan voor BLOK 3 gebruik gemaakt worden van de

uitvoer van het snedegrootheden-progra~maeprogra~~a ter

inzage).

AIle gegevens tenslotte moeten abg maal worden ingelezen.

Voor het rekenprogra~~awordt verwezen naar appendix

III. 2.5.3..

Spanningen t.g.v. normaalkracht

De spanningen worden berekend in een lokaal assenstelsel,

met als x- en y-as de hoofdtraagheidsassen.

Dit vergemakkelijkt het bepalen van de sparll~ingstoestand.

Terv.gtransformeren van de gevonden Yvaarden naar het glo-bale assenstelsel is eenvoudig te realiseren.

2

h

/

X

De normaalspanl1ingen zlJn in elk punt pex,y) van de

door-snedegelijk (hetmateriaal islineairelastisch, homo.... geen en isotroop verondersteld) :

(24)

-20-2.5.4.

SpamLingen t.g.v. bi-axiale bUiging

1

F + t

-x

fig.9 Bi-axiale buiging.

Als x- eny-as hoofdtraagheidsassen zijn, dan is de axi-ale spa~Ding in een punt p(x,y) :

m x y cr~ =-~-. -x ..,;'!:: ... -m x - y -i y

2.5.5.

Spanningen t.g.v. een wringend moment

2

t

fig.10 Wringend momen~.

(25)

-21-Als een balk met een niet-cirkelvormige dwarsdoorsnede op torsie belast wordt, zullen de doorsnedes niet vlak blijven. Er treed welving op. Het bepalen van de spannin-gen in een doorsnede die gewelfd is, is een gekompliceer-de zaak.

In het model wordt de geometrie van de doorsnede benaderd door een uitwendige en een inwendige benaderingscirkel

met als middelpunt het zwaartepunt van de doorsnede (fig.11).

y

x

beschrijving d.m.v. knooppunten.

--- cirkelbenadering fig.11 Cirkelbenadering van een doorsnede.

De tangentiele (schuif)spanl~ingent.g.v. t worden dan

met de semi-inverse methode van De Saint Venant (zie ap-pendix I) :

T =!£. of j

In het progr~ma wordt deze schuifspa~~ingontbonden in

de x-

en

y~X'1chting: ._. ._ Lx _ ty j tx L = -.-Y J

(26)

-22-2.5.6. Spanningen t.g.v. dwarskrachten

We beschouwen het geval dat er aIleen sprake is van een

dwarskracht in X-richting (dy

=

0) (zie fig.12).

1

y

---,i~~---__+_----::---:---~-'----'---x

fig.12 Dwarskrachten.

Ook hier wordt de geometrie van de doorsnede benaderd door een uitwendige en een inwendige henaderingscirkel met als middelpunt het zwaartepunt van de doorsnede. Er wordt aangenomen dat het dwarskrachtenmiddelpunt

(lit.11) sarnen valt met het zwaartepunt van de doorsnede. Dit houdt in dat dx geen torsie veroorzaakt in de door-snede. M.b.v. de semi-inverse methode van De Saint Venant (lit.11 en 12) kan voor ronde doorsnedes met een rond

gat voor de schuifspanningen T

X!'. en T~" t.g.v .. een

dwars-Kracht dx worden afgeleid (zie appendix II) ;

v

=

konstante van Poisson

(v

=

0.37).

- - - - -- - ----

---~---[---dx(3+2v) , Tx = ~8"'(':i'-] +-v~)""7"i"-x T Y '2(l+2v) (3+2v) 2 - x

~J

--I !

I

I-i

I

,

I

(27)

X,Y,Z

x,y,z

-23-2.5.7. De vergelijkspanning

De "vergelijkspanning" is een kriterium voor de "gevaar-lijkheid" van de spanningstoestand van het materiaal.

Vaak wordt hiervoor het kriterium van Ma~vell, Huber, en

Hencky (lit.10) gebruikt

opmerking :

Ret is de vraag of het kriterium van Maxwell, Huber en Henckyom crJte bepalen weI geldig is voor botmateriaal.

+ _ .

-2.5.8.

De hoofdspanningen en de hoofdrekken

Eerst worden enige definities gegeven behorende bij fi-guur 13 :

globaal assenkruis (zie ook 2.5.2.)

lokaal assenkruis van doorsnede i (zie ook

2.. 5.2.)

x;y;z'- lokaal assenkruis van een punt p(X,Y) van doorsnede i

fi - de hoek tussen de z-as van het lokale assen-kruis van doorsnede i en de Z-as van het glo-bale assenkruis

x

(28)

A = zzw/i+ll

-

zzw

I

_i

I

B = XZWIi+l/

-

XZW

I

_i

I

c

= YZWIi+1 ,

-

YZW

'i

I

-24-cp. = arctan 1.

VB

2 ₊

_f'(Y

( ' V ) it

In een apart rekenprogrruru~a (programma ter inzage) worden

respektieveIijk de hoofdspmLningen en hoofdrekken berekend.

In een punt P(X,Y) op de rand van doorsnede i werken de

axiale spanning

°

en de schuifsparu~ing , (zie fig.13).

~r-'

.

.- - .

fig.14 Schuifspanning in een punt

P(X,Y)

van doorsnede i.

Er is in voorgaande berekeningen aangenomen dat de door-snedes rond zijn" Hierait voIgt dat de schuifspanning in

peX,Y)

raakt aan de omtrek van de doorsnede i (fig.14)

In het x'z'-vIak van (x',y',z') kua~en nu hoofdspar~ingen

en hoofdrekken worden berekend. In de Iineare

elasticiteits-theorie kan worden ~fgeleid dat voor de hoofdspanningen

°1 02 en de hoek 1j! (zie fig.15) geldt :

fig,,15

°

. }

T X'···

Hoofdspanningen en hun richting in een punt P(X,Y) van doorsnede i.

. 2 S1.n 1jJ 2 cos 1jJ 1 1jJ ="2 arctan

-

2,

°

(29)

-25-Voor de hoofdrekken geldt, als aangenomen wordt dat het botmateriaal homogeen en isotroop is (Wet van Hooke),

-y 1 = -E -y opmerking :

de interpretatie van de hoofdrekken moet voorzichtig en terughoudend plaatsvinden.

De kwantitatieve gegevens aangaande eigenschappen van

botmateriaal lopen immers sterk uiteen (lit.3)e _

---~ .._---_._...

-I

(30)

-26-3.

DE SP~~NINGEN IN HET BOT VP~J KOCH.

In de punten 1 tim 14 van doorsnede ivan het Bot van

Koch worden de sp~nningen in het lokale assenkruis x,Y

(x en y langs hoofdtraagheidsassen) berekend (zie fig.16).

Y

A

g

..:.~..

fig~16 Punten van doorsnede i waarin spanningen worden berekend.

Er kunnen nu gemiddelde axiale spanningen worden bepaald

in punten op de lijn B-B.

i

ZO is bijv. de gemiddelde axiale spa~ning z~voor X

=

A.

a

ZA =

-d'(_{Z .10,}) + a_Z01_{_} ,) + a + a

Z(12) Z(13) 4

Deze spa~~ingen (en eventueel oak de vergelijkspanningen)

kunnen vergeleken worden met de berekende sparL~ingen in

het semi-drie-dimensionale model.

In fig.17 op de volgende pagina worden de axiale spaPJlin-gen van beide modellen vergeleken :

A

=

semi-drie-dimensionaal model.~ _

- - - _ . _..__.__

(31)

-28-4. UITSLAG VAN HET T.H.-BOT.

Om eenvoudig interpreteerbare resultaten te verkrijgen (oek met het oog ep vergelijking met de resultaten van het verifikatieexperiment) wordt het botoppervlak met

daarin aangegeven ,de punten waarin de spar~ningen worden

berekend grafisch weergegeven.

Er is hiervoor een progra~~a geschreven dat het

femur-oppervlak van de schacht uitklapt in een vlak (programma ter inzage).

De punten waarin de spam~ingen worden berekend zijn door

lijnen verbonden zodanig dat er een raster op het femur

---o-n~t-s~t~a-a-,~t.·De uitslag van de schacht is verkregen door dit raster voor respektievelijk buiten- en binnenkontou-ren in een vlak weer te ge¥en.

Het femurbuitenoppervlak wordt hierbij langs de lijn 1, 14,27 enz. (fig.19,pag.29) het buitenoppervlak langs de lijn 1,10,19 enz. (fig.20,pag.30) doorgeknipt en afgerold in een vlak. Hierbij wordt enigzins onnauwkeurig gewerkt daar het oppervlak niet zuiver afrolbaar is.

In deze uitslag worden nu zowel voor buitenkontour, als veer binnenkontour van het femur :

.... -, .. " . .. . ", .. . ., . I r< h

I . de ~lJnen van ge~lJke verge~lJKspallll1ng \ vvJ

ge-2. de hoofdrekken in de vorm van assenkr~isjes

ge-ploy (de lengte is een maat voor de grootte van de rek).

Op pag.31 tim 33 staan de verschillende plotfiguren met

voor zover mogelijk die V8~~ het verifikatieexperiment

(32)

j

I

_~

_\

\ \ \~

1~

+

_01

~

_,-#

y.

"+< >-+"

--r-

-%-%

-+--r

~ --\- ---t--'!--..

'*'

.-\-"

..

~ >-+" o-+--e

=t:

o---f---o ~ o---f-. ~

-32-I

I

--~---+

I

r

I

,

(33)

-34-5. DE ONDERLINGE S&~ENHANG Vk~ DE PROGR~~ill~A'S.

In figvnr 24 (pag.35) is weergegeven welke stappen er genomen moeten worden om tot nv~erieke gegevens aangaan-de aangaan-de spanningen in het femur (en aangaan-de representatie daar-van) te komen. In grote lijnen vallen deze stappen uit-een in vier delen, waarin gebr'l.1ik gemaakt vJOrdt van computerprograrr~a's:

I -oppervlaktegroothedenprogramma (zie 2.2.)

II -ASKA-programma ter berekening van de snede~grootheden en de verplaatsingen (zie lit.15),

________---=s=n:..::e:....::d~·e::.;;gro othedenprogra:m.r..l1a

III-spa!k~ingenprogramma (zie 2.5. en appendix III) IV -verwerkingsprogr~~ats~

-tekenprogramma's ter verwerking van de resultaten in een plotfigv~r.

In het volgende zal nader worden ingegaan op in- en uit-voergegevens. Indikaties verwijzen naar figuur 24 QP pag.

35 ..

1= input en 0= output ..

Oppervlaktegroothedenprogramma (ter inzage). 1.0.1 : (input oppervlaktegroothedenprograw~a1)

de X en Y koordinaten van punten op de billl~en en buitenkontour van het femur

0.0.1 : m, XZW, YZW,ZZW, (m maal, m= aantal doorsnedes) f, Ix, Iy, Ixy,Jj xO, yO, zO (m maal)

0.0.2 : m, XZW, YZW, ZZW (m maal)

0 .. 0.3 : f, IMAX, IMIN, J, XZW, YZW,

zzw,

ru, ri (m maal, plotfiguren op pag.11 tim 13)

~SKA-balkprogramma(ter inzage)

I.A.1 : zwaartepunten doorsnedes (m maal), identiek aan

0.0 .. 1

I .. A.2 : belasting (zie 2.3)

0"A.1 : verplaatsingene van de knooppun~envan de balk-elementen (ter inzage)

(34)

Ie o n f r o n t a t i ell

~l~

f

~

I "HR.1 I.SP .. 3 _ _ _...j...II---..I,\.v~)

I

""

konfrontatie ( I .. SP .. 2 ~ 0.A.1 I

•

0,,0.1 0.0",3110,,0 .. 2 1-1) \-'-(J'q • Lv ..p,. f;tj I-l o ~ ! p.. \-'-llJ (jq

~

o i --._-_.•_ - - - - -__~ ._.. .L...._ _ I Lv Vl i

®

..

o

=~ppervlaktegrootl

edenprogramma A =!SKA-balkPrOgra:ba S

=Snedegroothedenp~o~ramma

_ . I c.> SP=~anningenprogramma I =isoprogramma I

KU=programma ter berekening koordinaten

~itslag

HR=omzetprogramma spanningen naar hoofdspan1~ingenen

hoofdrekken I

PR=plotprogramma voor de hoofdrekken

- !

I

~I~~~.

=~oordinaten X en Y :::::belasting

V =vervormingen knooppunten van balkelementen

FS=~lot!iguuruitslag met iso's spanningen

I

-rFU=~lotfiguur ~itslag

~FR=~lotfiguur

uitslag met

hoofd-~

'I rekken =vergelijk

(35)

-36-Snedegroothedenprograrr~a(ter inzage)

I.S.1 : oppervlaktegrootheden, identiek aan 0.0.2 I.S.2 : belasting, identiek aan I.A.2

0.3.1 : snedegrootheden (m maal)

§&anningenprograwaa (zie appendix III)

I.SF.1 snedegrootheden, identiek aan O.S.1 en/of 0.A.2

I.3P&2 : oppervlaktegrootheden, identiek aan 0.0.3

I.SF.3 : de X en Y koordinaten op de kontour, identiek

aan 1..0.1

0.SP.1 : spanningen in een lokaal assenkruis x,y (zie 2.5.)

0.SF.2 : de

X, Y

en

Z

koordinaten van punten op de kontour

Verwerking :

Programma ter berekening van de koordinaten uitslag femur (ter inzage)

I.KU.1 : de X,Y en Z koordinaten van punten op de kontour,

identiek aan 0.SP.2

0.KU.1 : X en Z koordinaat punten'uitslag op ponsband 0.KU.2 : identiek aan 0.ru.1

0.KU.3 : plotfiguur uitslag

I.I8 1 : spark~ingen in een lokaal assenk~~is (zie 2.5.)

1.1.2 : koordinaten punten uitslag, identiek aan O.KU.1

0.1.1 : plotfigv~r uitslag met iso·s

Omzetprograw~a spanningen naar hoofdspanningen en -rekken (ter inzage)

I.HR.1 : spanl~ingen, identiek aan 1.1.1

0.HR.1 : hoofdspanningen en -rekken met hoek t.b.v. uit---- uit----uit----uit----uit----uit----uit----uit----uit----uit----uit----uit---s-l:a-g-f'emuruit----uit----uit---- uit----uit----uit--- -- uit----uit---- -

---~---Plotprogramma hoofdrekken (aangepaste versie van prog. nr. 050 64404, W. Groot)

1.PR.1 : hoofdrekken plus hoek, identiek aa~ O.fffi.1

I.PR.2 : koordinaten punten uitslag, identiek aan O.KU.2

(36)

3'7

-

,-6" EVALUATIE

1" Voor de vergelijking van de resultaten van het balkmodel

met die van het semi-drie-dimensionaal model en met die

van het verifikatie-experiment zou het beste kUL~en worden

uitgegaan van de spanningstoestand in een diskreet aantal

punten van het femur~

Aangezien in het balkmodel de sparningstoestand in andere punten is berekend dan in het semi-drie-dimensionaal model en bovendien de metingen in het experiment in weer andere punten zijn verricht$ is het in eerste instantie slechts mogelijk de resultaten globaal te vergelijken" Daartoe is gekozen voar het tekenen van lijnen van konstante spanning e Hiervoor is het noodzakelijk dat het spanningsveld kontinu

---'H::!---(")-'¥---f"i-P..•'Sno-e-ets--k-entil'lu gemaalA:t. wo

rdt----.----P-uiSsen-d:-e-p't:!:llt-e-n-i:n---het balkmodel is hat spanningsveld lineair gekozen" 2e Het verloop van de lijnen van konstante spanning in het

balkmodel van het bot van Koch, zoals berekend in

hoofd-StUk-5, vertoont zeer veel overeenkomstm~aatvan het

-semi-drie-dimensionaal model" Het verloop van de vergelijk-spanningen blijkt hier evenals in het semi-drie=dimensionaal model zeer weinig van af te wijkene Dit alles ondersteunt

de veronderstelling uit lite2 dat de schacht van het femur

zich gedraagt als een balk~

3.

De uitslag van het TH-bot is niet precies symetrisch t"oeV.

de uitslag van het bot waaraan in het experiment is gemeten" Dit komt doordat de lijn waarlangs het buitenoppervlak van

het femur wordt doorgeknipt (zie hoofdstuk

4)

niet

overeen-komt met die van het femur in het experiment"

Het is mogelijk ervoor te zorgen dat dit aspekt wordt ver-beterd ..

4" De vergelijking van de resultaten van het balkmodel met

---die--van--hat--exp-'erim-ent-\'lLQT-d-t-hemoeili-jk~--doo~dat--in-het-.

model sparmingen worden herekend en in het experiment rek-ken worden gemeten.

(37)

-38-De rekken van het experiment worden, onder de veronder-stelling dat het materiaal homogeen, lineair elastisch en

isotroop is (E= 20000 N/mm2),omgezet naar spapJ1ingen.

Blj de interpretatie van deze spanningen moet men bedep~en

dat in werkelijkheid het materiaal niet aan bovenstaande veronderstelling voldoet$

In tweede instantie zouden de materiaaleigenschappen tot voor het bot extreem-anisotrope waarden gevarieerd kvnnen worden& Het effekt van dergelijke variaties zou dan bekeken moeten worden, waaruit al dan niet tot een

materiaal-experiment zou kunnen worden besloten..

5..

Het balkmodel is slechts voor een belastingsituatie

door-""~--"""---"---~g~e-Fek-enG-..-R.-et-4s-we:l3£-e±ijk 0-0-k-~e1 dri-e-d-i-~l'Ia3::-e---u_---

(38)

-39-LITgRATUUR :

1. Brekelmans, W.A.M., Poort, H.W.

Numerieke analyse van de spannings- en vervormingstoe-stand in het femur met behulp van de methode der

ein-dige elementen. T.H.E. rapport WE 71-27.

2. Sanders, A.J.

Een semi-driedimensionaal model van het femur. Afstudeerrapport, maart 1972.

3.

Tomesen, L.B.M.

Literatuurstudie over materiaaleigenschappen van spon---:cgn·ieus-en-c-ompa-crt-b-~E-;-ra;p1Yo-rt---WEl1-30.

4.

Koch,

J.e.

Laws of bone architecture.

American Journal of anatomy, 21 pp. 177-298 (1917).

5.

Rydell, N.W.

Forces acting on the femoral head-prothesis. Gotenbo:rg 1966.

6. Williams, J.F., Svensson, N.L.

A force Analysis of the Hip Joint. Biomedical Engineering (August 1968).

- - - "

;

7.

Charnley,

J.,

Me Leish, D~

Abduction forces in the one-legged stance.

Journal of Biomec~anics Vol

3.

191-209 (1970).

8. Inman, T.

Functional aspects of the abductor muscles of the hip. J.Bone and Jt. Surge 23. 607-619 (1947).

_ _ _ _ _ _9_.

-~::;;:,:e

J

~~~hoae;-T

echni

scll:E>lfogesClioor~rna:lioven;----

-

---~

:~llegediktaat (1970~. _

I

10 ~~moshen1{o, S., Good~er, J.~. -

I

Theory of Elasticity. Me Graw-Hill Book Company Inc., 'I

New York, Toronto, London, 1951.

I

(39)

femur..

WE

verslag,

-40-11. Southwell, R.V.

Theory of elasticity.

12. Sokolnikoff,

I.S.

Mathematical theory of elasticity.

13. Laaper, W.J.M.

Het bepalen van de geometrie van het femur met behulp

van de destruktieve methode. T..H.E., rapport 73-5.

14. Tomesen, L.B.M.

Spam~ingsanalyse van het femur op basis van €len balk-model. Afstudeer rapport, maart 1972.

_ _ _ _ _---'1--'5'---"-'----"R=-Qmbo-u::ts~R.---

---_.._._---Studie van pen en plaatfixaties van breuken in het

femur, mei 1972.

~

16 Laaper, W.J.M.

~

---·--J:lum'r.~:t_·

sseo-'l1ti:'re-pi-B in

e-en---twe-e-d-i-menS±onaa-1-nto-chdl~If;r'a!:l"-':rn'l---'rhrPet---

- -- -

I

januari 1973 ..

17., varr Rens, P"P",T ...G"

Onderzoek naar de mogelijkheidom de botgeometrie 0];)

niet-destruktieve wijze vast te leggen. Afstudeerrapport~ mei 1972"

(40)

I

M //,

/2

De

_{-?d~b~r'1.JeA.-dd~}

_~

eo--

~tt:Hn_,,_eo-le.

J.;.v:

ee....

~/~

~o-e-.J

:2

x

-:).-,...

ttAe

4~

-

~~-2 /~M~ ~

lk

S~t

jI~~ ~M -~ ~

deb!

~ ~

~..e.e

~e-~~

r

oMee1

e-

(/]i

4 ",-.

-(Je- ,

~~e-..

e-

~~

r~~)

ee.-

~~t7l~f~q

(j~~J.

,JtJ

~A~e- ~Q~4A-. ~ ~dA.e

/J-t-o.e4

~e-

i).-l.

~ ev~.e/;,,~,J4·~e-,

I

Ple

e-..r.A-"'4~j~J:-.,~IJ~~

IA.-

~ ~.,(-

I

~~~ol~

~ ~

~~~~~~Q_"- ~...4

__m_ _!

ee-.

~

rde...

"';J

~

Ie-..

dvI

eve-

/-...-1

'7

I,I!!

k

A.o.,.,8-..

~

-

1-:>

~

~A~~ ~

t:c

(41)

/l,/<7LdA,

d_ ...

~

pe-rn...tJl""'-

"'~"7

...",...elf...

de

--.4...-;.,(..'q.-l...

..1-,.,4

~...-.

k,;".

c.Lt...-fff'

t4"

~~-n7'

IJe.

J~/e /f/e---.,(~~#o-

7-:

Ie

tdte

~~'ke~e ~~4

ee...

~~

•. .

e.

:Ie ,p(

h

e-v~ed..(f

--.-e.J-

2

tie

t..:..I4t....

-t.~ ~

do

~"-l-.,'7!e

.4...:~ ~:

't.:: - t:.J"2 "- A-U V : . t:v '2. )<

n,~

Ct) ==

-4m.

~

Ic.-I

J

e

V<Hn,.

ot.

~

wd""7J·'

w

IN

~

'lo\!!4-~~d~

P/.-vI:

W

=-W{x,y)=

9'-(J(

j

'Y)

(sf

- - I i -' I

(42)

f

_o"

3 _

- - - -- - -- - - - -

'Y

(43)

j f).e

~e-~~I::,~idi'~e-7-

(~i.~

ri-

s) :

J

UJt

&t

_{;} '.k'1}

+

) c y -to

-

₀ d}( ; ) y _~L

) t;,>r

d

cr

"y ';>1:""

(6)

+

Y1.

-

₀

J)'

-dX

_0'2. ~ "t'L)C' -t- ) "t1.Y -t d ~~

-

0 C>><

e>.."

C)4

t

₂

=

-

'1~

-t

C>~,

~

,

I

-(~

JU--""J----"-'tL---I

w~

drJ

-ev~eU~U~~...

(6)

61-

tiL

~

,,~~.

°f,e-

ft.)

,,--~r'

/'-d

~

~~01~"~-e-- Y ' " ... ( I, l, 1, Y,

f)

V G

_x

=-

~y

-:::

_~

-

_Ix

y ~ 0 ')..

-Ix). =

.L _4J

_(-y

_T

at:/' )

_(d»

1 ~)(

t

_y

l , .L _c..J

(x

₊

.,)9' )

-

I

_~y

..

<=i'~

..

~ ~

-==,;..,.

=

0

J~~(-Y+~)

Tn -

f

rN

(~

+- ; : )

(sl

(L.o)

(44)

Oqf-~1~

e-

~oe4 ~~e...

~I

dA

-ev~..(t;,-'-'r-ti~rr--

(6)

~A;....4

fj)

~ (~)

-J

l

'f

-+

J

t.

<f'

=

0

(II)

dX'-

d')''-J{

~A ~:.-M

d..A

'r

e...

~~""""":'~e

~

,;.,

...

~

e...

>'

e-I

~t::va-,(~

. . .

-cle- :

.

.gr~-'y)~., (",~}+f:;+)(')

Writ...;,,)

=<:>

Q2J

---:~~---______=_----=;orr--~-

-re--

L

---~-~-~--~~-f-~-r---k---~

" - ( ... , >r)

T-

a",

<'-0> ( .. ,

Y) _

~~

~

J)

a~

~~

W

(n).e..,

(I

j)

~:

cJ",

-'

I / ,

--==_d~ -

>"

c..-, ( x, Fi/ - X e-o-, ( ~, 'Y)

7 ~

(tf/t

e-.

C

A

~.-...:.~

.:-

-t4

cJd

0401

5

~ ~ A.a-.~~.,(...

~

~y).

111""

=:

if

(J'

l

y,- -

'y

<In.)

cI}( '"

y

=

.$

(45)

~ ~ ~ ~

-T

::.

X2.

T

-)I"l.

tJo.rn.

~ /2..tn.d~ ~4~ """'~.e&.... /u--l

qq/J

(JddJ

d,

d4

~r----I

()

~ ~~

~4a-f~-A-'114-

Dltz

~~ "A../~M (}er~~f..-.4:

"Y~ (~,x) -)(

tAr>

(h.y)

=

0

tJy

tI.t

re-~

C

[A"

d4--

~ AcU~.ee ~

(Iv)':

J

rI

=

0 --.-.

f -:.

.."t

en..s

f~

dJ-'l

'7

~

re-",

C

-Ile~

.

f.'.o.. ....

r;o-

(ttl

o-;'-;;;'-;;Z~.:..,; ~.

I

_---:---~--4"\- ~t.4A.4.

-..

de

2_1.

d~LJ

~. /lro~:

- ~- - -

_

.._---_.,---_.-_."__' -,...__.._-_. t1.= - W 2 Y

v=

W2.'J<

t:

_{Y"L -}

-ft

r)

""~U"-'

j)::.

J

If

(,t

L-t

y

1.)

5 I'1

_v

=

4J f)

f

4J /)

J

-::

!It..,

D

; 4/ :: ';,.,

~_f)~~~-~(-I-t!)----~

-

-~

.

"

X"- :::

(46)

/

\

U-a-' . \

\ ---\

-~

aet

-It

~ .4~~ ~

..lL

~~.-

~o~

1;-

v·

~ tJ?w~...t~A

W

(2,':4.

1-;,. ,)

~M V~ cJe--.-~A

/fIa-

k

/:>~

-

..,.e ~o.le. /V~

De.

SacA:-.

J

U~J

(I)

8-

(1.)

~v.A-:

;)l.u

(47)

2 u.,~

_~

_"'h-#

₆₎

_.

J2.~Jc _iJt.~'y _al.~

(6)

2.-= 0

-

-J

2.1. _~2._\.

a

2 ""

~

( l../

'lrD~p:

J

t",?

-t-J)(

it.,;f

(i)

~:

t1

rv..

=

JIt,.><...:

-6

d2

d"l.

o

(6).

6)

8s...

(I)

~t!-

/Jo,.e4.(e

e-paA:.£. _

----~~~~--~---

-- --- ---- -- () <<!... - Cl'"

c!\r.

_

d l.~....

=

0

(j)

J)<l.. .. - ~y'L - a~~y

o

(9)

e...

(6)~

... __

<»...1_

a..c.-<!vl~

d.vI-

ore

,.,....~ ~'~.4fA..e ~,

d.ie

~

V'

~

2.

."t"-

/1."J-en..c{

e.-

~,tfl-,..,...8-

i, . V J(W~ .

(

~Oy

...

J

r"2.lc"

)

a

l~

iJ

2&/8 ::-

<1/

z.

-

_ax

_d>t

-d'Y _{_a>",~2.}_.

f-!

~&rV2.

_d

t'"ZJ4.

)

J

2€ 'L

f!I)

2v

_"Lvl'9 ':: = ''Y \..

oj(

d

y /

_JXd2

&_2-

=

(

I?)(

+

By

+

C)

2

+

(/1 ·

x

-t

B'

Y

-+

c. ')

<[0)

(w)

e-

rr)

...:

~

(48)

~~--t..L.:/~.-v"tJ~~~--Ik

7-Co'-"7

~ ~

.1'12 X

.-",.e~

2.iJ--'e-t

~

f!J

aL.

44-

(~.

UJ01.dA'

g

J.o.J

Je-...u-

to.

~~

014-

,J~

~/)

;;:...

(I»:

(lsJ

.

~

()

-2

-E

=

/) -""'A-'

e-d

t

y'1..

d

t;~

:. _

l

V

IJ

y

-+

C) x

eJ

y ,(<<

=

i;..

ley.aA-.:e

--t.

_ < ;

1 4 - - . l e _

I ( / !

h#. .

(;.j~~,·;r:

i

J

-h--.:-.I !

f;

x

~d:~'-+'---i

(i-+

vj---I9

A'

-=

0 <.!

VI-:

---~~~)(~-·-r...,....--~d~;,~

I

- - -

--- --- --- IhVl

.:..~~~

--...

de

""---a.-e...

...

11 e-.-..o-o..L.e..:

t-W1

(v)

'Vtn.,c" - .

e-I

(I1J.'

1,/=

_-

~

_/II;

_{_}

_J;!1 7"

tJ,

-

..s-y

=

~4&.-rJ~ed~a--..e-.f

(tI).e-

('7)

--vrt'r.'

•

w ..

2~

£;r

~

2. X

.:r

.

~

....

.y-a-((t-)

(49)

13)

~

(,..,/

/],v~A.

o

<hJC

J

~2.

Jy

dX

=

(I

ti) :

W 2. &.-' -

Y -

'2.«

EI

lJe

.-1..e--~IIt.~Je ~ ~

~--...4!t:;(~

'x;z.

c;"

(x, ..)

+

'Yl. &-r7 ( ; • ..)

=-

0

J-fI

n

==

hrln.-~

7 ~ f'~

c

~~-

=

K!

yv.n

(><, ..

j -

X

tA>(p ...

j

-i--

V

~

Y

't C4>

()<',

~

E,r

a..a-.

P{4/!

~ J~ ~"~

(50)

1J.h

J~~e- /WtnM:

~:

()(f-

~/A-f1vx'+('-Ilv).><yl.j

(2.1)

£/

~.a-

~~~

Jevtrk

_-'8-

,(~

A

,.,...oe4 ~~d~ 44-. o1~ ~

l..x

6.~)

-+

-

0 ~x\. _~'r'\..

~

a1.k

p"-'fA-

~

o(e.

~...ce.

S

op

..(e /\.4-~ C ~~OA- ~J.c::(a-.,

~~

'" -If

VX~+(,~t

v)y'Je-,(x,..) -fz+v)xye.o-./;.

.,J

~s-)

/l,l., )

J~~tf4... ~

,

~

u.j-J

t7/e

~??~I

~

!)

h.~ ~e4~

ee-

th-~er~e ~~llk./~

eJ(

Ii.£,

44-<Je- I-

d",A

M

~~

~

de

~e,{e ~ ~

ef.,

~r"'--I

0 ~

4.tV'I

~~Q

~4a-~

(x,y)

.,t..)4

e-

k

~ede.

5

).".1.'.

X

I!Ja-

y-a,.,

~d""";'d.

.

n

..,

.

111":= 0

r

= _

tv

!

~

,X

+

«

+

1/) )(

Y

j

(51)

~ ~ f'-

x

~ ~d4- ~ ~A-c.

~ed'e--. ~

fM

"-7'~

~~r-~.:e

F

(~)

iJedel~i.~d

:

F(S) :-

X

-f L

tj.J

~~ -r-,u.~

T

(~) ~4-. J~ ~e-.

/;VU\,J.e-d ,

~

loa

.x

+ '"

~

-

z:.

(~~

-I- l'

~~)

$

;6/J

f

~

'2

c

lJ_

e

A'

+

i.

t

=£

-'l"(

Q..

+ ..--()

e

i ..

e

-

-1fC-)

-t-

Z

f :;

£'

/2

~(dA -+,-~) (?tb ~ ~

+

'..s~

",19)

-~ ~

X

=

a...-t

J,

(a~

tAn

~

e -.,(

s:.::.- '"

8 )

-iIf:;tP

~e~

~r":

~ ,,(t<~

'-

~

i9

--I,.

s>..

.J.tJ)-Z

'1-';;

-If(,+~V);1~~t§

-I

y.,~tCAn

Ji!I

-P?

/2::

:$:-.

~

4 L , 1...

@B»

.t -

0

"

(52)

~

n

-1.

"-/~.

U> .,ilL ..( 5':" ..6l)

=

-fX ..

i

~)

"l.:

.::...~

-t

s).

-\~

Go> 'lo

~

I-(2.S)

/ Jj \ } _{I .. "} '\. \

«,

-

_{- (. 1'1}

=t--1- V / ( -1._i + 1",

J

( J/f.4

I ) 't

1.-a

_-

-4 i,'"

-1..

"'",,-- i

-"

a\

_-

_'/

_""

a

_-

0 -1

(53)

I

T

y2.

-+

~ 1i~4j~

B

+

.,,{~51.

z.

(14-

2,.\/)

('3

--+

2..v)

; I ! I . I \

I

..._. . .- - -

-_._-~.\

! \

(54)

end'

--'

per doorsnede per punt

. ,

...

.

I ' ..

.'.

.' ."

'r':'

---1--1 .

' , --'.'

---..-..--..--.---.--..--.---~~i9! <?5064720 _{laf!l,~rj·l·} .' l ... ... ' . . - . ... . , .

-2~!e £9li!~!!~i?~OORAMMA

_. _VOLGORDE _{INVOEHG:E,G:EVE.:N~,}V.OOR... HET..

~REKE.

'.' '..N... '." "VAN. __-

OPTRE~.'.

ENDE SPANNINGEN IN EEN BALKMODEL VAN RET F$.R.

i

T

I

DE INVOERGEGEVENSWORDE.lf:I . DRIE APART~ BLOKKEN INGE.'LEZEN: :

BLOK 1: abg:. aantal bela.s,t. ~sgevallelll '

m :aantal knoopp ten(doorsn~des) .. ',.

P : aantal punteD. per doorsnede wa.a.rin spa,nningen berekend worden PX: x-koord1naa.t. 'n 1; in: glotiaal assenkruis

PY: y-koordinilat n P .

I

per doorsnede BLOK 2: 1<': oppervlakte n de d~ors1ede

IX: traa.gheidsma nt t.o.v. de x...as IY: traaghe1dsmom nt t.o.v.

dill

y-as

fi: hoek hOOfdtra.~ghe1dsassen1400.v. globale assenstelsel J: pola.1r traagh 1dsmoment

XZW: x-koordinaat n het ~waa1'1tepunt YZW: y-koordinaat n het twa.a.~tepunt ZZW: z-koordinaat. n bet rwaa~tepunt

RU: u1twendige st al vanIbenaderingscirkel RI: inwend1ge at 1 van i,ie be~deringscirkel per doorsnede BLOK 3: DX: dwarskracht i, x-r1ch}ing

DY: dwarskJ:1a,cht:t y-r1cht1ng

N: normaalkJ:1a,cht !

I

MX: buigend momen om x-a s

MY: buigend momen om y-e.~ T : tors1emoment;

!!!~$5~! 1,j,m,p,k,1,abgj

real NZ,p1,A,B,t1,gi,SX,SY, nu;

ri~ ~r~~ N,DX,DY~MX,~,T,F,I.X.'IY~.IXY,.ri,~,xzw~yzw,zzw,a,b,RU,RI,P[1:50],

SIGB,SIGT,SIGV, TAUX, TAU ,TAUT,TYY, TXt, TXX, TYX,TAY., TAX,TTX.,TTY,WI',o,d, SIGN, PX, fly, P"L.[1:50,1:50)j i

abg:=READj PRINTTEXT(..piET AAN.TAL.

BE~STINGJI.GEVAtr.EN=});

AES.FIXT(2,o,a.bg)j NLCR; NLCR; m:=RF.AD; pi : =4xarc1:.an(1);

Nl.CRj PRINTTEXT(iJIET AANTAL KNOOPPU TEN=})jl ABS

f

IXT<3,o,m

h

NI~CRj NLCRj

PRINTTEXT( <P?uNTEN WAlmIN SPANN!NGEN BEHEKEND WO EN (LOKAAL ASSENKRUIS }); NLCR; NLCR; I

PRINTrEXT(-t D })j SPACE(3); PRINTrEC'

T(~

P

~);

S'!ACE.(7);

PRINT.l'EXT(~

X

~);

SPACE(10);

PRIN~XT(~

Y }); NLCRj

!2r

j :=1 s~~ 1 ~!! m

2 - 2 !

~~!ll P[jT:=READj !2! i:=l ~~~~ 1~! p[j) .d~ . . . I

2~5!!!

PX(i,j] :=fDj P Y [ i , J J j " " R E A D j . I

ABSFIXT(2~ ,j); SPACE(4)j AESFIXT(2,O,i)j SPACE(2)i FLOT(4,2,PX[1,~))j SPACE(2);

FLOT(4,2,P [1,j] );\ NLCRj I ~U~;

I

\ I

i

I ,

I

_I

\

_I _.1

i

I I ! I 1 I ! ~." ru

~

ru ::-1 b.o H 0 ~-I H PJ H ~~ _~ .r! 0> rD 1:<0 c· ~ ', (1) 'r! ~:y

S

p, ,,-~ _ru Pi ill

(55)

I

\

I

NLCRj PRINTrEXT( etPuNTEN WAARIN SPANNINGEN BE*ND WORDEN (

~~LOBAALASSENKRUIS»,»

i NLCRi NLCR;

PRINTrEXT(1: D })j SPACE(3)i PRINTTEXT(1: p });lipACE(7)j

PRIN'IYrexT(~

x

~);

SPACE(10); PRINTrEx:'l'({ y });

SPACE(10)j PRINTrEXT(1: Z }); NLCRj ~ I ·

!2r

j := 1 ~J2 1 ~~1! m

S!2

. . . .

2~~!~

F(j]

:=R~Dj

IXrj] :=READj IY(j]:=READ.; f [j]:=READ;

~[j]:=READ;

XZv:[j) :=READj Yl.wq) :=READj ZZW[j) :=READ" RU[j) :=REA~; RI[j] :=READi

a[J):= RU[j);fej b[J]:= RI[j)t,.2j I

end" I

---'

\

!2!:

j:= 1 :!~J2 1 ~g m S!.2

J'

b~!U

-

!!

jt

m~h~u

2$5!2

t1:= arctan«XZW[j+1) XZW(J)/(ZZ [j+l)-ZZW[j))j gi:= arctan«YZW[j+l]-YZW(j~)/(ZZW[j+ll-ZZW[jl»;~~~;

for 1:=1 steJ2 1 until prj) do I

E~i!ll Px[i7jJ:= pxri7j] - XZW[j]j PY[i,j := FY[1,j] i yzw(j)j

A:= PX[i,j)j B:= PY[i,j)j

Pl.[i,j):= zzw[j) - PX[i,j]XS1n(ti);- PY[i,j]XSjn(g!)j PX[i,j):= xzw[j) +PX[i,j]xcos(t1)jPY[!i,j]:= Y'ZW[j]+PY[1,j]xcos(gi); ABSFIXT(2,O,j)j SPACE(2); ABSFIXT( ,0,1); SPAC (2)j FLOT(4,2,PX[i,j); SPACE(2)i

FLOT(4,2,FY[i,j)j SPACE(2)j FLOT( ,2,PZ[i,j)" NLCRj

PUNLCR; FLOP(4,2,PX[1,j]); PUSPACE(2)i FLOP(4, ,PY[i,j); PUSPACE(2); FLOp(4,2,rz[i,j]); PX[i,j):= Ax cos(f1[j) + B x Sin

f

'f1[j]); PY[~,j]:~ -A

x

s1n(fi[j]) + B

x

cos(fi[j])j c[i,j):= PX[i,j),+ej d[i,j):= PY[i,

]k2

I

end I

--end"

--'

_{PUNLCRj RUNClJT; RJNWT;}

~ k:=l ~J2 1 !m~! abg

S!2

.

b~~n NLCR; PRINTTEXT(

4:

belastingsgeval j,)jA13SFIXT(2,0,k); NLCR; NLCR;

- - PRINTrEXT(

*

D })j SPACE (6); PRINTTEXT({: OC:!»; ....SPACE(9); PRINTTEXT( { DY

:1»;

SPACE (9); PRINTTEXT( IN:!»;

SPACE (9)j PRINTrEXT(

1:

MX :1:-); SPACE(9); P INTrEXT(~ .)'»; SPACE(9); PRINTTEXT( 1: T ~); NLCR; NLCR;

for j :=1 st~ 1 until m do :

~~!~ DX[jT:= reaa;-j)Y[jT:= read; N[ j):= read; MX[j]:= read; MY[j]:= r~td; T[j]:= read;

ABSFIXT(2,O,j)j SlJACE(2); FUJr(4,2 DX[j] );. SPAqE(2)j FLOT(4,2,DY[j]); SPACE(2); .FLOT(4,2,N[, ])j SPACE(2)j FLOT(4,2,MX[j); SPACE(2~; FLOT(4,2,MY[j])j SPACE(2)j FLOT(4,2,T[j); NLCR;

end"

.._-'

(56)

I

nCR;

PRIN~T(

1= spa.nn1ngen t.g. v nO!'.ll'f.l.alkracht en

b1-ax1~le

buig1ng

t·);

NLCR; NLCR;

PRINTrEXT(1= DI}); SPACE(3); PRIN'l'rEXT(cj: P

:l»;

SPACE(7);

PRIINTTEXT(~

NZ }); SPACE(10);

PRINTTEXT(~

SIGB

:l»;

SPACE( 10); PRI~'J.YllEXT(~ SlGT :1»; NLCR.; Nl.CR;

for j :=1 ste;e 1 until mdo

~~!ll NZ:

=-N

[j] 7-FTj]; _.... .

tor 1:= 11 ste;E 1 until prj] do

~ii~

SIPNrr;j]:=-NZ;-SIGB[17J):= MX[j]

x

PY[i,j) /

~X[j]

-

MY[jj'

x

PX[i,j) / IY[j); SIPT[i,j):= SIGN(i,j) ... SIGEi[1,j);

I

A~FIXT(2,O,j); SPACE(2); AESFIXT(2,O,i); SPACE(2); FLOT(6

1r2,SIGN[1,j); SPACE(2);

FLOT

1

(6,2,SIGB[i,j]); SPACE(2); FLOT(6,2,SIGT[1~j]); NLCR end

- _ . . . I

end; I

- - I

I

NLCR; PRINTTEXT(1= schuifspa.nn1ngen t.g.v. torsiemoment ;f.);lNLCR; NLCR;

PRINTr.EXT(~

D

~);

SPACE(3);

PRINTTEX~P(~

:P ::1»; SPACE(6); PRtNTTEXT(<I:

TA~X

}); SPACE(10);

PRINTTEXT(~

TAUY :1»; SPACE(10); PRINTTEXT(</: TAUT :1»; nCR; NLCR;

for j:= 1 steEl 1 until m do

~~i!n

!2!:

I:;

1 s~i l*J~!1

P[j) g2 ,

2~~!!! TAWTri,j]:= absfT[j] X sqrt(IC[i,j] ... d[i,j])/ ~.[j)); TAWX[i,j] := - T[j) X PY[i"j] / J[j];

TA~Y[1,j]:=... T[j] X PX[i"j] / J[j]; 1

Al3,fFIXT(2, 0, j ); SPACE(2); AB3FIXT(2, 0,1); SPACIH2); FLClT(6,~,TAUX[ i,j] ); SPACE(2); FLF(6,2,TAUY[i,j]); SPACE(2); FLCJr(6,2,TAUT[i)j]); NLCR;

end- 1

----'

~;

I I