BEZWIJKEN DOOR INSTABILITEIT

ConstructieMechanica 3

7-17 Stabiliteit van het evenwicht

• Inleiding

• Starre staaf (systeem met één vrijheidsgraad)

• Systemen met meer dan één vrijheidsgraad

• Buigzame staaf (oneindig veel vrijheidsgraden)

• Statisch bepaalde op druk belaste staaf

• Algemene aanpak met de D.V.

• Verend ingeklemde buigzame staven

• Gekoppelde systemen

• Knik en de EUROCODE 3

• 2^e orde effecten

• Naknikgedrag

• Initiële scheefstand, vergrotingsfactor

• Vergrotingsfactor voor buigzame staven

• Bezwijken door instabiliteit

BEZWIJKEN DOOR INSTABILITEIT

k, Fp

u

F

l

k, F_p F

u

F

max Fp

Constructie met belasting vrijgemaakt

A A A

F_p

k F

u Veer met plastische tak

H u₁

up

EVENWICHT

Er is juist evenwicht voor u > u

indien :

Bezwijken als:

( )

1

1

1

1

= +

= +

= −

=

=

p k

c p

k c

p p k

c p

H H F

F u

u F

F

u u F u

F F

u u

1 1

p k

p k p

: met .

. .

u k

u H u F u

F

u F l

u k Hl

u F

×

− =

=

⇔

=

=

+

up

F

bezwijken door instabiliteit

(plastisch) (elas)

u u1

F_c

REGEL VAN MERCHANT

SAMENVATTEND

Last-verplaatsingsdiagram ligt vast indien de volgende karateristieke punten bekend zijn:

• kniklast (volgt uit een 2

orde berekening voor H=0)

• 1

orde verplaatsing u

( volgt uit een 1

orde berekening, F=0)

• 1

orde bezwijklast H

( volgt uit een 1

orde berekening, F=0 )

• verplaatsing behorende bij bezwijken (gebruik veerkarakteristiek)

• Bezwijkbelasting (niet door knik), controle m.b.v Merchant

Bij een gegeven combinatie (F,H) hoort een 2

orde verplaatsing die bepaald kan worden m.b.v. de evenwichtsvergelijking en die

gecontroleerd kan worden m.b.v. het last-verplaatsingsdiagram. Ook kan m.b.v. de vergrotingsfactor deze verplaatsing worden

gecontroleerd.

PLASTISCH GEDRAG VAN DE OP BUIGING BELASTE DOORSNEDE

dϕ

κ

= 1 R

dwarsdoorsnede trek

druk

y-as

z-as

neutrale lijn

ligger doorsnede

rek :ε =κ ₂¹h κ

rek-diagram

2h

1 2h

1

spanning :σ =Eε

spannings-diagram

Lineaire rekverdeling over de hoogte :

z

z ) *

( κ

ε =

SPANNING EN REK IN DE DOORSNEDE BIJ TOENEMENDE KROMMING

spanning :σ₁ =Eε₁

spanning :σ₃ = f_y

εy

fy

neutrale lijn

fy

εy

trek druk

rek :ε₂ =κ_{2 2}¹h κ2

rek-diagram

spanning :σ₂ =Eε₂ = f_y

spannings-diagram

εy

εy

fy

neutrale lijn f^y

trek druk

rek :ε₁ =κ_{1 2}¹h κ1

rek-diagram spannings-diagram

neutrale lijn

εy

εy

druk

rek :ε₃ =κ_{3 2}¹h κ3

rek-diagram spannings-diagram trek

trek druk

rek :ε₄ =κ_{4 2}¹h κ4

rek-diagram

spanning :σ₄ = f_y

spannings-diagram

εy

εy

VOLPLASTISCH MOMENT

EIS : HORIZONTAAL KRACHTENEVENWICHT

DUS : RESULTANTE DRUKZONE = RESULTANTE TREKZONE

½h

½h

½h trekkracht

N drukkracht N’

spanning :

y 5 = f

σ

b

y 2 4

1 2

1 p

2 y 1 y

'

. 0

f bh h

N M

f bh A

f N

N N

H

=

=

=

=

⇒ =

∑ =

h

balkdoorsnede

-

+

MOMENT – KROMMINGS DIAGRAM (M-κ κ κ diagram) κ

M_p

kromming κ moment

elastisch

elasto-plastisch

plastisch

Me

e

:

VORMFACTOR

M

= M

α _{RECHTHOEK : 1 , 5}

y 2 6

1

y 2 4

1

=

= bh f

f

α bh

VOORBEELD BEZWIJKEN

Gegevens :

a = 3,0 m; EI = 2250 kNm²; M_p = 63 kNm;

F = 200 kN; H = 15 kN;

Gevraagd :

a) Bepaal de evenwichtsvergelijking voor deze constructie voor zowel de elastische als de plastische fase.

b) Bepaal de kniklast.

c) Teken voor H=15 kN het last-verplaatsingsdiagram voor de horizontale verplaatsing van punt B en geef alle relevante punten en waarden hierin aan. Geef ook aan hoe deze lijn zich verhoudt tot de kniklast.

d) Bepaal de kritieke belasting F_c waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt.

e) Bepaal de tweede orde verplaatsing van punt B voor de gegeven H=15 kN en F= 200 kN

EI

EI, M_p

star star

2a

a

F H

a B

D

A C

E

u

OPLOSSING (OP BORD)

a) Zet de constructie in de verplaatste stand

- maak de op druk belaste delen vrij

- geef de relevante verbindingskrachten aan - stel per deel de e.v. op in de verplaatste stand - elimineer de koppelkracht

b) Kniklast wordt gevonden voor een initiële verplaatsing nul, stel de horizontale kracht H gelijk aan nul in de evenwichtsvergelijking.

Elastisch

2

3 12 EI 0

Fu Ha u

a

+ − =

Plastisch

3 Fu + Ha − 2 M p = 0

c) Voor het last-verplaatsingdiagram zijn een aantal punten van belang:

1. Eerste orde verplaatsing (klassieke aanpak in de onvervormde stand). De verticale belasting F heeft geen invloed op de krachtsverdeling. Stel F dus nul in de evenwichtsvergelijking voor de elastische fase

2. Eerste orde bezwijklast H_p : stel F=0 in de evenwichtsvergelijking voor de plastische fase en de daarbij behorende verplaatsing u_p, dit is de

verplaatsing waarbij juist het volplatistische moment M_p optreedt in de ligger. Bij een verplaatsing u=u_p treedt bezwijken door instabiliteit op

d) Kritieke last waarbij bezwijken door instabiliteit optreedt : vul u_p in de e.v. voor de plastische fase in

e) Tweede orde verplaatsing bij F=200 kN en H=15 kN : gebruik de e.v. voor de elastische fase

ANTWOORDEN

Kniklast : 4 1000kN

k = 2 =

a

F EI ₁^e orde verplaatsing: 0,015m

2250 12

27 15

1 =

×

= × u

1^e orde bezwijklast en de daarbij behorende verplaatsing : m

042 , 6 0

en kN

2 42 _p ²

p p

p = = = =

EI a u M

a H M

De tweede orde verplaatsing voor F=200 kN en H=15 kN : m

01875 ,

0 200 9 3

2250 12

3 15 12 3

.

2

2 =

×

× −

= ×

−

= a F

EI a u H

De kritieke belasting waar voor H=15 kN bezwijken door instabiliteit optreedt :

kN 857 , 042 642

, 0 3

3 15 63

2 =

×

×

−

= × Fc

EINDRESULTAAT

controle : 15 18,75mm

4 5 1 ¹

2 = × =

= − u n

u n _, ( vergrotingsfactor)

controle : 0,357 0,643 1,0

1000 857 , 642 42

1 ⇒ 15 + = + =

= +

k c

p F

F H

H

( Merchant ) 1000

500

40 30 20 10 643

200

Kniklast, neutraal

labiel stabiel

H=15 kN

Horizontale verplaatsing van punt B in mm F [kN]

bezwijken door instabiliteit