1: Home plate en Grass line
1. 122 + 122 = 288 en 172 = 289; volgens de stelling van Pythagoras zouden de uitkomsten hetzelfde moeten zijn. Het klopt dus niet exact.
2. 2PS2 HP2 18,392 338, 2 dus PS 13, 00 m.
2 2 2 28,92 13,02
SR PR PS dus SR = 25,8 m en HR = 38,8 m 2: Pythagoras beredeneerd
1. b. De twee witte vierkanten hebben gelijke oppervlakte. Haal je van elk vier driehoeken af, dan heeft de rest weer gelijke oppervlakte.
2. a. In de abc-driehoek geldt: + + 90 = 180, dus + = 90
(of: in de vierhoek is elke hoek + , dus elke hoek is 14360 90. b. In de driehoeken 12ab, in het kleine vierkant (a b )2.
c. c2 4 12ab(a b )2
d. uitwerken: c2 2ab a 22ab b 2, dus c2 a2b2.
3. 412ab c 2 (a b )2, dus 2ab c 2 a22ab b 2, dus c2 a2b2. 4. a. 682 = 4624 en 612 + 302 = 4621, dus niet rechthoekig.
b. 652 = 4225 en 562 + 332 = 4225, dus wel rechthoekig.
5. a. 602 + 112 = 3721 en 612 = 3721 b. De hoek tegenover zijde 61 is recht.
c. Bij vraag b.
3: Oefenen en verdiepen
1. a. 52 + 122 = 132, dus de hoek tegenover de zijde met lengte 13 is recht, volgens de omgekeerde stelling van Pythagoras.
b. Noem de rechthoekszijden a en b, dan geldt volgens de stelling van Pythagoras:
a2 + b2 = 100. Vul voor a de getallen 1 t/m 10 in en je vindt dat de zijden 6 en 8 zijn.
c. Uit a2 + a2 = 1 (stelling van Pythagors) volgt a2 21 dus a 12 0,707, dus tussen 70 en 75 cm.
d. 9581279802 12469 (stelling van Pythagoras)
2. Uit b > 0 volgt b2 > 0, dus a2 + b2 > a2, dus c2 > a2; omdat a en c ook positief zijn, volgt hieruit c > a.
3. Driehoek APQ is rechthoekig, dus geldt volgens opgave 2 dat AQ > AP. Omdat dit voor elk punt Q op lijn l geldt, is AP het lijnstuk met de kortste afstand.
4. a. 95812 + 79802 = 155475961 en 124692 = 155475961; omdat je van beide uitkomsten weet dat ze een geheel getal zijn, volgt hieruit dat ze exact gelijk zijn.
b. 1000000212 1000000,0000005
c. Op je de rekenmachine wordt dit afgerond op 1000000.
5. 6502722 6. a. 2, 3, 2, 5
b. 1000 1000000 , dus na 999999 stappen
c. Nee: van de opvolgende driehoeken is de overstaande zijde steeds 1 en de aanliggende rechthoekszijde wordt steeds groter, dus de hoek wordt steeds kleiner.
7. a. achtereenvolgens: scherp, stomp, recht, scherp, scherp, stomp, stomp, scherp.
b. stomp, recht, scherp
c. rechte hoek tegenover zijde met lengte 13; stompe hoek tegenover zijde met lengte 14
d. c neemt toe van a b tot a + b. De stijging gaat vanaf punt P tot het punt waar AB de cirkel raakt steeds sneller en daarna weer steeds langzamer. In het raakpunt is c gelijk aan a2b2 . In punt Q is c gelijk aan a2b2 .
8. a. a = 2835, b = 2668, c = 3893. 28352 + 26682 = 15155449 = 38932, dus het klopt.
c. Voor elk paar gehele getallen m en n zou dan moeten gelden dat (n2 m2)2 + (2nm)2 gelijk is aan (n2 + m2)2.
(n2 m2)2 + (2nm)2 = n4 2n2m2 + m4 + 4n2m2 = n4 + 2n2m2 + m4 = (n2 + m2)2, dus op deze manier krijg je altijd een Pythagorees drietal.
9. a. c2 = a2 + a2 = 2a2 dus c 2a2 2 a2 2 a a 2. b. Bij vraag a is gevonden dat d a 2. Hieruit volgt
2 a d . c. 100 2 141, 421 cm
d. 200
141, 421
2 cm
10. a. 2 2
d en d 12d 2 2 12d 2 d dus 12 2 2
d d
b. 1 1 2 2 12
2 2
2 2 2
11. a. (1 2)(1 2) 1 2 2 2 2 2 3
(2 2 2)(3 2) 6 2 2 6 2 2 2 2 6 4 2 4 4 2 2 b. ( 2 1)( 2 1) ( 2) 2 12 2 1 1
2 2
(5 2 2)(5 2 2) 5 (2 2) 25 8 17
c. 1 1(2 2) 2 2 2 2 12
4 2 2 2 1
2 2 (2 2)(2 2)
3 1
7 7
1 3 2 3 2
7 2
3 2 (3 2)(3 2)
1 4
7 7
3 2 1 (3 2 1)(2 2 1) 11 2 7 2 1 2 2 1 (2 2 1)(2 2 1)
4: Een belangrijke methode 1. c. (x + 1)2 = x2 + 62
d. x2 + 2x + 1 = x2 + 36, dus 2x = 35, dus x = 17,5
2. Foutje: in het grijze vak moet BD vervangen worden door BC.
c. Het vierkant met diagonaal PC heeft zijde x, dus het vierkant met diagonaal PA heeft zijde 10 x, dus (10x)2(10x)2 x2.
d. (10x)2 12x2, dus 10 x 12x, dus x 12 x 10, dus (1 12) x 10, dus
1 1
2 2 1
1 2
1 1 1
2 2 2 2
10(1 ) 10(1 )
10 20(1 ) 20 10 2
1 (1 )(1 ) 1
x
3. Noem die afstand x. De rechthoek met diagonaal AP ( = x) heeft zijden 5 en 10 x. De stelling van Pythagoras geeft x2 52(10x)2, dus x2 25 100 20 x x 2, dus
20x125, dus x614.
5: Voortzetting
1. Foutje: In het eerste grote vierkant staan twee letters x; de onderste hiervan moet weg. Bij het middelpunt van het kleine cirkeltje rechtsboven moet een A staan.
u: u 14 8 2
v: v QM u 2 2 2
w: (2 w)2 + 4 = (2 + w)2, dus 4 4w + w2 + 4 = 4 + 4w + w2, dus 8w = 4, dus w 12
x: QA is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek waarin geldt:
(u + x)2 = (u x)2 + (2 x)2, dus 4 + 4x + x2 = 4 4x + x2 + 4 4x + x2, ofwel x2 12x + 4 = 0, dus (x 6)2 = 32 met oplossing x 6 32 (ga zelf na waarom
6 32
x niet voldoet!)
y: Het lijnstuk van het midden van het grote vierkant tot het middelpunt van de cirkel met straal y is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek waarvoor geldt:
(4 y)2 + (4 y)2 = y2, dus y2 16y + 32 = 0, dus (y 8)2 = 32, met oplossing 8 32
y (y 8 32 voldoet niet omdat dit groter dan 2 is)
z: z2 + z2 = (2y)2, dus 2z2 = 4y2, ofwel z2 = 2y2, dus z 2 y 2(8 32) 8 2 8 6: Gelijkvormigheid, wat is dat?
1. a. 4921 1941
b. Die verhouding is voor elke cirkel 2.
2. a. IJ : IH = BC : BA, dus HIJ ~ ABC; EF : FG AB : BC, dus EFG en ABC zijn niet gelijkvormig.
b. P links, Q boven, R rechts
3. a. A, H en P zijn gelijk, E is groter.
b. Omdat de drie hoeken van een driehoek samen altijd 180 zijn, zijn de derde hoeken dan ook gelijk.
c. Teken ze zo dat B L.
4. 1 : 3
7: Hoeken en evenwijdigheid, een déjà vu 1. b. 180
c. gelijk; samen 180
2. b. De twee andere driehoeken hebben dezelfde hoeken als de eerdere twee, dus zijn ze daarmee gelijkvormig.
3. a. 180 , 180 en 180 .
b. (180 ) + (180 ) + (180 ) = 360
c. 540 = 360, dus + + = 180
4. b. een gestrekte hoek, dus 180
c. De drie hoeken zijn gelijk aan , en (wegens Z-hoeken), dus + + = 180.
5. a. 89
b. 62
c. 40
d. beide 72 of één van 36 en één van 108
e. 140
f. = 180
8: Evenwijdigheid en gelijkvormigheid: goede vrienden 1. a. ABC en DEC (in beide figuren).
b. AB AC BC DE DC EC 2. a. ABC, DEC en AFD
b. FBED is een parallellogram (wegens de evenwijdige zijden), dus FD = BE.
c. Teken de lijn door D evenwijdig aan AG. Deze snijdt CG in H.
d. Teken eerst parallellogram PRMN, waarbij N het snijpunt is van de lijn door P evenwijdig aan RM en de lijn door M evenwijdig aan RP. Teken dan de lijn door L evenwijdig aan KN; deze snijdt MN in een punt S. Teken de lijn door S evenwijdig aan MR (en NP); deze snijdt PR in Q.
Andere oplossing: Teken driehoek KPM en driehoek PMR. Trek in driehoek KPM de lijn door L evenwijdig aan KP. Het snijpunt van deze lijn met PM noem ik N. Trek dan in driehoek PMR de lijn door N evenwijdig aan MR. Deze snijdt PR in Q.
3. a. Dit is een zelfde situatie als bij vraag 2.
b. De diagonaal verdeelt de beide witte driehoeken ook in gelijke delen. Als je die weghaalt, houd je de twee grijze rechthoeken over; die hebben daarom ook gelijke oppervlakte.
c. ad en bc zijn de oppervlakten van de grijze rechthoeken; volgens vraag b zijn die gelijk.
4. a. De breuken gelijknamig maken: ad bc
bd bd . Hieruit volgt ad = bc.
of: vermenigvuldig beide leden met bd; dan krijg je a c
bd bd
b d , dus ad = bc.
b. 55 233 89 144; 221 589 = 323 403; 2 2047 45 91; dus alleen de tweede klopt.
c. beide verhoudingen zijn gelijkwaardig met ad = bc.
5. a. b e
a , dus d b bd d
e d b
a a a
b. c : a = f : d
c. Die factoren zijn gelijk aan d
a als de driehoeken gelijkvormig zijn.
6.
3 4 5 3 9 12 15
16 22 35 0,75 12 16,5 26,25
4,8 7,2 3,6 10/3 16 24 12
18 10 23,2 0,25 4,5 2,5 5,8
9: Een beeldschone driehoek 1. b. DCB = en ACD =
c. Deze driehoeken hebben gelijke hoeken.
2. a. a : q = c : a, dus a2 = qc
b. ADC ~ ACB, dus b : p = c : b, dus b2 = pc
c. a2 + b2 = qc + pc = (q + p)c = cc = c2. dus a2 + b2 = c2 (Pythagoras!) 3. Uit ADC ~ CDB volgt p : h = h : q, dus h2 = pq
10: De stelling van Thales
1. c. In een rechthoek zijn de diagonalen gelijk en snijden ze elkaar middendoor, dus MA = MB = MC ( = MZ)
e. MA = MB is de straal van de cirkel; dit is gelijk aan MC, dus C ligt op de cirkel.
2. a. pAD AM MD 12c x b. q12c x
c. CM2 h2x2 pq x 2 (12c x )(21c x ) x2 41c2x2x2 14c2 dus CM 12c 3. c. s2 + t2 = (2r)2
e. De stelling van Pythagoras in OUR f. s2 = (r + x)2 + y2 en t2 = (r x)2 + y2 dus
s2 + t2 = (r + x)2 + y2 + (r x)2 + y2 = r2 + 2rx + x2 + y2 + r2 2rx + x2 + y2 =
= 2r2 + 2(x2 + y2) = 2r2 + 2r2 = 4r2 = (2r)2 4. a. OPR = ORP en OQR = ORQ
c. In PQR is de hoekensom 2 # + 2 * = 180, dus # + * = 90. In de gelijkbenige driehoek met basishoeken * is de derde hoek (bij O) 180 2 * = 2 #.
e. De twee hoeken bij O zijn 2 # + 2 * = 180, dus # + * = 90, dus PRQ = 90
(maar dat wisten we twee regels terug ook al!).
N.B. Een makkelijker bewijs is (na vraag a): Uit de hoekensom van driehoek PQR volgt 2 # + 2 * = 180, dus # + * = 90, dus PRQ = 90.
12: Extra oefeningen 1. a. De omkering
b. 2: 1 bij 1; 5: 1 bij 2; 10: 1 bij 3; 13: 2 bij 3; 10: 6 bij 8.
11 kan niet want 11 is niet de som van twee kwadraten van gehele getallen.
2. a. Uit de stelling van Pythagoras in de driehoeken ADC en BDC volgt h2 = b2 p2 en h2 = a2 q2 dus b2 p2 = a2 q2, ofwel q2 p2 = a2 b2.
b. Nee, dat is in de afleiding niet gebruikt.
3. a. Waar b. Waar
c. Niet waar; teken zelf een tegenvoorbeeld.
4. b. (4 x) : x = 4 : 8 = x : (8 x)
c. 8(4 x) = 4x, dus 32 = 12x, dus x223
5. b. p = fa en q = fb en r = fc, dan a fa p c fc r
6. Volgens de stelling van Thales is ACB recht. Uit de stelling van Pythagoras in
ABC volgt BC2 + 3,32 = 6,52, dus BC2 = 31,36 en dus BC = 5,6.
7. De stelling van Thales in beide cirkels toepassen geeft GED = 90 en FEG = 90.
FED = GED + FEG = 90 + 90 = 180 dus DE en EF liggen op één rechte lijn.
8. 6 6( 5 2) 6( 5 2)
2 5 2 2 5 2 ( 5 2)( 5 2) 5 2
1 1 1 1
2 2 2 2
6 6( 27 23) 6( 27 23)
1 27 1 23 4 3 1 23
27 23
27 23 ( 27 23)( 27 23)
9. De rechthoek heeft zijden 1 en x; deze bestaat uit een vierkant van 1 bij 1 en een rechthoek van x 1 bij 1. De rechthoeken zijn gelijkvormig dus (x 1) : 1 = 1 : x.
x2 x = 1, dus (x21)2 114, dus x 12 141 of x 12 114 . De eerste oplossing
10. b. De basishoeken van ABC zijn gelijk aan de basishoeken van BDA, dus zijn deze driehoeken gelijkvormig.
c. AC = BC = x, AB = AD = CD = 1, BD = x 1.
Uit de gelijkvormigheid volgt (x 1) : 1 = 1 : x. De oplossing is weer x 12 12 5. d. Noem C: . Dan is ADC gelijk aan 180 2, dus BDA = 2 en B = 2.
In driehoek ABC geldt: 2 + 2 + = 180, dus = 36. De driehoek heeft dus basishoeken van 72 en een tophoek van 36.
