(1) Deze plaatsve tor wijst van de oorsprong van het oördinatenstelsel naar de positie van het deeltje

2 Klassieke me hani a

2.1 Inleiding

In de me hani a willen we de banen van deeltjes (of meer algemeen obje ten, dat wil zeggen

verzamelingenvandeeljes)bes hrijven. Omeendergelijkebes hrijvingmogelijktemakenkiezen

we een willekeurig oördinatenstelsel inde drie-dimensionale (3D) ruimte. Dit stelselbevat een

oorsprong en drie veelal onderling loodre ht gekozen ri htingen die we vervolgens de x^, y ^en z^{-ri htingnoemenen aangeven met}respe tievelijk deve toren~i^,~j ^en~k^{. Verder brengenwe een}

afstandsverdeling aan op de x^,y ^en z^{-as. Tijd wordt gemeten met een universeel lopende klok}

eneen willekeurigtijdstipwordtgekozenalst = 0^{. Vervolgens wordentijdenvan}gebeurtenissen relatief gemetentenopzi htevant = 0^.

We bes hrijven de positie waarop een obje t zi h bevindtin de 3D ruimte met de plaatsve tor

(of positieve tor)

~r = x~i + y~j + z~k. ⁽¹⁾

Deze plaatsve tor wijst van de oorsprong van het oördinatenstelsel naar de positie van het

deeltje. De instantane snelheidsve tor ~v ^{is de mate van} verandering van de plaatsve tor. De groottevan dezeve tornoemenwede snelheiden dezeve tor wijstindebewegingsri hting. Er

geldt

~v = lim

∆t→0

∆~r

∆t = d~r

dt. ⁽²⁾

Gerelateerd aan de snelheid is de impuls. Er geldt ~p = m~v^{. Detotale impuls van een systeem,} P

i~p_i^{,is een behoudengrootheid.}

Deinstantaneversnelling~a^{isookeenve torenisdematevan}veranderingvandesnelheidsve tor.

Er geldt

~a = lim

∆t→0

∆~v

∆t = d~v dt = d²~r

dt². ⁽³⁾

2.2 Galileo Galileï en het relativiteitsprin ipe

Steluvoordatueenblokijsopeenglazenplaatgooit: hetglijdtenkomtuiteindelijktotstilstand.

Maak de plaat nat en het blok zal een grotere weg aeggen, alvorens tot stilstand te komen.

Neem een blok droogijs (dat is bevroren koolstofdioxide) dat glijdt over een lu htkussen van

koolstofdioxidedamp en neemwaardat ditblok veelverder zalglijden zondernoemenswaardige

vermindering van snelheid. Voor de komst van Galileo Galileï (1564 - 1642) da ht men dat er

altijd een kra ht nodig is om een obje t met onstante snelheid te laten bewegen. Galileï zag

indatdesnelheidsverminderingveroorzaaktwordtdoorwrijvingskra hten. Alsmendewrijving

vermindert,danvermindertookdesnelheidsafname. Galileïredeneerdedatalsmenallekra hten

van een obje t kan verwijderen, in lusief wrijvingskra hten, de snelheid van een li haam nooit

zalveranderen. Dezeeigens hapnoemdehijinertia.

Uit het bovenstaande volgt dat we geen vers hil kunnen maken tussen een obje t in rust of

een obje t dat met onstante snelheid beweegt. Of een obje t in rust blijft of met onstante

snelheidbeweegthangtafvanhet oördinatenstelsel(referentiesysteem)waarinhetobje twordt

bes houwd. Stelu voor dat ueen reizigerbentineen treindiemet onstantesnelheidlangs een

re hte lijn beweegten uplaatst een biljartbal op hettafeltjevoor u (nodeloostezeggen dat we

aannemendat dezetafelperfe t horizontaalis...). Relatieftenopzi htevandetrein isdebalin

rust, zolang de trein met onstantesnelheid ten opzi hte van het perron beweegt. Relatief ten

opzi htevan hetperron beweegt de balmetdezelfde snelheid alsde trein.

Vervolgens begint de ma hinist met afremmen omdat de trein hetvolgende station nadert. De

trein versnelt ten opzi hte van het perron (het is een negatieve versnelling, een vertraging) en

u zult zien dat de bal op uw tafeltje naar voren begint te rollen. De bal versnelt ten opzi hte

van de trein ondanks het feit dat er geen kra ht op werkt! Een referentiesysteem dat versnelt

ten opzi hte van een inertiaal referentiesysteem is geen inertiaal referentiesysteem. Als er geen

kra hten werken op een obje t (in ons geval de biljartbal), dan is elk referentiesysteem ten

opzi hte waarvan de versnellingvan het obje tgelijk is aan nul een inertiaal referentiesysteem.

Zoweldetrein,zolangdiemet onstantesnelheidbeweegt,alshet perronzijn,ingoedebenader-

ing, inertiaalsystemen 2

.

Toen Galileo Galileï leefde was erom voor de hand liggenderedenen, grote belangstelling voor

de banen van kanonskogels. Galileïbestudeerdedergelijke banen en ontdekte dat

• ^{de matewaarineen voorwerpvalt}(versnelling) niet afhangtvan demassavan hetobje t, en dat

• ^{dematewaarineen voorwerpvalt,de}versnellingvaneenvoorwerptijdensdeval, onstant is, dus onafhankelijk van de tijd. We noemen deze onstante de gravitatieversnelling en

dezebedraagtg = 9, 8 ^m/s2.

Een groteen eenkleine kanonskogelvallen derhalve opdezelfde manieren zelfsookeenkanons-

kogelen eenveertje mitsmenervoorzorgt datlu htweerstandgeenrolspeelt. Gewi ht heefter

niets mee temaken 3

en we kunnen dit bewijzen door experimenten uit te voeren 4 5

. Dit is de

eerstestap ri hting hetequivalentieprin ipe dat steltdat gravitatie niet onders heidbaar isvan

uniformeversnelling.

Wij bes houwen een vrij-vallendvoorwerpinéén dimensie: deverti ale(y^{) ri hting. Dewaarde} y^{neemttoemetafnemendeafstandtothetmiddelpuntvandeaarde. Alsweeenvoorwerplaten}

vallendanisde versnelling onstanten geldta = g = 9, 8^{m/s2. Omdat}a = ^dv_dt ^{vinden wenude}

snelheid door integratie. Er geldt v = R_t

0adt = v₀+ gt^,waarbij v₀ ^{deinitiële snelheid op} t = 0

is. Verderneemtdesnelheidlineair indetijdtoe. Deafgelegde wegvindenwedoornogmaalste

integreren. Ergeldtd(t) =Rt

ovdt =Rt

0(v₀+ gt)dt = d₀+ v₀t +¹₂gt^2,waarbijd₀ ^{deafstand isdie}

hetvoorwerpreeds afgelegd had vóór tijdstip t = 0^{. We zien dat de afgelegde weg} kwadratis h toeneemt inde tijd.

Vervolgens bes houwenwedebeweging vaneen voorwerpintwee dimensies. Hiertoe analyseren

wedebewegingvaneenkanonskogeldieafgevuurdwordtoptijdstipt = 0^meteenbeginsnelheid

u^ondereenhoekθ^metdex^{-as. Desituatie isges hetstinFig. 1. Voor deinitiëlesnelheidgeldt}

2

Hetreferentiesysteemdatverbonden ismet hetoppervlakvandeaardeis niet helemaaleen inertiaalrefe-

rentiesysteem,omdatereenkleineversnellingisvanhetaardoppervlaktengevolgevanderotatievandeaarde,

alsookeenversnellingtengevolgevandebewegingronddezon. Dezeversnellingenzijnkleinerdan0, 01^{m/s2 en}

kunnenvaakwordenverwaarloosd.

3

Ditkanook begrepen worden uit eengeda htenexperiment vantoeges hreven aan Galileï. Steldat zware

voorwerpensneller vallendan li htevoorwerpen. We bindenvervolgens eenli htekogelvastaan een zware en

gooienhetstelnaarbenedenvandetorenvanPisa. Nuzaldeli htekogeldezwareafremmenende ombinatie

valtlangszamerdandezwarekogelalleenzouvallen. De ombinatieise hterzwaarderdanenkeldezwarekogel

enzoudussnellermoetenvallen. Ergo, ontradi tiointerminis.

4

SimonStevin heeftreeds in1586 zijnexperimentgepubli eerd waarin hijtwee lodenballen, een tien keer

zwaarder dande ander,vandeklokkentorenvande oude kerkinDelft heeftlatenvallenovereenafstand van

ongeveer10 m. Hierbij werd geen vers hil waargenomen integenstelling totde bewering van aanhangersvan

Aristoteles. Zijn publi atiewas driejaar vóór Galileï'seerstebehandelingvangravitatieen18jaar eerderdan

Galileï'stheoretis hwerkovervallendeli hamen.

5

EendergelijkexperimentisdoorastronautDavidS ottuitgevoerdopdemaanmeteenhamerenveertijdens

Figuur1:Baanvaneenkanonskogeldieafgevuurdwordtoptijdstipt = 0^meteenbeginsnelheid

u^ondereenhoekθ^metdex^{-as. De}re hterguurlaatziendatdeverti alebewegingonafhankelijk vande horizontale beweging bes houwdkanworden.

u_x = u cos θ^en u_y = u sin θ^{. De snelheidinde verti ale ri hting wordtgegeven door}

v_y = u_y− gt → y = u_yt −1

2gt². ⁽⁴⁾

De kanonskogel raakt de grond als y = 0 ^{en oplossen van} bovenstaande vergelijking levert een vlu httijd T = ^2u_g^y.

Inde horizontale ri htingwerkt ergeen versnellingen wordtde x^{-positie gegevendoor}

x = u_xt. ⁽⁵⁾

We kunnenvergelijking (4)en (5)samennemen enhieruit telimineren. We vinden dande baan vande kogel,

y = uy

u_xx − g

2u²_xx², ⁽⁶⁾

en ziendat de kogeleen parabolis he baan heeft.

Hetideedatwedebeweginginhorizontaleenverti aleri htingmogenontkoppelenenzelfstandig

behandelen is van Galileï. Het is een eerste versie van het relativiteitsprin ipe. Toen Ni olas

Coperni us (1473 - 1543) stelde dat de aarde en andere planeten rond de zon bewegen, was

het moeilijk te begrijpen waarom we deze beweging niet voelen. Waarom vliegen we niet van

de aarde af, of blijft de atmosfeer a hter als de aarde met grote snelheid rond de zon raast?

Galileï gebruikte de onafhankelijkheid van vers hillende bewegingen om dit te verklaren. Net

zoals voorwerpen diebinnen een trein verti aal vallen enhet niet uitmaakt of de trein stilstaat

ofmet onstante snelheidbeweegt, zo merkenwij ooknietdat deaardemet grotesnelheiddoor

het universum vliegt. Tegenwoordig stellen we dat alle natuurwetten hetzelfde zijn voor een

waarnemer die met uniforme snelheid in een re hte lijn beweegt als die voor een waarnemer in

rust. We noemen dithetrelativiteitsprin ipe.

2.3 De wetten van Newton

Inmoderne bewoordingen kunnen dewettenvan Newtonalsvolgt geformuleerd worden:

• ^{Eerste wet: een voorwerpblijft inrust alsergeenexterne kra ht op werkt. Een voorwerp}

inbewegingheeft een onstante snelheid alsergeenexterne kra ht op werkt.

• ^{Tweede wet: de} versnelling van een voorwerpis inde ri hting vande nettoexterne kra ht dieeropwerkt. Deversnellingisevenredig metdeexternekra htovereenkomstigF = m~a~ ^,

met m ^{de massa van het voorwerp. Merk op dat het verband tussen kra ht en impuls}

gegeven wordtdoor F =~ ^d~_dt^{p. Denetto kra ht isde ve torsom vanalle kra hten dieop het}

voorwerpwerken, F~_netto=PF = m~a~ ^.

• ^{Derde wet: kra htenkomen altijd voor inparen metgelijkegrootte en} tegengestelderi h- ting. Als een voorwerp A ^{een kra ht} F~_A,B ^{uitoefent op voorwerp} B^{, dan wordt er een}

gelijke maar tegengesteld geri hte kra ht

F~B,A ^{door voorwerp} B ^op A uitgeoefend. Er geldt F~_B,A = − ~F_A,B^.

Deeerstewetisduidelijkinovereenstemming metdeideëenvanGalileoGalileï. Hetleidttothet

relativiteitsprin ipeen hetfeitdat beweginginvers hillende ri htingen onafhankelijkbehandeld

kanworden. Ook detweedewetisgeïnspireerddoorGalileïenomditduidelijk temakendienen

we debegrippenmassaen gewi ht nadertebes houwen. Alswe een voorwerpwillen versnellen,

dan dienen we ereen kra ht op uit te oefenen. Deversnellingheeft dan de waarde a = ^F_m^{. De}

massam^{kangezien wordenalsdeweerstand, inertia, tegen}versnelling. Massaheeftalseenheid kilogram [ kg ℄. Hoe groter de massa, hoe moeilijker het is om het voorwerp in beweging te

brengen. Hetgewi ht van een voorwerpis degravitatiekra ht die eropwerkt. Hetis een kra ht

die, vooreen obje tmet massa1 kg,aan hetaardoppervlak gelijkis aanF_g = mg = 9, 8 ^Nmet

alseenheidNewton[N℄.AlswedetweedewetvanNewton ombinerenmetGalileï'sontdekking

dat voorwerpen met vers hillende massa's op dezelfde manier vernellen onder gravitatie, dan

blijktdat hetgewi ht vaneen voorwerpinderdaad evenredig moetzijnmet haar massa.

Dit is als volgt in te zien: stel we tillen een zwaar voorwerp op en houden het vast. Wat

we voelen als gewi ht is in werkelijkheid de sensatie van het uitoefenen van een naar boven

geri htekra ht omhetvoorwerphoog tehoudentegen dewerking van dezwaartekra ht in. Uit

de eerste wet volgt dat de totale kra ht op het voorwerp nul is en dat onze opwaartse kra ht

pre ies de zwaartekra ht op het voorwerp opheft. Het gewi ht van het voorwerp is dus gelijk

aan de zwaartekra ht die erop werkt. Als we het voorwerp loslaten, dan is de zwaartekra ht

erop nog steeds gelijk, terwijlonze opwaartse kra ht verdwenen is: het voorwerpversnelt naar

beneden, hetvalt. Volgens Galileï is de versnellinge hter niet afhankelijk van hetgewi ht. De

enigemanierwaaropwedekra ht F ^{(hetgewi ht)kunnenveranderenzonderde}versnellinga^te

veranderen, is door het gewi ht F ^{evenredig te maken met} m^{, dus} F~_gewicht = m~g^{. In dat geval}

geldt namelijk ~a = ^F~gewicht_m = ^m~g_m = ~g ^{en voorwerpen vallen} onafhankelijk van hun gewi ht of massa,de versnellingisgelijkvoor allevoorwerpenen bedraagt 9,8m/s

2

. Wenoemende massa

m ^{die als} evenredigheids onstante optreedt inde uitdrukking voor gewi ht F = m~g = m~ _zware~g

ook wel de zware massa, terwijl de massa die optreedt in de tweede wet

F = m~a = m~ trage~a

de trage massa. Galileï's equivalentieprin ipe stelt dat zware massa en trage massa gelijk zijn

en we s hrijven m_zware = m_trage = m^{. We kunnen Galileï's} equivalentieprin ipe nu als volgt formuleren: demassavan een li haam isevenredigmet haar gewi ht.

Newtonlietziendat dezelfde gravitatiedieervoor zorgtdat appelsnaar de aardevallen,erook

voor zorgt dat de maan bij de aarde blijft en dat de aarde rond de zon beweegt. De relatief

eenvoudige wiskundige uitdrukking F = m~a~ ^{was onsistent met alle bekende} meetgegevensvan planeetbanen. Degrootte vande kra ht tussen twee obje ten met massaM₁ ^en M₂ ^{ges heiden}

dooreen afstand r ^bedraagt

F_grav = GM₁M₂

r² , ⁽⁷⁾

met G ^een evenredigheids onstante die Newtons gravitatie onstante genoemd wordt met als waarde G = 6, 6720 × 10^{−11 m3s−2kg−1. Dekra ht is altijd attra tief en in Newtons theorieis}

de werkinginstantaan.

2.4 Doppleree t en gravitationele roodvers huiving

Stel datGalileï samen mettwee kanonskogels van de torenvanPisa wasgevallen. Op weg naar

benedenzoudendetwee kogels eenvoudig inzijnnabijheid zijngebleven. Ten opzi htevan hem

zouden de kogels zi h gedragen alsof er helemaal geenkra hten op werken. Als hij nu één van

de kogels een zetje zou geven ineen willekeurige ri hting, dan zou deze kogel tenopzi hte van

hem met uniforme snelheid langs een lijn in die ri hting bewegen. Zowel Galileï als de kogel

versnellen ten opzi hte van de aarde, maar als we over hun relatieve beweging spreken, dan

kan deze gemeens happelijke versnelling afgetrokken worden en houden we alleen een relatieve

beweging over. Dit gebeurt enkel omdat voor gravitatie de versnelling van elk obje t in een

gravitatieveld gelijk is. We kunnen het equivalentieprin ipe nu ook als volgt formuleren: in

een gravitatieveldgedragen alle voorwerpen zi h zodanigdat ze volkomen vrijlijken tezijnvan

gravitatiekra htenals ze bekeken worden door vrij-vallendewaarnemers. Voor een vrij-vallende

waarnemerzijndenatuurwettenhetzelfdealsdieinderuimte,vervanalle massieveobje tenen

hun gravitatievelden.

Bovenstaande formulering van het equivalentieprin ipe maakt geen gebruik van begrippen als

massa en versnelling en is bijzonder nuttig in het bes hrijven van het ee t van gravitatie op

li ht 6

. Wekunnenhetee t vangravitatieopli ht nu vindendoorteeisen dathet zi h dient te

gedragen alsof er geengravitatie is als het wordt bes houwd door een vrij-vallende waarnemer.

Dit betekent inhetbijzonder dat het voor die waarnemer eenre hte lijndient tevolgenzonder

verandering infrequentie.

ct

(c-v)t vt

Figuur2:Li htgolven lopenvanlinksnaarre hts. Een dete tormeethetaantalgolrontendat

passeert. Defrequentie ishetaantal golrontendat pertijdseenheid gemetenwordtenhangt af

vande snelheidvan dedete tor.

6

We weten dat li ht een bijzondereplaats inneemt inEinstein'srelativiteitstheorie: de snelheid vanli ht is

eenuniversele onstanteinelkreferentiesysteem,terwijlli ht eeninertialemassaheeftdiegelijkisaannul. We

kunnendaaromnieteenvoudigdewetF = m~a~ ^{gebruikenomdebewegingvanli htte}bes hrijven.

In hetalgemeen wordt de frequentie van li ht beïnvloed door de beweging van een waarnemer.

Dit wordt de Dopplervers huiving 7

genoemd. We bes houwen li ht als een golfvers hijnsel met

golengte λ ^{en frequentie} f^{. Hiervoor geldt de relatie} λ = _f^c = cT ^met c ^de li htsnelheid en

T ^{de periode. De bovenste afbeeldinginFig. 2 toont de situatie voor een} stilstaande dete tor.

Alle golronten inhet intervalct ^{zijn de dete tor gepasseerd} (vetgedrukte fronten). Als dit N

golronten zijn, dan is de frequentie f = ^N_t^{. In het ondersteplaatje zijnsle hts}N^{′ golronten}

gedurende tijd t ^{de dete tor gepasseerd} (vetgedrukte fronten), omdat de dete tor naar re hts beweegt. Deverhouding

N^′

N ^{ishetzelfdealsdeverhoudingvandelengten,} (c−v)t

ct = 1 −^v_c^{. Hieruit}

volgt dat demeebewegende dete toreen lagere frequentiemeet,

f^′ = N^′

t = (1 − v c)N

t = (1 −v

c)f. ⁽⁸⁾

Als de frequentie verandert, dan verandert de kleur van het li ht. Als de li htbron van ons af

beweegtspreken vaneenroodvers huiving, terwijlwe over een blauwvers huivingspreken alsde

bron naaronstoe beweegt.

We zijn nu in staat om de gravitationele ee ten op li ht af te leiden door te eisen dat li ht

zi h dient tegedragenalsof ergeengravitatieis wanneerhetwordt waargenomendoor een vrij-

vallende waarnemer 8

. Hiertoe bes houwen we het Pound-Rebka-Snider experiment dat begin

fotonen vallen omlaag

fotonen gaan omhoog

bron

Figuur 3:S hematis he weergave vanhetPound-Rebka-Snider experiment voor demetingvan

de gravitationele roodvers huivingvanfotonen door de aarde.

7

InhetgevalvangeluidsgolvenzorgthetDoppleree tvooreenvers huivingnaarhogerefrequentievandetoon

vandesirenevaneennaderendeziekenwagen,terwijldetoonnaarlagerefrequentiesvers huiftalsdeziekenwagen

vanonsafbeweegt.

8

Evenzovoelenwijdebewegingvandeaarderonddezonniet,omdatdeaardeinvrijevalisenerdusniets

tevoelenvalt.