Translocatie van homogene polymeren door een nanoporie

(1)

Technische Universiteit Delft

Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics

Translocatie van homogene polymeren door een nanoporie

Verslag ten behoeve van het Delft Institute for Applied Mathematics

als onderdeel ter verkrijging

van de graad van

BACHELOR OF SCIENCE in

TECHNISCHE WISKUNDE

door

LISA PRIEM Delft, Nederland

Juni 2011

(2)

(3)

BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE

“Translocatie van homogene polymeren door een nanoporie”

Lisa Priem

Technische Universiteit Delft

Begeleider

Dr. J.L.A. Dubbeldam

Overige commissieleden

Dr.ir. R.J. Fokkink Dr. J.G. Spandaw

Juni, 2011 Delft

(4)

(5)

Inhoudsopgave

1 Inleiding 6

1.1 Biologische achtergrond . . . 6

1.1.1 DNA . . . 6

1.1.2 Nanoporie . . . 7

1.1.3 Translocatie van DNA door een nanoporie . . . 7

1.1.4 Translocatietijd . . . 8

1.2 Doel . . . 8

1.3 Indeling verslag . . . 9

2 De Modellen 10 2.1 Aannames . . . 10

2.2 Het standaard model . . . 10

2.3 Het ge¨ıdealiseerde model . . . 11

3 Rouse model 13 3.1 Langevin vergelijking . . . 13

3.2 Eigenwaarden en -vectoren Rouse model . . . 15

3.3 Normaalco¨ordinaten . . . 17

3.4 Auto correlatie functies . . . 18

3.5 Gemiddelde kwadratische verplaatsing . . . 19

4 Subdiffusie 20 4.1 Variantie van het middelste monomeer . . . 20

4.2 Subdiffusie van het middelste monomeer . . . 21

4.3 Matlab . . . 22

5 Conclusie 23 5.1 Aanbevelingen . . . 23

6 Appendix 24 6.1 Appendix A . . . 24

6.2 Dimensieloos . . . 25

6.3 Matlab code . . . 26

(6)

Samenvatting

Translocatie van een ketting met verschillende kraaltjes door een zeer kleine porie kan gebruikt worden als een eerste stap voor het modelleren van het transport van DNA door een membraan. Dit translocatieproces biedt een groot aantal kansen in chemische en biologische processen, zoals het snel kunnen afezen van DNA. Het translocatieproces wordt gezien als een subdiffusie. In dit verslag is de ketting gemodelleerd als een homogeen polymeer. Het standaard model dat gebruikt wordt om het translocatieproces te beschrijven, is in essentie moeilijk op te lossen. Er is echter een ge¨ıdealiseerd model dat een goede omschrijving geeft van het standaard model. In mijn onderzoek heb ik gevonden dat het ge¨ıdealiseerde model net als in het standaard model de subdiffusie omschrijft van een kraaltje aan een polymeer.

(7)

1 Inleiding

Al geruime tijd wordt DNA gebruikt bij verschillende onderzoeken. Zo wordt bij forensisch onderzoek op een plaats delict vaak gezocht naar sporen van DNA, zoals bloed, speeksel of huidcellen. Deze sporen kunnen vergeleken worden met het DNA-profiel van een persoon dan wel met sporen van DNA die aangetroffen zijn op verschillende plaatsen delict. Als er onderlinge overeenkomsten blijken te zijn kan men dit bewijsmateriaal gebruiken om de dader op te sporen of om te concluderen dat de dader aanwezig is geweest bij meerdere misdrijven.

Een ander gebied waar DNA-onderzoek gebruikt wordt is de medische wereld. Denk hierbij aan het vaststellen van ouder-kind relaties waarbij DNA-profielen van veronder- stelde ouders en kinderen met elkaar vergeleken worden of aan erfelijke ziektes die terug te vinden zijn in het DNA van een persoon.

Onderzoekers zijn erop gericht om zo snel mogelijk goede resultaten te kunnen verkrij- gen. Een forensisch onderzoeker wil graag de resultaten van het DNA-onderzoek zo snel mogelijk in kunnen lezen zodat hij kan achterhalen wat er op het plaats delict gebeurd is en eventueel de juiste dader kan opsporen. Bij een ontvoeringszaak speelt snelheid zelfs een grote rol, aangezien het aanhouden van de juiste dader een stap dichter in de buurt komt van het redden van het slachtoffer. Hoe sneller dit gebeurt, des te groter is de overlevingskans van het slachtoffer. Het is dus van belang dat DNA snel kan worden afgelezen.

1.1 Biologische achtergrond

Voordat ik verder ga, zal ik eerst wat woorden wijden aan enkele biologische begrippen zodat ik deze vervolgens zonder enige verwarring zal kunnen gebruiken in de rest van dit verslag.

1.1.1 DNA

DNA ofwel desoxyribonucle¨ınezuur is een belangrijke chemische drager van erfelijke informatie in alle bekende organismen.

Een DNA-molecuul bestaat uit twee polymeren die in een opwaartse spiraal om elkaar heen draaien tot een dubbele helix. Zo’n polymeer is opgebouwd uit nucleotiden, iedere nucleotide bestaat weer uit drie onderdelen, namelijk desoxyribose, een fosfaatgroep en een base.

Figuur 1: DNA

(8)

In DNA zijn er vier verschillende basen: adenine (A), cytosine (C), guanine (G) en thymine (T). Deze basen, die in dit verslag ook wel monomeren worden genoemd, vormen basenparen; adenine en thymine vormen samen een basenpaar en cytosine en guanine vormen samen een basenpaar. De twee polymeren zijn aan elkaar gekoppeld door deze basenparen (zie figuur 1). De volgorde van de basen aan een polymeer kan unieke erfelijke informatie verschaffen.

In dit verslag zal ik gebruik maken van enkelstrengs DNA. Dit betekent dat de twee polymeren waaruit DNA bestaat van elkaar gescheiden worden (zie [1]) en ´e´en polymeer met daaraan de basen verder gebruikt wordt voor het onderzoek (zie figuur 2).

Figuur 2: Scheiden van de twee polymeren van DNA

De volgorde van deze basen verschaft erfelijke informatie. Merk op dat de volgorde van de tegenoverliggende basen aan het tegenoverliggende polynoom ook bepaald kunnen worden doordat basen een basenpaar vormen met welbekende basen. Zo kan de unieke erfelijke informatie van het DNA uiteindelijk bepaald worden met behulp van ´e´en polymeer van het DNA.

1.1.2 Nanoporie

Een biologische cel zit vol met verschillende types poriën die gevormd worden door eiwitten en die het transport verzorgen van ionen, eiwitten en DNA. Wetenschappers hebben kunstmatige poriën gemaakt in een membraan. Door de opkomst van de nanotechnologie zijn ze erin geslaagd om de doorsnede van deze poriën slechts enkele nanometers klein te maken. Vandaar dat de porie ook wel een nanoporie wordt genoemd. Meer informatie (o.a. over het maken van een nanoporie in een membraan) is te vinden in [2].

1.1.3 Translocatie van DNA door een nanoporie

Bij translocatie van DNA door een nanoporie wordt een polymeer door de nanoporie gedreven. Dit wordt mogelijk gemaakt door de membraan waarin de kunstmatige nanoporie is gemaakt in een zoutoplossing te plaatsen en er een elektrisch veld over aan te leggen.

Er zal dan een stroom van ionen door de nanoporie gaan lopen. Vervolgens kun je het polymeer toevoegen en omdat DNA negatief geladen is, wordt het polymeer onder invloed van het elektrisch veld door het nanogaatje getrokken (zie figuur 3).

Doordat het polymeer zich in een zoutoplossing bevindt, botsen deeltjes van die zoutoplossing tegen de monomeren aan waardoor er een Brownse beweging ontstaat.

(9)

Op het moment dat het polymeer de nanoporie binnentreedt, wordt de stroom gedeel- telijk geblokkeerd. Het blijkt dat we zo zeer veel kunnen leren over de structuur van DNA, maar daarover meer verderop in dit verslag.

Figuur 3: Negatief geladen DNA wordt door een nanoporie getrokken

1.1.4 Translocatietijd

De kant waar het polymeer zich in eerste instantie bevindt, wordt de cis-kant genoemd, de andere kant is de trans-kant. De tijd die het polymeer nodig heeft om volledig van de cis- naar de trans-kant te bewegen wordt de translocatietijd genoemd.

Het translocatieproces resulteert in een tijdelijke, gedeeltelijke blokkade van de ionenstroom. Zo kan bijvoorbeeld DNA van verschillende lengtes worden ge¨ıdentificeerd uit verschillende translocatietijden. Bovendien verschilt de onderlinge tijd die een monomeer erover doet om door een nanoporie heen te komen met de tijd van een ander monomeer (zie [3]). Uiteindelijk is het de bedoeling dat DNA mede aan de hand van de translocatietijd in zijn geheel afgelezen kan worden.

1.2 Doel

De studie van translocatie van een polymeer door een nanoporie krijgt de laatste paar jaar steeds meer aandacht omdat het een belangrijke rol speelt in processen als transport van DNA door een membraan. Dit translocatieproces biedt een groot aantal kansen in chemische en biologische processen, zoals het snel kunnen aflezen van DNA.

Het standaard model dat gebruikt wordt om het translocatieproces te beschrijven en wat verderop in dit verslag aan de orde zal komen, is in essentie moeilijk op te lossen.

Er is echter een ge¨ıdealiseerd exact oplosbaar model dat men gebruikt waar resultaten met betrekking tot het translocatieproces van worden afgeleid. Een verschil tussen deze modellen is dat het ge¨ıdealiseerde model gelineariseerd is ten opzichte van het standaard model. Beide modellen en hun verschillen zal ik in mijn verslag beschrijven. Wat ik in dit verslag ga onderzoeken is in hoeverre het ge¨ıdealiseerd exact oplosbare model de stochastische bewegingen van een monomeer verklaart ten opzichte van het standaard model.

In veel natuurlijke processen ondervindt men een stochastische variabele waarvan de gemiddelde kwadratische verplaatsing, ook wel de variantie genoemd, stijgt ten opzichte

(10)

van de tijd t als t^α met α 6= 1. Deze processen worden ook wel anomale diffusie genoemd en in het speciaal subdiffusie als geldt α < 1. Onder diffusie verstaat men een proces ten gevolge van de willekeurige beweging van deeltjes. Anomale diffusie beschrijft een diffusie-proces dat een niet-lineair verband heeft met tijd.

Het translocatieproces wordt gezien als een subdiffusie (zie [4]), het is dus van belang dat een monomeer in het ge¨ıdealiseerde model ook een subdiffusie beschrijft. Mijn onderzoeksvraag luidt dan ook:

Omschrijft het ge¨ıdealiseerde model de subdiffusie van een monomeer?

In dit verslag zal ik laten zien dat de verplaatsing van een monomeer in het ge¨ıdealiseerde model een stochastische variabele is. De variantie hiervan stijgt dan ten opzichte van de tijd als t^α α < 1, wat duidt op een subdiffusie van het monomeer. Hierbij zal ik ook de exponent α bepalen.

1.3 Indeling verslag

In dit verslag zal ik eerst kijken naar het standaard model dat gebruikt wordt om het translocatieproces te beschrijven. Hierna zal het ge¨ıdealiseerde model beschreven worden. Na het bestuderen van deze twee modellen zal ik het Rouse model afleiden Van het Rouse model kunnen de eigenwaarden en -vectoren berekend worden. Ook de normaalco¨ordinaten zullen bepaald worden. Vervolgens zal de variantie van een monomeer bepaald worden. Uiteindelijk zal ik kijken naar de subdiffusie van een monomeer om hi- ermee tot een antwoord op mijn onderzoeksvraag te kunnen komen. Ook zal ik in Matlab de variantie van een monomeer modelleren en dit vergelijken met het resultaat van de berekeningen.

(11)

2 De Modellen

Om mijn onderzoeksvraag te kunnen beantwoorden en tot een goede conclusie te kunnen komen, is het belangrijk om de modellen volledig te begrijpen. Vandaar dat ik hieronder zal ingaan op zowel het standaard als het ge¨ıdealiseerde model.

2.1 Aannames

In dit verslag wordt de dynamica van een polymeer bestudeerd, zoals hierboven vermeld is wordt hiervoor enkelstrengs DNA gemodelleerd. Het polymeer dat door de nanoporie gedreven wordt bevat aan elkaar gekoppelde basen ofwel monomeren. Dit polymeer met zijn monomeren wordt gerepresenteerd als een verzameling kraaltjes verbonden door harmonische veertjes. In dit onderzoek zal ik me beperken tot een homogeen polymeer, dat wil zeggen een polymeer met ´e´en type base. Dit polymeer gaat door een nanoporie in een membraan en volgt een Brownse beweging.

Het polymeer is N kraaltjes lang. We negeren de interacties tussen niet met elkaar verbonden kraaltjes. Verder moeten we nog rekening houden met het feit dat monomeren niet door elkaar of door het membraan heen kunnen gaan.

2.2 Het standaard model

Figuur 4: Standaard model translocatie op een bepaald tijdstip

Hierboven (zie figuur 4) is het standaard model van het translocatieproces weergegeven van een enkelstrengs homogeen polynoom. Hierbij moet wel rekening gehouden worden met de eerder vermelde aannames. Te zien is dat de nanoporie gemodelleerd is als een wand met een opening.

Tijdens het translocatieproces wordt het polymeer door de nanoporie gedreven dankzij een ionenstroom. Het gehele polymeer bevindt zich in de beginfase aan de cis-kant en zal zich naar de trans-kant gaan verplaatsen. Dit gebeurt niet rechtstreeks, het monomeer dat zich op een bepaald tijdstip in de nanoporie bevindt, heeft de mogelijkheid om weer terug te gaan naar de cis-kant of door de nanoporie naar de trans-kant te gaan. In dit model is aangenomen dat het hele polymeer zich uiteindelijk naar de trans-kant zal verplaatsen. Het polymeer kan zich vrij bewegen en we kunnen de vrije energie berekenen.

(12)

Deze is gelijk aan

F = E − T S (1)

met F de vrije energie, E de hoeveelheid extra toegevoegde energie, T de temperatuur en S de entropie. T S is gerelateerd aan het aantal posities dat het polymeer kan aannemen.

De vrije energie is minimaal als het systeem in equilibrium is.

Ter verduidelijking; een systeem streeft altijd naar de grootst mogelijke entropie. Dit betekent ook wel dat het polymeer streeft naar de grootst mogelijke wanorde die het kan aannemen. Het polymeer wil dus zo vrij mogelijk bewegen. In dit model kan het polymeer echter niet geheel vrij bewegen omdat er een monomeer in de nanoporie zit.

Dit resulteert in translocatie van het polymeer totdat hij de porie heeft verlaten en vrij kan bewegen (zie [5]).

De vrije bewegingen die het polymeer kan maken buiten het nanogaatje zorgen echter wel voor een moeilijkheid, het model heeft namelijk hierdoor drie dimensies. Verder blijkt dat dit model niet-lineair is, wat zorgt voor een extra moeilijkheid.

Nog een groot opstakel is het feit dat er in dit model steeds naar een ander kraaltje wordt gekeken dat door de nanoporie gaat. Als namelijk op tijdstip t = 1 het derde kraaltje zich in de nanoporie bevindt, dan bevindt zich een tijdstip verder het vierde (of het tweede) kraaltje in de nanoporie.

2.3 Het ge¨ıdealiseerde model

Figuur 5: Het ge¨ıdealiseerde model

Analytische oplossingen van het standaard model zijn moeilijk te vinden, vandaar dat gezocht is naar een ander model. Ze hebben zichzelf hierbij gelimiteerd tot een lineair model. Het polymeer beweegt zich hierbij in de vrije ruimte en gaat dus niet door een nanoporie heen. In figuur 5 is het ge¨ıdealiseerde model weergegeven. Het polymeer zit in een buis waardoor al direct de dimensies gereduceerd worden. Het polymeer kan in dit model immers alleen naar links en rechts bewegen en heeft ´e´en dimensie. Aangezien het polymeer vrij kan bewegen, oefenen verbonden monomeren trekkrachten op elkaar uit.

Deze minieme trekkrachten werken elkaar tegen, waardoor ze elkaar opheffen en we hier geen rekening mee hoeven te houden.

Verder wordt in dit model een vast kraaltje gevolgd. Het maakt in principe niet uit welk kraaltje hiervoor gekozen wordt, het middelste kraaltje zal ik vanaf nu hanteren als het kraaltje dat in dit model gevolgd wordt. Er moet opgemerkt worden dat het polymeer in de buis niet met de uiteinden aan elkaar verbonden is, dit omdat dat in het echte

(13)

model en bij DNA tenslotte ook niet zo is.

In dit model wordt dus een ´e´en-dimensionale beweging van allemaal dezelfde monomeren met een Brownse beweging omschreven, waarbij de monomeren bewegen in een vrije ruimte binnen de buis. Dit representeert een enkelstrengs homogeen polynoom van DNA.

Ik ga onderzoeken of het middelste monomeer in dit model subdiffusie vertoont.

Anomale diffusie in het model in figuur 6 wordt veroorzaakt doordat de kraaltjes, die een stochastische beweging volgen, niet door hun buurkraaltjes heen kunnen. Een kraaltje wordt dus be¨ınvloed door zijn buurkraaltjes, wat anomale diffusie veroorzaakt.

Figuur 6: Model zonder veertjes

In het ge¨ıdealiseerde model (zie figuur 5) waar de kraaltjes verbonden zijn door middel van veertjes, volgen de kraaltjes ook een stochastische beweging. Nu wordt anomale diffusie veroorzaakt door het feit dat de kraaltjes niet ver van elkaar af kunnen gaan door de veertjes.

(14)

3 Rouse model

Om te onderzoeken of het monomeer in het ge¨ıdealiseerde model subdiffussie vertoont, ga ik kijken naar het gedrag van een polymeer dat beweegt in de vrije ruimte. Het polymeer is zoals eerder aangegeven gemodelleerd als een verzameling kraaltjes verbonden door harmonische veertjes. Het Rouse model is een model dat de bewegingen van zo’n polymeer beschrijft. In dit hoofdstuk zal ik het Rouse model afleiden volgens het voorschrift van het boek The theory of polymer dynamics, geschreven door Doi & Edwards (1994) [6].

3.1 Langevin vergelijking

In het Rouse model zijn de bewegingen van een monomeer gemodelleerd met behulp van de Brownse beweging (ook wel dronkemanswandeling of random walk genoemd). De positie van een kraaltje n noteren we als Rn. Voor een polymeer bestaand uit N kraaltjes wordt de positie van elk kraaltje dan beschreven als (R₁, R₂, ..., R_N) ≡ {R_n}.

De bewegingsvergelijking van de kraaltjes kunnen worden beschreven door de Langevin vergelijking. Deze kunnen we schrijven als een lineaire vergelijking voor Rn. Hieronder zal ik de vergelijking afleiden.

Omdat zich tussen de kraaltjes veertjes bevinden, kunnen we gebruik maken van de potenti¨ele elastische energie om een differentiaalvergelijking voor de beweging van het polymeer op te stellen. Het polymeer bevat meerdere veertjes met een bepaalde lengte (Rn− Rn−1). De interactie potentiaal van het polymeer is dus

U =

N

X

n=2

1

2k(R_n− R_n−1)² (2)

met k = ^3k_b^B2^T een constante waar kB de Boltzmannconstante is, T de temperatuur en b de gemiddelde kwadratische afstand tussen twee verbonden kraaltjes.

De gradi¨ent van het potentiaal wordt gegeven door

∇_R_nU = k(R_n− R_n−1) − k(R_n+1− R_n) (3)

= k(2Rn− Rn−1− Rn+1). (4)

We kijken nu naar de krachten die op een monomeer werken, namelijk de kracht van de veertjes, een wrijvingskracht waarbij ζ de wrijvingsconstante is en een ruis die ontstaat door deeltjes die tegen de monomeren botsen, zoals deeltjes uit de zoutoplossing. Onder- staande vergelijking beschrijft respectievelijk de verschillende krachten op een monomeer.

F = ∇_R_nU + ζdRn

dt + f_n(t). (5)

Welbekend geldt in het algemeen F = ma = m^∂²_∂t^R2ⁿ en omdat de massa van een monomeer verwaarloosbaar klein is, mogen we vergelijking (5) gelijk stellen aan nul. We krijgen dan na substitutie de volgende vergelijking:

ζdR_n

dt = −k(2R_n− R_n−1− R_n+1) + f_n. (6)

(15)

Dit is de Langevin vergelijking; de beweging van een monomeer ten opzichte van de tijd.

Vergelijking (6) geldt echter alleen voor de kraaltjes (n = 2, 3, ..., N − 1). Omdat de kraaltjes aan de uiteinden van het polymeer be¨ınvloed worden door maar ´e´en buurkraaltje, gelden hiervoor randvoorwaarden. De Langevin vergelijking voor kraaltje (n = 1) en kraaltje (n = N ) wordt respectievelijk

ζdR₁

dt = −k(R₁− R₂) + f₁, ζdR_N

dt = −k(R_N − R_{N −1}) + f_N. (7) De ruis fn in de bewegingsvergelijking is normaal verdeeld met:

hf_n(t)i = 0, (8)

hf_nα(t)f_mβ(t⁰)i = 2ζk_BT δ_nmδ_αβδ(t − t⁰), (9) waar α en β de x, y en z co¨ordinaten representeren. Er is geen externe kracht, vandaar dat het eerste moment gelijk aan 0 is.

Het is vaak handiger om een polymeer in termen van continue variabelen te beschrijven in plaats van in termen van discrete punten. Als we in het Rouse model het polymeer beschrijven als een verzameling van N kraaltjes, dan is het een vereiste dat het systeem onafhankelijk is van het aantal kraaltjes dat gebruikt is in de oplossing. Een manier om dit te bereiken is de limiet van het aantal kraaltjes naar oneindig sturen. Dit leidt tot een beschrijving van het polymeer in termen van een continue variabele in plaats van discrete punten. Als we nu n beschouwen als een continue variabele en de continue limiet nemen, kunnen we vergelijking (6) herschrijven als

ζ∂R_n

∂t = k∂²R_n

∂n² + f_n. (10)

Dit wordt gedaan met behulp van de transformatieregel van een discrete variabele naar een continue variabele:

Rn−1+ Rn+1− 2Rn→ ∂²R_n

∂n² . (11)

Dit is te rechtvaardigen door het discrete systeem te diagonaliseren, je krijgt dan equiv- alente resultaten.

Om de vergelijkingen (7) in de continue limiet te kunnen herschrijven, merken we op dat deze vergelijkingen in vergelijking (6) kunnen worden opgenomen als de kraaltjes R0 en R_{N +1} gedefinieerd worden als

R₀ = R₁, R_{N +1}= R_N, (12)

welke in de continue limiet gelijk worden aan

∂R_n

∂n |n=0 = 0, ∂R_n

∂n |n=N = 0. (13)

De momenten van de random krachten worden nu gegeven door:

hf_n(t)i = 0, (14)

hf_nα(t)f_mβ(t⁰)i = 2ζk_BT δ(n − m)δ_αβδ(t − t⁰). (15) Vergelijkingen (10), (13), (14) en (15) defini¨eren het continue Rouse model.

(16)

3.2 Eigenwaarden en -vectoren Rouse model

De bewegingen van een polymeer in het Rouse model worden gekarakteriseerd door de interne bewegingen, die uitgedrukt kunnen worden in termen van normaalco¨ordinaten.

Ik zal in deze paragraaf eerst de eigenwaarden en -vectoren van het Rouse model berekenen. In het model is het polymeer N monomeren lang, dus we krijgen een N -aantal differentiaalvergelijkingen die elk de beweging van een monomeer beschrijven:

dR₁

dt = −k

ζ(R₁− R₂) + f₁

ζ (16)

dR₂

dt = −k

ζ(2R2− R3− R1) + f₂

ζ (17)

... (18)

dR_{N −1}

dt = −k

ζ(2R_{N −1}− R_N − R_{N −2}) + f_{N −1}

ζ (19)

dR_N

dt = −k

ζ(R_N − R_{N −1}) + f_N

ζ (20)

Dit is te schrijven als





 R˙₁ R˙₂ ... R˙_{N −1}

R˙_N







= −k ζ · A ·





 R₁ R₂ ... R_{N −1}

RN





 + 1

ζ ·





 f₁ f₂ ... f_{N −1}

fN







(21)

met

A =







1 −1 0 · · · ·

−1 2 −1 0 · · · · 0 −1 2 −1 0 · · · . .. ... ... ... ... ...

· · · 0 −1 2 −1

· · · 0 −1 1







. (22)

A is hier een vierkante matrix en in het algemeen geldt als A een vierkante matrix is, dan is een vector v (niet gelijk aan 0) een eigenvector van A als er een scalair λ bestaat z´o dat Av = λv. De scalair λ wordt dan de eigenwaarde van A genoemd. Gebruik makend hiervan krijgen we:

A ·





 v1

v₂ ... v_N







=







v₁− v₂

−v₁+ 2v₂− v₃ ...

...







= λ ·





 v1

v₂ ... v_N







. (23)

Hier is v₁ de eigenvector van R₁. We gaan nu kijken naar de eigenvectoren v_nvan matrix A. Voor n = 2, ..., N − 1 geldt

v_n+1− rv_n+ v_n−1 = 0 (24)

(17)

met r = 2 − λ, dit geldt voor elk component

We rekenen verder met ´e´en component, noem hiervoor v_n = zⁿ, we krijgen dan na vermenigvuldiging met z¹⁻ⁿ de volgende vergelijking:

z²− rz + 1 = 0. (25)

Hieruit volgt dat

z₁ = r +√ r²− 4

2 , z₂ = r −√

r²− 4

2 . (26)

z1 = r 2+ i

√r²− 4

2 , z2 = r

2− i

√r²− 4

2 . (27)

Omdat matrix A een symmetrische matrix is, is deze diagonaliseerbaar en heeft matrix A een basis van re¨ele eigenwaarden en eigenvectoren. Dit betekent dat vn ∈ R. We willen dus dat v_n ree¨el is, er moet dan gelden dat z1, z₂ ∈ C. z1 en z₂ zijn complexe getallen als r²− 4 < 0. We weten dat dat r²− 4 = λ(λ − 4). Hieruit volgt dat er oplossingen mogelijk zijn als 0 < λ < 4. Omdat z₁ en z₂ complexe getallen zijn, kunnen we r schrijven als

r = 2 cos (θ). (28)

We krijgen nu

2 − λ = 2 cos (θ) (29)

λ = 2 − 2 cos (θ) = 4 sin² θ 2

. (30)

Nu moeten we θ bepalen.

De algemene oplossing van vergelijking (24) is

v_n = c₁z₁ⁿ+ c₂z₂ⁿ (31)

= c₁z₁ⁿ+ c₂z¯₁ⁿ (32)

= c₁|z₁|ⁿe^iarg(z¹⁾ⁿ+ c₂|¯z₁|ⁿe^iarg(¯^z¹⁾ⁿ (33) en aangezien geldt |¯z| = |z| en arg(¯z) = −arg(z), volgt hieruit

v_n= c₁|z₁|ⁿe^iarg(z¹⁾ⁿ+ c₂|z₁|ⁿe^−iarg(z¹⁾ⁿ. (34) We weten dat |z| = 1 en arg(z) = θ, dus we krijgen uiteindelijk:

v_n= c₁e^iθn + c₂e^−iθn. (35) Omdat vn ree¨el is, kunnen we de algemene oplossing als volgt schrijven:

v_n= A cos (θ) + B sin (θ). (36)

Om θ te kunnen bepalen, maken we gebruik van de randvoorwaarden

v₁− v₂ = λv₁, v_N − v_{N −1}= λv_N. (37)

(18)

Als we vergelijking (36) substitueren in deze randvoorwaarden, krijgen we een uitdrukking voor θ (zie Appendix A):

θ = pπ

N + 1 voor p = 0, 1, 2, ..., N. (38)

Het substitueren van θ in vergelijking (30) levert de eigenwaarden:

λ = 4 sin²

pπ

2(N + 1)

voor p = 0, 1, 2, ..., N. (39) De eigenvectoren worden dan gegeven door (zie Appendix A):

v_n= 1 N cos

pπ

N + 1(n + 1 2)

(40)

3.3 Normaalco¨ ordinaten

Laten we nu kijken naar de consequenties van het Rouse model. Vergelijking (10) representeert een Brownse beweging. Een standaard manier om zo’n systeem te behandelen is om de normaalco¨ordinaten X_p te vinden, die onafhankelijke van elkaar kunnen bewegen.

Om deze normaalco¨ordinaten te vinden, schrijven we eerst de Fourier expansie van R_n(t) in termen van de normaalco¨ordinaten X_p. Als we de randvoorwaarden van het continue systeem in vergelijking (13) beschouwen, wordt de Fourier expansie (zie [7]) gegeven door (zie hiervoor ook Appendix A):

R_n(t) = X₀(t) + 2

N

X

p=1

X_p(t) cos

pπ

N + 1(n +1 2)

. (41)

De invers getransformeerde van vergelijking (41) is X_p(t) = 1

N + 1

N

X

n=1

R_n(t) cos

pπ

N + 1(n +1 2)

voor p = 0, 1, 2, ..., N. (42) Hierbij zijn X_p de normaalco¨ordinaten en stelt X₀ de positie van het massamiddelpunt voor:

R_M ≡ 1 N + 1

N

X

n=1

R_n= X₀. (43)

Als we vergelijking (41) substitueren in vergelijking (10) krijgen we ζ_p d

dtX_p(t) = −k_pX_p(t) + f_p(t) (44) met

ζ0 = (N + 1)ζ en ζp = 2(N + 1)ζ voor p = 1, 2, ... (45) k_p = 24k_BT (N + 1)

b² sin²

pπ

2(N + 1)

voor p = 0, 1, 2, ... (46) en de f_p’s zijn de random krachten die voldoen aan

hf_pα(t)i = 0, hf_pα(t)f_qβ(t⁰)i = 2δ_pqδ_αβζ_pk_BT δ(t − t⁰). (47)

(19)

3.4 Auto correlatie functies

Een belangrijke eigenschap kenmerkend voor de Brownse beweging is de auto correlatie functie. De auto correlatie functie C_XX(t) is gedefinieerd als het gemiddelde van het product X(t)X(0) over vele metingen:

C_XX(t) = hX(t)X(0)i (48)

met X de component van de positievector van het deeltje.

Typisch gedrag van CXX(t) is dat op t = 0, CXX(0) positief is en gelijk aan het kwadratische gemiddelde van X in het equilibrium, hX²i. Naarmate de tijd verstrijkt, daalt C_XX(t) met de tijd omdat de waarde van X(t) ongecorreleerd wordt met de waarde op t = 0.

Na een zeer lange tijd verdwijnt de correlatie tussen X(t) en X(0) helemaal en wordt C_XX(t) gelijk aan hX(t)i hX(0)i = hX²i. De tijd τ_c waar C_XX(t) gelijk is aan e⁻¹ wordt de correlatie tijd genoemd (zie figuur (7)).

Figuur 7: Typisch gedrag van de tijd correlatie functie

De auto correlatie functies van de normaalco¨ordinaten kunnen berekend worden uit vergelijking (44). De algemene oplossing hiervan is:

X(t) = Xp(0)e^−t/τ + 1 ζ

Z t

−∞

e^−(t−t⁰^)/τf (t⁰)dt⁰ met τ = ζ

k. (49)

Het homogene deel van de oplossing, X_p(0)e^−t/τ, gaat exponentieel naar 0. We kunnen X(t) dus uitdrukken in termen van f (t):

X(t) = 1 ζ

Z t

−∞

e^−(t−t⁰^)/τf (t⁰)dt⁰. (50)

(20)

Nu kunnen we hX_pα(t)X_qβ(0)i berekenen.

hX_pα(t)X_qβ(0)i = 1 ζ_p²

Z t

−∞

Z 0

−∞

e^−(t−t¹^−t²^)/τ^phf_pα(t₁)f_qβ(t₂)i dt₁dt₂ (51)

= 1 ζ_p²

Z t

−∞

Z 0

−∞

e^−(t−t¹^−t²^)/τ^p2δ_pqδ_αβζ_pk_BT δ(t₁− t₂)dt₁dt₂ (52)

= δ_pqδ_αβ b²

24(N + 1)sin⁻²

pπ

2(N + 1)

e^−t/τ^p (53)

= δ_pqδ_αβkBT

k_p e^−t/τ^p (54)

met

τ_p = τ₁

p² en τ₁ = ζ₁ k1

= ζN²b²

2π²kBT. (55)

Het massamiddelpunt als p = 0 levert:

h(X_0α(t) − X_0α(0))(X_0β(t) − X_0β(0))i = δ_αβ2k_BT

ζ₀ t = δ_αβ 2k_BT

(N + 1)ζt. (56)

3.5 Gemiddelde kwadratische verplaatsing

Om de gemiddelde kwadratische verplaatsing, oftewel de variantie van het massamiddelpunt van het polymeer in het Rouse model te berekenen, kijken we naar het massamiddelpunt gedefinieerd door vergelijking (43). De variantie van R_M(t) wordt dan berekend met behulp van vergelijking (56) als:

(R_M(t) − R_M(0))²) = X

α=x,y,z

(X_0α(t) − X_0α(0))²

(57)

= 6 k_BT

(N + 1)ζt. (58)

Dit is de variantie van het massamiddelpunt van het polymeer in het Rouse model.

(21)

4 Subdiffusie

In het vorige hoofdstuk is de variantie van het massamiddelpunt van het polymeer in het Rouse model berekend. In dit hoofdstuk zal ik de variantie van een specifiek monomeer in het Rouse model berekenen om zo uiteindelijk mijn onderzoeksvraag te kunnen beantwoorden. Ik zal zoals eerder aangegeven voor deze berekeningen het middelste monomeer gebruiken.

4.1 Variantie van het middelste monomeer

Om de variantie van het middelste monomeer te berekenen, wordt er weer gekeken naar de Fourier expansie van Rn(t) (zie vergelijking (41)):

R_n(t) = X₀(t) + 2

N

X

p=1

X_p(t) cos

pπ

N + 1(n + 1 2)

(59)

We spreken nu echter over het middelste monomeer, ^N₂ (aannemend dat N even is):

R^N

2(t) = X₀(t) + 2

N

X

p=1

X_p(t) cospπ 2

. (60)

De variantie van een willekeurige monomeer wordt als volgt berekend:

(Rn(t) − R_n(0))² = (X0(t) − X₀(0))² + (61)

N

X

p,q=0

hX_p(t)X_q(t)i

2 cos

pπ

N + 1(n +1 2)

cos

qπ

N + 1(n +1 2)

− (62)

2 hX_p(t)X_q(0)i

2 cos

pπ

N + 1(n + 1 2)

cos

qπ

N + 1(n + 1 2)

+ (63)

hX_p(0)X_q(0)i

2 cos

pπ

N + 1(n + 1 2)

cos

qπ

N + 1(n +1 2)

. (64)

De variantie van het middelste monomeer is makkelijker uit te drukken, namelijk:

D (RN

2(t) − RN

2(0))²E

= (65) (X₀(t) − X₀(0))² +

N

X

p,q=0,even

2(−1)^p+q² (hX_p(t)X_q(t)i − 2 hX_p(t)X_q(0)i + hX_p(0)X_q(0)i) = (66) (X₀(t) − X₀(0))² +

N

X

p,q=0,even

(−1)^p+q² h(X_p(t) − X_p(0))(X_q(t) − X_q(0))i . (67)

(22)

Als we nu de vergelijkingen (58) en (54) substitueren in vergelijking (64), krijgen we (R_n(t) − R_n(0))² = (68) 6k_BT t

(N + 1)ζ + 24

N

X

p=1

k_BT k_p cos²

pπ

N + 1(n + 1 2)

(1 − e^−t/τ^p). (69)

Nu substitueren we vergelijking (53) in bovenstaande vergelijking en volgt:

(R_n(t) − R_n(0))² = (70) 6k_BT t

(N + 1)ζ + b² (N + 1)

N

X

p=1

cos²

pπ(n+1/2) (N +1)

sin²

pπ 2(N +1)

(1 − e^−t/τ^p). (71) We concentreren ons nu op het middelste monomeer. We kunnen dan gebruik maken van cos (^pπ₂ ) = (−1)^p+1 als p even is en cos (^pπ₂ ) = 0 als p oneven is. Dit resulteert in de volgende vergelijking voor de variantie van het middelste monomeer:

var(R^N

2) =D (R^N

2(t) − R^N

2(0))²E

= (72)

6k_BT t

(N + 1)ζ + b² (N + 1)

N

X

p=1,even

tan⁻²

pπ

2(N + 1)

(1 − e^−t/τ^p). (73)

4.2 Subdiffusie van het middelste monomeer

Om te onderzoeken of het middelste monomeer subdiffusie vertoont, gaan we kijken of de variantie ten opzichte van de tijd stijgt als t^α met α < 1. De variantie van het middelste monomeer hebben we in de paragraaf hierboven berekend. We vervangen de som door een integraal:

var(R^N

2) = 6kBT t

(N + 1)ζ + b² (N + 1)

Z ∞ 0

1

(^pπ_N)²(1 − e^−t/τ^2p)dp. (74) Deze integraal lossen we op met behulp van vergelijking (55):

b² (N + 1)

Z ∞ 0

1

(^pπ_N)²(1 − e^−t/τ^2p)dp = (75) b²(N + 1)

π²

Z ∞ 0

1

p²(1 − e^−tp²^/τ¹)dp = (76) b²(N + 1)

π²

Z ∞ 0

1 τ₁dp

Z t 0

e^−t⁰^p²^/τ¹dt⁰ = (77) b²(N + 1)

π²τ₁

√πτ1

Z t 0

√1

t⁰dt⁰ = (78)

12k_BT b² πζ

1/2

t^1/2. (79)

(23)

We hebben nu dus het volgende:

var(R^N

2) = 6k_BT t

(N + 1)ζ + 12k_BT b² πζ

1/2

t^1/2. (80)

We kunnen nu twee dingen onderscheiden.

Allereerst, als t zeer groot is, t >> τ_c, dan zal de eerste term in vergelijking (73) domineren:

var(R^N

2) ≈ 6k_BT t

(N + 1)ζ (t >> τ_c). (81) Ten tweede, als τ_N << t << τ_c, dan zal de som over p in vergelijking (73) domineren.

var(R^N

2) ∼ t^1/2 (τ_N << t << τ_c). (82) Als N >> 1 is kunnen we dus concluderen dat voor korte tijd de variantie van het middelste monomeer subdiffusie vertoont met een exponent 1/2.

4.3 Matlab

In dit hoofdstuk hebben we de variantie van het middelste monomeer berekend en aange- toond dat het middelste monomeer subdiffusie vertoont waarbij geldt:

var(R^N

2) ∼ t^1/2 (τ_N << t << τ_c). (83) De bewegingsvergelijking van het polymeer in het ge¨ıdealiseerde model en de variantie hiervan heb ik gemodelleerd in Matlab. Hierbij heb ik gezorgd dat de differentiaalvergelijkingen dimensieloos zijn (zie Appendix B). In onderstaande plot (zie figuur 8) is duidelijk te zien dat de variantie stijgt ten opzichte van de tijd als t^1/2. Als we dus de resultaten

Figuur 8: Variantie van het middelste monomeer

van dit hoofdstuk vergelijken met de numerieke resultaten van Matlab, zien we dat deze overeenkomen en allebei laten zien dat het middelste monomeer subdiffusie vertoont. De Matlab code is te vinden in Appendix C.

(24)

5 Conclusie

Translocatie van een ketting met verschillende kraaltjes door een zeer kleine porie kan gebruikt worden als een eerste stap voor het modelleren van het transport van DNA door een membraan. Dit translocatieproces biedt een groot aantal kansen in chemische en biologische processen, zoals het snel kunnen afezen van DNA. Het translocatieproces wordt gezien als een subdiffusie. In dit verslag is de ketting gemodelleerd als een homogeen enkelstrengs polymeer. Ik heb hierbij gekeken naar twee modellen die het translocatieproces beschrijven; het standaard model en het ge¨ıdealiseerde model. Mijn onderzoeksvraag luidde:

Omschrijft het ge¨ıdealiseerde model de subdiffusie van een monomeer?

Met behulp van het Rouse model heb ik de variantie berekend van het middelste monomeer, waarbij ik tot de conclusie gekomen ben dat deze op het interval τ_N << t << τ_c stijgt ten opzichte van de tijd als t^α. Dit houdt in dat het middelste monomeer anomale diffusie beschrijft. Er geldt hier zelfs dat α = 1/2, wat aantoont dat het ge¨ıdealiseerde model de subdiffusie van een monomeer omschrijft.

Dit resultaat heb ik vergeleken met het numerieke resultaat van mijn Matlabprogramma, waar duidelijk te zien is dat de variantie van het middelste monomeer inderdaad stijgt ten opzichte van de tijd als t^α. We kunnen nu concluderen dat dit ge¨ıdealiseerde model de stochastische bewegingen van een homogeen polymeer verklaart ten opzichte van het standaard model.

5.1 Aanbevelingen

In dit verslag heb ik gekeken naar een homogeen polymeer. Men zou in een vervolgo- nderzoek kunnen onderzoeken of de conclusie ook geldt voor heterogene polymeren.

(25)

6 Appendix

6.1 Appendix A

Vergelijkingen (16) t/m (20) zijn gekoppelde stochastische differentiaalvergelijkingen. Om deze vergelijkingen op te lossen, negeren we eerst de stochastische krachten f_nen proberen specifieke oplossingen van de vorm

R_n = X(t) cos(an + c). (84)

De bewegingsvergelijkingen worden dan:

dX

dt cos (a + c) = −k

ζ(cos (a + c) − cos (2a + c))X (85) dX

dt cos (na + c) = −k

ζ4 sin²(a/2) cos (na + c)X (86) dX

dt cos (N a + c) = −k

ζ(cos (N a + c) − cos ((N − 1)a + c))X, (87) waar gebruik gemaakt is van

2 cos (na + c) − cos ((n − 1)a + c) − cos ((n + 1)a + c) (88)

= cos (na + c)(2 − 2 cos (a)) = cos (na + c)4 sin²(a/2). (89) De randvoorwaarden van het polymeer, vergelijkingen (85) en (87) kunnen in vergelijking (86) worden opgenomen als geldt:

cos (a + c) − cos (2a + c) = 4 sin²(a/2) cos (a + c), (90) cos (N a + c) − cos ((N − 1)a + c) = 4 sin²(a/2) cos (N a + c). (91) Dit is gelijk aan:

cos (a − c) = cos (c), (92)

cos ((N + 1)a + c) = cos (N a + c). (93) We vinden onafhankelijke oplossingen door middel van

a − c = c, (94)

(N + 1)a + c = 2pπ − N a − c (95)

met p een integer. Uiteindelijk krijgen we a = pπ

N + 1, c = a/2 = pπ

2(N + 1). (96)

De algemene oplossing van de vergelijkingen (16) t/m (20) wordt nu gevormd door een lineaire combinatie van alle onafhankelijke oplossingen:

R_n(t) = X₀(t) + 2

N

X

p=1

X_p(t) cos

pπ

N + 1(n +1 2)

. (97)

Dit is vergelijking (41).

(26)

6.2 Dimensieloos

Hieronder zal ik de differentiaalvergelijkingen dimensieloos maken zodat deze makkelijker in Matlab gebruikt kunnen worden.

Laat ¯t = _τ^t en

g_n(¯t) = f_n(t)

kb . (98)

Er geldt nu:

hg_n(¯t)i = f_n(t) kb

= 0, (99)

hg_n(¯t)g_n(¯t⁰)i = f_n(t) kb

f_n(t⁰) kb

= 2ζk_BT δ(t − t⁰)

k²b² . (100)

We kunnen δ(t − t⁰) als volgt schrijven:

δ(t − t⁰) = δ(¯tτ − ¯t⁰τ ) = δ(τ (¯t − ¯t⁰)) = δ(¯t − ¯t⁰)

|τ | . (101)

Gebruik makend van vergelijking (101) kunnen we vergelijking (100) schrijven als:

2ζk_BT δ(¯t − ¯t⁰)

k²b²|τ | = 2ζk_BT δ(¯t − ¯t⁰) k²b²

ζb² 3kBT

(102)

= 6k²_BT²δ(¯t − ¯t⁰)

k²b⁴ = Γδ(¯t − ¯t⁰). (103) Hieruit volgt:

Γ = 6k_B²T²

k²b⁴ = 6k²_BT² 9k²_BT² = 2

3. (104)

Dus de factor om de bewegingsvergelijkingen dimensieloos te maken is:

Γ = 2

3. (105)

(27)

6.3 Matlab code

clear all;

close all;

n = 101; %aantal kraaltjes t = 2000; %tijd

deltat = 0.005;

g = (2/3); %factor om de bewegingsvergelijking dimensieloos te maken N1 = random(’Normal’,0,1,n,t); %random kracht

x1(:,1) = ones(n,1);

for j = 1:t for i=2:n-1

x1(i,j+1) = x1(i,j) + (x1(i+1,j)+x1(i-1,j)-2*x1(i,j))*deltat + N1(i,j)*sqrt(g*deltat);

end

x1(1,j+1) = x1(1,j) + (x1(2,j)-x1(1,j))*deltat + N1(i,j)*sqrt(g*deltat);

x1(n,j+1) = x1(n,j) + (x1(n-1,j)-x1(n,j))*deltat + N1(i,j)*sqrt(g*deltat);

end

x(:,1) = x1(:,101);

z2=zeros(2000);

var(:,j)=0;

for k = 1:2000

N = random(’Normal’,0,1,n,t);

for j = 1:t-1 for i=2:n-1

x(i,j+1) = x(i,j) + (x(i+1,j)+x(i-1,j)-2*x(i,j))*deltat + N(i,j)*sqrt(g*deltat); %bewegingsvergelijking

end

x(1,j+1) = x(1,j) + (x(2,j)-x(1,j))*deltat + N(i,j)*sqrt(g*deltat);

x(n,j+1) = x(n,j) + (x(n-1,j)-x(n,j))*deltat + N(i,j)*sqrt(g*deltat);

%randvoorwaarden end

z(k,:) = x((n+1)/2,:); %middelste kraaltjes z2=sum(z);

end

for l = 1:2000

vari(l) = (1/2000)*(sum((z(:,l)-z2(l)/2000).^2)); %variantie end

s = 1:2000;

plot(s,vari)

(28)

Referenties

[1] http : //en.wikipedia.org/wiki/N ucleic acid thermodynamics [2] S. Kowalczyk en C. Dekker, Nanogaatjes voor DNA-analyse (2011)

[3] Henk W.Ch. Postma, Rapid Sequencing of Individual DNA Molecules in Graphene Nanogaps (2008)

[4] R. Metzler en J. Klafter, When Translocation Dynamics Becomes Anomalous (2003) [5] http : //en.wikipedia.org/wiki/Entropy

[6] Doi & Edwards, The theory of polymer dynamics (1994) [7] R. Haberman, Applied Partial Differential Equations (2004)

Literatuurverwijzingen

A. Amitai, Y. Kantor en M. Kardar, Phys. Rev. E 81, 011107 (2010)

J.L.A. Dubbeldam, V.G. Rostiashvili, A. Milchev en T.A. Vilgis, Phys. Rev. E 83, 011802 (2011)

L. Lizana, T. Ambj¨ornsson, A. Taloni, E. Barkai en M.A. Lomholt, Phys. Rev. E 81, 051118 (2010)