(rij , θij)
r0 r1 ∆ri rm
r-as θ0
θ1
∆θj θn
θ-as
r0 r1 ri−1 ri rm
x-as θ0 θ1 θj−1 θj y-as θn
hξij , ηiji hx, yi (ri, θj) = hx (ri, θj) , y (ri, θj)i
= hricos θj, risin θji
(rij , θij)
ri−1 ri θj−1
θj
ri−1 ri θj−1
θj v1 v2
hξij, ηiji =
hx, yi(rij, θij)
Gij
v1 = hx, yi (ri, θj−1) − hx, yi (ri−1, θj−1)
≈ h∂x
∂r
∂y
∂ri (rij, θij) ∆ri
v2 = hx, yi (ri−1, θj) − hx, yi (ri−1, θj−1)
≈ h∂x
∂θ
∂y
∂θi (rij, θij) ∆θj
June 6, 2010 2
opp(Gij) ≈ |
v1 v2 | ≈ |
∂x
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂r
∂y
∂θ
(rij, θij)|∆ri∆θj.
Hieruit volgt het volgende.
Is G de beschrijving van een deelverzameling van R2 in x en y en H de beschrijving van dezelfde deelverzameling in r en θ, is verder f Riemannintegreerbaar over G dan geldt
Z Z
G
f (x, y) d(x, y) = Z Z
H
f (r cos θ, r sin θ))|J ac|d(r, θ)
waarbijJ ac =
∂x
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂r
∂y
∂θ
(r, θ).
Laat G de beschrijving zijn van een deelverzameling van R2 in de rechthoekige co¨ordinaten x en y, H de beschrijving van dezelfde deelverzameling in de co¨ordinaten u en v waarbij x = x(u, v), y = y(u, v).
Is verder f is Riemannintegreerbaar over G dan geldt Z Z
G
f (x, y) d(x, y) = Z Z
H
f (x(u, v), y(u, v))|J ac|d(u, v)
waarbijJ ac =
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
(u, v).
J acheet de determinant van Jacobi (Jacobiaan).
June 6, 2010 4
Laat E de beschrijving zijn van een deelverzameling van R3 in de rechthoekige co¨ordinaten x, y en z , H de beschrijving van dezelfde deelverzameling in de co¨ordinaten u, v en w waarbij x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) en z = z(u, v, w).
Is verder f is Riemannintegreerbaar over E dan geldt Z Z
E
f (x, y, z) d(x, y, z) = Z Z
H
f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))|J ac|d(u, v, w)
waarbijJ ac =
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
(u, v, w).
Het zal duidelijk zijn hoeJac wordt genoemd.
En dit was de laatste sheet...
June 6, 2010 6
