sin p – sin q onjuist is

(1)

Kleine didactiek

DE VERSCHILFORMULE VOOR DE SINUS [ Dick Klingens ]

In de vierde klas vwo komt de uitbreiding van de goniometrische verhoudingen sinus en cosinus voor andere dan scherpe hoeken aan de orde. Daaraan voorafgaand worden die verhoudingen meestal eerst opgevat als functies van reële getallen, waarbij dan bijvoorbeeld wordt afgesproken dat sin(x) = sin(x rad), met x reëel. Dan volgen nieuwe definities van de sinus en cosinus als verhoudingen van de coördinaten van punten op de eenheidscirkel.

Dat dit niet noodzakelijk is – en dat er direct kan worden voortgebouwd op leerstof uit de onderbouw – wordt in onderstaande ‘kleine didactiek’ geïllustreerd, waarbij ‘formulevaardigheid’, zo belangrijk in het vervolg, voorop staat.

Inleiding

Als van hoeken van 30° en 60° de waardes van de sinus be(re)kend zijn – het uitrekenen gebeurt (nog steeds) in de onderbouw – dan kan eenvoudig worden vastgesteld dat een formule als sin(p – q) = sin p – sin q onjuist is.

Immers met p = 60° en q = 30° hebben we:

sin(60° – 30°) = sin(30°) = ½ en

sin(60°) – sin(30°) = ½^√3 – ½

Dat sommige functies wél en andere weer níet deze eigenschap hebben, kan met elementaire functies worden geïllustreerd.

Is f (x) = 4x , dan is:

f (6 – 3) = f (3) = 12 f (6) – f (3) = 24 – 12 = 12 en er blijkt ook dat:

f (p – q) = 4(p – q) = 4p – 4q = f (p) – f (q) voor iedere reële p en q.

Echter, met g(x) = 4x + 5 hebben we:

g(6 – 3) = g(3) = 17 g(6) – g(3) = 29 – 17 = 12

Toch kunnen we ook een uitdrukking als sin(60° – 45°) = sin(15°) berekenen, zonder rekenma- chine, exact! Want er bestaat daarvoor tóch een formule, de verschilformule voor de sinus – en natuurlijk is dat niet sin(p – q) = sin p – sin q.

We kunnen deze verschilformule direct – zij het met een enkele aanvullende afspraak (definitie) – afleiden uit de definitie van de sinus (zoals gebruikelijk vastgelegd in een rechthoekige driehoek) en uit de oppervlakte van een driehoek, daarmee terug grijpend op de lesstof in de onderbouw (en dat kan zeker geen kwaad!).

Voorkennis A.

In een willekeurige, maar scherphoekige driehoek ABC geldt voor de oppervlakte V(ABC) van die driehoek, waarbij F de projectie is van C op AB:

V(ABC) = ½ · CF · AB

(2)

Met sin(A) = CF/AC = CF/b is dan:

V(ABC) = ½ · ( b · sin(A) ) · c of:

V(ABC) = ½bc · sin(A)

Maar geldt deze formule ook als (bijvoorbeeld) hoek A stomp is?

In zo’n stomphoekige driehoek geldt analoog:

V(ABC) = ½ · CF · AB

Maar de lengte van CF kan nu slechts in de sinus van hoek A1

(de nevenhoek of buitenhoek van hoek A van driehoek ABC) worden uitgedrukt:

CF = b · sin(A1)

Om toch in dit geval dezelfde formule te kunnen gebruiken als bij een scherphoekige driehoek, wordt een afspraak gemaakt (die overigens ook in andere situaties van pas zal komen), vervat in de volgende definitie:

Definitie. Voor hoeken X met 0° ≤ X ≤ 180° geldt:

sin(X ) = sin(180° – X ) Gevolg

In de in A stomphoekige driehoek ABC is sin(A) = sin(180° – A) = sin(A1) . En dan hebben we bij deze driehoek:

V(ABC) = ½ · CF · AB = ½ · (b · sin(A1)) · c

Zodat ook bij een stomphoekige driehoek, als gevolg van de afspraak:

V(ABC) = ½bc · sin(A) In woorden:

De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden en de sinus van de door die zijden ingesloten hoek.

Opmerking. Uit het bovenstaande blijkt dat het niet uitmaakt of er in de formule voor de opper- vlakte van de driehoek gebruik gemaakt wordt van een scherpe of van een stompe hoek.

B.

Voor de oppervlakte V(ABCD) van het trapezium ABCD (AB // CD, a > c) geldt, met E, F als projecties van A, B op de lijn CD en met CE

= x, DF = y:

V(ABCD) = V(ABEF) – V(BEC) – V(ADF) Dus:

V(ABCD) = a · h – ½h · x – ½h · y Of:

V(ABCD) = a · h – ½h(x + y) = a · h – ½h(a – c) = ½ha + ½hc Zodat:

V(ABCD) = ½h(a + c) In woorden:

(3)

De oppervlakte van een trapezium is gelijk aan het halve product van de hoogte en de som van de (lengtes van de) evenwijdige zijden.

De verschilformule

We gaan uit van twee scherpe hoeken ter grootte van p en q (met p > q, en beide gemeten in graden), die we zo plaatsen dat ze één been OX gemeen- schappelijk hebben, en daarmee beide het punt O als hoekpunt.

We plaatsen de hoeken verder zo, dat hoek p de hoek q overlapt.

Is ^∠XOA = p en ^∠XOB = q, dan is: ^∠BOA = p – q .

De punten A en B liggen zó op de benen van de hoeken dat AB in het punt D loodrecht staat op OX.

De oppervlakte V(OBA) van driehoek OBA is met behulp van de formule uit de paragraaf Voorkennis te berekenen:

V(OBA) = ½OA · OB · sin(p – q) Na vermenigvuldiging met 2:

(1a)… V(OBA)·2 = OA · OB · sin(p – q)

De oppervlakte van driehoek OBA kunnen we echter ook op een andere manier bepalen:

V(OBA) = V(ODA) – V(ODB)

Of, opnieuw na vermenigvuldiging met 2:

(2a)… V(OBA)·2 = OD · OA · sin p – OD · OB · sin q Dan volgt uit (1a) en (2a):

OA · OB · sin(p – q) = OD · OA · sin p – OD · OB · sin q

Deling van het linker en rechter lid van deze uitdrukking door (OA · OB) geeft:

sin(p – q) = OD/OB · sin p – OD/OA · sin q

In driehoek ODB is OD/OB = cos q; in driehoek ODA is OD/OA = cos p.

Zodat:

sin(p – q) = sin p · cos q – cos p · sin q

Dit is de bedoelde verschilformule voor de sinus.

Voorbeeld

sin(15°) = sin(60° – 45°) = sin(60°) · cos(45°) – cos(60°) · sin(45°) of:

sin(15°) = ½√3 · ½√2 – ½ · ½√2 = ¼√2 · (√3 – 1) En verder…

Bij het bovenstaande bewijs zijn we uitgegaan van twee scherpe hoeken p en q. We zullen nu p en q beide stomp kiezen (met opnieuw p > q).

(4)

Het gevolg daarvan is dat de projectie van D van A en B aan de ‘andere’

kant van O op de lijn OX ligt.

Ook hier is dan ^∠AOB = p – q (een scherpe hoek).

Voor de oppervlakte van driehoek OBA geldt:

(1b)… V(OBA)·2 = OA · OB · sin(p – q) Ook is V(OBA)·2 = V(OBD)·2 – V(OAD)·2, zodat:

(2b)… V(OBA) · 2 = OB · OD · sin(180° – q) – OA · OD · sin(180° – p)

Uit (1b) en (2b) volgt, na deling door (OA · OB) en op grond van de hierboven vermelde defini- tie:

(3)… sin(p q− =) ^OD_OA·sinq−^OD_OB·sinp

In driehoek OAD is OD/OA = cos(180° – p) en in driehoek OBD is OD/OB = cos(180° – q).

Om nu op dezelfde formule voor sin(p – q) uit te komen als in de vorige paragraaf, maken we op- nieuw een (op alle plaatsen in de wiskunde geldende) afspraak – en let daarbij op het minteken dat in het rechter lid vóór ‘cos’ staat:

Definitie. Voor hoeken X met 0° ≤X ≤ 180° geldt:

cos(X ) = - cos(180° – X )

Uitdrukking (3) gaat op grond hiervan over in:

sin(p – q) = (- cos p) · sin q – (- cos q) · sin p Zodat inderdaad ook nu geldt:

We moeten nu (ook) nog kijken naar het geval dat de projecties D en E van A en B op de lijn OX aan verschillende kanten van O liggen.

Hier is:

(4)… V(OBA)·2 = OA · OB · sin(p – q) Verder is:

V(DEBA)·2 = (OD + OE)(AD + BE) Uitwerking van het rechter lid geeft:

V(DEBA)·2 = (OD · AD) + OD · BE + OE · AD + (OE · BE)

De termen tussen haakjes in het rechter lid zijn opvolgend het dubbele van de oppervlaktes van de driehoeken OAD en OEB, zodat:

(5)… V(OBA)·2 = OD · BE + OE · AD Uit (4) en (5) volgt na deling door (OA · OB):

(6)… sin(p q− =) ÔD_{OA OB}·^BE +ÔE_{OB OA}·ÂD

In driehoek OAD is OD/OA = cos(180° – p) = - cos p en AD/OA = sin(180° – p) = sin p; in drie- hoek OEB is BE/OB = sin q en OE/OB = cos q .

Uitdrukking (6) gaat daarmee over in:

sin(p – q) = (- cos p) · sin q + (cos q) · sin p Zodat ook in dit geval geldt:

Conclusie. Met 0° < q < p < 180° geldt de verschilformule voor de sinus:

(5)

sin(p – q) = sin p · cos q – cos p · sin q En ook…

We kiezen q = 0° en passen daarmee de verschilformule toe:

sin p = sin(p – 0°) = sin p · cos 0° – cos p · sin 0°

Het ligt op basis hiervan voor de hand af te spreken:

Definitie. sin 0° = 0 en cos 0° = 1

Opmerking. Hiermee geldt de verschilformule dus voor q = 0°.

Dat dit een handige (goede) afspraak is, kunnen we zien in een in D rechthoekige driehoek ODA waarvan de lengte van de rechthoekszijde OD gelijk is aan 1 en ∠ODA = x.

Laten we de waarde van x hoe langer hoe kleiner wor- den – we schrijven dat als:

lim_x_↓0

(spreek uit: limiet(waarde) als x nadert tot 0), dan kun- nen we ook de waarde van de sinus van x en die van de cosinus van x bekijken:

0 0

01 11

lim (sin ) lim 0

lim (cos ) lim 1

x x

OAAD ODOA x

x

↓ ↓

= = =

In het eerste geval wordt de zijde AD eveneens hoe langer hoe kleiner:

lim_x_↓0AD= 0

In beide gevallen gaat het lijnstuk OA hoe langer hoe meer ‘lijken’ op het lijnstuk OD, waarvan de lengte onveranderd gelijk is aan 1:

lim_x_↓0OA OD= = 1 Gevolgen

- Door handig te vermenigvuldigen met 0 en 1 kunnen we schrijven:

sin(180°) = sin(180°) · 1 – cos(180°) · 0 = sin(180°) · 1 – cos(180°) · 0

= sin(180°) · cos(0°) – cos(180°) · sin(0°) En ook is, vanzelfsprekend:

sin(180°) = sin(180° – 0°)

De verschilformule geldt dus ook voor p = 180°.

- sin(90°) = 1 en cos(90°) = 0 - sin(180°) = 0 en cos(180°) = -1

- sin(90° – p) = sin(90°) · cos p – cos(90°) · sin p = 1 · cos p – 0 · sin p

= cos p

Conclusie. Voor de cosinus geldt: .cos(X) = sin(90° – X) - En dan is volgens deze laatste formule, met X = 90° – p:

cos(90° – p) = sin(90° – (90° – p)) = sin p

Conclusie. Voor de sinus geldt: .sin(X) = cos(90° – X) - sin(-p) = sin(0° – p) = sin(0°) · cos p – cos(0°) · sin p = - sin p

Conclusie. Voor de sinus geldt: .sin(-X) = - sin(X) - We beschouwen de functie f (X) = sin(90° + X).

(6)

Met X = p is dan:

f (p) = sin(90° + p) = sin(90°) · cos p + cos(90°) · sin p

= 1 · cos p + 0 · sin p = cos p

Met andere woorden: f (X) = cos X . Dan is dus: f (-p) = cos(-p) .

Maar ook is: f (-p) = sin(90° + (-p)) = sin(90° – p) = cos p . Dus: cos(-p)= cos p .

Conclusie. Voor de cosinus geldt: .cos(-X) = cos(X)

De somformule voor de sinus

We leggen de hoeken p en q opnieuw met één been langs de lijn OX, maar nu zó dat de niet-sa- menvallende benen aan verschillende kanten van OX liggen.

Met ^∠DOA = p en ^∠DOB = q, is dan ^∠AOB = p + q . Nu is:

(7)… V(OBA)·2 = OA · OB · sin(p + q) En ook:

V(OBA)·2 = V(ODA)·2 + V(ODB)·2 Of:

(8)… V(OBA)·2 = OA · OD · sin p + OD · OB · sin q Uit (7) en (8) volgt, na deling door (OA · OB):

sin(p q+ =) ^OD_OB·sinp+^OD_OA·sinq

In driehoek ODB is OD/OB = cos q en in driehoek ODA is OD/OA = cos p; zodat:

.sin(p + q) = sin p · cos q + cos p · sin q Dit is de somformule voor de sinus.

Opmerking. We kunnen de somformule ook afleiden uit de verschilformule. Immers, op basis van de Gevolgen uit de vorige paragraaf geldt:

sin( ) sin( (- ))

sin ·cos(- ) cos ·sin(- ) sin ·cos cos ·(- sin ) sin ·cos cos ·sin

p q p q

p q p q

+ = −

= −

= +

Voorbeelden We zagen reeds:

- sin(90° + p) = sin(90°) · cos p + cos(90°) · sin p = 1 · cos p + 0 · sin p

= cos p

- sin(90° – p) = cos(-p) = cos p En ook is:

- sin(180° + p) = sin(180°) · cos p + cos(180°) · sin p = 0 + (-1) · sin p

(7)

= - sin p

- sin(270°) = sin(180°+ 90°) = - sin(90°) = -1 - sin(360° – p) = sin(180° + (180° – p))

= sin(180°) · cos(180° – p) + cos(180°) · sin(180° – p)

= 0 + (-1) · sin p

= - sin p

- sin(360° + p) = sin(360° – (-p))

= - sin(-p)

= sin p

Som- en verschilformule voor de cosinus Uit het bovenstaande kunnen we nu eenvoudig afleiden:

cos(p + q) = sin(90° – (p + q)) = sin((90° – p) – q) = sin(90° – p) · cos q – cos(90° – p) · sin q Zodat:

.cos(p + q) = cos p · cos q – sin p · sin q Dit is de somformule voor de cosinus.

Voorbeelden

- cos(135°) = cos(90° + 45°) = cos(90°) · cos(45°) – sin(90°) · sin(45°)

= 0 – 1 · ½^√2 = - ½^√2

= (-1) · 0 – 0 · 1 = 0

= 0 · 0 – (-1) · 1 = 1

- cos(360° + p) = cos(360°) · cos p – sin(360°) · sin p = 1 · cos + 0 = cos p

Met vervanging van q door -q kan uit de somformule voor de cosinus worden afgeleid dat:

cos(p – q) = cos (p + (-q))

= cos p · cos(-q) – sin p · sin(-q) = cos p · cos q – sin p · (- sin q) Zodat:

.cos(p – q) = cos p · cos q + sin p · sin q En dit is de verschilformule voor de cosinus.

Voorbeelden

- cos(135°) = cos(180° – 45°) = cos(180°) · cos(45°) + sin(180°) · sin(45°)

= (-1) · ½^√2 + 0 = - ½^√2

= 0 + (-1) · ½^√2 = - ½^√2

En natuurlijk kan dit laatste ook gevonden worden met onder meer:

= 1 · (- ½√2) + 0 = - ½√2

(8)

Leerlingen

Natuurlijk is bovenstaande tekst, in deze vorm, niet geschikt voor leerlingen. Maar wellicht geeft de wijze waarop de theorie in dit artikel is benaderd, de onderwijsgevende lezer voldoende inspi- ratie om er een werkblad of ‘lesbrief’ van (bij) te maken.

Noot Zie ook:

Dick Klingens (2009): Klassikaal / Pythagoras via de goniometrie. In: Euclides 84(6), april 2009, p.

232-233.

Over de auteur

Dick Klingens is eindredacteur van Euclides en was tot aan zijn pensioen in 2010 wiskundeleraar en schoolleider aan het Krimpenerwaard College te Krimpen aan den IJssel.

E-mailadres: dklingens@pandd.nl