Momenten van maten
Marcel de Jeu
Laat µ een positieve maat op de Borelverzamelingen van R zijn. Als voor zekere gehele n ≥ 0 de functie x 7→ |x|n een element van L1(R, µ) is, dan heet het (in dat geval welgedefinieerde) getal
sn(µ) = Z
R
xndµ(x) het n-de moment van µ.
Veronderstel nu dat alle momenten sn(µ) (n = 0, 1, 2, . . .) van µ bestaan.
Ligt µ dan hierdoor vast? Met andere woorden: als voor µ en µ0 de momenten sn(µ) en sn(µ0) bestaan voor n = 0, 1, 2, . . ., en als sn(µ) = sn(µ0) voor n = 0, 1, 2, . . ., is dan noodzakelijkerwijs µ = µ0? Het antwoord hierop is negatief.
Men noemt daarom de maat µ gedetermineerd wanneer µ de enige maat is die dezelfde momenten als µ heeft: µ wordt dan dus vastgelegd (gedetermineerd) door zijn momenten.
Er is een uitgebreide literatuur over de vraag welke maten gedetermineerd zijn, en i.h.b. over de vraag of men aan de momenten sn(µ) (n = 0, 1, 2, . . .) kan aflezen of µ gedetermineerd is. Een beroemd resultaat in dit verband is het volgende resultaat van Carleman: indien
∞
X
n=0
1
s2n(µ)1/2n < ∞, dan is µ gedetermineerd.
Het doel van dit project is het bestuderen van literatuur over deze zgn.
momentenproblemen en in het bijzonder het begrijpen van het resultaat van Carleman. Dit wat mysterieus ogende criterium volgt vrij eenvoudig uit een combinatie van Fourieranalyse en de theorie van zgn. quasi-analytische klassen van functies. Een belangrijk deel van de tijd zal daarom niet aan de maten, maar aan Fourieranalyse en quasi-analytische klassen besteed worden.
Benodigde voorkennis:
• Functionaalanalyse
• Maat- en integratietheorie
1
