wiskunde B havo 2018-II

wiskunde B havo 2018-II

Piano

1 maximumscore 4

• (Voor de groeifactor g geldt) g

=

( = 16 )

• ^{g =} ( )

• g = 1, 05946...

• Het gevraagde percentage is 5,95(%)

2 maximumscore 5

• De vergelijkingen 440 2 ⋅

= 20 en 440 2 ⋅

= 20 000 moeten

worden opgelost

• Beschrijven hoe deze vergelijkingen kunnen worden opgelost

• Dit geeft respectievelijk m = 15, 4... en m = 135, 0...

• Het laagste MIDI-nummer is dus 16, het hoogste 135

• Het antwoord: 120 (toetsen)

of

• De vergelijkingen 440 2 ⋅

= 20 en 440 2 ⋅

= 20 000 moeten

worden opgelost

• ^{m = 15} geeft f = 19,... ; m = 16 geeft 20,...

• ^m = ¹³⁵ geeft f = 19 912,... ; m = 136 geeft 21 096,...

• Het laagste MIDI-nummer is dus 16, het hoogste 135

• Het antwoord: 120 (toetsen)

of

• Uit f = 440 2 ⋅

volgt 2

=

; dit geeft

( )

1 2

12

( m − 69) = log

• Hieruit volgt ^{m = 12 ⋅}

^log ( )

^{+ 69} (of een gelijkwaardige uitdrukking)

• ^{f = 20} en f = 20 000 invullen geeft respectievelijk m = 15, 4... en 135, 0...

m =

• Het laagste MIDI-nummer is dus 16, het hoogste 135

Vraag Antwoord Scores

wiskunde B havo 2018-II

Vraag Antwoord Scores

Twee paren punten op een cirkel

3 maximumscore 5

• Lijn l heeft een vergelijking van de vorm y    en gaat door het x b

punt (4, 4) , dus y    x 8

• y    snijden met x 8 x

 y

 10 x  16 y  56 geeft

 

 

2

8 10 16 8 56

x    x  x    x 

• Deze vergelijking herleiden tot 2 x

 42 x  136 0 

• Herleiden tot ( x  4)( x  17) 0 

• De x-coördinaat van B is 17 (want x  4 hoort bij A) en de y-coördinaat

is  9 (dus B (17, 9)  )

4 maximumscore 6

• Uit x

 y

 10 x  16 y  56 volgt  ^{x  5} 

^{ 25 }  ^{y  8} 

^{ 64 56 }

• (Hieruit volgt  ^{x  5}  

^{ y  8} 

^{ 145 en dus) M}  ^{5, 8 } 

• De helling van CM is

 

(   0,888... )

• De tangens van de hellingshoek van CM is 

, dus de hellingshoek van CM is 41, 63...   (dus  DCM  41,63...  )

•  CDM  (  DCM  ) 41,63...

• Dus  CMD  180 2 41,63... 96,7( )    

of

• Uit x

 y

 10 x  16 y  56 volgt  ^{x  5} 

^{ 25 }  ^{y  8} 

^{ 64 56 }

• (Hieruit volgt  ^{x  5}  

^{ y  8} 

^{ 145 en dus) M}  ^{5, 8 } 

• De helling van CM is

 

(   0,888... )

• De helling van DM is



( 0,888...  )

• De tangens van de hellingshoek van CM is 

, dus de hellingshoek van CM is  41,63...  (dus  DCM  41,63...  ); de tangens van de

hellingshoek van DM is

, dus de hellingshoek van DM is 41,63...

(dus  CDM  41,63...  )

• Dus  CMD  180 2 41,63... 96,7( )    

of

wiskunde B havo 2018-II

Vraag Antwoord Scores

• Vanwege symmetrie geldt 4 14 2 5

x

   

• x  5 invullen in de vergelijking van c geeft y

 16 y  81 0  ; het

gemiddelde van de oplossingen geeft y , dus

y



  8

• De helling van CM is

 

(   0,888... )

• De tangens van de hellingshoek van CM is 

, dus de hellingshoek van CM is 41, 63...   (dus  DCM  41,63...  )

•  CDM  (  DCM  ) 41,63...

• Dus  CMD  180 2 41,63... 96,7( )    

of

• Uit x

 y

 10 x  16 y  56 volgt  ^{x  5} 

^{ 25 }  ^{y  8} 

^{ 64 56 }

• Hieruit volgt  ^{x  5}  

^{ y  8} 

^{ 145 en dus CM  145 (  12,04... )}

• CD  14    4 18

• Als N het midden van CD is, dan (  MNC  90  , dus)

  ⁹

sin  CMN  145

• Hieruit volgt  CMN  48,36... 

• Dus  CMD   2 48,36... 96,7( )  

of

• Uit x

 y

 10 x  16 y  56 volgt  ^{x  5} 

^{ 25 }  ^{y  8} 

^{ 64 56 }

• Hieruit volgt  ^{x  5}  

^{ y  8} 

^{ 145 en dus}

145

CM  DM  ( 12,04...  )

• CD  14    4 18

• ¹⁸

^  ¹⁴⁵  

^{ 145} 

^{  2 145  145 cos    CMD }

• Hieruit volgt ^cos   ¹⁷

CMD 145 

 

• Dus  CMD  96,7( ) 

wiskunde B havo 2018-II

Vraag Antwoord Scores

Logaritme van een kwadratische functie

5 maximumscore 3

• (Voor de verticale asymptoot zou moeten gelden) x

− 3 x + = 3 0

• De discriminant van deze vergelijking is gelijk aan ( ) ^{− 3}

^{− ⋅ ⋅ = − 4 1 3 3}

• Dit is kleiner dan nul, dus de vergelijking heeft geen oplossingen (en

dus heeft de grafiek van f geen verticale asymptoot)

of

• De grafiek van ^{y = x}

^{− 3 x + 3} is een dalparabool

• x

= −

= (of

2 x − = 3 0 geeft x

= )

• y

= ( )

− ⋅ + = 3

3

; dit is groter dan nul, dus x

− 3 x + kan 3

niet nul zijn (en dus heeft de grafiek van f geen verticale asymptoot)

of

• (Voor de verticale asymptoot zou moeten gelden) x

− 3 x + = 3 0

• x

− 3 x + = 3 ( x − 1

)

+

• Dit is (voor elke waarde van x) positief, dus de vergelijking heeft geen

oplossingen (en dus heeft de grafiek van f geen verticale asymptoot)

• De vergelijking

^log ( ^x

^{− 3 x} + = moet worden opgelost ³ ) ⁰

• Dit geeft x

− 3 x + = 3 1

• Herleiden tot ^{( x − 2)( x − = 1) 0}

• Dit geeft ^{x = 2} of x = 1

• (De grafiek van g gaat door ^{(4, 0)} ), dus a = ( 4 2 − = ) 2 of a = ( 4 1 − = ) 3

of

• Een functievoorschrift van g is ^{g x ( ) =}

^log ( ( ^{x − a} )

^{− 3} ( ^{x − a} ) ^{+ 3} )

• (De grafiek van g gaat door ^{(4, 0)} ), dus er moet gelden

( ) ( )

(

)

2

log 4 − a − 3 4 − a + = 3 0

• ( ^{4 − a} )

^{− 3(4 − + = a ) 3 1}

• Herleiden tot a

− 5 a + = , dus 6 0 ( a − 2)( a − = 3) 0

• Dus ^{a = 2} of a = 3

wiskunde B havo 2018-II

Vraag Antwoord Scores

Trapezium

7 maximumscore 4

• Volgens de sinusregel geldt in ^{∆ ABC} :

( ⁶ ) ( ) ⁵

sin ACB = sin 55

∠ °

• Hieruit volgt ^sin ( ^{∠ ACB} ) ^{= 0, 982...}

• ∠ ACB = 100, 585... ° ( ∠ ACB = 79, 414... ° voldoet niet)

• Dus ∠ BAC = 180 55 100, 585... − − ≈ 24, 415 °

of

• Volgens de cosinusregel geldt in ^{∆ ABC} :

2 2 2

5 = 6 + BC − ⋅ ⋅ 2 6 BC ⋅ cos(55 ) °

• BC

− 12 cos(55 ) ° ⋅ BC + 11 = 0 geeft

12 cos(55 ) ( 12 cos(55 ))

4 1 11

BC ° ± − 2 ° − ⋅ ⋅

= (dus BC = 2, 522...

( 4, 359... voldoet niet))

• Volgens de cosinusregel geldt in ^{∆ ABC} :

( )

2 2 2

2, 522... = 6 + 5 − ⋅ ⋅ ⋅ 2 6 5 cos ∠ BAC

• Hieruit volgt ^cos ( ^{∠ BAC} ) ^{= 0, 910... , dus ∠ BAC ≈ 24, 415 °}

of

• Volgens de cosinusregel geldt in ^{∆ ABC} :

2 2 2

5 = 6 + BC − ⋅ ⋅ 2 6 BC ⋅ cos(55 ) °

• BC

− 12 cos(55 ) ° ⋅ BC + 11 = 0 geeft

12 cos(55 ) ( 12 cos(55 ))

4 1 11

BC ° ± − 2 ° − ⋅ ⋅

= (dus BC = 2, 522...

( 4, 359... voldoet niet))

• Volgens de sinusregel geldt in ^{∆ ABC} : 2, 522... 5 sin( BAC ) = sin(55 )

∠ °

• Hieruit volgt ^{sin( ∠ BAC ) = 0, 413...} , dus ∠ BAC ≈ 24, 415 °

( ∠ BAC = 155, 585... ° voldoet niet)

wiskunde B havo 2018-II

Vraag Antwoord Scores

8 maximumscore 5

• Er geldt sin 24, 4... ( )

5

° = ; hieruit volgt h h = 2, 0...

• Als ^D' de loodrechte projectie van D op AB is, dan geldt

2 2

3 2, 0... 2,1...

AD' = − =

• Als ^C' de loodrechte projectie van C op AB is, dan geldt

( ) ^{2, 0...}

tan 55

° = BC' ; hieruit volgt BC' = 1, 4...

• Dus CD = − 6 2,1... 1, 4... − = 2, 3...

• De oppervlakte van het trapezium is 6 2, 3...

2, 0... 8, 7

2

⋅ + ≈

of

• Er geldt sin 24, 4... ( )

5

° = h ; hieruit volgt h = 2, 0...

• ∠ ^ACD en ∠ BAC zijn Z-hoeken, dus ∠ ACD = ∠ BAC = 24, 4... °

• Volgens de cosinusregel geldt in ^{∆ ACD} :

( )

2 2 2

3 = CD + 5 − ⋅ 2 CD ⋅ ⋅ 5 cos 24, 4... °

• Hieruit volgt (bijvoorbeeld met de GR) ^{CD = 2, 3...} ( 6, 7... voldoet niet)

• De oppervlakte van het trapezium is ^{2, 0... 6 2, 3... 8, 7} 2

⋅ + ≈

of

• Er geldt sin 24, 4... ( )

5

° = h ; hieruit volgt h = 2, 0...

• Als ^D' de loodrechte projectie van D op AB is, dan geldt

( ) ^{2, 0...}

sin ∠ DAD' = 3 ; hieruit volgt ∠ DAD' = 43, 5... °

( ∠ DAD' = 136, 4... ° voldoet niet)

• Dus ∠ DAC = 43, 5... 24, 4... 19,1... − = °

• Volgens de cosinusregel geldt in ^{∆ ACD} :

( )

2 2 2

3 5 2 3 5 cos 19,1... 5, 6...

CD = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = , dus CD = 2, 3...

• De oppervlakte van het trapezium is 6 2, 3...

2, 0... 8, 7

2

⋅ + ≈

of

wiskunde B havo 2018-II

Vraag Antwoord Scores

• Een berekening waaruit volgt dat ^BC = ^{2, 5...} ; dan geldt

( )

sin 55

2, 5...

° = h ; hieruit volgt h = 2, 0...

• Als ^D' de loodrechte projectie van D op AB is, dan geldt

2 2

3 2, 0... 2,1...

AD' = − =

• Als C' de loodrechte projectie van C op AB is, dan geldt

2 2

2, 5... 2, 0... 1, 4...

BC' = − =

• Dus CD = − 6 2,1... 1, 4... − = 2, 3...

• De oppervlakte van het trapezium is ^{2, 0... 6 2, 3... 8, 7} 2

⋅ + ≈

Opmerkingen

− Als de lengte van BC bij de vorige vraag berekend is, dan mag het resultaat van die berekening bij deze vraag gebruikt worden.

− Als uitgegaan wordt van ∠ BAC = 24, 41 ° , hiervoor geen scorepunten in

mindering brengen.

wiskunde B havo 2018-II

Vraag Antwoord Scores

Productiviteit

9 maximumscore 4

• Beschrijven hoe het maximum van P met de GR kan worden gevonden

• Dit geeft (de ideale temperatuur) ^{T = 21, 65...} (°C)

• P (19, 65...) = 99, 2... (%) en P (23, 65...) = 99, 3... (%)

• De conclusie: de productiviteit neemt het meest af bij twee graden

daling ten opzichte van de ideale temperatuur

of

• ^{P' = 0, 01869 T}

^{− 1,16548 T + 16, 47524}

• P' = 0 geeft (op het gegeven domein) (de ideale temperatuur) 21, 65...

T = (°C)

• P (19, 65...) = 99, 2... (%) en P (23, 65...) = 99, 3... (%)

• De conclusie: de productiviteit neemt het meest af bij twee graden

daling ten opzichte van de ideale temperatuur

10 maximumscore 3

• P (30) = 91, 234... en (35) P = 83,121...

• 83,121... 91, 234...

1, 622...

35 30

a −

= = −

− , dus a ≈ − 1, 623

• Invullen van ^T = ³⁰ en P = 91, 234... (of T = 35 en P = 83,121... ) in 1, 622...

P = − ⋅ + T b geeft b ≈ 139, 9

wiskunde B havo 2018-II

Vraag Antwoord Scores

Sinus

11 maximumscore 3

• Uit de vergelijking ^3sin ( ) π = volgt ^x

^sin ( ) ^{π = x}

• π = π of x

π = π (of: x

π = π + ⋅ π of x

k 2 π = π + ⋅ π ) x

k 2

• De x-coördinaat van P is x = en de x-coördinaat van Q is

x =

12 maximumscore 4

• De periode van f is (

= ) 2 (en de grafiek van f gaat door de

evenwichtstand omhoog in O)

• Hieruit volgt x

= 1

• De amplitude van f is 3 (en x

=

), dus de coördinaten van T

zijn ( )

, 3

• Invullen van ^{x = 1} en y = 0 in g x ( ) = ax

+ bx geeft a b + = 0 ; invullen

van x = en

y = 3 geeft

a +

b = 3

of

• Voor x geldt

^3sin ( ) ^{π = dus x 0 sin} ( ) ^{π = x 0}

• Hieruit volgt x (

= )

= 1

• Uit de vergelijking ^3sin ( ) π x = volgt 3 ^sin ( ) π x = en dit 1 geeft x (

1 2

π

= π ) = , dus de coördinaten van T zijn

( )

, 3

• Invullen van ^{x = 1} en y = 0 in g x ( ) = ax

+ bx geeft a b + = 0 ; invullen

van x = en

y = 3 geeft

a +

b = 3

• Uit

a +

b = volgt 3 a + 4 b = 24 , dus ( a + 4 ) ( b − + a b ) = 24

• Dus ^{3 b} = ²⁴ , dus b = 8

• Hieruit volgt ^{a = − 8} (en b = 8 )

of

wiskunde B havo 2018-II

Vraag Antwoord Scores

Gebroken functies

14 maximumscore 4

• De vergelijking ^{1 4} 4 x x

x x

+ = + moet worden opgelost

• Hieruit volgt ^{3 3} 4 x

= x (of bijvoorbeeld ¹ 4 x

= x )

• Dit geeft x

= 4

• Dit geeft (met domein ^{〈 →〉 0,} ) x = 2

15 maximumscore 3

• ( ^{h x ( ) 1 x ax}

a

= +

, dus) h' x ( ) ¹ ax

a

= −

(of een vergelijkbare vorm)

• ^{h' x ( ) 1 a}

a x

= −

• ( ) x

a

x

a

h' x

ax ax ax

= − = −

16 maximumscore 4

• Uit ^{h' x ( ) = 0} volgt x

− a

= 0

• Hieruit volgt x

= a

, dus (met a > 0 en domein 〈 →〉 0, ) x = a

• (De y -coördinaat van de top van de grafiek van h is) ( ) a a

h a = + a a

• Dit is gelijk aan (1 1 + = ) 2 (dus is voor elke waarde van a, met a > 0 , de

y- coördinaat van de top van de grafiek van h gelijk aan 2)

wiskunde B havo 2018-II

Vraag Antwoord Scores

Macht en lijnen

17 maximumscore 3

• Uit ³

¹

16x = 32 volgt x

= 6

• Dit geeft x = −

6 of x =

6

• De afstand tussen de twee punten is 2 6

18 maximumscore 5

• f x ( ) =

x

• f ' x ( ) = −

x

(of een gelijkwaardige uitdrukking)

• f ' (1) = −

• Dus l heeft een vergelijking van de vorm y = −

x b +

• Invullen van de coördinaten van A in y = −

x b + geeft b = , dus de

y-coördinaat van B is

16

(of B (0,

) )