Stralingsverschijnselen in plasma's en bewegende media : een geometrisch-optische en een golfzonebenadering

(1)

Stralingsverschijnselen in plasma's en bewegende media :

een geometrisch-optische en een golfzonebenadering

Citation for published version (APA):

Videc, M. F. (1980). Stralingsverschijnselen in plasma's en bewegende media : een geometrisch-optische en een golfzonebenadering. (EUT report. E, Fac. of Electrical Engineering; Vol. 80-E-105). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1980

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

(2)

Stralingsverschijnselen in plasma's en bewegende media

Een Geometrisch-optische en een Golfzonebenadering

door

(3)

TEe H N I S C H E HOG ESC H 0 0 L E I N D H 0 V E N

Afdding der Elektrotechniek

STRALINGSVERSCHIJNSELEN IN PLASMA'S EN BEWEGENDE MEDIA.

Een Geometrisch-optische en een Golfzonebenadering. Door M.F. Videc TH-Report 80-E-105 ISBN 90-6144-105-6 Eindhoven Januari 1980

.'

(4)

INROUDSOPGAVE.

Abstract. 4

Samenvatting. 5

Hoofdstuk I - Geometrische Optic" in Langzaam Varierende Plasma's.

I. Inleiding. 8

2. De veldvergelijkingen en de dispersie-relatie. 10

3. De transportvergelijking. 22

4. Ret theorema van Poynting. 35

S. De groepsnelheid en de richting van een straal. 47

6. Stralen en de Hamilton-Jacobi theorie. 57

7. De veldgrootheden langs een straal. 71

Roofdstuk II - Ret Verre Veld ~ ~ Antenne in ~ Oneindig Uitgestrekt, Homogeen Plasma.

\. Inleiding. 2. De berekening.

3. De vergelijking met het resultaat van Bernstein

75 76

en Baldwin. 91

4. Het verre veld als superpositie van plasma-modes. 97 5. De vergelijking met het resultaat van Deschamps

en Kesler.

Hoofdstuk III - Berekening ~ het Verre Veld ~~ Rertzsche Dipool in Enige Eenvoudige Plasma's.

1. Inleiding.

2. Isotroop, dispersievrij medium. 3. Koud, isotroop plasma.

4. Koud plasma met oneindig sterk magneetveld. 5. Warm, stromend plasma.

6. Warm, isotroop plasma.

102 104 105 108 I 1 I 121 134

(5)

Hoofdstuk IV Straling in Bewegende Media.

I. Inleiding.

2. De veldvergelijkingen, de dispersie-relatie en de effektieve brekingsindex.

3. Het verre veld in een eenparig, rechtlijnig bewegend medium.

4. Het verre veld Ln een roterend medium. 5. Stralen in bewegende media.

6. Stralen opgewekt door een lijnbron.

7. Over de Maxwell-vergelijkingen en de constitutieve relaties bij rotatie van het koordinaten-systeem en/of het medium.

Figuren.

Litteratuurlijst.

Dankwoord.

Present address of the author.

Ir. M.F. Videc

N.V. Philips' Gloeilampenfabrieken B.M. - Elcoma - Pass.Comp.

Plant Beatrix - Building BB

5600 MD EINDHOVEN (,rhe Ne therlands)

137 139 147 155 162 169 176 189 195 199

(6)

Abstract.

Electromagnetic radiation in plasma media, which show next to dispersion also anisotropy, inhomogenity and time dependence, only rarely admits an exact analytic description. Approximate methods have to be used and among these the geometric optics "pproximation is the most important one. So we judged an investigation into the possibility of formulating

geometric optics in case of such com;,lex plasma media as important. Recently Bernstein presented a theory on this subject (1). His analysis is studied critically as a starting point for further investigation. Next, an asymptotic method for distant fields presented by Deschamps and Kesler (8) and Bernstein and Baldwin (2) is examined. These distant field expressions are necessary to determine how the geometric optics rays emanate from a radiating source in the plasma.

Application of this distant field asymptotics to some homogeneous, time-independent plasma media showed a~reement with known results. H0wever, it was found that SOme results in the literature are not correct. Non-uniform motion of a simple meJium means electromagnetically the introduction of both dispersion and anisotropy and inhomogenity. The electromagnetic radiation excLted by monochromatic sources in the presence of moving media can thus be described in principle in terms of the ray optics indicated above.

The validity of the theoretical model used for the description of electromagnetic radiation in moving systems is discussed.

Videc, M.F.

ELECTROMAGNETIC RADIATION IN PLASMAS AND IN MOVING SIMPLE MEDIA.

A geometric optics formulation matched to far zone field approximations. Eindhoven University of Technology, Department of Electrical Engineering,

Eindhoven, The Netherlands. January 1980. (In Dutch)

TH-Report 80-E-I05

(7)

-SAMENVATTING.

In plasma's en bewegende media kunnen naast frequentie-dispersie ook ruimtelijke dispersie en anisotropie optreden. Daarenboven kunnen de eigenschappen in plaats en in de tijd veranderen en zijn er verliezen mogelijk.

Ais deze variaties niet te sterk zijn en de verliezen gering, staan er twee benaderingsmethoden ter beschik!<ing, die tesamen de beschrijving van elektromagnetische stralingsverschijnselen in zulke media mogelijk maken, mits de voorkomende frequentie(s) hoog genoeg zijn.

Deze methoden zijn de geometrisch-optische en de golfzone-benaderiitg. De eerste leidt tot stralen in de richting van de groepsnelheid. Langs zulke stralen wordt het verloop van de veldgrootheden beschreven, er van uitgaande, dat de waarden van die grootheden in een punt van elke straal bekend zijn.

Deze waarden kunnen worden bepaald met behulp van de golfzone-benadering. Strikt genomen is deze benadering aIleen van toepassing op homo gene media. Is echter de frequentie van de bron hoog genoeg, dan kan de golfzone

bereikt zijn, voordat de variaties van het medium relevant worden.

Beide benaderingsmethoden, afkomstig van Bernstein, Baldwin, Deschamps en Kesler, worden in dit verslag uitvoerig toegelicht en besproken. Waar nodig zijn afleidingen en bewij zen toegevoegd en is gewezen op onvolledig- en onjuistheden in de theorie, zoals deze is gepresenteerd door voornoemden.

Bij de bespreking van de geometrisch-optische benadering komen achtereen-volgens aan de orde: het gekozen model voor het medium, de dispersie-relatie, de transportvergelijking, het theorema van Poynting en de differentiaalvergelijkingen, die de stralen langs de groepsnelheid bepalen.

De keuze van stralen langs de groepsnelheid wordt gemotiveerd. Dit met het oog op andere definities, zoals stralen als orthogonale trajectorien van de vlakken van konstante fase of stralen ala krommen, waarvan de raak-lijnen in elk punt dezelfde richting hebben ala de tijdsgemiddelde vector van Poynting.

(8)

met de Hamilton-Jacobi theorie uit de klassieke nlechanjca. Deze verwant-schap leidt o.a. tot een varia tie-principe voor het faseverloop van een elektromagnetisch golfverschijnsel. Specialisatie van dit principe leidt tot het principe van Fermat.

Voor een homogeen, tijdonafhankelijk medium, dat weI anisotroop en/of dispersief mag zijn, wordt een benadering van het elektrische veld in de golfzone afgeleid. Dit resultaat wordt vergeleken met dat verkregen door Bernstein en Baldwin. Hierbij zijn enkele verschillen op te merken. In navolging van Deschamps en Kesler wordt het verre veld vervolgens geschreven in termen van vlakke plasmagolf-modes, geometrische eigen-schappen van het dispersie-oppervlak en de Fourier-transform van de brondichtheidsverdeling en daarna vergeleken met de overeenkomstige uitdrukking van Deschamps en Kesler.

Ais toepassing wordt het verre veld van een Hertzsche dipool bepp-ald in enige homogene, oneindig uitgestrekte en verliesvrije media, die al of niet dispersief en/of ani so troop zijn.

De resultaten blijken steeds overeen te stemmen met die uit de littera-tuur, behalve als voor het medium een warm, stromend plasma wordt gekozen. Afwijkend van het resultaat van Bernstein en Baldwin worden dan in het supersone geval niet een maar twee golf-modes gevonden, die bijdragen tot het verre veld.

Bij beweging van het medium of van de waarnemer treedt zowel anisotropie als dispersie op. Is de beweging njet eenparig rechtlijnig, dan reageert het medium op een inhomogene wijze, althans in het algemeen.

Stralingsverschijnselen kunnen onder zulke omstandigheden goed worden beschreven d.m.v. de beide genoemde benaderingsmethoden.

20 wordt in dit verslag straling onderzocht, opgewekt door een Hertzsche dipool en een oneindig uitgestrekte lijnbron bij translatie of rotatie van het medium en/of de waarnemer.

Dit onderzoek leidt tot uitdrukkingen voor het verre veld, de eikonalen en de banen langs de groepsnelheid. Deze banen blijken te kunnen worden beschreven door een gewone differentiaalvergelijking van de tweede orde, een resultaat, dat eveneens geldt voor stilstaande, inhomogene simpele media. Bij bewegende systemen treedt er echter in de

(9)

differentiaal-vergelijking een extra term op bij rotatie van het snelheidsveld. De via de golfzone-benadering gevonden uitdrukking v~~r het verre veld van een Hertzsche dipool in een eenparig translerend medium blijkt overeen te stemmen met die uit de litteratuur, terwijl de uitdrukking voor het verre veld van de lijnbron asymptotisch gelijk is aan die van het totale veld, welke met behulp van een Greensche funk tie wordt berekend.

Tenslotte wordt onderzocht in hoeverCd het gebruik van de normale Maxwell-vergelijkingen en de gewijzigde constitutieve relaties in roterende systemen gerechtvaardigd is.

(10)

Hoofdstuk I - Geometrische Optica in Langzaam Varierende Plasma's.

J. Inleiding.

Voor plasma's, waarvan de eigenschappen langzaam in tijd en in de ruimte veranderen, dit wil zeggen over afstanden en tijdspannen groot ten

opzichte van de golflengte, resp. de yeriode, is door Bernstein l in 1975 een forme Ie geometrisch optische theorie ontwikkeld.

Hierbij is aangenomen, dat de golven, die zich in het plasma voortplante~

een kleine amplitude bezitten en dat de stroomdichtheid op een lineaire, causale maar niet noodzakelijk lokale of momentane wijze afhangt van de ve Ids terk te.

De theorie resulteert in een stelsel van gewone

differentiaal-vergelijkingen van de eerste orde voor stralen langs de groepsnelheid. Langs zulke stralen worden verder de veranderingen van de golfvector, de frequentie, de amplitudo der veldgrootheden en de energie beschreven.

Hierna voIgt een toelichting op deze theorie.

Waar nodig zullen afleidingen en verklaringen worden gegeven, vooral op die plaatsen, waar dit niet is geschied door Bernstein.

Tevens zullen SI-eenheden worden toc'gepast.

Eerst wordt, uitgaande van de Maxwell-vergelijkingen, de dispersie-relatie afgeleid, die de stralen langs de groepsnelheid bepaalt. De veranderingen van de veldamplitudo langs deze stralen worden

beschreven door de transportvergelijking, die eveneens wordt verkregen uit de Maxwell-vergelijkingen.

Het opstellen van de vermogensbalans in de vorm van het theorema van Poynting leidt tot de bepaling van de energieflux en de energiedichtheid. De energie-transportBnelheid alB de verhouding van de energieflux en de energiedichtheid b1ijkt in verb and gebracht te kunnen worden met de groepsne1heid.

Deze relatie, alsmede die met de fasesne1heid, wordt onderzocht voor media, die a1 of niet dispersief, homogeen, isotroop, absorberend of stationair zijn.

(11)

Dit is ook van belang voor de richting ~ de stralen in zoverre hierv00r die van de groepsnelheid wordt gekozen.

De differentiaalvergelijkingen, die deze stralen beschrijven, blijken identiek te zijn met zowel de karakteristieken van de Hamilton-Jacobi vergelijking, die ook weI eikonaalvergelijking wordt genoemd, als met de Euler-Lagrange vergelijkingen van een variatie-probleem, waaruit het principe van Fermat kan worden afgeleid.

De banen van de stralen kunnen, onder bepaalde voorwaarden, worden gevonden met behulp van de Hamilton-Jacobi-methode. Deze wordt gedemonstreerd voor een horizontaal gelaagd medium.

Besloten wordt met een overzicht van de vergelijkingen, die het verloop van de veldgrootheden langs een straal beschrijven.

(12)

2. De veldvergelijkingen en de dispersie-relatie.

Onder aanname, dat de polarisatie en magnetisatie in het plasma verwaarloosbaar zijn, luiden de lokale betrekkingen van Maxwell

'l x H ~ J + J + £0

_at

aE

p s

'l x E ~ - \10 aH at

Hierin hebben J en J betrekking op de ~rimaire, externe resp.

p s

~ecundaire, geinduceerde stroomdichtheidsverdeling.

Voor een lineair, causaal systeem luidt de algemene, constitutieve relatie tussen J en E s +00 t Js(r,t) = Jd3r'fdt'

~(r',t';r.t).E(r',t')

_00 _ =

waarin 0 de geleidingstensor voorstelt.

a

(1-1 )

(1-2)

(1-3)

Is het plasma plaatsen tijdinvariant. dan is 0 aIleen afhankelijk van de verschillen r - r', resp. t - t'.

Het is echter onze intentie plasma's te bestuderen. waarvan de eigen-schappen langzaam in plaats en tijd varieren.

Daartoe schrijven we het argument van ~ als

~ (r - r', t - t'; !(r + r'). Ht + t'». (1-4)

hetgeen men zich als voIgt ontstaan kan denken uit

=

(r - r'

0

_•

t - t' .

,

r. t). (1-5)

(zie ook opmerking-l op blad 18a):

-Substitueer voor r en t resp.

r = j(r -

r' )

+ ! (r + r' ) t

=

!(t - t') + l(t + t'),

dan wordt (1-5) inderdaad een (andere) funktie van het argument (1-4). In de appendix is een van Prof. Weenink afkomstige afleiding van het

(13)

geleidingsvermogen opgenomen, waaruit de expliciete afhankelijkheid van de argumenten t - t' en t + t' blijkt.

We onderzoeken, of aan (I-I) en (1-2) kan worden voldaan door oplossingen van de vorm

(1-6)

(1-7)

~ ~

waarin

E

en

H

langzaam varierende vectorfuncties zijn. Om het laatste beter te kunnen specificeren, voeren we in

k(r,t):= '7'¥(r,t)

(1-8)

en

w(r,t):=

a'¥

_at

.

(1-9)

~

E en H noemen we langzaam varierende vectorfuncties als hun relatieve verandering gering is bij een ruimtelijke verplaatsing over de lokale golflengte

A(r,t):= _-=2.::.,, __

/k(r,t) /

(1-10)

of na verloop van een peri ode

T(r,t):=

w(r,t)

(1-1 J) Evenzo zijn de langzame varia ties in tijd en plaats van de eigenschappen

=

van het plasma en dus van 0 gedacht.

In dezelfde betekenis wordt v66rondersteld, dat zowel k als w slechts gering varieren.

= Bij substitutie van (1-6) in (1-3) ontstaat, indien het argument van 0 wordt geschreven als in (1-4):

+~ t

Js(r,t)

=

Jd 3r"Jdt"

~Cr-r",

t-t";

~

Hr+r")'

!(t+t"»

.ECr",

t") _00 -00

(14)

+0:1 +c:o

Js(r,t)

=

Jd3r'fdt'

~(r',t';r-ir',t-!t').~(r-r',t-t') ej~(r-r"t-t'~I_12)

-00 0

A

Tay1or-ontwikke1ing van

cr,

E en ~ rond (r,t) 1evert:

3

-

=

_L

waarin (r'.Vo) .. :-1J ₁₌₁

A A A

E(r-r',t-t')

=

E(r,t) - r'.VE

A 3 .. aarin (r'. VE).:=

L

1 1=1 1

a ::

Xl _ _ E •• oX l 1 A t'

aE

+

at

....

,

+ •••• ,

Hiervoor kunnen we ook achrijven, ala T duidt op transpositie:

::: T -«VE) .r').:= 1 A X,

=

1

waarmee E vo1gens (1-15) wordt:

::: t'

aE

+

at

3

L'

x' 1-1 1

a :::

- , - E., oX l 1 + ••• (1-13) (1-14) (1-15) (1-16)

VV~, hetgeen, per definitie, 3 3

gelijk is aan

L

I

1=1 m=1

Substitueren we nu ook nog

k

en w volgens (1-8) en (1-9), dan wordt:

(15)

Substitutie van (1-13). (1-16) en ([-17) levert voor de integrand van

~

(1-12). onder weglating van termen, die parti"ele afgeleiden van ~,

ii,

k of w naar r of t bevatten, welke minstens van tweede orde zijn of die

=

bestaan uit produkten van partiele afgeleiden van 0, E, k of w van minstens eerste orde:

~ T - ~T

=

a

~ (VE) • r' .0 - t' o. - E

at

=:: - a -

1

ej'l'(r,t) + j(wt' - it.r') = +!j o.E t'(r'. "3tk) + ' ' ' _ r _ ~

I -_o.E- j(wt' - it.r') :: T j(wt' - it.r') =T

e - j (VE) •

'lit

e .0 + L

o

j(wt' - it.r') = a E:: + j

oW

e o . "3t !j

v.

{

'lit

e j(wt' -

it.r') -} ::

;; • E +

!'

a {a j(wt'

-

k.

r')

o}j

+

... J

j'l'(r,t) + _{J"3t - e}_aw e 3

a

Hierin is '1-:=

I

e l ak 1

,

met w, r en t konstant. k 1=1

B " ~J

aw

0 wor en d k-, r en t, bij V aIleen t en bij at alleen r konstant a veronderste1d. Definieren we +~ +~

~(k.w;r,t):=

Id3r'Idt' = -o(r',t';r,t) e - J'(wt' - k.r') -'" 0 (1-18) (1-19 )

dan wordt

J

(r,t) volgens (1-12) en (1-18), (zie ook opm.-I op blad 18a): s

- - j'l'(r,t)[=- - : : - .!::T }=T

\(r,t) = e o(k,w;r,t).E(r,t) - J (VE) .Vit.o +

(1-20 )

Hierin betekenen

3

I

1=1

(16)

=

Splitsing van de geleidingstensor a in een Hermitisch en een Anti-Hermitisch deel door middel van

(1-21)

=TJi)

- a , (1-22)

waarin Ji staat voor complex geconjugecrd en T voor transpositie. laat de volgende schrijfwijze voor J volgens (1-20) toe:

s

waarin Keen lineaire tensor operator is, gedefinieerd door

. :: T (o=A) T +

a

=A

a

~ J{(<7E) ·<7

_k

l.

j

a;;;

0 • atE

d d =A ::

+!j

at (

dW a ).E

De in (1-23) weggelaten termen bezitten allen een van de volgende kenmerken:

(1-23)

(1-24)

~

=

a. In een term komt een partiele afgeleide van a, E, k of w naar r of t voor van tenminste tweede orde.

=

~

b. In een term komt een produkt voor van een partiale afgeleide van 0,

E,

k

of w naar r of t van eerate orde met een partiale afgeleide van

0,

~

E, k of w naar r of t van eveneens eerste orde.

= !::: c. In een term komt een produkt voor van een partiale afgeleide van a, E,

=H k of w naar r of t van tenminste eerste orde met a •

~ ~

Naar verwachting zijn E(r,t), H(r,t), ;(k,w;r,t), k(r,t) en w(r.t) langzaam varierende funkties, in tegenstelling met ~(r,t).

Dit kan ook als voIgt worden geformuleerd:

~ ~

De schalen, die E, H,

a,

k

en w bepalen, zijn veel groter, dan de schaal van ~; Laten we dit uitdrukken door het gebruik van aparte symbolen voor de variabelen r en t, namelijk: ro :

..

r en to := t voor 'I' ~ ~ (1-25) = r l :

..

or en tl := 6t voor E.

H,

k, w en C1 met

a

« I

(17)

De funk ties kunnen dan als volgt worden geschreven met deze variabelen:

V~~r de partiele afgeleiden van deze funk ties naar r en t geldt a'l' a 'I' - =

at'

at 0 A (1-26) aE

_0..2!..

- = at at ' I A A V x E

=

0 VI x E A = en analoog veor H, k, w en 0, A terwijl

1 aa:ol van dezelfde grootte-orde is als bijv.

--I-I~I

_I

_~

_I

_{at I}

I A

van dezelfde grootte-orde als bijv.

-x-iv

_i x

EI

lEI

(1-27)

A A

=

Opdat de variaties in E, H, k, w en a niet te groot zijn, moet o.a. het Hermitische deel van

cr

klein zijn t.o.v. het anti-Hermitische deel, omdat het eerste deel de verliezen representeert.

Dit kan formeel worden uitgedrukt door

o

« I.

Als konsequentie hiervan kan voor

K{~}

volgena (1-24) becer geachreven

-( j ~ ,. I::

worden

0 Kif

r

E

l},

waarin

K {

r

E } van dezelfde grootte-orde ' 8 als

=A ::

bijvoorbeeld a .E.

Ook is nu in te zien, dat voor de in (1-23) weggelaten termen geldt, dat deze van de orde 02 _{zijn. (Zie ook opmerking-2 op blad 18a.)}

A A

Ontwikkelen we E en H in reeksen van de vOlgende gedaante:

r

o

« I, (1-28),(1-29)

n=O

dan levert substitutie van (1-28) en (1-29) via (1-6), (1-7) en (1-23) in (I-I) en (1-2), met gebruik van (1-8) en (1-9):

(18)

00 00

~

-j'l' 00

_,t

_~

00 ~

v

x

_L

on H + jk x

_L

on H = J e + =A cr

_L

+

K{

_L

on

E }

+

ncO n ncO n p ncO n ncO n

00 a :: 00 on ~ +

_Co

_L

on -E

-

jwe

_o

_L

+

...

ncO at n ncO n reap. 00 00 v x

L

_L

ncO ncO

M.h.v. onder andere het meerschalen-formalisme (1-26) kunnen we hiervoor ook schrijven: 00 _~ 00 VI x

I

on+1 H + jk x

I

on ncO n ncO 00 00

a

K{

_L

a

n-I

E }

+ EO

_L

on+1 ncO n ncO resp. "" ~ 00

L

on+1 E ncO n + jk x ncO

I

~ -j'!' H = J e + =A a n p "" a :: - jWE

_L

- E at l n 0 ncO "" = - \l

I

on+ I

o

ncO 00

L

on ncO on ~ + n E + n

...

(I-3D) ~ on H n (1-31)

Omdat

a

klein is maar overigens willekeurig, zal aan (I-3D) en (1-31) alleen dan voldaan kunnen zijn, ala de coefficienten van gelijke machten van

a

gelijk zijn. nit levert voor

= - (1-35)

~

Eliminatie van HO en HI uit (1-32) tim (1-35) geeft

c2 - • A ~ ~

--.LJ

-j'l'

(k

x _EO) ...L = -- k x ₊ cr • EO + EO = e w2 WED weD p (1-36) en

(19)

c2 k

+ j -- ~ x ( - x

Eo)

+ j

'"

(1-37)

Met behulp van een notatie in dyad"n-produkten, kunnen we voor (1-36) ook schrijven of kortweg ~, r A E

_o

=

A E

_o

=

-j'l' e , e -j'!' (1-38) (1-39)

waarin ~, de gebruikelijke dielektrische tensor voorstelt, gedefinieerd r door

=,

c2 --E := - - kk r ",2 +

I,

zoals deze ook wordt ontmOet in oneindig uitgestrekte, homogene, tijd-onafhankelijke plasma's. Zie bijvoorbeeld (11-18).

M~t behulp van de definitie (I-40) lS (I-37) nog korter te noteren:

A

....Li{

_{~o}

. a

A c2 k A ~,

.

_Q EI

= -

-1.--£

+ j --~ x ( - x

Eo)

+ r _WEO

_{'" at}

₀

'"

c2 - A c2 -

a

k

::

+ j - k x (~ x

Eo)

+ j --k x --

( w

_xEO)' ",2 ",2

at

(1-40) (1-41 )

Voor gebieden buiten de bran J gelegen, zal volgens (1-39) moeten gelden p

A

=,

Er

Eo

= 0

A

Voor niet-triviale oplossingen

_Eo

zal Det ( ~, )

₌

₀

r

moeten zijn. Dit levert de zogenaamde dispersie-relatie.

De punten in de

k -

ruimte, die voor een zekere w voldoen aan deze dispersie-relatie, zijn gelegen op het dispersie-oppervlak.

(20)

Omdat ~, HermitiRch is voor reele k en w, is er een hasis van, in het r

a1gemeen, komp1exe eigenvectoren, ten opzichte waarvan de matrix van ~, r de diagonaalvorm aanneemt; (Hildebrand9 ). De elementen op de diagonaal zijn de reele eigenwaarden. De eigenvectoren vormen een orthogonaal steisel van basisvectoren in Hermitische zin.

Dit betekent, dat als u

J en u2 twee zulke vectoren zijn, er geldt

waarin l( duidt 01' komplexe conjugatie, T op transpositie en 012 het Kronecker-symbool voorstelt.

Stellen nu

de eigenvectoren, resp. de eigenwaarden voor, dan kunnen we voor ~; ook noteren 3 - l(

=,

2

£ _r

=

_{£1 e 1 e1} 1= J

Subs ti tutie in (1-42) levert:

3 - l( ~

L

_£1 e E = 1 e1

.

0 1=1 waarin - l! 0: 1 := el ~

de projectie van EO op e1 voorstelt. Daar in een bronvrij punt

Det ( ~')

=

Det ( r £

=

1 3

L

£1 1=1 ~ EO' 3

r

1=1

o

zijn. 0: 1 e1

=

0,

zal minstens voor een l-waarde Voor de l-waarden, waarvoor E1 omdat de

8

1 onafhankelijk zijn. " 0, moet vo1gens (1-44) 0:1

=

(1-43) (1-44)

o

zijn,

(21)

Opmerking-I •

=

De schrijfwijze (1-4) voor ~et argument'van a hebben we overgenomen van Bernstein!. Noodzakelijk is deze niet. Gebruikt men de notatie (1-5), dan wordt de uitdrukking (1-20) voor

J

(r,t):

s

J

(r,

t) s j'¥

(r

t)

[= :::

-= e ' 01(k,w;r,t).E(r,t) + { ak a =

I :::

J

+

i

at·

17

k

aw 01 .E + •••• ,

=

aw a2 = :::

- -- °

.E + at aw2 1

waarin we met de index 1 hebben aangegeven, dat 01 geschreven is met het argument (1-5).

De betekenis van de laatste 3 termen moge blijken uit:

({\lk _\lkk

~I}·~)i

3 3 3 _3_ k 32 : :=

_{L L L}

ax n ak ak

(~I\l(E\,

m=\ n=1 1=1 m n m [l\lw·\lk

~w ~11.E)i

3 3 aw a2

_(~I)ilcE)l

:=

_L

I

a;;--3k 3w en m=1 1= 1 m m ({ ait

_at·

a =}:::) 3 3 a 02

'lit

aw

°

1 . E i :=

L L

at

km 3k 3w C;;I)il CE\.

m=1 1=\ m

Opmerking-2.

De in (1-23) wegge1aten termen zijn aIleen dan van de orde 02 als

~(k,w;r,t) niet aIleen als funktie van r en t langzaam verandert, maar evenzo als funktie van k en w.

Opdat de in (1-23) weggelaten termen inderdaad van de orde 02 zijn, mag voor de stroomdichtheid

J

(r,t) ter plaatse r en ten tijde t aIleen de

~ s

veldsterkte E(r,t) in de naaste omgeving van r en gedurende een zeer korte tijdspanne voorafgaande aan het tijdstip t van be lang zijn, oftewel moet

~(p,T;r,t) als fllnktie van p, resp. T zeer smal zijn.

Deze additionele eis, die niet door Bernstein! wordt opge1egd, is

noodzakelijk, opdat de termen met d~ op bladzijde \4 opgesomde kenmerken inderdaad onder het integraa1teken mogen worden verwaarloosd. Immers de integratie strekL zich uit over een oneindig groot interval!

(22)

Appendix 2a - Afleiding van het geleidingsvermogen voor een langzaam veranderend medium, door Prof. Dr. M.P.H. Weenink.

We beschouwen een geleidend medium, waarvan het geleidingsvermogen langzaam in de tijd verandert, doordat er bijv. meer of minder neutrale deeltjes aan worden toegevoegd.

De neutrale deeltjesdichtheid bepaalt de botsingsfrequentie. De elec-tronen, die het geleidingsvermogen bepalen, voldoen aan de bewegings-vergelijking:

m

r

= -

e B(t) - m v

r

(AI)

B(t) is het elektrische veld op het tijdstip t; m r is de traagheidsterm; m de masea van het electron; v is de botsingsfrequentie, die de wrijving bepaalt.

We veronderstellen, dat de tijdafhankelijkheid van v zich op een veel langzamere tijdschaal afspeelt als de tijdafhankelijkheid van het elektrische veld.

We passen nu voor de oplossing van (AI) de tijdschalen-methode toe, in die zin, dat we veronderstellen, dat

en waarin

en

We ontwikkelen dan de afgeleiden in (AI):

(A2)

ret) =

l.!-

+ ax +

ato

Eat

₁ (A3)

ret) = - -a2x + 2e

a

2x +

...

(M)

at2

0 Oroat l

Als we bovendien x ontwikkelen in x

_o'

xI' ••••

(23)

en we (A3), (A4) en (AS) invullen in (AI) en de verkregen vergelijking opsplitsen in ordes van e, vinden we in nulde orde:

Stel y = - - dan of met de oplossing:

a

2_x

o

- - +

at

2

o

2L

+ v(t l) Y :lto e =--E(t) m 0 -v(tl)(t

_o-·)

e E(.).

De stroom j is het gemiddelde van - ner over een volume-elementje; (n = electronendichtheid). j(t)

= -

ne<r> = - - -ne2 t

f

-v(tl)(t - t') dt' e E(t'). m

Stel nu v voldoende groot, zodat het geheugen voldoende klein is. Stel verder, dat over deze geheugentijd (

! )

de relatieve verandering

v van v klein is:

V

-I

- « T ,

v

j hangt parametrisch af van

v.

( T

- v );

I

De invloed van het veld op het tijdstip t' geeft als bijdrage tot de stroom op het tijdstip t:

ne2 -v(tl)(t - t')

e E(t') dt'.

m

Welke tl moeten we hier nemen?

d· · . dd ld .. d . t + t' d (.::t_+~t=--':) Het eenvou 19St 1S het gem1 e e t1J st1P 2 ' us neem v - 2 • We lossen nu (AI) exakt op voor het geval v(et) gegeven is door:

(24)

Als we nu

r

=

y stellen, krijgen we als exakte oplossing: m.a.w. t yet)

= -

~

fdt' j (t)

= - -

n e2 m

-v

(t - t'){1 +

I€

(t + t')} e 0 E(t') -vo(t - t'){1 +

I

€ (t + t')} e E(t').

We zien hier inderdaad exakt, dat de integrand zowel een funktie van t - t' als van t + t' is.

(25)

-21-3. De transportvergelijking.

Het rechterlid van (1-41) kan worden geschreven in termen van de dielektrische tensor ~'.

r

De afleiding is nogal lang en reeds door Bernstein! gegeven in de appendix. We zullen deze daarom niet herhalen.

WeI moet worden opgemerkt, dat in die afleiding enkele fouten geslopen zijn. Zo moet

a. in de derde regel een vectorieel ult-product worden ingevoegd na de eerste accolade;

• aA . • • d. aH

b. in de vlerde regel cr worden gewlJzlg In cr ;

c. in de vijfde regel de variabele in de partie Ie afgeleide van

Q

niet t lui den maar w.

Verder kan het nuttig zijn om op te merken, dat het resultaat van de laatste regel, n.l. 0, verkregen is m.b.v. de uit de definities (1-8) en (1-9) volgende gelijkheden: ak

at

a - I7w (1-45) en

(l7k/

a 17k (1-46) A

De beide eerste termen van de reeks (I-28) voor E hangen nu als voIgt samen via de de dielektrische tensor

~,

en de geleidingstensor

~H:

r

. a

-

a:::

_1._(w£').

-at

EO w aw r

-L

=H::: - (J .E

o

w£o (1-47)

V~~r de betekenis van de diverse operatoren wordt verwezen naar (1-20). Volgens (1-43) kan het linkerlid van (1-47) ook worden geschreven als

waarin £1 en e l, ~, voorstellen. r vermenigvuldiging 3

I

(1-48) 1= 1

1

=

1,2 of 3 de eigenwaarden, resp. de eigenvectoren van - lIi

van het linker- en rechterlid van (1-47) met e. geeft: J

(26)

- J. :::

e . e. • <IE 1

J J

hetgeen nul oplevert als e.

=

O.

J

(1-49)

Is dit niet het geval, dan wordt (1-49) een uitdrukking voor de komponent

A van El in basis van de

e

.-dehting J eigenveetoren.

in termen van de komponenten van EO t.o.v. de

In (1-49) is (VE::: _a) T :Vk(WE~) = T een andere sehrijfwijze voor

De betekenis van beiden blijkt uit

A

Voor E

j

=

0 wordt (1-49) een vergelijking waaraan de komponenten van EO dienen te voldoen.

Deze vergelijking heet de tra~sportvergelijking.

Noemen we de komponenten van EO' als voorheen, weer aI' met

dan kunnen we voor de transportvergelijking ook sehrijven:

Hierin betekenen 1 -H - -

18

+ - C1 :e1e. EO J a _ ae l _ J. 3 3 a _ ae1 _ 1

-(WE'):- e. :=

l:

I

-(WE') ("T'"t) (e. ) aw r a t J '111= 1 n-l aw r mn a n J m

{ _{(Vel) :Vk(we:')}- T = T} - J. _.e. _:-

???

_L _L _L

r J i=l m-l n-l

a -

a

-,

-

J.

-a

_xm-(ell '-ak (we: ) . • (e. ). _n _m _{r 1n}

J 1

(27)

3 :=

l:

i=l 3 3

l: l:

m~1 n=1 =

l

-~-(ak(WE)

a

=,

·)r(el - - liE

1)·(e. ) • (x

m m r n1 1 J n Nu kunnen we volgens (1-43) voor E' ook noteren:

r ~,

=

r 3

L

m=1

Substitutie in (I-50) levert:

3 3

- - lE

E e e m m m - liE

ae

o

=

l:

_L

+ WE (e. - '"

'" ae

'-a-)o

m 1 \0 J W m

-

m}

+ WE 0 . (e 1. -

a- )

+ \0 mJ W 1= I m=1 { -liE - -

-lEU

- Val' Vk-(WE )0 10 . + WE (e . • V-ke )0 1 + WE Ii .(el·Vk-e ) +

m m mJ m J \0 \0 m mJ m

3

+

I

a

1{coefficient van a1 vo1gens (I-50)} 1=1

aa. a

= ..J-(WE.) +

at aw

J 3

I

1= I - Va .• V k (WE.) -J J 3

_ lE

_{ae 1 a"l} wE 1(e. '-a-)-o-J W ot + 3

I

1= I WE. J 3

L

1= I +

L

a₁{coefficient van a 1 vo1gens (I-50)}. 1=1

Omdat E. - 0, kunnen we voor de transportverge1ijking ook schrijven:

J

aa. a

o -

.-1. -(WE.) +

at aw

J 3

I

1= I l;1j 3 •. Va .. V

_k

(WE.) -

L

J J 1-1 l,,1j

of a. {coefficient van a.} +

J J

Nu moet volgens (1-44) steeds gelden

3 - IE

ae

₁ (e. '-0-) + J oW 3

L

1= I l;lj

l:

E 1(r,t)a1(r,t)e1(r,t) - 0, 1= I

ook a1s er infinitesimale veranderingen lir en lit optreden in de

-argumenten r, resp. t:

(28)

3

I

El(~ + ~r,t + 6t)a

l(i + 6r,t + 6t);1(; + 6r,t + 6t)

=

o.

l=J

Dit kan ook worden geschreven als:

Uitwerking levert:

aE

+ _{(6i.vE l )a1;1}+ 6t atl al;l} = O. Doch daar (1-44) geldt, ook

Omdat de eigenvectoren onafhankelijk zijn, geldt zowel dat voor elke 1 het produkt Ela

l

=

0 moet zijn, als dat voor elke 1 moet gelden: O.

Aan deze gelijkheid moet worden voldaan voor onafhankelijke variaties van r en t, derhalve moet: aE l ₊ aal 0

en

- - a _EI - - = - 1 ar ar aC_l a l + aa l

_o.

E1 - - = at at

Dit resultaat houdt _{in, dat als El}

"

0, zowel aa l 0 als D, El - - = _at _{ElVa l}

=

omdat a_l = 0 als El ~ O.

(29)

Hiermee wordt (I-51):

aa. a

a

= -1. -(WE.)

at oW

J - va .• Vk-(WE.) J J + a.{coefficient van a. volgens (I-50)} J J + 3

+

I

al{coefficient van a

l volgens (I-50)}. 1=1

l#j

Ais El #

a

voor 1 # j, dan is a

l

=

O.

(I-52)

Indien echter El

=

0 v~~r 1 # j, dan behoeft a

l niet gelijk aan nul te zijn. Voor deze l-waarde(n) geldt dan een gelijksoortige vergelijking als (I-52). Er ·ontstaat een gekoppeld stelsel van dHferentiaalvergelijkingen. Zie bijvoorbeeld (1-143) en (1-144) e.v ••

Nemen we nu echter aan, dat El #

a

voor 1 , j. Dan gaat (I-52) over in

aa. a

a

= -1. -(WE.)

at aw

J - Va .• Vk-(WE.) J J + a.{coefficient van a. volgens (I-50)}. J J Volgens formule (1-80) uit paragraaf 4 - "Het theorema van Poynting", is

maar, omdat E.

J

=

0, ook

Daar bovendien geldt, dat

da. --1.

=

dt

a

= -

V - E . gr

aw

J

a

= -

v ,-(WE.). gr oW J

aa.

--] +

at

is de transportvergelijking ook te noteren als:

da. a

a

=

dt

-aw(WE_{j )} + 'Va .. v

-

,-(WE.)

a

+

J gr oW J

+ a.{coefficient van a. volgens (I-50)).

J J

(30)

resulteert tens lotte

o

=

~t

ct

j

~W(WEj)

+ ctj{coefficient van ctj volgens (I-50)}. of

rl d a

=,

~

-

I( {a a

= } - -

I(

- -a (WE.) -d On a.) = -a (WE ): , ". +! -:;-(-a (WE'» : e. e. +

W J t J W r at J at W r J J

1 =H--I(

+ - a :c.e.

EO J J (I-53)

Hiermee is het v,·rloop en eigenvectoren van de

van In ct. uitgedrukt in termen van de eigenwaarden

J

dielektrisclle tensor~' althan~ voor een met de r'

groepsnelheid bewegende waarnemer.

Vit de transportvergelijking (I-53) voor ct. kan ook het verloop van de

2 J

totale. over een periode T

=

....2!.. gemiddelde energiedichtheid en de W

transportvergelijking voor de fase ,~ van ct. worden afgeleid.

J

Hiertoe herschrijven we het rechterLid van (I-53) zo. dat ontstaat

a

d

- -:;-(WE.)-d (In ct.)

oW J t J

d

a

1 =H - - I(

=

!dt(-a (WE.» + I-a (WE.)(V.W_k-) + - a :e.e. +

W J W J EO J J

~

- l E a - - a - I (

+ !

-a

(WE.)(e. '-at e. - e. '-a e. ) +

W J J J J t J

= a - a - I ( WE':

(-a

e ' -

_a

e.

r t J W J

- - I( - I(

-- (VkWE.).«Ve.)e. - (Ve. ).e.) +

J J J J J

= - T - I (

+ wE':«Ve.) .Vk-e.

-r J J

De vorm (I-54) is in 1977 door Bern,;tein en Baldwin2 verkregen.

(I-54)

Omdat de afleiding nogal gecomprimeerd is weergegeven en er bovendien enkele (druk)fouten zijn gemaakt. zullen we deze in de appendix 3a toelichten.

Vermenigvuldiging van linker- en rechterlid van (I-54) met

levert

2'~

ct.2 =

Jct.J2

e

h

(31)

3 d

I

12 . 1 12 3 d¢ 1 2 d 3 12 3

- -3 (we.)-d ". - 2J ". -3 (we')-d = "·1 -d (-3 (WE.» +

I,,·

-3 (WE.)V.W₁

-w J t J J W J t J t w J J W J <

a :e.e. +

I".

vorm tussen vierkante haken volgens (I-54) •

-H - - IE 12

G

Q

J J J

I

We merken op, dat de vorm tussen de vierkante haken imaginair is, (zie appendix 3a), mits reele k-waarden verondersteld"worden.

Splitsing in een reeel en een imaginair deel levert dan op:

d

I

12 3

I

12

a

2

I

12 =H - - I

o

= dt (". a-(WE.» + Ct. a-(WE.) (V'W[) + - Ct. a :e.e. ,

J W J J W J EO J " J J (I-55)

resp.

(I-56)

In de volgende paragraaf zullen we afleiden, dat

(1-80)

Hiermee wordt (I-55)

O = - - + d dt

waarmee het theorema van Poynting is verkregen, dat in de gelijknamige paragraaf 4. wordt afgeleid voor het algemene geval (I-75a).

We maken nog twee opmerkingen:

I. In de transportvergelijking voor ¢ (I-56), bevat het rechterlid de term die wordt 2. Als e. J - - I 1 I -- (VkWE.).«Ve.).e. -- (ve J• ).eJ.), J J J gemist in ~

k

- k

.= -

_. _k'

de door Bernstein en Baldwi~verkregen uitdrukking. geldt

~ ~

0, o.a. omdat

ak .... T ....

- - 0 en (Vk)

=

Vk. 3w

(32)

Appendix 3a - Toclichting op de, door Bernstein en Baldwin 2 gegeven, afleiding van de transportvergelijking.

Uitgaande van de vergelijking (B9) nit de Appendix B van het artikel van Bernstein en Baldwin2 , welke korrekt zou moeten luiden

,aOl~' lE

a r

-(,(-,-»

:e.e.

at oOl J J (B9)

kan (BID) opeenvoudige wijze worden verkregen door te bedenken, dat

L = \L +

!

R,

waarin L en R het linker- resp. het rechterlid van (B9) voorstellen.

Voor de afleiding van (BI I) b'ewijzen"'we, dat

- T

=T -

lE

('i'e.) : ('i'k-OlE ) .e.

J r J

{

= - -

lE} {

=} - -

I = V. ('V k -UI8 I ) : e . e . - V. ('Ilk-we: ') : e . e. + r J J r J J - I T c _

- ('i'e. ) : ('i'k-OlE ').e.

J r J

Hiertoe schrijven we in komponenten

3

=,

V·{('i'k-w~'):e.e.I} =

r J J _i,n,m=l

1:

a aOlEmu - - lE -a-{ ak (e.) (e. ) } =

xi i J n J m 3

~ aOl~~

_ _ lE

I

-,

-(--;;---k ) (e.) (e.) + . I aX. o . J n J m l.,n,m== ~ 1.

=

- -

l( ('i'. ('i'k-OlE' ) ) : e . e. r J J 3

t

(e.) +

I

J n

i,n,m=1

aX

i

a(e.) lE J n

-a

(e.) + x. J m ~ aOl~' ron - I ak (e.) • J m 1 + - I a(e. ) J m

aX

_i (Blla)

=

- -

l( (V. ('i'k-WE' » : e. e. + r J J - I

a(w~~)ron

-

J-+ ('i'e. ). ak (e.) -Il.m . I n . ~ = - - J( ('i'. ('i'k-OlE'»:e.e. r J J 3 +

I

i,n,m=l

=

- -

J( - T - T - I - lE T

=-('i'. ('i'k-OlE'»:e.e. -I ('i'e.) :'i'k-(OlE') .e. + ('i'e. ) :'i'k-(OlE')e.

(33)

(BII) volgt uit (Blla) door weer L

=

!L + !R toe te passen.

De eerste regel van (BI3) volgt uit onze formule (I-53) door substitutie van (BID) en (BII):

a(WE.) d(ln a.) ] ]

=

aw dt = _a

_=,

a aWE' II _a _WEr _{- -} _IE

!

-at("""Tu):ejer - -_{j )} !(a-(-a-»:e.e. + t W ] ]

aw~' ae. IE ae. - IE _a

aw~'

IE

! r -.1.- - - L r

-+ _{"""Tu): (a t e}

j e j at ) + ! (-at("""Tu)) :ejej

=

--~

-

- - I .

- !1l.«ll

k-WE'):e.e. ) r J ] + !(Il·(llk-we'):e.e. ) r ] ] +

1 - T =,T - IE 1 - II T

=,-- dlle.) :(Il

k-WE ).e. + 2 (Ile. ) :(Ilk-WE ).e. +

] r ] ] r ] -lET = -+ j(lle. ) : (Il k-we').e. ] r ] = - IE ae. --e-L) + j at I -R - - IE + - a :e.e. , EO ] J

hetgeen, na vermenigvuldiging met een factor 2, de eerste regel van (BI3) is.

Omdat de tweede regel van (BI3) wordt verkregen met behulp van o.a. (B5) en (B7), leiden we eerst de laatsten af, te beginnen met (B5).

Per definitie is = -IE aWE' ae. = e _ _ r-.1. j . aw • a t + 3

Daar volgens (1-43)

~'=

LEe e lI, is het bovenstaande ook gelijk aan r m=1 m m m

3 aWEm __ IE aem - IE

L (--

e e + WE - - e +

(34)

~-Ji~

3G

-lE~

a

J i -, e . . ' t +

I

WE (e " )(,,(e. • e ) oW J 0 m= I m m ot oW J m omdat E. Ji -Daar verder (e . . e ) J m

a -

Ji

-=

o.

en dus ,,(e . • e ) = 0, voIgt

Jm oW J m

aW~' a~. Ji aWE. lE a~.

_ _ r.---l ~ = ~ -e ---l_ aw • at j aw j at - - Ji 3 lE ae. ae.

L

WE e e :---l --l- = mzl m m m at aw J

Merk op, dat in de tweede regel van (BS) in het artikel een factor

de. Ji

~ e. teveel staat en in de derde regel de laatste factor complex ot J

toegevoegd behoort te zijn.

We leiden nu (B7) af.

-JiT = - -JiT

(lie. ) :(lIk-WE').e. = (lie. ) :(lI k -J r J J

?

J i -L WE e e ).e. = m=1 m m m J -JiT

~{

- - J i - - J i

-(lie. ) : L ('Vk-WE )e e .e. + WE ('Vk-e)e .e.

J m=1 m m m J m m m J + WE m ('Vk-~ lE).~.e m J m }

=

- l t T

~{-

- - J i -

-('Ve. ) : L ('Vk-WE )e 0 . + WE ('Vk-e )0 . + WE ('Vk-(e .e.»e +

J m= I m m mJ m m mJ m m J m - - lE- } - WE ('V-e.).e e

=

m k J m m - Ji T -('Ve. ) : ('Vk-WE.)e. J J J 3 -JiT ~ -

-Ji-('Ve. ) : L ('Vk-e.) .WE e e

=

J m-I J m m m

-JiT - -JiT - -T

('Ve. ) : ('Vk-WE. ) e. - ('Ve. ) : (17

k-e.). WE' " omdat E; - 0 en

J J J J J r J

17

k

-(e

m Ji.

e.) .

J 17k

-(o .) •

mJ

O.

Nu geldt algemeen

o.

(35)

= = - 3 _

=

3

- = ..

A:B.C a

r

A •• (B.C) . . . .

i,j=1 1J J1 _1,J,• • L~ ₁_₁A •. B.IC1J J I1 . = A.B:C

- -- - =

-en tev-ens A:xy .. y.A.x, zodat we ook kunn-en schrijv-en:

-lET .. - - -lET -lET - -T

(Ve. ) : (Vk-W£' ) • e. • e •• (Ve. ) • Vk-WE. - (Ve. ) • (Vk-e.) : w£' ..

J r J J J J J J r

- lE

waarmee (B7) is afgeleid, mits (Ve. ) in het linkerlid van het artikel J

wordt voorzien van een transpositie-teken.

Uit (B7) voIgt nog door het nemen van de complex toegevoegde waarde en door te bedenken, dat ~,lE • ~,T vanwege de Hermiticiteit, dat

r r

- T - T - l E --lE - T - l (

=

(Ve.) : (Vk-w£' ).e. = (Vk-w£.).ve .• e. - (Ve.) • (Vk-e. ):w£'

J r J J J J J J r

Evenzo voIgt uit (B5), omdat

= - lE aWE' _{r -} ae. _, - _ . e ----l1lI.-

=

oW • j

a

t • T -aWE' lEae. .. _~r_ -

c..-.l

aw : e j at' (B7a) dat (B5a)

Substitutie van (B3), (B4), (B5), (B5a) , (B7) en (B7a) in de eerste regel van (BI3) levert:

aWE. dIna.

_ 2--l.

J aw dt - - -lE -lE a aWE. =

at"(-a;f)

aWE. _ lE ae. _ ae. ae. aWE. _ ae.

+ ~ e . • -1. - w£,:-1...L - ~(e .. - L ) + aw J at r at aw aw J

at

- - lE ae. ae. + w~':-1...L -r

ow

at aWE. V.

(-v

-:;--L)

gr oW 2-H--lE + - a :e.e. + EO J J --lE - T -lE =

- (Vk-wE.).Ve .• e. + (Ve.) • (vk-e. ):WE' +

J J J J J r

-lE- -lI:T - =T

+ (Vk-WE.).Ve . • e. - (Ve. ) • (Vk-e.):wE' •

J J J J J r

dr

Voor een waarnemer, waarvoor geldt dt • v

(36)

a aWE. - _(--1) +

- at

aw

dWE:. - ----l.. + v .11(, ) gr oW Bovendien is -IT - mT - T - l (

=

(lie.) • (lIk-e.):w£' = (Ilk-e.) • (lie. ):we',

J J r J J r

=T = =T (A=T.=B)T .. =C = =T

=

omdat a1gemeen (A .B):C

=

(B .A):C.

Hiermede wordt (HI3)

- 2 aWe. - ----l.. + (II. v ) , + gr oW aWe:. ,. de. ----l.. - '"

-1.

+ dW (e_{j .}

at

-- I

ae.

-

-1-e_{j .}

at )

2 mH - - lE - a :e.e. + £0 J J - - I - - I ( de. de.

ae. ae.

_ w~"

(-1.-1- _-1.

-1-) +

r'

at

aw

at

{ - - I( - I( - } - (Ilk-we.). (lIe.).e. - (lie. ).e. +

J J J J J

= { -

T

-

I( -

T

-

l( }

+ we': (lie.) • (Ilk-e. ) - (Ilk-e.) • (lie. ) •

r J J J J

De afleidingen van (B3) en (B4) sprcken vOar zlch. Eventueel kan men soortgelijke afleidingen in paragraaf 4 over het theorema van Poynting raadplegen. In die paragraaf wordt ook aangetoond, dat voor het onder-havige geval, n.1. e:

1 ;. 0 voor 1 " J voor de groepsne1heid ge1dt:

We bewijzen nog, dat

- l( de. - --L e_{j .}

at )

-v gr II kE j

a

aw

oe: j (1-80) { - - l ( - l ( - } = { - T -IE - T -IE} - (Ilk-WE.). (lIe.).e. - (lie. ).e. + we:': (lie.) • (Ilk-e. ) - (lI

k-e.).(lIe. )

J J J J J r J J J J

imaginair is voor reele k-waarden,

Dat de eerste en de derde term imaginair zijn, is direct in te zien, omdat ze bestaan uit het verschil van twee de1en, die elkaars complex

(37)

toegevoegden zijn en omdat E. reeel is. J

De tweede en vierde term zullen imaginair zijn als geldt

I~ en - - IE _ ae. ae. IE (wE':-1. --1...-) = r at aw

- . - *

ae. ae. I"~' :--1. --1...-r aw

at

2~

G

_{WE': (lie.) • (Ilk-e. )}= { - T - IE

U*

₌ _{WE': (Ilk-e.) .(lIe. )}= { - T - IE }

r J J r J J Bewijs I. - - IE _ ae. ae.

*

(wE':--1. --L) r at aw Bewijs 2. - lE

-_ *

ae. ae. WE' .--L -1. = r . at aw

*

-T ae. ae. w~ , __ J_ -1. _ r . at aw

r

= { -

T -

IE UIE

=

* { -

IE T - } IWE': (lie.) .(II-ke.) = WE' : (lie. ) .(lI

k -e.)

L r J J r J J

=

T { - IE T - }

=

WE' : (lie. ) .(lIk-e.)

r J J

=

w;:', •

f

(II-e IE)T (11--e )}T ~. . • k ' r J J - - IE ae. ae. w~,:_J_ --L r aw at q.e.d. q.e.d.

(38)

4. Het theorema van Poynting.

Dit kan worden verkregen uit de vergelijkingen van Maxwell (1-1) en (1-2) en luidt:

'7.

(E

x

ii)

= - E.J

P

Hierin stelt E x H de vector van Poyti-.g

S voor.

(I-57)

De wijze waarop in een niet-dispersief, verliesvrij medium de electro-magnetische energiedichtheid W verandert, wordt gegeven door

(I-58)

De term E.J is een gevolg van de inwerking van het elektrische veld E op s

het specifieke medium en representeert de dissipatie of absorptie, de bronsterkte van niet-electromagnetische energieflux en de verandering van de niet-electromagnetische energiedichtheid.

Het rechterlid tens lotte, stelt de door de externe bronnen geleverde vermogensdichtheid v~~r. V~~r puntell gelegen buiten de bronnen is deze term nul.

De betrekking (I-57) is geldig op eLk moment en op elke plaats waar de afgeleiden bestaan.

We vragen nu niet naar de momentane waarden van de diverse grootheden, maar naar de gemiddelden, waarbij w" middelen over de, zeer korte, peri ode

211

T : = - .

w

Bij deze middeling zullen we de langzame variaties in o.a. w(r,t)

-

-verwaarlozen en aannemen, dat zowel

E

als

H

periodiek zijn met peri ode

T.

In dat geval kunnen we de gemiddeld" waarde

<Xii>

van het produkt van twee vectorgrootheden

A

en B, waarvoor g"ldt

en

vinden uit

(39)

Hiermee vinden we gemakkelijk alB eerBte orde benadering, met (1-6), (1-7), (1-28) en (1-29)

(1-60)

(1-61)

(1-62)

waarin {c.

c.'J

betekent £omplex ge£onjugeerde van de vorm tUBsen accoladen. Berekenen we de bijdragen van de opcenvolgende termen tot <E.J >:

s

Volgens (1-21) is dit gelijk aan

Voor de volgende term(en) maken we gebruik van de

Stelling.

(1-63)

Voor het bewijs wordt verwezen naar het ana loge bewijs van (Blla) op

... - I: =AlT c: , T =AI =AT

b1z. 29. Neem

EO

~.p.v. e. ,cr i.p.v. £ en bedenk, dat cr = - cr . •

J r

(40)

zodat

(1-64)

d • H . • • . =A d

vanwege e ant1- ernl1t1C2te2t van (] , waar oor

De som van de derde term van (1-62) en zijn complex geconjugeerde levert

~lE

o =AlET ~ oEO

oon

-J

oW

:EOat +

De vierde term en zijn complex geconjugeerde leveren

-

-(1-65)

(1-66)

Tenslotte is de som van de vijfde term en zijn complex geconjugeerde gelijk aan

(1-67)

een resultaat, dat op overeenkomstige wijze als voorheen is te verkrijgen.

Door substitutie van de resultaten (1-63) tot en met (1-67) in (1-62) wordt

(41)

Substitutie van de resultaten (1-60), (1-61) en (1-68) in (I-57) levert het tijdsgemiddelde theorema van Poynting voor punten gelegen buiten de bron(nen) •

(1-69 )

We interpreteren als voigt

In (1-69) is

de tijdsgemiddelde vector van Poynting.

is de, over de tijd, gemiddelde energieflux t.g.v. de coherente beweging van de ladingsdragers (electronen, ionen), die voor een warm plasma niet meer plaats vindt om vasce posities zoals in een dielectricum zonder dispersie, frequentie noch ruimtelijke, of in een koud plasma met, per definitie, aileen frequentie-dispersie.

is de gemiddelde electromagnetische energiedichtheid.

<Q>:= !j

is de kinetische energiedichtheid van de vrije ladingsdragers (ionen en/of electronen) in het plasma.

De term

representeert de dissipatie of absorptie van energie in het plasma. =H

In een plasma waarvoor 0 = 0, gaat een lokale verandering van de energiedichtheid (electromagnetische en kinetische) gepaard met een lokale verandering in de bronsterkte van de energieflux van dezelfde

(42)

We maken nu een drietal opmerkingen.

Opm. I. De interpretatie van <W> + <Q> als de totale, gemiddelde energie-dichtheid is formeel alleen juist als wordt aangenomen, dat voor t<O de totale energiedichtheid nul is en de bron op t=O wordt ingeschakeld. 1mmers aan (1-69) wordt ook voldaan door een totale energiedichtheid van de vorm <W> + <Q> + f(r).

De veronderstelling, dat de bron op een bepaald tijdstip wordt ingeschakeld, houdt in, dat de veldver3chijnselen onmogelijk

monochromatisch kunnen zijn en dat rrequentie- dispersie in rekening moet worden gebracht.

Opm. 2. Ook de interpretatie van <8> + <T> als de totale, gemiddelde energieflux is discutabel. Er kan n.l. steeds een willekeurige funktie van de tijd worden toegevoegd zonder afbreuk te doen aan het theorema van Poynting.

Houdt men echter de eindige voortplantingssnelheid van electromagnetische verschijnselen in het oog, dan ziet men, dat die tijdsfunktie identiek gelijk aan nul moet zijn, omdat anders energie stroomt op een plaats waar de electromagnetische verschijnselen nog niet zijn gearriveerd.

Opm. 3. Bij de interpretatie is ook stilzwijgend gebruik gemaakt van de eigenschap

a<w>

at

<->

at •

aw

Deze, wellicht minder triviale, eigenschap kan als volgt worden bewezen: Ga uit van een willekeurige, differ<'ntieerbare funktie f(t) en middel over een willekeurige periode T.

T t + 2'df(t') df 1

I

dt' 1 { T T } <-> := dt' = - f (t + _.) - f (t - _.) dt T T T 2 2 t -2' terwij 1 T ~f> _dt = d {I dt T t +I T2 _{f(t') dr'}} _{1 { T} _{T }} =

T

f(t + 2') - f(t - 2') , t - 2'

waarmee het gestelde is bewezen.

df df Ais de periode T zeer klein is, voIgt uit het voorgaande, dat <dt> ~ dt'

(43)

De totale energiedichtheid

:= <W> + <Q>

kan geheel worden uitgedrukt ~n termen van de dielektrische tensor ~; en de complexe veldaruplitude EO'

Uit (1-33) volgt

Daarmee wordt

mits we reele k veronderstellen. In dyaden-produkten wordt

en

=

I

-- k

WIlO

Met de definitie (1-40) voor ~, wordt dit r

3 (wE' ) = !€O

(44)

In publikaties vindt men ook dikwijls een uitdrukking voor de

energie-~

dichtheid, waarin de permittiviteit €r wordt gebruikt in plaats van de geleiding

cr,

Het verband tussen beiden luidt (zie ook (11-15»:

• • 1

-€r ~ I - - - CJ jW€O '

zodat we voor ook kunnen schrijve~

(1-71 )

De totale, gemiddelde energieflux := <5> + <T>, kan eveneens worden

~

uitgedrukt in termen van de dielektrische tensor ~; en de veldsterkte EO en weI als voIgt:

= <5> + <T> Bewijs:

- ~ ~lE c2 -- c2

-V-(wE')'E E =v-{wi + - kk - - k2Y

k r'OO k w w " -A - - . + ..l.. cr

}:E E

= EO 0 0 c2 ~ .~ c2 ~~ • - - E x (k x E ) - - E x (k x

Eo)

w O O W 0

Uit (1-33) voIgt, dat

zodat

= ::::.:::.

c2 _.::: !:lE Vk(WE;):EOEO = - - _{W)J E x HO} w O O ; =A :: ~I + ... V- CJ :EOEo EO k c2 !:l( !: - - _{W)J E x HO} W 0 0 (1-72) • A ... 1: ..l..

=

-+ EO VkCJ :EOEO

=

::::':::J:

-

!:l( !:l(

-

=A .::: ':::J: !EOVj{(WE;):EOEO

!

Eo HO + ! EO x HO lj VkCJ :EOEO en - = x

-

=

(45)

= <8? + <T> q.e.d.

Ret is nuttig op te merken, dat in een medium z6nder ruimtelijke dispersie de totale, gemiddelde energieflux gelijk is aan de gemiddelde

Poynting-vector <8>.

Definieren we de energie-transportsnelheid v als en <8> + <T> v : = -::,,,....,...-;;;-en <W> + <Q> ' (1-73)

dan kan het theorema van Poynting (1-69) ook beknopt worden genoteerd als

a + M.(V- '<U» +

!

=H E~ E=* 0

at

v en a : 0 0 =

In paragraaf 5 over de groepsnelheid zullen we aantonen, dat voor homogene, verliesvrije media, die tevens tijdonafhankelijk zijn

(1-74)

waarin w

k de groepsnelheid is en w(k) de nodige afhankelijkheid van w als funk tie van

k

is, opdat voldaan is aan de dispersie-relatie.

In ons langzaam varierend medium met geringe verliezen geldt bij benadering

o

(1-75)

Uit het voorgaande volgt, dat voor homogene', verliesvrije,

tijd-onafhankelijke, dispersievrije media, die wel anisotroop mogen zijn, de groepsnelheid het verband geeft tussen de tijdsgemiddelde vector van Poynting en de gemiddelde energiedichtheid:

<S> = w- <W> k

Maar ook v~~r media met dispersie wordt het verband tussen de gemiddelde energieflux en de gemiddelde energiedichtheid gegeven door de groepsnel-heid, doch nu bestaat de energie uit de som van de electromagnetische en de kinetische energie.

(46)

-42-Opmerking. Het resultaat (I-75) kan oak worden verkregen, door gebruik te

(I-47) . maken van de transportverge1ijking

Hiertoe vermenigvuldigt men (1-47) scalair met !:]I EO en telt bij het aldus verkregen resultaat zijn complex toegevoegde waarde op. Men dient hierbij te bedenken, dat ~, Hermitisch is, hetgeen inhoudt, dat

r 1~ en dus uit vo1gt, dat Omdat zowel

=

j(

"

r als dat

d 3 V dr

Cit""

=

a t

+ 'dt

kan voor (I-75) oak worden geschreven

0

_'"

_--;rt-d V·Cit dr + V. (~<U» +

_!

=H _{() :EOEO}!: !:]I

d dr

l

=H !: !:j(

=

_{Cit"" -}

V'dt + V,w_k+ V,w_k + () :EOEO d dr

w-) (V''''k)

I

=H !: !:]I

d"t"" - \] ( - -_{• dt} + + _o _:EOEO k

Voor een waarnemer, die zich beweegt volgens de groepsne1heid, dus a1s

ge1dt - - + d

dt (I-75a)

De tota1e, gemiddelde energiedichtheid en de totale, gemiddelde energieflux kunnen oak worden geschreven in komponenten t.o.v. de basis van eigenvectoren van de Hermitische ~~. T.o.v. deze basis geldt

(I-43) ~ 3 I E' ~

l:

'le1e1 r 1=1 -43-(I-76)

(47)

Druk nu EO eveneens uit in deze basis met :: E

_o

=

3

r "

e r=1 r r

dan wordt volgens (1-70)

3 _{aWE 1 _ _ I - I -} I

=

1£0

r

{-a-(e₁,e )(e₁ ,e ),," + 1 ,r,m--I W m r r m - I ae - - I 1 - I} + wE₁(e 1,e )(-a-,e)"" m w r r m

-- I del I UJEl(em 'a;;;-)or1"r"m + - I _ ael I + wE10 1 (e ,-,-)" " ) _m _r _oW _{r m} - I 3 _ del I lEO

r

wE₁(e , - , - ) " "I' I, r= 1 r oW r I l( Maar omdat steeds E

1"1

=

0, zie (1-44), dus ook £1"1

=

resteert

(1-77)

(48)

Volgens (1-72) is

Op soortgelijke wijze als voor , kunnen we hiervoor met behulp van (1-76) en (1-77) ook schrijven:

=

- IE

o

= -

IE

_o

Er kunnen zich drie gevallen voordoen:

l. AIle £ 's zijn verschillend.

1

Stel dan, dat E. = 0 en Eo 'f

1 _J Dan is en volgens (1-78) en (1-79) zodat 2. E. 1 e. = e:, J Als nu E

=

0, dan is v gr 0 voor j 'f ~ EO = CI.e. 1 1 en

- - - =

_<\1> a.e. + a.e. 1 l J J (1-79) i.

(49)

en

=

zadat w- = v k gr 'lite ~

---a

awE

Als daarentegen e l a 0 veer 1 ,

c,

1 , j, dan is ::: v gr

Veer e

=

0 is E

=

a.e. + a.e. + ale l,

o

1 1 J J terwij 1 dUB 'l-e k

.

---

_a

- E

aw

-46-(I-81) (I-82)