Adaptive regelingen: het Model Reference Adaptive Control

Adaptive regelingen

Citation for published version (APA):

Silfhout, van, B. A. P. (1987). Adaptive regelingen: het Model Reference Adaptive Control. (DCT rapporten; Vol. 1987.080). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1987

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

Alvorens

i n

t e gaan op de inhoud van het. afs2:iideerverslag w i l i k eerst. een definj. 1:i.e geven van een adapt:i.eve rege.li.ny .

Een a.dapt.ieve regeling is i n s2:aa.t zichzelf

, inet

andere woorden de

regel.paramete r:;

,

aan ke pasrien indien iiet: dynamische gedrag van het: werkeli.jke (%:e regel en) :;ystxx=a zodanig vemndert., da:t eeri aa.npassj.ng

(ar1apt:j.e) van de rege1paramet:ers yewensi: is oin bet;er aan de eisen t:e kiinnc-ln voldoen di., aam liet geregelde systeein gesteld worden.

Hei; voorrleel van deze on-I.i.ne aanp:isj.ny i.s gelegen i.n liet: fej.t: dat: de :reyeli.ny n u kan reageren op onvocwspelbare vermdexingen i n het. dynaini s c h

geclrag van liet: :jyst:eeIn dat: men wenst: t:e regelen.

I n d i t a.fstudeerverslag i.s door middel van s.iniiila2;i.e~ onderzocht. wat. i n een concreel: geval de p r:es.t:at:ieii z i j n van een adnpt:i.eve xegeling volgens het: Model Reference Acfa.ptive Control (MRAC) concept.. Om t.o.t. deze s.iiiiulat.ies t;e

komen j.s begonnen rtiet een 1.i.t:erat:uur onderzoek naar adaptkve regelhgen i.n ttet algeiìieen

.

Binnen d i t li.l.eratuiironrlcrz~ek koiiien d r i e a.daptleve regelconcepten aan de

orde

.

Naast: liet: MRAC concept: wuxdt: hgegaan op hei: zogenaamde Se]. f T u n h g Regti.ta.t.c)r (SII'R

1

concept en liet Adaptive Pest.urbai.j.on Control (RPC 1 concept:. Zowel hef: STR concept: a l s IieZ: APC cancxp t: gaan u i t : van een inodel van kt:

werkelijke :;ysCeem, op b a s k waarvan de regeling opgesteld wordt:. noor de onbekende parntne4:e r s j.n het: model. on-lj.ne t:e :jcliia.t: tien kan liet: inodel en

cla.armee ook de regeling aangepast worden.

Het MRAC c:onc:ept: gaat: fieel. anders t;e werk. Volgens di.4: concept; worden de

wensen ken a a . n z k n van h e t geregel.de systx?em va:;t.yelegd door middel van een referen t:j.einode

1..

Door: nu de reyelpnraIIiet:exs van Xiet: geregelde systeem aan .te

passen, streef .i: de a.da.pti.eve regel i n g naar een geregeld systeem me+.

eenzelfde ingangs- i~j.t:gant~sp:eLat:j.e d.S de i.ngang:j- ~j.t:gnng:jrel.at:.i.e van iiet: referen.~~.i.eiiiodel

-

Di:L

1

aa.i:ste concept wordt verder

ui

kgewerkt: en gesimuleerd.

Ti. jdens de tiieorctkkclie u.i. !:we r:k!.ng van kt:MRAC cc1ncep.t: bli. ikt: dat: Xiet:

concept i n de 1~ui.clige vorm vo«ral gesc1ij.k.k is voor

1

ineaire syct-emen wa.arhi.j de t:oe:;t:andsvc3r.I:ol: voor de ene Iie,ZEt; be:it:aat: uit: de .t:ijdsaEgelei.den van de andere helft

aan. Indien we enj.yct vrl4liei.d wi..l.len hebben (.?in onze wensen i n het:

referenti.eliìodeì -i..ot ii.i.Ldriikki.ny t e kunnen brengen I h3 i j k t het. noodzakeli j k

da t: kt:werkelj.jke :jyEj.t;ctein evenveel i.ngangen a1.s vrj.jhe.i.rlay.r:aden moet:

l1el.lben

.

JJoo:r een coniput:ersi.iiiul a t j . e u i .L: .t.e voeren, waarbi j het: concept: is toegepast.

o p een Iineair: en een nie.t:-li.neaj.r systeeii~, b e i d e met: evenveel ingangen a l s

vri jheldsgraden, hebben we kunnen onderzoeken wak de preskaties van het: regelconcept: i n deze [:wee gevallen zijn.

Het MRAC concepk b.tijk2: i n beide gevallen goed t.e voldoen, ook indj.,, de

paranieters van het: werkeI.i-jke systeem zich wijzigen.

Deze a.fsttideeropdra.cfi.1. i.s t i j tgevoerd i n het: kader van het: promoti e onderzoek

van Ir. Til. A . G . Heeren. Het onderzoek i.:i ui:t;gevoerd binnen de vakgroep

Fundamentele Werk.t:iiigbotiwkiinde van de faciilt:ej. t: der Werktuigbouwkunde aan de Teciinj.sdie ïJnj.ver:ii.t:ei.t: van Ej.ndhoven . Bi. j deze wl.

1

ik inet: name

P r o f . Dr. J.x. J.J. Rok, Dr. Jr. F.E. Veldpails en Ir. Th.A.G.Heeren bedanken voor Iiiin begeJ.ej.di.ng .l;i.jdens mi.jn afst:udeerper.i.ode. Hj.er:naas t: bedank i.k

iedereen, faliij lie, vxj.enden, studenten en medewerkers die op welke manier dan ook hebben bi.jgedragen aan de xenJ.j.sat;i.e van dit: vti+al.ay.

Eozidew.i.jn A . Pli. van Cj.1fhoii.k

Samenvatt:i.ng

Voorwoord

1 L1 teraZ-uurs ti1dj.e.

...

1.1 Inl.ej.di.ng

. . .

1.2

De robot en z i j n regeling

...

1 . 2 . 1 Kenmerken van een eobot;

...

1 . 2 . 2 ik regeling van een robol

...

1 .

3 Nj.et:-adapt:j.eve reqe I.j.ngen

. . .

1 . 3 . 2 Opt:j.male regel . j. nq

. . .

1 . 4 Adaptieve regelj.ngen

...

1 . 3 . 1 PïB regeling

...

1

.I

.

1 Model Reference AdapZ:j.vc! Control (MRAC)

...

1 . 4 . 2 Se3 f T i i n h g Regulator (CTR)

...

1

.

4.3 Adaptj.ve Pert:urbat:i.on Cont.rol . (APC)

...

1 1 1

1

2 2 3 3 4 4 11 16 ?.li Conc1usj.e

...

20 2 2 . 1 2 . 2 2 . 3 2 . 4 2 . 5 Het: Model . Reference Adnpt:j.ve Control concept: (MnAC)

. . .

21

f n lejuiny

. . .

21

Enj.qe onderwerpen iiit: de t:iieorie voor linenixe .iy.jt.emen

. . .

21

Model Reference Adnpt:i.ve Cont:rol (MHAC)

...

28

Model Reference Control

...

24

Ret MRAC concept als schatt.er van de niatricer; K en R

. . .

31

3 Het . adaptieve a1yorj:thme

...

3 2

4 Hel: 1j.neaj.re systxem

. . .

34

4 . 1 Het lineaire systeein en het referenkiemodel

. . .

34 4 . 2 D e simulatie

. . .

3 5

4 . 2 . 1 Het . inyanysignaai

. . .

36 36

4.2.3 De adaptieve reyel~.ny

...

37

4 . 2 . 4 De beg.i.nschatt:;.ny van (Xe terugkappeima4xi.x.

. . .

37

4.2.5 ne resu1.tat.e.n van d e sj.innl.at.ie

...

37

4 . 2 . 2 De sturj.ngs- en terugkoppelmatrrces

...

5 Hei: niet 1.i.neai.re syst:eem

. . .

ill

li

.

1

Het . niel-lineaire systeem en het referentjemadel

...

4 1

5.3. Be simulatie

...

4 2

5 . 2 . 1 Ret . gewenslx verloop van de t.oest.andsyrootheden.

. . .

4 2 5 . 2 , 2 De begj.n:iciiat:f:j.ny van de !:tiirhgs- en teruykoppelmatr~~ces

. . . .

13

5 . 2 . 3 De adaptieve reyel.iny

...

44

5 . 2 . 4 De resiixtaten van de si.nriiìat.i.e

...

44

6 Concltisies en aanbevelinyen

...

49

6 . 1 Conclusies

. . .

4’3 6 . 2 Aanbevelingen voor verder onderzoek

...

50

Reft?rent;j.e:j

. . .

52

Appendj ces

€3

c

D E F G H

x

J K T,

w

N Het r e f erent:iemodel Het eyui.valente s y s h e m Het. lineaire systeem

Het: referenti.emode1. behokende lij. Xiet: 1i.neaj.m SyS kern De inya.nysj ynalen van hei: lineaire syst.eem

ne h e p a l h g van de uiatri.ce:; K

ne keuze van de rnaLJ:i.ces binnen liet: adapt:j.eve alyo+j.f:hrne De b i j het. 1j.nea.i r e sys'1.eein bellorende s j m i l a t.ie result:at.en

Hef: ni.et:-lj.neai.re sys t:eem

Hei.: b i j het ni.e.l:-linea.i.re: systeein behcxencte referenliemodel De ingany:;i.ynalen van Xiet: yereye.lde nl.et:-lj.neai.re syst:eem Een scliat.tj.ny van de iua.i..rj.ces R

De b i j he% niet.-l.inea.ire s y s t e m heharende si.mulat.ie resultaten en K bi.j hef: lineaire s y s k e m

\te Pe

en R

1 . 1 Inleiding

Ir! liet verslag van de Ij .i;era."L.iiurs2i.udi.e kotnt. t.er sprake wat. een adaptieve regel i.ng

i::

,

waacrm deze t:üegepa:j t; mu kunnen trordtin en w e l k e ui. t:voeJ:j.ngen er zijn. Een c1efj.ni.t.j e van een adap.t:.i.eve regeling zou kunnen liiiden:

Een adapkieve regeling i s i n :it:aat; zi.ciizel.f, dat; w i l zeggen (le

r.egelpa.ra.niet:ers I on-line aan t e passeni Indien h e t dynamische gedrag van het; werkelijke ( t e regel.en) tjytjkeeltk zodanig verandert;, dat: een aanpassing

(adczpti e) van de regelpa.r.a.ineters gewenst: i s c m beter aa.n de eisen *.e

vol.doen die aan het: geregelde ay!j.t:eeRt yest:el.rl worden,

$ 1

..? ne robot en z i j n r e g e l i n g

$ 1 . 2 . 1 Kennierken van een rciboi.

De bewey~.riyaves:yel.i.jki.ngen van een robot: zi.jn .i.~ t i e t a1.gemt.e~ gekogyeJ~d en

ni

et.-li.nefr..ir. Raa.ct deze a.spert.en van het. dynamisch gedrag z i j n cicik de kenmerken van de h a k d3.e een roho.i; muet: ui.I:voeren van b e l a n g . Deze

-

Een robot voert vaak &huelfde t a a k meerdere malen u i t . .

-

Tijden.; het. ducwlopen van zo'n cyclus verandert de last. vaak qua massa en massa traaglieden.

-

ne massa en massat.raagheden van de last. z i j n vaak niet van t e vcwen

bekend.

j 1 . 2 . 2 De regeling van een robot

Een robot moet: geregeld worden, apdat: de u-i.t:gang een bepaald gewenst: verloop vert.oont. Bovendj en moet het geregel de systeem st.abj.el z i j n . Hoe goed een bepaaI.de regeli ny een gewenst: verloop van van de iiit:gang kan benaderen, volgt. uil: prakiF.ijkt.esl.s en simuiat.ies

t;lteoret:.i.scf.te ondexgrond, waarmee d e s t a b i t i.tei.t: van liet: ni.et:-tj.ncaire geregel de systeem aangetoond kan worden.

Be volgentie aspect:en z i j n oak van belang voor hei: beocmklen van een regef.iny :

- S t r e e f t de r e g e l h g naar een bepaald syst-eemgedsag, bi -jvoorbeeld

ontkoppetd, L.i.neai.r, k ~ i . t i ~ s c h gedempt: en utet: een bepaalde elgenfrequentie,

of st.ree€t de x e g e l i n g naar h e t goed vnlgen van een bepaalde trajectmrie?

I n hei: laatste gevat i s de regeling waarscfii.jnl.i.jk mi.nder: flexj.be.2 ten aanzien van andere trajectorien.

ne tweede ei.s verei st. een

-

Hoe gued werkt; d e r e y e l i n g indien het: model waarop de reyelj.ng gebaseerd

is n i e t correct. k i l i j k t . cif het t.e regelen systeem ineens si:erk verandert.?

-

Hoeveel. cm-lhe processnrti.jd heeft: de reyelJ.ng nodi.y?

- WoJdt. de ingang gewogen? Het wegen van de. inyang kan voorkomen dat. er ungewens t: y coke ingangs i.cjnaten duo^: de reyef..i.ng gevraagd worden

.

f 'i. 3 Niet-adaptieve regel.ingen

Niet-adaptieve regelingen onderschei.den zich van de adaptieve regelingen

doordat z i j hun regel paraineters

ni

e t on-line aanpassen. Hier worden twee

ni.ei-,-adapt:kve regelconcepten summj.er besproken. Meer j.n.formati.e over deze

$ 1 . 3 . 2 Pin regel3 ny

Een robot d i e door PHI regelaars geregeld wordt., kent. in het. al-gemeen ken PXD regelaar pet: aandrijvnng. Deze regelaar houdt: i n het; algemeen geen

rekenimg met. hei. gekoppelde, nie%-lineaire en ti jdsnfhankelijke karakker van

de robot:. Hi.erdoot: zal b i j het: nastreven van een gewenst: verl.oop van de

uit.gang n i e t een maximal E! snel heid en nauwkeurighej d bereikt: kunnen wc)rden

Hei: concept; i.s daarentegen vri. j eenvoudi y en v e r e i s t weinig on-l.ine

prctcessortijd. Tevens kan onder bepaalde verc}nderstellj.nyen de s t a b i li teit;

van de geregeide mbot: geyarandeerd worden

i:

2.5 ] .

$ 1 . 3 - 3 Ogt.imale regel.iny

Bi. j een upt:i.male regeling wordt o p voorhand een aantal wensen

geEoxmir1 eerddie vaskgeleyd worden

in

een crit.eriiim. Winimal-isering daarvan

1-ei.dk ~ o t : de zogenaamde ogt:.i.ntale regelwet:. B i j d i t mi.ni.mali.sexen speeii: het:

model van het beschouwde systeem een grote rol. Wede hhierdcmr kan een goed

regelgedrag gerealiseerd worden. Ook kan de :jt:ab.i.l.i.tei.k onder: bepaalde cand.i.ties gegaranneerd wr>rden.

Het grote nadeel van een c>pt:i.male regelaar i s yel.egen in kt:feit; dal: de regelwet. of f-I ine hepaaldi moet worden, waardoor deze regelwet. i n f e i t e

n i e t meer: yc?scXti.kI; i s j m l . k n fief: dynami.sch yeclrag van fie t: werkelk jkc syskeem

sterk verandert. Ook kan er: yen opthiinale regelwet. hebaald worden, indien de massa e n massat:raagheden van de last: niet: van te voren bekend z i j n .

$ 1 , 4 P,dapkieve regelingen

Adaptieve regel.ingen zijn instaat. c m hun regelparameters on-line aan t e

pastjen. Er z i j n drie adapt:i.eve wncep t:en i:e nnder:jcIiei.den d i e i n deze

paragraaf ksproken zullen worden.

$1

.

Li. 1 Model Reference Adaptive Control (MRAC) $ 1 . 4 , 1 . 1 De werking van hei. NRAC! ct>ncepk

Model refefence adagt;i.ve ecintroi (#RAC)

besproken adapkieve rege1-j ng . ne werking ervan kan a l s volgt, beschreven worden:

j.n de li. I:erat-,uur de irieeat:

De model reference adaptive cont.roller tracht. door het. aanpassen van de

regel- e n stuurparamet:ers liet verloop van de i:oestantlsyrt>c,t-,fieden van het; geregelde systeem overeen t e lat-en komen mei. het. verloop van de

koes t:andsgroot:fieden van een gekozen lineair stabi.ef. reyelbaar referentie model.

I n d i e n de uit.gang van het werkelijke systeem g e l i j k is aan de toest.and van

liet syst:eern en Xietizef Ede voor liet .ixferentiemodeì gel-tdt, dan skxeefi: het:

MRAC: concept een i n y a n g s - u.i.t.gangsrelat.ie na di e wereenkomt: met: de i ngangs- u i i:gan y s I: e ].a

1:

i. e van he i: I: e f er en t i. ertiud e I.

.

Het. MRAC concept I zo8 Is dat. dnor Landau [ 2

1

gepresenteerd wordt: I gaat: ervan

uit: cia,!: i n !!et +rFerer?tJ.ez!!?de,I er! ir! he., m,o!?el v^n !?e!: werkelijke sy5Xerm

dezelfde toestandsgrootheden opt.reden. Het. doel van deze adaptieve regeling

i s een i.ngang

u

vunr liei; werkelijke sysi:eem te genereren, zodani.y dat: voor

g r o t e 2. ( t i j d ] het. ver1 «op van de t.oes~.andsgront.heden overeenkomt:.

Bj.nnen Xiet MIAC concept: beperkt; men zj.c:Ii t:c19: ingangen g. op liet werkelj-jke

systeem t i i e Lineair: z i j n i.n de teostand van het geregelde systeem en Pineair

zj.jn i n u

systeem.

In

hoofdst.uk 2 wordt. ui-t.gebrei.dt. op de t.heore1.i scha achtergrond van

hel; MRBC concept; i.ngegaan.

u 3s de ingang van het seferent.iernode1 en het geregelde -m’ -RI

f n figuur

1

wordt. schematisch weergegeven hoe de st.ruct.tiiir van een o p deze

wijze gereye1.d systeem er: uit: ziet:

f i g . 1 Een bl.okschema van h e t Model. Reference Adaptive Cont-rol concept

x ft:=OI

1

-.

_u

-m

Door mixMe.i van een eenvoudig vonrbeeid wordt: de werking van het WRAC

concept verduidelijkt:.

vooxhee.lld

1

:

$t.el. dat. het werkelijke systeem een massa-veer-demper-systeem is, met

massa m I veerconstant:e k f x , k ) en dempinysconskante b f I:) , Hek systeem fieefk

inaar &i,n vrijheidsgraad p (p=p(t.)). Het. sycteein heeft ben ingang

0.

De ~ ~ ( ~ ~ ~ ~ : ~ ~ ( ~ ~ v e ~ ~ : ~ ~ r w o r d t gerlefi.nJ.8erd a l s :

tiit. hei- bovenstaande vol yi.. voor de systeemmatxix A ( x , t.) en de ingangsmat.rix

P

’ I

O

[-k

(x

k ) /ID

-

b ( -i: 1 /in

n

( x , t : ) =

P ?

De uikganysmatrix i s ye1 ijIC: aan de ident-it.ei.t.sinat.rix I , waardoor het. aanka1 elernent:en van- en het: verloop van de ui.tgany y overeenktrmt: met liet: verloop

van de tat?:< t:andsgxoothedt?n van het; systeem.

We k i e z e n een +efereni.iemodel met. een t.oest.anclvec”cor die bestaat: u i t een

verplaatsing en de daarvan afgel.elde sne‘1iiei.d. Het refexenklemodel tieefl: &kn

i n y a n g u

.

De wensen die w i j ten aanzien van het geregelde systeem forinialeren

,

worden verdi.scont.eerd i.n het ref erent.i.emode1.

We kiezen voox een kngang g op hef: werkelijke syst:eem van de vorm:

-IR

W e proberen mek deze ingang g t.e realisesen dat. het. verloop van de

t.oestandsysoo.theden

x

en

sl,,

(de t.oest.andsvector van het. referent3 emndel ) op

den duur aan elkaar geli.jk woxdt:.

We anderschei den binnen liet; vaorbee.ld 2 s i t.ua ti.es

1

de demplng

B

i.s t:i.jdsaEhankel.j.jk en onbekend; de veersti.jEhei.d i s constant. en bekend. Er g e l d t :

k ( x , ti)=k0 ; h[t)=bQ( 1:)

2 de dentping h i s constanl. en bekend; de veerstijfheid la i.s een niet-

1S.nifaj.xe functie v2r: :: er: m,i,f!!anke!.ijk va?? t:. E r geld!: :

k ( & , t ) = k ? * x 1 2 ; b f t : f = b l

Reide geval3 en zuilen achter88nvc)lgens ui $.gewerkt. worden. sit:uat:.i.e

1

inet R 1*2 en Ku 1*1

P

We wensen dat: het. geregel.de massa, veer, demper systeem z i c h gedraagt. alsof fief:, bij dezelfde massa en veerski. jffiej.d, kr.i.t;j.scii gedempt; i s . D i t : gewenste

yedrag wordt v a s t gel egd i n het. r e f erent.j.enic)del. ne t.c)est.andsheschri jving

van het: refereni:i.emodel ziet: er clan a l s vof.gt: uit:: x = A x

+ B o

x =z (t.) 2*1

-

u =u (t.) 1*1 -in in-m m m -in NI ' -in -m

I.iil1 x - 3 - Q

-m

t:+m

Deze doel stel l i n g z a l gerealiseerd worden indien het. adaptieve a l gori.thme

liet volgentie realiseert: :

Omdat. Am en R d e z e l f d e diifiensie hekben a l s R en B en de twee toestands-

beschrijvingen uctk qiia s.~..rt~ctutir overeenkc.rmen, d .w. z . Am heeft. evenals A

linksboven een nii1.mat:ri.x ( 2 / 2 * 2 / 2 ) en rec;litsboven de .i.dent:.i.tei.tsmatr:j.x (2/3.*2/2) en Rm Ireeft. evenals B

fret. stelsel. vergelijkingen niet+ s4-xS.jdi.g i s . We kunnen dus de elementen van K n en K

bekend. W e hehben daarom een a d a p l j e€ algnrithine n0dj.g dat. a l s f u n c t i e van het versc1ii.J- ( x -E) (le t:eruykoppelmatri.x K

geregelde syskeem zich gedraagt: als hek refereni:iemc~del.,

til P P

P bovenin een nulmatrix ( 2 / 2 * 1 ) , b l i j k t clat:

i '

op j.ecc-Xer i:j.~dskj.p t berekenen. De dempj.ng b(l:) j.s eciiter niet:

r I!

zodani.g aanpast dal: he1;

-m P

sit.uat.ie 2

De t.c~est.ands~~eschr~.jviny van het. onyereyelck systeem lujdt.:

x ( t ) = A x ft.) -t R 11 ( L )

P- P-

-

o

mei: A P ( & f t : ) ) =

[

-k 1 *x '1 /m - b I :m]

'p=

[

1 im]

Indien liet: i e Eerent:i.eumW. een sys teemmatlicix A

die ke schrijven z i j n a l s :

heeft: en een ingangsmattixn

m P

me I; a, b

,

c cons kant:

0 1

dan bl.i.jkt dat; voor de el.emenI:en van R en X geldt::

P U

Jndien het: ver3oop van de toestand niet. van %.e voren bekend i s , dan kunnen

we met het: c3oor T,andau ontwikkel~k adapieve af.gorj. Llime het: gewens te verJ.oop

van de eJenienten van K en R schatt.en. Wet: K t i j R t . dus dai. er een oplossing

voor R

het. referentiemodel.

(einde voorbeeid I f

P U

en EZu hest.aat. %.ctdanig dal-. het geregelde syst.eem z i c h gedraagt. a l s P

Uit- 6i.t. voorbeeld kan geconcludeerd worden dat.

in

ec,wel ongevoefi.y vcmr modelfouten n i s voor a ~ d e ~ e t:ra-jec: tori.en m u kunnen

zijn.

Hel. adaptieve a J.gos.i t.flme van Landau i s gebaseerd cip de zogenaamde

ìiyperstabifj.t;ei.t:sl;fieoI:itr van P<>pav

-

De theortzt:j.:jci\e ac:htwgrrond van d i t : adaptieve a J gor:i.t.hiiie wordt door J,andau

I:

21 v r i j uit.voerj g besproken

-

Van tieze aanpak zi. j n verschillende sirnul.aties in de likerakuix t e vinden [la] I

[f,] I [ 8 3 , [9] I 11 61. Ook is er

&en

prakl..; jktest. u i t.gevoerd op een PUMA 600

robot .in cunbjnat.1e mek een TAX I I /780 comput.er [IO].

Naast: hel: door t,andau ontwikkelde adapi:i.evt? al.yorj.I:fime z i j n ex j.n d e

l.i.tera tiaiir: nog twee andere adaptieve alyorit.hmen t.e vinden d i e de regel- en

stuiirpnramet:eJ:s on-l.i.ne aan kunnen pa:j:jen. De eerste, de ZSJR. "skepest:

decent" met.hode wordt. besproken en gesj.muleerd in a r t i k e l [ 1 1 . ne

stabl.lj.l:eii: wordt: get:e:j t: aan de liand van verschillende i.nyanysignalen

.

Een

onderbouwde s t a

I

X

í

j t.e.i .Lstheosi e ontbreekt.

De tweede methode, de zgn. "NIT-rule" wordt. yepresent.eerd i n a r t i k e l [ 71

.

Er worrll: s ItrCfit:a zeer summi.er o p j-nyegaan en ook hier ontbreekt een

st.ahi.l i t.eit.stheori.e

.

i k z e twee concepten ziii len n.iet verder besproken worden.

8

1

. 4 . 1 . i! Si.miilaZ.ies en prakt3 jktest.s

Er z.i.jn op haa.is van hek concept: van LanBau adaptieve regelingen ont.wi kkeld

d i e gebxiiikt: zj.jn voor sj.mulat:i.es en prakt:i.jki:e:ii:s. De belangrijkste tiiervan w i i i k i n deze paragraaf behandelen.

Dhr. D.P. Slt*i:en f4] [KI k e f t : een si.mu2al:i.e uitgevoerd van een motM.

reference adaptive controll er gekoppeld aan een robot. met 2 v r i jheidsgraden

(rotati.es)

.

Het: referent:j.emodel. wordt; yekozen aan de hand van geweniske

eigenwaarden. Deze werden op A=-4 en A=-5 gesteld. Stoten beki jkt. alleen

sl:aprespr>n:ji.es van het: geregel.de systeem. Bet hl.i.jkt dal: het geregelde

syst.eem, ondanks hel.. niet-lineaire en gekoppelde karakter van de robot., het.

referen.t:iemndeL goed kan volgen. Ook htii.en de massa van de last met 50%

ve s hocq d word 2.

.

Jn h e t arlikel van R.R. Rj.iii en K.G. Sk1j.n [IO] wordt. een model reference

adaptj.ve ccrntrol.ler yebrulkt vrmx liet Kegelen van een PíJWA 600 rnhot:. Ikze

r o b o t k e f -i.. 3

vri

jheidsgsaden f r o t a t.i.es )

.

Al.:; refesent.iemode1 wordt. gekozen

voor een ontkoppeld krj-t:j.:jdi gedempt; systeem mei: dri-e ei.yeniioekfrequentì.es van 3 [rad/sec]

-

B i j h e t bepalen van de stapresponsies b l j . j k t : dat de roboi.

liet referent.i.emode1 goed kan vol.gen. f3i.t: vecandert nj-et: J.ndi.en de massa van de last. toeneemt: van n u l t.ot v i j f kg.

AwUece fezenswzardige u r k i k e l e ~ sj.jn [l

l i

i [3] i C l 3 1 i E161 [201,

[Zl].

f l .!I, 1 ~ 3 Voor- en nadelen van h e t MRAC concept-.

-

De voordelen van liet NRAC-c:onceyt

Het NRAC-concept is gebaseerd o p een st..-E?hilii:ei t.st.heorj e . Hoe een sterk

niet-lineair :jyst:eem voldoet:, moet: echter nog nader onderzoclik wc)rden, omdat: de door Landau gepresenteerde ui t.werki.ny vooral gericht is op lineaire

.l.i.jdsafhankel i jke systemen. Doordat. Landau echter vri.j d j ep o p z i j n

s tabj.1.i. !:ei. t:i.t:iteori.ct ingaak

,

kan

c~nderzochi: worden i n iioeverre deze i:heori.e

nog van koepassing op niei:-lj.nea.i.re ti. jdsafiianke1.i. jk e systemen.

De regel.i.ng s t r e e f t naar een gedefi.ni.Gerd dynamj s c h gedrag. Wierdoor hoefl.

de regel j.ng waarschi jnlijk niet. aangepast. t e worden indien procesparameters

wijzigen, bijvoorbeeld de massa van de last:, o f al:: er een andere

trajec%«xie doorlopen moet worden. Di.t koml. de f f e x j bi1i.t.ei t. van het

g ~ . ~ g e l . d e Sy:i keem ten g ~ e d e .

De regeling vraagt. i n vergelijking t o t de andere adapt-ieve concepten niet.

zoveel rekenti.

ja.

EI worden geen concret:e iri. tspraken gedaan over de

gebruikte saniple t.ijden, maar het aant.al rekenkundige bewerkingen is vr!

3

Zaag

[ia].

-

De nadel en van het.. MHAC-concept

Men gaat. ervan ui I. dat bi. j een i.j jdsafhankelijk systeem de procesparameters

minder snel variGren dan h e t adaplleproces. Uit: het. voorbeeld bleek echter

dal, de oplossing R

fi1nct.i.e kan zj.2n van de i-oest.andsveclor

z (

t:) . Aangezien een t.oest.an6svect.o.r

zeer s n e l kan vac.i.&ren 1-i.jkt he& geformilfeerde u.i.tgangsyunt i.n xi.jn

aigemeenlieid niet op t e gaan.

d j e de d a e l s t d l i n g van de regeling realiseert, een

P

De grootle van de ingang wordt niet. gewogen. Hierdoor kan de grootte van de ingangsignalen onaanvaardbaar hoog worden .

De inst.elìj,ny van d e regelaar i s niet zo eenvcm3i.g. Indien het t.e regelen systeem 4 tc)t.,:ji:anden en 3. ingangen iieef k , ïnc,ei;en er 73. parameters inlqe:jI:eld worden. De invloed van de keuze van deze parameters op de naukeurigheid

waarmee iiek refereni:iemodel yevoigd wordt: en op de regelinspanning i.s vooralsnog ni ek diiideli.jk.

Omdat. het. r e f e r e n t i eiiiodel binnen het. concept. 1 i . n e a i r moet. z i j n , is d e keuze e r v a n b i j :iysl:eìtien di.e niet-lj.neaj.1 z.i.-jn ondiii.delj.jk.

$ I . 4 . i! Se1 f Tuning Reyitlat.o:r ( S T R )

$ 1 . 4 . 2 . 1 De werking van het. STR concept.

Het: s e l f t:uni.ng rxyiilakox conc;ept: WOK:^^: weergegeven i n fiyiiiir 2 . _ _ y -

/-

-- -

E i g . 2

ken

~ J I okscheiila van liet. ~ e 1 . f Tuning R e g u l a t o r concept

p r o c e s parameter?

Iregel parameters

I

Het- systeein d a d geheel of g e d e e l t d i j k onbekend i s I wordt. geschat: door e e n

schaI:t:i.nysal.gori.tfiui~?, Op bnsj.:i van deze sciiaI:t:ing worden (ie r e g e l p a r a m e t e r s Clanyepast..

J n d i e n we t.ertig k i j k e n n a a r vclarbeeld 1 sií.iiat.je 1 van $ 1 .Ib. I dan wordt. h i j

het: STR reyttlc:onc:tipt: de onbekende dempingsconsi:ante b [ t:) ye:jdìat: u i t d e r e l a t i e t i i s s e n de ingangs- en uit.gangsvector. Xndien we d e scfiat.t.ing van d e dt?mpi.ngrjconst:a.nt:e kennen, kan ik (wi.l.lekeur i y e ) r e g e l i n g a a n g e g e p a s t worden. Binnen dit. adapt.,i.eve r e g e l c o n c e p t z i jn versclij l l e n d e schattinysa1gorii.hinen

moge.2 i j k . Wj.ernaast: kan k d e r e w i l l e k e u r i g e reye.lj.ny, die geschikt: i s voor

e e n on-line a a n p a s s i n g , gebruikt. worden. Omdat- k e t a d a p t i e v e aspect. van het

CTR concept i.n f ei:t:e verP:egenwoordigd wordt. door de scha t.!:er

,

za

1

i k ini j bi

de bespreking iii.ert:oe beperken.

A . , J . Koi.vo en T.H. Giio [6] kiezen voor h e t t e schat.t.en inodel een lineaire di.screte vcirm (2i.e ook [ 2 6 ] ) . Het; model heeft: evenveel. l.nganyen als

uit-gangen. De parameters i n (1i.t.

1

ineaire moclel worden geschat. inet. behulp van de klei.n:jt:e kwadraten niet:fiode

.

Voor een uikwerking van hei: concept: verw.ijzen w i j U naar de 1i.t.era:l:iaur op d i t geb.i.ed [ o . a . 6 3 .

De :;dia t : k r kan aanyepast: worden zodani.y dat: de Clah selec:f;i.ef gewogen

wordt.. Dit kan van helang z i j n i n d i e n d e parameters i n de t.ijcl veranderen. De (ioor de schil t:t:e,r on-line berekende parameters kunnen nu gebruj.kl; worden

cm de reyel i.ny aa.n ke passen.

Meest.al wordt i n de 3 itera:t:uur gebrtal.k gemaakt. van de, ook door Kiovo en Guo

gtbriii.k1:e I kl.e.i.nste kwadraten met:iiode al:: schakter . Dctor Xknya en Evans

[

1 11

wordt h e t a1garit:hme cni.gzins aangepast. om een hogere

ccinveryentii.eanclhei.d t;e iiealj.seren. Ook wordt: door hun op regelmatj.ge

ti.jdst.i.ppen de covacinnti.ematrj.x yereset.. n i t heeft. t.ot. gevolg dat. er veel

meer waaxde aan recentx data wordt: toegekend. M e t di:!: algoritime is t e

bewi-jzen dat: de yeschat:l:e pa.ramet.ers convergeren naar de exacte parameters Indien het: t:e regelen sy:iteem lineair en t:.ijdsafliankelj.jk i s I de inyang aan

bepa~l.de condi kies voldoet f zyn. persiskent excj.t.at.ion) en de tre schatten

parame.texs continu varieren en $:e benaderen zijn met s kuksgewi js li.neaj.re

ft1nct.i es.

Een verge1 ijkend onderzoek t.tissen een recursi.ef klei riste kwadraten schat.t.er

en een rec:ilr:jj.ek: maxiinurn l.ikefj.iiood scfiatter is i1Ltgevcierd dotar Ei. Kiirz I R

Tserman en R Cchuman [ 3 ] . De restiltaten wi.jzen ui.t. dat. een schat.t.ing

gereuli.seer!j yrc?!.gen:i de klej.nske k w a d ~ a ! : ~ ~ rnet:!ac>de j-n vzj.jwe.l alle gevallt'pi

een snel

1

ere convergent.ie vertaont..

Viikobrat;ovJ.i:, Stoki.5 en Ki.rEanskJ. [ 1 4 1 ,

[ i s ]

[ Z l ]

I benaderen hek self k u n h g

regtil.at.or concept o p een yefieel andere wi-jze

-

Uit. een onderzoek I uj t.gevoerd

door Vukobrat:ovj.i: en Kit:Ean:jki. [ a l ] I b.ti.jkt: dat: variat:j.es i.n de

eigenschappen van de last een orde grootte ineer invloed hebhen op het.

va.n d e heweghg van de r ~ ) b ~ t . . Deze u.il..spr:aak geldt. niet. i.n z i j n algemeenheid aangezien dit: s k r k afiiankeiijk

i:?

van de specifieke si.t:uat:.i.e.

Rekm.hg houdend met de door hen getrokken concl.ucie ui:t. dat. onderzoek en

meis lie-t feil: dat: de atlapt:i.eve regelaar zo eenvoudig mugelijk mmt z i j n

( rekentijden)

De var:i.ati.es i.n (le massa-traagliieden en andere parameters van de robot:, b.i.jvoorbee1.d wxi.jving, moet.en gecompenseerd kunnen worden door het: niet:- adnpt:i.eve deel van de regelaar. De regelaam: mek alleen a d a p t i e f z i j n met: betrekking t o t de ma.ssa. en ma.ssat.raag1ieden van de last..

nit.

aciapti eve deel

moet: volgens Viicobrat:ovj.? e.a. alleen gelmplement:eerd worden indien b l i j k t : d a t de niet-adaptieve regeling rikt. I n 5t.aat i.s een st.ahl.el en nauwkeurig

regelgedxag t:e realj.seren b i j de gewenste c . y . verwachte variaties van d e '

]a.ct.. 0mwj.lle van de benodl.gde rekenti.jden moet. vol.gens Vukobratxwit? e .a. de

nkt-adaptAeve regeli.ng oat;koppefd z i j n . Indien de r e g e l i n g n i e t vc,ldoet, moeten slechts d e eigenschappen van de Iasi+ adaptief bepaald worden en op basis kiervan de reyeling aanyepas 1: wnxden.

stel1 en z i j het. vol.gende adapt.j.eve reyelconcept voor:

fj

1

. 4 . 2 . 2 Simulat.ies en prakt.ijki.est.s

Ki.ovcr e n Guo [ 6

f

Xiebben Xiun a(3apti.evt.i algori.thrne in de p r a k t i . jk getest: o p

een robot met. 6 vrijhej.dsgraden. Ze gaan ervan ui.t. dat cle robot. zich vrijwel gedraagt: als een ontkoppeld systeem. Bet: !:e schai:ten model

i::

dan ook

voll.edig ontkoppeld, dc7.t wj.1 zeggen &&n t e schat.t.en model per vri.3heidgraa.d. Voor de regela.ar wordt gebriii.1~ gemaakt van een zogenaamde one-st.ep ahead

cont;roller. Het: IJ jkt: dat: in het; begj.n, 0-0, 3 sec.

,

zi.cìi vrl.j g r c ~ t e

f3ucL.ua.ti.es i.3 h e t dyr?a?Ei sc?? ged:rag kmne.. vc?c?rdl~eE 1 fa.!.erna YC>I cioet: de

regeli.ny bcfioo.rli.-jk. De var:i.atj.e van de gt':jcXiai:t:e parameters wordt: j.n de t.i.

ja

langzaam minder. Pa.arscki jnl.i.jk door de grote hoeveelhei.d t e schat.t.en

parameker::, 1j.tjt; hun sample t:i.jd erg hoog ( 5 6 msecf

.

Het: i.s nlef: duj-delj.jk

welke computer er: gebriiikt wordt.,

Yiiknhrat:ovi.h e. a . [ 1'33 [24f Len Iiun atlapt:j.eve algorj.tlime op een UMIS 38 robot.. Z j . j kiezen vcmr een ontkoppelde r e y e l h g , c m de ben»di.gde rekenki j d zo l a a g mogeli.jk iie houden. Omdat. het gedrag b i j een varierende last., O tot: IO kg, nick acceptabel i s

,

wordt: gekozen voor een adapt:i.eve regelaar. neze moet. adaptj.ef zj.jn met betrekking tot. d e massa en de massatiraagheden van de

l.a.st. Voor de regeling worden de prisi.t.ie en de snel.heid t.eruggekoppeld en vergeleken niet: de gewenstx pos-i.t:i.e en sne1Iie.i.d. Hel: b l i j k t : dat door de %:oevuegj.ng van het. a d a p t j eve a1.gor:i.t.hme he%. systeemgedrag bi -j een sterk

afwijkende .last: behoorl.ijk verbe-txrt:. ne schatki-ng van de massa en

mascatraagheden var.Geui. slechts weinig.

Vukobrat.ovi? e. a . rea.li semn b i j de nie.i.:-adapt.j eve rege1.j ng een sample tijd

van 10 insec en b i j de adapt..i.eve regeling een sample t i j d van IC; insec.

Ze geh+ui.ken em Intel. 8086 microprocessor.

$ i . 4.3.. 3 Opmerkingen, voor- en nadelen van het. STR concept

Opmerkhg

1

Riovc) en Guo houden geen rekenhg wet het. feit. dat: d e paramet.ess

+.i

jdsafhan- keli.jk (kixnnen) zi.jn. D i t : v e r e h t: een op rege.lma1:i.ge t:i.jd!jt:i.pgen "resetken" van de covariantjematrix flfi]. Indien dit niet. gehenrci zaj. de

conVe,rc3it?nt:i.e:jRe~~~e~.~~ :j kerk afnemen, waardoor: snellere parame[:ervarja.kies niet. ineer yevol gd kirnnen worden.

Opmerkhg 2

Het gepresenteerde regelconcept. van R.bvo en Guo vereist geen enkele

modelkennis. N.i.erdoor miseken er: zeer: veel parameter:j geschat; worden Isah de

snelf1ej.d van de regeling niet. €.en goede komt.. Omdat. r.i j hi.ernaasi. ook

ui.I:gaan van een lineair t e :idìatt;trn model en i1e.k (111s moyelljk i.s dak de t e

scfiat.t.cn parameters een ftinct.ie xj.jn van de t.oer;i.andsvector, z i e

$ 1

. 4 .

1 . 1

voorbeeXd

1

s.i.t:uat:i.e 2, i s jui:jt; (le sne1fiei.d van de :ichatf:er van groot; b e l m g .

Opmexki.nq 3

Vukohratovi.6 e.a. stellen dat. het. on-line meken van de eigenschappen van de lask door middel van kracht.opnemers kostbaar en moei.li jk is. Er wordt- vooral

veel ruis op lief: meel:signaal verwacht;. 0111 deze Eeden kiezen ze voor een adaptj.eve regelaar. Deze uitspraak i s i n z i j n algemeenheid rikt. waar, omdat

hei: al dan rikt: succesvol gebruiken van krachkopnemers S k r k afliankelj.jk i-s

Opmerking 4

Men zou zich kunnen voorstellen d a t de hgangs- en/of uitgangsvect:or aan bepaalde ei:jen mcret:en voldoen wil liet mogelijk z i j n de onbekende

systeenipa rameters i..e schalt.en. Xn hei.de regelconcepten wordt hierop n i et- ingegaan.

-

Voordelen van het. STR concept

Bet: STR concept: van Ki.c>vu en G i i o i s flexibel t:. a . v . de gewenske trajec:kori.e

en v a r j a t i e s .i.n de IntiLisa en massatraagheden van d e fast..

Het: STR clrncegi: van Viikrlib+aI:ov.i.2: e .a. en I n mi.ntlere mate kt:regelconcept

van Kiovu en Guo, i.s vei. j i.nzi.ciit:elj. jk en eenvoudig te realiseren.

Het. regel concept van Vukobrat..ovR.? e a , keef t. weinig on-line prctcessort,i j d

nodigt uiiidat slechts enkele parameters geschat. hoeven t e worden.

Omdat: ex een witlekeurige cec,ye.liny gekozen kan worden, iiee€t men de

cninpJ exiteit. van het. gehele adaptief geregelde! systeein vcmr een befangri jk deel. zelf i n d e iiand.

-

De nadelen van h e t CTR concept.

Het. regelconcept: van Viikobrat.ovi.6 e , a . k.ent: een i.nst.elJ i n g van de regel- paraiaeters dl.e slec1i-t:s gelden rondom een gewenste t.rajectori.e van een bekend

systeem. %.erdoor neemt: de fl.exibj.1 i:t;eit van de +tsge.llng af

.

Immers indi.en

de gewenste t.ra,j eci..ori.e gewi j z i g d wordt. worden.

moet: de regeling opnieuw ingesteld

Het CTR concept van Ri.ovu en Giio gaal-. ui.t. ervan iiOt. dat. het. t e schat.ten

worden, .i:erwjjl d e z e paranieters ook nog eens zeer snel i n de: t-.ijd kunnen

vexantleren. Het: concept: vxaagt daarom veel. on-lj.ne pxí>ces:jí)rt:j.jd e n s n e l l e c«niput.ers

.

R ~ C J V ~ en Guo gaan n i e t . i n op d e vraag of Iitin schat.t.j.nysa1gorit.hme wel s n e l genoeg i s om de 2:i.jtlsafliankell.jke parametera te kunnen volgen. Bi. j hef, regel

concept.. van Virkob.rat.ovi? s p e e l t ctit. geen rol. I omdat. er a l l e e n c o n s t a n t e

paJ:ameI:eI::j gesclìat: worden.

De twee g e r e a l i s e e r d e STR .regel.i.ngen hoiiden geen r e k e n i n g met. het: Zei t dat;

d e bewey~.ng:~vexgel. i.jkj.nyen van een robot: gekoppe1.d z i. j n .

Xiovo en Gtio gaan ervan u i t . data er evenveel i n - a l s u i t g a n g e n z i j n .

Aangezien c3i.t: i n het: algenieen niet het: geval i s f z a l de i:íieuri.e nangepa:jk i11 o et. en word en

.

De artj.kelen van C . S . G . Lee, M.J. Chung e n €3.11. Lee [12],[15],[22],

p.resenc.eren een adapt.i.ef r e g e l c o n c e p t dat. enj.gsxj n s verwant. i s inet. het. CTR

c o n c e p t . Ozndal; ex ecfif;e~: fiindamente1.e versc;liii.lEen be:ji;aan t;ils:jen kie.i.de concepten wc>rdZ: het. APC concept. apart. beliandel~d

.

$1.4.3.1 De werking van h e t APC concep%:

He!: P.PC regelconcept l i . jkt; r>p e m kmii;i.ng !:i~ssen. de oyt-irnale regel theorie

en d e STR theorie. Op b a s i s van d e eenvoiidj y e b e w e g i n g s v e r g e l i j k i ngen van een robot;, geen wri. j v i n g , geen spel.i.ny, geen e1.asf:i.c.i. k i t : en geen dynamica van de a a n d r j j v i n g , wor(1.i. b i j een gegeven gewenste uit.yang d e d a a r h i j

befiorende noini.nale i:t)e:itand

x

( t ) en ncmi.nale inyang u ( i:) bepaald

-

De,

bewegi ng.; v e r g e l i j k i n g e n worden v e r v o l g e n s rondom deze nomj na1.e t r a j e c k o r i e

gelj.neariseer(3. De bewegj.nysverge1.j. jki.nyen z i. j n dan t e scltrj.jven

in

de

volgende vorm :

waarbij bx(.t;) en b y f t ) de per%:iirkiaP:i.es ten opzj cht:e van de nominale

t.rajec2.orj.e ve~~:tegenwuordj.yen. Er geldt: dan Q ( t . ) =

x(.t.)

-

x

(t.) en Bg(t;)=

-n

g ( t )

-

l q t )

I n d(P.1 worden de eventuele modelfoti1::en gedacht..

Indien we nu een reyelaax w.i.l.len realisexen op h a s j s van vergelijking

1 . 1

dan zull.en we ten alle L i j d (le elementen van de matri.ces A (t:) en B (t)

moeten kennen. Door: de complexit.ei.t. van de robot. i.s het. echt.er inoei l i j k en

zeer rekenlntensief deze explj.eiet t e bepalen. We gebruiken daarom een

schatt:ingsc7..lgor~:i.:hnie da:L d e juiste waarden van de onbekende inat.ri.xelement.en

moet: :;dìai:t:en. Indien deze bekend z i j n en aan het: systeem hef, nominale

inganysignaa I wordt. t.aeyevoerd dan i s hei:. regel prohl.eem gerediaceerd t.ot het.

bepa.len van d i e t ~ g ( t ) Iaaarbl.j hx(t.1 naar niil t.oe gaat..

i,ee en Clluny kiezen om redenen van eenvoud en een eenvoridige implement:at;ie

voor h e t reciirsi.eve kIeins%:e kwadral..cn cchatt..i.ng:;al.gori"chtne ( z i e gj 1 .4.2. )

.

Ze gaan Iiiexbl j uit: van de vol.yende veronilers.te.2.l ingen :

- D e t e schaZ.t:en para.me.t:e:rs veranderen zo langzaam dat. het.

scha1:tjngsalyorj. t:hine de veranderj.ngen kan vol.yen

.

Men kan zic:ii afvragen of dit. een ger:echtvaardi gde veronderstelling is.

-

Mei-tt;rui.s is verwaartoosbaar: ( z i e ook i 2 4 3

1

.

-

De P.oecZ.a.ndsyroo.i:heden z i j n meetbasr.

De .laa.t::;t:e kwee verondesstellinyen zj.jn rekel bi.j fieit: regelen van een r o h o k .

Het hepalen van de yer.~urba..i.ieknppe,l.s 611 (I:) wordt.. verricht. door een

zogenaamde ~ne-:it:ep ahead opti.rnale regelaas

.

Deze t;racAit: de volgende

gediscretheerde ul.tdriikking

1

. 2 t.ie mhimimlj.seren.

1 T T

Q : senri.-posj.%..i.ef def i.n.ieii.e matrix R : p o s i t i e f defini.ei:e mat:rix

J(k)- (s)[x (k-tI)(&(k-tl) u t (k)Rg(k)

f

( 1 . 2 )

Xn figuur 3 i.s hel- geliele APC concept

in

discret.e vorm schemat.isch weergegeven.

f i g

.

3 Een bl«kschema van k t . Adaptive Pertiirhat.j.on Control concept. s %or

k

iig en

i

t

Het. APC regelconcept j.s getest. o p een PUN& robot.

in

combinatie inet. een TAX

1 1

/7XO coinpuf:er. Wi.erb.i.j worden de prestatl.es vergeleken mei: de pre:? t:at:j.es

van een PX, reyelaax. Er wordt. gekeken naar s t a p r e s p o n s i e s . Er w a r d t b i j het. I.ns-telI.en van de 2 regelaars uikgegaan van een massamai;ri.x d i e

10%

afwi. j k k

v8.n d e werkeli.jke. Tevens l a a t inen d e massa van de last. van n u l tot. tien kg.

koenenien. iJi.t:jpraken over de nauwkeur i.yliei.d van de ye:jdi.aP:fit? waaxden van de

ma:l:.ri.ces A (L) en B f t ) worden n j et. gedaan,

f

1

. 4

-

3 . 3 Ogmerkj ngen, voor- en naclelen van hef. APC concept. Opmerki.ng

1

B i j h e t bepalen van de noriiinale h g a n g , gaan Lee en Chung voorbij aan het.

.feit; dak er enk-le bel.angrijke spteemparameters onbekend zi.jn, namelj.jk de ninssa en massatmagheden van de last. Wi.erdoor kan het. berekende nc)inj.nale

inganyssi.gnaa1. f l i n k aEwj.jken van hei; j.nyang:jsj.gnaal. dat het gewenste iiiiigangsverXloop reallseert. Men kan z i c h daarom afvragen n f

(

1)

de seye.lj.ng, die 13eba:jeerd J.s o p een geli.nearj.:jeert-l model rondom een

nomi n a l e i.:raject.orie, nog wel vo1.doe-t. a l s de a f w i j k i n g e n ten c)pzicht.e

( %

1

liet bepalen van k t nominale inganysj gnaal daarom ook niet. adapt.i.ef d k n t ; t e ye:ichi.eden? (MRAC concept:)

0pnierki.ny 2

Evenals bij liet. STR cr.mcep2.: woxldk niet Ingegaan op de vraag aan welke condi.t:i.es (le j.n- enlof iii.t:gang moeken voldoen opdat: adapt& mogelijk is.

- Voordelen van liet APC ccmcept:

De .i.n:;t;eLl.i.nq van de opt;i.maie one-step ahead c:ont:roller is redelj.)k

eenvoudi.g en t e vergel; jken met. de i.nstel.2ing van een opt.ima1 e regelaar.

De regelinspanning wor:den ~iieeyewogen

.

Door yeb+uj.k te maken van een nc)mi.naaJ. Ingangssi.gnaal d a t gebaseerd i s op de

gewenste ui. tynny en een yelineairi.seer;.d mockl, w~rdf: rekening gehouden met;

het. f e i t dat. de bewegingsveryelj jkhgen van cle robot. n.i.et.-lineair en yekoppel.d z.i. j n .

-

Madelen van het. APC concept.

Op h e t st.a.kii.1.i teit.r; a.:;pect. van liet. regelconcept:. wordt. door Lee en Chung niet

j.ngegaan. De vraag i.:j o f deze yegarandeexd kan worden, indien, b.i. jvoorbeeld als gevolg van een sterk afwijkende massa van de last., liek nominale

i.nyanyssignaa.l ijt:c.irk afw.ijkt: van liet hganyssignaal dal; het gewenste iii.I.ya.nysverloop r e a l i s e e r t .

Er wordt aanyenoiiien dat:. de va.:ri akiesnelheid van de parameters lager i s clan

de at-lapt:.i.eanelliei.~. Dit: i.:? niet; vanzelfnprekend.

Doordat de reyeling ontworpen is voor e e n specifieke t.ra j e c t m i e , d a a l t . de flexib.i.1j.t:e.i. t:.

Voor hei. berekenen van ]let noiii.i.nale j.ngangsj.ynaa

1

j s modelkennis

nor)dzakel.j.jk. Ook iii.erdoor daalt: de flexi.b.i..Lj. t;ei.t.

I n d k n we de verschlll ende ada.pt.ieve regelconcept..en rnet. elkaar vergeli jken en t:oet::jen op hun bruikbaarheid ten aanzien van liet regelen van een robot;

met een onbekende la.st: en wellicht. een onbekende gewenste *:ra ject.ori e, dan

kunnen we hei: vol.gende concl.utleren :

-

H e t bewj jzen van de st.a.k~i1iLei.t van het. adapt.i.ef geregelde niet:-lineai re sy:jt:eem i.s waarsciti.jnlj.jk bi.j geen van de concegken moyeli.jk.

- Het: SYR concept. va.n Riwo en Giio E61 zal w a a r s c l l i j n i i j k e r g veel on-line proct3:j:;oxt:i.jd vragen. Het: is mogeli.jk dak hierdoor snel..le bewegingen van

een rubot n.iet vuldoende ~ ~ . ~geregeld ~ w ~kunnen worden ~ ~ ~ .

-

~ g

- Het: STR concept: van V U ~ ~ ~ ~ ~ ~ : ~ . ~ : O V ~ . ~ e . a . E241 gebr:uj.ki: Ckn PXD regelaar per: vJ:j.jhe.i.dsyraad ( m o t o r ) . Deze regelaar iioiid geen r e k e n k j inet: liel:

gekoppelde ka.rakler van de beweyi.ngsverge1.ijkj.nyc.n. Het is daarom niet Le

verwacAit:en dat: deze ~:egel:jtrategi.e~ie zal leiden to-!: goede resul t a ken b i j liet;

snel en nauwkeu:ri.y volgen van een gewens2;e ~1:rajeclorie.

- Het APCI concept maakt: geb+ui.k van een yelineajxi.seerd model iondom een

gewenste .i..raject:orie ~ De vraag is echter i.n hoeverre de regeling nog

voldoet:, i.ntii.en

,bi

ivoorbeeld al:; gevolg van een andere massa van de .La:it,

ait.

nicidel s%.erk afwijkt van tiet werkel

.i

jke syst.eein .

- Het: MRAC c:oncept: heeft: evenals de twee STR conc:eyten liet nadeel. dak liet: gebaseer6 is or ! I.nea.ire systeme~, rnaarclnur ver h e t regelgedrag h i . j sterk

niet-lineaire sysI:enien weinig t:e vr>orspeI.len va1.t:-

- He%: JWAC concept iiia.a.kt

in

teeyens2:ell.i.ng t.of: het APC! concept. e r g wei.ni.g geb1:uj.k van de eventueel. aanwezj.ge inode1kenn.k van hek t:e regelen syskeem.

I n de volgende hoofd.;.i..ukken wordt. a Ileen nacter i ngegaan op het. MRBC concept.

Hoofdstrik

2

H e t Model Reference Adapti.ve Cont.rol concept (MRAC)

$2.1

Inleiding

I n d i t : I’ioofds-t.uk wordt l i & MRAC concept. nader t.oegelicht.. Het. concept: kan

opge:jp.li. t:st: worden i n tiwee delen:

1

.

1

ndi.c+n liet werkeli:jke sys.teeiii vol l e d i g ].lekend i.s

mei: behulp van een .regeling een gewen:j.t; gedrag?

2.

Hoe rea.li seren we 1ie.t gewenste gedrag indien het. werkelijke systeem niet.

of n i e t ; geheel. bekend i.:j?

AS s voarbereidi ng o p ].iet beantwoorden van deze t.wee vragen, beha.ndelen we i.n

paragraaf 2 . 2 enige onderwerpen tiit: de tihearie vrmx li.nea.i.re :jyzj Lemen.

hoe r e a lisexen we dan

2

.

2 E n i g e onderwerpen uit de t.11eori.e voor linea.ire- syst.eiiien

W.ij ht?:jc:ii(>üwen een :jy:j teein waarvan de relevan t:e a:ipect:en van het: gedrag

hesclïreven kiinnen worden niet een lineair ina%heniat.i.rich model van de volgende vorm :

( 2 . 1 )

( 2 . 2 )

Hi.erin i s 3 d e .toes,tnndsveri.lc)r, If de systeemnialxix

iii.t:.ganysvector en C de ui tgangsnia.trix. Het:. :;yst..eein beschouwen we a is

regelbaar en waarneembaar. W.i. j :;preken over een 1ineaj.r c:(jn:j kant: systeem

indj.en A , l.3 en C constant zi.jn, .indien mi.nst.ens een va.n deze mat.sices een

tunc t:i.e i;; van de t i . jd i: hebben w i j t:e inaken met: een Xineaix,

ti jd:;a.f1iankel ijk sys%eeni. F J i j gegeven nia2:r.i ces A t €3 en [: en gegeven

j.ngangavect;or kan de .toe:j.t:nnd:jvcct;o+ 5 wcjrden bepaald 1ij.t: ( 2 .

1

) . D1.t:

1

evert: :

B de ingangsma t.rj.x, y de

waarbij de zogenaanide overgangsmatrix Q de op7c)ss.ing j.s van:

( 2 . 3 )

( 2 . 4 )

Hierin i s I de een1iej.dsma.tri.x van orde n*n niet n yeli3k aan het. aant.al

i:oest:and:;r~rout:lit?den, UU:j liet: aantal c:ompunent:en van &. Door gebruik t;e niaken

van r1j.t; resultaat: ( 2 . 3 ) voor 5 en van de ui.i:yangsvergeli.jki.ny ( 2 . 2 ) kan voor

de u.i. t;gangsvec f:or y eenvoudig worden aanget;oond dat: :

aeze rela:t.j.e wordt in het v e r v o l g cZe ingangs- u i t g a n g s v e r g e l i j k i n g van het.

beschouwde :iyst:FteRt genoeind.

Indi.en de :jy:i,t:eeiNIna.L:r:j.X con:; kant: i.s, dus al.:; A ( .i- ) -O vcmr alle , r l t o , kunnen

de v e r k r e g e n J:elaZ:ies VOOK

xf

t:) en y( t ) nog ie t:s vereenvoudigd worden. I n

dat: geval. gel.di: ~ . ~ N , N ~ X S :

( 2 . 6 ) Voor itet bewijs h i e r v a n ( e l g e n l . i j k : vow: de dei5.ni.t:i.e van en‘.) woxdt:

verwezen n a a r de l.i:t~+~it.~iiir, b i jvoorbeeld naar het. coil eye-di.ci.aa t: “Werkt:ui.gkundi.g Regelen IT” C2’31. O p ysond van ( 2 . 6 ) g e l d t ook:

Zodn t: v o o ~ l i n e a i r e , cijn:jt;nni:t? systemen i n p l a a t s van ( 2 . 3 ) e n ( 2 , I ) geschreven mag worden :

( 2 . 1 0 )

Een gevoiy van deze c1efi.n.i. t:.i.e

i:?

dat: m, het: aanf:al j.nyang:jgr»ot:hed~n, van

een st.rj.kt. po5j.t.i e f systeem i n i e d e r g e v a l g e l i j k moet. z i j n a a n P, h e t

aantal ii.i.t:yang:;groo.l.lieden. :immers, P i.s een matrix van de orde n*n en E is

T

een maP:r.i.x van d e orde n*ni, %oda.i: E3 P een ma.tr.ix van de orde m*n i s . Omdat.

de orde van C geli.jk is aan p*n i s RTP=C a.lleen zinvol indien p ge1.i.jk i s

aan m .

Een t.clestand

z~=+

van een t;ys%:eeni w ~ i d t : een evenwichtsloes%and yenoeind indien 3, hegrensct i s en er geen inganyssigna.al nodig i.s o111 het. systeem i n

die l..oes-t:and %:e houden. V c ~ o r tiet linea3.m syst.eem u i t ( 2 .

1

) betekent: dit. dat.

-

x=x, een evenwj.c~it;st:oest:and kan zijn .i.ndi.en AGZO. I n de z.i.n van het. college

“Werktui g1mndi.y Regelen J

1.

” kiinnen wij een cieryel i j k evenwi cht.sl..oest.and

:it;abj.eJ. noeinen al.:? kt::jy:j.t:eem na hek aanbrenyen van een WL 3.l.ekeurl.ge

ve:rsl.or.i.ny 6 3 o p den duiir steeds terugkeert naa.r die e,venw.ichI,si..oest.and. Een evenwi cll-l.stoes.Land 3, wordt. yloba.a.1 a syiiipt:oti sch st:a.i-)i e l genoemd i n d i en voor ieder Ingangssi cjnaal g-g (t:) geldt:. da.t

x

(.I:) o p den diiiix nadert t.rit. g e ,

dus al.:^

x[t:)+x,

vc)or a l l e y g ( t ) . Maken w i j e r gebruik van d a t x(t.) vocir een

lineair s y s k e n i gegeven wordt door ( i ! . 3 ) dan mogen wij ccincl iideren dat. een

1.i.neai I: Syskeeni globaal. a:jyinpt:ot:i.:;ch :it;abi.t?l i s indien VOOf bt?gXt?R5dc?

-

li=; ( t ) g e l d t :

( 2 . 1 1 )

Kiezen w i j hierin Q( T)=Q voor a l l e T > % . ~ da.n volgt de st.abjli.~.ei.l:sei.s uit: het.

eerder genoemde coll.ege. i?e eis ( 2 . 1 I ) i s echt:er veel. :j.t:rengeJ: »mila t; deze

moet- gelden vour a l l e begrensde i.nga.ngen. Het: zal E?cIJ~:~:c duidel.ijk z i j n dat.

(2.

1 1 )

ge:ipl.i.t:st: kan worden i.n

2

d.:jen en wel:

( 2 . 1 2 )

waarb.i.-j g f ~ ) i.n de laa.t.ste e i s begrensd nioet. z i j n . I n na.volginy van Popov noemen w i j een lineair systeeni a syniptc).i:i.scli hyperst..ab.i.el j ndi.en de zeer

:it:renge ei.:; ( 2 . 13) ni.et; yeldt; voor a l l e begrensde

u=&(

T ) n1aa.r wel voor alle

-

ti=-( t:) d i e voJ.doen ann :

( 2 . 1 4 )

Het: bewijs van deze zctgenaanide s.t:el JLng van Popov .i.s betrekkelijk eenvoudig. Voor de j.n-tegrand uit: ( % . 1 4 ) kan inet ( 3 ,

-

10)

yesclireven worden:

=--(-x cl I T

Pz)

- -x ' T ( P A . -t A 7' P)x---(-x cl

1 1 :

Ps)

-1. -x I T Qx

al:

2- 2- d t 2- 2- ( 2 . 1 5 )

H i e r b i j i.:i cjebr1ii.k yemaakt: van de syrn1net:rj.e van P en van de wekenschap dat: P

vc)w een l i n e a i r c o n s t a n t sy:;i.eeni een c o n s t a n t e nia-ixix i s . Met... ( 2 . 1 5 ) en

( 2 . 14 ) vo I.yt nu :

(2.16)

$ 2 . 3 Wodel Reference C o n t r o l

Het: werkelijke systeem wordt bi.nnen deze paragraaf al:? vo1.l.edj.y bekend

beschouwd. Het werkel j k e systeem kan dcwr liet volgende mat.hematische model

btl:idlreven wo.cdi?n :

( 2 . 1 7 )

( 2 . 1 8 )

Het. d o e l van de besclioiiwinyen

in

d e z e paragraaf i s t e komen -!.«.l. d e keuze van een I.nyany g(t:) zodanig dxt: de componentlen van 5 begren:;!: bli.jven en d e

ui.t:gany een ~ I . s func.t;.i.e van de t:j.jd geiweiìzj t: verloop heeft;.

Oni dik t e rea l i s e r e n k i e z e n we voc)r een i n d j recl:e b e n a d e r i ny

.

We proberen nanieli j k een zg n . referen.t:i.emodel t e v i n d e n met e e n j.ngangs- uj.t:ganq:j ceJ.ati.e d.i.e overeenkomt: met: onze wen:ien ovex k t : gedrag van het: werkeli j k e s y s t e e m . Vervc)l gens txa.chl-en we een i n g a n g ~ ( t ) van het:

we+kelj. j k e :jy:it:eeìtt t e vinden zodanig dat; tldt: systeem zich lietzelfde gedraagt:

a l s l i e t referenti emcdel .

(MiIC) . Voor de eenvoud beperken w i . j ün:i kot: Ij.neai..l*e, i:onst:ant:e, 5 L;abi.el.e

referen%:i.eiiioiiell en yekarak%eri.seerd door :

Xkze benadering noemen we Nodel Reference Cont.rol

( 2 . 1 9 ) 1 2 . 2 0 ) wa.arb.i j vc)or de o p t r e d e n d e grootheden ge1.d :

(t:) ;

LI+,=%

(t:) ; t;) ; Am, B,, C, c:on:jt:anti W e elsen d a t liet:. bi

j.nyany:j.i.gnaal

gewenste ver.] o o p vert.ocmt. We kunnen da.aroin aannemen d a t liet v e r l o o p van de

inyang a1.s f u n c t i e van de t i j d bekend i:<.

Rovendien nemen we a a n d a t onze d o e l s t e l l i n g g e r e a l i s e e r d kan worden met. e e n j.ngany:jj.cjnaal g op het; werkeJ.i.jke :iy!jt:eeìtt dat: van de vorm i.5 :

i.eder gewenst verloop van de iii.t:gang y,, mogelj.jk j s een

t e b e p a l e n zodan.i.y d a t o p d e n duur de uitgang

r,

liet

( 2 . 2 1 )

waa.rbi j ]r en K, nog n a d e r ‘L.e specificeren fiinci.j.es van de l.oes~-.andsvect.c)r e n de t:j.-jd z i . j n .

1ndi.en we ( 2 . 2 1 ) j n v r i l l e n .i.n ( 2 . 1 7 ) en ( 2 . 1 8 ) l e v e r t d i t ons d e r e l a t . j . e s voor het: yes:egelde :iy:ii:eern :

( 2 . 2 2 )

( 2 . 2 3 ) W e w . i l l e n cinderzc.)eken lioe

worden opdat de re1a.t;i.e t;u:j:ien de inyang %en de uj.t:gang y van liet: g e r e g e l d e

sys%:e.ein op den diiiir d e x e l f d e i s als de rela.tie t.u:;:ïen de ingang gm e n de

uj.t:yang

r,

van liet r e f erent:j.emo,del.. Voor e e n en.i.yzi.ns aJ.gemene ui. h e r k i n g b l i j k t : di:k ecf~trer veel t e mei.li jlc. We mll.en on:; daarom verder beperken kot.

li.neai. r e , e v e n t u e e l t:i.jd:jafiiankeZ.i. jk, :iy!j,t:t3em~n(~cle1len van de vorm: en i$, a l s fiinc.t..ie van g en t. gekozen moet.en

I

y=cx

Hierj.n kunnen de matrices A , R en C functie z i j n van de t.ija.

( 2 . 2 4 ) ( 2 . 2 5 )

Verder beperken we c.ms Lot: ingangen 4 d i e l i n e a i r z i j n i n 3 e n gmf d u s van d e vorm:

De inat..rices H

Invullen i n ( % . 2 4 ) lever:.L de c y s . ~ e e r n v e r g e l i ~ k . i n y van het. zoyenaaiede

e n Xu kunnen f i i n c t i e s van t: zi.jn.

gei..egel.de !jyt< keem :

r=cz

( 2 . 28)

inei. d e systeemmatrix A en inganysniatrix €3 d i e vol yen u i t :

CJ Y ( 2 . 2 9 ) P R =A-AR Y CJ I3 -EKu ( 2 . 3 0 )

De ingangs- ii.i:l:yangsrela:t.i.Et van d i k systeem kan ( $ 2 . 2 ) g e s c h r e v e n worden

al.:; :

De i n g a n g s - iii:Cynng.;rela.t:i.e van het ref erentiemodel 1 u.i.4.t. :

eisen we dus da:t: d e %oest.a.ndsvect.or ~ ( t : ) van h e t g e r e g e l d e systeem op den

dilus g e l . i j k moet. z.i j n a.a.n

z,,,(.t.1

van liet. referent.iemode1. Hi e r d o o r moei-. het.

referen~.:.i.eii,odel van dezelfde orde z i j n a l s het. w e r k e l i j k e systeem. Bovendi en

kan worden aiingetoont ( z i e appendix A l d a t in dit: yeval voox het; verkr.i.jyen

van p e r f e c t e modelovereenkoms.~~ t.en a a n z i e n van d e u i t.gang het. n o d i g en

I

I