MULO-B Meetkunde 1959 Rooms-Katholiek

Uitwerkingen

a. In vierhoek MPCA zijn de overstaande hoeken

CPM en MAC ieder ₉₀o _{en dus samen} o

180 ,

dus is MPCA een koordenvierhoek. b. In vierhoek MDBPP geldt _MBD90o _{en MPD90}o_{. Beide punten liggen dus op een} cirkel met DM als middellijn, dus liggen de punten M, D, B en P volgens de omgekering van de stelling van Thales op dezelfde cirkel, dus is vierhoek MDBP een koordenvierhoek. c. MAB MBA, omdat AMBgelijkbenig is (a). MAB MCP (beide zijn gelijk aan

1

2 boog PM , vierhoek MPCA is koordenvier-hoek (b); MBA MBP MDP (alle

zijn gelijk aan 1

2 boog PM , vierhoek MPBD is koordenvierhoek (c). Uit (a), (b) en (c) volgt

MCP MDP

   .

Opgave II

Met behulp van de analysefiguur komen we tot de volgende aanpak. Omdat ABCD koordenvierhoek is geldt _{   B D 180}o

, dus als B

bekend is, is D ook bekend en kunnen we dus _ACD con-strueren. Dit levert de omgeschreven cirkel op en omdat de oppervlakte van

ABC

 bekend is kunnen we de hoogte van _ABC construeren en dus

ook punt B.

Voor het bepalen van de hoogte h van _ABC

maken we gebruik van 1 2 2 h AC m  1

2

: :

AC m m h. Dit levert de hoogte h op. De constructie verloopt nu als volgt:

1. Teken AD; 2. Breng _{ADC (180}o_{ B)}

over met de passer; 3. Cirkel AC om vanuit A; 4. Construeer de omgeschreven cirkel van ACD; 5. Richt een loodlijn op in C op AC; 6. Pas het lijnstuk CS(h) af; 7. Teken een lijn evenwijdig aan AC door S; 8. Teken het snijpunt met de omgeschreven cirkel en de lijn uit punt 7, dat het punt B oplevert met AB BC ; 8. Verbind B met C.

Opgave III

ABED is koordenvierhoek, dus

o o

180 180

( is gelijkbenig)

ABE ADE MDE ABE MDA

MDA MAD AMD

                 _{ } o 180 (1)

MDE ABC BAC

     

In _ABC geldt _ACB180o_{ ABC BAC (2)} Omdat _DEM gelijkbenig is DM ME(straal) geldt

MDE MED

   (3).

Uit (1), (2) en (3) volgt ACB MDE MED. 1) AB12DM EM 6.

Verder geldt: o o

53 8' 53 8'.

C MDE MED

       In _MDF

geldt cos MDF DF DF DM cos MDF DM

      

o

2 cos 2 6 cos53 8' 7,199458633

DE DM MDF    .

2) Stel N is het middelpunt van de omgeschreven cirkel van _MDE. sin MEF FM FM EM sin MEF

EM        o 6 sin 53 8' 4,800203001  . Stel nu MN  x LN 4,800203001x en NE x . In EFN geldt _LN2_FE2 _NE2_{(4,800203001x)}2_{3,599729316}2 _{ x}2 2 2 23,04194885 9,600406002x x 12,95805115 x      

9, 600406002x36 x 3,749841412, dus de straal van de omgeschreven cirkel van

MDE

 is 3,749841412.

3) Stel P is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Dit punt P ligt op het snijpunt van de bissectrices, dus

o o o 53 8' 52 68' 26 34' 2 2 FEP     .

tan FEP PF PF EF tan FEP EF

      

o

3,599729316 tan 26 34' 1,7999991531  , dus de straal van de ingeschreven cirkel (PF) is gelijk aan 1,7999991531.