MULO-B Meetkunde 1932 Rooms-Katholiek

1932RK Opgave 1

De cosinusregel, toegepast in driehoek ABC, geeft AB2AC2BC2 2 AB BC cosACB ofwel 2 ₄₂2 ₁₀2 _{2 42 10 cos(60 ) 1444}0

AB        waaruit volgt AB38

Omdat ABCD een koordenvierhoek is, geldt ABD ACD600 en ook ADB ACB600 wat inhoudt dat driehoek ABD gelijkbenig is, en derhalve is AD AB 38.

Nogmaals de cosinusregel toepassen in dezelfde driehoek geeft nu:

2 2 2 _{2 cos}

BC AB AC  AB AC  BAC ofwel 102422382 2 42 38 cos BAC   , hetgeen leidt tot cos 3108

3192 BAC

  waaruit volgt BAC13,20. Omdat BAD600(kvh), is CAD46,80.

Van driehoek ACD kennen we nu zijde AC en de twee aanliggende hoeken, waarmee ook D bekend is, namelijk  D 1800 46,80  600 73,20.

De sinusregel in driehoek ACD geeft 42 _{0 0 0} sin(73,2 ) sin(60 ) sin(46,8 )

AD CD   Hieruit volgt CD32,0 Opgave 2

In de figuur zijn getekend de twee gegeven cirkels met middelpunten A resp. B Voor de stralen is gekozen 3 cm en 2 cm.

Voor de straal van de te construeren cirkel is 4 cm gekozen. De constructie verloopt dan als volgt.

Construeer cirkelbogen met centrum A resp. B en straal 3 + 4 = 7 cm resp. 2 + 4 = 6 cm. Deze snijden elkaar in de punten C en D.

Opgave 3

Trek door C een lijn evenwijdig met de bissectrice AD die het verlengde van BA in F snijdt. Uit de evenwijdigheid van FC en AD volgt nu

CFA

DAB

DAC

ACF



 

 

 

zodat we kunnen concluderen dat driehoek FAC gelijkbenig is. Uit

AE



AD

en

FC

/ /

AD

volgt dat AG middelloodlijn is van FC.

Omdat E op de genoemde middelloodlijn ligt, is EC = EF zodat ook driehoek EFC gelijkbenig is en in het bijzonder is EG een bissectrice van deze driehoek. Hieruit volgt tevens dat FG = GC.

We hebben nu twee driehoeken en van elk daarvan één van hun bissectrices. Dit geeft de mogelijkheid om twee keer de bissectricestelling toe te passen.

We doen dit eerst in driehoek ABC met bissectrice AD. Dit geeft:

:

:

(1)

AB AC



BD CD

_.

Nu in driehoek BEF met bissectrice EA wat leidt tot

AB AF BE FE

:



:

.

Vervangen we hierin AF door AC en FE door CE, dan hebben we nu

AB AC

:



BE CE

:

(2)

. Vergelijking van de gevonden verhoudingen (1) en (2) geeft dan

BD CD BE CE

:



:

.

De vier elementen van deze laatste evenredigheid schrijven we (zie de figuur) anders en wel als volgt:

BD BM MD CM MD









CD CM DM





BE ME BM







ME CM



CE ME MC





De evenredigheid

BD CD BE CE

:



:

wordt daardoor

(

CM MD



)

:

(

CM



DM

)

=

(

ME CM



)

:

(

ME MC



)

.

Uitwerking hiervan geeft

CM ME CM MC MD ME MD MC CM ME CM CM DM ME DM CM































Het laten wegvallen van gelijke termen leidt direct tot

CM

2



MD ME

