Input-output modellen voor kostencalculaties en begrotingen

Input-output modellen voor kostencalculaties en begrotingen

Citation for published version (APA):

Hendriks, J. W. M. (1971). Input-output modellen voor kostencalculaties en begrotingen. (TH Eindhoven. Vakgr. bedrijfseconomie : rapport). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1971

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

..

•

samenvatting van een literatuuronderzoek bij de vakgroep Bedrijfseconomie

door J.W.M. Hendriks •

Tecnniscfte Hogeschool Eindhoven Jutti 1971

•

..

Het opstellen van financiele begrotingen en het berekenen van kostprijzen wordt van oudsher beschouwd als de specifieke deskundigheid van boekhouders en admi-nistrateurs.

Onder invloed van de automatisering van administraties enerzijds en de ontwikke-ling van de bedrijfseconometrie anderzijds, is er in de "accountingrl _literatuur een mathematische benadering van deze problematiek ontwikkeld. Ik meen dat hier-door een belangrijk werkterrein voor de bedrijfskundig ingenieur is ontstaan. De bedrijfskundig ingenieur beschikt immers over de noodzakelijke mathematische kennis op dit gebied, dit in tegenstelling tot de huidige administrateurs, maar bovendien beschikt hij over de mogelijkheden om deze financiele informatiesys-temen te integreren 1n het systeem voor planning en beheersing van het produk~

tieproces. Dat deze integratie een voorwaarde is voor de opzet van een "Managament Information System" mag bekend worden "Verondersteld.

Een aerste aanzet voor onderzoek QP dit nieuwe terrein door de vakgroep Be-drij£seconomie, vormt de literatuurstudie van de heer J.W.M. Hendriks, student-assistent bij de vakgroep van januari

tIm

juni 1971.

Verspreiding van een samenvatting van zijn onderzoek buiten de vakgroep leek mij nuttig, op de eerste plaats vanwege de vele aanknopingspunten met andere vakgroepen en voorts om suggesties en kritieken van buiten de vakgroep te krijgen, welke het onderzoek in de goede richting' kunnen stimuleren.

bIz. : Inleiding:

Hoofdstuk I Het input-output model binnen de onderneming 3

Hoofdstuk II: De input-output analyse 8

paragraaf 1 : De mathematische input-output 8

analyse

paragraaf 2 : De oude manier van kostprijs- 18

berekening.

paragraaf 3: Planning en Controle 21

paragraaf 4: Moeilijkheden 28

Slotopmerkingen: 32

•

•

•

•

Inleiding.

In de macro-economische input-output analyse probeert men de relaties die er tussen de diverse sectoren bestaan, te beschrijven en te verklaren. Dit is reeds lange tijd met vrucht toegepast. Nu is de vraag aan de orde of men het input-output model ook binnen de onderneming kan gebruiken.

Bekijken we de manier van opbouw van het input-output model, dan merken we de volgende punten op:

a)

Op de regels van de input-output tabel worden de verschillende sectoren ver-meld en daarachter ook de resp. goederen en diensten die geleverd worden aan de in de kolommen vernelde sectoren. Op de regels

wordt

dus verklaard waar de output van een bepaalde sector zijn bestemming

vindt.

Deze bestemming is dan weer onder te verdelen in: bestemming voor gebruik binnen een sector (de

in-termediaire transacties) en de uiteindelijke bestemming (consumptie, inves-tering), finale output genaamd.

b)

In de kolommen van de input-output tabel worden eveneens de verschillende sec-toren vermeld met een specificatie van de goederen en diensten die nodig waren om de bepaalde sector tot zijn uiteindelijke output te laten komen. Deze input staat gespecificeerd naar sectoren waar zij vandaan komt. We zien dan dat een bepaalde sector gebruik maakt van de goederen en diensten van in de rijen ver-melde sectoren en van goederen en diensten van buiten het systeem (ingevoerde materialen etc.) primaire input genaamd.

Kart samengevat zien we dus in de rijen een specificatie van de bestemming (out-put) van de resp. goederen en diensten verdeeld over de bedrijfssectoren en fi-nale sectoren, en in de kolommen de herkomst (input) van de goedereri en dien-sten benodigd voor de produktie in een bedrijfssector onderverdeeld in input van de verschillende bedrijfssectoren en de autonome sectoren (primaire input). Passen we dit geheel toe op een onderneming dan zien we dat we de onderneming kunnen onderverdelen in een aantal afdelingen, welke onderling van elkaar af-hankelijk zijn. Bekijken we een bepaalde afdeling dan zien we dat deze afdeling zijn prestaties doorlevert aan andere afdelingen of buiten de firma (finale • output), dus een afzetspecificatie die We zouden kunnen onderbrengen in de rij

•

•

•

Verder weten we nu ook dat een afdeling voor ZlJn prestaties input nodig heeft, welke zij van de andere afdelingen ontvangt of verkrijgt van buiten de firma

(primaire input), dus de diverse kostenelementen die de kostprijs van de pres-tatie van de afdeling bepalen, deze zouden we kunnen onderbrengen in de kolom van de input-output-tabel.

nit geheel in beschouwing nemend blijkt het dUB in principe mogelijk om de

input-output-analyse die ontworpen is voor de macro-economische analyse,ook toe te passen in de micro-economie. We zullen nu verder bekijken wat de gevolgen, voorwaarden en mogelijkheden zijn van de toepassing van het input-output-model binnen de onderneming.

..

•

ROOFDSTUK I. Ret input-output-model binnen de onderneming.

De afdelingen die in de input-output-tabel van de onderneming worden bedoeld. zijn niet de physieke afdelingen, maar afdelingen welke daadwerkelijk kosten maken, dus kostenplaatsen. Verder beschouwt men: in ,de input-output-analyse slechts die theoretische afdelingen als kostenplaatsen welke een soort produkt voort-brengen.

De bovengenoemde kostenplaatsen kan men nu weer onderverdelen in hulpkosten-plaatsenen hoofdkostenplaatsen, omdat anders de algemene kosten moeilijk zijn toe te wijzen aan bepaalde kostendragers. In de input-output-tabel kamt nu boven de kolommen de kostensoort te staan en voor de rij de kostendrager. De kostensoorten en kostendragers zijn hetzelfde, omdat die afdelingen die kosten ontvangen, dezelfde zijn als die afdelingen die kosten maken.

Om de input-output-tabel af te maken moe ten we nu nog een aantal kolommen toe-voegen voor finale output en een aantal rijen voor primaire input. Definities hiervan ontlenen we aan P.A. Verheyen (I):

Primaire input is die input waaraan binnen de onderneming (extern qua plaats) in de beschouwde periode (extern qua tijd) geen fase meer aan voorafgaat. Finale output is die output waarop binnen de onderneming (extern qua plaats) in de beschouwde periode (extern qua tijd) geen fase meer voIgt.

Wanneer we nu een input-output-tabel tekenen zijn we in staat de verschillende relaties te verduidelijken en te definieren. dit is gebeurd in figuur I (zie volgende bladzijde).

Toelichting figuur I:

De relaties welke er tussen de diverse kostenplaatsen bestaan kunnen van drieer-lei aard zijn:

a) de output van een bepaalde kostenplaats A is ook weer input voor kostenplaats A, direkt (geval al) of indirekt (geval a2) (zie fig. 2)

b) de relatie tussen twee kostenplaatsen is eenzijdig d.w.z. de output van kos-tenplaats A is input voor koskos-tenplaats B (zie fig. 2)

c) de relatie tussen twee kostenplaatsen is wederzijds d.w.z. de output van kos-tenplaats A is input voor koskos-tenplaats B en omgekeerd. (zie fig. 2)

Figuur 2:

input (van) output (naar) hulpkostenplaats i=J, ... ,m hoofdkostenplaats m+ 1 , ••••• , n pn.ma1.re input i "" n+ I , .... ,p totale input P 1:

i=1

x .. - X. 1J J hulpkostenplaatsen j

=

I, ... m onderlinge leveranties van hulpkostenplaatsen I

onderlinge lever an ties van hoofdkostenplaat-sen aan hulpkosten-plaatsen

V

primaire kosten hulp-kostenplaatsen

IX

totale kosten hulp-kostenplaatsen XIII hoofdkostenplaatsen J m+l •••••• ,n onderlinge leveranties van hulpkostenplaatsen naar hoofdkostenplaat-I hoofdkostenplaat-I sen onderlinge leveranties van hoofdkostenplaat-sen VI

primaire kosten hoofd-kostenplaatsen

X

tot ale kosten hoofd-kostenplaatsen XIV finale output j ,. n+ I , ... , s finale output hoofdkostenplaat-sen VII

tot ale finale output

XV totale :? output L j=1 x .• 1.J "" X. 1. totale output hulpkostenplaatsen IV totale output hoofdkostenplaatsen VIII

tot ale primaire input

XII

•

"

I, II, V en VI zijn matrices welke de relaties beschrijven die er tussen de ver-schillende kostenplaatsen bestaan en welke relaties een combinatie zijn van de bovengenoemde drie soorten relaties,

III is een nulmatrix omdat de hulpkostenplaatsen slechts leveren aan afdelingen van het bedrijf zelf, dus aIleen interne leveranties,

VII is een matrix welke de output per hoofdkostenplaats aangeeft, verdeeld over de resp. outputcategorieen,

IX en X zijn matrices welke de diverse soorten primaire input verdelen over de verschillende kostenplaatsen.

XI is een nulmatrix omdat er geen input is die zonder kosten te veroorzaken, dus zonder bewerking direkt weer de onderneming verlaat.

IV, VIII en XII zijn kolomvectoren van de bruto-output de getransponeerde van deze vectoren zijn gelijk aan de vectoren XIII, XIV en XV, dit vanwege het feit dat het geheel aan kosten die een bepaalde kostenplaats binnenkomen altijd precies gelijk moet zijn aan het gebeel van kosten welke die bepaalde kosten-plaats doorberekent aan andere kostenkosten-plaatsen. De primaire input is gelijk aan de finale output omdat er nooit meer of minder het systeem kan binnenkomen dan het verlaat, indien we de elementen der vectoren sommeren.

De verschillende relaties in matrix-vorm weergegeven:

geval al: A B C A

[~AA

0 0

J

B 0 0

c

a

0 geval a2: A .8 C A

~~

x AB

H

B 0 C 0 geval b: A B C A

~

x AB 0

]

B 0 0

c

a

0 geval c: A B C A

[:BA

x AB 0

]

B 0 0 C 0 0

•

•

Verdere illustraties van relaties, zowel grafisch als in matrixnotatie zijn te vinden in (2) en (3).

Wanneer we figuur 1 per rij afzonderlijk bekijken dan zien we dat er door toe-voeging van de laatste kolom van totale output een vergelijking is ontstaan, welke we op de volgende manier analytisch kunnen weergeven:

voor de eerste m rijen:

+ ... + x + x

1m I,m+l +.. .. .... +

x + ... + x + x + ...

ml rom m,m+l

voor rij m+1 tot en met rij n:

x _m+ + ..•• + x + x

I, I m+J ,m m+1,m+1

x

n, I + .... •• + x n,m + x n,m+l voor r1] n+l tot en met rij p:

+ x n+ 1 ,1 +. • •• + x n+l,m + x n+l,m+l x p,l + •••• + x p,m + x p,m+1 x mn + + ... + x m+l,n xm+l ,n+l+····+ x m+J ,s + ... + x n,n + .••• + x +.. .. .. .... + x + x + •••• + x n,n+l n,s n+J ,n p,n ::: _X m

=

x _m+l

=

x

n

=

x p

Op deze wijze hebben we een stelsel van p simultane lineaire vergelijkingen ge-kregen welke we straks bij de analyse nodig zullen hebben.

Als voorbeelden van hulpkostenplaatsen kunnen we noemen: Algemeen Beheer,

Onderhoud, Research, Opleidingen,

Voorbeelden van hoofdkostenplaatsen zijn de resp.administratieve afdelingen die de resp. produkten voortbrengen.

De kolom van de finale output kan worden gesplitst in:

1) voorraadvorming,

2) output elders in de firma gebruikt (investeringen),

3) verkoop aan klant (eventueel onderverdeeld in de resp. klanten). De rij van primaire input kan verder worden onderverdeeld in:

I) voorraadafname,

2) direkte inkoop van buitenaf, 3) afschrijvingen

4) materialen,

5) arbeid,

6) variabele kosten,

7) vaste kosten,

8) winstmarge (i. v. m. gelijkheid tussen input en output).

Voor verdergaande omschrijving van bovengenoemde specificaties Z1e (I) en (4). Aan het input-output model liggen de volgende veronderstellingen ten grondslag. ontleend aan (5):

a) de onderneming bestaat uit een verzameling produktieafdelingen, b) iedere produktieafdeling produceert slechts een produkt,

c) er is slechts een produktietechniek voor de produktie van een bepaald produkt, d) de produ~tiefunktie van iedere afdeling is lineair,

e) de output van iedere afdeling in het algemeen voor twee doeleinden kan worden gebruikt, te weten om 5f aan de vraag van andere produktieafdelingen te vol-doen, 5f aan de verlangens van finale output te volvol-doen,

f) het moet mogelijk zijn de diverse outputs op te tellen om het totaal te bere-kenen (additiviteits-eis).

Verder zegt Farag ook dat de prijzen van alle input- en outputbestanddelen be-kend moeten zijn. Dit is m.i. aIleen noodzakelijk indien we de analyse gaan uit-drukken in monetaire grootheden zoals kostprijsberekening. Het input-output mo-del is een algemeen momo-del waarvan kostentoewijzing een bijzonder geval is d.w.z. het input-output model heeft meer toepassingen dan aIleen kostenverbijzondering

HOOFDSTUK II: De input-out2ut analyse.

Het hoofddoel van de input-output analyse is de transacties tussen de verschillen-de kostenplaatsen samen te vatten in een matrix en dan door midverschillen-del van matrix-algebra de relaties tussen finale vraag en de activiteitenniveau's van de ver-schillende kostenplaatsen te vinden

(6).

Hoe bovengenoemde analyse in zijn werk gaat zullen we in dit hoofdstuk trachten te verduidelijken met behulp van mathematische termen en weI in het bijzonder in verband met de kostenverbijzondering (par.l.). Daarna zullen we deze input-output methode vergelijken met de kostenverbijzondering zoals uitgedrukt in het roll-up-systeem (par.2.) Verder zullen we trachten de toepassingsgebieden van de input-output analyse nader te specificeren met name gezien vanuit de planning op korte termijn en de bedrijfscontr'(he (par.3.). Tot slot van dit hoofdstuk zullen we enige moeilijkheden bespreken welke zich bij de input-output analyse voordoen of kunnen voordoen en moeilijkheden welke ontstaan bij het verkrijgen van de noodzakelijke gegevens uit de boekhouding (par.4.)

Par. I: De mathematische input-output-analyse.

Nadat we in het vorige hoofdstuk hebben gezien hoe we een input-output model op-bouwen en hoe we hieruit een stelsel van p simultane vergelijkingen kunnen af-leident zullen we thans bekijken welke gegevens uit het stelsel lineaire

verge-lijkingen te destileren zijn en hoe we deze gegevens kunnen interpreteren en eventueel gebruiken.

Wanneer we nogmaals aHe p vergelijkingen opschrijven dan krijgen we het volgen-de stelsel: + ... ,. • + +,. •• ,. + x ps = x p hierin ZlJn

x ..

=

0 waar i

=

l, •••• ,m en n+l, •••• ,p 1J en j ,. n+ I , .... , s (I. I) s stellen we nu E j=n+1 x ..

=

y.

1J 1 (1.2) (sommeren finale output)

dan krijgen we het volgende stelsel:

+. .. ... +

(1.3)

+ x + y :: X

•

met y.

=

0 voor,i

=

1, •••• , men n+I, •••• ,p

1

Nemen we van dit ste1se1 de eerste n vergelijkingen en stellen we daarin: a· . 1] x •. =

2l.

x.

J i ,j .. 1, •••• ,n ( 1.4)

welk quotient we de direkte input coefficient van de intermediaire 1everanties d.w.z. zij drukken uit de hoevee1heid input met herkomst i benodigd voor de produktie van een eenheid output j,

dan krijgen we het volgende stelsel van n vergelijkingen:

+. • •• + _{a) x} n n stellen we hierin: all

...

A = a nl

...

+ y n a 1n a nn .. x ] - _{x n} X

..

dan krijgenwe: AX + Y

=

X

[i-A] X= Y

x n

Uit (1.6.) voIgt dan X =

[i -

A] -1 Y

(I. 5)

y •

(1. 6)

(1.7) indien

de matrix [1 - ~ niet singulier is, d.w.z. a1s de rang van de matrix

U -

~ gelijk is aan n, dus n onafhankelijke rijen of kolommen. 1ndien de matrix

[r -

AJ singulier is dan kan dat door de· vo1gende oorzaken komen:

1) een of meer afdelingen bepalen gehee1 hun eigen kosten (hierdoor ontstaat kolom(men) met nullen), of

2) tenminste twee afde1ingen wijzen gehee1 hun eigen kosten aan e1kaar toe en verder niets aan een andere afde1ing (hierdoor ontstaan twee of meer iden-tieke ko1ommen)

Dit singulier zijn van de matrix [1 - ~ 18 op te lQ8sen door a1 de afhankelijke afdelingen op te tellen en te beschouwen als een aparte afde1ing.

De coefficienten van de matrix [1 -

~

-1 uit (1.7) ZlJn gecumuleerde technische coefficienten van de interne leveranties. Elke kolomvector uit

[r -

A] -\

geeft aan de voortgebrachte waarde van de tot ale output per eenheid finale output in de bijbehorende kostenplaats. Deze tot ale outputwaarde wordt bovendien als voIgt verdeeld:

Per eenheid finale vraag wordt aangegeven hoe groot de waarde is van:

a) de voortgebrachte eenheid finale output. Deze is uiteraard gelijk aan een en is vermeld op de hoofddiagonaal, voor de komma,

b) de additionele produktiewaarde (indirekte produktie) in de eigen kostenplaats ten behoeve van toe levering aan andere kostenplaatsen

om

deze laatste in staat te stellen tot eventuele toeleveringen aan de producerende kostenplaats. De waarde hiervan staat eveneens op de hoofddiagonaal, maar nu achter de

komma.

c) de additionale produktiewaarde (indirekte produktie) in de overige kosten-plaatsen ten behoeve van toeleveringen aan de onderhavige kostenplaats, die deze laatste nodig heeft voor de produktie van de eenheid finale output. De waarde hiervan staat in de kolom van de producerende kostenplaats achter de resp. toeleverende kostenplaatsen.

Onder b) en c) zijn derhalve de cumulatieve effecten opgenomen die door een eenheid extra finale output worden veroorzaakt. (ontleend aan Prof. Dr. P.A. Verhey en

(I»).

Hetzelfde als we boven hebben gedaan met de n vergelijkingen van onderlinge leveranties kunnen we nu ook doen met de p-n vergelijkingen van de primaire in-put. Stellen we naar analogie van

(1.4):

b ..

x ..

21.

i ,., n+ 1 , •••• ,p

1J x.

J J

.

= 1, •••• ,n

dan krijgen we omdat:

b n+ 1 , I

y.

== 0 1 i == n+ 1 , •••• ,p Xl + ,. ••••• ,.. + b x n+ 1 ,n n Xl + •••••••• + b pn x n == = x p (1.8) (1 .9)

• of ~n matrixvorm met:

v

= BX B [I - A] -\ Y

v ""

x p b n+ 1,1 B ... (l.10) b n+l,n

b,.

De coefficienten van de matrix B

[1 -

A] -1 zijn de gecumuleerde primaire input-coefficient en. Ze geven aan hoeveel primaire input er totaal (direkt + indirekt) moet zijn per eenheid finale output. In forrnule (1.10) wordt aangege-ven hoe de finale output Y kan worden ontbonden in primaire input V.

In (I), (2), (3), (4), (5), (6), (7) en (8) vindt men soortgelijke afleidingen en tevens vindt men daarin enige uitgewerkte rekenvoorbeelden.

Manes (9) stelt een model op waarbij de som van de totale direkte primaire in-putkosten van de hulpkostenplaatsengelijk is aan de som van de totale kosten van de hulpkostenplaatsen, dit is nl. bij Williams en Griffin (8) niet het ge-val. Hij definieert daartoe de kosten van hulpafdeling i (x.) als zijnde:

pri-1

maire input in afdeling i minus kosten doorgeleverd aan andere hulpkostenplaat-sen (x .. ) plus kosten ontvangen van andere hulpkostenplaathulpkostenplaat-sen (x .. ). Hij noemt

1J J1

dit model een netto-rnodel •

Om een beter inzicht te krijgen in het gehele bedrijfsgebeuren is het ook moge-lijk om van het stelsel van p simultane vergemoge-lijkingen eerst de m eerste ver-gelijkingen te nemen, zijnde de intermediaire leveranties tussen de hulpkosten-plaatsen en de leveranties van de hulpkostenhulpkosten-plaatsen aan de hoofdkostenplaat-sen. Passen we op deze m vergelijkingen transforrnaties van de vorrn (1.4.) toe voor i = I, .... , m en j = I, .... ,n en benoemen we de volgende matrices en vectoren:

a J J .•••••• • a₁ m a _{I ,m+ I} aln Xl x _m+l

Aa Ab _ _Xa _'"'

.

xb

₌

a ...•.• a a a X x

ml rnrn m,m+l rnn m n

dan krijgen we orndat

Y.

1 = 0 i

•

1 , ••• , • ,m de volgende vergelijking:

Hetzelfde kunnen we doen met de vergelijkingen m+l tim n, zijnde de leveranties van de hoofdkostenplaatsen aan de hulpkostenplaatsen, de intermediaire leveran-ties tussen de hoofdkostenplaatsen en de finale output, dan krijgen we met be-hulp van de volgende matrices en vectoren:

a m+ I, I a m+l,m AC

₌

a nl

...

a n,m a m+l,m+l Ad

_•

a n,m+) a m+l,n a _nn (1.12) y ==

Evenzo voor de vergelijkingen n+1 tIm p zijnde de primaire input in hulpkosten-plaatsen en de primaire input in hoofdkostenhulpkosten-plaatsen. Definieren we b .. als in

1J (1.8), dan krijgen we met behulp van de volgende matrices:

b n+ 1,1 b pm b n+l,m+l b p,m+1 b n+l,n b pn (1.13)

We kunnen nu eerst de tabel gaan bekijken vanuit de hulpkostenplaatsen. Rede-nerend vanuit de hulpkostenplaatsen kan men de input van de hulpkostenplaatsen naar de hoofdkostenplaatsen als "finale output" beschouwen en evenzo de input van de hoofdkostenplaatsen naar de hulpkostenplaatsen ala "primaire input". We definieren nu: x · I + · ' · · · · + X . l,m+ 1,n ~ Y I ~ .. y . 1 (i == 1 ••••• ,m)

zijnde input van hulpkostenplaatsen naar hoofdkostenplaatsen,

*

de zgn. "finale output" (van de hulpkostenplaatsen)

Y m

•

..

vm+l Va ₌ v n x. _1, J + V n+l vb ₌ v p

zijnde "primaire input" van hoofdkostenplaatsen naar hulp-kostenplaatsen.

+ x.

=

v.

1,m 1 (i - n+ 1 , .•.• ,p)

zijnde primaire input van produktiefaktoren naar hulpkostenplaat-sen.

We krijgen dan het volgende stelsel vergelijkingen:

Aa

X

a + ya ==

X

a

AC

X

a

₌

Va

B

a

X

a = Vb

Hieruit kan men afleiden: ya

X

a Va Vb (1.14) (1.15) (1.16) ==

G -

AaJ Xa

,. [I -

AJ-

1

ya

=

AC

[I -

AaJ -I ya Ba [I - AaJ -J ya "" (1.17) (1 • 18) (1.19)

Het is nu mogelijk vanuit de formules (I.) 7) tIm (1.19) de "finale output" van a hulpkostenplaatsen te ontbinden in "primaire inputll _{van hoofdkostenplaatsen V}

en van produktiefaktoren Vb. Dit zijn echter regeltotalen, d.w.z. Va geeft aan hoeveel "primaire input" er van de resp. hoofdkostenplaatsen totaal in de hulp-kostenplaatsen nodig is. De hulphulp-kostenplaatsen leveren hun "finale output"

a a

echter weer door aan de hoofdkostenplaatsen Y , deze kolomvector Y geeft echter aan hoeveel van een bepaalde hulpkostenplaats wordt doorgeleverd aan aIle kostenplaatsen tezamen. We kunnen dit nu weer gaan splitsen in de resp. hoofd-kostenplaatsen waaraan die bepaalde hulpkostenplaats leverde en indien we dit voor aIle hulpkostenplaatsen doen, hebben we de matrix van de leveranties van hulp- aan hoofdkostenplaatsen in oorspronkelijke grootheden nodig •

a I ,m+) ~ln x),m+l x1n xm+1 x Ab

₌

n _{zie (LII)} x _m,m+) x • ,. <I • mn a a _xm+l x m.m+1 mn n

..

•

Stel nu: dan voIgt

[A

b

xb~

=

x _m+ 10'" .0, ••• 0 _{• •}

° .

_{. 0} xm-+h 0'" ". 0

_.

0 .•••••• 0 .... Ox n hieruit: x _{1 ,m+ 1} x 1n , x m,m+1 x mn zie (t.ll) h'" l, •••• ,n-m (l .20)

We benoemen nu de volgende twee matrices:

=

::

(1.21)

(1.22)

die de finale output van de hulpkostenplaatsen naar de resp. hoofdkostenplaat-sen naar de resp. hoofdkostenplaathoofdkostenplaat-sen voorstellen, ontbonden in primaire input bestanddelen van de hoofdkostenplaatsen Va

*

en van de produktiefaktoren Vb

*.

We hebben de kosten van de hulpkostenplaatsen dUB teruggebracht tot hun pri-maire bestanddelen. Analoog aan (l.20) kunnen we nu de volgende matrices in oorspronkelijke grootheden definieren:

[Ad

Xb~

=

intermediaire leveranties tussen hoofdkostenplaatsen

[B

b xb

*]

=

primaire input hoofdkostenplaatsen We definieren nu twee nieuwe matrices nl.:

• matrix van intermediaire leveranties tussen de plaatsen en oorspronkelijke primaire input in hoofdkosten-plaatsen + de doorberekende kosten van de hulpkostenhoofdkosten-plaatsen.

(1.23)

d.w.z. alle kosten van de hulpkostenplaatsen zijn toegewezen aan de hoofdkosten-plaatsen en worden bij de kosten van de hoofdkostenhoofdkosten-plaatsen opgeteld.

..

...

geven de extra kosten aan die de hoofdkostenplaatsen zelf hadden moeten maken indien er geen hulpkostenplaatsen waren geweest en zij toch die diensten nodig hadden gehad nl. Va

*

de extra intermediaire Ieveranties

Vb

*

d . • •

en e extra pr1ma1re 1nput.

Vanuit (1.23), (1.12) en (1.13) kunnen we nu een nieuwe input-output-tabel sa-menstellen n1.:

zijnde de relaties tussen de hoofdkostenplaatsen onderling, matrix c*, n-m x n-m matrix, en de hoofdkostenplaatsen en de finale vraag Y, kolomvector, enerzijds en tussen primaire input en hoofdkostenplaatsen D*, (p - n) x (n-m) matrix anderzijds.

Berekenen we nu op de manier aangegeven in

(1.4)

de matrix van de direkte co-efficienten van de intermediaire leveranties vanuit c* en noemen we deze ma-trix C, en op dezelfde manier volgens (1.8) de matrix van de direkte coeffi-cienten van primaire input vanuit D* en noemen we deze D, dan kunnen we het vol-gende steisel vergelijkingen opzetten:

C Xb D Xb + Xb

...

V

₌

+ Y

_•

Xb "" V

G -

~-l

Y D [I -

C]-1

Y (1. 24) (I .25)

(Xb blijft hetzelfde want we hebben de kosten van de hulpkostenplaatsen aIleen herverdeeld over de hoofdkostenplaatsen).

Op dezelfde wijze als boven beschreven voor de hulpkostenplaatsen kunnen we nu de kosten van de hoofdkostenplaatsen verdelen over de finale output. Vector V geeft nl. aan hoeveel van de resp. produktiefaktoren er in de finale output zit. Vervangen we nu in formule (1.25) vector Y door F*, zijnde de finale output nl. de finale output per hoofdkostenplaats verdeeld over de verschillende output-categorieen. Dan krijgen we een matrix V* die aangeeft hoeveel van de resp. produktiefactoren er besteed is aan de resp. outputcategorieen. In formule:

•

waarin: [1 -

c] -)

=

(n-m) x (n-m) - matrix D = (p-n) x (n-m) - matrix

D [1 -

c]-)

:= _{(p-n) x (n-m) - matrix} F* = (n-m) x (s-n) - matrix V* =

D [1 -

cJ-)

F* = (p-n) x (s-n) - matrix (p-n) = aantal produktiefaktoren

(s-n) = aantal finale - output - categorieen

Het verschil tussen de formules (J .25) en (1.10) komt bij de paragraaf over planning duidelijk tot uiting, omdat we in bovenstaande analyse die tot for-mule (1.25) leidde de hulpkostenplaatsen en de hoofdkostenplaatsen apart

be-schouwden. Voor het uiteindelijke r

₇

sultaat nl. de matrix V* die aangeeft hoeveel van de resp. produktiefaktoren er besteed is aan de resp. output-categorieen, maakt het geen verschil welke formule men gebruikt. Vervangen

**

*

we nl.in (1.10) Y door F en V door V dan krijgen wei

V* = B

[r -

AJ -1

F**

waarin:

[r -

AJ

-I = n x n - matrix B = (p-n) x n - matrix B [}: -

~

-\ = (p-n) x n - matrix

F**=

n x (s-n) - matrix V1! = B

[1 - A]

-1 F**. (p-n) x (s-n) - matrix (I .27)

Nemen we nu de matrix van gecumuleerde primaire input-coefficienten uit (1.26) nl. D

[J -

~-l

dan geeft deze matrix aan hoeveel primaire input er benodiga is

voor een eenheid finale output per hoofd kostenplaats (we bekijken D

[1 - C]-l

kolomsgewijs). In de Ie kolom van D

[1 - C]-l

staat dus hoeveel van de Ie, 2e, •.•• , p_nde produktiefaktor nodig is voor de produktie van een eenheid output van hoofdkostenplaats no. 1. Algemeen: in de Kde kolom van D

[1 -

C]-I

(K

=

I, •••. , n-m) staat hoeveel van de Ie, 2e, •••• , p_nde produktiefaktor nodig

~s voor de produktie van een eenheid output van hoofdkostenplaats K. Wanneer we nu de prijzen van de resp. produktiefaktoren weten dan kunnen we de kost-prijs van een eenheid output van hoofdkostenplaats K berekenen door de elementen van diens kolom D [} -

c]-l

te vermenigvuldigen met de resp. prijzen per een-heid produktiefaktor i (i "" n + J .' ••• , p).

..

In formule: P. :: pdj s van produktiefaktor i (i • n + \ , •••• ,p) 1 P n+

P vector van aIle produktiefaktorprijzen.

P P K T I waarin: (1. 28)

KIT rijvector van kostprijzen van de resp. output der hoofdkostenplaat-sen. (n-m) - dimensionaal

pT

=

getransponeerde kolomvektor P

=

rijvector.

Gaan we echter uit van (1.27), dan:

(J .29)

K T

2 rijvector van kostprijzen van de resp. output per kostenplaats

(hulp- of hoofd-), n-dimensionaal.

We hebben dus dart ook verrekenprijzen voor de leveranties van de hulpkos-tenplaatsen gevonden.

Wat betreft de grootheden waarin de input-output-tabel is gesteld kunnen we twee varianten onderscheiden nl.:

a) reeele grootheden. Het is nu niet mogelijk kolomtotalen te definieren, omdat water en kolen niet bij elkaar opgeteld ~unnen worden. Gaan we nu de matrix van technische coefficienten berekenen, dan delen we ieder element door het met zijn kolom corresponderende rijtotaal. We kunnen nu van de matrix van

technische coefficienten zeggen dat de elementen op de hoofddiagonaal klei-ner zijn dan een, omdat de input nooit meer kan zijn dan de output binnen hetzelfde produktieproces. Zijn de kostprijzen bekend, dan is het.mogelijk vanuit de input-output-tabel in fysieke grootheden de tabel in monetaire grootheden op te stellen, nl. door i~dere rij van de input-output-tabel in fysieke grootheden te vermenisvuldigen met de corresponderende kostprijs van de K₂-vector. Zie o.a. (J) en (10).

•

..

•

b) monetaire grootheden. Hier zijn kolomtotaal i en rijtotaal i aan elkaar ge-lijk. (i

=

1, .••. n). Berekenen we nu de matrix van technische coefficienten dan moeten aIle elementen kleiner zijn dan een, omdat een gedeelte wordt . gedeeld door het geheel.

Par. 2.: De oude manier van kostprijsberekening:het roll-up-systeem vergeleken met deinput-output-analyse.

Bij het roll-up-systeem gaat men

uit

van die kostenplaatsen welke aIleen primaire inputs hebben en men eindigt met die kostenplaatsen welke de eindprodukten voort-brengen. In de vorm van de input-output-tabel zou dan een driehoeks-matrix ont-staan d.w.z. een matrix van de volgende vorm.

o

o

o

o

a l3 •••••••• a1n • . a . n-l ,n 0··· . ····0 ';0

De eerste stap bij het oprollen van de kosten is nu het bereiken van de propor-tionele faktoren. Met behulp van deze proporpropor-tionele faktoren worden de kosten van de hulpkostenplaatsen vervangen door de kosten van de grondstoffen en ove-rige primaire inputs en aan de kostenplaatsen welke de eindprodukten voortbrengen toegerekend. In de volgende fase worden de kostenelementen van deze kostenplaat-sen herleid tot hun orriginele bestanddelen. Een en ander zullen we aan de hand van een theoretisch voorbeeld nagaan.

Voorbeeld 2.1.:

We gaan uit van een bedrijf met drie hoofdkostenplaatsen en een finale output categorie, verder veronderstellen we een soort primaire input. Dit model is zonder theoretische moeilijkheden met een enorme toename van het praktische rekenwerk uit te breiden tot een model met meerdere hulpkostenplaatsen, meerde-re hoofdkostenplaatsen en meerdemeerde-re primaimeerde-re inputs .

De roll-up-techniek:

0 x₁₂ x_l3 x

14 I

I, II, III = hoofdkostenplaatsen

0 0 x

23 x24 II IVa

=

finale output (kolom)

0 0 0 x₃₄ III IVb == primaire input (dj)

x

41 x42 x43 0 IVb

I I I III IVa

= overeenkomstig rijtotalen.

b...

=

1.J 1. 1,2,3 berekening proportionele faktoren.

J = 1, 2, 3, 4

We krijgen dan de volgende matrix van proportionele faktoren:

o

o

o

o

Vervolgens bepalen we de roll-up faktoren:

b₁₄ + b₂₄ x b

I2 + b34 x (bI3 + b23 x bIZ) b

primaire input hoofdkostenplaatsen x rollup faktoren

-=

CI4

x

24

x

l2

₊ x34

(=:3

+

:~3::2)

J

= - -_X + _{x X}

--

_x 1 2 1 3 +

C24

x

34

x

23 )

+ x 34 + - - + x 42 x x43 x· _{x3 x 2} 2 3 (2. 1) Input-output analyse: 0 x I2 xl3 0 0 x

23 matrix van hoofdkostenplaatsen

0 0 0 finale output-kolom x .. i

₌

1 , 2, 3, 4 technische coefficienten a .. 2l. 1J X. j

₌

1 , 2, 3 J

[:

a J2 a13 a41

rAJ

= 0 a 23

rrJ

T _'" a42 0 0 a 43 -a 12

-an

[1 - A]

=

0 -a 23 0 0

.~

a l2 a13 + a12a23 gecumuleerde

coefficienten-[1 _ tQ-l

_a

23 matrix van onderlinge leveranties.

a 41 [BIJ

[I - A]-I

= 8

41a12 + 842

gecumuleerde coefficienten-matrix van primaire input. a

41 (a13 + a12a23) + a42a23 + 843

[EI]

[1 - A]-l

[y]

a 41x14 + (a41a12 + a42) x24 + + (a41 (a13 + a12a23) + a42a23 + a 43} x34 x 41 +

(X41X12

_{+ x}

42 )

₊ = x₁₄ x 24 Xl xl x2 x2

(:~I

_C

3

x

l2

x

23 )

₊ x42x23 +

::3J

+ _{- - + x34} :x x :x x x 3 2 3 2 3

Nu blijkt formule (2.1) en (2.2) zijn identiek. D.w.z., in dit bijzondere ge-val geeft de kostprijsberekening via de roll-up techniek en de input-output analyse dezelfe uitkomst. De roll-up techniek is echter alleen toepasbaar in-dien er geen feedbacks zijn, d.w.z. zij kan alleen worden toegepast inin-dien er

relaties zijn zoals weergegeven in geval b van figuur 2, terwijl de input-output analyse ook toepasbaar is indien de overige relatiegevallen zich voor-doen.

Conclusie: de roll-up-techniek is een bijzonder geval van de input-output-analyse.

Par. 3.: Planning en Controle.

Het is beter om bij de planning uit te gaan van een

(2.2)

input-output tabel in reeele grootheden. dit in verband met het abstraheren van prijsinvloeden, men werkt dan met standaardgrootheden. Het is toch weer mogelijk om de input-output tabel in fysieke grootheden uit te drukken in mo-netaire grootheden zoals we in par. ) gezien hebben.

Met behulp van de input-output analyse kunnen RU gemakkelijk de invloeden

a) veranderingen in de primaire input (loonkosten, grondstofkosten, etc.) b) gevolgen van capaciteitsuitbreiding d.m.v. investeringen,

c) veranderingen in de onderlinge verhoudingen (zowel intern als extern).

We zullen deze punten afzonderlijk behandelen:

Indien in de primaire inputs prijsveranderingen ontstaan dan worden als ge-volg daarvan de kostprijzen van de diverse finale outputs veranderd. Hoe ver-andere deze kostprijzen nu?

In formule (1.28) hebben we gezien dat we de kostprijzen van de finale outputs konden berekenen door de matrix van gecumuleerde primaire inputcoefficienten

(D [I -

cJ-l)

voor te vermenigvuldigen met de prijzenvector van een eenheid van de resp. primaire inputs. Indien nu de prijzen van de primaire inputs ver-anderen kan men de nieuwe kostprijzen berekenen door de nieuwe prijzenvector P

N te vermenigvuldigen met de matrix van gecumuleerde primaire input coeffi-cienten. In formule:

== P T

N

D [I -

c]-I

(3.1)

We hadden de nieuwe kostprijzen ook anders kunnen uitrekenen. 1ndien we ons nl. realiseren wat er gebeurt, dan zien we bepaalde primaire input prijzen stijgen, andere constant blijven en nog andere dalen. We kunnen nu een vector berekenen waar1n slechts deze veranderingen zijn opgenomen n1.: de verschil1envector P

=

v

nieuwe prijzenvector P

N - oude prijzenvector P. In formule:

(3.2)

De modificaties in de diverse kostprijzen kunnen we nu berekenen door de ver-schil1envector P te vermenigvu1digen met de matrix van gecumuleerde input

v

coefficienten:

(K ) T == P T D [1 - C]-l

1 v v 0.3)

De nieuwe kostprijzen worden dan verkregen door de bij de oude kostprijzenvector de vector met modificaties in de diverse kostprijzen (K)v op te tellen:

We hebben nu eigen1ijk geana1yseerd hoe veranderingen in de diverse prijzen van de primaire inputs doorwerkent in de uiteindelijke kostprijzen van de finale outputs. We zijn dus in staat om het effect van de stijging van bijv. de 100n-kosten met a ge1deenheden op de kostprijzen te berekenen door P te definieren

v

als een vector met een a op de plaats van de loonkosten en elders nullen en de-ze vector te vermenigvuldigen met de matrix van gecumuleerde primaire input co-efficienten. Hetzelfde zouden we kunnen doen voor de overige primaire inputs apart of een aantal primaire inputs tegelijk.

Het is oak ~.ogelijk de invloed van prij sveranderingen op de begroting van de afzonderlijke kostenplaatsen te berekenen. Dit kan nl. door een matrix te defi-nieren P

v

* ::

[diaa 'v] , indien we deze matrix met D

[i -

c]-l

vermenigvuldigen

krijgen we een matrix waarin kolom j staat hoe

de

kosten van afdeling j per eenheid output stijgen.

We kunnen ook de invloed van prijsveranderingen op de onverdeelde kosten van de resp. afdelingen analyseren. Nemen we de matrix van intermediare

leveran-. 1-0

tles en we sommeren deze matrix per rij E ' .. , trekken we dit

1J

J

X.

1

y .

af dan hebben we de onverdeelde kosten van afdeling i volgens

totaal van x. - Ex .• 1. • 1J J x. 1.

....!. _x. = Zl' • We rangscaikke .. • caze elementen over de hoofddiagonaal van een matrix

1.

W =

o

_z

o

n

en noemen deze matrix W:

(3.5)

Uitgaande van (1.10) kunnen we nu een vector VI opstellen die de ·primaire input, benodigd voor deze onverdeelde kosten, per kostenplaats aangeeft.

De prima ire input benodigd voor deze on-verdeelde kosten berekenen we met behulp van:

(3.6)

Op dezelfde manier als boven aangegeven kunnen we nu fluctuaties in de onver-• dee Ide kosten per kostenplaats berekenen met behulp van

(K ) T

Een illustratie van het bovenstaande vinden we in (2). Churchill (2) stelt dat we de formule van (3.3) gebruiken indien we de invloed van prijsveranderingen op het budget willen analyseren en de formule (3.7) indien we de invloed op de financiele rekening willen analyseren. Indienwe aIle elementen van de vector VI

sommeren dan is deze gelijk aan de sam van de directe primaire inputs.

Een verdere mogelijkheid is de primaire input te splitsen in een vast en een variabel gedeelte en dan het vaste en variabele gedeelte in de kostprijs per eenheid output berekenen. We nemen dan in (1.29) een matrix Bl inplaats van B,

waarbij BI de matrix van directe coefficienten van primaire input voorstelt be-rekend op grond van de variabele primaire input en kunnen dan met behulp van (1.29) het variabele gedeelte in de kostprijs berekenen. Dit kan belangrijk zijn om de toe- of afname in de kostprijs te berekenen bij een toe- of afname in de produktie. Tevens kunnen we uitgaande van het variabele gedeelte in de kostprijs van een produkt beslissen of we dat produkt nog wel in eigen produk-tie zullen vervaardigen of, indien het om een tussenprodukt of hulpdienst gaat, het van derden zullen betrekken (6).

• Het voordeel van de tweede analyse zoals we die in par. 1 hebben gamaakt, waar de hulpkostenplaatsen en de hoofdkostenplaatsen apart werden beschouwd, is dat men nu ook aIle gevolgen kan analyseren indien zij zlch aileen bij de hulpkos-tenplaatsen doen gevoelen (bijv. een loonkostenstijging bij het kantoorperso-neel of het criterium weI of geen eigen vervoer).

De gevolgen van capaciteitsuitbreidingen zijn tweeeriei. Enerzijds kunnen zij de mogelijkheden geven tot een groter produktievolume. Dit is natuurlijk slechts

interessant indien we deze verhoogde produktie op de markt kwijt kunnen, of dat het variabele gedeelte in de kostprijs per eenheid produkt daalt. De tweede mo-. gelijkheid bij capaciteitsuitbreiding is het ontstaan van andere

produktietech-nieken waardoor we eventueel goedkoper kunnen produceren. Of we weI of niet • goedkoper kunnen produceren kunnen we uitmaken door de nieuwe matrices van

di-recte coefficienten berekend op grond van de nieuwe produktietechnieken op te stellen en op grond van deze matrices de nieuwe kostprijzen te berekenen.

"

..

Veranderingen in de interne onderlinge verhoudingen kunnen ontstaan doordat een kostenplaats wordt opgeheven (bijv. eigen vervoer), of gaat produceren volgens een andere produktietechniek, of niet meer in staat is om aan de totale vraag van de andere afdelingen te voldoen. Al de veranderingen In de onderlinge interne verhoudingen resulteren in een verandering in de directe coefficientenmatrix en het effect van deze veranderingen zal dan oak

geana-lyseerd moe ten worden door de nieuwe matrices van direkte coefficienten op te stellen.

Veranderingen in de externe onderlinge verhoudingen manifesteren zich door een verandering in de concurrentiepositie of in de vraag naar de finale out-put. De mogelijkheden van de nieuwe situatie zullen beoordeeld moeten worden aan de hand van de mutaties in de kostprijs. In formules kunnen we dit als voIgt weergeven: de opbrengsten van een bepaalde produktievariant zijn te berekenen door het produktievolume aangegeven door de vector Y te vermenig-vuldigen met de vector van verkoopprijzen van de resp. produkten:

PO =

r

0 jJ

=

(j

=

m+ I , • • • • ,n)

In formule:

opbrengst: 0

=

P T Y

o

(3.8)

De kosten verbonden aan deze produktievariant kunnen berekend worden door de vector van de prijzen van produktiefaktoren te vermenigvuldigen met de

totale benodigde prlma1re input V uit

(1.25).

In formule:

totale kosten K

= pTV

tot (3.9)

De brutowinst wordt nu gegeven door:

(3.10)

Bovenstaande analyse zouden we ook voor ieder produkt afzonderlijk kunnen doen en we krijgen dan de brutowinstvector per produkt. Berekenen we de brutowinst (contribution) per eenheid produkt,dan doen we dat op de volgen-de manier:

pT D [I -

c]

-1 _{(1. 28)}

brutowinst vector per eenheid output

...

Vermenigvuldigen we deze vector met de netto outputvector Y (bruto-output

=

netto output (finale vraag) + intermediare leveranties) dan krijgen we de bruto-winst van de totale finale output. Volgens Gambling (3) kunnen we nu het optimale finale output-volume bepalen via het volgende lineaire pro-grammeringsmodel:

maximaliseer: C T Y

I

onder de voorwaarden: [I -

C]-I

Y < Z

(3.12)

waarin Z de vector is met als elementen de capaciteitsgrenzen van de resp. hoofdkostenplaatsen. Via het optimale finale output volume Y~ kunnen we met

b

behulp van (1.24) de benodigde bruto-output X berekenen en daarna kunnen we met behulp van:

C~

=

_{C [diag xbJ (3.13)}

en

n~ _{D [diag xbJ (3.14)}

de bestanddelen van de input-output-tabel in standaardgrootheden berekenen gebaseerd op het optimale finale output-volume Y~ en na vermenigvuldiging van de resp. standaardprijzen de budgetten van de resp. afdelingen

opstel-len. nit is de zgn. voorcalculatie.

We kunnen nu een kostenbewaking opstellen door middel van een confrontatie v6or- en nacalculatie. We doen het op een manier ontleend aan (1) en (10) •

We vermenigvuldigen [diag Xb

N] d.i. een diagonaalmatrix verkregen uit de

to-taalkolom van de nacalculatie (N), met de matrix van directe voorgecalculeer-de coefficienten. C en n, d.w.z. C*s = C

Gia

g Xb N] en n*

s

= n diag X NJ [ b ' (3.15 (3.16)

Vervolgens trekken we van de matrices

C~s'

C*N af en van n*s' n*N af

en vermenigvuldigen [c*s -

C~NJ

met de diagonaalmatrix van verrekenprijzen en rrn*s - n*N

L

l

U

_met d d . _{e 1agonaa matr1x van pr1Jzen pro u t1e a toren.} 1 . d k . f k

'"

In formule:

c

v D v [diag

KIJ

[diag P ] (3.17) (3.18)

We hebben nu het verschil tussen voor- en nacalculatie gekregen uitgedrukt in monetaire grootheden en weI per produktiecentrum vermeld in de kolom-hoofden (rekenvoorbeeld zie model Pichler in (1))

Voor het gehele firmagebeuren zou men ook het verschil tUBsen voor- en nacalculatie kunnen berekenen door de totaalkolommen van voor- en nacalcu-latie te vermenigvuldigen met gecumuleerde technische coefficienten van primaire input. We krijgen dan de voor beide produktievolumes benodigde primaire input. Deze kunnen we nu met elkaar vergelijken in fysieke of monetaire grootheden.

Bij dit alies moeten we goed onder ogen zien dat de input-output-tabel geen vervanging is van de bedrijfsbegroting, maar slechts een speciale herorde-ning van de cijfers binnen een strak stramien waardoor kosten en opbrengsten van verschillende bedrijfsonderdelen vergelijkbaar worden en tevens kunnen worden opgeteld tot het ondernemerstotaal (zie vooronderstellingen Farag (5) hoofdstuk I). Door de input-output-analyse vergelijkt men niet aIleen wer-kelijke kosten en standaardkosten, maar ziet men ook die plaatsen op te sporen waar de afwijkingen ontstonden, vanda~r de noodzaak van strakke de-finities. (10).

Gambling en Nour (11) stellen dat de technische coefficienten die verkregen worden met behulp van de inp~t-output-analyse niet hetzelfde zijn als stan-daarden. Standaarden worden nl. verkregen door vanuit het kleinste onderdeel naar het geheel te gaan, terwijl de coefficienten totalen afbreken. Toch is de matrix van technische coefficienten de enige manier om in grote systemen die voortdurend veranderen de standaardkosten bij te houden.

Frank en Manes (12) geven een methode aan om de gegevens die uit de input-output-analyse voor planning en werkelijkheid voortvloeien, nadat deze zijn ontbonden in hun primaire componenten, te analyseren en te splitsen in prijs-, efficiency- en hoeveelheidsverschillen met behulp van matrix-algebra.

Par. 4. Moeilijkheden.

De input-output-tabel moet steunen op boekhoudkundige gegevens. In de boek-houding worden de gebrachte offers naar kostensoorten gerangschikt en ge-boekt ten laste van de diverse kostenplaatsen. De hulpkostenplaatsen boeken hun kosten via een tarief door naar de hoofdkostenplaatsen, indien deze

kos-ten niet direkt kos-ten laste van de laatste koskos-tenplaats kunnen worden gebracht. Door het toepassen van deze tarieven wordt het inzicht in de diverse kosten-soorten versluierd.

In het bedrijfsleven bestaat de tendensie om de boekhouding vanwege de vr1J uiteenlopende behoeften voor verschillende bedrijfsonderdelen qua indeling en begrippen te decentraliseren. Voor de input-output-tabel ontstaat nu de moeilijkheid om deze gegevens, hoe verschillend zij ook zijn ingedeeld en hoe verschillend de begripsinhouden ook kunnen zijn, samen te voegen en binnen een uniform definitie-systeem voor de gehele onderneming te brengen.

Het verdient aanbeveling om de input-output-tabel uit het grootboek samen te stellen. Een manier waarop dit in de praktijk zou kunnen worden gerealiseerd wordt aangegeven door Matte.eich (13). Hij geeft aan hoe het gehele groot-boek in matrix-vorm zou zijn weer te geven, waaruit dan onmiddellijk via journaalposten de benodigde gegevens voor de input-output-tabel kunnen worden verkregen.

Een verdere voorwaarde opdat de input-output-techniek kan worden toegepast is dat deze in de bestaande organisatiestructuur kan worden ingepast. Dit omdat de input-output-analyse op de onderneming als geheel is afgestemd, ter-wijl voor e~n bedrijfsonderdeel afzonderlijk beter de oude boekhoudkundige manier kan worden toegepast.

We kunnen nu de moeilijkheden van boekhoudkundige aard als voIgt samenvatten:

I)

De boekhoudkundige overzichten z1Jn bedoeld voor de functionarissen die ver-antwoordelijk zijn voor dat bepaalde bedrijfsonderdeel. Zij bepalen de mate van gedetailleerdheid. Nu is de vraag of hun afzonderlijke definities en be-gripsinhouden weI voldoende zijn voor het toepassen in de input-output-tabel. Dit alles kan per afdeling weer verschillend zijn.

..

•

2)

In rubriek 5 zal men in het algemeen algemene posten boeken, welke niet ver-der zijn gedetailleerd naar de diverse kostensoorten. Daarom is het noodzake-lijk om terug te keren tot de subadministraties voor het verkrijgen van de benodigde gedetailleerde gegevens. Binnen deze subadministraties kunnen dan weer de moeilijkheden ad 1) optreden.

3)

Vaak lopen de begrippen I1kosten onderlinge leverantiesl1 _{en I1kosten primaire} input" door elkaar.

~1~!~E~!:2~!E~!_g~!!£h!~_!2~!!!i!h~~~~·

De moeilijkheden die bij de input-output-analyse optreden behelzen hoofdzake-lijk het bepalen van verrekenprijzen, omdat winst of verlies van een bepaal-de kostenplaats sterk van bepaal-deze verrekenprijzen afhankelijk is. Om nu de

verrekenprijzen zo goed mogelijk te funderen moeten aan de input-output-analyse enkele stringente eisen worden gesteld en door deze eisen kunnen er moeilijk-heden ontstaan.

1 ) •

In de input-output-analyse is de mogelijkheid van feedbacks ingesloten. Tre-den er echter geen feedbacks op dan is het niet noodzakelijk om de input-output-techniek toe te passen, met name is het dan niet nodig om tot het inverteren van grote matrices over te gaan, wat vaak grote moeilijkbeden met zicb . medebrengt. Het probleem van bet bepalen van de kostprijs kan dan ook met be-hulp van bijv. de roll-up techniek worden opgelost. Toch kan het bepalen van de inverse vaak noodzakelijk zijn om met behulp van een lineair programmerings-model bet optimale produktievolume te bepalen. Indien er geen feedbacks zijn, ontstaat er nl. een zgn. driehoeksmatrix. Ijiri (6) zegt dat de situatie van een driehoeksmatrix in de praktijk weinig voorkomt, terwijl Skolda en Veprek (14)

er in hun praktische analyse juist vaak op stuitten.

2) •

Een tweede eis die aan de input-output-analyse moet worden gesteld is de eis van homogeniteit in de produkten d.w.z. binnen een kostenplaats mogen er geen bijprodukten ontstaan. Is aan deze eis niet voldaan dan heeft men te maken met joint production. Deze kan zich op twee manieren voordoen:

a) er worden binnen een kostenplaats twee produkten voortgebracht, terwijl er maar een kostenspecificatie bestaat zodat het niet mogelijk is om er

We kunnen dit probleem op twee manieren oplossen nl. door de kostenspeci-ficatie via praktisch vastgestelde verdeelsleutels over de twee produkten te verdelen of door de twee produkten binnen de input-output-analyse als een produkt te beschouwen,

b) meerdere bedrijfsonderdelen maken hetzelfde produkt terwijl er geen afzet-specificatie bestaat. De oplossingen zijn hier weer analoog aan a).

Gaan we meerdere kostenplaatsen of produkten tot een geheel samenvoegen dan spreken we van aggregatie. Het is duidelijk uit het voorafgaande dat de homogeniteit de stabiliteit sterk beinvloedt. Daarom is er dan ookeen grens te stellen aan de mate van aggregatie, omdat een toenemende aggregatie het systeem minder stabiel maakt. Een derde mogelijkheid om bovengenoemd probleem op te lossen, zodanig dat er weinig aggregatie is en het systeem dus stabie-ler is, is bij a) een produkt hoofdprodukt maken en het andere bijprodukt en dan de opbrengsten van het bijprodukt als negatieve Kosten opnamen. Bij b) gaat het dan als voIgt: een bedrijfsonderdeel wordt hoofdleverancier, ter-wijl de andere bedrijfsonderdelen hun produkt aan dit bedrijf doorleveren.

3).

In de input-output-analyse gaat men er vanuit dat de coefficienten gedurende langere tijd constant zijn. Hier wordt dus proportionaliteit d.w.z. een vas-te verhouding tussen elke input en de produktie, complementarivas-teit d.w.z. een vaste verhouding tussen de input onderling en constante meeropbrengsten ver-ondersteld. Pichler (10) zegt terecht dat aan deze veronderstelling niet altijd voldaan lS, met name niet indien we de vaste Kosten ook in de analyse betrekken. We kunnen dit oplossen door de analyse aIleen op de variabele kos-ten toe te passen, terwijl de vaste Koskos-ten dan later worden bijgeteld. Verder wordt hiet door de constante meeropbrengsten ook uitgegaan van een lineaire

produktiefunktie. Hebben we echter te maken met increasing of decreasing returns to

$cale~ .dan kunnen ¥e het pro~leemoplossen d~or de produktiefunktie in verschillende stukken te kappen en deze stukken lineair de benaderen

(3).

4).

Een produktieproces gebruikt zijn eigen produkten. Zien we hiervan af, dan

y spreken we van consolidatie en dan nemen de totale produktiekosten af. Zijn

dus de totale produktiekosten in de analyse belangrijk, dan mogen we geen consolidatie toepassen. In de dynamische analyse nemen we ze altijd mee i.v.m. het opstellen van de begroting en de nacalculatie.

..

•

..

5).

Er is een onderscheid tussen endogene en exogene rekeningen. Endogene rekeningen kunnen tijdens de analyse niet veranderen (coefficienten). terwijl de exogene bedragen weI veranderd kunnen worden (finale output, primaire input). Retzelfde onder scheid bestaat er voor een open, versus een gesloten systeem.

6) •

Er kunnen ook moeilijkheden optreden met betrekking tot het tijdstip van regi-stratie. Dit speelt vooral bij de intermediare leverantie, daar moeten we re-gistreren op het tijdstip van levering of van verbruik. Bij finale goederen registreren we op het tijdstip van levering en bij primaire input op het tijd stip van verbruik.

7).

Moeten we de finale output waarderen inclusief of exclusief eventuele verkoop-kosten en/of vervoersverkoop-kosten.

8) •

De matrix [I - AJ moet niet singulier zijn om zijn inverse te kunnen bepalen. Dit hebben we reeds besproken in par. 1 .

Farag (5) noemt nog de volgende beperkingen van het input-output-model: a) er wordt geen rekening gebouden met de capaciteit van de onderneming. Ret

~s dus mogelijk dat er niet toegelaten oplossingen optreden, b) het model staat geen optimalisatie toe,

c) het model LS afhankelijk van het bestaan van marktprijzen voor aIle input en output .

SLOTOPMERKINGEN.

De toepassing van de input-output-analyse is slechts nuttig en zinvol indien de struktuur van de onderneming daarvoor geschikt is, dit vanwege het feit dat de input-output-analyse sterk verbonden is met de organisatorische

struk-tuur van de onderneming, vooral in verband met het verkrijgen van het beno-digde cijfermateriaal. Verder is het ook duidelijk dat het niet nodig is om een input-output-tabel op te zetten indien er geen overkoepelende algemene diensten zijn, dan kunnen de afdelingsbegrotingen afzonderlijk worden opge-steld en later worden gecombineerd tot het ondernemingstotaal zonder dat het gevaar van suboptimalisatie en concurrentie tussen de verschillende afde-lingen zich voordoet.

Het grate voordeel van de input-output-analyse schuilt in het feit dat de be-gratingen van aIle afdelingen gelijktijdig en snel kunnen worden samengesteld en wijzigingen kunnen worden doarberekend. Het gelijktijdig samenstellen van de resp. begratingen heeft als voordeel dat de afdelingen voor het

samenstel-len van hun begroting niet meer ap de resp. cijfers van elkaar behoeven te wachten, waardoor het karwei vroeger maanden in beslag nam. Hier komt tevens al een element van de snelheid naar voren, terwijl een ander punt voor de toename van de snelheid is dat de input-output-tabel geschikt is voor bere-keningen via de computer, zodat de input-output-analyse, welke nog a1 wat berekeningen inhoudt, die als ze met de hand zouden moeten gebeuren weken in beslag zouden nemen en daardoor te laat gereed zouden kamen, nu binnen en-• kele minuten op de computer beschikbaar zijn. Deze manier waarop snel

wijzi-gingen kunnen worden doorberekend hebben we in het voorgaande reeds toege-licht.

Wat betreft het toepassen van de computer bij de berekeningen in de input-output-analyse kunnen we nog enkele beperkende opmerkingen maken. Indien de matrix van technische caefficienten bijna singulier is dan kunnen er grate moeilijkheden ontstaan door afrondingsfouten bij het inverteren met behulp van een computer. Bij grote ondernemingen met veel onderlinge leveranties en veel algemene diensten neemt de matrix van technische coefficienten een grate omvang aan, dit kan moeilijkheden opleveren in verband met de beperkte geheugenruimte van de computer. Toch is het toepassen van de computer bij het inverteren van de soms grote matrices vaak onontbeerlijk en geeft grate tijdsbesparingen (zie boven) en tevens is de inverse (matrix van gecumuleer-de coefficienten) lang bruikbaar omdat gecumuleer-de ratio's van ongecumuleer-derlinge leveranties slechts zelden veranderen.

•

~

Aan Skolda en Veprek (14) ontl~nen we enkele praktijkervaringen met de input-output-analyse. Deze kunnen we in de volgende punten samenvatten:

I) over het algemeen was er voldoende statistisch basismateriaal aanwezig. We moeten hierbij weI opmerken dat het onderzoek in Tsjecho-Slowakije heeft plaatsgevonden.

2) er ontstonden minder mpeilijkheden bij het ontwikkelen van modellen met eenvoudige materiaalstromen zonder feedbacks, dan bij grotere modellen. Hier staat tegenover dat hierbij het voordeel van de nieuwe planningsme-thode t.o.v. de oude klein was. Bij grotere modellen had men de moeilijk-heden van complexe en onderling samenhangende materiaaistromen inclusief feedbacks,

3) de grootste moeilijkheden traden op bij het opstellen van structurele modellen van gelijktijdige produkten (ongelijk aantal rijen en kolommen) , terwijl hier toch het grootste voordeel uit het planningsmodel werd ver-kregen,

4) tenslotte is het nogal specifiek dat Skolda en Veprek vaak stootten op een driehoeksmatrix.

Skolda en Veprek hebben hun onderzoek niet aIleen beperkt tot afzonderlijke ondernemingen maar ook uitgebreid tot de gehele bedrijfstak. Hier waren de coefficienten echter niet zo constant vanwege de verschillende groeivOeten der bedrijven.

Tenslotte geloof ik dat de matrixtheorie meer kan worden toegepast in de bedrijfsanalyse o.a. in de vorm van input-output-modellen en de uitbreiding naar budgetplanning op korte termijn.

,

LITERATUURVERWIJZIGINGEN:

(I) Prof. Dr. P.A. Verheyen: Input-Output-Analyse, Collegedictaat Bedrijfsecono-metrie 1970-'71, K.H. Tilburg.

(2) Neil Churchill: Linear Algebra and Cost Allocations: Some examples, The Accounting Review, oktober 1964.

(3) Trevor E. Gambling: A Technological Model for Use in Input-Output-Analysis and Cost Accounting, Management Accounting, december 1968.

(4) John Leslie Livingstone: Input-Output-Analysis for Cost-Accounting, Planning and Control, The Accounting Review, januari 1969.

(5) Shawki M. Farag: A Planning Model for the Divisionalized Enterprise, The Accounting Review, April 1968.

(6) Yuji Ijiri: An Application of Input-Output-Analysis to Some Problems 1n Cost Accounting, Management Accounting, april 1968.

(7) K. Wenke: Matrizenmodelle in der Groszindustrie, Anwendung der Matrizen-rechnung auf Wirtschaftliche und Statistische Probleme, 2. Auflage, Physica-Verlag, Wurzburg 1963.

(8) Thomas H. Williams and Charles H. Griffin: Matrix Theory and Cost Allocation, The Accounting Review, juli 1964.

(9) Rene P. Manes: Comment on Matrix Theory and Cost Allocation, The Accounting Review, juli 1965.

(10) O. Pichler: Anwendung der Matrizenrechnung bei der Betriebskostenuber-wachung,

Anwendung der Matrizenrechnung auf Wirtschaftliche und Statistische Pro-bleme, 2. Auflage, Physica-Verlag, Wurzburg 1963.

(11) Trevor E. Gambling and Ahmed Nour: A Note on Input-Output-Analysis: Its Uses in Macro-Economics and Micro-Economics, The Accounting Review, jan. '70.

(12) Werner Frank and Rene Manes: A Standard Cost Application of Matrix Algebra, The Accounting Review, juli 1967.

(13) Richard Mattessich: Towards a General and Axiomatic Foundation of

Accountancy. With an Introduction to the Matrix Formulation of Accounting Systems, Accounting Research, oktober 1957.

(14) Jiri Skolda and Jaromir Veprek: The Application of the Input-Output-Method in Economic Planning at Factory or Industrial Level.