Hoofdstuk 4:
Kansen
1. a. 1 8 (5) P b. 5 8 ( ) 0,625 P even c. P rood( ) 50% d. 3 8 ( ) 0,375 37,5% P rood en oneven 2. 361 1000 ( ) 0,361 36,1% P rugligging 3.a. Bij 100 keer gooien verwacht je 50 keer kop: verschil is 8.
b. Bij 500 keer gooien is het verschil 262 250 12 ; bij 5000 keer gooien is het verschil 2576 25000 76
c. 58% 262
500100 52,4% 25765000100 51,52%
d. Naarmate je vaker gooit, komt het percentage steeds dichter bij het te verwachten percentage (= 50%) te liggen.
4.
a. Eén van de zes uitkomsten is een 4.
b. Van de 36 mogelijke uitkomsten zijn er 5 (26, 35, 44, 53 en 62) waarvan de som van de ogen acht is.
5.
a. wat je ook gooit, het aantal is altijd positief.
b. 3 1 6 2 ( ) P A en 1 2 ( )
P B ; er zijn geen andere mogelijkheden dan even of oneven gooien; de kans op de gebeurtenis "even of oneven" is dus 1.
c. Als je gooit treedt of gebeurtenis D {6} op of E {1, 2, 3, 4, 5} en niet anders. d. Nee, de kans op een gebeurtenis kan nooit groter worden dan 1.
6.
a. Zie de tabel hiernaast
b. “7” komt vaker voor dan “6”. De kans op “de som is 7” is 6
36. De kans op “de som is 6” is 365 .
c. De kans op “de som is 2” is 1
36 en ook de kans op
“de som is 12” is 1 36.
d. De kans “de som is kleiner dan 4”
e. P(G) is de kans op “de som is ten minste 4” is 33 36.
Je kan P(G) ook uit rekenen door 1 – P(“de som is kleiner dan 4”) 3 33
36 36
1
.
f. Ze zijn niet complementair omdat bij bijvoorbeeld “dubbel twee” zowel in H als K voorkomt.
7.
a. Vanuit A gaan 700 auto’s naar B en 1300 auto’s naar C. b. Vanuit B gaan 1
4700 175 auto’s naar D en 34700 525 auto’s naar E.
Vanuit C gaan 1
51300 260 auto’s naar E en 451300 1040 auto’s naar F.
+ 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
c. d. 35 3 21 100 4 80 ( ) P ABE 8. a. WW WR RW RR
b. Omdat de kans dat je een rode bal trekt groter is dan dat je een witte bal trekt. c. WR en RW. 9. a. 1 5 ( ) 0,20 P wit en 4 5 ( ) 0,80 P rood b. wit: 1 51000 200 rood: 451000 800 c. wit: 1 5200 40 d. rood: 4 5200 160 wit: 51800 160 rood: 45800 640 e. 160 1000 ( ) 0,16 P RW f. 40 1000 ( ) 0,04 P WW 160 1000 ( ) 0,16 P WR 640 1000 ( ) 0,64 P RR g. P WW( ) 0,20 0,20 0,04 P WR( ) 0,20 0,80 0,16 ( ) 0,80 0,20 0,16 P RW P RR( ) 0,80 0,80 0,64 10. P K( ) 0,7 0,3 0,3 0,063 11. a. P LL( ) 0,28 0,28 0,0784 P LR( ) 0,28 (1 0,28) 0,28 0,72 0,2016 ( ) 0,72 0,72 0,5184 P RR P RL( ) 0,72 0,28 0,2016 b. Omdat er geen andere mogelijkheden zijn voor de twee klanten. c. P LRL( ) 0,28 0,72 0,28 0,0564 ( ) 0,72 0,72 0,28 0,1452 P RRL 12. a. P RRRR( ) 0,6 0,4 0,7 0,8 0,1344 b. P RGRG( ) 0,6 0,6 0,7 0,2 0,0504 c. P RRGG( ) 0,6 0,4 0,3 0,2 0,0144 13. a. 5 5 5 5 6 6 6 6 ( ) 0,4823 P aaaa b. 5 6 ( )n 0,001 Voer in: 5 1 ( )6 x y en kijk in de tabel: x38 14. a. 0,6 0,65 0,39 langs D en 0,4 0,3 0,12 langs E. b. 0,39 0,12 0,51 in het meer. D E F G aantal 175 525 260 1040 2000 gedeelte 7 80 8021 10013 1325 1
15. a.
c. P X( )P AB of BA( )P AB( )P BA( ) 0,3 d. P AA( ) 0,3 0,3 0,09 e. P BB( ) 0,5 0,5 0,25 en P CC( ) 0,2 0,2 0,04 f. P Y( )P AA of BB of CC( ) 0,09 0,25 0,04 0,38 16. a. 15 15 100 100 ( ) 0,0225 P DD en 85 85 100 100 ( ) 0,7225 P GG b. 15 85 85 15 100 100 100 100 ( ) 0,255 P DG of GD c. 85 2 100 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 0,2775
P tenminste defect P geen defecte 17. a. -b. P(2keer roos)P RRM( )P RMR( )P MRR( ) 3 3 3 7 7 7 7 7 7 10 10 10 10 10 10 10 10 10 0,441 c. 7 3 7 10 10 10 ( ) 0,147 P RMR
d. P hoogstens keer roos( 2 )P(0,1of 2keer roos)
3 7 10 1 P(3keer roos) 1 ( ) 0,657 18. a. b. P fout(1 )P FGG( )P GFG( )P GGF( ) 3 0,75 0,25 2 0,1406 (2 ) ( ) ( ) ( ) P fout P GFF P FGF P FFG 3 0,75 0,25 0,42192
c. P hoogstens fout( 2 )P(0, 1of 2fout)
3
1 P(3fout) 1 0,75 0,5781
d. P minstens fout( 2 )P(2of 3fout) 3 0,75 0,25 0,75 2 3 0,8438
19. a. 3 2 2 2 3 ( ) (111) 0,2 0,008 ( ) (112) 3 0,2 0,5 0,06 ( ) (113 122) 3 0,2 0,3 3 0,2 0,5 0,186 ( ) (123 222) 6 0,2 0,5 0,3 0,5 0,305 ( ) (133 223) 3 0, P drie welpen P P vier welpen P P vijf welpen P of P zes welpen P of P zeven welpen P of 2 2 2 3 2 0,3 3 0,5 0,3 0,279 ( ) (233) 3 0,5 0,3 0,135 ( ) (333) 0,3 0,027 P acht welpen P P negen welpen P
b. P hoogstens( 7) 1 P meer dan( 7) 1 (0,135 0,027) 0,838 c. P minstens( 4) 1 P minder dan( 4) 1 0,008 0,992
d. P twee dezelfde( ) 0,06 0,186 0,279 0,135 0,66
aantal welpen 3 4 5 6 7 8 9
20.
a. P AAA( ) 0,6 3 0,216
b. P ABA( ) 0,6 0,4 0,6 0,144
c. Omdat 0,6 0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 0,6 21.
a. 4-2 voor Ab: AABABA
b. P AABABA( ) 0,6 0,4 4 2 0,0207
c. Er zijn 15 mogelijke scoreverlopen.
d. Omdat bij een vermenigvuldiging de volgorde niet van belang is. e. P(4 2) 15 0,6 0,4 4 2 0,3110 22. a. (1 ) 12 0,75 0,251 11 0,0000021 1 P fout b. (8 ) 12 0,25 0,758 4 0,0024 8 P goed c. (3 ) 12 0,25 0,753 9 0,2581 3 P goed
d. P hoogstens goed( 3 )P(0, 1, 2of 3goed) 0,6488 e. Ten minste negen goed is hetzelfde als hoogstens 3 fout:
( 3 ) (0,1, 2 3 ) 0,00039
P hoogstens fout P of fout 23.
a. P nnp( ) 0,85 0,15 0,1084 2
b. P nnnnnp( ) 0,85 0,15 0,0666 5
c. P ten minste( 8) 1 P hoogstens( 7) 1 (0,15 0,85 0,15 0,85 0,15 ... 1 2 6 ... 0,85 0,15) 0,3206 d. (2 ) 6 0,15 0,852 4 0,1762 2 P keer prijs 24. a. P BE( ) 0,30 0,50 0,15 b. P BB SS of EE( , )P BB( )P SS( )P EE( ) 0,30 20,2020,502 0,38 c. P BSE( ) 0,30 0,20 0,50 0,03 d. P B S en E( , ) 6 0,03 0,18 e. 10! 3 5 2 3! 5! 2! (3 , 5 2 ) 0,30 0,20 0,50 0,0054 P B S en E 25. a. 5! 3 3! (3 ,1 1 ) 0,6 0,15 0,25 0,162 P w v en r b. P(6punten)P w v(3 , 2 )P w r v(2 , 2 ,1 )P w r(1 , 4 ) 3 2 2 2 4 10 0,6 0,15 30 0,6 0,25 0,15 5 0,6 0,25 0,1616
c. P minder dan( 9) 1 P(9of 10punten) 1 P w r(4 , 1 )P w(5 ) 1 5 0,6 0,25 0,64 5 0,76024
26. a. 8 8 28 28 ( ) 0,0816 P WW b. 20 8 8 20 28 28 28 28 ( ) ( ) ( ) 0,4082 P RW of WR P RW P WR 27.
a. Nadat de eerste witte knikker is getrokken, zijn er nog maar 27 knikkers in de vaas waaronder 7 witte. De kans op de tweede witte knikker is dan 7
27.
b. 20 8 8 20
28 27 28 27
( ) ( ) ( ) 0,4233
P RW of WR P RW P WR
c. Als je zes knikkers tegelijk trekt is er geen volgorde waarin je ze trekt. d. Een trekking in één greep is hetzelfde als een trekking zonder terugleggen:
20 19 18 8 7 6 28 27 26 25 24 23 (3 3 ) 20 0,1695 P rood en wit 28. a. 5 2 4 5 9 9 7 (2 , 5 ) ( ) ( ) 0,1124 2 P w r b. 2 5 5 4 9 9 7 (2 , 5 ) ( ) ( ) 0,2195 2 P r w 29. a. 8 7 6 5 4 3 6 5 4 3 2 1 14 13 12 11 10 9 14 13 12 11 10 9 (6 ) (6 ) (6 ) 0,0097 P dezelfde P b P g b. 8 7 6 6 5 4 14 13 12 11 10 9 6 (3 3 ) 0,3730 3 P b en g 30.
a. Het trekken van een rode knikker: ze schiet in de roos.
b. Met terugleggen want bij haar volgende schot is de kans weer 0,6 om de roos te raken. c. 10 120 7 mogelijke series. d. P(7raak) 120 0,6 0,4 7 3 0,2150 31.
a. Trek 3 keer zonder terugleggen een knikker uit een vaas met 6 knikkers waarvan er 3 rood zijn. b. ppn, pnp en npp c. die kans is 3 2 3 3 6 5 4 20. d. 3 9 20 20 (2 ) 3 P keer prijs 32.
a. Trek zonder terugleggen knikkers uit een vaas met 12 knikkers waarvan er 8 rood zijn. Trek net zo lang totdat je vier rode hebt.
b. De zesde test is de laatste volle batterij. Bij de eerste 5 testen moeten 3 volle batterijen zitten. Het aantal routes van (0, 0) naar (5, 3) is 10.
c. 8 7 6 4 3 5
12 11 10 9 8 7
( ) 10 0,3030
P zes testen 33.
a. Omdat de steekproef (5 blikken) klein is ten opzichte van de totale populatie (20.000 blikken) veranderen de kansen niet zo heel erg.
b. (1 9 ) 10 0,10 0,901 9 0,3874 1 P B en A c. (2 8 ) 10 0,10 0,902 8 0,1937 2 P B en A 34. a. 1 2 ( ) P even b. 1 3 (6)
P (Eén van de even getallen {2, 4, 6} is een 6) 35.
a. 26
79
( , ) 0,3291
P wel sinaasappel toch verkouden
b. 32
79
( , ) 0,4507
P geen sinaasappel toch verkouden
c. 26 26
26 32 58
( , ) 0,4483
P verkouden toch sinaasappeleter 36. a. 1 3 ( | ) P drievoud even b. A: 3 4 5 6 B: 1 2 3 1 3 ( | ) P A B en 1 4 ( | ) P B A 37. a. 2 5 ( | 6)
P beide even som is b. 2
9
( 6 | )
P som is beide even 38. a. 4 1 52 13 ( ) 0,0769 P A 1 13 ( | ) 0,0769 P A B
Bij gebeurtenis A gaat het om 4 azen van de 52 kaarten en bij gebeurtenis AB om 1 kaart (A) van de 13 schoppen.
b. 13 1 52 4 ( ) 0,25 P B 1 4 ( | ) 0,25 P B A c. 1 52 ( ) 0,0192 P C 1 4 ( | ) 0,25 P C A
Bij gebeurtenis C gaat het om 1 van de 4 azen en bij gebeurtenis CA om 1 kaart (A) van de 4 azen.
39.
a. Het werpen van de eerste dobbelsteen heeft geen invloed op het werpen van de tweede dobbelsteen. A: {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} B: {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} C: {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 1 6 ( | ) P A B en 6 1 36 6 ( ) P A 1 6 ( | ) P B A en 6 1 36 6 ( ) P B b. 1 6 ( | ) ( ) P A C P A en 1 6 ( | ) ( )
P C A P C A en C zijn dus onafhankelijk.
40.
a. 11
77
( | ) 0,1429
P onvoldoende op CSE voldoende op SE
b. 5
71
( | ) 0,0704
P onvoldoende op SE voldoende op CSE c. Die bekende van mij is goed in een bepaald schoolvak.
d. P onvoldoende op SE( ) 0,23 en P onvoldoende op CSE( ) 0,29 terwijl
18 29
( | ) 0,6207
P onvoldoende op SE onvoldoende op CSE en
18 23
( | ) 0,7826
P onvoldoende op CSE onvoldoende op SE . Dus de gebeurtenissen onvoldoende SE-cijfer en onvoldoende examencijfer zijn afhankelijk.
41.
a. Je moet dan 0,00 raken. Deze kans is 1 5. b. c. 4 25 (€ 2,50) P d. 15 25 ( €1,50)
P uitkering is meer dan 42. a. P gezond ziek( | ) 15% b. 992 8 1000 1000 ( 0,05 0,85) 62000 3497 c. 0,05 61504 0,15 496 62000 ( ) 0,0508 P verkeerde uitslag
d. P verkeerde uitslag( ) 10% . De test is onbetrouwbaarder. 43. a. 5 5 5 1 6 6 6 6 ( 6) 0,0965 P nnn b. 5 1 1 6 6 ( 6 ) ( )n 0,01 P eerste na n worpen Voer in: 5 1 1 1 ( )6 6 x y en kijk in de tabel: x17
c. Bij de eerste n-1 worpen moet er één 6 gegooid worden. De kans dat dit gebeurt is: 1 5 2
6 6
(n 1) ( )n
En als laatste wordt er weer een 6 gegooid. d. Voer in: 1 5 2 1 ( 1) 36 ( )6 x y x en kijk in de tabel: x26. 44.
a. 20 groepen (testen) en 3 15 45 recruten (testen): 65 testen. b. 1000 groepen en 400 10 4000 afzonderlijk: 5000 bloedmonsters.
c. P geen syfilis( ) 0,95 8 0,6634 en P wel syfilis( ) 1 P geen syfilis( ) 0,3366
d. Er zijn 10000
8 1250 groepen. Daarvan moeten er 0,3366 1250 421 elke recruut
apart getest worden. In totaal zo'n 1250 421 8 4618 testen. e. Dan zijn er 10000
n tests nodig.
f. P wel syfilis( ) 1 P geen syfilis( ) 1 0,95 n g. Dan zijn er n tests nodig.
h. 10000 (1 0,95 )n 10000 10000 10000 (1 0,95 )n n n n A n i. Voer in: 10000 1 10000(1 0,95 ) x x y
Deze functie is minimaal bij x5.
0,00 0,50 1,00 1,50 2,50 0,00 0,00 0,50 1,00 1,50 2,50 0,50 0,50 1,00 1,50 2,00 3,00 1,00 1,00 1,50 2,00 2,50 3,50 1,50 1,50 2,00 2,50 3,00 4,00 2,50 2,50 3,00 3,50 4,00 5,00
T-1. a. 1 1 1 6 6 36 (33) P b. 1 1 1 6 6 36 (45) P c. 1 1 1 6 6 18 ( 11) (56 65) 2 P som is P of
d. de som van de ogen is meer dan 11; dus 12.
e. 1 35 36 36 ( ) 1 ( ) 1 P A P niet A T-2. a. b. P SZ( ) 0,40 0,80 0,32 c. P SSS( ) 0,40 0,20 0,05 0,004 T-3. a. P OOO( ) 0,467 0,467 0,467 0,1018 b. P AAA( ) 0,418 3 0,0730 ( 2 ) 1 ( ) 0,8982
P hoogstens O P OOO ; deze kans is groter. c. P A B en AB( , ) 6 0,418 0,085 0,03 0,0064 d. P minstens O( 1 ) 1 P geen O( ) 1 0,533 3 0,8486 T-4. a. 3 2 2 1 6 6 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0093 P KAAS P K P A P A P S b. 4! 3 3 2 2 1 2! 2! 6 6 6 6 6 ( , , , ) 0,1667 P K A A K c. 5 4 6 ( ) ( ) 0,4823 P geen S d. 1 5 5 5 5 6 6 6 6 6 ( ) 5 0,4019 P een S e. 5 5 1 2 5 3 6 6 6 ( ) (0,1 2 ) ( ) 0,4823 10 ( ) ( ) 0,9645
P hoogstens twee S P of keer S T-5.
a. Trek 4 keer zonder terugleggen een knikker uit een vaas met 52 knikkers, waaronder 13 rode. b. 13 12 39 38 52 52 52 52 4 ( ) 0,2135 2 P HHnn c. 39 4 13 39 3 52 52 52 ( 2 ) 1 (0 1 ) 1 (( ) 4 ( ) ) 1 0,7383 0,2617 P minstens H P of H T-6. a. 16 4 52 13 ( ) P A b. 4 1 16 4 ( | ) P B A c. 4 13 ( | ) ( ) P A B P A en 1 4 ( ) ( | )
P B P B A , dus A en B zijn onafhankelijk. T-7. a. 2 1 1 6 5 15 ( ) P Karsten wast af b. 1 1 15 5 ( ) ( , ) 3
P echtpaar wast af P Karsten Nagels of Spliet wast af
c. 1 4
5 5
( ) 1 ( ) 1
T-8. a. b. 1 1600 16000 0,90 9 c. d. 1599 1608 ( | ) 0,9944 P NZ T T+ T -WZ NZ 9 1599 1 14391 10 15990 totaal 1608 14392 16000
