H6: Recursie en differenties

(1)

Hoofdstuk 6:

Recursie en differenties.

V_1. a. 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729 10, 7, 4, 1, -2, -5, -8 400, 200, 100, 50, 25, 1 2 12 , 1 4 6 c. nieuwe waarde oude waarde 3

1 2

nieuwe waarde oude waarde  V_2.

a. De eerste en derde rij is meetkundig en de tweede rij is rekenkundig. b. un1 3 un met u11 1 1 3n n u _{ }  1 3 n n u _ u  met u110 un 10 3 (  n 1) 1 1 2 n n u _  u met u1400 1 1 2 400 ( )n n u   

c. Anders is de rij nog niet eenduidig bepaald. V_3. a. 3, 6, 12, 24, … _{3 2}t 1 t K _{ }  b. 500, 400, 320, 256, … 500 0,8t 1 n u    c. 20, 17.8, 15.6, 13.4, … un 20 2, 2 (  n 1) d. -5, -2, 1, 4, 7, … pt     5 3 (t 1) V_4. a. k8 k44a10 4 a24 4 14 3,5 a a   k5 k43,5 13,5 b. recursieformule: kt1 kt 3,5 met k1 0,5 rangnummerformule: kn  0,5 3,5 (  n 1) V_5. a. _v₍₃₎__v₍₁₎_{ }_r2 ₄₀_{ }_r2 ₉₀ 2 2, 25 1,5 r r   b. v n(  1) 1,5 ( )v n met v(1) 40 _{v n}_{( ) 40 1,5}_ _ n1 c. _{486 18 r}_{ } 3 3 ₂₇ 3 r r  

recursie: un1 3 un met u12 rangnummer:

1 2 3n n u _{ }  V_6. a. 1 12 2 12 (20 24) 24 s        b. 12 12 1 2 5 20475 1 2 s     

(2)

V_7. a. 1 1 2 20 ( )n n u _ _  10 12 10 1 1 2 1 ( ) 20 39,96 1 k k u      



b. un 0,8 0, 4 (  n 1) 10 1 2 1 10 (0,8 4, 4) 26 k k u      



V_8. a. 16 16 1 2 3 196605 1 2 s      c. 1 16 2 16 (20 13) 56 s       b. 16 16 1 0,8 500 2429,63 1 0,8 s      d. 1 16 2 16 ( 5 40) 280 s       V_9. a.

b. Voor n14 zijn de waarden van un groter

dan 500.

n 1 2 3 4 5

(3)

1.

a. Op tijdstip t0 (bij zijn geboorte) wordt het bedrag op de rekening gezet.

b. Hij krijgt 5% rente per jaar. c. Voer in: nMin0

( ) 1,05 ( 1) u n  u n ( ) 1000 u nMin  In de tabel kijken: op z’n 18e verjaardag staat er € 2406,62 op de rekening. d. 2. a.

De populatie zal uitsterven.

b. Nu neemt de populatie alleen maar toe. 3. a. u10 49,93 u20 49,88 u30 49,99 b. c. 0,8 u_t 10u_t 0, 2 10 50 t t u u    4. a. b t( ) 0,80 ( 1) 800 b t  met b(0) 3000 b.

c. Hij zal op den duur 4000 bomen op zijn perceel hebben staan. d. Ook dan zal hij op den duur 4000 bomen hebben.

5. a./b. 0,85 ( ) 300B t  B t( ) 0,15 ( ) 300 ( ) 2000 B t B t 

 Hij heeft op den duur 2000 bomen op zijn perceel. c. Dat verandert helemaal niet; hij verkoopt er evenveel als dat hij er bijplant.

6. 7. a. 1,3K90K b. 0,99u10u aX b X  0,3 90 300 K K   0,01 10 1000 u u   (1 ) 1 X aX X a b b X a       t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Va 400 380 356 327 293 251 201 142 70 -16 Vb 600 620 644 673 707 749 799 858 930 1016 1119 t 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 B(t) 3000 3200 3360 3488 3590 3672 3738

(4)

8. a. 1, 2 v 10v 0,8u10u 0, 2 10 50 v v   0, 2 10 50 u u  

b. De rij vt daalt en de rij ut stijgt naar de

evenwichtsstand 50. 9.

a. S t(  1) 0,97S t( ) met S(0) 100 rangnummerformule: _{S t}( ) 100 0,97_ _ t

b. Na 80 jaar: _S_{(80) 100 0,97}_ _ 80 __8,74 _{natuurlijk met de rangnummerformule!}

10. a. 0,75X 500X 0, 25 500 2000 X X   b. c. 2250 3000 0,75 168822500,75 126616880,75 949 1266 0,75 712949 0,75

De groeifactor is vrijwel constant (exponentieel) en kleiner dan 1 (afname).

d./e. _{X t}( ) 2000 3000 0,75_ _ _ t 10 10 (10) 2000 3000 0,75 (10) 2000 3000 0,75 X X       f. _X_{(20) 2000 3000 0, 75}_ _ _ 20 _₂₀₁₀ 11. a. 63 1 0,7 210 u      b. 210 (1000 210) 0,7t 210 1210 0,7t n u          c. u15  204, 26 12. a. 600 1 0,92 7500 X  _  b. _{X t}( ) 7500 (200 7500) 0,92_ _ _ _ t _7500 7300 0,92_ _ t c. De 100-ste term: X(99) 7498,1 13. a. B t(  1) 1,04B t( ) 200 met B(0) 200 . b. 200 200 1 1,04 1 1,04 ( ) (200 ) 1,04t 5000 5200 1,04t B t  _   _      c. Over 10 jaar: _B₍₁₀₎_{ }_{5000 5200 1,04}_ _ 10 __{€ 2697, 27}

d. Als ze elke keer € 300,- overmaakt dan heeft ze na 10 jaar € 4045,91 op de bank staan.

t X(t) X(t) - 2000 0 5000 3000 1 4250 2250 2 3688 1688 3 3266 1266 4 2949 949 5 2712 712

(5)

14. a. a0,7 b. 1 0,7 1000 b   0,3 1000 300 b   c. X(0) 1000 500  (0) 1500 X  15. a. 10 0,9n n u   b. 10 0,9_ n _0,01 0,9 0,001 65,6 n n  

Dus voor n66 zijn de termen van de rij kleiner dan 0,01 c. 20 19 20 0 1 0,9 10 87,84 ( ( ( ), , 0,19)) 1 0,9 k k s u sum seq u n n        



d. 71 70 0 1 0,90 10 99,94 1 0,90 k k u      



e. Als n heel groot wordt, gaat 0,9n

naar 0. De breuk 1 0,1 1 0,9 10 1 0,9 n  _ _  en de som nadert 100. 16. a. b.

c. De prijs stabiliseert zich rond 1500,75€ 28,57

d. _{W t}( ) 28,57 3, 43 ( 0,75)_ _ _{ } t

e. De groeifactor a is negatief. Dat betekent dat voor de even dagen de prijs boven de

evenwichtsprijs liggen en voor de oneven dagen onder de evenwichtsprijs.

17. a. 6 6 1 1 1 (2 1 1) ( 1) 3 1 ( 1) 3 ( 1) n n n n u                

b. De rij ziet er als volgt uit: 2, 4, 2, 4, 2, 4, … 18.

a. A: 100, 102, 104, 106, 108, … toenamen zijn steeds 2.

B: 100, 130, 169, 219.7, 285.61, … toenamen: 30, 39, 50.7, 65.91, 85.68 C: 100, 132, 173.6, 227.68, 297.98, … toenamen: 32, 41.6, 54.08, 70.30, 91.40 b. Vn t( )n t(  1) n t( ) 1,3 ( ) n t n t( ) 0,3 ( ) n t c. Vn t( )n t(  1) n t( ) (1,3 ( ) 2) n t  n t( ) 0,3 ( ) 2 n t  t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W(t) 32 26 30,50 27,13 29,66 27,76 29,18 28,11 28,92 28,31 28,77

(6)

19. a. VA t( )A t(  1) A t( ) (3 A t( ) 5) A t( ) 2 A t( ) 5 b. Vun un1un 1,89 un un 0,89un c. VK p( )K p(  1) K p( ) ( ( ) 1,9) K p  K p( ) 1,9 20. a. n t(  1) n t( ) 2,8 ( ) 1,5 n t  b. u n(  1) u n( ) 12 0,3 ( )  u n c. un1un 3,1 ( 1) 3,8 ( ) 1,5 n t  n t  u n(  1) 0,7 ( ) 12u n  u_n_₁u_n3,1 21. a. 12 1 1,3 40 k     b. Vk t( )k t(  1) k t( ) 1,3 ( ) 12 k t  k t( ) 0,3 ( ) 12 k t 

c. Voor de evenwichtswaarde is k t(  1) k t( ) 40 en dan is Vk t( ) 0 . 22. a. VA t( ) 1,3 A t( ) b. B t(  1) B t( ) 1, 2 B t( ) 5 2, 2  B t( ) 5 met B(0) 12 . c. VA(1) 1,3 A(1) 1,3 2,3  A(0) 1,3 2,3 12 35,88    (1) 1, 2 (1) 5 1, 2 (2, 2 (0) 5) 5 1, 2 2, 2 12 1, 2 5 5 42, 68 B  B    B          V : grootste waarde. 23. a. K t(  1) 1, 026K t( ) en VK t( ) 0,026 K t( )

b. K(t) geeft de rente aan van jaar t.

24.

a. K t(  1) 1, 026K t( ) met K(0) 1500 en VK t( ) 0,026 K t( ) 1500

b. K(t) geeft nu de rente plus de storting aan.

25. a. De groeivoet is 0,125 en de groeifactor 1,125 b. recursievergelijking: R t(  1) 1,125R t( ) met R(0) 500 differentievergelijking: R t(  1) 0,125R t( ) directe formule: _{R t}( ) 500 1,125_ _ t 26. a. recursievergelijking: u n(  1) 3, 2 ( )u n met u(0) 20 directe formule: _{u n}( ) 20 3, 2_ _ n b. 10 10 20 20 3, 2 1023536, 28 ( ( ( ), , 0, 9)) 1 3, 2 s     sum seq u n n  27. a. 0,3x14x 0,7 14 20 x x   b. Vu t( )u t(  1) u t( ) 0,3 ( ) 14 u t  u t( )  0,7 ( ) 14 0,7(20u t   u t( ))

(7)

c. Dat zijn de afstanden van de termen van de rij tot de lijn y20: de mogelijke groei. d. De termen van u(t) naderen 20. De verschillen tussen de opeenvolgende termen worden

steeds kleiner. 28.

A beschrijft asymptotische groei; B niet. 29

a. Er wordt 5% afgebroken per minuut, dus de groeifactor is 0,95. En elke minuut komt er 6 mg bij.

b./c. VA t( )A t(  1) A t( ) 0,95 A t( ) 6 A t( ) 0, 05A t( ) 6 0, 05 (120   A t( )) d. De concentratie wordt op den duur 120 mg.

30.

a. De groei is eerst toenemend stijgend en daarna afnemend stijgend. Bij opdracht 27 wordt de groei meteen geremd.

b. _1,8_x__0,02_x2 __x 2 0,02 0,8 0,02 ( 40) 0 0 40 x x x x x x          De grenswaarde is 40. c. 3,52 2 1,76 6,09 3,52 1,73 10,22 6,09 1,68 16,30 10,22 1,60 24,03 16,30 1, 47

Voor 0 t 3 zijn de groeifactoren vrijwel gelijk, dus is de toename bij benadering exponentieel. d. 2 2 1 1,8 0,02 0,8 0, 02 0,8 (1 0,025 ) t t t t t t t t t t u u_  u  u u  u  u u  u   u  V 0,8 (40 ) 40 t t u u   

e. 2 u_t 40, dus de groeiruimte is groter dan 0 (als u_t 40) en kleiner dan 40 2 38 40  40 (als

2

t

u  ).

f. Naarmate ut groter wordt, wordt deze factor steeds kleiner. Vut nadert naar 0, dus de groei

wordt geremd. 31. a. ( ) ( 1) ( ) 1,5 ( ) (1 0,001 ( )) 1,5 ( ) 1000 ( ) 1000 n t n t n t n t  n t   n t  n t   V b. De grenswaarde is 1000.

( 1) 0,8 ( ) 10

u t

 



u t



( ) 1,3 ( 1) 15

u t

   

u t

t 0 1 2 3 4 5 6 7 u(t) 2 3,52 6,09 10,22 16,30 24,03 31,71 36,97

(8)

32. 1 600 1,8 1,8 (1 0,0017 ) 600 t t t t t t t n n n_  n  n     n n V 2 2 1 1,8 (1 0,0017 ) 1,8 0,003 2,8 0,003 t t t t t t t t t n_  n   n n  n  n n   n n

33. De groeifactor per twee jaar is 50

12 4,17. Dan is de groeifactor per jaar

1 2 4,17 2,04 2 2 2 1 2000 1,04 1,04 (1 0, 0005 ) 1, 04 0,00052 2000 1,04 0,00052 2,04 0, 00052 t t t t t t t t t t t t t m m m m m m m m_ m m m m m                       V 34.

a. Bij afwezigheid van soort B groeit soort A met 10% per jaar: g1,10 en bij afwezigheid van soort A neemt het aantal dieren van soort B met 10% per jaar af: g0,90

b. De aanwezigheid van soort B belemmert de groei van soort A (dus -) en soort B heeft soort A als aanvulling op zijn voedselvoorziening nodig (dus +).

c. A(1) 1,10 A(0) 0, 05 B(0) 3250 B(1) 0,90 B(0) 0,10 A(0) 1200 (2) 1,10 (1) 0, 05 (1) 3515 A  A  B  B(2) 0,90 B(1) 0,10 A(1) 1405 d. e. 35. a. W t(  1) 0,95W t( ) 0, 20 N t( ) en N t(  1) 0,80N t( ) 0, 05 W t( ) b.

c. Op den duur zal het percentage van de mensen die de clip kent 80% naderen en het percentage van de mensen dat de clip niet kent zal 20% worden.

36.

a. A t(  1) 1,05A t( ) 0, 05 B t( ) en B t(  1) 0,90B t( ) 0,10 A t( ) Met de gegeven beginwaarden zullen beide populaties naar 220 naderen. b.

-c. Wanneer je op B gaat jagen moet je de factor 0,90 kleiner maken. Je krijgt dan geen evenwicht. A A B B t 0 1 2 3 4 5 W(t) 0 20 35 46 45 61 N(t) 100 80 65 54 55 39

(9)

37.

a. Diersoort P sterft vrij snel uit, waardoor

Q dan ook langzaam uitsterft.

b. Dan groeien beide diersoorten even snel. c. Dan blijven de twee populaties even

(10)

38. a. W 0,95W 0, 20N N 0,80N0,05W 0,05 0, 20 4 W N W N   0, 20 0,05 4 N W N W   b. W N 100 4 5 100 20 80 N N N N en W      39.

a. 2 ouders, 4 grootouders en 8 overgrootouders. b. ₂1_₂2_₂3_₂4 _₃₀_voorouders. c. 20 1 2 20 1 2 2 2 ... 2 2 2097150 1 2        

d. Antwoord b is wel betrouwbaar, maar c niet meer. 40.

a. M t(  1) 0,70M t( ) 120 met M(0) 120 en t de tijd per 12 uur. b. Na 3 dagen (t6) zit er minstens 350 mg medicijn in het lichaam.

c. 120 1 0,7 400 M  _  _mg. d. _{M t}( ) 400 280 0,7_ _ _ t e. Na 3 weken: _M_{(42) 400 280 0,7}_ _ _ 42 _₄₀₀ mg. 41.

a. y t(  1) y t( )b houdt in dat de afname lineair is en dat klopt niet met deel 1 van de tekst. ( 1) ( )

y t  a y t houdt in dat er een vast percentage oerwoud verdwijnt, maar dat wordt wel steeds minder. Maar in 1990 was de afname 1,5 keer zo groot.

b. Op 1 januari 1990 was er nog 2900 miljoen tropisch oerwoud over: y(10) 2900

Op 1 januari 1991: y(11) 1,0414 2900 137 2883    miljoen tropisch oerwoud. Er is in 1990 ongeveer 17 miljoen hectare verdwenen.

c. Voer in: nMin0, ( ) 1, 0414 (u n  u n 1) 137 en u nMin( ) 2900 en kijk in de tabel: (42) 1061

u  en u(43) 968

Dus in het jaar 2032is er minder dan 1000 hectare oerwoud over. d. ( ) 3309 409 1,0414t

y t   

In 1980 verdween er y( 10)   y( 9) 11,3 hectare tropisch oerwoud. Dat is ongeveer 1,5 keer zo weinig als in 1990.

42. ( ) ( ) 340 ( ) 340 y t y t  c y t   V 20 85 2 340 (18) 340 170 (18) (18) 170 85 20 340 340 0, 235 ( 1) ( ) 0, 235 ( ) (1 0,0007 ( )) 1, 235 ( ) 0,0007 ( ) y y c y c c c y t y t y t y t y t y t                        V

(11)

43.

a. Overdag neemt de hoeveelheid ureum met 500 gram toe.

Het zwembad bevat 1000000 liter water en men ververst 30000 liter: dat is 3%. De hoeveelheid ureum neemt ’s avonds dus af met 3%: groeifactor is 0,97.

b. begin dag 1: 0 gram eind van dag 1: 500 gram begin dag 2: 500 0,97 485  gram eind dag 2: 985 gram begin dag 3: 985 0,97 955, 45  gram

c. Er komt eerst 500 gram bij en dan wordt er pas ververst: ( 1) ( ( ) 500) 0,97 485 0,97 ( )

u t  u t     u t met u(1) 0

d. Voer in: nMin1, ( ) 0,97 (u n  u n 1) 485, (u nMin) 0 en kijk in de tabel: op de 5e_{dag wordt de wettelijke norm overschreden.}

e. Er wordt dan 200 1000

1000000 100 20% ververst.

De recursievergelijking wordt dan: u t( ) 0,80 ( u t 1) 400. De evenwichtswaarde is

400

1 0,8 2000, dus aan het begin van elke dag wordt aan de wettelijke norm voldaan.

f. Voer in: nMin1, ( ) 0,80 (u n  u n 1) 400, (u nMin) 0 en kijk in de tabel wanneer de hoeveelheid ureum aan het begin van de dag groter is dan 1500 gram: op de 8e_dag.

T_1. a. un1  2 un 1 met u1100 u10 51711 b. un10,1un met u110000 u10 0,00001 c. un1  2 un 4 met u11 u10 2556 d. un1un8 met u18 u10  64 T_2. a. N t(  1) 1,02N t( ) met N(0) 50 000 b. 50 000 1, 02_ t _70 000 Voer in: 1 50 000 1,02 x y   en y2 70 000 intersect: x17jaar

(12)

c. N t(  1) 1,02N t( ) 500 met N(0) 50 000 d. 500 500 1 1,02 1 1,02 ( ) (50000 ) 1, 02t 25000 25000 1, 02t N t            e. 25000 25000 1, 02_ _ t _70000 Voer in: 1 25000 25000 1, 02 x y    en y2 70000 intersect: x29,7 jaar

f. De vangst moet gelijk zijn aan de aanwas: 0, 02 50000 1000  vissen. T_3.

a. De groeivoet is 0,5 en dus is de groeifactor 1,5

b. 1 50 50 ( ) 1 0,02 ( ) 1 ( ) 50 m t m t m t      . Het verzadigingsniveau is 50. c. Na ruim 4 3 12  dagen zijn er ongeveer 25 muggen.

T_4.

a. Vw t( 1) 0, 40w t( ) 6 met w(0) 10

b. De recursievergelijking wordt: w t(  1) w t( ) 0, 4 ( ) 6 0, 6 ( ) 6 w t   w t  en dat hoort bij asymptotische groei. De maximale concentratie is 6

1 0,6 15 liter/m2.

T_5.

a. Methode A is exponentieel. De groeifactor is 1,2; de groeivoet 0,2. b. Na 6 weken is de naamsbekendheid

volgens B voor ’t eerst groter.

c. A(4)A(3) 10,368 8, 64 1, 728   % en (4) (3) 9, 282 6, 62 2, 662

B B    %.

Dus bij B het grootst. T_6. a. De evenwichtswaarde is 20o_C. b. 1 20 b a   88 a 100 (20 20 ) 80  a  a20 (1 ) 20 20 20 b  a   a 80 68 0,85 3 a a en b    ( ) 20 80 0,85t V t    c. V t(  1) 0,85V t( ) 3 met V(0) 100 T_7. a. K t(  1) 0,90K t( ) 0,15 H t( ) en H t(  1) 0,85H t( ) 0,10 K t( ) b. K(1) 0,90 1000 0,15 3000 1350     en H(1) 0,85 3000 0,10 1000 2650     c. K 0,90K0,15H K H 4000 0,10 0,15 2 3 K H K H   2 2 8000 5 8000 K H H    1600 2400 H  en K  T_8.

a. Als b0 is er sprake van exponentiële groei en als a1 van lineaire groei.

b. 1 0 1 1 (11 ) 1

b a

b ab b

a a a a

u     a u b a _  b _  _  _ Je krijgt dan een constante rij.