uitwerkingen 4 havo A H5

(1)

Hoofdstuk 5:

Exponentiële formules

V-1.

a. 797,30 100 670 119 p_  _

b. Je moet de oude prijs met 1,19 vermenigvuldigen c. De prijs is met 19% verhoogd

d. 350 g 280 280 350 0,80 g   V-2. a. 288 240 1,20 g   b. 228 380 0,60 g   V-3. a. 65 50 1,30 g   85 65 1,31 g   110 85 1,29 g   143 110 1,30 g   de factor is ongeveer 1,30 b. c. Na 6 weken: 143 1,3 1,3 242   gram V-4. a.

b. De beginhoeveelheid (de hoeveelheid op tijdstip t 0) is 8. c. de groeifactor is 1,5

V-5. De beginhoeveelheid van A en B is 5. De groeifactor van formule A is 1,2; deze

grafiek is stijgend (geel) en die van formule B is 0,5. Daar hoort een dalende grafiek bij (blauw)

De beginhoeveelheid van formule C is 12 (de rode grafiek) en die van formule D is 2 (de groene grafiek).

V-6.

a. R(1) 800 0,92 736   rupsen.

b.

c. g2dagen 0,922 0,8464

d. 527

800 0,659 dus dat klopt volgens de tabel.

e. g_week 0,927 0,558

V-7.

a./b. 2375,40

2295 1,035. Joost krijgt 3,5% rente per jaar.

c. Op 1-1-2012: 2375,40 1,035 € 2458,54 

d. Op 1-1-2009: 2295

1,035 € 2217,39 e.

f. Waarschijnlijk heeft hij €2000,- op de bank gezet.

tijd in dagen 0 1 2 3 4 5 6 aantal rupsen 800 736 677 623 573 527 485 datum bedrag 1-1-2006 1999,95 1-1-2007 2069,95 1-1-2008 2142,40 1-1-2009 2217,39 1-1-2010 2295 1-1-2011 2375,40 1-1-2012 2458,54 t 0 1 2 3 4 5 6 N 8 12 18 27 40,5 60,8 91,1 t (in weken) gewicht (in g) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 100 200 300 400 500 600 700 800

(2)

1.

a.

b. De beginhoeveelheid is 500. c. De groeifactor per week is 0,9 d.

e. Voer in: 1 500 0,9

x

y   en y2 100 intersect: x15,3

Na iets meer dan 15 weken.

2.

a. De algemene formule is: _{G b g}_{ } t_{. Hierin is b de beginhoeveelheid (de hoeveelheid}

op tijdstip t 0) en g de groeifactor per week. b. De groeifactor per week is 125

100 1,25 g  

c. Op tijdstip t 0 was de hond 100

1,25 80 gram.

d. _G_80 1,25_ t

e. _G__{80 1,25}_ 4 __195,3_{dat klopt dus wel aardig.}

3.

a. _A_8,2 1,18_ t_{, hierin is A het aantal berichten in miljoenen en t de tijd in jaren.}

b. Voer in: 1 8,2 1,18

x

y   en y2 35 en dan met intersect: x 8,77 In 2018 zullen er meer dan 35 miljoen berichten verwerkt worden.

4.

a. 6655

6050 1,1 7320,506655 1,1

8052,55

7320,50 1,1: de groeifactor per jaar is 1,1. Dus de formule wordt: _B _6050 1,1_ t

b. _t __{9 :}_B__{6050 1,1}_ 9 _ _€14.265,58

5.

a. De groeifactor per uur is 2.

b. Om 10.00 uur is de bedekte oppervlakte 0,4 2 2 1,6   cm2_.

c. 13.00 uur is 5 uur later. De bedekte oppervlakte is dan dus 5 keer verdubbeld; 5 keer met 2 vermenigvuldigd: _{0,4 2}_ 5 __12,8_cm2_.

d. Om 07.00 uur: 0,4

2 0,2 cm2 en om 06.00 uur: 0,2

2 0,1 cm2.

e. _O_0,1 2_ t_{met t de tijd in uren.}

f. Om 16.00 uur is t 10. g. De oppervlakte is dan _{0,1 2}_ 10 __102,4_cm2_. 6. a. De groeifactor is 400 500 0,80 en de beginhoeveelheid 500: N 500 0,80 t b. De groeifactor is 5400 4500 1,2 en de beginhoeveelheid 4500_1,22 3125: N 3125 1,2 t

tijd (in weken) 0 1 2 3

aantal vissen A 500 450 405 365

tijd (in weken) A 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2 100 200 300 400 500 600 -100

(3)

tijd (in dagen) H (in cc) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 7.

a. Hij raakt per dag 1

4 deel kwijt; er blijft iedere dag 34 over, dus de

vermenigvuldigingsfactor per dag is 0,75. Na twee dagen is er nog _{8 0,75}_ 2 __4,5_cc geneesmiddel in het lichaam.

b. Er moet steeds met 0,75 vermenigvuldigd worden. (een procentuele afname).

c. _H _{ }8 0,75t_{, hierin is t de tijd in dagen.}

d. Na iets meer dan 7 dagen is er nog 1 cc over. e. Na twee dagen is er 4,5 cc geneesmiddel in het

lichaam. Er wordt dan weer 8 cc bijgespoten. De afname verloopt dan volgens de volgende formule:

12,5 0,75t

H  

Voer in: 1 12,5 0,75

x

y   en y2 1. intersect: x 8,78 Na ongeveer 10,8 dagen is er nog 1 cc medicijn in het lichaam.

8.

a. Om 10.30 uur: _N __{900 1,5}_ 1_₁₃₅₀_{en om 11.00 uur:}_N __{900 1,5}_ 2 _₂₀₂₅ b. Voor een half uur terug in de tijd moet je steeds delen door 1,5

c. Om 9.30 uur: 900 1,5 600 N   ; om 9.00 uur: N _1,59002 400 en om 8.00 uur: 4 900 1,5 178 N   9. a. 25,4 miljoen berichten b. ₂0 _₁ c. In 2002: 25,4 2 12,7 miljoen d. _{25,4 2}_ 1__12,7 1 12,7 1 25,4 2 2 _ _ e. f. 2 6,35 1 25,4 4 2   10. a. _A__{1450 0,7}_ 20 __{1817 218,72} b. 1450 0,7_ t _10000000

Voer in: y11450 0,7 x en y2 10000000 intersect: x  24,78 25 maanden voor t 0 was de hoeveelheid groter dan 10 miljoen.

11. a. g 0,83 en b0,6 b. _P __{0,6 0,83}_ 2 __0,87 c. 0,6 0,83_ t _0,5 Voer in: 1 0,6 0,83 x

y   en y2 0,5 intersect: x 0,98 uur (59 minuten) Hij had pas om 01.59 uur naar huis mogen rijden.

12.

a. De grafiek gaat door het punt (0, 200)

b. _N _200 1,08_ t

t -3 -2 -1 0 1 2

(4)

c. Voer in: 1 200 1,08

x

y   en y2 3000 intersect: x 35,2 Na ruim 35 dagen groeit dit aantal niet meer exponentieel.

d. _t _{ }_{15 :}_N__{200 1,08}_ 15 _₆₃ _t _{ }_{30 :}_N __{200 1,08}_ 30 _₂₀

e. Op tijdstip t  100 zijn er volgens de formule 0,09 bladluizen. f. Dan zijn er nog geen bladluizen.

13.

a.

b. De groeifactor per uur is 3.

c. De groeifactor per drie uur is 3,240,12 27 3 3, en per vijf uur

5 29,16

0,12 243 3 d. De groeifactor per zes uur is ₃6 _₇₂₉_{. Controle:}_{0,12 729 87,48}  _{: klopt.}

14. a. gdag 3,24 b. 1 2: 1800 t  N t 1:N 3240 1 2 1 : 5832 t  N  t 2 :N 10498

c. Elke halve dag moet je met 1,8 vermenigvuldigen.

d. ghalve dag 1,8 e. 1 2 1000 3,24 1800 1 2 1800 1000 3,24  1,8 15.

a. De groeifactor per 10 jaar is _1,0210 __1,219 b. De groeifactor per jaar is _1,00252 __1,109

16.

a. De groeifactor per maand is 1 12

1,6 1,04

b. De groeifactor per week is 1 4 1,5 1,11 17. a. 16 4uur 1,2 1,03 g   b. g25jaar 0,865 0,47 c. 1 10 0,83 0,98 jaar g   18. a. _N _500 2_ t _b. 4 4weken 2 16 g   c. 217 1,104 dag g   19.

a. Omdat de aantallen op tijdstip t 2 en vier jaar later op tijdstip t 6 bekend zijn. b. g4jaar  291636 81

c. 8114 3

jaar

g  

d. De beginhoeveelheid is 36₃2 4, dus A 4 3t

e. De groeifactor per maand is 1 12

3 1,096, dus _A_{ }4 1,096t

tijd in uren 10 11 12 13 14 15 16

(5)

20.

a. g10jaar 16,615,9 1,0440

b. 1,0440101 1,0043

jaar

g  

c. In 2004: _N __{15,9 1,0043}_ 4 __16,0_{. Niet in overeenstemming: de werkelijke groei is} minder.

d. _N __{15,9 1,0440}_ 10 __24,5 _{Dat is nog niet verdubbeld.}

21.

a. Vermenigvuldigen met 910,15

835 1,09 b. De prijs is met 9% gestegen.

c. 643,20

670 0,96

f   : de prijs is met 4% gedaald.

22. a. 10 100 1 1,10 g    d. g  1 2,03100 0,9797 b. 0,5 100 1 1,005 g    e. 300 100 1 4 g    c. g  1 1001,7 0,983 f. 0,01 100 1 0,9999 g    23. a. (1,4 1) 100 40   : 40% toename d. (0,997 1) 100   0,3: 0,3% afname b. (0,95 1) 100   5: 5% afname e. (3,05 1) 100 205   : 205% toename c. (1,02 1) 100 2   : 2% toename f. (0,01 1) 100   99: 99% afname 24.

a. Bij een groei van 3% hoort een groeifactor van 1,03 b. c. _H __{9800 1,03}_ 7 __€12053 25. a. b. 10 100 1 0,9 g    c. _L_2,0 0,9_ t d. _L__{2,0 0,9}_ 10 __0,70_gram 26. a. g_{halve dag} 1,15 b. 1,15121 1,012 uur g  

c. Het aantal bacteriën neemt met 1,2% per uur toe.

27.

a. g_jaar 1,00312 1,037 3,7% rente per jaar.

b. g_jaar 0,9824 0,930 7,0% afname per jaar.

tijd (in jaren) 2005 2006 2007

huurprijs (in euro’s) 9800 10094 10397

p p% g 1 100 q q% g 1 100        

tijd (in minuten) 0 1 2 3 4

lucht (in grammen)

(6)

c. g_jaar 1,0005365 1,20 20% toename per jaar. d. g_jaar 0,102 0,01 99% afname per jaar.

(7)

28.

a. g24uur 1,60

8 24

8uur 1,60 1,17

g   17% toename per 8 uur. b. g5jaar 0,96

1 5

0,96 0,9919

jaar

g   0,8% afname per jaar.

c. g_maand 1,0115 _1,011512 _1,147

jaar

g   14,7% rente per jaar.

29. a. 660000 10jaar 265000 2,49 g   1 10 2,49 1,096 jaar

g   9,6% toename per jaar

b. _N _265000 1,096_ t_.

c. 265000 1,096_ t _800000

Voer in: 1 265000 1,096

x

y   en y2 800000 intersect: x 12,1

In 2012 zal het aantal motoren groter zijn dan 800000.

30.

a.

b. Na iets minder dan 14 jaar is het bedrag verdubbeld. c. Ook na iets minder dan 14 jaar: _{1750 1,051}_ 14 __{€ 3511,37}

31.

a. _I _5000 0,92_ t_{, hierin is t de tijd in jaren.}

b. 5000 0,92_ t _2500

Nee, dit doen we niet met de tabel!

c. Voer in: y15000 0,92 x en y2 2500 intersect: x 8,31. De halveringstijd is 8 jaar en 4 maanden.

32.

a. 500 1,38_ t _1000_{met t de tijd in weken.}

Voer in: _y₁_500 1,38_ x_en

2 1000

y  intersect: x 2,15 weken Dat is na iets meer dan 15 dagen.

b. Weer na 15 dagen is de oppervlakte 2000 m2_. c. Na 60 dagen is het hele meer bedekt.

33.

a. De groeifactor per maand is 5,6 100

1 0,944.

b. Voer in: 1 2000 0,944

x

y   en y2 1000. intersect: x 12 maanden. c. y3 50 intersect: x64 maanden; na 5 jaar en 4 maanden. In 2014. d. Dat is 7 maanden eerder: _B __{2000 0,944}_ 7 _₂₉₉₄_Bq.

34.

a. De groeifactor per 300 jaar is 3 0,5 6. b. 63001 1,00599 jaar g   c. Voer in: 1 3,63 1,021 x y   en y2 7,26 intersect: x 33,4 jaar. d. _B __{3,63 1,021}_ 50 __10,26_{miljard mensen.} tijd in jaren 0 10 11 12 13 14 bedrag in euro 1000 1644,47 1728,34 1816,49 1909,13 2006,49

(8)

35.

a. 800 1,054_ t _1600

Voer in: 1 800 1,054

x

y   en y2 1600 intersect: x 13,18 jaar b. Na ruim 13 jaar is het bedrag weer verdubbeld tot

€3200,-c. 1200 1,049_ t _2400

Voer in: 1 1200 1,049

x

y   en y2 2400 intersect: 14,5 jaar

d. Dan moet de hoeveelheid weer verdubbeld zijn. Dat duurt 2 14,5 29  jaar.

36.

a. In 20 minuten neemt de hoogte toe met 9 cm. Dat is 0,45 cm toename per minuut. b. Het regende steeds even hard: de waterhoogte neemt elke minuut met 0,45 cm toe. c. Om 8.00 uur: 11,5 10 0,45 7   cm. d. h0,45 t 7 37. a. b. 1,7 21 1,4 ( ) 1,10 dag g   1 4 2,6 1,7 ( ) 1,11 dag g   1 3 3,6 2,6 ( ) 1,11 dag g   4,0 3,6 1,11 dag

g   . De groeifactoren zijn vrijwel gelijk. c. 19 april: _L__{1,7 1,11}_ 2 __2,1_cm

23 april: _L__{2,6 1,11}_ 2 __3,2_cm

d. 11 juni is ver weg. Vanaf een gegeven moment groeit het blad niet meer.

38.

a. Bij Hendrik komt er elk jaar 46 euro bij en bij Sophie wordt het elk jaar met 1,03 vermenigvuldigd.

b. In 2004: S_Hendrik 1400 46 €1354,   en Ssophie  14001,03  €1359,22

In 2007: S_Hendrik 1400 2 46 €1492,    en S_sophie 1400 1,03 2  €1485,26

c. g5jaar 1,035 1,159 Haar salaris stijgt met 15,9% per 5 jaar.

d. 1400 1,03_ t _1400 46_ _t

Voer in: 1 1400 1,03

x

y   en y2 1400 46 x intersect: x 7,04

In 2013 is het salaris van Sophie hoger dan dat van Henkdrik.

39.

a. 5

3 1,67 75 1,4 107 1,43 1510 1,5 De groeifactoren zijn niet echt constant, dus niet exponentieel.

b. In 4 weken is de toename 12. Dat is een groei van 3 cm per week: h3t c. exponentieel: _h_{ }_{2 1,5}7 __34,2_{cm. en lineair:}_h_{  }_{3 7 21}_cm.

De lineaire formule geeft de beste voorspelling.

40.

a. 52 80  28 37 52  15 niet lineair

52

80 0,65 37520,71 niet exponentieel

(9)

c. 20 60 0,881  67

Voer in: y120 60 0,881  x en y2 67 intersect: x 1,93 minuten Na 1 minuut en 56 seconden is de koffie op z’n lekkerst.

d. Op den duur (voor grote waarden van t) wordt de temperatuur 20o_{C. (de} temperatuur van de kamer)

41. a. 10 5 2 1020 2 4020 2 exponentieel: h 5 2t b. 20 24  4 16 20  4 12 16  4 lineair: h  4t 24 c. 10,5 9 1,5  12 10,5 1,5  13,5 12 1,5  lineair: h1,5t 9 d. 1 10 0,1 0,11 0,1 0,01 0,1 0,1 exponentieel: h10 0,1 t 42. a. g_jaar 0,90 1 12 0,90 0,9913 maand

g   afname met 0,87% per maand.

b. g_maand 1,0035 _1,003512 _1,0428

jaar

g   4,28% rente per jaar. c. g3jaar 1,16

1 3

1,16 1,0507

jaar

g   toename van 5,07% per jaar

43.

a. W  6 (1,4 )101 t  6 1,034t

b.

c. In 1920 was het waterverbruik _{6 1,034}_ 20 __11,76_. Nog niet twee keer zo groot.

d. In 2030: _{6 1,034}_ 130 _₄₇₆_{miljoen m}3_.

44.

a. 12060

13400 0,90 1085012060 0,90 108509770 0,90 87909770 0,90

De groeifactoren zijn vrijwel gelijk en kleiner dan 1, dus een exponentiële afname.

b. _A_13400 0,90_ t c. d. 13400 0,90_ t _5000 Voer in: 1 13400 0,90 x y   en y2 5000 intersect: x 9,36 Na ruim 9 jaar zijn er nog 5000 veldmuizen over.

45.

a. _H _840 0,997_ t_{met t de tijd in minuten.}

b. _t __{60 :}_H __{840 0,997}_ 60 _₇₀₁_mg. c. 840 0,997_ t _600 Voer in: 1 840 0,997 x y   en y2 600 intersect: x112 minuten

d. g_uur 0,99760 0,835 dat is een afname

met 16,5% per uur e.

tijd (in jaren) W 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 20 40 60 80 100 120 140 160 180 tijd (minuten) H 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -100 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 -100

(10)

46. a. 5000 3 800 2600   g vocht. b. V 5000 80 t c. d. V 0 5000 80 0 80 5000 62,5 t t t    

Na 62,5 minuut is het graan helemaal droog.

47.

a. de groeifactor per 10 minuten is 0,5 b.

c. zie de figuur bij opgave 46.

d. Na 25 minuten zit er ongeveer 900 gram vocht in het graan.

48. 92 205 0,449 uur g   Aantal op tijdstip t 0 :_0,4492054 5054 T-1. a.

b. Je moet elke keer met 0,75 vermenigvuldigen.

c. _h_160 0,75_ s

d. Voer in: _y₁_160 0,75_ x_en

2 30

y  . intersect: x 5,82. Na 6 keer stuiteren is de hoogte voor ’t eerst onder de 30 cm.

tijd in minuten 0 10 20 30

vocht in grammen 5000 2500 1250 625

tijd (in minuten) vocht (in grammen)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 -5 -10 1000 2000 3000 4000 5000 6000 -1000

aantal keer stuiteren 0 1 2 3 4

(11)

T-2. a. _A_1250 1,3_ t b. Op 1 januari 2012: _A__{1250 1,3}_ 4 _₃₅₇₀_ratten. c. Op 1 januari 2003: _A__{1250 1,3}_ 5 _₃₃₇_ratten. d. 1250 1,3_ t _500 Voer in: _y₁_1250 1,3_ x_en 2 500 y  intersect: x  3,5

Op 1 januari 2004 waren er voor ’t eerst meer dan 500 ratten.

T-3.

a. De groeifactor per jaar is 0,9

b. De groeifactor per 10 jaar is _0,910 __0,35 c. De groeifactor per maand is 1

12

0,9 0,99

c. Voer in: 1 9,3 0,9

x

y   en y2 1. intersect: x 21,2 jaar later.

T-4.

a. g_maand 1,00659

b. g_jaar 1,0065912 1,082 8,2% rente per jaar.

T-5.

a. In 2005 is de hoeveelheid 350000 ton: de halveringstijd is ongeveer 21 jaar.

b. In 2001 is de hoeveelheid 400000 ton. 21 jaar later is die hoeveelheid gehalveerd. In 2022 is de hoeveelheid onder de 200000 ton.

c. g21jaar 0,5 1 21 0,5 0,968 jaar g  

d. _K _700 0,968_ t_{met t in jaren en K in duizenden tonnen.}

T-6.

a. _A_73000 1,02_ t

b. Het aantal woningen kan berekend worden met de formule: W 25000 500 t. In elke woning leven gemiddeld maximaal 3 mensen. Het maximale aantal inwoners is dan 3W  3 (25000 500 ) 75000 1500 t   t

c. In 2006 is er voor 75000 inwoners een woning. Voldoende woonruimte dus. d. Voer in: _y₁_73000 1,02_ x_en

2 75000 1500

y   x. intersect: x 13,18. Na 14 jaar is er te weinig woonruimte.

e. De formule voor het maximaal aantal inwoners wordt dan

3(25000 800 ) 75000 2400 t   t. intersect met y1: x 49.

Na 49 jaar is er dan een woningsnood.

T-7. a. 17 13 10 ( ) 1,193 1 4 34 17 ( ) 1,189 1 6 96 34 ( ) 1,189 1 9 390 96 ( ) 1,169

Tot en met 21 september is de groeifactor per dag vrijwel gelijk aan 1,19. De groei is vrijwel exponentieel. b. 580 550 2 15  _ 625 580 3 15  _ 850 625 14 16 De groei van 1 tot en met 20 oktober is constant: 15000

550 15

A  t met A het aantal sprinkhanen in duizendtallen en t de tijd in dagen na 1 oktober.