MULO-B Meetkunde 1915 Algemeen

Uitwerkingen Meetkunde MULO-B 1915 Openbaar

Opgave 1.

//

AB CD BAD CDA(verwisselende binnenhoeken)  boog BDboog AC (bij gelijke omtrekshoeken horen gelijke bogen) BD AC (bij gelijke bogen horen gelijke koorden).

1 2 ( boog ) (boog boog ) DAC CBD CD BAD ABC BD AC            _ BAC ABD

   boog BDC = boog ACD (bij gelijke omtrekshoeken horen gelijke bogen) BC AD(bij gelijke bogen horen gelijke koorden).

We hebben nu bewezen BD AC

BC AD

    _.

In ABCgeldt volgens de stelling van Stewart:

2 2 2

AB CE AE BC EB AC AE BE AB  (1) In ABDgeldt volgens de stelling van Stewart:

2 2 2 AB DE AE BD EB AD AE EB AB  (2) (1) en (2) opgeteld geeft 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 AB CE DE  AE BC BD EB AC AD  AE BE AB  Omdat BD AC en BCAD vinden we hieruit

2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 AB CE DE  AE BC AC EB AC BC  AE BE AB  (3) Omdat 1 o 2 boog 90 ACB ADB AB

     kunnen we in de driehoeken ABC en ABD de stelling van Pythagoras toepassen, dus _BC2_AC2 _AB2 _{en BD}2_AC2 _AB2_{. Dit ingevuld}

in (3) vinden we _{AB CE(} 2_DE2_{) AE AB(} 2_{)EB AB(} 2_{) 2 AE BE AB  }

2 2

(CE DE )AE AB( )EB AB( ) 2 AE BE (4) In (4) vervangen we AB door AE EB en vinden

2 2 _{( ) ( ) 2}

CE DE AE AE EB EB AE EB  AE BE 

2 2 2

CE DE AE  AE EB  EB AE _EB2_{ 2 AE EB  CE}2_DE2 _AE2_EB2

Opgave 2.

In de figuur hiernaast is E het snijpunt van de drie bissectrices en dus middelpunt van de ingeschreven cirkel. We bekijken het verband tussen AEB en

ACB  .

Er geldt _{BAC ABC180}o_{ ACB}









1 1

2 BAC ABC  2 180  ACB  o 1

2

90

BAE ABE ACB

In ABEgeldt AEB180o  









2 2

180 90 90

AEB ACB ACB

        .

Als dus ACBgegeven is, is dus ook AEBbekend en eenvoudig te construeren:

Omdat van _AEBzowel de basis als de tophoek bekend is kunnen we met behulp van de basis-tophoek-constructie de boog door A en B construeren, waarop het punt E ligt.

Omdat verder de straal van de ingeschreven cirkel bekend is, is het punt E te construeren (er zijn twee mopgelijkheden). Door de hoeken BAE en ABE te verdubbelen (of door de

ingeschreven cirkel te construeren en de raaklijn AC en BC te construeren) vinden we het punt

C.

In de tekening hiernaast is eerst met behulp van de basis-tophoek constructie de cirkel met middelpunt

M door de punten A en B getekend waarop het punt E

(het middelpunt van de ingeschreven cirkel) ligt. In het punt B is een loodlijn BT geconstrueerd met de lengte van de straal van de ingeschreven cirkel. De lijn door T evenwijdig snijdt de cirkel met

middelpunt M in de punten E en F. Dit zijn de punten, die voldoen als middelpunt voor de ingeschreven cirkel. We nemen voor de verdere constructie het punt E. Na het tekenen van de ingeschreven cirkel zijn met behulp van de cirkels met middelpunt K en met middelpunt L, beide door E de raaklijnen geconstrueerd vanuit respectievelijk A en B, die elkaar snijden in C.

Opgave 3.

Nu geldt _FDE_DAE omdat (bewezen) (gemeen) FDE DAE DEF DEA         _

Uit _FDE_DAEvolgt EF ED ED EA:  : 

2