CSE 2016: 5 havo wiskunde B tijdvak 1

(1)

Examen HAVO

2016

tijdvak 1 maandag 23 mei 13.30 – 16.30 uur

wiskunde B

(2)

Blokkendoos

Op foto 1 zie je een blokkendoos gevuld met houten blokken. De blokkendoos bevat onder andere vier cilinders met een diameter van 5 cm en een hoogte van 10 cm. Deze vier cilinders zijn op foto 1 aangegeven met de letter c.

In deze opgave verwaarlozen we de ruimte tussen de blokken, en gaan we er dus van uit dat de blokken strak in de doos passen, en dat alle blokken precies tot de bovenrand van de doos reiken.

foto 1

Hoewel alle blokken strak tegen elkaar liggen, blijft er vanwege de vier cilinders toch nog ruimte in de doos over. De doos is dus niet geheel gevuld met het hout van de blokken.

De binnenafmetingen van deze doos zijn 30 bij 25 bij 5 cm.

4p 1. Bereken hoeveel procent van de doos gevuld is met het hout van de blokken. Rond je

antwoord af op een geheel aantal procenten.

Op foto 1 zijn twee blokken genummerd. Deze blokken worden op elkaar gelegd. Zie foto 2.

foto 2 Het vooraanzicht van het bouwwerk op foto 2 is symmetrisch.

Het bouwwerk bestaat uit:

 blok 1: een prisma met hoogte 5 cm en met als grondvlak een gelijkbenige rechthoekige driehoek met

rechthoekszijden 5 cm;

 blok 2: een blok in de vorm van een brug met buitenafmetingen 5 bij 5 bij 10 cm.

(3)

Een wortelfunctie

De functie f is gegeven door f x( ) 3x6. Lijn k heeft vergelijking 7 7 4 2

y   x . In figuur 1 zie je de grafiek van f en lijn k.

figuur 1

Lijn k gaat door het gemeenschappelijk punt van de grafiek van f met de x-as.

3p 4. Toon dit op algebraïsche wijze aan.

Lijn k en de grafiek van f hebben nog een ander punt gemeenschappelijk.

3p 5. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de x-coördinaat van dit punt.

De verticale lijn met vergelijking x p snijdt k in punt A en de grafiek van f in punt B. De y-coördinaat van B is groter dan de y-coördinaat van A.

Zie figuur 2.

figuur 2

Er is een waarde van p waarvoor de afstand tussen A en B maximaal is.

(4)

Schijngestalten van de maan

Van de maan is ook bij een wolkeloze hemel niet altijd een even groot gedeelte zichtbaar. Het percentage van de maan dat zichtbaar is, verloopt bij benadering periodiek. Voor het jaar 2017 is dit percentage in Nederland te benaderen met de formule:

50 50 sin(0,212769 1,042563)

P   t

Hierin is P het percentage van de maan dat zichtbaar is en t is de tijd in dagen met

0

t  op 1 januari 2017 om 0:00 uur.

3p 7. Bereken de periode van P in hele minuten nauwkeurig.

De vorm van het zichtbare gedeelte van de maan wordt de schijngestalte van de maan genoemd. Vier speciale schijngestalten zijn nieuwe maan, eerste kwartier,

volle maan en laatste kwartier. Zie de figuur, waarin ze op volgorde staan

afgebeeld, elk met het bijbehorende percentage van de maan dat zichtbaar is.

figuur

De volgorde waarin deze schijngestalten voorkomen, is dus altijd: eerst nieuwe maan, dan eerste kwartier, dan volle maan en daarna laatste kwartier. Daarna volgt opnieuw nieuwe maan, enzovoort.

3p 8. Bereken met behulp van de formule voor P op welke datum in 2017 het voor het eerst

nieuwe maan zal zijn.

4p 9. Onderzoek met behulp van de formule voor P tussen welke twee opeenvolgende

schijngestalten de maan zich op 22 februari 2017 zal bevinden.

Gebroken functie en raaklijn

De functie f is gegeven door ( ) 12 4

3

f x x

 

 .

Lijn l raakt in de oorsprong aan de grafiek van f. Zie figuur 1 hiernaast.

De richtingscoëfficiënt van l is 4 3

 .

(5)

Op de grafiek van f ligt punt B met figuur 2

x-coördinaat 2. Punt A ligt op de y-as en

heeft dezelfde y-coördinaat als B. Punt C ligt op de x-as en heeft dezelfde

x-coördinaat als B.

Lijn l snijdt zijde BC van rechthoek OABC in punt D. Zie figuur 2.

Lijn l verdeelt rechthoek OABC in twee delen: driehoek ODC en trapezium OABD.

6p 11. Bereken exact hoeveel keer zo groot de

oppervlakte van trapezium OABD is in

vergelijking met de oppervlakte van driehoek

ODC.

Karpers

In het begin van hun leven ontwikkelen karpers zich van larve tot klein visje. Aan het einde van deze ontwikkeling heeft het visje een lengte van ongeveer 1,9 cm.

De lengte van de karperlarve in centimeter noemen we L. Het gewicht van de karperlarve in gram noemen we G.

In de figuur is het verband tussen log(L) en log(G)weergegeven.

figuur

4p 12. Bepaal met behulp van de figuur het gewicht van een karperlarve met een lengte van

(6)

Het verband tussen de lengte van karperlarven en hun gewicht kan beschreven worden met een formule van de vorm:

0,014 b

G L met 0,2 L 1,9

Hierin is L de lengte in centimeter, G het gewicht in gram en b een constante. Een karperlarve van 1,9 cm weegt ongeveer 0,25 g.

3p 13. Bereken b met behulp van deze gegevens. Rond je antwoord af op één decimaal.

Voor volwassen karpers geldt de formule: 3,13

0,014

G L met 10 L 94

Hierin is L weer de lengte in centimeter en G het gewicht in gram.

3p 14. Bereken hoeveel keer zo zwaar een volwassen karper van 94 cm is in vergelijking

met een volwassen karper van 10 cm. Rond je antwoord af op honderdtallen. De formule _G__0,014__L3,13_{is te herleiden tot een formule van de vorm}

log( )G   p q log( )L .

4p _{15. Bereken de waarden van p en q. Geef beide waarden in twee decimalen nauwkeurig.}

Lichaam PSC.QRF

Gegeven is het prisma ABC.DEF.

Hierbij is ABC een gelijkbenige driehoek met basis AB6 cm en bijbehorende hoogte 8 cm. Bovendien geldt AD9 cm.

De punten P en Q liggen op de ribbe AD zodanig dat AP PQ QD 3 cm. De punten R en S liggen op de ribbe BE zodanig dat BS SR RE  3 cm. Deze opgave gaat over het lichaam PSC.QRF.

Zie de figuur.

figuur

4p 16. Bereken in cm3 de inhoud van lichaam PSC.QRF.

Lichaam PSC.QRF wordt op een hoogte van 2 cm doorsneden met een vlak dat evenwijdig is met het vlak PQRS.

(7)

Exponentiële functie

De functie f is gegeven door _{f x}_{( ) 3}_ x1_₂_{. figuur 1} Zie figuur 1.

3p 18. Bereken exact de waarde van x waarvoor geldt:

( ) 241

f x  .

De functie g is gegeven door _{g x}( ) 3_ x_.

Op de grafiek van g worden de volgende transformaties uitgevoerd:

eerst de verschuiving 6 omlaag, gevolgd door de vermenigvuldiging met 1

3 ten opzichte van de x-as. Op deze manier ontstaat de grafiek van de functie h.

4p 19. Toon op algebraïsche wijze aan dat h dezelfde functie is als f.

De grafiek van g wordt met a vermenigvuldigd figuur 2 ten opzichte van de y-as.

Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie k. Het punt P(-20, 81) ligt op de grafiek van k. Zie figuur 2.

(8)

Wiskunde B

2016-I

Uitwerkingen.

(N=1,5)

Blokkendoos

1. maximumscore 4  ₍ _{2,5 ) 10 196}2 cilinder I     cm3 ₁  _{5 10 196 54}2 lucht I     cm3 ₁  I_hout 30 25 5 4 54 3535     cm3 ₁  dat is ongeveer 3535 3750100 94% 1 2. maximumscore 3

 een rechthoek van 5 bij 10 cm 1

 de schuine zijde is 5 2 7,07 cm. Dat zijn dan twee verticale lijnen

op ongeveer 3,5 cm van de middenlijn. 2

3. maximumscore 5

 oppervlakte zijkanten en bovenkant: 2 5 5 5 10 100     1  oppervlakte voor- en achterkant: 1 2

2 2 (5 10   3,5 ) 62 1  oppervlakte onderkant: 1 2 2 5 1,5    5 23,5 70 2  totale oppervlakte: 231 cm2 ₁

Een wortelfunctie

4. maximumscore 3  3x 6 0 1  3x 6 0 geeft x2 1  7 7 4 2 2 0 y      1 5. maximumscore 3  7 7 4 2 3x 6 x      1  voer in: y1 3x6 en y2  74x27 1  intersect: x 1,02 1 6. maximumscore 6  7 7 7 7 4 2 4 2 ( ) 3 6 ( ) 3 6 D p   p   p   p  p 1  7 4 3 '( ) 2 3 6 D p p      2  D p'( ) 0 1

 beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden 1

 p1,76 1

(9)

 50 50 sin(0,212769 t1,042563) 0 1

 voer in: y150 50 sin(0,212769 x1,042563) 1  zero: x27,05, dus op 28 januari is het voor ’t eerst nieuwe maan 1

 22 februari: tussen t 52 en t 53 1  P(52) 22 en P(53) 13,8 , en dus afnemend 2  Tussen laatste kwartier en nieuwe maan 1

Gebroken functie en raaklijn

10. maximumscore 3  _{f x}_{( ) 12 (}_ _ _x_₃₎1_₄ ₁  _{f x}_{'( )}_{ }₁₂₍_x_₃₎2 ₁  12 4 9 3 '(0) f _  _{ } ₁ 11. maximumscore 3  f(2) 8: B(2, -8) en A(0, -8) 1  Opp_OABC   8 2 16 1

 een vergelijking van l is: 4 3 y   x 1  2 3 (2) 2 l   _{: D} 2 3 (2, 2 ) 1  1 2 2 2 2 23 23 ODC Opp_V     1  1 3 13 OABD

Opp  _{en dat is 5 keer zo groot als}Opp_V_ODC 1

Karpers

12. maximumscore 3  log(0,8) 0,10 1  log( )G  2,3 1  _G_₁₀2,3 __0,005_{gram: dat is 5 mg.} ₁ 13. maximumscore 3  0,014 1,9_ b _0,25 ₁  1,9b _17,86 ₁  _b_1,9_{log(17,86) 4,5}_ ₁ 14. maximumscore 3  3,13 94 0,014 94 20990 G    g 1  3,13 10 0,014 10 19 G    g 1  20990 19 1100 keer zo zwaar 1 15. maximumscore 4

 _{log( ) log(0,014}_G _ __L3,13_{) log(0,014) log(}_ _ _L3,13₎ ₂

(10)

Lichaam PSC.QRF

16. maximumscore 4  1 . 2 6 8 9 216 ABC DEF I      _cm3 ₁  1 . . 3 3 6 8 48 APSB C DERQ F I I      _cm3 ₁  IPSC QRF. 216 2 48 120   cm3 2 17. maximumscore 5

 zijden evenwijdig aan PQ: 1 1

4 2

3 (9 3) 4  2

 zijden evenwijdig aan PS: 1 1

4 2

6 (6 0) 4  2

 de doorsnede is een vierkant van 1 2 4 bij 1 2 4 1

Exponentiële functie

18. maximumscore 3  ₃x1__{243 3}_ 5 ₁  x 1 5 1  x6 1 19. maximumscore 4  6 omlaag: _y _3x _6 ₁

 vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met 1

3: ( ) 13 (3 6) x h x    1  1 1 1 1 3 3 ( ) (3x 6) 3x 2 3 3x 2 3x 2 h x _{ } _ _{ } _{ }  _ _{ }  _ ₂ 20. maximumscore 4  1 ( ) 3ax k x  1  20 ₄ ( 20) 3 a 81 3 k      1  20 ₄ a  _ ₁  a 5 1