IO-representatie van niet-lineaire systemen, en toepassing van de schakelvlakmethode

IO-representatie van niet-lineaire systemen, en toepassing

van de schakelvlakmethode

Citation for published version (APA):

Hereijgers, H. J. C. (1993). IO-representatie van niet-lineaire systemen, en toepassing van de schakelvlakmethode. (DCT rapporten; Vol. 1993.181). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1993

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

IO~representatie van niet4ineaire systemen,

en toepassing van de schakelvlakmethode

H.J.C. Hereijgers

Eindhoven, november 1993

Tecbnische Universiteit Eindhoven

Faculteit Werktuigbouwkunde

Vakgroep WFW

Begeleider: Jr. T. van de Broek

Rapport WFW 93-181

Samenvatting

Van der Schaft [2] heeft een algoritme ontwikkeld om een (regelbaar en observeerhaar) systeem, beschreven in toestandsvorm, om te schrijven naar een stelsel differentiaalverge lijkingen in de ingang en de uitgang van het systeem. Dit algoritme zal worden beschreven en worden toegepast op de toestandsbeschrijving van een eenvoudig massa-veer-demper systeem, dat bestaat uit 2 massa’s, 2 veren en een demper. Als uitgang zal de positie van massa 2 en later de positie van massa 1 beschouwd worden. Beide gevallen worden ook bekeken bij afwezigheid van de demper. Wanneer één van de veren niet—lineair gekozen wordt, blijkt de toepassing van het algoritme al moeilijk te worden.

Als de gewenste uitgang van het systeem bekend is, is het eenvoudig om voor het systeem een regeiwet te ontwerpen. Als eerste regeling zal een optimale regeiwet worden toegepast. Ret bijzondere van deze werkwijze is dat de regeiwet de gedaante aanneemt van een differentiaalvergelijking in de ingang. Dit gegeven maakt het interessant om een schakelvlakregeling toe te passen, zoals beschreven is in [3]. Er ontstaat dan een regeiwet waarbij er geen discontiulteit in de ingang zit, maar afhankelijk van het systeem in een afgeleide daarvan. Hierdoor vertoont de ingang niet het bekende kiapperend gedrag. Deze aanpak zal worden toegepast op het massa-veer-demper-systeem en een single-link robot. De diverse simulaties zullen laten zien dat er inderdaad een glad verloop van de ingang ontstaat, zonder dat er een saturation-functie werd toegepast. Ter vergelijking zal ook een schakelvlakregeling worden ontworpen op de conventionele wijze.

Inhoudsopgave

1 Externe differentiaal representatie 3 1.1 Inleiding

1.2 Beschrijving van het algoritme 3 2 Toepassing op een massa-veer-demper-systeem

2.1 Toepassing op lineair mvd-systeem met q2 als uitgang 2.1.1 stap 1

2.1.2 stap 2 2.1.3 stap 3 2.1.4 stap 4

2.1.5 Toepassing van een optimale regeiwet 2.1.6 Simulaties

2.2 Speciaal geval: b2=0 2.2.1 Simulaties

2.3 Toepassing op een massa-veer-demper-systeem met qi 2.3.1 Simulaties

2.4 Speciaal geval: b2=0 2.4.1 Simulaties

3 Ontwerp van een regeiwet m.b.v. de schakelvlakmethode 3.1 De schakelvlakmethode

3.2 Toepassing van de schakelvlakmethode op een lineair mvd-systeem uitgang q2

3.2.1 Simulaties

3.3 Vergelij king met conventionele schakeivlakmethode 3.3.1 Simulaties

3.4 Toepassing op mvd-systeem met niet-lineaire veer 3.4.1 Simulaties

3.5 Een single-link robot met flexibele as

3.5.1 Ret model voor een single-link robot met flexibele as 3.5.2 Toepassing van de schakelvlakmethode als regeiwet .

3.5.3 Simulaties als uitgang 8 8 9 10 11 12 13 14 16 17 18 18 19 20 21 21 22 23 24 27 28 29 29 30 31 32 met als

INHOUDSOPGAVE

2

4 Conclusies en Aanbevelingen 35

4.1 Conclusies 35

4.2 Aanbevelingen 35

A Toepassing op een massa-veer-demper-systeem met qi als uitgang 37 A.1 Toepassing van het algoritme 37

A.1.1 stap 1 37

A.1.2 stap 2 38

A.1.3 stap 3 39

A.1.4 stap 4 40

A.2 Toepassing van een optimale regeiwet 41 B Toepassing op mvd-systeem met niet-lineaire veer 1 43 B.1 Toepassing van het algoritme

43

B.1.1 stap

3

44

B.1.2 stap 4

45

B.2 Toepassing van de schakelvlakrnethode als regeiwet 46

C

Toepassing van het algoritme op een single-link robot met flexibele as 48

C.1

Afleiding van de bewegingsvergelijkingen rn.b.v Lagrange 48

C.2 Toepassing van het algoritme

49

C.2.1

stap 1

49

C.2.2

stap 2

50

C.2.3

stap 3

51

C.2.4

stap 4

52

C.3 Toepassing van de schakelvlakmethode als regeiwet

53

D Bepaling van de gewenste toestand bij de conventionele schakelvlakme

thode

55

E Plots

57

Hoofdstuk 1

Externe differentiaal representatie

1.1

Inleiding

In dit hoofdstuk wordt een algoritme gegeven, waarmee een systeem in de toestandsvorm wordt getransformeerd naar een set hogere orde differentiaalvergelijkingen in ingangen en uitgangen:

~ ~ = 0 (1.1)

Beschouw het niet-lineaire systeem:

= j~(x)+~gk(x)uk, i=1,...,n

k=i

= h~(x),

j

= 1,... ,p (1.2)

Dit wordt herschreven in de impliciete vorin:

F~(x,~,u) = th~—f~(x,u)= 0, i = 1,...,n

F~(x,y) = y~_~—h~_~(x) =0, i=n+l,...,n+p (1.3)

met f(x,u) = f(x) + ~~1g~(x)uj

Ret doel van het algoritme is x en zijn afgeleiden uit bovenstaande vergelijkingen te elimi neren. Eerst wordt th geëlimineerd. Dit is te bereiken door eerst de uitgangsvergelijkingen te differentiëren. Vervolgens worden enkele van de n vergelijkingen th~—f~(x, u) = 0 vervan

gen door deze uitgangsvergelijkingen. In die vergelijkingen wordt ± vervangen door f(x, u). Er ontstaat dan een stelsel vergelijkingen dat dezelfde vorm heeft als (1.3) waarin het aan tal vergelijkingen dat een term ~ bevat is afgenomen. I-Jet aantal uitgangsvergelijkingen is toegenomen, zodat de procedure kan worden herhaald.

1.2

Beschrijving van het algoritme

Stap 1:

HOOFDSTUK 1.

EXTERNE

DIFFERENTIAAL REPRESENTATIE

4 Stel dat:

api

s1=rang ~(x,y) i=n+l,...,n+p (1.4) j=l,...,n

en Pi = 3i — ~o, met ~ = 0

Pi geeft aan uit hoeveel vergelijkingen

~h

geëlimineerd kan worden. Als Pi = 0 eindigt

het algoritme, als Pi > 0 gaan we als volgt verder: De vergelijkingen F1, . . . , P,~, en de

vergelijkingen P~1, . . . ,P~+~ kunnen zo herordend worden dat geldt:

L9th~ i=

1,...,n—pi

j

=

1,..

rang ~

=n

(1.5)

L3xji

i=n+1,...,n+pi

Terwille van de systematiek moeten ook de variabelen x1,. . . ,x~ herordend worden op de

zelfde wijze als F1,... ,F~ zodat nog steeds geldt: F~(x,i~,u) = — f(x,’u), i ~ n. De

vergelijkingen P~+i,. . ., F~+~ worden gedifferentiëerd. Ret stelsel vergelijkingen kan nu als

volgt hers chreven worden:

P1(x,

~,u) = th~ — f~(x, u) = 0, i = 1,.. . ,n —P1 (1.6)

~(x,f(x,n),u,y,~) = 0, i=n+1,...,n+pi (1.7)

P~(x,y) = 0, i=n+1,...,n+p (1.8)

(1.7) zijn de gedifFerentieerde uitgangsvergelijkingen, waarin ~ vervangen is door f(x, u). (1.6) en (1.8) zijn oorspronkelijke vergelijkingen. In dit stelsel vergelijkingen is het aantal vergelijkingen dat ~ bevat met pi vermiriderd.

We

hernoemen (1.7) door te definièren:

P~(x,u,y,~) := ~~~1(x,f(x,u),u,y,~), i = n—pi +1,...,n (1.9)

Met n1 := n en n2 := n1 — Pi wordt (1.6) t/rn (1.8) herschreven tot:

P~(x,th,u) =±~—f(x,u)

= 0, i= 1,...,n2 (1.10)

P~(x,u,y,~) = 0, j=n2+1,...,n+p (1.11)

Dit is het resultaat van de eerste stap: een stelsel vergelijkingen van dezelfde vorm als 1.3, waarbij n2 = —Pi het nieuwe aantal vergelijkingen is dat th bevat. Merk op dat (1.10) en (1.11) voldoen aan:

F~i1

L8d~3i i = 1,...,n2

rang ~ ~ =n (1.12)

HOOFDSTUK 1. EXTERNE DIFFEREI\TTIAAL REPRESENTATIE

5

Stap k van het algoritme: Beschouw de vergelijkingen: P~(x,~,u) = — f~(x,u) = 0, i = 1,... (1.13) ~ ~k_1) = 0, i = nk + 1,... ,n +p (1.14) waarvoor geldt: rang ~. (1.15)

[~]

z=?~k+l,...,fl+p j=1,...,n

Uit Pk vergelijkingen kan th geëlimineerd worden. Voor pk geldt: pk = — Sj~i, met:

81~

8k = rang (1.16)

axi

iflk+l,...,~+P j=1,...,n

In de

(k

— iy~ stap is verondersteld dat:

ai~1

ai~~

rang — . = rang — . =

axi z=nk_1+l,...,n+p 0~j z=nk_1+l,...,n+p j=1,...,n j=1,...,n

(1.17)

Hiermee is aangetoond dat met de vergelijkingen

Pi, i

= nk_1

+

1,. . .,n+p de vergelijkingen

P~, i

= n, + 1,. . . ,nk_1, zodanig kunnen worden gemodificeerd dat de termen ~j,

j

=

nk + 1,. . . ,n er niet meer in voorkomen. De overige termen ~j worden vervangen door

f(x, u).

Differentieer de vergelijkingen die in de

(k

l)de stap verkregen zijn:

A(x, ~,u,. . ., u~_1),y,. = 0, i = nk + 1,..., n~_j (1.18)

Volgens (1.17) bestaan er functies ~~i(x, u,. . ., u(k_2),~ .. ,y(k_1)), i = nk+l,.. * ,~k—1, 1 =

nk_1

+

1,... ,n + p, zo dat als we de volgende modificaties van de vergelijkingen (1.18)

definieren: n+p ~ (1.19) 1=nj~_1 +1 dan geldt: 0, i = nk

+

1,. . . ,12k—1, ~ = nk

+

1,. . . ,n (1.20) axi

Volgens (1.16) kunnen Snk+j,... ,S,~_1 zo herordenen dat

rang[~i] ~ n+p Pk

(1.21)

HOOFDSTUK 1. EXTERNE DIFFERENTIAAL REFRESENTATIE

6

Ook kunnen we volgens (1.15) de vergeiijkingen

F1,..

Ffl,~

zodanig verwisse~en dat geldt:

~

~ = 1,.. •,~k Pk

rang ~ = 1,. =

(1.22)

[ak] i=flk+l,...,flk+Pk

Verder verwisselen we de variabelen x1,.. ., ~ op dezelfde manier. (1.22) houdt in

dat één of enkele van de vergelijkingen

P~,

i = 1,. . .nj~ vervangen kunnen worden door S~,i=flk+l,...,nk+Pk.

Ret stelsel vergelijkingen is dat te schrijven als:

F~(x,±,u)

=

th~ —f~(x,u)

= 0,

i

= l,..•,~k —Pk (1.23) = 0,

i=

llk+l,...,flk+Pk (1.24)

F~(x,

U,. . . , y,.. . =

0,

~ = ~k + 1,.. . ,~ + p (1.25)

We hernoemen de vergelijkingen (1.24):

u,.

. . ,u~_1), y,. .. := Sj+pk(x, f(x, u), n,.. . ,u~_1),y,.. . (1.26) i=~k—Pk+l,...,~k

met ~k+1 = nj~ —Pk is het stelsel te schrijven als:

F~(x,~,u)

= —

f~(x,u)

=

0, i

= 1,.. ~,~k+i (1.27)

= 0, i=flk+1+l,...,fl+P (1.28)

Ret resultaat van de

k~

stap is een stelsel vergelijkingen waarin het aantal vergelijkingen dat ~ bevat met pk verminderd is. Ret is duidelijk dat het algoritme na ecu eindig aan

stappen eindigt. Dit aantal noemen we

k~, k*

<

n.

Na toepassing van het algoritme, komen we tot de volgende set vergelijkingen, met ~i=

th~

—f~(x,u)

=

0, i

= 1,...,~ (1.29)

P~(x,u,..

. ,u~*_1),y,.. . ,~(k~))

0, i

~+ 1,...

,n

+p (1.30)

Beschouwen we eerst het geval dat

~

=

0:

In de k* — de stap is verondersteld dat:

rang — . (1.31)

n~ +

1,.. . ,71

+ P

HOOFDSTTJK 1. EXTERNE DIFFERENTIAAL REPRESENTATIE

7

Als we de recursieve definities van nk en pk vergelijken:

71k+1 —Pk, ni = n, k = 1,2,... (1.32) Pk+1 = Sk+1 8k, 80 = 0, k = 0, 1,... (1.33)

volgt daaruit dat geldt: nj~, = n — 8k—1• Dus geldt: ~ = = n — = 0 =~ ~ Sk~

Daarom kunnen we volgens (1.31) de vergelijkingen F1,. . . ,F~+~ van (1.30) zo herordenen

dat:

rang = i,...,~ = n (1.34) j1,...,7l

waarbij de vergelijkingen F1,.. ., F~ genornen zijn uit de set ~ . . ,~ Uit deze

vergelijkingen kunnen we x1,.. . ,x’,~ oplossen.

= ~ ~,. , y,~,. . . , ~(k*_1)), i E ~ (1.35)

Substitutie van (1.35) in de overblijvende vergelijkingen F~+1,. . . ,P~, resulteert in

gelijkingen van de vorm:

~ . . ~ . . .,y~) = 0, i ~ p (1.36)

Dit is de externe differentiaal representatie van het niet-lineaire systeem (1.2).

Als ~ ~ 0 is het niet mogelijk een externe differentiaal representatie op te schrijven, die de volledige dynamica van het systeern beschrijft. Dc waarde van ~ is de dirnensie van de onobserveerbare dynamica van het systeem.

Hoofdstuk 2

Toepassing op een

massa-veer~demper~systeem

In dit hoofdstuk wordt het in het vorige hoofdstuk beschreven algoritme toegepast op een thassa-veer-demper systeem (zie figuur 2.1). In paragraaf 2.1 moet de positie van massa 2

b2

Figuur 2.1: massa-veer-demper systeem

U

geregeld worden. In paragraaf 2.2 wordt een speciaal geval hiervan bekeken, namelijk wanneer = 0. In paragraaf 2.3 moet de positie van massa 1 geregeld worden en in

paragraaf 2.4 wordt weer gekeken riaar het geval dat

b2

= 0. In alle gevallen wordt een

optimale regeiwet toegepast, waarna sirnulaties zijn uitgevoerd met als gewenste uitgang respectievelijk een stap-functie en een sinus-functie.

2.1

Toepassing op lineair mvd-systeem met q2 als

uitgang

De positie van massa 2 moet geregeld worden: y = q~. Met Newton zijn de bewegingsver

gelijkingen van dit systeem eenvoudig te bepalen.

m1~1 =

—(k1 + k2)qi + k2q2

—

b2~i + b2~2

m2~j2 = — 1c2q2 +

b~j1

—

b2~2 +

u (2.1) (2.2)

k1

k2

q2

8

HOOFDSTUK

2.

TOEPASSING OP EEN MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM

9

Als toestand wordt gekozen:

q~

x2

= (2.3)

-

x3

q~

x4

Geschreven in de impliciete vorm levert dit:

Pi

=

P2

=

x2+ax1—bx3+cx2—4—O

P3

= th3—x4=O (2.4)

P4

=

d~4—ex1+ex3—fx2+fx4—gu=O

P5

=

y—x3=O

met:

a

ki+k2 e = m1 m2

b=~-

_m1

f=~~2~

_m~

c=-~-

_m1

g=-~-

_rn2

aantal vergelijkingen dat th bevat:

n

=

4

aantal uitgangsvergehjkrngen: p = 1

2.1.1

stap 1

=

rang

=

rang

[

0 0 —1

o]

= 1 (2.5) 3

= 0

= — = 1 =~. In deze stap kan uit édn vergelijking i~ geëlimineerd worden. De

vergelij kingen

F1,.

. . ,

P5

moeten zo herordend worden dat geldt:

Lath,

i=1,2,3

j=1,...,4

rang

=

n

=

4

(2.6)

L8~;j

j5

j=1,...,4

Dit houdt in dat de vergelijkingen

P3

en

P4

verwisseld moeten worden. Ter wille van de systematiek moeten ook de variabelen x3 en x4 verwisseld worden, zodat blijft gelden:

P.

= —

f(x, u)

= 0. Dc toestand is dan te schrijven als:

P1

x1—x2=0

P2

=

th2+ax1—bx4+cx2—cx30

P3

= —

ex1 + ex4

—

fx2 + fx~

—

gu

= 0 (2.7)

P4

=

HOOFDSTUK 2.

TOEPASSING OP EEN MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM

10 Vervolgens wordt de uitgangsvergelij king gedifferentiéerd:

P5=y—x4=0 (2.8)

F5

wordt gesubstitueerd voor

P4

en x3 wordt gesubstitueerd voor

th4:

P1

= th1—x2=0

P2

= ±2+axi—bx4+cx2—cx3=0

P3

=

~3—ex1+ex4—fx2+fx3—gu=0

(2.9)

P4

= y—x3=0

P5

= y—x4=0

Er is flu één vergelijking minder die th bevat: n2 = — = 4 1 =

3.

2.1.2

stap

2

aPi

0

0

—1

0

= rang ~— ~ = = rang

0

0

0

1

= 2 (2.10)

j=1,...,4

P2 = S2 — =

1

~ In deze stap kan uit één vergelijking th geëlimineerd worden. Er moet

gelden dat:

9~ i=1,2

rang j=1,...,4 =n=4 (2.11)

ax3

i4,5

her is aan voldaan. Dc nieuwe uitgarigsvergelijking

P4

wordt gedifferentiëerd:

F4=y—xs=0 (2.12)

F4

wordt gesubstitueerd voor

P3

en met x3 = ex1 — ex4 + fx2 —

fx3

+ gu, volgt:

P1

=

P2

~2+axi—bx4+cx2—cx3=0

P3

= ~_ex1+ex4—fx2+fx3—gu0 (2.13)

P4

=

~—x3=0

P5

= y—x4=0 n3 = ~2 P2 = 3—1 = 2

HOOFDSTUK

2.

TOEPASSING OP EEN MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM

11

2.1.3

stap

3

—c—f

f

e

.93 — rang ~ i — 3 4 ~ = rang 0 0 —1 0 = 3 (2.14) UXj

o

o

o

—1

mits e V

f ~

0 ]33 = 83 — = 1 ~

In deze stap kan nit één vergelijking i~ geëlimineerd worden. Er moet gelden dat:

2~i1

&h~j j = 1

j=1,...,4

rang ~ =n=4 (2.15)

L8x~ 2 = 3,4,5

Rier is aan voldaan. De nieuwe uitgangsvergelijking

P3

wordt gedifferentiëerd:

P3

= ~(3) — eth1 + eX4 — f~2

+ fth~

—g~t = 0 (2.16)

F3

moet m.b.v.

F4

en

F5

zodanig gemodificeerd worden dat x3 en x4 geëlimineerd worden:

S3 =

P3+fP4+eP5=

= ~

(2.17)

=

Er geldt: ~, = 0,

j

= 3,4 Ook geldt: l-~~ki i=1

j=i,2 1 0

rang [es.] = = rang —e

—f

= 2 = n3 (2.18)

j

= 1,2

met ~ = x2, en x2 = —ax1 + bx4 — cx2 -4- cx3 is 53 te schrijven als:

S3 ~(3)

~

f~

+ e~

+ afxi +

(cf

— e)x2 —

fcx3

— bfx4 — g~ 0 (2.19)

S3 wordt voor

P2

gesubstitueerd. De toestandvergelijkingen worden dan:

P1

= a~1—x2=0 y(3)+f~+e~+afxi+(cf_e)x2_fcx3_bfx4_g~t0 P3 = ~_exi+ex4—fx2+fx3—gu0 (2.20) P4 =

y—x3=0

P5 = y—x4=0 n4 = n3 —p3 = 2— 1 = 1

HOOFDSTUK 2.

TOEPASSING OP EEN MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM

12

2.1.4

stap

4

af (cf-e) -cf

-bf

~9F~

—e

—f

f

e

s4=rang ~

i=2,...,5

=rarig 0 —1 =4 (2.21)

0 0 0 —1

mits (aAf)Ve#0

= S4 —53 = 1

~-In deze stap kan uit één vergelijking th geëlimineerd worden.

P2

wordt gedifferentiëerd:

=

+ fy(3) +

e~j

+

afthi

+

(cf — e)~2 — fcth3 —

bf~4

— gil = 0 (2.22)

F2

moet m.b.v.

F3, F4

en

F5

zodanig gemodificeerd worden dat ~2,x3 en x4 geëlimineerd

worden.

P3

= y(3)_e~1+e~4_f~2+f±3_gil0 (2.23)

P4

= yx30 (2.24)

P5

= ~X4O (2.25)

S2

= ~2+cf;~3_e~4+(_bf+ e(cf_e))E

= ~(4)~ (f+c_~)u(3)+ (ec_ç_bf)~+ (af_ec+ç) ~—

gc — u —gu = 0 (2.26)

32 wordt voor

F1

gesubstitueerd en x2 wordt gesubstitueerd voor ~v1. De toestandsverge lijkingen worden dan:

F1

—

+

(f

+

ef— e) ~(3)

+

(e(cf_ e) —

bf) ~ +

(

e(cf-e)~ g(cf-e). ~af—

~

JX2_

f

u—gu=0

y(3)+f~+e~+afx1±(cf_e)x2_fcx3bfx4_gil0

P3

= — ex~ + ex4 — fx2 + fx3 — gu = 0 (2.27)

F4

= ~‘—x3=0

F5

= y—x4=0

Uit F2,.

.. ,

P5

is op te lossen:

1

13

1

e’\ ~y )+~c+f—1)~+ cc ~ af

HOOFDSTUK 2.

TOEFASSING OP BEN MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM

13

(ce

-

bf

- y -

(~c_

~)

u

g~} (2.28) = —y+Y+—y— {~(3)+

(c+f__)~+

f

f

f(ec—y—af)

f

(ec -

bf

- y - (gc

~)

u

- -

(2.29)

= (2.30) = (2.31)

Substitutie van x2 in

P1

levert de externe differentiaal representatie.

+

(f

+ c)y~ + (a + e)~ + (af

—

bf)~

+ (ae —

be)y

—

agu

—

gc~

—

gü

= 0 (2.32)

anders geschreven:

= a1y~~~ + a2~ + a~ + a~y

+ ~u +

~2~t

+ ~ü

(2.33)

met:

ai=—(f+c)

j31=ag

0~2—(a+e) /32=cg

a3

=

—(af

—

bf)

~

=

g

a4

=

—(ae

—

be)

2.1.5

Toepassing van een optimale regeiwet

Er wordt een nieuwe toestand gedefinieerd:

U’

U

y := Y2 = (2.34)

- y3

U

Hiermee is 2.33 te schrijven als:

=

Ay + B[~,u +

~2U

H- /33u]

(2.35)

0100 0

0010 0

met:A= 0 0 0 1 enB= 0 a4 a3

a2

a1

1 Als fout wordt gedefinieerd:

e.=yy~ (2.36)

met de gewenste uitgang.

Yid yd

y := Y2d yd (2.37)

Y~d Yd

(3)

HOOFDSTUK 2.

TOEPASSING OP EEN MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM

14 Voor de afgeleide van de vierde component van de fout geldt:

=

Y4

— Y4d =

~4Y + ~3Y + a2y + aiy~~~ +

— Y4d (2.38)

met

ii=/~iu+B2u+/93u

Voor ii wordt flu gesteld:

v

=

—(~y +

a3y

+

~2Y +

ajy~~~) +

Y4d +7 (2.39)

met ~ als nieuwe irigang. Voor het foutensysteem volgt dan:

ê=Aç~+B7

(2.40)

0100 0

0010 0

met:A=

0 0 0 1

enB=

0000 1

Voor ~ wordt flu gesteld:

=

—L~

(2.41)

Voor het berekerien van de optimale terugkoppelmatrix L wordt gebruik gemaakt van een kwadratisch criterium. Hiermee wordt L zo berekend dat de integraal

f

e~Qe +

uTRu dt

(2.42)

minimaal wordt.

Q

en

R

zij n weegmatrices. Hieruit volgt de differentiaalvergelij king voor de ingang.

~3U

+

~2U

+

~1U

—(a4y +

~

+ ~ + ~~y3)) +

~4d —

Le

(2.43)

2.1.6

Simulaties

Voor de systeemgegevens ziju de volgende waarden gekozen:

m1

=

0.2kg

k1

= 15N

b2

=

4Ns/m

m2 = 0.4kg

Ic2

= iON

Voor het bereken van de optimale terugkoppelmatrix

L

zijn de volgende weegmatrices gekozen:

50 00

0 0.2 0 0 —12

0 0 0 0 enR=10 00 00

Er wordt veel aandacht besteed aan de positiefout, veel minder aan de snelheidsfout. De ingang wordt relatief weinig meegenomen. Dit resulteert in de volgende terugkoppelmatrix:

L

=

io6

*

[

2.23 0.506 0.0125 0.002

HOOFDSTUK 2.

TOEPASSING OP

EEN

MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM

—38.21 + 66.27i —76.42

15

—5.00

Deze liggen in het linker halfvlak, het geregelde systeem is dus stabiel. Ret gedrag van het systeem wordt grotendeels bepaald door de kleinste eigenwaarde. De fout gaat dus als een e-macht naar nul.

Simulatie 1: De gewenste uitgang is een stap:

Yld = 0.lm

Y2d Y3d = Y4d Y5ct = 0

De differentiaalvergelijkingen van het systeem en van het ingang worden opgelost met een eulerschema. Er wordt 2 sec. gesimuleerd. De stapgrootte is 0.002 s. Ret resultaat staat in figuur 2.2. Binnen 1.5 s wordt de gewenste uitgang bereikt. De fout gaat naar nil voor

0.04 0.02 0 0 Figuur 2.2: simulatie 1 0.06

0.5

1 1.5 2

HOOFDSTUK 2.

TOEPASSING OP

EEN

MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM

16 Simulatie 2: De gewenste uitgang is een sinus:

Yld = 0.1 sin(wt) Y2d 0.lwcos(wt) Y3d = —

0.1w2

sin(wt) Y4d = — 0.1w3 cos(wt) Y5d = 0.lw4sin(wt) met

w

= 47r

Als beginvoorwaarden zijn genomen:

qi(0)

= 0.05

rn

= —1 rn/s

q2(0) = 0.15 rn

q2(0) =

1

rn/s

Ret resultaat staat in figuur 2.3. Na 1 s wordt het gewenste uitgangssignaal goed gevolgd. De maximale ingang is 8.0 N en voor t —÷ oc geidt: eij < 0.OOlrn

2.2

Speciaal geval: b2=O

De bewegingsvergelijkingen van dit systeem zijn:

rn1~1 =

—(k1 + k2)q1 + k2q2

(2.44)

rn2q2 = k2q1 — k2q2

+ u

(2.45)

In toestandsvorm wordt dit:

P1

=

P2

=

~2+axi—bx3=0

P3

= — = 0 (2.46)

P5

= th4—exi+ex3—gu=0

P5

= y—x3=0

Van de externe differentiaal vergelijking blijft over:

~(4) +(a+ e)~+(ae—

be)y

— agu—gü = 0 (2.47)

anders geschreven:

a2y + a4y +

/31u

+ ~3u

(2.48)

Voor de ingang volgt dan:

HOOFDSTUK

2.

TOEPASSING OP EEN MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM

17

0 -0.1

2.2.1

Simulaties

Figuur 2.3: simulatie 2

Bij deze simulaties worden dezelfde gegevens en dezelfde weegmatrices gebruikt als bij het massa-veer-demper systeem.

Simulatie 1: De gewenste uitgang is een stap Resultaten: zie figuur E.1 in bijiage E

De positie van q~ van massa 2 als functie van de tijd verloopt hetzelfde als bij de simulatie met

b2

~ 0. Als gevoig van het ontbreken van de demping blijft massa 1 oscilleren met een frequentie van 1.78 Hz. Om dan massa 2 op zijn plaats te houden blijft ook de ingang oscilleren, zodat voor de veerkracht gecompenseerd wordt.

Simulatie 2: De gewenste uitgang is een sinus Resultaten: zie figuur E.2 in bijiage E

De positie van q~ van massa 2 als functie van de tijd verloopt hetzelfde als bij de simulatie met

b2

~ 0. Als gevoig van het onthreken van demping en het exciteren van massa 1 in de buurt van zijn eigenfrequentie wordt massa 1 opgeslingerd.

-0.1 0

0.5

1

1.5

2 0.2 0.1 -0.2 0

0.5

1

1.5

2

HOOFDSTUK 2.

TOEPASSING OP

LEN

MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM

18

2.3

Toepassing op een massa-veer-demper-systeem

met qi als uitgang

De positie van massa 1 moet geregeld worden. De vergelijkingen zijn dan:

P1

= th1—x2=0

P2

= th2+ax1—bx3+cx2—cx4=0

P3

= X3 — = 0 (2.50)

P5

= ~4_ex1+ex3—fx2+fx4—gu=0

P5

= y—xi=0

Toepassing van het algoritme levert de volgende externe differentiaal representatie:

~(4) +

(c

+

f)y(3) + (a

+

e)~ + (af —

bf)~ +

(ae —

be)y

—

bgu

— cg~ = 0 (2.51)

of anders geschreven:

= a1y~3~ + a2~ + a3y + a4y + ~u +

~2u

(2.52)

met:

ai=—(c+f)

/31=bg

a2 = —(a + e) /32 =

cg

a3 =

—(af--bf)

a4 = —@e —

be)

In de externe differentiaal representatie komt

ii

niet voor. Het aantal afgeleiden van

u

dat voorkomt in de vergelijking voor de ingang wordt bepaald door a =

n

—

r.

r is het aantal

keer dat de uitgangsvergelijking gedifferentiëerd moet worden voordat de grootheid

u

in de uitgangsvergelij king verschij nt.

Toepassing van een optimale regeiwet levert de volgende vergelijking voor de ingang:

/32u + /3~u

= —(a4y + a3~ + a2~ + aiy~~~) + ~4d —

L~

(2.53)

Voor gedetailleerde afleiding zie bijiage A.

2.3.1

Simulaties

simulatie 1: de gewenste uitgang is een stap

De systeemgegevens zijn hetzelfde gekozen. De weegmatrices voor de optimale regeiwet zijn:

50 0 0 0

Q

= en

R

= 10~ (2.54)

HOOFDSTUK 2.

TOEPASSING OP EEN MASSA~VEER-DEMPERSYSTEEM

19 Dit levert de volgende terugkoppelrnatrix:

L

= iü~•

[

2.2361 0.4571 0.0244 0.0007

]

(2.55)

De eigenwaarden van de matrix

(A

—

BL)

zijn dan:

—15.6892 ± 27.6139i —31.3488

—7.0715

Resultaat: zie figuur E.3 in bijiage E

Na 1 sec. wordt de gewenste waarde bereikt, de fout gaat naar nul voor —~ cc.

De maximale ingang is 6.4 N.

simulatie 2: de gewenste uitgang is een sinus

De systeemgegevens zijn hetzelfde gekozen. De weegmatrices voor de optimale regeiwet zij n:

50 0 0 0

Q

[

~ ~ en

R

= 10~’° (2.56)

Dit levert de volgende terugkoppelmatrix:

L

=

[

7.0711 0.7506 0.0328 0.0008

]

(2.57)

De eigenwaarden van de matrix

(A

—

BL)

zijn dan:

—15.1722 ± 29.4314i —25.3075 ± 2.1125

Resultaat: zie figuur E.4 in bijiage E

Na 0.5 sec. wordt het gewenste uitgangssignaal redelijk gevolgd. De maximale ingang is 8.0 N. Voor I —* cc geldt e1~ < 0.009m.

2.4

Speciaal geval: b2=O

De toestandsvergelijkingen zijn dan:

P1

= ±1—x2=0

P2

~2+axi—bx3=0

P3

= 0 (2.58)

P5

=

P5

=

y—xi=0

De externe differentiaal represetatie wordt dan:

HOOFDSTUK 2.

TOEPASSING OP EEN MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM

20 of anders geschreven:

= C~2Y

+

C~4y

+ /31u

(2.60)

Nu komt ü ook niet meer voor in de externe differentiaalrepresentatie. Toepassing van een optimale regeiwet levert:

131u

= —(a4y + ~2y)

+

Y4d — (2.61)

2.4.1

Simulaties

simulatie 1: de gewenste uitgang is een stap

De systeemgegevens zijn hetzelfde gekozen. Dc weegmatrices voor de optimale regeiwet zijn:

50 0 0 0

Q

= en

1?

= 5 10~ (2.62)

0000 Dit levert de volgende terugkoppelmatrix:

L

=

io~•

[1.0 0.3153 0.0397 0.0028

]

(2.63)

Dc eigenwaarden van de matrix

(A

—

BL)

zijn dan:

—5.4054 + 10.3152i —10.0

—7.3735

Resultaat: zie figuur E.5 in bijiage E

Na 1 sec. wordt de gewenste waarde hereikt, de fout gaat naar nul voor t —* cc.

De maximale ingang is 8 N.

simulatie 2: de gewenste uitgang is ecu sinus

De systeemgegevens zijn hetzelfde gekozen. Dc weegmatrices voor de optimale regeiwet zijn:

50 0 0 0

Q

= en

R

= i0~ (2.64)

0000 Dit levert de volgende terugkoppelmatrix:

L

= i~~•

[

2.236 0.7168 0.0702 0.0037

]

(2.65)

De eigenwaarden van de matrix

(A

—

BL)

zijn dan:

—8.1277 + 14.485i —16.2030

—5.0020

Resultaat: zie figuur E.6 in bijiage E

Na 0.5 sec. wordt het gewenste uitgangssignaal redelijk gevolgd. De maximale ingang bedraagt 42.4 N. Voor t —* cc geldt

eij

<0.0005rn.

Hoofdstuk 3

Ontwerp van een regeiwet m0b.v, de

s chakelvlakmet ho de

In [2] wordt voorgesteld om bij

het

gebruik van een schakelvlakmethode de in hoofdstuk 1 beschreven coördinatentransformatie toe te passen. Ret voordeel daarvan is dat in de vergelijking voor de ingang oak afgeleiden van de ingang voorkomen. Bij het oplossen van deze vergelijking vinden er een aantal integraties plaats. Dit heeft als gevoig dat het kiapperen van de ingang, dat ontstaat door het gebruik van een sign-functie, sterk gereduceerd wordt. De schakelvlakmethode die hier beschreven wordt, is alleen bruikbaar voor systemen met één ingang en één uitgang.

3.1

De schakelvlakmethode

De sign-functie is als volgt gedefinieerd:

~ sign(s) = 1 als s > 0

~ sign(s)=Oalss=O

1.

sign(s) = —1 als s < 0

en ~ zijn positieve scalars. I-let volgende één-dimensionale systeem:

= —[L(5 + Qsign(s))

(3.1)

vertoont een schakelviak op s = 0. Elke trajectorie die start op de beginwaarde s =

bereikt de conditie s = 0 in een eindige tijd T gegeven door:

T = ~t’ ln[1

± js(0)~/~]

(3.2)

Er wordt een set reële coëfficiënten gekozen {mo,. . . ,m~_~} zodat het volgende polynoom

in de complexe variabele z, een Hurwitz polynoom is:

+ mn_2z~_2) + ... + m~z + m~ (33)

HOOFDSTUK 3

SCHAKELVLAKMETHODE

22 Beschouw flu de scalaire hulp-uitgangsvariabele s, gedefinieerd in termen van de volgfout en zijn afgeleiden:

s = ~ = ~m~_1e~ (3.4)

met mn_i = 1

Ret verloop van s is bepaald door (3.1). Differentiëren van (3.4) en substitutie van (3.1) levert:

= ~

+

m~_1e~

= ~ [~mi_iei

+

~sign

(~mi_iei)]

(3.5)

Voor é~ is te schrijven:

en = c (ed(t) + e, u, z~,. . . , —

y~(t)

(3.6)

met e= col(ei,e2,...,en) en Q(t) =

Substitutie hiervan in (3.5) levert:

~ (~(t) + e,U,~,. . . ~(a)) (n)

+

~ ~t

mj_iej

+

t~sign

(~

mi_iei)]

(3.7) Dit is een impliciete differentiaalvergelijking met een discontinu rechterlid. In de gebieden s < 0 en s > 0 geldt een verschillende structuur. De corresponderende differentiaalverge hiking moet opgelost worden voor de regelingang it, op basis van de kennis van de fout e

en de gewenste uitgang ç~.

3.2

Toepassing van de schakelvlakmethode op een

lineair mvd-systeem met als uitgang q2

Er moet een set coëfficiënten {mo, m1, m2, m3} zo gekozen worden dat het polynoom + m3~ + m2~ + m1z + m0 (3.8) een Hurwitz polynoom is. De hulpvariabele s wordt gedefiniëerd als:

s = e4 + m2e3 + m~e~

+

m0e1 (3.9)

Uit (2.27) volgt dat voor de uitgang en afgeleiden geldt (in de originele coördinaten): (3.10)

Y2 (3.11)

y3 = ex1 +

fx2

— ex3 — fx4 + gu (3.12)

—(af + ef)xi —

(f2

+ cf — e)x2 + (ef + bf)x3 + (3.13)

HOOFDSTUK 3

SCHAKELVLAKMETHODE

23 Voor de fout en afgeleiden geldt dus:

= x3 — Yid (3.14)

e2 = — Y2d (3.15)

e3

= ex1 + fx2 — ex3 — fx4 +gu Y3d (3.16) e4 = —(af+ ef)xi —

(f2

+

cf

— e)x2 + (ef +

bf)x3 +

(3.17)

(f2

+ cf — e)x4 — fgu + gü — Y4d

Substitutie hiervan in (3.9) levert:

= (em2 — af — ef)xi + (fm2 —

f2

cf+ e)x2

+

(ef +

bf

— em2 + mo)x3 +

(f2

+ cf — e— fm2 + mi)x4 + (gm2 — fg)u + gz~ — (3.18) Y4d — m2y3d — mly2d — moyld

met: = x2 = —ax1 +

bx3

—

cx2 + cx4

X3 = X4 = ex1 — ex3 + fx2 — fx4 + 9U volgt voor s

= /33U + /32u +/3iu + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 Y5d — m2y4d — mly3d — moy2d (3.19)

met:

= ef2 + cef — efm2 + em1 — af7n2 + af2 + acf — ae — e2

a2 = em2 — af —

2ef

— cfm2 +

2cf2

+ c2f — cc+

f3

— f2m2 +fm1

a3

=

bfm2

—

bf2

—

bcf + be

—

cf2

— cef + efm2 — em1 + e2

a4

= cfm2 — 2cf2 —

c2f + cc + 2ef + bf

— em2 + m0 —

f3

+

f2?n2

—

fmj

= f2g +

cfg

— fm2g + m1g —

eg

/92 =

m2g

—

fg

/33 =

g

s moet voldoen aan = —,u(s + ~sign(s)). Dc ingang wordt dan bepaald door de volgende

differentiaalvergelij king:

/93u+/32u+/31u = —1~(s+~sign(s))—aixi—a2x2—a3x3— a4x4+ysd+m2y4d+mly3d+moy2d

(3.20)

3.2.1

Simulaties

Ret eulerschema voldoet niet meer, flu wordt een 4e orde Runge-Kutta schema gebruikt

om de diff’erentiaalvergelijkingen van het systeem en de ingang op te lossen. Er worden dezelfde referentiesignalen en beginvoorwaarden gebruikt als in 2.1.6.

HOOFDSTUK 3

SCHAKELVLAKMETHODE

24 Regelparameters:

De coëfficiënten m0, m1, m2 zijn zo gekozen dat de polen van het polynoom (3.8) liggen op -10, -20 en -30 =~

m0 = 6000

m1 = 1100

m2=60

De coëfficiënten j~t en Q bepalen het verloop van s. Hiervoor is gekozen:

= 10

c~=5

Er wordt 2 sec. gesimuleerd met stapgrootte

dt

= 0.OOls.

Resultaat: zie figuur E.7 in bijiage E

Na 1 sec. wordt de gewenste waarde hereikt. s bereikt het schakelviak op t = 0.48s. T.g.v.

het gebruik van de sign-functie gaat s dan kiapperen tussen —2.5~ iO~ en 2.5 . i0~. De

ingang vertoont geen kiapperend gedrag zoals bij de conventionele schakelvlakmethode. Dc discontinulteit grijpt niet aan op de ingang maar op de tweede afgeleide daarvan. De fout gaat naar nul voor t —* cc. De maxirnale ingang hedraagt 1.5 N.

simulatie 2: de gewenste uitgang is een sinus: Regelparameters:

De coëfficiênten m0, m1, m2 zijn zo gekozen dat de polen van het polynoom (3.8) liggen op -100, -200 en -300 ~ m0 = 6000000 m~ = 110000 m2 = 600 De coëfficiënten ~ en Q is gekozen: = 10000

Er wordt 2 sec. gesimuleerd met stapgrootte

dt

= 0.00025s.

Resultaat: zie figuur E.8 in bijiage E

De gewenste uitgang wordt na 0.5 s goed gevolgd. .s bereikt het schakelviak op

I

=

0.56s.

s

kiappert daarna tussen -23 en 23. De ingang vertoont geen kiapperend gedrag. Voor

—* cc geldt voor de fout cii <3.5 10~. De maximale ingang bedraagt 8.5 N.

De resultaten van beide simulaties zijn duidelijk beter dan de resultaten die zijn verkregen met een optimale regelaar. Opvallend is de ingarig bij de stap waarvan de maximale waarde veel kleiner is.

3.3

Vergelijking met conventionele schakelvlakme

thode

Ter vergelijking wordt er nu een schakelvlakregeling ontworpen op de conventionele manier. De bewegingsvergelijkingen waren:

m1~1 =

—(ki + k2)qi + k~q2

—

b2~1 + b2~2

(3.21)

HOOFDSTUK 3

SCHAKELVLAKMETHODE

25

Met als toestand x = X2 = ~i zijn deze te schrijven als:

- x3 q~ q2 = (3.23) _____

k2

b2

— X1

+

—X3 — —x2 + —x4 (3.24)

m1

m1

rn1

m1

= (3.25)

u

= — —X3

+

—X~ — —X4

+

— (3.26)

m2

m2

m2

rn2

m2

of te wel:

*=Ax+Bu

(3.27) 010 0 0 —1—c

b

c

0 met:

A

= 0 0 0 1 en

B

= e

f—e—f

g

De gewenste trajectorie is ~. Er bestaat een ingang ud en een beginwaarde ~d(0) zo dat

voor alle t > 0 geldt:

=

Axd + Bud

(3.28)

De volgfout wordt gedefiniëerd ais:

(3.29) zodat voor de fout geldt:

ê=

A~+B(u—ud)

(3.30) ~ wordt gepartioneerd: e1 = (3.31) e3 =

e4

(3.32)

zodat voor (3.30) te schrijven is:

=

A1~e~ +

A12e2 (3.33)

A~e1 + A22e2 + u

— (3.34) met: 0 10 0

A11

= —1

—c

b

~l12

C 0 00 1

A21=[e

f

—e]A22=[—f]

HOOFDSTUK 3

SCHAKELVLAKMETHODE

26 Nu wordt voor ~2 gesteld:

=

—L~1 + .s

(3.35)

met

L

zo gekozen dat de matrix

(A11

—

A12L)

een FIurwitz-matrix is. Substitutie in (3.33)

levert:

=

(A11

—

A12L)e1 + A12s

(3.36)

De terugkoppelmatrix

L

kan bepaald worden met het kwadritisch criterium (2.42) met systeemmatrix

A11

en ingangsmatrix

A12.

Door een goede keuze van de regelingang wordt s naar nul geregeld. Voor de volgfout geldt dan:

=

(A11

—

A12L)e1

(3.37)

=

—Le1

(3.38)

en dus ook ~2 gaan asymptotisch naar nul.

Keuze voor U: Voor het verloop van s geldt:

(3.39)

=

A1e1 + A~2s + u

— (3.40)

met:

A~2

=

LA12 + A22

en

A~1

=

LA11 + A21

—

A~2L

Voor

u

wordt nu gekozen:

U Ud —

(A1e1 + A~2s +

u~) (3.41)

met u8 als nieuwe ingang waarmee het verloop van s mee bepaald kan worden. Hiervoor wordt gekozen:

= jt(s

+

t~sign(s)) (3.42)

Voor ud geldt

Ud = (~1d CXId fx2d

+

CX3d

+

fx4d)/g (3.43) Met de parameterwaarden: /~t = 3 en = 2 en de terugkoppelmatrix

L=[0

0 14.1421]

geeft dit redelijke resultaten voor de iiitgang (zie figuur E.9 en E.10 in bijiage E). De ingang vertoont echter een kiapperend gedrag. Orn dit te verhelpen wordt nu de saturation-functie gebruikt i.p.v. de sign-functie. Voor de saturation-functie geldt (zie figuur (3.1):

—1a1s~<—1

sat

( —)

= als — 1 < < 1 (344)

—1a1s~>1

Op deze wijze wordt een grenslaag rond het schakelviak ingevoerd. De regeling zorgt ervoor dat de volgfout in een eindige tijd in de grenslaag komt, waarna, mits q5 goed gekozen de volgfout in de grenslaag blijft. Buiten de grensiaag geldt:

—~t(s + ~sign(s)) Binnen de grenslaag geldt:

1’

ç~N~ = ~

+

s

HOOFDSTUK 3

SCHAKELVLAKMETHODE

27

Figuur 3.1: saturation-functie

3.3.1

Simulaties

Bij het uitvoeren van de simulaties zijn de volgencle regelparameters gekozen:

L=[0

0

14.41211

Dc terugkoppelmatrix

L

is bepaaM volgens het kwadratisch criterium (2.42) met de weeg matrices

000

Q=

0 0 0 enR=0.001 001

simulatie 1: De gewenste uitgang is een stap:

De bepaling van udis gemakkelijk als xd bekend is. Met zd =

[

0.04 0 0.1 0

]

en ~4d = 0

volgt: Ud =

0.6

Voor q~ is 0.01 gekozen.

Resultaten: zie figuur E.11 in bijiage E

Binnen 1 sec. wordt de gewenste uitgang bereikt. De fout gaat naar nul voor t —i

oo. Dc

maximale ingang is 3.95 N.

Simulatie 2: De gewenste uitgang is ecu sinus:

Om ud te bepalen moet eerst xd bepaald worden. Dit is uitgevoerd in bijiage E. Voor ~ is

0.0025 gekozen.

Resultaten: zie figuur E.12 in bijiage E

Na 0.5 sec. wordt de gewenste uitgang goed gevolgd. s bereikt het schakelviak na 0.2 s en blijft dan oscilleren met een amplitude van 2.6 . i0~. De maximale ingang bedraagt 7.92

N. Voor t —p

co geldt:

Iei~

< 1.09~ 106m

De resultaten zijn vergelijkbaar met die van (3.2.1). Een nadeel van deze werkwijze is dat ook de gewenste positie van massa 1 bekend moet zijn om Xd te kunnen bepalen. Hiervoor waren geen eisen gesteld en deze moest dus bepaald worden uit de bewegingsvergelijkingen.

HOOFDSTUK 3

SCHAKELVLAKMETHODE

28

3.4

Toepassing op mvd-systeem met niet-lineaire veer

Ret doel hiervan is te bekijken of met deze aanpak geschikt is voor niet-lineaire systemen. Hetzelfde massa-veer-demper systeem wordt bekeken maar nu met niet—lineaire veer 1. Liever had ik veer 2 niet-lineair gekozen, maar dit was analytisch niet te doen.

De positie van massa 1 moet geregeld worden. Dc niet-lineaire veer 1 gedraagt zich volgens de constitutieve vergelijking: =

k1q~

(3.45) De bewegingsvergelijkingen zijn:

m1~1

=

—k1q~ + k2(q~

—

qi) + b2(~2

— (3.46)

m2~2

=

k1q1

—

k2q2 + b2~1 + b2~2 + u

(3.47)

q~

Met als toestand x = = q1 zijn deze te schrijven als:

-

q2

q2

P1

= x1—x2=0

P2

=

±2+ax~—bx3+cx2—cx4+bxiO

P3

= X3 — = 0 (3.48)

P4

= ±4_ex1+ex3—fx2+fx4—g110

P5

= y—x3=0 met: — ~—

b

— -~-

c

—

a

— m1 — m1 — m

e=~- f=-~-.g=-~

_{m2 m2 m2}

Met behuip van het algoritme kunnen de toestandsvergelijkingen omgeschreven worden tot:

p1

=

u(4)+(f+c+~):(3)+(ce_bf_~)~+ (bf_ce+~)x2+

3afx1x2—

cg_—j-

‘u—gu=O

P2

y3 +

f~

+ e~ + bfxi + (cf

—

e)x2

—

cfx3

—

bfx~i + afx~

— = 0

P3

= — ex1 +

ex,1

—

fx2 + fX3

— = 0 (3.49)

P4

= ~—x3=0

P5

= y—x4=0

Ret is bij dit systeem niet mogelijk een externe differentiaal vergelijking op te schrijven. Dit is echter niet noodzakelijk voor het toepassen van de schakelvlakregeling. Voor de differentiaalvergelijking voor de ingang volgt:

/33U

+

/?2U

+

/31U _I~t(s +

c~sign(s))

— —

a3x3

— (3.50) —

a5x1

a6x1x2 +

Y5d

+

m2y4d

+ m~y~ + moy~

HOOFDSTUK 3

SOHAKELVLAKMETI-IODE

29 met:

a1

=

f(—bm2 + fb + bc + ef +

ce — em2) —

be

— e2 + em1

a2=f(—b—2e+f+2cf—fm2+ml—cm2+c)+m2e—ce

a3

=

f(bm2

—

bf

—

be

—

ef

—

ec + em2) + be + e2

—

em1

a4=f(cm2—2cf—c2+2e+b—f2+fm2---ml)+ce—em2+mo

a5

=

f(—am2 + af + ac)

—

ae

a6 = —3af = f2g —

ef + cfg

—

fm2g +

m1g /32 =

m2

— fg /33 = g

Voor gedetailleerde afleiding, zie bijiage B.

3.4.1

Simulaties

Voor de niet-lineaire veer is als veerconstante gekozen:

k1

= 1500N/m3 De overige sys

teemparameters zijn onveranderd. Dc regelparameters zijn hetzelfde gekozen als in het lineaire geval:

= 10

m0

= 6000

= 1100

m2=60

Er wordt 2 sec. gesimuleerd met stapgrootte

dt

= 0.OOls

simulatie

1: de gewenste uitgang

is een stap

Resultaat: zie figuur E.13 in bijlage E

Na 1 sec. wordt de gewenste waarde

bereikt.

s bereikt het schakelviak op t = 0.48s. s gaat

dan kiapperen tussen -0.025 en 0.025. Dc fout gaat naar 11111 voor * 00. tLmax~ = 1.49N

simulatie 2: de gewenste uitgang is een sinus Resultaat: zie figuur E.14 in bijiage E

Na 0.7 sec. wordt de gewenste uitgang goed gevolgd. s bereikt het schakelviak op t =

0.29s

en gaat dan kiapperen tussen -0.02 en 0.02. Dc maximale ingang bedraagt 8.3 N. Voor de fout voor t —÷

~c

geldt:

e1~

< 1.5 10—4

3.5

Een single-link robot met flexibele as

In deze paragraaf wordt het algoritme toegepast op het model van een single-link robot met fiexibele as. Vervolgens wordt volgens de sch akelviakmethode een regelwet ontworpen, zoals ook is uitgevoerd in [3].

HOOFDSTUK 3 SCHAKELVLAKMETHODE

Figuur 3.2: single-link robot met flexibele as

30

3.5.1

Het model voor een single-link robot met flexibele as

De arm heeft lengte 2L en een massa m. q is de hoekverdraaiing van de arm en q~ is de hoekverdraaiing van de motor-as (zie figuur 3.2). D is de traagheid van de arm en Dm is de traagheid van de motor. De stijfheid van de motor-as wordt gegeven door K3. Dc visceuse demping van de motor en de arm zijn gegegeven door respectievelijk Bm en B. De gravitatie-versnelling is g. Dc bewegingsvergelijkingen die het dynamisch gedrag van dit systeem beschrijven zijn afgeleid m.b.v. Lagrange. Opgemerkt wordt dat het model dat gegegeven staat in [3] een tekenfout bevat. her is met het goede model gewerkt. Dit heeft als gevoig dat de simulatieresultaten niet meer te vergelijken zijn.

Als toestand wordt gekozen: ~ =

met: Dm~m+Bm~m_Ks(q_qm)=r D~ + B~ + K3(q — q~) — rngLsin(q) = 0 x1 x4 (3.51)

Electric Motor Motor

= q7~

=

K3(q

— q~)

X4 ~~m)

waarbij p2 =

De toestandsvergelijkingen zijn dan:

—a5x2 + a1x3 + a1u

(3.52) (3.53) (3.54) [a2a3sin(p2x3 + x1) — a4x3 — a7x2 — a6px4 — aiu]/p (3.55)

HOOFDSTUK 3

SCHAKELVLAKMETHODE

31 met: — 1 _Bm

al—n—

as—b—

_i _B

a2—b

a6—b

a3=mgL

a7=a6—a5

a4

=

a1 + a2

Na toepassing van het algoritme volgt voor de toestanclsvergelijkingen:

(4~ (3~

a1a2a3

2

a1a4

a1a7

a1a6

a~

F1

= ‘+

a5y”

‘~ 2 sin(p x2 + x4) + —~—x2 + —~--x3 — —xi

+ —i-u

—

a1u

= 0

p p p p p

F2

=

p

F3

=

Y + a5x3

— a1x2 —

a1u

= 0 (3.56)

P4

=

y—x3=0

F5

=

yX40

Uit

F2

en

F5

is x op te lossen:

P

1 (3) •. = —

+ a~y

— aiuJ

(3.57)

=

(~

+ a5~

am)

(3.58) = (3.59) X4 = y (3.60)

Substitutie van x in

F1

levert de externe differentiaal representatie:

/3~ a4 .. 1

‘+ (a~ +

a6)y~

‘+

I

—~

+ a5a6

y +

—~(aiar +

a4as)y+

I

P

a1a2a3 p2

— _p2 sin y+—(asy—aiu+y)_a1 — (3.61) a1

— ai)u — a1a6u —

a1u

= 0

3.5.2

Toepassing van de schakelvlakmethode als regeiwet

yL(t) is de gewenste trajectorie van de arm.

lit de bewegingsvergelijkingen is dan de

gewenste trajectorie yd(t) van de motor—as te berekenen.

D~L

+ B~

— rngLsinyL

+

K8(y~ — yd) =

0

~ =

p2(D~ + B~

—mgLsm(yL))

+

YL (3.62)

Opgemerkt dient te worden dat voor het herekenen van de gewenste waarde van de hoek verdraaiing van de motoras, de parameters van het model exact bekend moeten zijn. Hoe kleiner de stijfheid van de motoras is, hoe sterker de eventuele parameteronzekerheden in

HOOFDSTUK 3

SCHAKELVLAKMETHODE

32 Toepassing van de schakelvlakmethode levert cle volgende differentiaalvergelijking voor de ingang:

u

+

/92u

+

/91u

=

+

~sign(s))

+

a1x2 ± a2x3 + a3x4

+

a4sin(xi

+

p2x3) -~ ±(m2ydd

+

mly3d

+

moy2d

+

y5d) (3.63)

met: a2 = — rn~ — a~

+

a5m2 a =~+~_!~a_{p p p} a4 = p = a~ — a5m2

+

m1 — /92 = m2 — a5

De coëfflciënten {mo,m1, m2} moeten zo gekozen worden, dat het volgende polynoom in de complexe variabele z een Hurwitz polynoom is.

z3

+

rn2z2

+

rn1z

+ rn0

(3.64) Uit de vergelijking volgt dat de ingang een continu signaal is met een continue afgeleide en een discontinue tweede afgeleide.

3.5.3

Simulaties

Er zijn simulaties uitgevoerd met als parameters:

a1 = 3.333

(m2Kg)~’

a2

= 1.0

(m2Kg)~’

a3=5.ONm a4 = 4.333

(m2Kg)~’

a5 = 0.333 s~ a6 = 0.1 s—~ a7 = —0.233 s—~

K3

= 100

Nm/rad

Als regelparameters zijn bij beide siinulaties gekozen: ~i=1.0 ~=5.0

rn0=210 rn1=107 p22=18

De gekozen waarden voor de coëfficiënten corresponderen met polen die liggen op -5, -6 en -7. De differentiaalvergelijkingen worden opgelost met vierde orde Runge-Kutta schema. Er worden 40000 stappen genomen met stapgrootte 0.0002 s.

HOOFDSTUK 3

SCHAKELVLAKMETHODE

33 Simulatie 1: De gewenste uitgang is een stap

Als beginvoorwaarde wordt genomen:

0 0

o]

(3.65)

Als gewenste uitgang van de arm wordt genomen: YL = 2.5. Dit levert voor de gewenste

uitgang van de motor-as:

Yid =

p2(D~L + B~L

— mgLsinyL) + YL (3.66)

= —p2rngLSinYL

+

YL

Y2d = Y3d = Y4d = Y5d = 0 (3.67)

Resultaat: zie figuur E.15 in bijiage E

Na 6 sec. bereikt de motoras de gewenste waarde. Dc motoras blijft oscilleren met een amplitude van 0.0001 rad. De arm oscilleert dan met een amplitude van 0.027 rad om zijn gewenste waarde van 2.5 rad. Deze bewegingen dempen langzaam uit. Het schakelviak werd bereikt na

T

= 2.65s. s kiappert dan tussen -0.002 en 0.002. De ingang vertoont

geen discontinulteiten.

simulatie 2: de gewenste uitgang is een sinus Als beginvoorwaarde wordt genomen:

x=[0 0 0

oj

(3.68)

Als gewenste uitgang van de arm wordt genomen: YL = sin(wt) = ~cos(wt) YL ~2sin(wt) = —w3 cos(wt) = ~ sin(wt) w5cos(wt)

Hiermee kan de gewenste hoekverdraaiing van de motoras berekend worden:

p2(D~

+

B~ — mgLsinyL)

+

IlL (3.69)

~2(j~)

+ B~L

—

mgL~L

C05YL)

+

IlL (3.70) p2(D~4)

+ By~

— mgL{~jL cosIlL — sinyL}

+

~L (3.71) p2(Dy~)

+ By~

— mgL{(y~ — (~L)3)cosIlL — 3YLYLsinyL})

+ y~

(3.72) p2(DY~)

+ By~

— mgL{(y~ — 3L — 3(~L)2~L) cosyL —

(3) 2 ‘1 (4)

HOOFDSTUK 3

SCHAKELVLAKMETHODE

34 Resultaat: zie figuur E.16 in bijiage E

Na 4 sec. wordt de gewenste uitgang goed gevolgd. Voor t —* oo geldt voor de maxi

male fout van de motoras: em~ < 0.0015 rad en voor de maximale fout van de arm: eu < 0.032

rad.

Ret schakelviak wordt bereikt na

T

= 3.98s. De ingang vertoont we

derom geen discontinulteiten.

Om bij dit systeem een idee te krijgen welke problemen er te verwachten zijn bij de aanwe zigheid van parameteronzekerheden worden er nog twee simulaties uitgevoerd waarbij een verkeerde schatting voor de massa gebruikt wordt. Voor de parameter a3 werd de schatting

a3

= 5.1 gebruikt i.p.v. de werkelijke waarde a3 = 5.0, een fout van 2 %.

Ret eerste probleem dat nu ontstaat, is de berekening van de gewenste waarde van de hoekverdraaiing van de motoras. Bij deze berekening wordt ccii fout gemaakt vanwege de fout in de schatting van de massa.

simulatie 3: de gewenste uitgang is een stap

De overige parameters zijn hetzelfde gekozen. Dc berekende gewenste waarde van hock verdraaiing van de motoras bedraagt flu Ydl = 2.4695 rad. Bij simulatie 1 was voor deze

waarde berekend: Ydi = 2.4701 rad. Dit zal dus een statische afwijking van -0.0006 rad

veroorzaken.

Resultaat: zie figuur E.17 in bijiage E

Ret blijkt dat nu het schakelviak niet bereikt wordt, s gaat naar ccii waarde van

-17.

Dit levert ook een statische afwijkung. e2, e3, en e4 worden wel nul. Er ontstaat dus ccii statische afwijkung van:

= = = —0.081 rad

m0 210 simulatie 4: de gewenste uitgang is ccii sinus

Dc overige parameters zijn hetzelfde gekozen. Bij het berekenen van de waarden van

Ydl,. . . ,Yd5 worden weer fouten gemaakt t.g.v. de foute schattung van a3.

Resultaat: zie figuur E.18 in bijlagc E

Ret schakelviak wordt nu wel bercikt, maar s slungcrt nu rond nul. Dit heeft als gevoig dat de gewenste trajectorie slechter gcvolgd wordt.

Hoofdstuk 4

Conclusies en Aanbevelingen

4.1

Conclusies

o Ret algoritme van Van der Schaft werkt goed voor systemen van lage orde. Voor ho gere orde systemen wordt handmatige toepassing te ingewikkeld. Bij niet-lineariteiten kunnen zeer omvangrij ke vergelij kin gen ontst aan.

o Het gebruik van het algoritme bij toepassing van de schakelvlakmethode heeft als groot voordeel dat het kiapperend gedrag van de ingang niet meer voorkomt. Er hoeft dus geen saturation-functie te worden toegepast. Op deze wijze wordt een glad verlopende ingang verkregen in vergelijking met de optimale regelaar en de conventionele schakelvlakmethode ni et saturation-functie.

4.2

Aanbevelingen

• Verder onderzoek naar de toepassing van deze methode bij aanwezigheid van para meteronzekerheden

• Gebruik maken van MAPLE om zo hogere orde en niet-lineaire systemen aan te kunnen pakken

B ibliografie

[1] B. de Jager, I. Lammerts en F. Veldpaus, Course on advanced control, pp. 115-120, 1991. [2] H. Nijmeijer en A.J. van der Schaft,

Nonlinear dynamical control systems, pp. 125-135, 1990. [3] H. sira—Ramirez, S. Ahmad en M.Zribi,

Dynamical feedback control of roboti manipulators with joint flexibility, IEEE trans. on syst. man and cyb. 22

(4),

pp. 736-747 (1992).

Bijiage A

Toepassing op een

massa=veer=demper=systeem met qi

als uit gang

De positie van massa 1 moet geregeld worden. De vergelijldngen zijn dan: F1 =

P2 = ~2+axi—bx3+cx2—cx4=O

F3 = x3—x40 (A.1)

F5 = th4—ex1+ex3—fx2+fx4—guO

F5 = y—xi=O

A.1

Toepassing van het algoritme

A.1.1

stap

1

= rang = rang

[

—1 0 0

o]

= 1 (A.2)

~jX3 j~~4

= 0

p1 = — = 1 ~ In deze sta~p kan uit ~n vergelijking i~ geëlimineerd worden. De

vergelijkingen F1, . . . ,F5 moeten ZO herordend worden dat geldt:

8i~

i=1,2,3

rang ~ j = 1,...,4 4 (A.3)

La~~

~5

j=1,...,4

De vergelijkingen P1 en F4 moeten verwisseld worden. Ter wille van de systematiek moet ook de variabelen x1 en x4 verwisseld worden. Dc toestand is dan te schrijven als:

P1 = — ex4 + ex3 — fx2 + fxi — gu = 0

BIJLAGE A.

MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM MET qi ALS UITGANG

38

P2

=

h2+ax4—bx3+cx2—cxi=O

P3

~3—x1=O

(A.4)

P4

= x4—z2=O

P5

=

y—x4=O

Vervolgens wordt de uitgangsvergelijking gedifferenti~erd:

F5=y—x4=O

(A.5)

F5

wordt gesubstitueerd voor

P4

en x2 wordt gesubstitueerd voor

P1

= —

ex~ +

ex2 —

fx3 + fxi

—

gu

= 0

F2

= ±2+ax4—bx3+cx2—cx1=0

P3

= i~3—x1=0 (A.6)

P4

P5

= y—x4=0

Er is nu één vergelijking minder die een term ~ bevat.

A.1.2

stap

2

OP1

0 —1 0 0

—

rang

~ = = rang ~ ~ ~ = 2 (A.7)

j=1,...,4

P2 = ~2 — S1 1 ~‘ In deze stap kan uit

één vergelijking

X ge~1imineerd worden. De

vergelijkingen

F1,.

. . ,P5 moeten zo herordend worden dat geldt:

~

1=1,2

rang

r~i

j=1,...,4

=n=4

(A.8)

L9x~i i4,5

j=1,...,4

P2

en

P3

en dus 00k x2 en x3 moeten verwisseld worden.

P1

=

i~1_ex4+ex2—fx3+fx1—gu0

P2

= x2—x1=0

P3

= X3

+ ax4

—

bx2 + cx3

— cx1 = 0 (A.9)

P4

= y—x3=0

P5

= y—x4=0

De nieuwe uitgangsvergelijking

P4

wordt gedifferentiëerd:

BIJLAGE A.

MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM MET qi ALS UITGANG

39

F4

wordt gesubstitueerd voor

P3

en met

=

—ax4 + bx2

—

cx3 + cx1

= 0 volgt:

P1

= ~1—ex4+ex2—fx3+fxi—gu0

P2

= ±2—x1=0

P3

~+ax4—bx2+cx3—cxi=0

(A.11)

P4

~—x3=0

P5

= y—x4=0 = —P2 =

2

A.1.3

stap

3

—c

—b

c

a

.53 =

rang

. —

~

=

rang

0 0 —1 0 = 3 (A.12)

~

Z—~~cj

0

0

0—1

p3

= .53 — ~ =

1

=~ In deze stap kan uit één vergelijking ~h geëlimineerd worden. De

vergelijkingen

P1,.

. . ,

P5

moeten zo herordend worden dat geldt:

~L1

a~~i i

=

1

rang

~

j

= 1,...,4 =n=4 (A.13)

[~J

i=3,4,5

j=i,...,4

Hier is aan voldaan. De nieuwe uitgangsvergelijking

P3

wordt gedifferentiëerd:

P3

=

+ a±4

—

b~2 +

CX3 —

cx1

=

0

(A.14)

P3

moet m.b.v.

F4

en

F5

zodanig gemodificeerd worden dat x3 en x4 geëlirnineerd worden.

S3

P3+cP4+aF5

y~ + c~ + a~

—

bth2

— =

0

(A.15)

Er geldt: ~ = 0,

j

= 3,4. Ook geldt:

8~b~j i

=

1

rang

1

~

=

1,2

=

rang

[

~

=

2

= ri3 (A.16) axjJ ~

3

BIJLAGE A. MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM MET qi ALS UITGANG 40 met ~2 = x1 en = ax4 — ex2 + fx3 — fx1 + gu is 33 te schrijven als:

= y(~ + c~ + a~ + (cf— b)xi + cex2 — cfx3 — cex4 — cgu =

0

(A.17)

33 wordt voor P2 gesubstitueerd. Voor de toestandvergelijkingen volgt dan: Pi = — ex4 + ex2 — fx3 + fx1 — gu = 0 P2 = ~ P3 = ~+ax4—bx2+cx3—cxi=0 (A.18) P4 = P5 = y—x4=0 n4 = fl3 — = 1

A.1.4

stap

4 cf — b ce —cf —cc —c —b c a

s4=rang ~

i=2,...,5

=rang 0 0 —1 0 =~ (A.19)

j=1,...,4 0 0 0 —1

p3 = 34 —83 = 1 =~ In deze stap kan uit één vergelijking th geëlirnineerd worden. Dc nieuwe

uitgangsvergelij king P2 wordt gedifferentiëerd:

P2 = + cy~ + a~ + (cf — b)~h1 + ceth2 — cfth3 — ce~4 — cgz~ = 0 (A.20)

P2 moet m.b.v. F3, P4 en P5 zodanig gemodificeerd worden dat x2, x3 en x4 geëlimineerd worden.

cc lace

32 =

P2+-~-P3+~-~-—ce)Ps

= + (c + f)y(3) + a~ + (af — ce)~ — bth1 — cg~ = 0 (A.21)

met th1 = ex4 — ex2 + fx3 — fx1 + gu is 32 te schrijven als:

82 = ~(4) ~ (c+ f)y(3) + a~ + (af—ce)~ + bfxi + bex2—bfx3— bex4—bgu —cg~t =

0

(A.22)

S2

wordt

nu

gesubstitueerd voor P1 zodat voor toestandsvergelijkingen volgt:

P1 = ~(4) + (c + f)y(3) + a~ + (af — ce)~ + bfxi + bex2 — bfx3 — bex4 — bgu —

cg~t

= 0

P2 = y(3)±c~+a~+(cf_b)x1+cex2_cfx3_cex4_cgu0

P3 = ~ + ax4 — bx2 + cx3 — cx1 = 0 (A.23)

P4 = ~—x3=0

BIJLAGE A.

MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM MET qi ALS UITGANG

41

Uit F2,

. . ,

F5

kan

~ç

opgelost worden.

=

+ (c +

f)~

+ a~ +

(af —

ce)y

cgu}

(A.24)

= ~

(A.25)

= (A.26)

=

y

(A.27)

Substitutie van x1,. . .,x4 in

Fj

levert de externe differentiaal representatie:

+

(c + f)y(3) + (a +

e)~ + (af —

bf)~ + (ae

—

be)y

—

bgu

—

cg~

= 0 (A.28)

of anders geschreven:

=

a1y~~~ + a2y + a3y + ~ +

~1U

+

~2U (A.29)

met:

ai=—(c+f)

/31=bg

a2=—(a+e)

/32=cg

=

-(af-bf)

= —(ae —

be)

A.2

Toepassing van een optimale regeiwet

Er wordt een nieuwe toestand gedefi.nièerd:

y1

U

Y2 = (A.30)

- y3

U

Hiermee is (A.29) te schrijven als:

~=

Ay+B[/3iu+/~t]

(A.31)

0100 0010

met: 0 0 0 1

~Y4 ~Y3

a2

a1

Als fout wordt gedefiniëerd:

e :=

y

— (A.32)

met de gewenste uitgang. Voor de afgeleide van de vierde component van de fout geldt:

BIJLAGE A.

MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM MET qi ALS UITGANG

42 met v =

131u + ,62u

Voor ii wordt gesteld:

v=

~

(A.34)

met -y als nieuwe ingang. Voor het foutensysteem volgt dan:

è =

A~ + By

(A.35)

0100 0

0010 0

met:A= 0 0 0 1 enB= 0

0000 1

Voor -y wordt gesteld:

-y =

—L~

(A.36)

Dit leidt tot de volgende vergelijking voor de ingang:

Bijiage B

Toepassing op mvd=systeem met

niet-lineaire veer 1

De positie van massa 1 moet geregeld worden. De niet-lineaire veer 1 gedraagt zich volgens de constitutieve vergelijking:

F~

=

k1q~

(B.1) De bewegingsvergelijkingen zijn:

mi~1

=

_kiq~+k2(q2—qi)+b2(~2—~i)

(B.2)

m2~2

=

k2q1

—

k2q2

+

b2~1

—

b2~2 +

zt (B.3) qi

Met als toestand x = = ~ zijn deze te schrijven als:

- x3 q2

P1

=

P2

=

±2+ax~—bx3+cx2—cx4+bxiO

P3

= = 0 (B.4)

P4

=

th4_ex1+ex3—fx2+fx4—gu=0

P5

= y—x3=0 met:

a=~-

_m1~~_{7fl1~ ~} e=-~-- F=-~- n=—~— ~2~’ m2

B.1

Toepassing van het algoritme

Stap 1 en 2 zijn gelijk aan de die van de lineaire versie. Na toepassing daarvan zien de toestandsvergelijkingen er als volgt uit:

P1

=

BIJLAGE B. MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM

MET NIET-LINEARE

VEER 1

44 = x2

+ ax~

—

bx4 + cx2

—

cx3 + bx1

= 0

P3

= —

ex1 +

ex4 —

fx2 + fx3

—

gu

= 0 (B.5)

P4

=

P5

=

y—x4=0

n3

= 2 82 = 2

B.1.1

stap 3

ap~

83 =

rang

~ = 345 =

3

(B.6)

j=1,...,4 = 83 — 82 = 1

Er kan uit één vergelijking th ge~1imineerd worcien. Er moet gelden dat: 1~L [~th~ i3,4,5 rang ~

j=1,...,4

=n=4 (B.7) L8x

i3,4,5

P3

wordt gedifferentiëerd:

F3

= —

e~1 + e±4

—

f±2

—

f~

—

g~

= 0 (B.8)

F3

moet m.b.v.

F4

en

F5

zodanig gemodificeerd worden dat x3 en x4 geëlimineerd worden: 33 =

F3+fF4+eFs

= ~ (B.9)

Er geldt: = 0,

j

= 3,4 Ook geldt:

3.~j i=1

j=1,2

=

rang

[

~

=

n3

= 2 (B.10)

j

=

1,2

met x1 ~2 en x2 ax1 +

bx~

—

cx2 + cx3

—

bx1

is S~ te schrijven als:

BIJLAGE B. MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM MET NIET-LINEARE

VEER

1

45 S3 wordt voor

P2

gesubstitueerd. De toestandsvergelijkingen worden dan:

P1

= x1—x2=O

P2

=

~

P3

= ~—ex1+ex4---fx2+fx3—gu=O (B.12)

P4

= y—x3=O

PS

= y—x4=O fl4 = 713 — = 1

B.1.2

stap

4

bf+3afx~

cf—e

—cf

—bf

8P~

—e

—f

f

e

s4=rang

~ i=2,...,5 =rarig —~

=4

(B.13)

j=1,...,4 0 0 0 —1

mits (bAf)Ve~0

= S4 — = 1

In deze stap kan uit één vergelijking th geëlimineerd worden.

P2

wordt gedifferentiëerd:

P2

=

+ fy(3) +

e~ +

bf±1 + (cf

—

e)th2

—

cf~

—

bf±4

+ 3afx~thi — gil = 0 (B.14)

P2

moet m.b.v.

F3, P4

en

P5

zodanig gemodificeerd worden dat th2, x3 en x4 geëlimineerd worden.

P3

= y(3)_e~1±e~4_f~2+f±3_gil 0 (B.15)

P4

= yx30 (B.16)

P5

= (B.17) 52 =

P2+3—cfP4—bfPs=

~(4) +

(f

+ c +

~(3) + (cc

—

bf

— ~

+

3afx~thi —

(ce_ç_bf)~l_(c~_~J)il_~ilo

(B.18)

82 wordt gesubstitueerd voor

P1.

Met th~ = x2 volgt voor de toestandsvergelijkingen:

P1

= +

(f

+ c + y3 + (cc —

bf

—

~ + (bf

—

cc +

x2 +

3afx~x2 — (c~ — —

gi~

= 0

P2

= y3

+

f~

+ e~ + bfxi + (cf

—

e)x2

—

cfx3

—

bfx4 + afx~

— gz~ = 0

P3

=

ji_exi+ex4—fx2+fx3—guO

(B.19)

P4

=

y—x3=0

BIJLAGE B. MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM MET NIET-LINEARE VEER 1

46

Ret is bij dit systeem niet mogelijk een externe differentiaal vergelijking op te schrijven. Dit is echter niet noodzakelijk voor het toepassen van de schakelvlakregeling.

B.2

Toepassing van de schakelvlakmethode als re

geiwet

Er wordt een nieuwe toestand gedefiniëerd:

=

[~]

=

[]

(B.20)

De elementen van y zijn uit te drukken in de orginele toestanci: y =

= (B.21)

= ex1 — ex3+fx2 — fx4+gn

~(3) = —(bf+ef)xi

+(—f2

—cf+e)x2+(f2 — e+cg)x4+

(ef

+

bf)x3 — afx~ — fgu

+

gü

De volgfout is gedefiniëerd als

~

=

[

e1 e2 e3 e4

]

met:

e1 = y—Yd

e2 = (B.22)

e3 =

e4 = ~(3) — YL~L3~

Er wordt een hulpuitgangsvergelijking gedefiniéerd:

s = e4

+ m2e3 + m1e2 +

m0e1 (B.23)

= _(bf+ef_m2e)xl+(m2f_f2_cf+e)x2+(f2_e+cf—fm2+ml)X4+

(ef +

bf

— em2 + mo)x3 — afx~ — (fg — in2g)n + g~ — m2yd — m1~ — moyd

Deze wordt gedifferentiëerd en met (B.4) volgt:

s = g~_(fg_m2g)~+(f2g_eg+cfg_fm2g+m1g)u+

(—bfm2 + bf~

+ bcf — be + ef2 — e2 +

cef

— efm2

+ emi)xj +

(_bf_ef+m2e+f3_ef+cf2_f2m2+mlf_cm2f+Cf2+C2f_Ce)X2

(bfm2

—

bf2

—

bcf + be

— ef2 + e~ —

ecf + efm2

— emi)x3

(cm2f

—

cf2

—

c2f + cc + ef + bf

— em2 + m0 — f3 + ef —

cf2 + f2m2

—

fmi)x4 +

(—am2f + af~ + acf

— ae)x~ — 3afx~x2 — y~ — m2y~) — mlyd — moyd

BIJLAGE B. MASSA-VEER-DEMPER-SYSTEEM MET NIET-LINEARE VEER 1

47

Voor het verloop van s wordt gesteld:

= —j~(s + ~sign(s)) (B.25)

Voor de ingang volgt dan:

/33U

+

/32u

+

/31u = —~~t(s

+ ~sign(s))

— a1x1 — a2x2 — a3x3 — a4x4 (B.26) — a5x~ — a6x~x2

+

Y5d

+

m2y4d

+

miy3d

+

moy2d

met: =

f(—bm2 + fb + bc + ef + ce

—

em2)

—

be

— e2 + em1 a2=f(_b_2e+f2+2cf—fm2+ml—cm2+c2)+m2e—ce

a3

=

f(bm2

—

bf

—

bc

— ef —

ec + em2) + be + e2

—

em1

a4=f(cm2_2cf—c2+2e+b—f2+fm2—ml)+cee7fl2+mo

a5 =

f(—am2 + af + ac)

—

ae

a6 = —3af /3i = f2g —

eg + cfg

— fm2g

+ m1g

/32 =

m2

—

fg

/33 = g