Uitwerkingen Meetkunde MULO-B 1931 RK
Opgave 1
Wanneer de zijde van de regelmatige aangeduid wordt met z, hebben we de volgende lengtes van lijnstukken in handen: ED PQ en z 1 2
2
DQ AP PB z
De oppervlakte van driehoek AED is dan 1 1 ( 2) 1 2 (1 2) 2ED AD 2 z z z 2z
De oppervlakte van driehoek ABD is 1 1 ( 2) 1 2 1 2 2 (1 2) 2AD BP 2 z z 2z 4z De verhouding van de twee berekende oppervlakten is dan
1 2 2 2 1 2 2 4 . Opgave 2
Het gegeven dat AB en 5 AC12, impliceert (Pythagoras) dat BC13. Driehoek ABC heeft dus oppervlakte 30 en de halve omtrek s is gelijk aan 15. De straal van de ingeschreven cirkel heeft als lengte 30 2
15
Opp r
s
. De straal van de omgeschreven cirkel is MB = 6,5
Het raaklijnstuk BD heeft de lengte s – b = 15 – 12 = 3 waaruit volgt dat MD = 3,5 De stelling van Pythagoras in driehoek NDM geeft dan MN2223,5216, 25 en dus
1
65 4,03 2
MN
NB. voor de afstand van de middelpunten van de ingeschreven en de omgeschreven cirkel geldt de formule
2 2 2
d R rR.
Opgave 3
Omdat de raaklijnenvierhoek ook koordenvierhoek is, is de som van twee overstaande hoeken 180 .0 Dit betekent dat, bij gegeven hoeken A en D, ook de hoeken C en B gegeven zijn.
De constructie kan nu als volgt uitgevoerd worden.
1) Zet het lijnstuk AB uit en construeer de gegeven hoeken A en B. 2) Construeer van deze hoeken de bissectrices die elkaar snijden in M.
3) Laat vanuit M een loodlijn neer op AB (snijpunt R) en teken de cirkel (M,MR).
4) Neem op de drager van AD een punt S en construeer in dit punt een hoek gelijk aan hoek D. 5) Construeer vanuit M de loodlijn op het tweede been van hoek S en snijd deze met de cirkel. 6) Construeer in dit snijpunt T een loodlijn waarna de punten B en D gevonden zijn.
