Ontwerp van een vakgroepsproduct : wondertol

Ontwerp van een vakgroepsproduct : wondertol

Citation for published version (APA):

van Bommel, L. V. M. (1983). Ontwerp van een vakgroepsproduct : wondertol. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Vakgroep Produktietechnologie : WPB; Vol. WPB0040). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1983

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

..

antwerp van cen vakgrocpsproduct:

~~Q9~~~~~

Auteur: Lucas Vdn Bommel

Eindhoven, september 1983. WPB rapporl nr.0040.

In het kader van de I-1 opdracht van

Lucas van Bommel. In opdacht van:

'\'1ondertol

Ontwerp van een Vakgroepsproduct: de Wondtrtol

...

Inhoud

•

_Hst. Hst.

...

L ...

.

4.. ! 2.2 Hst. 3 3. 1 3.2 3.3 Hst. 4 Hst. 5 Hst. 6 Inleiding

Theoretische achtergrond van de wondertol Het gedrag van de wondertol

Afleiding van de constructieve voorwaarden Afleiding van de massatraagheidsmomenten Inleiding

Afleiding van de dynamische groolheden voor een ho11e tol

Afleiding van de dynamische groothedcn VOOI

een tol met een cylindrisch gat Bepaling van de theoretisch optimale geometrie Productiemethode Conclusies bIz. J "" .) 3 9 9 9 i3 16 18 21 Literatuur lijst

Lijst van gebruikte symbolen

Biilagen:

22 23

I. "De Wondertol," door Ir. J.A. Haringx uit "De Ingenieur." II. "Rotordynamica: Gyroscopische Effecten," door Prof. Ir.

W. L. Esmeijer.

III. Afieiding van de massatraagheidsmomenten van een

bolsegment.

IV. Plotprogramma voor een tal met een cylindrisch gat en voor

de Toupie Magique.

V. Grafieken voor de kritische hoeksnelhcden.

VI. Handleiding voor het maken van eon wondertol.

A

--HOGf:~::ti-.J.j: InleiJln":;

"'," _,.,.... ::'1 ~v ~ ,~,

;~.... ' ... J.\...4.'-.L '-"_!

-'-•

~;.!.. j:; 1~~2t verslCi.'; -;,,~Ln GC I 1 opdrac::t ~.7J.n ~.~1.r4~. ~vrW.n DO:lull::::' vcrricht

in cpdracht van Prof. A.C.H. v~rl IJ2~ Wolf. Ret Jocl ~an de 0p~~~ch~ lJ

h2~ o~twerpen 811 makCIl van ~cn v~kgroepsproductdat ~ls

relatiegescllenk k...i.r1 fun·.J::l:~~·~. T1.l e,~rsLe instd.ntic zijn de: V01(jelldc

id.:.c~n ~;\>Jeiiereel:d voer pr0Juct>'2il:

- KUDstzinnig voorwcrp met een diepere betckcni~, bijvQor1ecld e~ll

bezig~ bij.

- ~rc:3s-pdpicr

ECl~ ruimL~lij:~ ~C01werp

- Een Wondertol

Bcsloten is om de ~01~dErL.Ql ~e ill.l]:2D. E~3c:~~~~lc ~00rwaara2 ;c~r ~cL

G~twcrp vall dit product i3 uit~rddrd ddt d~ tel OGk lr1JclJ~dj wc~kt.

Al~ lcidraad VOQr hr~-L (lrlL~";;:-:·;'-i:' i: ..~ .ik (l(, P~''':~i:. ~.-=:.. :..i,:. . .-..:~

:2:. : -'-. ::.

A.Haxingx gcbruikt. Over dit onderwerp is veel gepublicecrd. !n d~

literatuurlijst staan t"iec andere: vubl.icaU.(:3 vc:.n -J,.~ [ii' ... : : : : - ] I [2].

Dit r'':i.iJpcrt beljin.Jc met e.:t:::u .iHdlys2 Vdn het lj(;Jrag VJ..H J!:: w0tJ.dertol.

Tcvens wordt de public~tie van Haring~( beschrevcI1 cn ~~n;2vuld.

7.:~~01~2Ds war~2n in hoofdstuk 3 de groctll~den a~g21c~J ~i~ r~cdi9 : i ~

vaar hct toepassen van de theorie: uit hoefdstuk 2. Hoofdstuk 1 g~~t n

op de weg die gevolgd is vaar het verkrijgen van cen optimaal ontwerp. Een handleiding veor het draaien van een wondcrtol staal in hoafdztuk 5 en in bijla(jc "lI~ :l_~~~ ::~~~,.:L:'(·ijill\; heeft b("2tr(~kki1l9 op het draJ.icn

met de Gildemeister NC draaibank die ~taat opgeslelJ in hcl

laboratorium vaor verspaningstechnologie .

... Graag wil ik de her enf.ilanJer::; bedanken V~j0l

T.W.J. O~L~l~f ~.H. dell h~.d~ :Jt2~eiJwillitj2 :... ;iJ . ~, - • • •< .- • • 0 ...'-4~.'i'...; ..J. ... ".. .," U •' -•,,'j•

:vonJertol

J?d1:. 2. 1

T112orcti3ch8 aC~ltcrJrond v~n de ~0~dcrlol

Ret gedrag van de wondertcl.

De wot:dert~jl i 7.:G,lls ,-1f{Jebe~lil LE filj. 1₁

wOLdt gekcnmerkt dOGr die: 'v0::';; ...

=:

~:.; '_,,:1:

- Ret zwaartepunt ligt zo~anig, ddt de

steel naar boven wijst in rust.

De tal voert een precessie uit mits zijn

hoeksnclheid voldoende groot i~. Stand

II in fig. 2 illustreert d~ze beweging.

- De openingshoek

e

van die precessie wordt

steed3 groter; de tol gaat zelfs op zijn stceltje draaien.

- Door zijn rotatiesn~lheidkan de tal

de Egging van zijn zwaartepunt t.O.V. een vdste basis verhagen togen de werking van de zwaartekracht in.

Figuur 1, Ceomctri~ van de wondertol IIb I

cL

•

I \ - ...--',

---

'"'-- '"'-- ' ... ""7'l... --'--~-I

Figuur 2. De standen van de wonderbol.

In het artikel van Haringx [1] worden voar drie 3tanden van de tol de voorwaarden afgeleid voor het verder daordraaien van de tal. Oat zijn

de standen III III en IV uit. fi'Juur 2.

par. 2.2 Afleidinq van de contructieve voorwaardcL

Vaar de betekenis van symbolen wordt verwezen naar de figuren 1 en 3.

Daarbij is getracht om zovcel mogelijk dezelfde symbolen te gebruikcn als in het artikel van Haringx.

-Wonderto1

Aannamen:

De tal voert ecn r2lju:,.A.irc· p.~·i··!_,~·~:;ic ~.LLI d.'.';.::. ~t..-: hoek en de hoeksnelheden en zijn constdnt ,]ellOmen voor elke stand.

Dc tal rol.t over het grondopp~r~1~::. ~13 ~l~ openingshoek

a

grater lS

dan nul voert de tal twee rotaties uit. Ten ecr~le roteert de tol om

Z1Jn lengteaG en teo twuede rotoert de tal am een vertica1e as door zijn zwaartepunt. Stand IIa van figuur 2 illustreerd deze beweging. - Er treed geen wrijving op. Hierdoor zet de kinetische energie zich

dlleen om in potentiele energie.

~Lt deze aanamen kunnen vervolgcn~

worden afgeleid, namelijk:

-'l •

urlC'

1. Behoud van cnergie

2. Euler beweging~vcrgLlijkingen

3. Vcrgelijkingen voor de hocksnelheden

Figuur 3d, Hoek-:3nelhedcn.

l---.:l

Behoud Vdl1 ellcrgie Vo=G(z -R+hl s Ad 1. T:::.1/2Iu/

T=1/2I(W+~COS812+I,~2sin28

Kinetische energie: Totaal: ~ E=T+V=1/2Iw'"

E=1/2Iw2=G(Z~-R+h)+1/2I(~+~COS8)2+I,~2sin28

(1) ~ Vaor de beginstand ( 8:::.0 ): T

:::'1/2I(~+~)2=1/2Iw2

o

Potentiele energie t.O.V.

de begins land ( 8~0 ): •

" . J ...

riU,

um a~ =._'-"ClS met t;~l~L L02JC::-lc:lhcid

tP.

v

Het x· I y'l z'-stelsel is vast met de

tvl v~~r1:H)~J.Jen.

X I Y ~fi: vormen hct zogena~illdc

v v. v

~02rL~l~as3enst~lsel.

nit

WOI~t ~iL

h,,:t -10.5tc ~.3';211:; t.cl::;~l ·ic..rj.~:~(:\;':1-.L .1.jo~

acht~reenVG:gen3 te ratcren over ~en

hock ~ om de z-as en over c~n lloek B

om de nieuwe x-as ( de x a s J.

v

!_L·VJ..- "

., ." .

V2r),::..i.-iJK':':·~.;

T.o.v. dit assenstelsel

'Voor j.2 <.."1.f1t..: J.':'l4:.j van deze

i11gCV~clj. : ~ figuur J. ::~~ ~erste ~S3eI13te13cl :~ h~~ a3S~~lstclscl Xi Y, z.

x

. ? - - - y

•

Fla· 3.Dchoordtrallogheidsassf.nX'. Y'.Z' bijeenwiUekeurige stand van,de! ('en rc~tllairc prc(·c.... ic uitvocrendc. tol. In "Ratordynamica: Gyroscopische effecten" [4] wordt afgeleid:

.;oJ,d ( ....,v) '( V \ DV ,'j - • U T W ) - dt:. v.':; _ met D v .. v _ ~0 •w ,""\ \ 4. j (wv )~ sleepll0eksnclheiJstensOl ~', s v

(~ )~ absolute hoeksnelheid t.G.V. Je voertui:gbasis.

- a v

M

~ moment dat op de tal wo~dt uilgeoefend L.0.V. de voertuigbasis.

De tal heeft een relati ve rO~it~e (~.) t.O.V. het

vC2rtuigassenstelsel. D L vocrtuigass~ns·telsel 11eeft eel1 s12cpro~~ti~

t.O.V. de vaste wereld ; ) ._{-p ,-} VOOI J2 lGL~tiesl1elheiJVdn J~ ~cl t.o.V. het vasle dssenstelsell W

U

gelJt:

-to -+ .~ a

w .=.cu +w

Vaar de sleepsnelheid en de absoluLe voertuigasscnstelsel gelJ~:~. .

J

.. ,--" .... llL S- 1+' .; -'- ; -~ wcos8 snel11~iJ L.a.v. 11ct 'i.Jondc.rtol 'jeldt: voor

d:,im'r,~:~z:::enJt

vector

.. l , ... _ _r'\ ~ • \

, ,.,.;\'ti'-W~dJ"... ;

";'~::<jllJr.:;r3t.eld wordt dat het roL,a.liepr~n=t..':: ::;~~l:"l;)L.dil·

~,-.~j\ .~. • • • •

:J.L\=::' i-V hlerm22 wc,rdt vt::l";Icll:;klL;~ (2):

'..Ai... ..i..3: ~If'1,,-.. ~ net moment om de IIic1:V0~)r g~lJ:;

zorgt vear het draaien van d~ tol

.. " r(.=- J'~'-c0s33.i.n8+J.vsin8(ycc.::8+li;) £ ..

••

_ _1"1_ _~ .' n .:).J"..dlJ " J'~~CGSe+J~(~c.:32i~; ,.,~ ~,j ., -' : " .-' -_ ...)~... ,.l....I..I.:J . r ., ' . , ~".o..';J '- _ . ._ ..._ ... ., _~, .' 'I. ., '_4...:.... '- ....J ..'-.a.

Ad 3. Verqeli jkirl)r211 '.j<J()2' de hoeksnbelheden.

Wonder tal

uit de geometric van de tol kan worden afgeleid dat vaer de drie reedc gcnoemd8 stalldell ;el;lt:

Stand

IV

Relatie Lussen de hoeksnelheden

9=-h~;R 4>=-h~/R ~=-(~ sin8+cos8)~ met ~=(H/2+S+h)/r (4a) (4b) (4c)

Door de basisvergelijkingen (1),(3) en (4) te combincrcn, kan men vaor

r~Ike stdnd de minimaal bellodi,;de hoeksnelheid (wk':t) berek,cnen,

zodanig dat 8 net constant blijft. A13 op een bcp1~Id moment de

hock3nelhcid grater is dan w

krit' dan zal de tal zodanig rotercn dat

e

groter wordt. [-J r..,.':"l L- j [-] [-]

[ ,- J

[-]

Er worden diverse verhouJingsgetallcn dimensieloos zijn. F-h/R ~=J/Gh n=J' /J )I,=(R-h)/r ~=(Hi2tS+h)/r v=r/h

ingevoerd, die bijna aIle ( 5 )

,r,

_{\ IJI} (

., ,

I J ( 8 ) ( 9 ) ( 10)

Hiermee geldt voor de kritische snelheden:

Geblc~d II:

0<=8<

8 o

8,volgt ult de geometric van de tol. Ret is die hoek waarbij het

~~eeltje en de bol beiden hct grondvlak raken.

') ') 8o=arcos(-R/I(H/2tS)'tr':")-arcLan(r/(H/2tS)) ( 11) UJ

=

krit !In.sin2s+(e-cos )2 2 ~(£~(n'1)cos8) +~(1-cOse)} ( 12)

Bovendien moet de noemer altijd positlef zijn:

Gebied III:

8=8₀; het steeltje en de bol rusteD op het grondvlak

7

w, ..., "'" n ,r ...-. _~,_L-. f'l + ( . __1"\ '\~, / ~ ..:..._,-"~:..,--==-=---,;:',-_!",,,"...:~"-"_...'--'";.'_--,',-",''_'-='~,-'"--'''':(.'-'_'_.-..1 n ~ ~~ ~)CO5

a )

(; ,,

"

~,,!_. \-_, .,_~ _.L _ , ,~;-'.:.... \.4. '__ ...' - '... __ ,... _ ,_: ~.3 .,.,..,. \_,-,_....i...:....i,~,_; ....'• • 8 <0

v "",,""u,\..i\'" :ie

., , .:. --'- -

-'J'-~

.!::::.JLf _ ' ' ' ' ' _ _ f't "

Inl~idin'1.

, ,

,-~,~ ~...",-,,;...'... :E~:;':"(·~LI,A~';:!,_,J.2~ .. cr~ (1:-::. li"j,;ill'-j Vdn 1:,,:::_ Z. ..;·:L",-'"i''>__l.::UL:_ ::..-::'.-._l..J '-''''J).~' D~:

:"'sr,::i-:f;niil] 'V",~ri (~CZ\: ,jrOVt.~12J-:ll 'Jc..~lL ·voltjens deze re9E1s:

Ilgging van I1et zwaartc~urlt wcr~t bcpa~:d ~0Cl ~cL ~~~~n~t~llcn

van diverse elementaire volume3 waaruit de tal opgebouwd kan worden. net samenstellen vJ.n de volumc3 ;;ebcurt rC(i'~t 2cn zaer't hcfbcomrcgel.

- Met be~ulp van de verschuifstelling van Steiner kunncn de totale

massatraagheidsmomenten berekcnd worden uit de

ma3satraagheidsmomenlen van de diverse volumes.

- Dc ~~~:t:lij1:c ~~:=~ kan vcrwaarlocsj worden (gelijl: G~n 1 gestcld

~0IJen) cmJ~t ;cr2k2ud w0rdt met verhoudingsgetallen en omdat een

hcmc;een

matcriaal wordt dangenomen.

Van de meeste elementaire volumes die toegepast wordenI ;:':'j" c:. '>'~<

lit.c:rat.uur [6]I [7]I [8] de inhoud, de massatraagheidsmOm2JlL211 en

11et zwaartepunt te vind2n. !hdien J~z~ Ili~L bckend Zijll, 3La~L d8 afleiding in bijlage III .

par. .,J . t -.., Afleidiuq v~n de JY1~amische groolh~d~n V0,Jr 2en

h011t~; Lol.

De dynamische groatheden worden voar eell holle tal aEgcleid om te

lo~ls~n of Jez2 dl_zelfd~ }'L5ultaL~rl gevell dIs de experimenteel

b2i!,;,1.a.lut:: (:i~:..ar~~is.-=he :jl:ootheden. In Jc l:"Lb:':'clJ.:..:.i,: 'v"..ili IL;.;..ring~{ '::;:_..i.c.ill

c:zpo:::rimcnLL:le wCiclldcrl. C -12 le~\jltaL«,1 ~.i.<, (:~~~-;.rI2C ·..7er}~l:e~'_:~l ;:;' jn

I'v-0~)r ~;;~ll ~>Jl .:11.<::. "T0UP 2 [~1a.!J.iqueIt ht3Ct. ~\13 c:r geen IJrote verschi llen

L.1JJ.-ij 1>:.Lc.i:2l'lt Jl.L G~..t, t~ aflei.din~~ ~v'~~1,10ctj,,~t~ 1j,~U~{;:CJ.l·.~.;; is ~'::rl dat er in de vcrwcrkin~ v~n dc af12idingen geeIl fouten zitLell.

De parameters cn de elenlel~t~lrc

volumes van de LG:lt:: :;:j::'

t>

s

-9-F.ig~..:ur 4 \10eft een iets vereenvoudiqde t.ekenil'li] va.n de ltToup1.(' CylinJer;

0

D x 0 " V 2=T1)4D':'a 3. Bol; stIaal R V 3=4/3rrR 3

4. Bolsegment; stIaal van de bol=R, hoogte va.n het segmenL--R--H

2 " met H=f(Q -D~/4)+a V 4=1/3rr(R-H)2(2RtH) 5. Bol; stIaal QI Q<R

.,

., -4''''1_{Y5- I ..n!}QJ

G. Bolsegment; stIaal van de bol=Q, hoagle van het scgment-Q-Ht~

2 V

6=1/3IT(Q-HtA) (2QtH-A)

( 16 )

Ligging van het zwaaItepunt t.O.V. het midden van de bol: h,

l 1 . 2.

.,

J • 4. h 1=Ht1/2S h 2,-=H-1/2S h 3'O

, _1.ill±..ID.

2 n4- 4 2R+H 5. r O. 1₁ -f'\ ! r;-'.) 3 h ::::-6 4 .., CQ+H .~~)." f"l.f"'o ._'!.r _." , \L.'J(, ;1... h i

Ligging van hc~ :waartcp~nt van de lotale b01:

Wondertol

Hierbij is h positief a.Is hd zwaartepllnt benedpt1 het midJdpunt van de tol ligt, zoals in figuur 6 is aangegeven.

Massatraagheidsmomenten om de Z-c1S: J. l •,.

"

l. • 3. 4. c J . 6. 4 4 J 2=n/2g0 a/16=n/32QD a 5 J.,=8/15nQR u ~ 4 " 3 c. J 4=ng[4/15R J -1/2R H+1/3R"-H -1/10II'-'] 5 Jc=8/15ngQ J 5 4 '") ... c: Jr~ng[4/15Q -1/2Q W+1/3Q(..W~-1/10W~J o

Aflciding ZlC bijlage III

( 1:] )

Afstand van het zwaartepunt tot de zwaartepunten van elk clemcnt~ire

volume: S.=h.+h t t l l 0 1 . S,=h 1+htot 2. S2=h₂+h tot 3. S3=h₃+h_tot 4. S4=h₄+h_tot c: S~=h~+ht t .•1 . :J J 0 G. ,. -I- .LI. --'6->lG' 'tot

MassatraagheidsmQment om de as door het zwaartepunt. evenwijdig aan de x-as: 1. ... l. • ... J . A ':t. 5. r 1) • J' .=I. l l /12 2 2 2 2 2 2 I₁=n gS{r (3r +S )-m (3m +S )} T . . , , ' " 02 (3D2.l.4 2, ~2~TI, IJL~ a l a ) I₃""J₃ ~ c 4 4 ... '" ... " I 4='/2J4+ng[2/15RJ+1/5HJ-1/2R h₄-1/2H h4+2/3R~h~+1/3H~h~+ +R2(H2h -1/3H3-Hh2)] Afleiding zie bijlage III

4 4

-11-~£l~idi_ng z.ic bjjl~ge III.

Total~ llidssdtraaqheidsffioment om de x-as:

.,

~~J/G.htot=Jtot!(Vtot·htot·9181.10~1 n=Itot/Jtot /-.=(R-h>.- t1/r L.O 1-I=(HtS+h+._{.... 0}t1/r v=r/h_tot (24) (25 ) (26)

t'." _ " , , n -'J ••v l , . _ . . . .

..

.,

-'...; '-' - '!~ '.--j,\.-~"'":. ,-' . . . . .... '. .;._ - - '_ .''" .J.

.

, :_.1': (:,~:: .1- ... .,' , j

-)~·"---~;':·;"·L:~~J. ~~lLt. ,_~",_;,:, ; :.. :. ·_-o~ ~[' graotLt:' -J".ll \~.i;. .-:J ....l~ t.:.::~,:::_ -,/,.,;.-...; ... i:·.;:~·:·::<>J.

'.'~-' '::"_ : i ' j ,,;1i.; ~,,'.irJ. het zwaartepun ten \) p de ,jreI)'::t..:: :J..~t

~~~~~traa;h2idzmomenL. Om het gat vc:Jc~:l~d~ nauwkeurig Lc makell, meeL

~-1t::t ;;\.:d';"·3.J.id worden en nit:t q~."..t~o(;r\3.. Doc-r het c;nti:treke:-l v\.~n C211

meetsystcem op losse kop van de dra~iba11k is tel n~~~21ijk J~j0Clllijk

om de vereiste na~~k(:~~lrl;teidte t~~1~:211 bij hcL ~cr:·I1. Ik heb ](kOZCi1

"".r'"J'~1." '-'~.. "' ,-.i~. :nJ:~1"C\l~0r:r\i :.; ~.:..:" (;i~iJ\"..~ ~ ~~'.:. ~-~::t .~cL""V~;.:,ud.i ,.;:~L:.:: t..~ i?r Gi;r;i~~lm'.2': C~~ l3. Fi·:;'.lu:: J ;r.:.:::~ dt.:: ~c'~:,:J~~H.J".L~ '" ..4.;.]. . : : . ; 3rmt'.)12r~ di..: de t;ecmt.trie \/<.111 .jt: ~;~!l ;'~.il·u.kt(;rist2r(:n. ...~ r:'" ...-J-.';)Lo.~.... •J •

.,

_,

_.

J. 1. Cylinderi

t

:r ..:. S '" ~,. - .,,-:.,... y,~nl ;;, I ~. Cylinder;

q;

0 x a

..

~1 !"T'\ "" _ , 2 / -lLi ct 3. Bal; straal R D81Jcgment; bo13traal~R,

:~G!)gte van llet segment--R-H/2

..

') .. V.~~1/24Ir(16RJ-12RLHtH..)) ' j .~ D

..

V'"\-4/3rrR'''; ,j ::i1inc(;;r, '" . , A / . , ....L '... '"! / .;;Ii\.i

•

'"I. ... ". , VOl.UITi8: .... ., .:..\r I0::" "-L~1 .L,,:,r _, If'. _ ' -"! ' ~ ~ I " . ,, If It ' " , . ...; '- L . . . J ~ I f""" \'-'( )

.

., Ij

De liqgir>g van !let midden Vdn de bol:

•

11 1=1/2(H+S) I . 2. Ii"-:·-1/2(H-a) L '1 [;3=0 -.J. 4. h =-3 {RtH)2 4 :} (41HH) !:' _{h =1/2(P-H)} oJ. 5

zwaCirlepullt t.O.V. het

h. 1

Wondertol

Li9ging van tct zwaartcpunt van Je totale tol:

(23) Hierbjj is h positief indlen het zwaartepunt boncden het middelpunl llyt, zoals aangegeven is in figuur 1.

Maosatraagheidsmomenten om cle z"·(13: J'. 1. 1. .., l.. 3. 4. !:' , j . J1-'L.\,I-1/"'TT-r4c... J..,=1/2.1/161TgD4S=1/32ug04S l. 5 J =8/151TQR 3 S 4 2 3 ", J₄=ng[4/15R--1/2R B +1/3R B -1/10B-] Afleiding zie bijlage

J!:,=1/2TT~1/16D4p=1/321TgD4p

.j

met Bc 1/2H

(29)

Afstand van het zwaartepunt van de tal tot tet zwaartepunL van elk Jer elementaire volumes: S. 1 2. 3. 4. (30 )

r-1as:iatraaqhcid::;n·~oment om de ~~-l.5 l10Gl het zwaart.enllTIr.! evenwijd.iq ac..111 de

x-as van elk elementaire volume: J!=I.

•i . 2. 3. 4.

s.

tR2(S2Q-1/3B3_BQ2l]

Afleiding zie bijlage III.

I~~1/12nQ1/4D2p(3.1/4D2+p2)=1/192n~D2r(JD2+4p2l

.J

Wondertol

De verhoudingsgetallcn: Zie formules 6 tIm 11.

-15-Hoofdstuk 4 Bepalinq van de theoretisch optimale qeometrip

WonderLol

De formules die Zl]n afgelcid in paraiJraaf 3.2, Zl]n verwerkt tot cen rekenprogramma. Daarmee kunnen de diverse verhoudingsgetallen

berekend worden en kan het verloop van het kritische begintoerental

als een functie van 8 getekend worden. Ik heb gewerkt met een HP-9325A

desk-top computer. Met het pro9ramma is de tol geometrie bepaald die

de Toupie Magique het best benaderd. Daarbij werden de uitwcndige

maten van Taupe Magique overgenomen. D2 inwendige maten

Q

en m werden

gevarieerd in de berekeningen.

De resultaten zijn weergegeven in bijlage V. Daaruit blijkt dat de

vergelijkingen uit paragraaf 3.2 de experimentele waardcn goed

benaderen. Hieruit trek ik de conclusie dat de dynamische grootheden,

ondanks ~nkelc vereenvoudigingen Loch theoretisch voldoenJe nauwkeurig

bepaald kan worden.

Om productie technische redenen heb ik een tol ontworpcn met een

cylindrisch gat. Voor het bepalen van de optimale geometric is een

programma gcschreven. Dat programma bepaalt m.b.v. de formules die in

paragraaf 3.3 zijn afgeleid de verhoudingsgetallen en d~ kritische

begintoerentallen voor 8=0 18=6_{- 0} en 6=8_m. Hierbi]' is 8_mde maximale openingshoek die de tol kan berciken.

Bovendien varieert het programma diverse afmetingen en bepaalt het de geometrie die voldoet aan:

1_{. €-1<=n<=1+!cOs8}e

_I

o 3. UJ, • (8=6 )<=UJ, , ( 8 = 8 ) A.rlt <) krll-,TollPl<:-M 0 4. w . (

a'"

8 )<=w. . (

a=

8 \ krlt 0 krlt.TouPlcM m' ZlC vcrgelijking (13)

5. e 20 klein mogclijk. d.w.z. het zwaartcpunt ligt zoveel mogelijk in

het middelpunt van de bolo Dan is de toe name van de potentiele energie bij groter wordende 8 minimaal. Daardoor voert de tol gemakkelijker de beschreven beweging uit.

Gekozen is voar een tol met een straal R=22 mm omdat bleek dat een tol

met een grotere straal (R=39 mm) moeilijk op toeren te brengen is. Dit

is begrijpelijk indien men aanneemt dat er cen maximale hoeveelheid

energie is die met de vingcrs aan d~ tol kan worden overgedragen. De

t.oegevoerde energic wordt volleditj om9czet in kin.-:tische cneItjie . ..,

Kinetische energic: P

k. =1/2Jw

L

In max

De grootte van deze energie is voor elke tol gelijk, voor Toupie

..,

Ma9ique geldt: P , ,=-1/2J . w""

kln.TouplCM ToupleM

Dus:

.J .

~r( Tou P1.eM}

wmax.J ,wToupieM (32)

Wondertol

Rel massatraagheiJsmoment J wordt vooral bepaald door de bali daarvaor

<:

gddt J

bol:R.)

Hieruit voIgt dat het maximale toerental evenreJig 1.3 met de macht van de bal straal.

afmetingen var de tal berekend: ik de volgende

H=26 mm

A= 4 mm

P=19 mm

Met het programma heb

R=22 mm

r= 4.5 mm

5=17 mm

D=30 mm

De bctekcnins v~n de symbolen is te vinden in figuur 1 of 5.

Met een apart programma is het verloop van het kritischc

begintoerental als een functie van de openingshoek 8 getekend. Dit

programma is afgedrukt in b{jlage IV. Bijlage V geeft de daar~ee

getekende grafieken voor de tol met bovenstaande geometrie en vaar de Toupie Magique.

Er blijkt slechts een gering verschil te zijn tussen beide grafieken.

Op gro~l daarvan verwacht ik dat deze tal het beschreven gedrag zal

vertonen, mits zijn beginsnelheid voldoende groot is.

-17-Hood~;tuk 5. Productiemctll0d~.

Wandertol

Ik heb de aldus geconstrlleerde tal gemaakt opde Gildemeister

N.C.-draaibank met een NEF 480/660 besturi:l]. Dt~=,(' CJ:~~l~~&nk s·Laal.

opgesteld in het laboratoium vear productietechniek. De keuze ~d;l J~

machine is haofdzakelijk 0eb~~~crd op de beschikbaarheid tijdcns de

periode waarin de opdracht werd uitgevoerd. .

Ond~rGtaande figuur geeft een indruk van de diverse bewerkingen die zi jn toe'Jepast. 1. I I 1 I , I I I I I I ' ~u900 ~~~~::Jra""'oo ...:::

._.

.. -a."'CiJ a~j~..

Figuur 7, illustratie van de bewerkingen.

Omdat er een cylindrisch gat in de tal gemaakt moet worden, is een doling noodzakelijk. De deling is op twee manicren mogelijk:

WandC:1'tc; 1

2. Dw~r3 (Jp de symmetric aJ a~{1 tl(:~ kopvlak.

ontst.aal er 2cn 103 .:;J~_:.>:1~:~.~, t;~'11 (,:·~':~"i ;'~cjl.

-, ,-, '7 .-.

....~,

...

;:"

Ik heb gekozen voor de tweede oplossin'} ,)!i\dal: J~dj d", bol III cl~n

bewerking nagedraald kan worden. Daardoor verkrijJl men cell ~0aLer

oppervlak.

Ret opspanncn van de vaorgedraaide bal lcvcrde een probleem. In ecrste instantie heb ik illw,:ndi';je sclulJcfdraad gedraaid in l~et cylindrL:;che

gat en de bol op een spanelement g~schroefd. Maar door de schroefdraad

w0rJ de diameter van het gat te onnauwkeurig. Bet ill0t de hand

uitdraaien van het gat is onmogelijk omdat de bol te slap is gcworden

door de voorgaande bewerking~n. Daardoor i3 het onmogelijk de Lal

zonder grete deformaties op te spannen. Ik heb dit probleem opgelost

door een apart spanelement te maken dat geklemd wordt oD het

cylindrische oppervlakin de bal.

Zoals reeds lS vermeld wordt er voorgeboord en met een boorbeitel

nagedraaaid om de gewenste nauwkeurighcid tc verkrijgen.

De laatste bewerking is het nadraaicn van de bal. Hiervoor heb ik een

steekbeitel gebruikt met ~pn radius VJU ongevcer 3 mlll. Door dezc

relatief grote radius verkrijgt men cen goed oppervlak. WeI is cell

beitelcorrectie noodzakdijk. DE:: Gildeme.i~r heeft geen

beitelcorrectie-functie. Vaor kwartcirkels vindt de beitelcorrectie plaats door het corrigercn van de begin- en eindpunten van de

kwartcirkel. Figuur 8 illustreert dit.

z

,

~

,

.,

I I

,

~ I, I , I

,

\ I

,

I I I I

x

-1j ..

T~ ct st....1rtpunt 1 ffii)ct .:'u de x richLin'J gec t1:i.'J;-~~i~rd worden \foor de

rad U3. Bet startpunL is dus X-·-2RJ

z:

2~.~~ :~ 1=' ~'".. "u.J.~ :: 0,

;, --2 . GO. Dl'~' f~l<:tC:: L·~c:.:' Lij ~;'t:: ~·~--t~ot)rdin~t:J.t ;~ ,>~~l lj,~ i,~lij V21o.n hel

rckenen in dicl!n('tL:rv(~randt?:rin9(:nin de :'~-r iJ.~(~.;_l!ll;.

DGOl' d2 G: ~ iio.t..'; :c- \~·c::'~.1~ j.: ';L:~>~~ki2nde k\";-lr:L.<:.r~. 1 :Jo(lrlopcn tot. het.

i-~iL,Ji)int. 2. Daar mo(:L de :: richting \Jel,:c):rii.jet":r~: f...;\);_·,~1t~l:; V;:;or ~icr.:

e:inJiJ1.1l1L ;;(:l,,~: '~::~~": ~~ .~~.I'\~j Z=-R.

Op dezelfde wijze wordt de volgendc kWJrtcirk~l deorlopen VdU punt 2

naar punt 3. In punt 3 moeten de X- en de Z-co~rdinaat gecorr~gc,~rd

w,)rd~n. Vo;~r diL eirldpunt gelJt X~·2R. z~ ::.OO·-2R.

Deze laatste kwart.cirkelfunctie wordt eig,.~n1.ijk ten ollrechte geb.ruii~t;

er is nit..:.c et:;n vclledi'Je kWdl,tcirkel nodit;J. ~·'aal" omdd.t de

beih:lcorrectie alleen bekcnd i 3 voe;r l·,,:t ,::;,>jrL;F_;~ "J·:dl ,:'Cll

k~l11~~;:ir~ell wOldt dezc functic hil:t w~l toeJ~past. Als de 11(~le bal

gedraaid is, wordt hel programma onderbroken. Men client d2n weI z~er

geed op tc letten am te voorkomen ddt de bcitel in het spanelement loapt.

HoofdsLuk 6

De f~(;1 d~.:2 g,:::m;"lakt i:~ V;)1\]er:s c1t: at·-it,-~<~ J~~~:: n hO\jfd,::;t:.~~~. ·1 --~ Ii ';]r::"J'\,~V2n

tlijkt l:(l. ~oor~p~ld:: g('d_('~J ~~I~ vertoncn. 0 t reGll].taat vorlU ~erl

beves tint] v()or dt:- L;~ii~»rie; ZCh.ll die is ;~fgelr:i.d dOur II\o1l: i.nfjx.

E~n twcc:;Jc bcvestiging voor die theor.ic vcrmt een andere, illasssieve tol. D>2ZC t,:,l blijkt hf:t bt::~,:hl>~ven 9~dr".<] <1f en toe te vertonen als hij m2t 2en koor3 op toeren worJL gebracht, Ret blijkt dat voor deze tol het kritische begintoerental voor kleine openin<]shoeken oneindig groat wordt. Waarschijnlijk vertoont de tol allacn het gedrag als hij bij heL'opsLarten 2en bep~alde vcrstoring krij<]t, D'lardoor begint de

tol nie~ bij 8=0 maar bij een gretere hoek, waardoor het kritische

begintoerental al een stuk lager is.

uit deze beide voorbeclden blijkt dat de volgende parameters

belangrijk zijn voor het ontwerp~n van cen tal:

- E en n; Deze twee paramet~rs bcpalen de eerstc voorwaarde waardan

voldaan moet worden, namelijk

(13), Bovendien hebben zeeen

besprckcn parameter.

E--1<=n<-I--1cos~8_aI v",:rgc]jjking

grate invloed op de hierna te

De kritische benintoerentallen voor::J 8=0 8=81 en 8=8 . Dit ziJ'n de

0 m

maXIma in de functie van het kritische begintoerental afhankelijk van 8.

De soortelijke massa blijkt gecn invloed te hebben op het gcdrag van de tol. AIleen heeft de soortelijke mass~ illvloed op l1ct mct~~imdle

begintoerental, waardoor cvc:;t\;cel speciale hulpmiddelen moeLen worden gebruikt om de tol toch te late2n functiol'.'~r'2n,

Eenzelfde invlaed heeft de straal van de bol ap het gedrag van de tol.

De diameter D en vooral de diepte P van het gat hebben de grootste

invloed op de parameters E en n. Hierdoor zijn dat de belangrijkste

ontwerpparameters. Als een tal tijdens het ontwerpen bijna aan de

gestelde ontwerpeisen voldoet, kan door llet varieren van P en D de

optimale geometrie bepaald worden.

De lengte en de straal van het steeltje hebben grate invloed op de grootLc van 8

0, Deze twee parameters zullon tljdcns het ontwerpcn dan

oak cen krachtig hulpmiddel zijn am de grote van 8 1n de hand te

o a

houden. B

o moet ongeveer 12S ZlJn.

Er meet nag ondcrzocht worden wat de grootste tol is die met de hand

voldoende op to~ren kan worden gebracht, In een vervolg op deze

opdracht zou dat bepaald kunnen worden,

21-~vonJ.e:rto]

Literatuurlijst.

1. !L.i.ri!!;;;'~l dr it: J.'A.,"Dc wondert.~jl,"

De ingenieur,

o.

T~chnjsch w·c:t.~~n;}~·~·la.:~'l.)~·lijk oD(:cJrzGck 2.

64 jaargang nr. 4, 25 januarie 195?, 0.13.

2. Cohen, R.J., "The tippe Lop revisitcJ,"

American Journal of rhysie~, vol 45, nr.1, jan. 1977.

3. Walker,J, "The mysterious rattle back," The amateur scientist.

4. Esmeijer, prof ir W.L.,"Rotordynamica," THE 1933.

5. Veldpaus, Dynamica Fysiea 60 dietaat Technische Hogeschool

Eindhoven.

6. Bubbel, TaschenbuehfOr den Maschinenbau, Springer Verlag, Berlin

1981,14. Auflag.

7. Htltte

Wondertol

Lijst van gebruikte symbolen

J

]

.,

.J [L ] .... ....

[r.IfLLT-- L]

? -1 [ML~T

J

[ML

2

]

r I-r I-[

.,

--.... [ MTi.J.L~'l'..I. ' - ] ') -.

.,

rl'll'f'" ... .,.. t-i 4..~~L.J - j

[M

T2.,..-2] lll-J 1 [ T 1

_J

momentvector Kizletische encrgie Impulsrnoment tensor (3x3) massatraagheidsmoment tensor .,. v ,.. 1:.

...

_.1. G UJ If! IjJ

a

z s D Potentiele energie begin hoeksnelheid hoekverdraaiing hockverdraaiing hoekvcrdraaiing

ligging van het zwaartepunt t.o.v. vaste basis

- 1 m '1 .L oJ -1, T j JI II

...

<.i massatraagheidsmoment om de x- of y-a: massatraa.<Jheidsmoment om de z-a::;; absolute hoeksnelheidsvector relatieve hoeksnelheidsvcctor sleep hoeksnelheidsvector ' ) r1'1.""" .:.., Li."::W j

"

[ML"-]

[ T-1

J

[ [ r T " L .LJj [ L] [ L]

[ LJ

[ L] ( L] [ L]

[ LJ

[ L] [ T"] [ L] [ L] [ L3

J

de bol bol steel

t.o.v. het middelpunt van de tal

ligging van het zwaartepunt van volume V.

.1

t.o.v. totale zwaartepunt

massatraagheiJsffiomcnt van volume V, am de

"T v· .1 c..;

.

.1 V. voli...me 1

11. ligging van het zwaartepunt ViHl volume V.

1 1

t.o.v. het midJelpunt van de bol

ligging van het zwaartcpunt van de tal Geometrische grootheden

R straal van de bol

S lengte van de steel

r straal van de steel

A,a dikte van de deksel

D

diameter van het gat

P

diepte van het gat

H 2x hoogte bovenkant van

Q inwendige straal van de

rn inwendige straal van de

I.

l

z-as

massatraagheidsrnoment van volume V. om de

1

x- of y-as

Verv(,};; : VerhouJing~gctallcn t. h/R ~ T ,1.""'1", ..:. I "'Ji.l. n I/J ,\ (R-h)

/T

IJ (H/2+S+hl/r V r/h [-]

"

[ l'i..

_J

[

J

[ -]

[

J

[ -J

r,londcr tol

DE INGENIEUR

o.

TECHNISCH WETENSCHAPPELIJK ONDERZOEK 2.

De wondertol

doordr ir ]. A. HARJNGX [1]

IngetUeur blJ de N. V Philips' Oloeilalllpenfabriek.

s.iau:aary, Mi1'aculoUB Top (Tippe Top).

Starting from the analysis of a series of regular preceeelooa the authorbaashown why and under what conditions the"tippc top" exhibits ita typical behaviour. Tbe limita oftheratio of ita principal momenta of inertia witb rea-pect to the eccentricity of ita centre of gravitybaabeen determined and the initial rotation wbich Is needed u a minimum bu been calculated.

§ 1. la1eidJDg

Simla enlge tijd heeft bet merkwaardige gedrag van een als lpeelj!Oed In de handel "Ijnde ..wondertol'· (Tippe Top. Touple Maagique) vele gernoederen in heweging gebracht. Door prof. UaKaDENen anderen zijn luerover In dit tljdachrift reeda korte mededelingeD gedaan[2), doch de door ben gegeven beacbou-wingen wordcD door velen oDbevredlgend geacht. Ongetwijfeld ia de ruimtelljke bewegingv&Deen, dergeli,ik draalend llchaam inhaaralRt!meenheid te Ingewikkeld om haar volledig mathe-matlacb te kunllen be:lIChrijven. Schrijver meent echter door het analyICren van een uitgezochte reea cenvoudige bewe-giDgtlt.oeatanden duldeli,jk te kunDen makeD, waarom en onder welke voorwurden de wondertol zich gedraagt. ala merna wordt beacbreven.

Zoalebekend, beataat de to! uit cen mcer dan de halve bol omvattend bolacg01eDt, dat via cen vJakke acbijf aIUUI1uit op

een cylindrillChe .teel v&D gerinpre diameterdandie van de

bot(fig. I). Het zwaartepunt is zodanig gelegen dat de lteel van de tol in de rultatand· omhoog wijst. Geeft men de tol In dese stand een voldoend grote beKinrotatie om zijn eigen . . (fig. ~, stand 1), danziet men daL de to! cen p~lepat uitvoeren; met andere woorden, de tol ,,alaat uit". Hierbij doorloopt de hartlijn van de tol cen op een kegelmantel gelij-kend OPllCrvlak, waarbij de openlngshoek geletdelijk aangroeit (stand lla en lIb). Na korte tijd Ileept de rand van de lteel over bet grondvlllk (siand III). De tol richt zich daarna plot-IIe1fng~p(Itand IV) en de beweging eindigt ala een rotatie am de verticale as door cell punt van de rand van de steel (stand V). 11 de beginrotatie van de to! te ldein om laatatgenoemde elndatand teberelken, dan brengt de tol bet nur gelang van de crootte van de beginrotatie niet verder dan tot het uitvoeren van cen preceasle volgens stand I, I1a, lIb, ofIll.

Bij de in. de volgende paragraat tel geven beachouwingeo wordt -- gezlen de Ingewikkeldheid van het probleem - Diet geatreefd naar een op de vaet volgen van de met de tljd vel" anderlljke beweltin~toe.tandvan de tol. We beperken ana gemalohalve tot bet beachouwen van cen reekll daarvoor in IlII8merldnR komende regulaire preeeaBlea, waarhij de hart-lijn van de ronddraalende tol met constante snt'lheid een kegel-mantel doorloopt. Vervolgens gaan we voor elk van deze regulaire precell8iea na, aan welke voorwaarden moet worden voldaan am de tol uitgaande van de betTeftende stand verder

tedoen uitalaan, hetgeen «'en vereiate is om bem op de beachre· ¥en wijse te dOt'n functioDnerpn.

One ,...""houwinW'wijze zaI miaachien theoretici olet volko-rneu bevredi~n,temeer omdat over de snelheid waarmede de venchillende fWlen worden doorlopen nieta gezegtl wordt. Het vutlteUen van de aun de tol te stellen conatructleve eisen en 'Ian de minimaal heoodilltde beginrotatie zal evenwei, naar

acbrijver hoopt, het vragen van de aandaeht voor zijn he-achouwing rechtvaardigeo.

f .. ~ preeestde 'V8II de tol ba d.

VenchiJieacletIta8d-.

De reedllinde inlelding genoemde tig. 1 doet zien, dat de tol Is opgebouwd uit cen bolsegment met uitwendige atraal

R, dat via een vlakke Ichijf met radiusaaaoaluit op een O1lln· driacheIItee1 met radius r eindigende op de ataLandII vanat het middelpunt C van de bol. Het zwaartepuntS van bet

p-heel (gewicht G, maaR. 01) bevindt zich op de atstand " be· neden bet middelpunt van de bol. Het hoofdtraagheidllmo-ment om de verticale Z'... noernen we ,; het hoofdtraag. heidllmoment om de horizontale X'· en Y'·.. Is1'.

Dedand van de tol wordt aangegeven met behulp van de COOrdinaten lie. 7/,II van het zwaartepunt, de hoek ,. die de hartlijn van de tol maalct met de verticaal, de boek '" waarover het verticale vlak door de hartlijn vcrdraaid Ie ten opzlchte van bet YZ·vlak en de hoek cp waat'over de tol I'l!latief ten opdchte van eentgenoemd vlak verdraaid is (zie fig. 3l.ZoaIa

Inde Inleidingwerdopgemerkt, beatuderen we ter vereenvoudi· ging van bet probleem slechta regulalre precealea, dow.s. dat we de hoek {} evenala de hoekllnelheden cpen '" constant

on-'denrteUcn. .

Ten aaozlen van de wrjjving van de tol met betgrondvlak un worden opgemerkt dat bet contactpunt zich voortdul't!nd over het oppervlak van de to! en het grondvlak verplaatat. Dur belde oppervlakken meer of mindel' ruw zljn,zal - mede

inverband met het geringe (lewicht - de overgang van bet eue naar bet voIgende contactpunt ,,Ipronpgewijl" plaata-vinden. Hieruit voigt, dat een eventuele WTijvtogskracht nJet continu uitgeoefend ltan worden, zodat ltap voor &tap met Ideine verplaataingen aan een eventuele lange bet grondvlak gerichte tangentiiHe kracht gevolg gegeven zal worden. Oit betekent, dat slechta die regulaire preceaale blijvend zal kunnen zijn, waarbij geen tangentiele kracht aanwezig Is. In aanmerkin!{ komen dUI allceD die regulaire preceaaiCl. waat'bij de tol rolt over bet grondvlak en daarbij draait om de verticulelUIdoor hct zwaartepunt. De top van de door . de hartlijn van de tol beacbreven kegelmantel valt dus met bet zwaart.epunt larnen en de openln~hoek{} blijttalaenlge onafiumkelijk veranderlijke grootheid van de kegel over.

Om k voorkomen dat de tol verder uitaJaat dan overeen· komt met de openinl"haek {} van de door0118voorgeacbreven l?gulaire precl"Msie, zal cen van de beginrotatle athankelijk, met de precc8llie meedraaiend, moment opdetol mooten war· denui~eoe(end.Heeft de tol Ilit fig. 1 met de hoofdueenX',

Y' en Z' op een bepaald ogenblik de door z,. IJo.1l en t/J te beschrijven stand van(ill:.8 aangenomen, en isM het moment

(/111. 1. Ih' uftlldillltt'U Van de tul llIet de hoofdtraa~h.,iu.,aStiell X'. Y',Z/~

,Iut ill 11,,\ IIId de Z'-IUI meedraaiende verticale vlak mOt't worden uilloteocf..nd, dl&n luidt. EULER's "bewegingsvergelij. king" [II) . .

Ii,.p

+(1-- 1')

+1

cos {}+M/8in {}= o. . . . (I)

. . (II)

, , . . , . (Ill)

"

, II < I +1<''''',9>'.1 •

I -- €

lIierlJij ill {}0 gegevcll dour

~0= bgcos(,,-HI \111,-+-;:OJ --bgtt::(rill).

ge~trcel'( getekende krad,tvcctorell). Is .lit lUoment gelijk uall bet vereistc mom"nt .11, dun

""I

de UUIl 'l.iehl.elf overge1a&eD tol inderdaud de be>lchullWdc IlrlOeelillie uilvoert-u. la "I'duro en\('lten een positief verllchil 11,I--<Jh :fin -f}, dun zal detol. lo..laten verdeI' uilllll<lUl L51.

V(NJr ..'en goed f'uncliuIlUt"rt"u van cit> tnl tot al,n de ataDG

wlt"rhij .If' ,t....1flv,'r h,t ~"",,"v"tk1I11"'pl. ({) ',~ {}o) moetde

l,,·I(iIIru lahf'w af/o(,",.it·" n.1l het wri.ivillj!sveriit'li dua zo groo& ~.ij". dat Ill"l r,-eht..rhtl vall v.. rg. Ill' voor all.. v'JOrkOluetlde w....r<len Van {} ;,( .... I<'r is dall I. )Ius ""...t vuor " < {} <

a.

gehit,n dal

" ,.i,.2 {} r It ,'us {})'

f3w: > . -, -- - I - : ! (I /'lJ.~,9», , . (i) • +(II ---I)ms .",

wuarbij ,Ic noem"r VUII cll' "cnite tenll iu het rel'1tterlid steed» loositicf m ...·t 'l.iill, '"u<lal ,'ullstruelief vultll1l1" Inuet worden

ann tie vourWU:lrcJ(~

Is n groter dUll de ill Iwt rt't'ht.erlid vall(10)At'gevcllw ..arde, da" ill de muxinu...1 btm'ikbure hoek {}mh"paald door

cus (}'" - .,E/(n - 1)• . , . . , .. ,(12)

IIItie bf'gillrou.tie '" 'l.U kJ"in .Iut

fJw2 <_{(1--£1:/(/& -f £ . - I), . . . . • . . (1:1)}

dan is ,'l.n van nul "t'rllchill"lldc walll"fit' \UIt {} ,'our de vrijc tol onbNeikbuar "U ,Iruait dt,zetim'l.ijll Cig"ll vcrtieul..us(IiLund I van fig. 2).

In werkelijkbcid '1.11.1 ,k bol slippen, 'l.ud". 'l.ijn cUlilactpunt IIlet het grolltlvlllkill vuldnende mate ontlt\st ill. De bew,.,gillg wordt dan niet Ille"r ,I,.." rollell VIt/1 d.. bol vnurgclIch...,y"n

en dus lUoet de bcrckellillg iu .1it gcvul nl-r'l.lt.n worden. De noof1'l.ak.,lijke correcti,' hhjkt l'wn wei "i.. t 'I...r l':jliCntieeltl" 'l.iJn en zul hi.,r evcuals ,It· iuvloo,.1 Villi ,Ie (slilzwijgend ver·

waurloosue) wrijvin;.( ,utU lid uitl'indc v,." tie slt,e1 \)uiten be· schou win/( blijv..n.

C, l)e ,,/1'r!vall de101 ,.../1<.verltdgrow.lvluk

Ouk hij .le re!{uJair..!-,rt"'/'sslcin sland IV vallfil(.~"mail tie tul om de vertie"Je us duo,. hel. 'l.wallrh'lmnt. maar bet ill nu tie shod die overh..t g-wn.lvlak rolt (zie fig.5).Vuorwllarde voor dil wHenilldal

B. De sli!elval&de tol slap'"",'r1t,,1groll/lvluk

Voor betg..vul dat dc sleel Van de tul eon tad mBakt met ItlOt l;rollllvlllk (litautl lIJ Vllll fig. :!) mug tip grond vaw de b'Tutc radills va" .1.. h,,1 (1/> > ·r) in eel'lite ill"tuntie worden aangtmumell, dut Ul' b,·w ..g-in).( uuor het rollell VUll de bolia voorgellehreven ell dut de steel uvcr het grondvlak slccpt.

III verg. (7)en(I\) mod 01' hoek {} dun v"rvangen worden door ,9>0' Het /"rroottit.e <lOfll' de gewiehtsbelasting uit.geoefende moment treedt op wallneer Ilt't eonmetpunt met de 001geheel onUwit is en het I(dtele gewieht ,'an<1..toilioor de rBlld van de steel op het gronovlo.k wordt overgehrlleht (vgl. fig.5 voor~""

'')0)'Dit mom"nt bedruaj!t Iiall (;(II + " +Tcolg {}ol.Yin~o·

IIIhet voorhethundhllv,'n VUll deze IItulld benodigde mOlllent

!t1 volgens verg.(7),'n(8) met {} = {}~i:rntcr dan het ZO juiat gl'nocmde, dan betekcnl ,lit dut de lol 'l.iI-h lilt losillten gllMt

o!,ridlten. Met .Je notatil"s

A= (Il - h)/r, f'c . (II +hl/", v~~ r/h, . .(14)

moet dUll voor dil oprichtl-n vao tic tal alll eis gelltcld worden dat het recltt.erlid v..o vcrl(. (8) voor {} = {}0 grater ia dan

v (14 + colg {}.). ))USmod l,'n 11l111Zieu vun de beginrowtie10I

voldaall worden aan de vourwullrde

{Jwl> !.{fl-",:,:_(,ulgt~.}t/~.:~j,~~~+(E.:.:-:-('O,v{}o)l}+

€ +(n ,-- I)"os &.

t :! (I - ws{}.) . . . , . . • , . ,(15)

.p_ --, '(posill {} • ,·os{})~ . , , . . .(HI)

I----Y'p-) -i'L---+--+h

t\. I).:sled l'u"deluidrauU vrij inderuimle

MUlIkt tie tol alleell via het boloppervlak contact met het KWIIIJvlak (IiLund II vlln fig. :.I), dan ocemt de voorwaarde vo"r rollel1 h.f t.e I"iden uit het uulst.eUen VtU, de momeutane "l1dheid Villi hd verticUlII beneden het middelpuntCliggeude

cout..clpunt 1';l.ie fig. 4.) de gedaante aan

eP

~~

---

h~/R. . . (5)

lJwu de exet'lltrieitcit It/ll vau het zwattrt.epunt klein iii

t.en up'l.ichte van de e..nheid, It..-ert verg.(:i)au" dat de rotutie. Ifudheid~vuu de tol am 'l.ijn llW'tlijn UlItlinerkelijk geringer ill .lun de rULuliClinelhcid~um de verticale draalingllWi. Boven-di"n 'l.ijll zij t.ell,mov"rj(e"tcld van tek"u. De tol wordt hier dua door bet roUen uv"r het grondvluk een beweging opgedrongen, wltllrbij Itij Ill"1'r funJ(eert Mis cen "regulllteur" dan a.l8 cen KyrOliCoop. Hieruit blijkt cen etIl1Cntieel v"rschilOldde gewone tol. w....,hij u" l'u-c"s"i"lInclheid juist onderg""chikt is aun de rol.ottie om cie eiMell ...

Met de nutl&ti""

£= Itllt, (J= I/Gh, n = 1'/1, . . . . • (O)

voigt uit yerK.(2),(a),(4)en(:i) metz,= R-hcos {} dat

. f1wi - 2 (1 --cos t)

(J.pa /I ••

i;;.

-~-+1E-'::'--~~ ~)~ , . . , . (7)

Vuor het m"nll'nt ,11 l(eldt verdeI' 0I' b'Tond van verI;. (1)

.uIGl..,i,lo.co {E i- (11 - ' I)cus {}}(J~• •.•. (8)

lluaf hd "wa.. rlcpnnt vall de tol tijdcns het ronddrlWi.",

01' ,le'l.,·lf<le huuj!(f. hlijft Iiglten, ill de ('onluctdruk uelijk llan

lid ~cwichl Ii, "",Iut door de KewidttllhelUliting .."II t .. rug-w....keml IIUlIll..n( ail ,ill {} wordt uitgeoefend ('l.ie in fig. L de

V.,rder bedr.... j(t de dubbele wlUU'de.VllIlde kinetilldtl'

encr-lPeT(4) . .

'a= 1 {

eP+

.p(;08 {})I

+

1'.p1:finl {}, (2) terwijl tie " ..t.enUele ellcrgie V ten opziollte vall I,.,t ill de be-lCinlltamJ aauwC'l.ige niveau vau het zwaartepuut gdijk ill !\Un

V= G{z. --R +hI. . . , . . . (a)

Zicn we IIf VI&U de enelgie, die bij bet aanlopen vl&n de tol

door de wrijviult IIIct het Jll"Ondvlak verloren is gegao.n, dao "elot bij celll>eginrotatie ... "" (~ + ~){}= 0 voor de totale hoevcclhcid l'ller"ie b:

E= T + V= %IWi. • • • • • • (4)

llicronder ·l.ullen de olTl8tw1digheden in de verscnillende kurakteri..tieke stunden van de tol aan een R&d.,re bevchouwing wordi'll ouderworpen.

j -~ ITb I

<L

/ / \ / ITa \ I I

Fla. 2. Vt',."t·hill,·II.\t- standt'lI van .It,

roud,lruait'IIII" tol, die uij "..nI!....d rUUf'tilllln,'rl'n V ..II de tol

aeht.er"t'n-vulgt·os wordeu r1nllrltl'lf'Il:

I. Of' tul draait.0111zijn dlWn vI'r-Hf'ak a,': d,' st" ..1wij~tomhoo/!; II. 0.· stt,.·1 vall tic tul draait vrij

ill,h' ruimt.. ;

III. Ill' stl'd vau ,It, tol sleept over lwt grondvlak;

IV, Oe st.'t'l vau,It- tol r"lt nv,'rl ...t J.:rolld v!ak ;

".

'

....

,

V. He tol slaat"!' dt, sl.t'eJ t'll dr:mit . ')'..

olll C"n I'Ullt vuu Ii" rUlld vall dt' ../...""'----..;~~~--.;.:... -",roJ.._":"'_":":':""_ stl'l'!.

01'1(1'1111,1van Vl'rg,~2), ta),(4), (6)ell de notaties(tI),(14)

Villd..11 we hi..r OIl't=.,=r :Jin(}--{II·j· h)elM {}voor d .. rotatie-slIelheid

.p

INJ ,. f1wl

...\Iv(.vi,u?~Ip..':(lII~='_A) . . (17)

(" +p.a) .•inJ {}

Voor Ilt't mtlllll'ul .\1I(cltlt v.. rvtll!!("us01)/!folld vall(I) illItih .•i" {} (/',Yi",'Jot 11''os {f)(1

.pI, . . .

(Ill)

Ht·t dntlr ,Il'I(I'wiehl>tlwla,~lill!!g,'I.'vt,.,I.. nlUlIlell!. oc,lraagt () (11 t h I r""/~ (}) .•i" {}, lJj(,ruit voigt. ,1I.t all.... n wannet'r I\l"t reehtt'rlitl van verg.(Ill) groler j>t dan v (p. + CII/g {}) de

101nu loslalell d.. neilting v('rloont zich vt'rtkr"1' t.e richl.t'n. 11il'rto<- is het nootlzakelijk tiut d.. begin rota tie 0' zo groot, is, .Iat. stel'ds (gt','al n.> I)

(11 f /-'.)(p. +coil! (}) v,.in {j

{3o,2>

_{/-' -+}

. -_".."II!- -

+

{j-- --"

j-~" ( .•i'l {} --P.co.• {} - A) • • . (10)

llit Iwl.t'k.·..1. .h.t I(....n j(rtlt"..., "l'''nilll(shoek hereikt kan

wordell dlln,I,' "'IL"rdt· {j ..- {)'m'WallrV'H,r de IIOt'mer vun de ,·t'rsl.e t"rm ill hd r,'chlt·rli.1 Villi (III) lIul wordt en tlie dus v"ld",·t IlItIl tit' IH't r('kkiu!(

I''''~W,n ,. --ILln, , . (20)

Alle,'n indi.·.. " J i~, i~ t'ell iets gr"l e hoek mOl(t'iijk. \lallr " /:t''l,i., .. ,I,· vutlrwllllrd.. (IU) uoit veel vIm de ...·nl1<'id v,'rschill. is d.~ lIlaxinmal tc t...n'ik"n htlek prlleti~ch

/(elijk aun deh.lf·k, wallrhij dt, verlicale dra"iing~asgallt door "t'n I'lIl1t van dt' raud vall de steel ,'n WlIllrVtlOr !Ct'ldtcoig {}=

- p.(~lalltl V van fig,2).

§ 3. Uitvoeringsvoorbeeld

:\all "ell ,'xem!,laar valle,,"d ..r in .Ie hand..lg"h ..."hl" typen (Tuul,ie Mlll(iq.lt') wt'r,l"n til. vtll/.,rende ~"gev"lls "" t1""ud:

radius Jl 1.115em, ra.!ius 11.45em, ar,tlln,! " 0.25em. "rHttllld Il 2,11 em.

Jlla.·'~~l\ nl 10,a Kranl ..

hoofdtflUlI(Ilt'idslllolllelltJ 2(),O gram em2 •

hoordtrllughcidslIlllmentr· 22,fIgram eml ,

krili~c1lt·starltl ,'J_o I:.!2".

IIwrlllt·.k Wflrtll l VfI"f d(,til:,t."t.i... Zoie (6) t'n(H)I

E c tJ.l :!li,1{J

R

A : a,7H,l'Cl. - \\)J('

tl

tl.O()711·.'5"

11 ~. 7,f},~...

"'J

I

r-fL-~ t.l:1

r'l!

;"

1.110. l"A...

In ril(, Ii j..,It, ",,,Ir het hcr"ikl'n "an de regulat;" pl'l'ccssie minimual hl·llodi!{,I.. 1)f'~!i"....I"li,' tu. I",rekclu! uit (II), (15) en

(111). \ltlor ,'Ikelila",1 i~ar te 1"·I.,'n. W .. tlllrl..r~(·I",itlf!1l fie vol-Rende vijffUSt'1I(zi..lI"kfig, 2):

z

y'

. : ) - - - y

x

Fla. 3. Deboortitraall:heidsK.~senX', y',Z' hij een willekeurige stand van rll', "('11 rt'~UllLife prctlCllHic lIitvotlrendc, tol.

I de tol draait om zijn ei/{cn verticale tlS, de steel wijlt omhoo/{;

II de steel van oe tol t1rnnit Vl'ij in de rllimtc; III de steel\,(111,I,·101sh·t'flt over het /{rondvlak;

IV de st"cl van rle tol rolt over het grondvlak;

V de tol staat op,It·stt'el en dra"it om cen punl.V,IIIde rand vun de steel.

Als voorlwdd in d.. ri/.:. is cen be/{inrotatie van 210 ranlsec "" auornwIsee gellom,'u. We zi... n verder dat om de uiteinde-Hjke stand V tt: kUIHIt'n bereiken de begillrolalie groler lIloct zijn dan de tnplYlllLrtle van 28 ()lIIwl~ec hehorendc bij de stand {}= {}0' Dit wt'rtl hij ,Ie II:loblllc he8tutlering van de

be-weginl? met I...hulp vall " ..n strobo!ICoop bevest.iwl. Door het aanbrcll!.!ell Vllll een exl.... rnll!lSIl aan h(!t ...inde

'l'ectmbch W"t"nschoppeliJk Onderzoeh 2

Z.'i-I-19.'rZ

Fla.•. Stand {f< {f••wlUlrbij bet bolaegment van de tol over

het grondvlak rolt. .

Pta.6.Stand {}> {}G' waarbij de steel van de tol over het grondvlak rolt.

van de steel kun de verbUlulingtI= 1'/1gemakkelijk worclea gewijzigd. daar deze Olll>l8a voornaOlelijk LijdrlUlgt \Ot W

hoofdtrlUlgheidlimoment l ' en pructist'h niet tot betJIoafd. trlUlgheidliOlument 1 om de eigen ... van de tol. Uee _ ' triciteit hi R wordt llaarbij (-en weinig kleiner. ExperiJiaeD' teel 10m nu op eenvoudige wijze worden nagegaall 04_ welke omstandigheden de lui de kritische lItand {f = iJ.met

over het groOllvlak slep"II,h' "ted 1.eUIi bij zeer grote beglO. rot..ties niet kan !.II1M,·r..n. GevolHlell is dat dit gevllJ zic:b voordoet, Wanlleer '&1111 het ,'inde van de IIte..1cen n _ a van

O,lUgr..m of Illcer WllrtH tll..,.:ev",'!:'1. D_rbiJ wurdtn ~ 1,21

en " ~tJ,10. Hit klupt redl'1iJk melvoorwl1arde(10).

§ 4' Overzicht van de resuItaten

Gezien de illl('wikkcldht'id vall het ill<I..inlciding beschreven problccm hebb('n we ervall afgeziell de met de tijd veranderlijke bewl'gillgV ..11de tol up .'" voet te volg"II. We hdJbcn 0011 ge-makshalve bcperkl tot I..,t !lesehouwell vane"l1rceka regulaire prec"ssies, w....rbij ,1<' Iiartlijll van de fOllddra..iellde tot met eOlllltanle lind hei<l (-en k"g"lJllantd doorluupt. Het mel de preee8>lie mcedraaiende 1ll01ll('nt, dat op de tol moet worden uitgeoefcndOUIte voorkumell dat deu n.. cell gegeven begin·

rotatie verder zal uitslaall dall mct de openingllhoek van de voorgeschrev('n r"!{ul,,ir,' "recessie oven-cnkomt, k..n dan worden berekelltl,III lIetwerkclijk wmw,'zige, door de gewichts· bclWlting gclevcrtl.\ mUlllellt g,'lijk aan hct benodigde moment dan zal de aall zidlZdr (lverg"lalt'll tol indcrdaad de beNChouw· de IH·(·e,·ssi.· uitvuerell. Is <faan'lll"gcll la"t .anwezige Inomellt kl..i.lt'r lOr grut"r ,h'll 1...1,,,·,,"dig,,.,, dlLU :tal <Ie tol Ila lo"llllcll vanuil de vuorgesdlr,'v"11 "la.,,1 ver,I"r '"lsh","0)r..sp, nlWrue begilllltund will,'" It·r''gk,·rt·,,.

"I'

gru",1 hiervan is vour elke st..nd vall ,Ie tul Ill' 1.<' gaalt aan w,'lke vOt'rw....rden mod worden vuldllall Olll,I., tol va.llIit deze stull<l ",-rder tc doclI uitsla..n, hetgeell nuudzakelijk is um IWIll up d(' bellCh:reven wijze tc <101('11 funetiullncren.

De fCsultaltm wordell IIieroll<l"r pUlIlsgewijs upgellOmd:

1. Hij het duorlupcll Vall ,I.. regulair,· preeessie ill de tangen-tiele reactie tUSllt· .. lui "II grulltlvlak Ills uitgl'sehakeld te be-schouwen. De tol rolt "vI.,r het grundvlak ..IIdraait du.arbij om

de verticllieWIduor IIet 1, wu"rLc!.lunt,

2. Het rollell vall de tol ovcr het gron.lvlak volgens een door de op"lIingsllO..k vall de kegelmalltel bepaalde cirkelbaall lej"rt cen ollduhbclzinnig l!"unwLrillCh verblLlld LUSlien de rota tie-snelheid van de tul um zijn hartlijn c/\ de rotatiesllelheid vall deze hartlijll omd ..v....tieale dralliillg11Wl duor het zw_rtepunt.

a. IIIde begillrotalic w kleill, dlln blijl't de tol draiUen om zijn eigcn vertiealellll [stun" 1VUII fil{. 2; voorwaarde(la)].

4. Holt de tol lIl..t lIethlllll..gment over het grondvlak. dao

ill de rotatiellnellwid vall ,\" tol om de hartlijll ondcrgeachikt _n en van It-gell/{,'sldd tek,'u als de rotatiesllelheid am d,' verticale draaiingll/lll. Hit bet"kent dIlt de tol ill deze stand meer fungeert als cen r,-gull'leur dan ..Illecn gyrOllcoop [stand

II van fig. 2; verg. (5l].

5. De stand wl&llrbij de steel van de tot over bet grondvlak sleept (stunt! III vall fig. ~) ill slecht.i bcreikbl&l1r, indien de tol eOlllltructiet aan h,'plllLlde ,101lr(lU) gegevell, voorwaarden voldoet. Hieruit voigt dut de v.. rhouding vall de hoofdtr_g- . hei,lllmomellu,n11~ 1'/1nid willekeurig gekozen kan worden,

mallr gekoPl'dd ill aan d(' excentricitcit"= IItRvall bet zWlUlr· tepunt ten opzichte van hd llIiddell}unt van lie bol met radiull

R. De voor het h"reiken VlUl ,I..ze stand minimal&l benodigde beginrotatit' w voigt uit(II).

U. De tol rieht zich op, walllleer de kracht. waarmede de Over het grondvlak slepell"" steel tegen dit vlak ....ndrukt. ge-lijk wordt aan het gewidlt vlln de tol. Voorwaarde voor hd bereikell van deze toelltund ill tiat de beginrotatiew grater ill

dan de door (15)gege\'en grellllwaarde.

7. Rolt <Ie tol met de sto'd over het grondvlak, dan is d.. rotatie om de harWjn grot..r dall die om de vertical" draaiinWl-as. lJaarbij heeft de tol van bov.. n gezien dezelfdc dra.urichtillg alii de precc!l8ic. De tol fungeert nu aIs gyroscooJ> en richt zich verder op. [stand IV van filol. 2; verg.(Hi)].

~. Detol richt 1:ich lIict verder01' dan tot de IItand waarbij 110

•

o ~

-UlI 40

----

....

--

- -

..

-

t--_V~ IflD JO Gl8 ]I[ ZlI

-

-

_~

1'-. ₁₁₀ 60 I I"..

-

...

•

I"r

I ,.. .~ , 1--1 ~:. ~

.

_~

Fla· 6.De beginrotatie<tI. die minimaal benodigd ill voor het IJc,reiken van de door de opentngahoek {} gekarakteriaeerde

re-guJiUrepreceuie. VoordebijllChriftenI timV wordt verweun

.Ieverticale draaiingsaa nagenoog gsat doorceopunt van de rand vau de steel [stand V van fig. 2; verg. (20)).

Il. l.lit fiR, 6i. teueudat het criterium voor de beginrotatie, die afl:ezit'u van de wrijvingsverli..zen nodig is am d.. tol good

Ie liot'lI fuu('\.lnnnt·rt>n. l(t'lt'j!t'uillin het zich opricbten vanuit •Ie ~tand wllarhij tit· Ilteel llVt'r ltd IlrondvJak "Jeept.

[voor-w..ar.i ..(I!i)],

\<;ill.1I10\,'·U, 17 Odol"'r lU51.

VerwijdngeD

[IJ !'\ulllllncll'HlIg Lauoratoriu/ll der N, V. Philips

Glocihml-,"·lIflll,ri.-k.." 1-1' Eillllhn\"·f1.

(:.!I I) \l1l~:SIlt:N,..HI·t tnvertnlletj.·," DeIngenieur63, A 380, II/51. l.it· "ukDe Iligenieur63, 1\441>--448,1951.

1:11 Ygl. lIulI.lll11eh tier l'hy~ik, Uti. V. biz. 415, verg. (")

liltt I ~- It,Spring.-r, Herlijll (l!)27).

141 "Ill. lIalld 1lllf'h ,Ier Physik, n.1.V, biz. 4017, verg. (2) met

,'i U:Spriul!l·r. Bcrliju(I!J~),

(5] Op het ogenblik van bet venrijdereD vaa

eeo.

(niette~)

deel van het yel'llChilmomentM·G.../}I,,",rdt niet~ voldsan san Yerg.(1). Opgrand vande&icemenI' BuleJ'-Yergelijkingen yoor de tol met bolvOl'D1igctaata(zie bi]Y. Fokker, Physica 8, 591--596, IN}) kan worden unge-toond dat de hoekvenlllelliug {} onder de geRevenomsa• digheden in Ct'rstc in.~tantie I'ORitieC is. IX- tol gllat dan een nutatie uitvoereu teu opzichte van e.. n regwaire precessie met I{I'Otere opellin/r-lhoek dan die, waarvanwen! lIitgegaan. Tcr iIlustratic mOl(e verwezen worden naar de jlseudo-reguillire precI'ssit· vlln ccn snel roterende. inceD punt ondt"Mlteund" tol, die nil in een sCN-ve stand va'· gehouden te 7.ijn plotseling losgelaten enIl&Jlde

&waarte-krscbt blootg.~steld wordt. (Handbuch der Physik. Bd

V, "18---422, 1927). Bij tic hier gegevpn be~chouwingen

is de nutlltic 01' tc vattl'n als cen secundair, onder inyloed van de wrijviuR wt'gdempcud verschijnsel.

{

V;;()rl(e~"..,/.r:

VectoJ-eY1

eJ.-1

feJ.?Joreh

/n

d~ ~~/j,..,..,tt..

Q""", ' k J

heel-7)

2

e./~

a.a"...1

~ecj.,~

H / C

A-

4/K.1Y. -

7:#.£.

/?r/~.

{

flaYtnc.."....,~:

star

//cha.aYJ--7

l"'"t~I'~,....,d

(/n-,

~-i'1-?

~I

J//J..J

t

I'~H

t

do

"(p/

h-IA ././4

h-Il·elalU~~...,

tL

<'LV).

tl'"thtJh'fI"~A./t.. ~4J'/..Il/t,t()"'~I--1~ l'''cJ,tJdl';trc~/~~d

Me".1).

f

rr4~

J/!/Jo

J-H

a-I/<.. .

- e;

~J~)

=

[~

(

~J(~/:)

~t/(.~/)

~-

~

- t

~I

.

~;J]

j

[3;

=

A"~

/]

~J

;

11f-~

//Jt"UR",.V

J

3'1:lp~

//Xb.

Ie

WIU,rL-f ./1'"'H,/ A.

~."¥,,oJ

) { '

9~I--?O~~d,1

6v.

,fi

COOI'a//I'fAevI-_ Vyj'

E

/'1

t J,-f..leJ, CLph1!!~ ..

C""==-A~r~~

£=A~~~

(it;~)

E"~

~r~

-.t-

_~.

{~L:

VA.J

t /,...,

dt. rU/J+-Itt.. ,

,..1

(L

~~.~

J

{~j

:

l/a,1

a.41o-J

L

?t.f-tJ<<t'-l£'

f

B

j'

h-e-J.

-6

e.f/"'"

va.

~

dl

/'(}t-4r,,"~

VALf

{{!J

Ja.'--1~~ J+-t~ {~J

'

"'2

l

1/

a

t

t. J" /

.~ ~

L

~

/.-f ",.,

t

I,

J"

"G

L,

J/~"~

I

A.

A.h

i'

VA

10-1 )

La.A,.h

,P/:'"

diJ"/.-f/~t,-

ht:..4Y',4/AIL-h

q,

E~

9t-ld"t.

g£.(..J : 'A:;

=-...-;:z:'~

l1e{.t

R=:/c

.$

s]: ;;

=;~~)._[~

=R-3.;}

JtIIJ)

t..s. /

L J

-fi

'7f

J

~

,

R"

#14Ir/A

rt.".d/4J'~l-ft~t/"-t. va.~

&It.

I'l7fllt/t.fllo-l/III"',J.64,Uj{?j

-

...

-

-

-

--

...

' -

----

~.---

-

--

-

---

-

-II()~K

J '"

~

t

h

~

/d.

J/a.~

£

r"ftr-t"., d. (7

~ tJ;

.IE'

=

.R/zt)

9#

~ V~"a.J-1dt,.r.J

P 6''';'1'1-

J/A../r.

fhi{),~/d

I/AI-f ..,f'"

tfI",6

• •

•

r

~/a.~

ttF "

• :J!

=

,-z,4f

='

R

'3~

-=

l~g

'X4'

/r/(7:

J~),e~I.lYH-1l-+7el"'IJ~J,t..h-r~t;'/:r rt""J"~/~

....

t-a~/~

1/14...,

all.

hl7t

11'

./h~1 h~/

/£.II-t...-, "

r

(f6J)

&'

R

/e7

o-~

(~)

co

w

_J 0

--

-~ ~

~

~

.,

~

CoiJ'l"d~~a.~""';'~0(,

hp~k.lki{h4/~V~~tt?1'

va.-

L

t,II.V.

vu!t

t

"'H~~

(.

•

I

Shethi/'d

Va_

.r

N

GL

o/J

~La.4h

"3

.-1:1!=(~)'3:

=

~n)gl

J

-7=

z;r~,-z

_-{Z;J:

(Yfj:

-.3-

~s

.lJ1'/~ J t~11'

U.I'

.6

4J

/:r

V~~

I-c

I't:1--'1 : p •

{e; }:

"Va.J

t

I Vp

dt.

1'141

~t~

.

va

J

t

a

A

~

.f

til,)'

//t

h

1tc4H-t

~.

S"~

L

.

..

~ (V4.l~~)-:---"

L

r(Jtt~

1"1'

t)M1

P.

-

-6-

~.

h1~~

.

.a =

0

At-LJ=l'e

- 7P.=

0

l-i

('?

UfJ/>Y?

Bd

l

C\y-JJl

P~t

PIC

~r

o..""' ...

~ "'<::::iQ-l" ~ ~\. ~~ ~

t '::)\ " ""'"

W "'"Qu··....,;.

~ ~ .Q.I'o'\..,,)OG\f ~0 '-

ea.

IV'\Q

:P:

SO ...~.

o""w~'t-c.c;..

...

~ ~'-'J-~\

~

~ ."~.... ~_"'- r C-C< '" • \,.'" <.r~ ~ ~u· '-"0\.0..d-\.~ ~Clo.ll~ .,J<=.'-'.

,..o...

,,~~ ~c;.r:,

...

t:. c.N06

I

\

---+-Xl-o.~

.

6} /

-4-\

\ I

'\.

""-..

--

{

, / ,./" , - C&5. V"'-'"

>-0''''

."

<.\..g,

l

~

~ 'No..o.~C.\;'OClo • ~ ~~ ~~.~. dL ~-c.. ~ dec.t" ~

2.l.ooJ~ c 'toQ. pv... \:: ~.

k.

oc.

~ ~

II ~ ~

ty""""'r

+

~'5 ~Q\~~ia.

\1'V"~~~~dM~~ ~""" S~&.;,~)

~

. S

Q.l.. ~ ~(A...0 \::0~

\..a.A-2.WQ.o.'f"'~lLp~...-.\::::. i)CL"- \~et':

of

e..a.-..

Q..

Y'

~

"'"

Q.

~ ~e-.", ~~" (\ci.eJ'f~"

\; .

~ ~~c:..'\..rQ.Q~~ ""'--"'~

c_

dQ. 0 4

~ ~5'~d- Q.C:;.~

c:l.-

x-~

...

Q('

~ ~ro..

...

ci

~ ~

....

~ ~ GWf'~

...

't-

..:~

.. ~

1.=

ff~~+~PdZ~2>')(~'j

"z;:.~ IJ 1. yo..,. ...J. .

'e.,

\'100,.y-. ~ •

R

" '/2

1~

+

J

tep

(R,--?2)(Z_

(Sd

J~

2:~ ~

1... .:

'I;,.

3~

+

T7:..f

J

{-'2

'1t-

2.;;/(Q

+.,'(

R'-ca') -

n

R<~

t-R'cl]

d"

2=B

Ix:

lIz.

J~

l'

l\;f[~

B

S- '

15

R:>

T

'h,(

R,1_

g

'1

~

;"/

₃

(rl~

-rt

)(((~

(9.'"J.-

C!).,(R'1-B<'(t},..

~"(i-B

Rt)J

'(V\

C)..~

';.Q

~

c:LQ.

~ ~

VI-Q

~

't

)f -Cl>.

a'\~ I",,;)or~

'oA-fc;...

\d

.~v . ~ w.,-~V'\,t ~~Mit

s..~j ~ ~cA-

:1

~ ~r Q.a.l .:;.

IJ

R~-

,'L

~

c!-~ k~' d2..

~S\~~

III

'Ct

~ ~

...

~ ~'" ~ ~

CV\@Q.

V-9

a

+

Ad

M '.·....

iiip.,. • • \ « ..

I): f:<cl 5 1: p-nt "roupie Mac;jique'";': 1/0", I 2: if I:::O,j(np ~3 3: wr-t 11, "Telupie Magique" 4: 19.5}R;4.5;-8;lS.4}S;O}D;O}P;24}H;O}A 5: .128}E;.0079}C;1.13}N;3.78}F;7}G;1.8}K 6: gto :34 7: ent f:;:,"r" ? " ,B, 5 , D, H, A, F' 8 : ci1.tTl ') [ ;'J , H[ 7 ] , J [7 J , I [ 7 J , 5 [ 7 J ljl: ~ *£:('2

*

~3;'V [ 1 ] 10:: {/4*D"':'::'*I~;'\)[2J 11: "1n:* aR"'3}Vl3J 12: U2"1* (16*F(···3-12*R··2*H-t·W··3l }V[4J L::. {/"1HY"2*P}V[5J 14: Vll]+Vl2J+VE3]-Vl4J-V[SJ}V[7J 1S: (H+~1l I=~::H[1] 16: <Ij-..A)12}Hl2J 17: O}H[:':;;J 18: 3/4*(R+H/2)A2/C2*R+H/2)}H[4J 19: (F'--H) /2;- H£:5J 20: -HL1J,*V[1J-HE2J*V[2J-H[3J*V[3J+H[4J*V[4J}H[7J 21: (H[7J-H[5J*V[S])/VE7J}H[7J 2 : : : . /:.:;

'*

8""4

'*::)}

J [ 1 J Z:;;: U2*D"''4*A/16}J[2J 24: 8/1S*{.R AS}J[3J '2~j: H/::}W 26: (4/1S*r(····:S·..·R···'4*WI2+R"'2*W"3/3-W"5110>

'* {}

J [4 J 27: {/:32*D''4*P}J[5J 28: J[1]+J[2]+J[3]-J[4]-JESJ}JE7J 29: H[7J+(H+Sl/2}S[1] 30: H[7J+(H-Al/2}S[2J 31: HC]]}SC:;J .::::2: H l 7 ]++-1E4 J } S [4 ] 33: H[SJ-HL7J;'SCSJ ::::.4 : ':) [ 1 ]

'* \)

E 1 ] + 5 [2J

'*

V [ 2J+ S [ 3 J

*

\.1[3 ] - 5 E4J

*

\,.1 [ 4 ] } S [ 7J 35: SE7J+S[SJ*V[5]}S[7J 36: SE7J/Vl7J}S[7] 3 7 : U12*B···2*S* (:;*8···2+8····2) } I [ 1 J 38: aD'2*A/192* (3*D···'2+4*A···2)}I [2J 39 : ~J[:3 ] } I [ :::; ] 40: H1.4J}(l 41: 2/15*Rh5+1/S*WA5-1/2*RA4*Q-l/2*Wh4*Q+2/3*RA3*QA2}I[4J 42: (Il4J+1/3*WA3*QA2+RA2*CWA2*Q-1/3*WA3-W*QA2»*{+1/2*JL4J}I[4J 4:3: U 192*D"'2*P* (3/4*D""2+P'~'2)}I [5J

44: I[1]+S[lJ A2*V[I]+I[2J+S[2J A2*V[2J}IC7J

45: IC7]+I[3J+S[3J A2*V(3J-I[4]-SE4J A2*V[4J}I[7J

46: IL7J-IC5J-S[5J A2*V[SJ}IC7J 47: HC7J/R}E 48: JL7J/(V[7J*HE7J*9.81*1000)}C 49: I[7J/J[7]}N 50: (R-'H[7J)/B::F 51: (H/2+S+H[7J) /B}G 5:2: B/Hl'7J}K 5:3: wr-t 11

54: wr·t. 11,"de invoer qegevens :~ijn:"

55: wr"t 11, HR=II , R, Ur=It ~ B!, ..S==II :-S, IID=" , D, 111-1=1I , Ii, III~=It ~tA~ il } = I : II , F'

56: WI"t 11,"de r"t2sLdtaten ziJrr:"

57: wr-t 11, "E=", E, "C=", C, ioN::", N, "F:::::", F,. "5=", G, "K:::", r:::

58: deg;acs(-R/\(CH/2+Sl A2+B A2l)-atnCS/(H/2+Sl)}T

59: wrt ll,"Td=",T,1+E/absCcos(Tl)

60: wrt. 11, "l--e=", 1-E, "<N<", l+E/abs(cosCT», 1/=I+e/ ;cost:"

61: N*s1.n(TlA2+(E-cos(Tl)A2}V