Gestrekte keerpunten in koppelkrommen: stangenvierzijden met rechtgeleide omkeerpunten

Gestrekte keerpunten in koppelkrommen

Citation for published version (APA):

Dijksman, E. A. (1984). Gestrekte keerpunten in koppelkrommen: stangenvierzijden met rechtgeleide omkeerpunten. (EUT report. W, Dept. of Mechanical Engineering; Vol. 84-W-001), (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Vakgroep Produktietechnologie : WPB; Vol. WPB0053). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1984 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Eindhoven University of Technology Research Reports EINDHOVEN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

Department of Mechanical Engineering Eindhoven The Netherlands

GESTREKTE KEERPDNTEN IN KOPPELKROMMEN:

Stangenvierzijden met rechtgeleide omkeerpunten

door Dr. Evert A. Dijksman EDT Report 84-W-001 ISBN 90-6808-001-6 ISSN 0167-9708 Coden: TEUEDE Eindhoven Januari 1984

Voordracht gehouden ter gelegenheid van het DET-Colloquium "Leer der Mechanismen" aan de Technische Hogeschool Twente op 19 oktober 1983.

CIP-gegevens

Dijksman, Evert A.

Gestrekte keerpunten in koppelkrornrnen: stangenvierzijden met rechtgeleide omkeerpunten / door Evert A. Dijksman.

Eindhoven: University of Technology. Fig.

-(Eindhoven University of Technology research report /

Department of Mechanical Engineering, ISSN 0167-9708; 84-W-001) Met lit. opg., reg.

ISBN 90-6808-001-6

8ISO 650.3 UDC 531.1:62-231.31 UGI650 Trefw.: kinematica / mechanismen.

i i i

INHOUDSOPGAVE :=============

Voorwoord

Engelse en Nederlandse samenvatting 1. Inleiding

20 Kinematische beschouwing

30

Algemene Constructie vpn de stangenvierzijde,waar7oor

2

4" Bij zonlere oplol:3;3i.ngen, WEtarVoor x = 4y 50 Oplossingen,waarbij y = 1

6" Oplossingen,waarvoor x:= y + 1

- F

70

De afmetingen van

0

A ABB

o 0

8,

De Burmester-matrix en de afmetingen van het Burmester-triplet

90

De Roberts'-transformatie

100 De samenhang tuss-=n B- en R-transformaties

110 De volledige Burmester-Roberts Configuratie - C

BR

-12, C

BR en de grafiek y versus x.

Appendix : relaties voer strekbare vierzijden

I,ittera tuurlij st Dankwoord

- iv

VOORWOORD

In de praktijk wordt een rechtlijnige heen- en weergaande beweging veelvuldig aangetroffen o Men denke bijvoorbeeld [lan de beweging van een hemer op een aambeeld, aan die van ecn naald in een naaimachine of aan die van een zuiger in de cylinder van een verbrandingslliotoro Oak bij overzetmecha~

nismen of verpakkingsmachines komt de beweging veelvuldig voor o

Ituimte om een dergelijke beweging to genereren ~s niet n1tijd

v00rhnndellc

Ala vanouds gaat het erom een roterende beweging in een recht-lijnige am te zetten,zoals gebeurt bij een krukdrijfstang-mechanisme,dat hedentendage uit onze maatschappij niet meer weg te denken yalta Oplossingen,waar oak de leibaan niet meer no dig zou zijn,kunnen in de praktijk worden toegepasto

Het is om deze reden,dRt gedacht is aan de toepassing van een r;tangenvierzijde,waarvan het krukdrijfstangmechanisme uitein-delijk een bijzondere vorm iso Ook daarbij kunnen punten,zoals

blijkt uit dit rapport, een min- of meer naaldvormige kromme beschrijveno Deze bijzondere 'koppelkron~en' zoals ze bij de

stangenvierzijde genoemd worden, krijgen hier de aandacht o em praktische redenen is echter vooral de n~druk gelegd op net

~ ~ van de stangenvierzijde,die Ran de gestelde eisen moet

voldoen o Aangezien bij het bepslen v~n de hoofdafmetingen een veelvuldig gebruik gemaakt is VGn de computer, kan hier oak met recht v~n een computer-gesteund ontwerpen worden gesproken.

(computer aided design)

Omdat v8nwege het algemene karakter van dit onderzoek,bijzondere toepassingen niet zijn nagestreefd, is het onderzoek vooralsnog beperkt gebleven tot het algemene onderzoek van de meetkundige mogelijkheden a

Aan de constructeur zijn twee zgo ontwerpvrijheidsgraden cverge-laten,die hij verdeI' naar eigen goeddunken kan gebruiken o

Mechanismen met een optimale bewegingsoverdracht,kunnen worden uitgezocht zonder dat daarbij veel aan vrijheid wordt ingeboeto

v

-De veelheid aan aangeboden oplossingen garandeert de mogelijk-heid van toepassing in de fijnmechanische sfeer enerzijds als in de sfeer van krachtwerktuigen anderzijdso

De toegepaste wiskunde,die aan dit alles ten grondslag ligt, blijkt zich te bewegen op het terrein van de bewegingsmeetkunde

(kinematica) ,de matrixrekening en de theorie van de grapheno

Een bijzondere rol he eft daarbij een ruimtelijke graaf gespeeld, een zgc CUbo-bitetraeder, langs wiens ribben de transformaties plaatsvonden om de diverse mogelijkheden in elkaar te do en over-gaan o Het is hierom,dat dit bijzondere 'kristal' als symbool gekozen is van dit onderzoek o

- vi

Summary Coupler curves having an undulation point (Ball's point) that coincides with a cusp, may be used for ~ripping mecha-nisms , approaching products in a straight wayo Because of this, a specific design has been suggested in which the coupler point of a 4-bar linkage passes through a so-called ball-nodal point.

Solutions,based on the Burmester-theory appear to be interrelated through RobertsO Law. This somewhat intermixed relationship, may be represented by a 3D-graph, in this case a cubo-bitetrahedron where each of the 12 vertices is to be occupied by a 4-bar o Transformation--formulae,necessary to go from the one apex to the other,are

presen-ted. Longer edges,thereby represent Burmester-transformations,whereas the shorter ones,transform a 4-bar into an appointed curve cognate, according to Roberts' Law.

In order to appease the designer,the main dimensions of the 4-1)ar are given as a function of 2 independent variables,x and y, This is done by the extensive use of three basic numbers (t

3,t2,t1) that are interrelated through the necessary condition that Ball's point ic also a Burmester pointo

At the end of this booklet, 4 graphs &re presented giving inform::ttion about the transmission angles that are to be expectedo The designer may use them as an indication to find out which 4-bars are stretchable and which ones have equal transmission angles in the extreme positions of the rockero

Dijksman, E.Ao

STRETCHED CUSPS IN COUPLER CURVES: Four-bar linkages having Ball-modal coupler points (in Dutch)o

Department of Mechanical Engineering, Eindhoven University of Technology (Netherlands), 19840

EUT Report 84-w-001

Address of the author: Dr. Evert A. Dijksman,

Theory of Machines and Mechanisms, Production Technology and Automation, Department of Mechanical Engineering, Eindhoven University of Technology, PoO. Box 513,

5600 MB EINDHOVEN, The Netherlands

SAMENVATTING

- vii

Koppelkrommen, waarbij keerpunten met undulatie-punten samenvallen, kunnen worden gebruikt voor grijpermechanismen, waarbij producten rechtlijnig moeten worden benaderd o Om deze reden is een specifieke constructie voor de stangenvierzijde ontworpen, waarbij het koppelpunt een ~­

nodaalpunt iso Oplossingen, die op de Burmester-theorie berusten, zijn tevens in verband gebracht met de stelling van Roberts. Dit verband kan zowel in een grafiek als in een ruimtelijke graaf worden weergegeven,waarbij 12 stangenvierzijden zich op de hoek-punten van een cubo-bitetraeder bevindeno Transformatie-formules, die dit verband weergeven zijn opgevoerd o Ten behoeve van de inge-nieur-constructeur zijn de afmetingen van het hoofdmechanisme ook in het algemene geval weergegeven als functie van een drietal ken-getallen (t

3,t2,t1) ,terwijl aan het slot een grafiek informatie geeft over de te verwachten overbrengingshoeken,die een maat zijn voor de bewegingsoverdrachto

Dijksman, E.Ao

GESTREKTE KEERPUNTEN IN KOPPELKROMMEN: Stangenvierzijden met rechtgeleide omkeerpunteno

Department of Mechanical Engineering, Eindhoven University of Technology (Netherlands),

1984

0

EUT Report

84-w-001

Adres van de auteur: Dr. Evert A. Dijksman, Groep Mechanismen,

Vakgroep Produktietechnologie en Bedrijfsmechanisatie, Afdeling der Werktuigbouwkunde,

Technische Hogeschool Eindhoven, Postbus

513,

Inleiding

- 1

-Voor het neerzetten of opnemen van producten op of van een stilstaande of bewegende tafel door een grijpermechanisme,is een aankomende en daarna weer teruggaande beweging van de grijper ten op-zichte van deze tafel essentieel. Jij het einde van de aankomende en bij het begin van de teruggaande beweging, is er een moment van stil-stand tussen grijper en tafel nodig. Anders, kan beschadiging van de neergezette producten worden verwacht. Het ligt daarom voor de hand om, bij de construe tie van het overbrengings- of geleidingsmechanisme voor de grijper, gebruik te maken van keerpunten in baneno

Zoals bekend uit de grondbeginselen van de bewegingsmeetkunde, bevindt,

/ /

van aIle punten van een bewegend vlak,alleen de (snelheids-)pool P zich in een keerpunt van zijn baan. Construe ties van mechanismen,waarbij dUB de pool P is betrokken,zijn daarom van belang. Zeer fundamenteel is het gedrag van de baan van de poql bij een stangenvierzijdeo

Bedoeld i~ daarbij de baan beschreven door een koppelpunt K dat zich in de ontwerppositie van de stangenvierzijde,waarbij dus de grijper even stil moet staan, in de pool bevindt. Zo'n koppelpunt wordt dan star verbonden gedacht met de bewegende koppelstang van de stangenvierzijde. In de praktijk blijkt recht neerzetten of -opnemen het meeste voor te komen,zodat het voor de hand ligt om ons te beperken tot omkeerpunten met een 'rechte' keerpuntsbaan,waarvan het heen- en teruggaande

gedeel-te niet noodzakelijkerwijs even lang hoeft gedeel-te zijno

Om tot de constructie van dergelijke stangenvierzijden te komen,zal, net als bij de benaderde rechtgeleidingsmechanismen (Zie litto (1) en

- 2

-koppelpunt worden genomen. In totaal willen we dus,dat K ~ U = P , hetgeen in ons geval echter betekent,dat het keerpunt,dat weliswaar geen zelfcontactpunt,maar weI een dubbelpunt ~s met een enkelvoudige dubbelpuntsraaklijn,daar nu ook een echt buigpunt*)krijgt. Dit komt, amdat we in het punt P van de koppelkromme niet van een gewoon buig-punt,bestaande uit 3 infinitesimaal dicht bij elkaar gelegen punten, kunnen uitgaan,maar van een dubbelpunt met slechts een infinitesimaal daar dichtbij gelegen punt,waardoor de conditie U ::r P voor een

ver-hoogde aanraking inderdaad neerkomt op een samenvallen van keerpunt en buigpunto (Dit geeft dan (1+2+1 = 4) samenvallende snijpunten met

de keerpuntsraaklijn .. )

Voor een betere 'rechtgeleiding' in de pool,kan men, in aanvulling op de eis voor een buigpunt (U ::r p) in het aankomende- of in het

te-ruglopende deel van de koppelkromme,buitendien nog een 5e saijpunt van de keerpuntsraaklijn met de koppelkromme in P leggea. Gebeurt dit, door te eisen,dat het punt van jaIl een punt van Burmester is

CU '"

11

1),

dan betekent dit voor de pool,dat het daar reeds aanwezige buigpunt over zal gaan in een echt undulatiepunt met een 4-puntsaanraking met de keerpuntsraaklijno In de pool valt dan het keerpunt sarnen met een

echt undulatiepunt .. In totaal dus (1+2+1+1) =5 samenva1lende punten van de koppelkromme met de keerpuntsraaklijn. Een keerpunt,dat samen-valt met een echt undulatiepunt, zal 'ball-nodaalpunt t worden genoemdo Voor een ball-nodaalpunt is dus ~11 3 U 2 P. In de praktijk betekent

dit,dat stangenvierzijden met 'scherp gespitste' koppelkrommen kunnen worden ontworpen door middel van de condities K ::r P ::r U = 1110

H)Een buigpunt t dat zoals hier met een keerpunt samenvalt,wordt ook weI flecnodaalpunt genoemd.(Zie ook Litt.

(3))

KK)In het algemeen is in een dubbelpunt van de koppelkromme,die immers van de 6e graad is, op ztn hoogst een 5-puntsaanraking met een der dUbbelpuntsraaklijnen mogelijk.

***)

_Voor

6

_{samenvallende punten ~n}

.

_{P, dus als R1}

2= P ,ontaardt de koppelstangbeweging in een elliptische beweging met exacte recht-geleidingo

3

-2. Kinematische eeschouwing. De eis,dat het undulatiepunt U moet samenvallen met de pool P ,.etekent,dat de brandas PU van de momentane middelpuntskromme (op) de .uigcirkel

.0

in P moet raken. De erandas valt dan dus samen met de poolraaklijn po Als gevolg hiervan valt de middelpuntskromme (cp) uiteen in

deze poolraaklijn en in een cirkel (c-cp),die de poolnormaal in P raakt. De poolraaklijn wordt zodoende een diameter van deze cirkel.(Zie figuur 1)

Middelpunten,die gestelpunten zijn van een stangenvierzijde,kun-nen aIleen op het cirkeldeel van cp worden aangetroffen, omdat anders het koppelpunt in P om een center-punt van p gaat roteren, hetgeen niet de aedoeling was.

De .ij.ehorende cirkelloopkromme (cp),waarop de .ewegende draai-punten van de koppelstang komen te liggen, valt weliswaar niet uiteen, maar haar .eide krommingen in de pool zijn juist die van c-cp en van de .uigcirke19 Een nadere .eschouwing van de vergelij-king van op leidt inderdaad tot deze conclusieo Het een en ander .lijkt trouwens ook,wanneer op punt voor punt wordt geconstrueerd o In figuur 1 is dit uitgevoerd met .ehulp van de zgo·.randpuntscon-structi~,waareijhet .randpunt F en de .randas MaP een fundamentele

'?1.1.

rol spelen: Iedere lijn L door F snijdtVde .randas in een

middel-a

punt M

a van een oirkel,die door P en door 2 punten van op op La gaat.(Daar.ij zijn PF,de halve hoogtelijn in

A

PWM , en de brand-as elkaars spiegel.eeld ten opzichte van de poolraaklijn p.)

Met Detrekking tot het ontwerp van de stangenvierzijde, kan verder de Duigcirkel steeds in het .ovenhalfvlak worden geplaatsto Deze keuze doet geen aftraak aan de algemeenheid van de oonstructieo Ook kan,om redenen van symmetrie,de cirkel c-cp steeds in het rechterhalfvlak worden genomen. Het een en ander betekent,dat de

4

-lus van de cirkelloopkromme in ieder geval in het eerste kwadrant en ook steeds binnen de buigcirkel komt te liggeno

De tweede eis, dat het undulatiepunt U tevens een punt van ~urmester moet zijn,moaowo,dat het een punt van &11 is met exoess 1,(U :: .11)~ _etekent in de praktijk,dat de koppelstang van de stangenvierzijde in ons geval door het midden Mao van de auigcirkel moet gaan. Deze eenvoudige regel,die praotisoh van veel nut is,kan als volgt worden afgeleid:

~ekend

is reeds(1),dat in die gevallen waaraij U:: 11₁ ' de

koppel-stang de poolnormaal hoort te snijden in een punt T ,vastgelegd door de lDetrekking:

1 1 1

- + - : : - (1),

1 1_{o .iPT}.

-waaraij tussen de langs de poolnormaal gemeten lengten 1::

PL ,

1

0

=

FLo en de auigoirkeldiameter 0 =

Pi

nog een aetrekking

ae-staat zoals

1

= -

_o

o (2)

1/2 en 1

0/2 zijn daaraij de kromtestralen in de pool,gemeten langs de

poolnormaal,van resp. de cirkelloopkromme en de middelpuntskrommeo Afgezien hiervan,kunnen de grootheden 1 en look worden uitgedrukt

o

in de kromtestralen

R

en

R

van respo de aewegende - en de vaste o

polode. Deze lDetrekkingen zijn respeotievelijk:

en

F

!Joo/'

I

5

-Z:MrI.-J

Zijn (r, Q)Yde poolcoordinaten van een cirkellooppunt c.q. van een Dewegend draaipunt, dan kan de cirkelloopkromme in het alge-meen als volgt worden ieschreven:

1 r 1 + _{m cos Q} Hierin is = - (6)

waarin s de booglengte voorstelt,gemeten langs de vaste of langs de bewegende polode.

De bij de cirkelloopkromme horende middelpuntskromme wordt bepaald door de vergelijking:

Omdat in ons geva1 U

=

P ,is het iijiehorende oneigen1ijke krommingsmiddelpunt U~ van p , het asymptotisch punt van cP~ Rier-door is

(8)

~ ~

en valt cp uiteen in een cirke1 c-cp en haar middellijn po Zodoende volgt uit (4) en (8),dat

waardoor we hier in eerste instantie te doen heiben met een zoge-naamde 'elliptische positie' van de stangenvierzijde.' Dit, omdat de krommingen van vast. en iewegende polode zich net zo verhouden als iij de e1liptische iewegingo

,

SUDstitutie van (8) in (1) en (2) heeft tot resultaat,dat

PT

=

1/2

=

6/2 (10)

hetgeen inderdaad ietekent, dat T

=

Mac

,het midden van de iuig-cirkel. Indien dUB B1₁ :: U :: P ,gaat de koppelstang (AB) door het

~ 6

-__"If· ":!'

midden T van de .uigcirkelo

; Wanneer het undulatiepllnit tevens punt van Burmester is (:Bl

1 = U);

liggen,op grond van de stelling van R.MUller (~), de overige: drie

t

!urmesterpunten (A

,:e

en A') 01' een rechte lijn, in dit geval dua een rechte lijn door

T •

M.co (Zie ook Litt.(5))

:8ij het ontwerpen van de stangenvierzijde,waarvoor :811 = U = P , zijn we nog vrij om de richting van deze rechtedoor T te kieze:D.o

Voor een eenmaal verkozen richting v:indt men dan 3 snijpunten

A ,

:8 en A' van deze rechte met de 3e graadskromme cp., die dan de 3 Burmesterpunten zijn uit de stelling van RoMullero De bijbehorende

Burmestercentra (A , ! en At) vindt men dan 01' de overeenkomstige 0 0 0

'"

poolstralen door P en 01' het cirkeldeel c-01' van de middelpunts-kromme. Al met al zijn er dus slechts 2 wezenIijke

ontwer1'vrijheids-graden. Deze zijn m/o en de heIIingshoek van de koppelstango' Omdat

er telkens 3 :eurmesterparen zijn, kunnen ook telkens 3 stangenvier-zijden worden geformeerd,waarin het kop1'elpunt,gelegen :in het

snij-)£)

punt van de o1'staande staven een 'rechtgeleid' keerpunt zal doorlo-peno

30 Algemene constructie van de stangenvierzijde,waarvoor :511

=

P.

In figuur 2 is gedemonstreerd hoe het mogelijk is de constructi. uit te voeren zonder het ge.ruik van een 1'untsgewijze constructie van de cirkelIoo1'krommeo DaarDij wordt geDruik gemaakt van de eigenschap, dat .ij deze ontaard:ing van de middeI1'untskromme,althans voor het uitsluitend hier voorkomende geval,dat de gestelpunten 01' c-cp lig-gen, de collineatieas PQ loodrecht 01' de gestelIijn staat.(PQ A Ao:e

o) De constructie zelf is als volgt:

ao Ga uit van een orthogonaal assenstelsel (p,P,n)

80 Teken een .uigcirkel 8C door de oorsprong P met een middelpunt M

BC = T 01' de poolnormaal n ,

)£) Zoals hiervoor beschreven,valt in dit punt het keerpunt sarnen met het punt van Ballo We hebben hier dus te doen met een hoger flecnoda.alpunt, en wel een flecnodaalpunt met excess 1,ook wel ballnodaalpunt genoemdo

7

-Co Teken voorts een cirkel c-ep door P en door een wi12ekeurig punt M van de poolraaklijn po Het midden van PM is daarbij tevens middelpunt van

C-ope

do Kies een willekeurig gestelpunt

A

op c-ep in het

4.

kwadrant o o

eo ~epaal het snijpunt A van FA met de huigcirkelo

W 0

fo ~ereken de ~ijbehorende ligging van het

(!urmester-)cirkellig-gingspunt

A

met behulp van de Eul~r-Savarysche aetrekking:

1

PA

-1

FA

= o 1 PA w

go Teken een cirkel met middellijn PA en snijdt deze met de rechte o

TA in de respectieve punt en QAm en ~AAt •

"-he Leg het gestelpunt !o in het snijpunt van Ao~! en c-cpo i o Net zo,het gestelpunt A~ _{in het snijpunt van AoQAA , en c-CPo} jo De draaipunten A' en J ,tenslotte, vindt men in de respectieve

snijpunten van de poolstralen PA~ en P!o met de rechte TAo

Voor ieder van de 3 stangenvierzijden A'A'~! t A'A'AA en!!AA

0 0 0 0 0 0

geldt dan,dat de pool,als koppelpunt beschouwd, een trechtgeleid t

keerpunt zal doorlopen. Dit is ook gedemonstreerd in de figuren

4 -

100

NoEo In plaats van de keuze van A in het 4e kwadrant,kan ook in het

o

1e kwadrant worden aangevangen o Ook kan zonder bezwaar een wil-lekeurige permutatie van de letters A , ! en A' worden doorgevoerdo

In de zojuist aangegeven constructie,is de !l1-conditie (~11= U) ver-werkt door de(koppelstang-)rechte door het midden MbC~ van de buig-cirkel te laten gaano De rekenkundige voorwaarde,opdat voor een

stan-genvierzijde (A A!B ) het undulatiepunt een punt van !urmester is,

o 0

A

./

/iC=B~·U=P

---

",-A#emBI1B

C

o/),s!;-(/C'!5e

vo/)1e1l:~/)s3

SIo"!JBI1

vi~rz&-de/)

;m>t

.Reci(jeleic!B

OmRBe~(//)1e11

I/;

P

(-.1,/e

!3(/,mes!e7JU/J!e/?

A"A'

B/J E

r

ee/)

/"~c~/e

doO,

T=l'!..5e)

(lIeI4~ ,8(/-;-o(//?/ &110 de

/oo/,P)

lWee

o/Jtwe?VI'(j~ei~rodel1.

(

S

e~ ~ il?l/;~

vo/?

A~'

cIoor

7).

8

-Hierin is t.

=

cotg~. ,waarbij in ons gaval (Zie figuur 2)

J.. J.

13₁

=

<

EoPQ.A:!

=

~ MPA

o (op grond van de stelling van :!chillier)

=

n/2 - PAt Aangezien verder m m t ₂ {) =

I

= - t 1t₃ (11)

,

kan de 11₁-conditie 1 ~A' + .~

=

t _{2 -}

t

3

geschreven worden als:

m 1

: : + -6 t

1

( 12)

waarin ~At

=

tan PAt en"E:: tan p! 0

Op grond hebben we ook,dat

zodat de wortels TAt en T

E van de vierkantsvergelijking r ~ 2

"

-

(- + -m_[) 1 )_t T + m~ t₁

=

0 1 u (14) " .

de lurmestercentra At en E op de cirkel c-cp determineren,die

o 0

dan dus door een gegeven centrum A van die cirkel zijn bepaaldo

o

Het is overigens weI de vraag, of er bij ieder gegeven punt A in

0

het 4e kwadrant

.)

,weI reele oplossingen

A'

en 1$

0 0

ge-von den kunnen worden .. Reele oplossingen voor At _{en E treden}

name-0 0

lijk aIleen op,wanneer de discriminant

H)E~n

reeel gestelpunt (A ) wordt altijd in het 4e kwadrant aangetroffel

9

-Het grensgeval treedt op, wanneer D

=

O. Dan is dus,op grond van (15)

1 2 (~ +

t

1 ) =

4.i

t ₁ (16) Met en

betekent dit, dat

x2

=

4'1'

( 18)

( 19) Dit is de vergelijking van een paraDool ,die getekend is in een

grafiek voor stangenvierzijden met rechtgeleide keerpunten.(P = U

=

~11)

..

"

In het geDied omsloten door dey-as en de parabool, kunnen geen stangenvierzijden worden geconstrueerd. In dat gebied snijdt de (koppelstang-)rechte door T,de cirkelloopkromme in slechts :en reeel punt (A) buiten de Duigcirkel o Dit reele snijpunt correspon-deert altijd met een reeel punt A in het 4e kwadrant o ~estaanbare,

o

dowozoreele punten At en J komen steeds in het 1e kwadranto A komt

o o~· 0

eohter, of de punten A' en. nu reeel zijn of niet, steeds in het

o 0

4e kwadrant terechto Vandaar, dat de richting,vastgelegd door de

ae-trekking _{t 1 ::: cotg} ~1 ' de voorkeur verdient boven de 2 andere

"'"

krukrichtingen. Zodoende is t

1 ,die immers Ao op c-op bepaalt, een geschikte keuze als tweede ontwerpvrijheidsgraad.(De eerste is de verhouding

m/o.)

In plaats van de directe ontwerpvrijheidsgraden,

m/o

en t

1 ,kan oak worden uitgegaan van de twee indirecte ontwerpvrij-heidsgraden~xen y ,die de coordinaten zijn,waarmee de grafiek is

samengesteld. Ret ver_and tussen directe en indirecte ontwerpvrijheids-graden wordt vastgelegd door de betrekkingea

1 + 1 ::: x

=

_Y

Xl₊ 1 (20) (21)

- 1C

-leder punt (x,y), dat gekozen is in het cebied, omslotsn door de r2chterhelft van de ~arebool en de positieve x-as, lei.]~ dUA tot eeD Gtel dirccte ontwer~vrijheidBgraden,waarmee tell~PLs esn 3-t~1

...

atanzenvierzijden kan worden geconstrueerd, zoals in het vourcaande

' )

4 •

g,.ij

£2E"~1~F3_ .2.2:~_?~:~.tn.155:'DJ.":..rg:~trv..29£_~_~_:=

_371.

()plossin~en,die behoren bij P11l1t.cn ou de ~renf~l~rOl!lme, W~l~rvoor dlJS

'f

A = B , zijn gedemonstreerd in de figuren

3,4,5

en 10. In dit Gev~l

vinden wc,voor iedere verbouding van

m/b,

slechts. ecn/ , oploGslng.

.

(De b,(~e andere ,middels de stellin:;;; V2.r1 Robert:.:: da:3rmce r;:.menh~!n:;(;r'c1e

001os~jnEen met dezelfd~ koppelkromme, hebhen een andere verhoudinp

voar m/b.) Zij ontstaat,wanneer de rec~te TA de cirkel met dismeter

PA

o '<"1".A.,0.i) . ,

= ()

'-I;..AB !'P;"jTt:.A.,'.1... ¢' oJ!)l'tJ C:J"o.''''bour+'.." v voor l'

C-"PY' Y) 1jY1J.· (x 'r~

. . ,_~,.t "'.' ... .:: •..J.'l, ... , oJ' I

de p'll'abooJ..

genoemde ei.:':enschaIl vertoont, is p;edemonstreercJ in :fi.e:uur Lf. Da,'"rtij

?

is x ~ 0,6 en y = x~/4 = O,09~ Constructies kunnen in dit reval oak

worlen gebaseerd op het feit,dat BB

a dan bissectric~ ~2 in de 1rieboe

1 :

een kruk of Gtaaf maar mop:eli;jk~ Jit Gebeurt, \venneer de three i;nkken

'",.

van de ~op~elkromme een worden. De overgan~ van hat ene in !lct

a.nder e tvne vindt nlaats wanneer ~ ,

=

o.

~e hebhen dan te

v ... ~ 111J.n eloen met

Fi~uur 5 demonstreert dit grensgeval voar een punt op onze parehool, ;, . b"'; r' Q A.' - B I d 't l " , t d ' 11 ' . 1 , ..

w_,,:l.r ..l.c: uU,. .- • n· l geva. KrJ-Jf~ e'(onre. <:rornme, ach" .ve :Ln 1)

en in hat toppunt 0B van de, door de stellinc van Roberts bpp321de, ~esteldriehoekA.oBoO

B, er nog een extra dUbhelpunt bij, dat hot

H)In een later stadium zal,ter wille van de overzichtelijkheid in grafische afbeeldingen, met de coordinaten (x,y) slechts een enkele stangenvierzijde worden aangeduid~

A

\v'=l

A

o

J,le .s1o;YB/i vie/'z!/<fe/i

/01

ee/l

e/i,eek IeI't{fye610'ch/:. Twee ..:Jome/ivol!e/i@ L)t//'/7N?SIe/' -;a0/'f?/i A~~

e/J8!Jo.

"f

eC!J(fe/t?/d

Om£ee?U/i/

(i?

p)

VO/i h~e/'B O/'cm. (lIef

4

§. L3u-;p0ol is

~Ko-)

Twee

~ome/)vo/lende

.L1Uimeslf'ljOO;M

ReeA(yfl/lJ/d

/(ee~/)I

in.tB!/

=

p

./Jezer

dR

/(OjJ~e//(/"omm~

ols

Ii;

hUl/;

6'.

,...,

c-cl'

)(12

=

4

Y

X

=J'-V5

Y

=f{r-J'Ii)

!!1.

=~/=1-V5

o

y+

"

(, =-

£(3+

Vi)

t

₂ =3 -

LVS

2.

C

t

l ==

cofj

t1PA

o

=

=

f.J+I)/)(

==

~5

/-f

=

1,.5,2&0

/-e

==

37,1&0

/

I

I

,

\

\

\

"

_{' -}

_{, / '}

/'

-_.-'

Twee some/)vol!e/)de Bt/-?C1/'"8/?

;flecl(jele/d

J::eel/(//)! /0

.P=13t,

0tel?'?jevo/ vO'/) C/OS/;~

N9

UU/

5

'v

J

==

9ft

X2 ::: ~l

'I

=

jeoy

I'1PA X =O,9028j '1= 43) 5"

t,

=

~/3

~-f(I!.-JV7)

~~=-I

/

/

P

UI)!

.K

van

L1

A:B,P

~eneree//

dezel/t:le

KOjJj>e/

/(/,omme ok

II)

(jut//,

4.

.5 ~ X ==

J

+lao I'IPAo

0= ;. .

coff

HPA

o

/-1

= 4.5j.:26D ~ == 3~

18

D

\

\

\

A-K=~= u;,p/ ". /

I

I

I

I

,

\

\ (keel'clrke/

,

"

...

k

Oo o

E

e/)

.sfo;yeavie/'z&de e/l Twee

A:/"(h~:6/eq;9neC'hoo;8mea met eeo /"ecA(jl?leld

Kee"/'ual

10

de

;000/

P=.Bt'I.

(/lei

.8(f-~u/)/

A

_r

:J/>5

hl'/

O/l~~v)(jKl'

/u/)/

voaAE).

EB/)

ol7lwe7V/"jhe/~

..j/"OOd

(m4).

- 11

-overgangspunt is van de ene naar de tweede tak van de kov~elkromDe.

In de overlappende stand van de stangenvierzijde, waarbij het koppel-punt zich in dit dubbelnunt bevindt, zijn er twee bewegingsmogelijkhe-den, ieder bepaald door een van beide raakli;jnen aan de kop~oelkrom(!c

in dat punt. Men kan aantonen, dat in dit grensgeval

4

,

.

.)

x

=

~(2 :

2

V'7)~O,90283 en dat t,

=

4/3 0

../ .

(Voor de duirlelijJ:heid is in figuur

5

nog het geval getekend, waarbij de koppelkro;'cFneno,rj juist ui t 2 takken best3.2,t. )

Een ander bijzonder gaval doet zich voor, wanneer de door T g~ande,

gemeenschnppelij>:e kop:Jel~)tangrechtede cirkelloo;::'k:r.'onrnI0 in h0t on-eindige snijdt. In zoln geval is dus A = A • De bijbehorende

krom-(])

mingsmiddelpunten kemen dan terecht on de keercirkel, die het beeld is van de buigcirkel in de poolraaklijn. Hieruit voIgt,

spieceJ.-dat A

o h_et _snlJ,un~.. -I- -i,q_{~_ van} d_eze 1_~eerClr~e• 1 1 _{en c-cp.}" J

t, = cotg ~1 = b/ro

De consekwentie is dat

(22)

Omdat ,,' n p {\. . .d . 1 . 0 P" c:: A I' ., } .

h ~ en .J

o evenwlJ .lg open, lB ~AJ~AB~o een ge lJKJenlg trttT)ezium. lIieruit volst, dat 1 FA Q.~ + 1 PA QAu= n/2 ~ Aangezien

o lL'i 0 '.u

vere'',_P~J. A-..,. 1:;'"['<- ~.,i i ' -- d"1" r["Jl...A' en.,.<f TPB_

=

<I"1- ...-.DA B k,.0m+1 v d'US ,A" B

o 0 0 0 0 0 0 0 0 loodrecht

OJ) T'T_f Iv3.9.rdoor de=:estellijn I~ B evemrijdiij loapt met de }Jo()lr'?.:lj'lijn~

o

°

Omdat

A'

_oIs₀ ook loodr8cht staat or)_. PC_"..b' R_~ il3 dUB (;2.,~.'_{_ _}1=\=0 T (23) Tn fir:;u.'!JT 6 hecft rle ste.nr:;envierzijde e8n minimum overl)renf~in:~:::~'lo21.~.

van circa

37°.

De twee andere oplo8singen zijn, technisch ~e~ien9 niets andel'S d~n twee excentrische kruksleufmechanisrnen.- - - " _ . , - " - . ' , . _ - ,.._ - - -_'_"._.,~-..-.,._.,_ .._ ...""*.--~-'. _ . " - - - , . ,

Bet r:;rensgeval van Grashof, dat in figuur 7 _{gedemonstreerd i8 9 treedt}

bli jkbaar OJ), wanneer, voar de in de fisuur geteJ~endp. Gtanc;envierzijrle,

·)De 2 waarden voor x horen bij 2 verschillende punten van de parabool, waar de stangenvierzijde strekbaar is.De stelling van Roberts wijst uit, dat de 2 strekbare stangenvierzijden ook dezelfde koppelkromme hebbeno

, -f:eerc/rA:e/

(

I

\

\

\

\ \

,

"

_"

...

...

-.,,-

-"""

."

1

/

/

/.---....-stre/(iJor8

vierzjek

met

~zef'~

1 =

~ oo~~

0

KOjJ;eIKromme

ols

In

I!fuur

£/(ruk'6/~vfmeChq/J/9Q)e

(A;A

'AD)

met

ve/'taKKi/J.!5f>0~{!i'e

en

onye(j'Re

kOjDelA':romme.

I

_l-.y.-v

/let

~oberls

- ver/'ond tussen de ,sfo/(jenvlerzjjden

_ 12

-dA twee paren overstaande zijden dezelfde somlengte bezitten; Dus als A' A' + BB

a 0 = A' B + A' Bo 0 e (Zie daarnaast ook figuur

A6

uit de Appendix~)

Dat gebeurt, wanneer x

=

8/3,

y

=

1, t

1

=

3/4

en m/o

=

4/3

~

Evenals de stangenvierzijde heeft ook het excentriscne kruksleuf-mechanisme A~AAo' dat overigens een andere naaldkromme produceert, een vertnkkingspositie, en weI in de stand, waarbij A'A'het gestel

o A' fA. overlapte

o 0

In de grafiek y

=

y(x) is ieder punt van de lijn y

=

1 middels de stelling van Roberts, teegeveegd

2

4

t h h

x = y, me een ree te door et

aan 2 snijpunten van de parab0ol,

richtingscoefficient van die rechte is juist de helft van de x-coordinaat van het corresponderende punt op de rechte y

=

1. De y-waarden van de 2 punten op de betrokken rechte door het inversie-centrum zijn tevens elkaars omgekeerde. (Voer het bewijs hiervan, wordt a.m. verwezen naar een in een later stadium te tonen graaf, die laat zien op welke wijze de diverse stangenvierzijden in elka~r

kunnen worden overgevoerd.)

De bijzondere samenhang tussen de stangenvierzijden, weergegeven door punten van de lijn y = 1 en die van de parabool, is ter verduidelijking ook nog gedemonstreerd in figuur

.s •

6. .Q.R.l0i:!-,sJ-ngen,. wC3.arvoor x

:=

y -I- '1

Een andere verbijzondering treedt op, wanneer de koppelstangrechte, dat is dus de M~ller-rechte, die 3 BurmeGternunten met Alka~r vorbindt in het bijzondere e;eval, dat U

=

Bl

1 ,tewe·n.s verbindingsrechte is V.':l!1

rV ( . )

de middens van de buigcirkel en van 0-01'. Zle de fi~uren 9,10 en 11 • Zeals nit figuur

9

blijkt,is er in dit geval steeds sprake van een

r~'chthoe;ld.. ge kop1'eldriehoek. (In 2 gevallen vlordt de rechte hoek bij het

,,,

1 "" 7~9.3°

.De slitfiJlf}nviel'zjaen

A

_o

YAYDD

o

AoAEBo

eo

0

_Ao

DDO

zjn

.s/teIC6ool'. {GrelJ5jevo!

van crasAo/J

r/guul'

10

I

I

I

/

/ . / " ,

"

_.8

0

=.B

w

X=/-r

v:

y=

W

4-4=t:z~1

[$=

-d'~

1"/

(m,

0 )

1.3 -oEl:~~.<,c r 1 "-1-,--;0

.-

,

',-'o·r,l·t-.. .... t'I :: ·t"" ..t ( ',- t ) (1_I· ) :: : ' I ' : ; " "? ( . ) \

, ..r':1'::1.r1i-:~.·: in he :~ev'1-1. V,"J·" :fi~;uu.r 9 ~ t.-. -- 1 , z!)d~.'

(

en y

=

-v.').... -1

. /

"f?IT-:; ,'.T:',1:~.rc1oor

o

In het vonrbe?ld V·9.n f:i.~u1J.r 9 henr·l.dert de tnk: bc,scbrC'ven door ikt

( \

c o ••

x = 1 +

_4'V

1\I'~_(~

_•

(Zie daarnaast ook figuur A4 uit de Appendixo )

sta,ngE:,nvierzi;id.e li'_{. 0 , ]}A'BB • (Zie daarnaast ook figuur A5.) Beh"lve

-.J •

niet o~} c-c~o ll:~'";:t en d~lt (1.e overganr

", tusf3en d.e tl:Jt~'C !:1.fzor~~·~"::'J."'l.:i ._;,

In f:L',,;uur 'I ') i,e; het uitzor,derli.jv·e grense;evf-1.1 "':etekend, "Ii)arbij ZOl'TPl

?

x = y+'l DI-; ook x .- 4y 0 Dit mecJlo.rd,sme, dn.t eon 8Xc0ntri.sc 1)

l~r1)]-~sJ.cuf--I"~_,jl'C,. " ' _ . ,J::,:"u"r'j '1' .,_{O ..J_:.].'::·L"}~ d····t_' n·-~~ _{'1l··.... '}f' "·--l'~.J_".tp.n f._'~d,)·"nT~,' 8'°_{, 0 . .},.r,'. •".,' p., •...:... •....1.·:,· -,:.'. 1.1'~..~,·.

-• -,:< '.' '· ..'.u ". -'. ·0 ···0 , ... 0 0

Burmester-tr:Lr;let buitendien elkear,s krOE1JY,eVenrante zijn vol,'f'n:: c'e

• . '.4 VlerZ1J.On f

~=~

/' tr=t!f

H

Twee

s/ue.!e!c0'!jrvenle Jes/e/dl"/eAueRen

A~A~

enAo4J,A;)

die

buses

zi/n

vOOI'

zowe/

.J

~u-o~

1'001'

J

ROber18

v.PrwQn~n.

Lle >5m1jen

vierz(ji:len

worden door

~

aftondel'l:jke

I'vnJen von de

l'el'Ak

X

=..J'"

weetyE(feven.

fle

J-

wl10rden z(Jn o'oorJj e/Rool's

14

-figuur laat het complete verbanO. zien, dat ontstaat, wanneer

Burmester-en/of Roberts-transformaties zijn toegepast. De complpte configuratie (C

BR) be zit in dit geval slechts twae H;:;11er-rechten (t

_r

=

tIl

en

tIn

= t

_{rv )}

t die beide door het brandpl1nt

r

o( = het middelpunt

Sr

==

SII

=

Srrr

==

Srv

van c-cp) van

cP

gaDn en dao.rdoor

middellijn zijn van

c-cP'

De bi5sectricen van de 2 L~i:ller-recllten sluiten hoeken van 45° in met de aseen p en n.

In de Rrafiek, y versus x, is ieder punt van de rechte x

=

y+1 behalve aan zichzelf, ook aan een ander punt op die rechte toege-voegd, waarvan de y-waarde de reciproke waarde heeft. (Voor het toe-gevoegde punt op de rechte geldt, dat x == 1-t

3 en y = -t3,) Het een

en ander volgt uit het feit, dat de buigcirkel voar t

r

door Bo en voor t

rv

door het spiegelbeeldpunt

at

gaat. Hiermee bewijst men

15

-7. De_ afm.etingen van 0 A ABB

o a

Uit~Qande van de directe ontwerpvrijheidsgraden

m/o

en t

1 ,zoals gedemonstreerd in figuur 2, geeft de vierkantsvergelijking (14) de volgende wortels: .l(~ 1

_.1

V

(~

1 a m t 2

=

'tA, ::: 2 6 + t₁) + 2 6 + t )

-

4 t 1 1 6 en 1 ₁

en

1 ₎

_.1

V(~

1 2 ) 4 m t 1 t 3

=

'r B ::: - - + + t 1

-

b 2 6 t 1 2 6 (26)

Dit geeft vaor de indirecte antwerpvrijheidsgraden

m 1 xI ==

6"

+

t

1 en _{YI :::}

_6"

rn t ₁ de vereenvoudigde betrekkingen 2t 2

=

xI +

V

x~

- Lj-yI (28) (0) m

staande zijden van de koppeldriehoek PA

_{= .'_ _--_._---}

1 _-;=:.===;t 1

(~, -1)\ '(1+e 1)'

6 1;1 V

Hierbij duidt de index I op de stangenvierzijde A ABB •_a

0

Op Grond van de formule van Euler-Savary,vindt men voar de ap-de volf,enap-de uitdrukkingen

BP m

Eiervan r,ebruikmakend, vindt men voar de beide krukIcen ui tdruklringen zaals A A a m

=

~

t₁ t ₁

(~t1-1)

K

(32) en 1.') B a m m

:::

6"

t

_{L __}

t l

-(~t3-1)

V

1+t ;'

De sinusregel,achtereenvalgens taegepast in !J,. PQABB en in

6

PQABA [eeft vaor de kappelstanglengte het valgende resultaat

1+t~ { t 3 t , } (3Lj- )

=

m (1+t;)(1+t;)

(~t3-1)

(~t -1) 6 1

16

-Er verder van uitgaand,dat AoB

o

=

AoQAB + QABBo ,vindt men voor de gestellengte de uitdrwL~ing A B o 0 m = t _{1 -} t₃ VC 1+t;) C1+t; )' Voorts is

<

All. B_o = arc tanC-t7 )

0 J (36)

Daarmee zijn de afmetingen van OA ABB vastgelegd. (De tekens

o 0

"

voor de diverse stanglengten zijn bij dit alles zo gekozen, dat er zowel voor de koppeldriehoek. ABP als voor de CiA ABB sprake

o 0

is van een gesloten vectorpolygoon. Bovendien is daarbij de draai-zin van zowel driehoek als vierhoek met elkaa.r in overeenstemming gebracht; hetgeen betekent, dat de som van de vectorpolygonen van koppeldriehoek en vierhoek het vectorpolygoon van~ AoPB

o geeft.)

8.

De Burmester-matrix en de afmetingen van het Burmester-triplet

De van die Bij

afmetingen van de twee andere stangenvierzijden,te weten die B BA'A' en van A'A'AA ,uit het Burmester-trinlet kunnen uit

o 0 0 0

-van0 A ABB worden afgeleid door zg. 'Burmester-tra.nsformaties'

o 0

deze transformaties worden de gestelpunten A ,B en A' cyclisch

0 0 0

verwisseld, hetgeen betekent, dat de 3 hoeken

C-

P

1 '~B

,P

_{A,) achtereenvolgens overgaan in} C~B '~A' '-~1) en in

Voor de cotangens van deze hoeken heeft dit tot gevolg,dat C-t₁,-t=,

-t12)~==~~»

C-t ' - t1

,-t1)-=~'.

(1 -t - t )

-' ." 3 2 - , t

_{z '}

l ' 3

Gaan we voor OAoABB

o uit van het basisdrietal Ct₃,t2,t1) ,dan kan

O

C

-1 -1

-dus BoBA'A~ door -t

2 ,-t1 ,t₃) en UA~A'AAo door het drietal

C

- 1 - 1

waarden t

1,-t₃

,-t

2 ) worden vastgelegd. De Burmester-transformatie voor sen 3e maal toegepast, geeft natuurlijk vanzelf weer de oor-spronkelijke stangenvierzijde terug. Samengevat,hebben we dus,dat

~BBC ) C -1 -1 ) ( -1 -1 (

~. t

- 1'7

-AaD~esien de 3 stan~envier3ijden dczelfde pool P,poolraaklijn p,

poolnorm;ctctl n, buigcirkel(ic),Eliddel:r.mntslcro!11ne (cp) en

i~_l11er-1'o-c!-;+-e((::")J ' _,~'..1.- h...~ ~ })P7i... ,,___tte'1. . , zijn m/S en

6 j.TIvaris,nten voor ~ese

tr. Cl.'_o,l~ll~~o-~at~eJ. !;l( ..J.... (0;.)..Lv~~

at de poolraaklijn.) Inderc1aad

.ii·

sni,jpunt van de l':uller-roc],te

, -1,-1

b1i ,jkt de uitdru1;:}-:inc'; - c~,t ~ '(;_,

,~ I ') +-e... v··er'il11r~r-.-"""eY1.. . . >.' ••\,1...1. ~-- ()t)i::--~-,. .- \~11':'-,~,:-:,11_~O'r')('1i.J~""'_"'_"'_"'"'1'-.-f e

(8) indien 1'.t. ::-: '1

l l met (i

=

1, ••• ,3)

De lro00elstang van een stanzenvierzijde snijdt de poolraak1ijn n oV2ri~ens

in oen ~unt S, vaarvoor oak in het a1~emoen de betrel~(in~ reldt,dat 1.( 1

PD

'I

(Lt·(: )

J)it nt:::'..?.t in direct verbani met de li~~in van het

snij--1 1 m( p'C -

i

.-- t _, - (1:..,+'r7 ) I ~) ( L; '1 ) n .-- 1'2 - 1-frl/::: en fOl""El3.tie. >-:inr~el1: en voort,s: t ₁ = -b~1'("_{I c_}

--

'7

- -b_;~T')

-_! '_ I c-t 3 .-- b1 '1+v'l t 2 --- b21t1

-bA?t.~ + _D1:5t " ) 1

·

I Ie. r: b,,:,.)t') + b,,_,t ( 4-Cr. _" ) 1 [ ' (_C-.. ,:_ _{c ...'!} b~_,1'1 + b 13t:;

·

" ) Ie .-b')~T + b?3t3 (

·

If) L.c. 1 bp'Lz, o"'z1',) (4L[- •. /f:~~I\ ,- ../ I,,) ,-_ °221'3

-

°2'1'?_{- ) ,-} (~lr.6)

Eet ~_{Ie.J_·~,(:~q}' t ' t "3_.I-3

=

I ,c.e1

18

-eenheidsmutrix, leidt na cn ~e berekeninc

tot de betre~cingen:

1-b", "b".,

_ _'_1~.J-2.

b""_Ie

(1+') )

Optelling van de betrcl~tin3en

44.1 ,44.3

en

44.5

leidt ver~er D2

voor )'t1/1'-. e-,'n (pt

_{s' -}

-.~",,)

tat1

mJbE,ti tutie van de ui tdrukkinE':en - ~ .. ' _ ,,,'

r t:

(S:. _ ,~) ( "', 1 ' ) ill

- 0"1",- °'17)

=

_{b 1 ,.'")_} ~

fa PS _ ~ U

(46 )

OOl.~ :~even de L, irt. 1 ,'-I'' .Ie. 3 ~~nleidinc tot de

vol-2:ende uitdrukkingen vaar b

11 ,b12 en b13 :

f

H.b11+('2~t1-t3)

2 t₂t; 2 (47)

=

-"",'t? +

-

_{'t7. t "} I ...._ .> _I "T' 7-, £. ,,3

-

_t3

-

_t

3

(li;~)

1

,_.1" 0 - ' ,-1<- In 2 1 ₃ ~ h +('t" ~ t ) <I 2

e

1t2 (1+9 ) .t~_. ,~r. ""Z --. - '.~1- ._-, ... -1"21",

-

t 3't1 + I,) ,.: ..7 .. )

',J::'.ari~ voor de hoofddeterminant H de ui tdrukkinQ::

3

(2. _

£.) _

m

.. m PS b ("")0 )

~evanden kan wordenc Aangezien verder:

( r- ... )

\ ..-'"Jt._~

De berekening van de elementen b

11 en b13 kan cebeuren met van die _{voar b 27 :}

.:J U.b₂₃ +(-t₂+'r₁+'t

3

) -

-t2't"1't"3{('t2-t1-t3)2+

~

Stellen we eenvoudig beilulp n

=

a 6 en

19

-2

H.b

23

= -

a(~ + 3)

,waarin op grond van vglo(50): H

=

Q. + 3~

Vergelijking (52) gaat nu over in: H.b

12

= -

~(~2+

3)

,zodat de 3e vergelijking van het stelsel (45) met (56) en (58) geschreven kan worden als:

a§(@2+ 3)2

b 11 b 13

=

1 - g2

Vergelijking (46),tenslotte, krijgt met (58) de gedaante:

a(§2+ 3)

b 11 + b₁₃

=

1 - H (60)

De waarden voor b

11 en b13 komen overeen met de twee wortels van een vierkantsvergelijking. Dus:

2 2b 11 respo 2b13

=

1 _ a(§lX+3[3+3) ~

2 }2

!

1- a.(§ +3) _ a.+3~ (61

Welke wortel toebedeeld dient te worden aan b₁₁ en welke aan D

13 maakt een rekenvoorbeeld duidelijk. Het blijkt dan,dat het min-teken voor de wortel bij 8

11 hoort, en het plus-teken bij b130 Verder is duidelijk, dat niet iedere helling voor de Muller-rechte ST wordt toegelateno De grens ligt bij de situatie,waarbij ST aan de cirkelloopkromme raakt en weI aan dat stuk van de kromme,dat Dinnen de buigcirkel ligt. Dit treedt op,wanneer de waarde onder het wortel-teken van vgl. (61.a) nul wordto Natuurlijk komt dit ook overeen met startwaarden,x en 1,

op de para~ool uit onze grafiek 1 versus x.(Jijvoorbeeld komt het geval «=[3= -1 overeen met de bijzondere situatie zoals geschetst in figuur 110 )

Jijelkaar genomen is dus nu ieder element b

ij van de Jurmester-matrix J volledig bepaald als functie van de Jurmester-invariantea a en ~o

Een geschikt rekenvoorbeeld kunnen de punten van de rechte x

=

1+1

- 20

-..

,

b 23 30:2+ 1 •

,

::

..

2

,

0: + 3

•

,

o:~ :: 1 en verder: -1 t 1 :: t 2 :: 1 , x :: 1-t₃ , y : : 6 6 P

=

m

PS:: -

't"2 + t₁ + t₃ :: -1 -(0:+1)(0:-0: ) b₁₁ ::z 2 :: - b 0: + 3 22 _ (0:-1 ) (0:-0:-1 ) b 13 :: ----::2:-'-'----0: + 3 3+ 0:-2 ::

-3+ 0:2 :: (.a-1)2(0:+1 ) 2 0: + 3 t 3 ,zodat

·

,

::

-m -1

'5 ::

t 3 en •

,

Substitutie van deze waarden in de vergelijkingen

(44)

geeft dan, zoals inderdaad te verwachten was,eenvoudig een stelsel identiteiten ..

2

Als tweede rekenvoorbeeld kunnen de punten van de parabool x::

41

worden gebruikt .. Voor zulke punte~ geldt,dat t

2t3 :: -1 en verder:

1( -1) -1 t₃(t₃ + 1) 1 -1)

t _{1 :: -}

2

t

3+ t 3 ; 0 : : : 2 ,~ :: 2(3t 3- t 3

zodat voor de elementen van de I-matrix:

- 2 b 22 :: 2 b11 :: 1 -2 - t 3 ; 2 1

)(3t~

- 1) (t 3+ b₁₂ ::

-4

t 2 enz .. 3

De afmetingen van de ":Jurmester-verwanten" I IA'A' en A'A'AA

o 0 0 0

kunnen overigens ook zonder gebruik te maken van de element en b ..

~J

worden berekendo Zij kunnen namelijk direct worden afgeleid uit de

afmetingen voor 0 AoABB

o door het basisdrietal (t3,t2,t1) resp .. te

( -1 -1 ) -1 -1)

vervangen door -t

2 ,-t1 ,t₃ en door (t,,-t₃ ,-t2 .. Rekening houdende met het feit,dat oorspronkelijk

~ :: - t₂T_{1't"3 tgeeft substitutie van een vervangend basisdrietal in}

de betrekkingen (25) tim

(36)

dan onmiddellijk de afmetingen van

J /

een der lurmester-verwanteno Vanzelfsprekend horen

- 21

-9c De Roberts'-transformatie :;

[ J

Reeds in 1875 is door S.Roberts aangetoond, dat een koppelkromme door 3 verschillende stangenvierzijden kan worden voortgebrachto

leder van de 3 lurmester-verwanten heeft dus -in ieder geval- nog 2 Roberts-(kromme)verwanten naast ziehc In de grond van de zaak,

berust het bestaan van een Robertsverwant op het kunnen verwisselen van de volgorde van de

3

bewegende staven in een stangenvierzijdeo

Effectief kan dit maar op twee manieren o

~ij iedere stangenvierzijde hoort ook een collineatie-as PQ ,die de verbindingsrechte is van de twee polen,die ieder betrekking heb-ben op de relatieve beweging van twee overstaaande zijden. Het is nu eenvoudig te bewijzen,dat de richting van de eollineatie-as niet verandert,ook al verandert de volgorde der staven van de stangen-vierzijdeo Als gevolg hiervan,laten de hoeken ~. ,zoals deze

gede-~

fini~erd zijn in pare 3 ,zieh op eenvoudige wijze transformeren:

~s

=

~2

- P

₃

(62)

~ij deze transformatie is bij de oorspronkelijke stangenvierzijde A AlB de volgorde van de twee staven van de dyade A A~ door middel

0 0 0

van een stangenparallellogram verwisseld o Voor de eotangens van deze hoeken betekent dit,dat

Omdat echter na 3 van zulke verwisselingen, de oorspronkelijke stangenvierzijde herwonnen moet zijn, is het noodzakelijk een der-gelijke verwisseling onmiddellijk te laten volgen door een ~ring

in de draaizin van het vectorpolygoon,dat de stangenvierzijde voor-stelt.(Gebeurt dit niet,dan wordt slechts een verwisseling bestreken in plaats van twee.) De eombinatie van volgordeverwisseling en om-kering van de draaizin betekent,dat

22

-Een Roberts-transformatie kan dus formeel worden genoteerd als

Zodoende krijgen we bij voortgezette transformatie:

waaruit blijkt,dat na 3 zulke transformaties de oorspronkelijke stangenvierzijde inderdaad weer terugkomto(Opmo Om een Roberts-verwant te krijgen,vindt behalve de volgordeverwisseling,ook nog een strekrotatie[8Jplaats; deze laatste bewerking heeft echter, voor wat de stangenvierzijde betreft,geen invloed meer op de

waarden t. ,die door verwisseling en omkering van de draaizin zijn ~

verkregen o)

In Matrix-vorm kan een Roberts-transformatie dus als voIgt worden genoteerd: 1 0 0 0 t t 0 0 0 0 0 1 t 3 ::lI t1 (650a) 0 -1 0 0 t_ -t c:: ₃ 0 0 -1 0 t 1 -t2

Toepa.ssing van vgl o(65) op de :=11-conditie, 2t₀ =(t1+t3)-(1+t1t3)t2 ,laat duidelijk zien,dat zij invariant is voor een Robertstransfor-matie~ Zodra dus een punt van lall,in het koppelvlak van een stan-genvierzijde,een punt van .urmester wordt, is dat ook het geval voor de twee andere stangenvierzijden uit de

RObertsconfiguratie~)

Overigens kan deze stelling ook met behulp van Sylvester's Plagiograaf worden aangetoond. Verder gaat de stelling min of meer in een vanzelfsprekend-heid over in het bijzondere geval, waarbij het koppelpunt in het punt van Ball wordt gekozen~ En juist in ons geval, waarbij K

=

~11

=

P , wordt dit speciale geval onder de loupe genomeno

Omdat bij een Roberts-transformatie t niet verandert,kan voor R

o

ook eenvoudig een 3x3-matrix worden genomeno We krijgen dan,dat

RRR(t

3,t2,t1) = RR(t1,-t₃,-t2) = R(-t2,-t1,t₃)

=

(t₃,t2,t 1) (67) Aangezien in dit artikel behalve de stangenvierzijde ook de

koppel-

---*)Merk op,dat gezien het voorgaande,de J1

1-conditie,ook in het algemeen, dus invariant is gebleken voor beide transformaties,de J- ~n de R-trans-formatie.

Een vollea'tje

./Jurmeskl'-- NoJerl$ l'on;fjura,l/e

mel":

liE -s1a/!9.E'nvierziidE'n

~

dri¥tolli'/J LJu-",oore/J

(~- ~m ~

ii)

If

drie/al/en ROberts -zwfjers

.dasis

£14 en LJu-I!0NI/J o/)/"eJe/~o1/ruen/

met"eslel

A.A

ROber/$-zwa"er8 :

.£1Ao.BoA~(t_{f )} ~ L1

t?4l?4'

0

8

11

A

o

l?4

OA'(t@)

';tlL!OaAo.8o

L1

0A'AoO/J{fij)

~L! ~o

0A

AD

23

-driehmek - op een vergrotings- of verkleiningsfactor na - volledig bepaald is door de 3 waarden (t

3,t2,t1) ,zijn,door de in vgl.(67) weergegeven transformaties,de afmetingen van de twee Robertsver-wanten direct te berekenen o Men kan daarbij volstaan met het sub-stitueren van de vervangingswaarden voor t. in vglo(11) en in de

~ vergelijkingen (30)

tim (36)0

100 De samenhang tussen 1- en R-transformaties

Men kan zich de vraag stellen,welke verbanden er zijn tussen de Roberts-verwanten die van ieder van de 3 lurmester-verwanten ge-maakt zijn. Het blijkt minder eenvoudig te zijn,dan men op het eerste gezicht zou verwachten. Er blijken kruisverbanden te be-staan,die men aIleen kan begrijpen,wanneer men een graaf opstelt, waarin punten stangenvierzijden en lijnen 1- of R-transformaties uitbeelden. De graaf blijkt in zichzelf besloten en volledig te zijn,wanneer 12 stangenvierzijden in dit beeld worden betrokken o (zie figuur 14,waarin het topologische verband tussen de 12 stan-genvierzijden van figuur 13 is gegeven.) Het resultaat bIijkt een vlakke,2-voudig symmetrische graafHte zijn,die twee-kleurig is,om-dat 1- en R-transformaties verschillend zijn.(We spreken hier van een vIakke graaf,omdat nergens kruisingen tussen de transformatie-lijnen nodig bIijken.)

Tech bIijkt een ruimtelijke graaf··) ,waarin weI kruisingen optre-den,het inzicht nog verder te vergroten.(Zie figuur 15~) In deze laatste graaf worden de stangenvierzijden op de 12 hoekpunten ge-p12atst van een cubo-bitetraeder ,waarin de korte ribben de Roberts'-en de lange rib bRoberts'-en de lurmecter-transformaties uitbeeldRoberts'-en o Deze cubo-bitetraeder,waarvan de hoekpunten op een bol Iiggen,bestaat uit

4

ge-lijkzijdige Robertsdriehoeken,

4

(grotere) geIijkzijdige Burmester driehoeken en 6 rechthoeken,die op de zijvlakken van een kubus liggeno

leide graven,de vIakke en de ruimtelijke,zijn georienteerde graven, waarbij ~ geIijkzijdige driehoeken rechtsom zijn genomen,vooropge-steId,dat men bij de ruimtelijke graaf ~n buiten tegen het kristal aankijkt.

H)Deze graaf is tot stand gekomen in wisselwerking met een soft-ware programma,dat is opgesteld door IroAoT.JoMoSmals,docent bij de groep bedrijfsmechanisatie en mechanismen van de afdeling der werktuigbouw-kunde van de Technische Hogeschool Eindhoven o

WH) Deze rUimtelijke graaf is tot stand gekomen naar een idee van de kristallograaf drsoNoAoLoTouwen,verbonden aan de vakgroep produktie-technologie en bedrijfsmechanisatie o

RolJerts

t,,-!.J-)

-t

₂

" 1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1

_...

--_

..

fief

tOjXJIo~isch

verbond tussen de

/R

,sh1jenvil'/'zjdell

VlYn

ien

vo//ed!!e >fome1l'/s£'he ['on/(ju;alJi?

ROberts

I

I

,

_,

I.

.Burmester

I

I

-

_I~

I

,

~

I

~

I~,~

c.... ...

,

QJ

I

'Q

~

I

C;) CI(

, cq

I

\ I

_,

_I

\ I

_{\ I}

ROberts

Het

lo"p%",8c.6 vel'hond Ivs.5en de

2

- 24

-.eide graven weerspie~elen een volledig gemaakte Burmester-Roberts Configura tie -in het kort aan te duiden met C~R - zoals deze bij-voorbeeld is weergegeven in figuur 130

Het bewijs van de genoemde samenhang vindt men eenvoudig door aan te tonen,dat er door enige J- of R-transformatie,van welk hoekpunt men ook uitgaat, geen andere vierzijden meer kunnen worden afgeleid o De 6 rechthoeken van het kristal,die alle linksom zijn georienteerd, geven ieder een matrix-verband tussen de J- en de R-transformaties, dat in matrix-notatie verkort weergegeven kan worden als:

(68.a) of als

(68.b) Dit verband,dat in feite een stelling inhoudt,zal in het vervolg de "vierhoeksstelling" worden genoemd.

Aangezien t. voorgesteld kan worden als cen vector in een orthaganaal

-~

en 3-dimensionaal assenstelsel, geldt verder,dat

-1 T -1 T . T T .

R

=

R en ) = ) waar~n R en) de getransponeerde matr~ces

van R en :B zijn.

Verder levert iedere 6-hoek van het kristal nog de relatie:

En verder is natuurlijk

)3

=

~

=

I ,de eenheidsmatrix (70)

Net behulp van de betrekkingen (68) tim ('/0) kan tenslotte worden aangetoond,dat

(R~)(~R)(RJ)(jR)

=

I

waarbij de transformaties I, (jR) ,tR))(BR) en

(~R)(Ri)()R)

,

uitgeoefend op een basisvierzijde,die aan anze eisen voldoet, leiden tot een 4-tal te onderscheiden stangenvierzijden,dat als 4-tal representief is voor de gehele C~R-configuratieo

In par. 12 zullen deze 4 stangenvierzijden achtereenvolgens worden aangeduid met de romeinse cijfers I,IV,III en 110

25

-10 De volledige Burmester-Roberts Configuratie-C 1R

-(Zie figuur 13)

De figuur,waarin aIle 12 bij elk~ar horende stangenvierzijden zijn getekend,wordt de volledige CJR-configuratie genoemd. In deze fi~uur worden

6

gestelpunten aangetroffen,die aIle op de middelpuntencirkel c-c:p (met diameter m

=

PM) worden aangetroffeno

Voor de lurmester-centra van het oorspronkelijke J -triplet was

u

di t reeds het geval" Aangezien bij de Configurat.ie van Roberts - C

R - de gesteldriehoek direct gelijkvormig is met ieder van de 3 koppeldriehoeken, en in ons geval het koppelpunt,K

=

P , zowel de koppelstang als het corresponderende gestel onder dezelfde

hoek ziet, wordt de hoek,waaronder het 3e, bij C_R horende,

gestelpunt het oorspronkelijke gestel ziet,dezelfde als de hoek, waaronder P dat gestel ziet. Een Roberts-transformatie houdt dus haar gestelpunten op de cirkel c-c:p ,waarop ook P te vinden waso De middelpuntencirkel c-cp met diameter m,blijkt dus niet aIleen tooovc een ~-transformatie,maarook t.o.v. een Roberts-transformatie

invariant te zijno Dit is evenwel niet het geval met de buigcirkel~

Aangezien G

1R vier MUllerrechten (t

r

tim t IV) bezit,die ieder met een der

4

(grote) gelijkzijdige driehoeken van ons kristal corres-ponderen,zijn er ook

4

doorsnijdingspunten T

_r

tim T

_rv

van deze rechten met de invariante poolnormaal n, die tevens middelpunten zijn van de

4

corresponderende bUigcirkels.

VerdeI' blijkt, dat aIle gestelpunten spiegelbeeldig gegroepeerd zijn tooov o de middeIIijn van c-cp ,die evenwijdig aan de poolnor-maal loopto Zo liggen de respectieve paren (A' ,O~) , (0A.' ,E ) en

o ~ . 0

(A

o ,OA) ieder symmetrisch ten opzichte van deze middellijno iij-voorbeeld geldt voor de stangenvierzijden (A

oA1J 1Io) en (JoI2AIIOA)' die respectievelijk bepaald zijn door de kengetallen (t

3

,t2,t1) en

(t -1-1

3,t2 ,t1 ) ,dat de corresponderende richtingen PAo en

peA

vastge-legd zijn door respo t

1 en

t~1o

AIs,zoals gebleken is, het product van hun richtingscoefficientea gelijk is aan 1 , dienen PAo en peA elkaars spiegelbeeld te zijn too.v. de door P gaande bissectricen van het (p,n)-assenstelsel. Duidelijk is,dat hetgeen bewezen is voor het puntenpaar (Ao,OA) op geIijke wijze kan worden bewezen voor de beide andere aangewezen puntenparen van c-cpo

26

-De 4 Mullerrechten (trt/m try) snijden de invariante poolraaklijn in

4

punten Sr tim SlV ,waarvan de liggingen achtereenvolgens be-rekend kunnen worden met behulp van de betrekking:

(71)

De liggingen van de punten T

r tim TIV op n zijn volledig vastgelegd door de betrekking:

,waarvan het rechterlid voor ieder van de vier ~urmesterdriehoeken

uit onze cubo-bitetraeder een andere waarde opleverto

C_R ,de configuratie van Roberts,die in CDR viermaal optreedt,bevat

3 stangenparallellogrammen. Daaruit volgt,dat

AoA1

=

A4P ; 0AA11 = AII1P ; 101 2

=

I1P , 0A,A

rv

=

AilI P 1

A 'A'-A'P_oJ-I.

1 - 3 ·

Ook C) ,de Burmester-configuratie van figuur 2, treedt vanzelfspre-kend viermaal op in CIRo

Tenslotte kan men nog opmerken,dat iedere Muller-rechte telkens 3

collineatiepunten Q. bevat,waarvan de ligging de constructievan C_BR

kan vereenvoudigen o

120 C

1R en de grafiek y versus x

Van ieder der 4 Robertsdriehoeken uit onze graaf,kan een vertegen-woordiger worden gekozen,die in de y versus x-grafiek kan worden uit-gezeto Ret ligt voor de hand,om ditpin verband met de altijd reele centra A

o en 0A' zo te doen,dat steeds

een

van deze gestelpunten

tot een der uitverkoren stangenvierzijden behoort. We beperken ons dan dus tot de stangenvierzijden

AoA1J11o ,OA,AivA4Ao ' 0AAIIIAIIIOA' en 1012ArrOA

De corresponderende Mullerrechten zijn achtereenvolgens:

~~=

xz+V

4-

~J'I

-l!

t,,-'=

XI-V

xtl -

~~l"

./le

~qmel}JqPJ

!tssel}

~ ~n~1}

Vql}

ale

"'/'a/Ii' o'lXJr

- c.'1

-horen niet aIleen tot verschillende Robertsdriehoeken,maar ook tot de verschillende lurmesterdriehoeken uit ons kristal. Ver-der bezitten ieVer-der van de vierzijden een bijbehorende koppel-kromme,die -in het algemeen - verachillend is,ook al nebben ze aIle een samenv13-11ende tspeerpunt' in de krommeo

Uitgezet in de grafiek y. versus x,ontstaan zo

4

punten I tim IV, die,op grond van C_jR ,in direct verband met elkaar staan. Dit verband is in figuur 16 in detail gedemonstreerd o

Uitgaande van de betrekkingen (11) en (27) kan nu eenvoudig worden aangetoond,dat:

en verder, da t

=

«('4)

als ook

(76) Hieruit volgt,dat de punten C(O,-1) ,I en IV op e~1 rechte lig-gen,als ook de punten C, I I en 1110 En voorts,dat beide rechten elkaars spiegelbeeld zijn t.o.v o een rechte door C,die hoeken van

45

0 maakt met de x- en met de y-as o

Men vindt verder,dat YIII-Y I XlV-xII XIII-xI

=

t 2

=

_YIV-YII en analoog

Voor het snijpunt F van de rechten IV-II en 111-1 vindt men bovendien,dat

x_F

~

t ₂+t;1 en YF

=

1 (78)

Analoog vindt men voor het snijpunt R van de rechten IV-III en 11-1 de coordinaten:

Cebiedell me! /'rull</'ore ell minder blulk/'ore CoOi-dtiJtllell voor lSet onlwetf""11 VOII 5h1fellvier~dell cite

kOj''pelkrommeli me!.yeslt-ekle· kOOIJUllle1i /rodtlcerell_

Rome/lise .febieden b"'jl'ellsd dool X=.J+Iell door ai>f>0robool ofde reelSley=1((:lisj'~o) Gef,ieden(.i,/i,iil,iY) melom:!ersc!Jeidel1 /(OJ',Pelkrommen, ol1derltn; verbOllden mlddels ~_

~ -=0'

~$"'---,j=I(A=;'00)

II

Jjj

-Aier6j- is de I'1tiller-recAIe !evens diomeler von e-C}

II

,_, '"

Giell'Gro~1ol'-,jelJled

"

---....;.'

'~~(

:::'",::"::::::

~

_r

tn/cJ=forXJ

=J

+f

...

_---6ruikf,0l'e Ceell reele s!o1jelwier,zjdell

In dtlye/'ied

0

<.0 ) ~5 44 ~3 4Z M ~ 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 ~~ _...~ 2,3 _~'o 2l- II 2,1 ,..., 2

t

~9 1,8 ~7 (,G 1,5 i~

(80) 28

-De vergelijkingen

(76)

en

(77)

leiden tot het feit,dat de bis-sectricen van de rechten IV-II en III-Ii alsmeda die van de rechten IV-III en 11-1 evenwijdig zijn aan de bissectrice

«0,-1) -(2,1)) van de rechten I-IV en II-III.

Uitgaande van 6~n der 4 punten, bijvo het punt I ,kan men de overige drie direct construeren of bepalen domovo de hulppunten F en H op de rechte y ; 1~ De juiste ligging van de punten F en H op deze rechte vindt men in de wortels van de vierkantsver-gelijking:

2 -1)

xF,~ _{- x I (1-Y}

r

xF,R

In deze betrekking kan men de index I,op grond van symmetrieover-wegingen ook door de indices IV,III en II vervangeno Verder kan worden opgemerkt, dat de bissectrice «0,-1)-(2~1)) overgangs-rechte is,waarin de punten uit het gebied I in die van I I over-gaan en omgekeerd o Datzelfde geldt voor de punten uit de gebieden IV en 1110 Ook deze punten kunnen dus door deze bissectrice

ge-scheiden blijveno Tenslotte Jient de rechte y : 1 ala scheidslijn voor de punten uit de gebieden I en IV respo voor de punten uit de gebieden II en 1110

Daarmee kunnen dus in het eerste kwadrant

4

gebieden worden aange-wezen,die begrensd worden door de r~uhte x z y+1 en door de

parabool of door de rechte y

=

1.

Correaponderende punten uit ieder van de gebieden I,IV,III en II zijn punten,die tot eenzelfde C~R-configuratiebehoren,daarentegen onderscheiden speerpuntige koppelkrommen oplevereno

Het is raadzaam in ieder van die gebieden krommen met constante

~. te tekenen G Dit geeft dan voor de constructeur-gebruiker

m~n

een overzicht van de mogelijkheden. In figuur 17 is dit vooralsnog

all'en uitgevoerd voor het grensgeval,waarbij ~. ~ 0°0 In ieder

m~n

geval scheidt deze kromme de stangenvierzijden die w~l en die niet aan de voorwaarde van Grashof voldoen o Op deze kromme, die ook bij de overgangen van het ene naar het andere gebied, continue differ-entieerbaar blijft, hebben we,zoals duidelijk zal zijn, enkel te t e doen met I:?trekbe.~ vierzij denG