Het Hamiltoniaans formalisme achter
hi¨
erarchische tripelsystemen
Emma van der Grijp
31 juli 2018
Bachelorscriptie Wiskunde
Begeleiding: dr. Niek de Kleijn, dr. Hessel Posthuma
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Samenvatting
In deze scriptie doen we een reductie van de Hamiltoniaan voor het hi¨erarchische tripel-systeem, van de vari¨eteit R18naar de vari¨eteit (0, 1)2× T2. Hier komen drie co¨
ordinaten-transformaties aan te pas: een co¨ordinatentransformatie naar een co¨ordinatenstelsel ten opzichte van het zwaartepunt, een co¨ordinatentransformatie naar poolco¨ordinaten en uiteindelijk naar de baanelementen. Met deze co¨ordinatentransformaties verandert ook de vorm van de Poissonhaakjes, deze wordt gegeven na elke co¨ordinatentransformatie. Als laatste wordt er een analyse gedaan van de afleiding van de afhankelijkheid τEKM∼
1/√oct. De fouten van de benaderingen worden gegeven, waaruit blijkt dat alle fouten
klein genoeg zijn om tot deze afhankelijkheid te komen.
Dankwoord
Ik wil graag mijn begeleider Niek de Kleijn bedanken voor zijn geduld en uitstekende begeleiding. Daarnaast wil ik graag Silvia Toonen, de inspirator van deze scriptie, be-danken voor haar behulpzaamheid en enthousiasme. Zonder jullie inzet was dit project niet gelukt.
Titel: Het Hamiltoniaans formalisme achter hi¨erarchische tripelsystemen Auteur: Emma van der Grijp, emmavandergrijp@gmail.com,10537236 Begeleiding: dr. Niek de Kleijn, dr. Hessel Posthuma
Tweede beoordelaar: dr. Daan Crommelin, Einddatum: 31 juli 2018
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam
Science Park 904, 1098 XH Amsterdam http://www.kdvi.uva.nl
Inhoudsopgave
1 Inleiding 4
2 Hi¨erarchische tripelsystemen 6 3 Hamiltoniaans formalisme 9
3.1 Vectorvelden op vari¨eteiten . . . 9
3.2 De Poissonhaakjes . . . 14
3.2.1 De Hamiltoniaan . . . 14
3.2.2 Poissonmeetkunde . . . 14
3.3 Integreerbare systemen . . . 16
4 Reductie 18 4.1 Een co¨ordinatenstelsel ten opzichte van het zwaartepunt . . . 18
4.2 Transformatie naar baanelementen . . . 20
4.3 Constantes en secularisatie . . . 23
5 Benaderingen in het paper van Antognini 26 5.1 De testdeeltjelimiet . . . 26 5.2 Verdere benaderingen . . . 27 5.3 De oct afhankelijkheid . . . 30 6 Conclusie 34 7 Populaire samenvatting 35 Bibliografie 37
1 Inleiding
In ons zonnestelsel draait de aarde, samen met zeven andere planeten, om ´e´en ster, de zon. Er zijn er ook systemen waarin twee sterren om elkaar heen draaien, dit heet een dubbelster. De banen die de sterren in een dubbelstersysteem hebben zullen niet ver-anderen zolang de energie behouden blijft in het systeem, een eigenschap die ze in de sterrenkunde stabiliteit noemen. Een dubbelstersysteem is erg overzichtelijk en heeft een gesloten oplossing voor elke toestand, waardoor de tijdsevolutie van het systeem te bepalen is. Dit is ook de reden dat er veel stersystemen dubbelsterren zijn: 34% van de stersystemen zijn dubbelsterren [3].
Het bepalen van de banen van drie lichamen gegeven hun initi¨ele positie en snelheid heet het drielichamenprobleem. De wiskundige Henri Poincar´e heeft bewezen dat er voor tripelsystemen geen gesloten oplossingen bestaan. Later bleek dat er voor geen en-kel n-lichaamsysteem, met n > 2, een gesloten oplossing bestaat. Hier is de tijdsevolutie chaotisch en alleen numeriek te bepalen. Toch bestaat ongeveer 10% van de stersystemen uit tripelsystemen, terwijl chaotische systemen niet stabiel zijn. Een speciaal geval van de tripelsystemen, de hierarchische tripelsystemen, zijn wel stabiel op lange tijdschalen. De derde ster in het systeem staat ver weg van de andere twee sterren, zodat de eerste en tweede ster een dubbelster vormen, de binnenste dubbelster [3].
Over de evolutie van een hi¨erarchisch tripelsysteem is nog veel onbekend. Door de derde ster in het systeem vinden er verschillende effecten plaats in de binnenste dubbelster, zoals de oscillatie van de excentriciteit. Deze oscillaties heten de Kozai-Lidov-oscillaties. De maximum excentriciteit die de binnenste dubbelster aanneemt kan ook vari¨eren, een effect genaamd het excentrische Kozai-Lidov-mechanisme. Deze variatie kan er voor zorgen dat de richting van de baan van het lichaam in de binnenste dubbelster opeens omdraait ten opzichte van de buitenste dubbelster [1]. Het doel van deze scriptie is om het Hamiltoniaans formalisme te bestuderen om met behulp van deze kennis naar de tijdschalen van de relevante mechanismes van deze systemen te kijken. Tevens is het doel om een foutenanalyse te maken van benaderingen in het paper ‘Timescales of Kozai-Lidov oscillations at quadruple and octuple order in the test particle limit’ van J.M.O. Antognini [1] en te bepalen of de nieuwe afhankelijkheid
tEKM∼
256√10 15π√oct
tKL
In hoofdstuk 2 zal het hi¨erarchisch systeem beschreven worden. Hier zal de Hamiltoniaan uit de natuurkunde besproken worden en de effecten die te zien zijn in de pertubatie-term. In hoofdstuk 3 zal de theorie van het Hamiltoniaans formalisme besproken wor-den. Om uiteindelijk bewegingsvergelijkingen te vinden moeten we eerst een structuur defini¨eren waarop deze bewegingsvergelijkingen zich bevinden. Deze structuur bestaat uit een ruimte (een vari¨eteit M ), een functie (de Hamiltoniaan H) en de Poissonhaakjes π. Met deze theorie reduceren we in hoofdstuk 4 de Hamiltoniaan, om uiteindelijk de bewegingsconstantes te kunnen opstellen. Als laatste hoofdstuk bekijken we het paper van Antognini [1] en bekijken we of de benadering die hij geeft gedaan legitiem zijn.
2 Hi¨
erarchische tripelsystemen
Het hi¨erarichisch tripelsysteem bestaat uit twee dubbelstersystemen die om elkaar heen draaien. De eerste bestaat uit lichaam 1 en lichaam 2, genaamd de binnenste dubbelster. Samen met de binnenste dubbelster vormt het derde lichaam een dubbelster. In figuur 2.1b zien we een schematische weergave van het tripelsysteem, met mi de massa van
lichaam i en i ∈ {1, 2, 3}. De banen van de lichamen zijn ellipsvormig, met halve lange as aj en excentriciteit ej. De inclinatie ij is de hoek tussen het vlak van de baan en het
refererentievlak, vaak het vlak van observatie. De gezamenlijke inclinatie itot is
gedefi-nieerd als de hoek tussen de vectoren van de impulsmomenten Gj van de binnenste en
buitenste dubbelster. De hoek van periapsis gj is de hoek tussen de klimmende knoop
en de periapsis (het punt in de baan waar het lichaam de afstand tussen het lichaam en het focuspunt het kleinst is) en hj is de lengte van de klimmende knoop, de hoek tussen
het referentievlak en de richting van de klimmende knoop.
De meeste tripelsystemen zijn hi¨erarchisch, omdat deze systemen stabiel zijn [3]. Het bepalen van criteria voor stabiliteit is moeilijk omdat stabiliteit over verschillende tijd-schalen kan voorkomen [7].
Definitie 2.0.1. Een drielichamensysteem heet hi¨erarchisch als geldt dat a2 a1 < 2.8 1 − e2 (1 −0.3itot π ) (1.0 + q)(1 + e√ 2) 1 − e2 !25 , met q = m3 m1+m2.
Deze definitie is gebaseerd op de aanwezigheid van chaos, maar de definitie is vrij con-servatief omdat de aanwezigheid van chaos niet perse hoeft te betekenen dat het systeem niet stabiel is. Hi¨erarchische tripelsystemen worden stabiel geboren, maar in definitie 2.0.1 is te zien dat als de ratio van de halve lange assen groter wordt het systeem insta-biel kan worden [7].
We nemen aan dat het hi¨erarchisch systeem een gesloten systeem is, dat de totale hoe-veelheid energie in het systeem constant blijft. Om de totale hoehoe-veelheid energie te bepalen stellen we een Hamiltoniaan H = T + V op met T de kinetische energie en V de potenti¨ele energie. Uit de natuurkunde weten we dat
(a) De baanelementen
(b) Schematische weergave van het hi¨erarchische tripelsysteem [3]
Figuur 2.1 H = T + V = −1 2 3 X i,j=1 i6=j Gmimj kRi− Rjk+ 1 2 3 X i=1 pi2 mi , (2.1)
met pide impuls van lichaam i en Ride plaats van lichaam i. Vanwege een co¨
ordinaten-transformatie uiteengezet in hoofdstuk 4 onstaat er een Hamiltoniaan met drie termen: de Hamiltoniaan van de binnenste dubbelster, de Hamiltoniaan van de buitenste dub-belster en een pertubatieterm. De pertubatieterm beschrijft het effect van het derde lichaam op de binnenste dubbelster [3]:
H0 = 1 2 m1m2 (m1+ m2)3 p12− Gm1m2 kr1k + (m1+ m2)m3 (m1+ m2+ m3)3 p22− G(m1+ m2)m3 kr2k − G kr2k ∞ X n=2 Mn kr1k kr2k n ˜ Pn(cos (Φ)) .
Het polynoom ˜Pn is de n-de Legendrepolynoom,
Mn= m1m2m3(m1n−1− (−m2)n−1)/(m1+ m2)n
is een massaparameter en Φ is de hoek tussen de twee vectoren r1 en r2. De sommatie
in de pertubatieterm wordt benaderd door de eerste twee termen: de quadrupel- en octupelterm:
Rquad = G r2 M2 r1 r2 2˜ P2(cos(Φ)) Roct = G r2 M3 r1 r2 3˜ P3(cos(Φ))
Door meerdere co¨ordinatentransformaties zijn er verschillende effecten zichtbaar in de quadrupel- en in de octupelterm. In de quadrupelterm zijn de Kozai-Lidov-oscillaties zichtbaar, de oscillaties van de excentriciteit van de binnenste dubbelster. Deze oscillaties hebben grotere tijdschalen dan de periodes van de lichamen, waardoor het mogelijk is om de bewegingen van de lichamen te middelen. Hierdoor zijn secundaire effecten zichtbaar, effecten die zonder de middelingen te klein zijn om waar te nemen. Als de massaratio van de binnenste dubbelster groot genoeg is zal de maximum excentriciteit in de binnenste dubbelster varie¨eren, een effect wat het excentrische Kozai-Lidov-mechanisme wordt genoemd. Dit effect is te zien in de octupelterm van de Hamiltoniaan Roct [3].
3 Hamiltoniaans formalisme
Om te zien wat de tijdsevolutie is hebben we bewegingsvergelijkingen nodig. Dit zijn vergelijkingen in de faseruimte, waardoor we weten wat de configuratie is van het systeem op tijdstip t.
3.1 Vectorvelden op vari¨
eteiten
De ruimte waarin het hi¨erarchisch tripelsysteem zich begeeft is een deelverzameling van Rn, deze ruimte noemen we ook wel een vari¨eteit.
Definitie 3.1.1. Een deelverzameling M ⊆ Rn heet een gladde vari¨eteit als voor alle x ∈ M er een open omgeving U ⊆ Rn met x ∈ U en een open V ⊂ Rn bestaat zodanig dat er een diffeomorfisme φ : U → V bestaat, met de verzameling punten y van de vorm y = (y1, . . . , ym, 0, . . . , 0) en φ−1(y) = U ∩ M . Hierbij heet m de dimensie van de
vari¨eteit.
Merk op dat een diffeomorfisme F een bijective functie is, met zowel F als F−1 oneindig differentieerbaar.
Voorbeeld 3.1.1. Neem de bolschil S2 ⊂ R3, zoals weergegeven in figuur 3.1. We
nemen de open deelverzameling, voor een 0 < δ < 1,
Uδ= {(x, y, z) ∈ R3 | 1 − δ < k(x, y, z)k < 1 + δ} ⊂ R3,
de open omgeving van de bolschil. Daarnaast defini¨eren we de deelverzamelingen UN = {(x, y, z) ∈ R3 | z > −δ} ⊂ R3, UZ = {(x, y, z) ∈ R3 | z < δ} ⊂ R3,
UO= {(x, y, z) ∈ R3 | x > −δ} ⊂ R3, UW = {(x, y, z) ∈ R3 | x < δ} ⊂ R3.
Figuur 3.1: De bolschil S2 ⊆ R3
De eindige doorsnede van open verzamelingen, is weer een open verzameling, dus we defini¨eren de open verzamelingen
UN O = Uδ∩ UN ∩ UO UN W = Uδ∩ UN∩ UW
UZO = Uδ∩ UZ∩ UO UZW = Uδ∩ UZ∩ UW.
De transformatie naar poolco¨ordinaten
r =px2+ y2+ z2, θ = arctan p x2+ y2 z ! , φ = arctany x
op Uδis een diffeomorfisme van de open verzamelingen naar een deelverzameling V ⊂ R3.
We defini¨eren de afbeelding
χ : Uδ→ V : (x, y, z) 7→ (θ, φ, r − 1).
Voor χ geldt dat er een > 0 bestaat zodat χ|U NO : UNO→ VNO= (−, π 2 + ) × (− π 2 − , π 2 + ) × (−δ, δ),
Deze afbeelding is een diffeomorfisme en er geldt dat (χ|UN O)−1(θ, φ, 0) = UN O∩ S2. De
bolschil S2 is dus een vari¨eteit.
Zij M een vari¨eteit, p ∈ M en I het interval [-1,1], dan zijn de richtingen (ook wel de raakvectoren) in p,
TpM = {γ : I → M | γ is glad en γ(0) = p}/ ∼,
met γ1 ∼ γ2 als voor een diffeomorfisme φ : U → V zoals in definitie 3.1.1 met U en V
open in Rn geldt dat
∂ ∂t(φ ◦ γ1) t=0 = ∂ ∂t(φ ◦ γ2) t=0 .
In andere woorden: de verzameling TpM is een verzameling van equivalentieklasses,
waarbij twee paden in dezelfde equivalentieklasse zitten als ze infinitesimaal dichtbij x hetzelfde zijn. Hieruit volgt dat gegeven co¨ordinaten rond p de rechte lijnen door p allemaal in een andere equivalentieklasse zitten, dus we kiezen de rechte lijnen vp =
P vixi+ pi, met de co¨ordintenfunctie xi(p) = pi, als representant van zijn
equivalentie-klasse. Deze ruimte noemen we ook wel de raakruimte en T M = [
x∈M
TxM
Definitie 3.1.2. De richtingsafgeleide in punt x in vari¨eteit M is een lineaire functie Dx : C∞(M ) → R
zodat voor elke f, g ∈ C∞(M ) geldt dat Dx(f g) = f (x)Dx(g) + g(x)Dx(f ),
waarbij C∞(M ) de verzameling van gladde functies op M is, oftewel: C∞(M ) = {f : M → R |f ◦ φ−1 ∈ C∞(φ(U ∩ M ))},
met φ een diffeomorfisme zoals in definitie 3.1.1. Vanwege de lineaire eigenschap van deze functie volgt:
Dx+ D0x (f ) = Dx(f ) + D0x(f )
Dx+ Dx0 (f g) = Dx(f g) + Dx0(f g)
= f (x)(Dx+ Dx0)(g) + g(x)(Dx+ D0x)(f ),
dus vormt de verzameling
Dx = {Dx: C∞(M ) → R | Dxis een richtingsafgeleide}
een vectorruimte op M . De parti¨ele afgeleide ∂x∂
i is een element van deze verzameling en
aangezien de afgeleide van een functie een lineaire combinatie is van de parti¨ele afgeleides, vormen de parti¨ele afgeleides een basis voor Dx.
Propositie 3.1.1. Zij M een vari¨eteit met p ∈ M , dan is de afbeelding ψ : TpM → Dp : v 7→ X vi ∂ ∂xi p een isomorfisme. Bewijs.
Injectiviteit. Zij u, v ∈ TpM representanten van hun equivalentieklasses van de vorm
up =P uixi+ pi en vp=P vixi+ pi. Stel ψ(up) = ψ(vp), dan geldt
X ui ∂ ∂xi p =Xvi ∂ ∂xi p =⇒ X (ui− vi) ∂ ∂xi p = 0 =⇒ ui− vi = 0 ⇒ ui= vi⇒ up= vp.
Surjectiviteit. Neem D als een afgeleide in p en zij f ∈ C∞(M ). Door de stelling van Taylor met rest weten we dat rond het punt p ∈ M geldt dat
f (x) = f (p) +X(xi− pi)gi(x) met gi(p) =
∂f ∂xi
(p). Als we hier de functie D op toepassen krijgen we
Df (x) = Df (p) +XD(xi− pi)gi(p) + (pi− pi)Dgi(x).
Merk op dat hier de productregel uit definitie 3.1.2 is gebruikt. De functie f ge¨evalueerd in een punt p is een element van R, dus Df (p) = 0, waaruit volgt dat
Df (x) =XD(xi)
∂f ∂xi
(p).
Voor v =P D(xi)ei, met ei de i-de eenheidsvector, geldt dus dat D = Dv. Dit bewijst
dat de ψ surjectief is.
Door het isomorfisme tussen TpM en Dp kunnen we de standaardbasis van TpM
identi-ficeren met de basis van Dp. Deze basis is de parti¨ele afgeleides h∂x∂1
p, . . . , ∂ ∂xn pi. Een
element v ∈ TpM kunnen we nu dus schrijven als
v =Xvi ∂ ∂xi p .
Het bestaan van een diffeomorfisme φ tussen U ∩ M en V ∩ Rm zoals in definitie 3.1.1 heeft als gevolg dat de co¨ordinaten van de raakbundel worden gedefinieerd door
T U ∩ T M → T V ⊂ T Rm = R2m.
Als x = (x1, . . . , xm) ∈ U ∩ M , dan wordt een punt op de raakbundel gedefinieerd door
x en een raaklijn vx∈ TxU , zodat de i-de co¨ordinatenfunctie xi(v) = xi en
v = n X i=1 ˙ xi(v) ∂ ∂xi x .
De co¨ordinaten (xi, ˙xi(v)) noemen we de speciale co¨ordinaten.
We definieren de duale ruimte van TpM , de co-raakruimte:
Tx∗M = {f : TxM → R | f is een homomorfisme}.
Analoog aan de raakbundel geldt dat de co-raakbundel gedefinieerd is als T∗M = [
x∈M
Zij f ∈ C∞(M ), dan is de differentiaal van f , df , het volgende: neem p ∈ M en Xp =Pni=1ai∂x∂i
p∈ TpM een raakvector, dan is
(df )pXp = Xpf = n X i=1 ai ∂f ∂xi p.
Hieruit volgt dat (dxj)pXp = aj, dus de functie (dxj)p is de j-de co¨ordinatenfunctie
van de raakruimte, oftewel een basis voor de co-raakruimte. Analoog aan de raakruimte worden de speciale co¨ordinaten op de co-raakruimte gedefinieerd door een punt x ∈ U ⊂ M en een vector v ∈ T∗U , zodat de i-de co¨ordinatenfunctie xi(v) = xi en
v = n X i=1 ˙ xi(v)dxi x .
Ook in de co-raakruimte worden de speciale co¨ordinaten dus (xi, ˙xi(v)).
Voorbeeld 3.1.2. De eenheidscirkel is volgens dezelfde redenering als voorbeeld 3.1.1 een vari¨eteit. Als we de cirkel x2+y2 = 1 in R3beschouwen, kunnen we de raakvectoren v in punt p weergeven als een punt boven of onder het punt p, zoals hieronder weergegeven. De co-raakbundel T∗S1 is dus isomorf aan S1× R, de cilinder.
Als we kijken naar het hi¨erarchische tripelsysteem hebben we drie lichamen, waarvan de plaats wordt beschreven door een punt in R3. Een unieke beschrijving van de plaats is een gegeneraliseerd co¨ordinatenstelsel, in het geval van het hi¨erarchisch tripelsysteem het cartesisch co¨ordinatenstelsel. De plaats van de drie punten in R3 kunnen we ook beschrijven als ´e´en punt in R9, deze ruimte heet ook wel de configuratieruimte. Naast de plaats, hebben de punten ook nog een impuls. In de ruimte R18geeft ´e´en punt zowel alle plaatsen aan van alle lichamen, als de impulsen. Deze ruimte noemen we de faseruimte. De toestand van een systeem wordt beschreven door een punt x in de configuratieruimte en de co-raakvector p ∈ Tx∗M in het punt x. Het Newton-Laplace principe zegt nu dat de toestand van een systeem de beweging volledig bepaalt [4].
3.2 De Poissonhaakjes
Het soort ruimtes waarin we werken is in het vorige hoofdstuk gedefinieerd: een vari¨eteit M . We hebben nu nog een Hamiltoniaan nodig en de Poissonhaakjes π om de bewe-gingsvergelijkingen te bepalen.
3.2.1 De Hamiltoniaan
Definitie 3.2.1. Zij M een vari¨eteit, dan is de Hamiltoniaan de oneindig differentieer-bare functie
H : M → R.
In de natuurkunde is deze functie vaak de totale hoeveelheid energie. Daardoor is hij in de natuurkunde gedefinieerd als H = V + T , de som van de kinetische en potenti¨ele energie. Als we de Hamiltoniaan definieren op de coraakbundel T∗M , krijgen we de Hamiltoniaan die gebruikelijk is in de natuurkunde.
Voorbeeld 3.2.1. In een tweelichamensysteem in 3-D is de totale potenti¨ele energie de som van de gravitatie-energie¨en van de lichamen, dus V = −12(Gm1m2
|r2−r1| +
Gm2m1
|r1−r2|) =
−Gm1m2
r , waarbij G de gravitatieconstante, mi de massa van lichaam i met i ∈ {1, 2}
en r de relatieve afstand is. De totale kinetische energie is de som van de kinetische energie¨en van de lichamen, dus 12(m1v12+ m2v22) = 12(
p2 1 m1 + p2 2 m2), met vi de snelheid en pi
het impuls van lichaam i met i ∈ {1, 2}. De Hamiltoniaan is dus: H = V + T = −Gm1m2 r + 1 2( p21 m1 + p 2 2 m2 ). Dit is inderdaad een functie H ∈ C∞(R12).
3.2.2 Poissonmeetkunde
We hebben de ruimte gedefini¨eerd, vari¨eteit M , met een functie op M , de Hamiltoniaan H. Op M defini¨eren we nu de Poissionhaakjes π.
Definitie 3.2.2. Zij M een differentieerbare vari¨eteit. De Poissonhaakjes is een bili-neaire afbeelding {−, −} : C∞(M ) × C∞(M ) → C∞(M ) zodanig dat 1. {f, g} = −{g, f } (Anti-symmetrie) 2. {f, gh} = g{f, h} + {f, g}h (Productregel) 3. {f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0 (Jacobi-identiteit)
Merk op dat de afbeelding die alles naar nul stuurt voldoet aan de eigenschappen van de Poissonhaakjes, dus er bestaat altijd een Poissonhaakje. Als we nu de Poissonhaakjes defini¨eren op de vari¨eteit T∗M , krijgen we de de klassieke Poissonhaakjes :
π(f, g) = {f, g} = n X i=1 (∂f ∂xi ∂g ∂pi − ∂f ∂pi ∂g ∂xi ),
voor functies f, g ∈ C∞(R2n) en x en p de speciale co¨ordinaten van T∗M . De klassieke Poissonhaakjes en de Hamiltoniaan zijn gedefinieerd op T∗M , dus we zullen vanaf nu als vari¨eteit altijd de co-raakruimte bedoelen en met de bijbehorende Poissonhaakjes. Definitie 3.2.3. Een glad vectorveld X op een open deelverzameling U ⊆ M is een gladde afbeelding die elk punt p in U stuurt naar een raakvector Xp in TpM .
Vanwege U ' Rm en T U ' R2m, kunnen we zeggen dat een afbeelding glad is op U als de afbeelding glad is op Rm. Als we ´e´en functie f ∈ C∞(T∗M ) invullen in de
Poissonhaakjes krijgen we een glad vectorveld:
{f, −} = n X i=1 (∂f ∂xi ∂ ∂pi − ∂f ∂pi ∂ ∂xi ).
Dit vectorveld gegenereerd door de functie f noemen we Xf. Het vectorveld gegenereerd
door de Hamiltoniaan H is een vectorveld op T∗M en geeft de beweging van de lichamen in de faseruimte. Dit vectorveld induceert de stroom op T∗M .
Definitie 3.2.4. Zij M een vari¨eteit, dan is de stroom een afbeelding κ : M × (−, ) → M,
zodat voor alle p ∈ M en s, t ∈ R geldt dat κ(x, 0) = x en κ(x, s) ◦ κ(x, t) = κ(x, s + t). De stroom is dus een pad dat een lichaam maakt in het vectorveld, oftewel voor elk punt p ∈ M volgt het lichaam de raakvector in p:
(XH)p= [κ(p, t)]
Stel we nemen f ∈ C∞(T∗M ), (q, p) de speciale co¨ordinaten op T∗M en een stroom κ, dan volgt dat:
f (p, q) = f (κ(p, q, t)) = f (p(t), q(t)) Hieruit volgt dat:
∂f ∂t = ∂f ∂p ∂p ∂t + ∂f ∂q ∂q ∂t = XH(f ) = {H, f }.
Als we nu het vectorveld XH toepassen op de speciale co¨ordinaten (q, p) ∈ T∗M , volgen
Definitie 3.2.5. Zij H de Hamiltoniaan gedefinieerd op de faseruimte T∗M , dan zijn de Hamiltoniaanse vergelijkingen in de speciale co¨ordinaten (q,p) van de faseruimte
∂p ∂t = − ∂H ∂q ∂q ∂t = ∂H ∂p. Voorbeeld 3.2.2. Stel H : T∗R = R2 → R : (x, p) 7→ p2 2m+ x 2,
dan is het vectorveld voortgebracht door deze functie XH= {H, −} = mp ∂x∂ − 2x∂p∂. Het
vectorveld XH (zie figuur 3.2) beschrijft de stroom van een systeem met deze
Hamilto-niaan. -60 -40 -20 0 20 40 60 -60 -40 -20 0 20 40 60 x p
Figuur 3.2: Het vectorveld XH met m = 1
3.3 Integreerbare systemen
In hoofdstuk 5 gaan we integreren, maar daarvoor moeten we weten wanneer een systeem integreerbaar is.
Definitie 3.3.1. De functie f ∈ C∞(T∗M ) is een bewegingsconstante als geldt dat {H, f } = 0.
Als de functie f een bewegingsconstante is, geldt ook dat de functie constant is op alle diffeomorfismes g in de stroom. Zolang de energie behouden blijft en de waarde van H niet veranderd in de tijd, is H zelf een bewegingsconstante: vanwege de anti-symmetrie van de Poissonhaakjes is {H, H} altijd nul. Als we naar voorbeeld 3.2.2 kijken, zien we dat de stroom bestaat uit ellipsen. De functie f = p2mx2+ p2 zal op dit vectorveld
Definitie 3.3.2. Neem de coraakbundel T∗M met dimensie 2n, dan is een systeem in-tegreerbaar als de vari¨eteit n verschillende bewegingsconstantes H = f1, . . . , fn heeft,
met {fi, fj} = 0 voor alle i, j ∈ {1, . . . , n} en {dpf1, . . . , dpfn} ⊂ Tp∗M lineair
onafhan-kelijk.
In de quadrupelterm van de Hamiltoniaan in het hi¨erarchische tripelsysteem zijn er uiteindelijk vier variabelen over. Er zijn ook twee bewegingsconstantes te vinden: de Hamiltoniaan zelf en de functie Θ = (j1cos(itot))2. De quadrupelterm is dus een
inte-greerbaar systeem. Echter, in de octupelterm van de Hamiltoniaan is Θ niet meer een bewegingsconstante. Daarnaast hangt de octupelterm van de Hamiltoniaan af van vijf variabelen. Dit systeem is dus niet integreerbaar.
Stelling 3.3.1 (Arnold-Liouville). Laat een vari¨eteit M , met de poissonhaakjes π = {−, −} en de Hamiltoniaan H een integreerbaar systeem vormen van dimensie 2n met bewegingsconstantes H = f1, . . . , fn. Nu bestaan er actievariabelenen I = (I1, . . . , In) ∈
Rn+ en hoekvariabelen φ = (φ1, . . . , φn) ∈ Tn−k× Rk zodanig dat (φ, I) co¨ordinaten zijn
en H = H(I1, . . . , In).
Voorbeeld 3.3.1. De Delaunay-variabelen zijn de baanelementen hoek van periapsis g, de gemiddelde anomalie l, de lengte van de klimmende knoop h en hun momenta. Dit zijn actie-hoekvariabelen, waarbij de momenta de actievariabelen zijn en de hoeken de hoekvariabelen [3]. Zoals we in hoofdstuk 4 zullen zien is de Hamiltoniaan alleen afhankelijk van de momenta.
4 Reductie
De Hamiltoniaan van het hi¨erarchische tripelsysteem is een functie van R18 naar R. Om de integreerbaarheid te controleren van dit systeem, zouden we negen bewegings-constantes moeten vinden. Het is handiger om eerst te kijken of we door middel van co¨ordinatentransformaties de Hamiltoniaan kunnen reduceren tot een functie van minder variabelen.
4.1 Een co¨
ordinatenstelsel ten opzichte van het
zwaartepunt
De eerste co¨ordinatentransformatie is een transformatie van een co¨ordinatenstelsel met een willekeurige oorsprong naar een co¨ordinatenstelsel ten opzichte van het zwaartepunt. We defini¨eren de dikgedrukte r als vector en r = krk. In figuur 4.1 zien we de vectoren R1, R2 en R3 als de plaatsvectoren van de lichamen. We defini¨eren het zwaartepunt
van de binnenste dubbelster rB = m1Rm11+m+m22R2 en van de buitenste dubbelster rCM = m1R1+m2R2+m3R3 m1+m2+m3 , en r1= R2− R1, r2= R3− m1R1+ m2R2 m1+ m2 .
Dit zijn lineaire transformaties, dus in matrixvorm is dit
A R1 R2 R3 = rcm r1 r2 met A = m1 M2 m2 M2 m3 M2 −1 1 0 −m1 M1 − m2 M1 1 ,
met m = m1+ m2 en M = m1+ m2+ m3. Hieruit volgen de oude co¨ordinaten uitgedrukt
in de nieuwe co¨ordinaten en met een analoge methode vinden we die uitdrukkingen ook voor de speciale co¨ordinaten p op T∗R9 :
R1 = rcm− m2 mr1− m3 Mr2 P1 = m1 Mpcm− p1− m1 m p2 R2 = rcm+ m1 mr1− m3 Mr2 P2 = m2 Mpcm+ p1− m1 m p2 R3 = rcm+ m2 mr1− m3 Mr2 P3 = m3 Mpcm+ p2
Figuur 4.1: De positievectoren van het hi¨erarchische tripelsysteem [3]
Vanuit de Hamiltoniaan in vergelijking 2.1 vinden we een nieuwe uitdrukking voor de Hamiltoniaan in de nieuwe co¨ordinaten:
H = p 2 cm 2M + p21 2µ1 + p 2 2 µ2 −Gm1m2 r1 − Gm1m2 kr2+mm2r1k − Gm1m3 kr2−mm1r1k ,
waarbij µ1= mm11+mm22 en µ2 = m(m11+m+m22+m)m33, de gereduceerde massa’s van respectievelijk de
binnenste dubbelster en de buitenste dubbelster.
Definitie 4.1.1. Een canonieke co¨ordinatentransformatie behoudt de vorm van de Pois-sonhaakjes.
De co¨ordinatentransformatie komt voort uit een co¨ordinatentransformatie van de confi-guratieruimte, dus de nieuwe co¨ordinaten behouden de vorm van onze oorspronkelijke Poissonhaakjes. De co¨ordinatentransformatie is dus canoniek en de haakjes in de nieuwe co¨ordinaten zijn
π(f, g) = ∂f ∂rcm ∂g ∂pcm − ∂f ∂pcm ∂g ∂rcm + ∂f ∂r1 ∂g ∂p1 − ∂f ∂p1 ∂g ∂r1 + ∂f ∂r2 ∂g ∂p2 − ∂f ∂p2 ∂g ∂r2 . Vanuit de Hamiltoniaan en de vorm van de Poissonhaakjes weten we dat de bewe-gingsvergelijkingen voor r1, p1, r2 en p2 onafhankelijk zijn van rcm en pcm. Door de
Hamiltoniaanse vergelijkingen uit definitie 3.2.5 vinden we nu
∂rcm ∂t = ∂H ∂pcm = pcm M ∂pcm ∂t = − ∂H ∂rcm = 0.
De impuls van het zwaartepunt verandert niet in de tijd, dus gegeven die waarde geldt rcm = tpMcm. De nieuwe Hamiltoniaan H0 op R12 wordt nu gegeven door:
H0 = p 2 1 2µ1 + p 2 2 µ2 −Gm1m2 r1 − Gm1m2 kr2+mm2r1k − Gm1m3 kr2−mm1r1k .
Zij ˜Pnde n-de Legendre polynoom, dan geldt voor positievectoren r en r0, de hoek tussen
deze twee vectoren cos(γ) = r·rrr00 en α ∈ R :
1 kr − αr0k = 1 r ∞ X n=0 αn r 0 r n ˜ Pn(cos γ)).
Door deze vergelijking vinden we een uitdrukking voor de Hamiltoniaan H0 = 1 2 m1m2 (m1+ m2)3 p12− Gm1m2 kr1k + (m1+ m2)m3 (m1+ m2+ m3) p22− G(m1+ m2)m3 kr2k (4.1) − G kr2k ∞ X n=2 Mn kr1k kr2k n ˜ Pn(cos (Φ)) . (4.2)
De eerste term van de Hamiltoniaan is de Hamiltoniaan van een dubbelster met m1 en
m2 en de tweede term is de Hamiltoniaan van een dubbelster met m3en het zwaartepunt
van m1 en m2, met massa m1+ m2. De derde term is een pertubatieterm, die het effect
van de derde ster op de binnenste dubbelster beschrijft. De bijbehorende Poissonhaakjes zijn
π0(f, g) = ∂f ∂r1 ∂g ∂p1 − ∂f ∂p1 ∂g ∂r1 + ∂f ∂r2 ∂g ∂p2 − ∂f ∂p2 ∂g ∂r2 , met ((r1 = ((r1)x, (r1)y, (r1)z), r2 = ((r2)x, (r2)y, (r2)z), p1 = ((p1)x, (p1)y, (p1)z), p2 = ((p2)x, (p2)y, (p2)z)).
4.2 Transformatie naar baanelementen
De effecten die te zien zijn in de pertubatieterm zijn effecten op de baanelementen van het systeem, daarom moeten we het co¨ordinatenstelsel transformeren naar een stelsel van de baanco¨ordinaten: de inclinatie i, de halve lange as a, de eccentriciteit e, de gemiddelde anomalie l, argument van het periapsis g en de lengte van de klimmende knoop h. In de volgende transformaties zijn de transformaties voor de binnenste dubbelster en buitenste dubbelster hetzelfde. We laten de transformaties zien voor ´e´en dubbelster, de ander gaat analoog.
π0 ρ pρ θ pθ φ pφ ρ 0 1 0 0 0 0 pρ -1 0 0 0 0 0 θ 0 0 0 1 0 0 pθ 0 0 -1 0 0 0 φ 0 0 0 0 0 1 pφ 0 0 0 0 −1 0
Tabel 4.1: De functies voor de bijbehorende termen in de Poissonhaakjes π0.
De transformatie ρ = q rx2+ ry2+ rz2 θ = arctan q r2 x+ ry2 rz φ = arctanry rx
is alleen een co¨ordinatentransformatie in de configuratieruimte. Voor de transformatie van de co¨ordinaten p vinden we:
pρ= rxpx+ rypy + rzpz q r2 x+ ry2+ rz2 pθ = rzrxpx+ rzrypy− pz(rx2+ ry2) q r2 x+ ry2 pφ= pyrx− pxry.
Als we alle co¨ordinatentransformaties invullen in de Poissonhaakjes, vinden we constan-ten in tabel 4.1. Dit bewijst dat de co¨ordinatentransformatie canoniek is, dus de nieuwe vorm van de poissonhaakjes wordt:
π0(f, g) = ∂f ∂ρ ∂g ∂pρ − ∂f ∂pρ ∂g ∂ρ + ∂f ∂θ ∂g ∂pθ − ∂f ∂pθ ∂g ∂θ ∂f ∂φ ∂g ∂pφ − ∂f ∂pφ ∂g ∂φ .
H0 = 1 2 m1m2 (m1+ m2) Υ1− Gm1m2 ρ1 + (m1+ m2)m3 (m1+ m2+ m3) Υ2− G(m1+ m2)m3 ρ2 − G ρ2 ∞ X n=2 Mn ρ1 ρ2 n ˜ Pn(cos (Φ)) . met Υi= p2ρi + p2φ i ρ2i sin2(θi) +2 sin(θi) + ρisin(2θi) ρ2 i pρipθi+ 1 + cos2(θi) cos2(θ i)ρ4i p2θi.
Stelling 4.2.1. Als de 2n functies P (p, q) en Q(p, q) van de 2n variabelen p en q een canonieke transformatie g : R2n→ R2n geven, dan geldt dat
pdq − P dQ = dF (p, q).
Deze stelling volgt uit de symplectische meetkunde en het lemma van Poincar´e [4]. Definitie 4.2.1. Zij (P, Q) = g(p, q) een canonieke transformatie. Dan is de functie
S(P, q) = F (p, q) + P Q
een voortbrengende functie van de canonieke transformatie g.
Uit deze definitie en de definitie van F (p, q) volgt dat voor onze nieuwe co¨ordinaten P , Q geldt
p = ∂S(P, q)
∂q Q =
∂S(P, q) ∂P .
Met de voortbrengende functie S kunnen we nu onze nieuwe co¨orinaten bepalen, de baanco¨ordinaten. Om deze functie te vinden gebruiken we de Hamilton-Jacobi vergelij-king [5] ∂S ∂t + H q,∂S ∂q, t = 0, (4.3) waarbij t de tijd is. Als we dit oplossen vinden we nieuwe co¨ordinaten voor de plaats, waarop de Hamiltoniaan zonder de pertubatieterm nul is:
Q1i= −τi, Q2i= gi, Q3i= hi,
met τ het tijdstip waarop het lichaam de periapsis passeert, g het argument van de periapsis en h de lengte van de klimmende knoop. De bijbehorende impulsen zijn:
P11= − Gm1m2 2a1 P21= − Gmm3 2a2 P12= m1m2 m q a1Gm(1 − e21) P22= mm3 M2 q a2GM2(1 − e22) P13= m1m2 m q a1Gm(1 − e21) cos(i1) P23= mm3 M2 q a2GM2(1 − e22) cos(i2),
met m = m1+ m2 de totale massa van de binnenste dubbelster en M = m1+ m2+ m3
de totale masse van de buitenste dubberster. Deze transformatie is weer canoniek, dus de vorm van de Poissonhaakjes veranderen weer niet.
We hebben nu alle co¨ordinaten uitgedrukt in baanco¨ordinaten, behalve Q1i= −τi. Als
we −τi vervangen door de hoek li = 2πP (t + Q1i), de gemiddelde anomalie met P de
peri-ode, moeten we op dezelfde manier als de vorige co¨ordinatentransformatie het momentum zoeken van deze variabele. Doormiddel van een voortbrengende functie vinden we dat voor het bijbehorende momenta geldt dat L1=pa1Gm1mm2 en L2=
q
a2G(m1+mM2)m3.
Het stelsel dat we overhouden is weer in R12 met de variabelen inclinatie i, halve lange as a, excentriciteit e, gemiddelde anomalie l, argument van het periapsis g en de lengte van de klimmende knoop h. In de Hamiltoniaan staan twee termen die de Hamiltoniaan voor de binnenste dubbelster en de buitenste dubbelster beschrijven. Door onze keuze van nieuwe co¨ordinaten zijn die nu nul, dus de pertubatieterm van de Hamiltoniaan blijft over na de substitutie van de nieuwe co¨ordinaten. Als we de hogere orde termen van de sommatie weggooien houden we alleen de quadrupel- en octupelterm over:
H = Rquad+ Roct
Met deze canonieke transformatie vinden we een nieuwe uitdrukking van de Poisson-haakjes: π0( ˜f , ˜g) = 2 X i=1 ∂ ˜f ∂li ∂ ˜g ∂Li − ∂ ˜f ∂Li ∂ ˜g ∂li ! + ∂ ˜f ∂g ∂ ˜g ∂Gi − ∂ ˜f ∂Gi ∂ ˜g ∂gi ! ∂ ˜f ∂hi ∂ ˜g ∂Hi − ∂ ˜f ∂Hi ∂ ˜g ∂h ! ,
Waarbij Gi = Pi2 en Hi = Pi3, respectievelijk de momenta van het argument van de
periapsis en de lengte van de klimmende knoop.
4.3 Constantes en secularisatie
Nu we de beschrijving van het systeem hebben in baanco¨ordinaten, kunnen we naar het systeem zelf kijken. Voor voldoende hi¨erarchische systemen kan je aannemen dat de halve
lange assen constant blijven. Met deze variabele constant, hebben we nog tien variabelen over. In de Hamiltoniaan zien we ook dat de lengte van de klimende knoop alleen voorkomt in de vorm ∆h = h1−h2. In figuur 4.2 worden de impulsvectoren weergegeven.
Door het referentieframe is het totale impulsmoment Gtot altijd in de z richting en liggen
G1 en G2 altijd in hetzelfde vlak. Het verschil van h1 en h2 is dus π [3] [6]. Dit gegeven
elimineert alweer twee variabelen, dus twee dimensies, maar deze substitutie kunnen we alleen doen nadat we de bewegingsvergelijkingen hebben gevonden, aangezien we eerst de bewegingsvergelijkingen voor een algemeen systeem willen en het vervolgens kunnen aanpassen aan een specifiek systeem. Omdat ∆h constant is, zal het impuls ook niet veranderen dus is Hi ook constant. De inclinaties zijn geen canonieke variabelen
en worden door behoud van het totale impulsmoment beschreven door e1 en e2. Het
resultaat is dus een Hamiltoniaan in R6. Merk op dat de parti¨ele afgeleide naar al deze variabelen genoemd in deze sectie nul worden: in de Poissonhaakjes vallen deze termen weg [3].
Figuur 4.2: De impulsmomentvectoren [6]
Als laatste stap van de reductie middelen we twee keer over de gemiddelde anomalies li,
een proces dat secularisatie wordt genoemd. We seculariseren eerst over de gemiddelde anomalie van de binnenste dubbelster, om vervolgens te seculariseren over de gemiddelde anomalie van de buitenste dubbelster [3]. Als laatste vullen we ∆h = π in. Aangezien de Hamiltoniaan in deze co¨ordinaten alleen nog bestaat uit de pertubatieterm, middelen we de quadrupelterm en octupelterm apart [3]:
hHii= 1 2π Z 2π 0 H dlj hhRquadi2i1 ∆h=π = Cquad
2 + 3e21 3 cos2(itot) − 1 + 15e21sin2(itot) cos(2g1)
hhRocti2i1
∆h=π = Cocte1e2A cos(φ) + 10 cos(itot) sin 2(i
tot) 1 − e21 sin(g1) sin(g2) ,
met Cquad ≡ 1 16 Gm1m2m3 (m1+ m2)a2 a1 a2 2 (1 − e22)−32, Coct ≡ − 15 16 Gm1m2m3 4(m1+ m2)2 (m1− m2) a1 a2 3 (1 − e22)−52, A = 4 + 3e21−5 2sin 2(i tot)(2 + 5e21− 7e21cos(2g1))
cos(φ) = − cos(g1) cos(g2) − (cos(i1) cos(i2) + sin(i1) sin(i2)) sin(g1) sin(g2).
Bij dit seculatisatieproces worden de termen van h en l nul in de Poissonhaakjes. Wat we over houden is de Hamiltoniaan
˜ H = hhRquadi2i1 ∆h=π+ hhRocti2i1 ∆h=π
5 Benaderingen in het paper van
Antognini
De twee interessantste mechanismes in het hi¨erarchische tripelsysteem zijn de Kozai-Lidov-oscilaties (KL) en het excentrische Kozai-Lidov-mechanisme (EKM). Alhoewel de KL oscillaties al in 1962 zijn waargenomen, is het EKM pas in 2000 ontdekt. Het EKM kan een verandering van inclinatie veroorzaken, soms zo heftig dat de binnenste dubbelster door een inclinatie van 90 graden gaat, zodat de ster van prograad naar retrograad gaat, of van retrograad naar prograad. Tijdens een flip vinden er extreme oscillaties van de excentriciteit plaats, wat de evolutie van een hi¨erarchisch tripelsysteem be¨ınvloed. Tijdschalen van deze mechanismes zijn dus interessant en zijn tot recent nog niet afgeleid, al waren er een aantal papers die beweerden dat de tijdschaal van EKM (tEKM) evenredig is aan tKL/oct, waarbij tKL de tijdschaal is van de KL-oscillaties en
oct een maat voor hoe zwaar de octupelterm meeweegt vergeleken de quadrupelterm:
oct≡ e2 1 − e22 a1 a2 .
J.M.O. Antognini toont echter in zijn paper ‘Timescales of Kozai-Lidov oscillations at quadruple and octuple order in the test particle limit’ [1] aan dat
tEKM∼ tKL √ oct .
5.1 De testdeeltjelimiet
Vanwege de complexiteit van de bewegingsvergelijkingen zijn er vele benaderingen ge-maakt in het paper [1] van Antognini, waarvan de belangrijkste de testdeeltjelimiet, waarin wordt aangenomen dat ´e´en van de sterren in de binnenste dubbelster een ver-waarloosbaar kleine massa heeft, oftewel m2 → 0 . Een gevolg hiervan is dat G2 G1
[3]. De Hamiltoniaan voor de quadrupelterm is Hq= C2
2 + 3e21 (1 − 3 cos2i) − 15e21(1 − cos2i) cos 2g1 ,
met C2= Gm1m2m3 16(m1+ m2)a2 1 − e22 3/2 a1 a2 2 .
Met deze aanname wordt er voor de quadrupelterm een bewegingsconstante opgesteld: Θ = (j1cos(itot))2,
waarbij ji2 = 1 − e2i. Naast deze bewegingsconstante is de Hamiltoniaan zelf natuurlijk ook een bewegingsconstante en deze twee bewegingsconstanten maken het systeem inte-greerbaar. Zonder het testdeeltjelimitet is er een andere bewegingsconstante, namelijk:
Φ = j12 cos(itot) + √ a1j1 2√a2j2 2 .
Hieruit volgt dat de veronderstelde constante eigenlijk varieert met
Θ ∼ EΘ= Φ − Θ = −j1 √a1j1 √ a2j2 cos(itot) + a1j12 4a2j22 .
In een hi¨erarchisch systeem staat de derde ster voldoende ver van de eerste en tweede ster zodat de derde ster samen met het zwaartepunt van de binnenste dubbelster een dubbelster vormt, oftewel a2 a1. Doordat zowel de cosinus als ji begrensd zijn kunnen
we stellen dat de variatie van Θ voldoende klein is om aan te nemen dat Θ constant is. Door de aanname dat Θ constant is, worden de bewegingsvergelijkingen verkregen door de Hamiltoniaanse vergelijkingen: dg1 dt = ∂Hq ∂G1 = C2 L1 ∂ ˆHq ∂j1 = 6C2 L1 1 j1
[5(cos2(itot) − j12)(1 − cos(2g1)) + 4j12] (5.1)
dj1 dt = 1 L1 ∂Hq ∂g1 = C2 L1 ∂ ˆHq ∂g1 = 30C2 L1
1 − j12 1 − cos2(i) sin(2g1). (5.2)
De variatie van Θ is niet afhankelijk van g1, dus de bewegingsvergelijking voor j1 blijft
hetzelfde. Echter, Θ is wel afhankelijk van j1, dus zonder de testdeeltjelimiet is de
bewegingsvergelijking dg1 dt = ∂Hq ∂G1 = C2 L1 ∂ ˆHq ∂j1
= 6j1(1 − 5 cos(2g1))(−1 + cos2(i)) + 2 cos2(i) .
5.2 Verdere benaderingen
Nu we weten dat het systeem integreerbaar is, kunnen we de periode van de KL-oscilatie bepalen door de intergaal
tKL = I dt = I dt dj1 dj1.
Als we vergelijking 5.1 substitueren in deze integraal, krijgen we de uitdrukking
tKL = L1 30C2 I j2 1 1 − j2 1 j2 1− Θ × 1 − 3j 4 1 + j12( ˆHq− 9Θ − 5) + 15Θ 15 1 − j12 j12− Θ !2 −1/2 dj1. (5.3)
Tijdens een KL-oscilatie kan het argument van periapsis van de binnenste dubbelster, g1,
van 0 tot 2π gaan, maar g1 kan ook maar door een klein deel van dit interval doorgaan.
Het eerste noemen we rotatie en het tweede libratie. Er geldt voor de libratieconstante CKL≡ 1 12 2 − ˆHq− 6Θ
dat het systeem libreert als CKL < 0 en roteert als CKL > 0. Merk op dat als we
niet het testdeeltjelimiet nemen deze libratieconstante niet constant is, maar aangezien we hebben geconcludeerd dat de variatie van Θ zo klein is, kunnen we ook aannemen dat CKL constant is. We kunnen nu de integraal uit vergelijking 5.4 uitdrukken in de
libratieconstante: tKL= L1 15C2 Z jmax jmin 1 1 − j2 1 × " 1 − Θ j12 2 − 1 5 − Θ j12 + 4 5 CKL 1 − j12 2#−1/2 dj1.
In het vervolg zullen we refereren aan de integraal in bovenstaande vergelijking als f (CKL, Θ) zodanig dat
f (CKL, Θ) ≡
15tKLC2
L1
.
De interessantste situatie om naar te kijken is wanneer de KL-oscilaties het hevigst zijn, dus als het derde lichaam een hoge inclinatie heeft [1]. In de limiet waarin de inclinatie hoog is en de initi¨ele excentriciteit laag, geldt Θ → 0 en CKL → 0. Met deze aanname
volgt dat f (CKL, Θ) ' 5 4√6ln 1 + j1 1 − j1 jmax jmin . (5.4)
Door naar de afhankelijkheid van f (CKL, Θ) van CKL en Θ te kijken kunnen we ook
dan niet afhankelijk is van deze waardes. De fout op deze benadering is proportioneel met Ef,Θ,CKL ∼ s 1 5 CKL 8Θ + 16 5 CKL− 4 5 − 9Θ . (5.5)
Uit het paper van Antognini [1] weten we dat −23 ≤ CKL ≤ 1, maar Θ heeft alleen een
ondergrens van 0. Aangezien de fout alleen re¨ele waardes heeft voor Θ ≤ 125 is ook Θ begrensd. Aangezien Θ klein is in het hi¨erarchische tripelsysteem, is de variatie van de fout ook klein.
In het paper van Antognini [1] wordt bepaald dat jmax,lib =
q 1 6(ζ − p ζ2− 60Θ) en jmax,rot= √
1 − CKL, met ζ ≡ 3 + 5Θ + 2CKL. Deze maximale waarden voor j1 worden
met de Taylerbenadering in CKL om het punt nul benaderd, waardoor
jmax,lib ' 1 + CKL 3 , (5.6) jmax,rot ' 1 − CKL 2 , (5.7)
waarbij ook wordt gebruikt dat Θ 1. Voor de Taylorbenadering geldt dat de fout van de benadering van de orde van de volgende term in de benadering is. De fout van deze twee benaderingen zijn dus van orde (CKL)2 en dat heeft als gevolg dat de fout van de
benadering in vergelijking 5.4: |Elib| = 5 4√6 ln 1 + j1 1 − j1 1+CKL3 +C2KL 6 jmin − ln 1 + j1 1 − j1 1+CKL3 jmin = 5 4√6ln 1 − 6CKL (2 + CKL) (6 + CKL) ≤ 5 4√6ln 25 16 |Erot| = 5 4√6 ln 1 + j1 1 − j1 1−CKL2 −C2KL 8 jmin − ln 1 + j1 1 − j1 1−CKL2 jmin = 5 4√6ln 1 − 4CKL (4 − CKL) (4 + CKL) ≤ 5 4√6ln 41 35 .
5.3 De
octafhankelijkheid
Tijdens een EKM oscillatie mogen we aannemen dat CKL 1 [1] en met de definitie
x(CKL) ≡
3(1 − CKL)
3 + 2CKL
,
kunnen we nu zeggen dat met de benadering CKL 1 geldt dat
x = 1 − ,
voor een 1. Met een x dichtbij 1 kunnen we de compleet elliptische integraal van de eerste soort K(k0) benaderen door
K(k0) = Z x 0 1 p(1 − t2)(1 − k02t2)dt K(x) = Z x 0 1 p(1 − t2)(1 − x2t2)dt = Z 1− 0 1 p(1 − t2)(1 − (1 − )2t2)dt ' Z 1− 0 1 (1 − t2)dt = 1 2ln(2 − ) − 1 2ln() ' −1 2ln(). (5.8)
Door de complexiteit van de integraal kijken we een andere uitdrukking van de integraal, namelijk in termen van Gauss hypergeometrische functie [9]
2F1(a, b; c; z) = ∞ X n=0 (a)n(b)n (c)n zn n!. Hiermee krijgen we de uitdrukking
K(k) = π 22F1( 1 2, 1 2; 1; k 2),
en als we hier k = 1 invullen krijgen we K(1) = ∞. Ook geldt dat de benadering −1
2ln() naar oneindig gaat als x naar 1 gaat. De benadering verschilt echter een orde
10 van de echte waarde. Antognini noemt deze onzekerheid, maar beweert dat het niet uitmaakt aangezien het alleen gaat om de afhankelijkheid. Ook de elliptische integraal van de tweede soort E(k) kunnen we benaderen als x ' 1:
E(k0) = Z π 2 0 p 1 − k02sin(Θ)2dΘ E(1 − ) = Z π 2 0 p 1 − (1 − )2sin(Θ)2dΘ ' Z π 2 0 p 1 − sin(Θ)2dΘ = Z π 2 0 cos(Θ)dΘ = 1.
De afschatting hier is makkelijk, aangezien de waarde van E(1) ook daadwerkelijk 1 is [10], zal de fout van deze benadering niet erg groot zijn en ook steeds kleiner worden naarmate we dichter bij 1 komen. Deze elliptische integralen hebben we nodig voor een bewegingsconstante die Antognini [1] beschrijft voor de octupelterm:
χ ≡ F (CKL) − octcos Ωe,
met Ωe gedefinieerd als de lengte van de klimmende knoop van de excentriciteitvector,
zodanig dat e = e(sin(ie) cos(Ωe), sin(ie) sin(Ωe), cos(ie)) [1] en
oct = e2 1 − e2 2 a1 a2 , F (CKL) ≡ 32√3 π Z 1 x(CKL) K(η) − 2E(η) (41η − 21)√2η + 3dη.
Met de benadering van de complete elliptische integralen kunnen we nu F (CKL)
bena-deren: F (CKL) ' − 8 5π r 3 5 Z ε 0 1 2ln(ε 0 ) + 2 dε0. (5.9) We nemen de integraal over een klein stukje, dus we kunnen de integraal benaderen als de hoogte van de functie in het punt 12ε, dat is 12ln(12ε) + 2, vermenigvuldigd met het lengte van het interval, dat is ε. Het resultaat van deze benadering is
F (CKL) ' − 8 5π r 3 5( 1 2ln( ε 2) + 2)ε.
Dit is de eerste stap die de Riemannintegraal definieert en wordt exacter als we ε kleiner nemen. De laatste benadering voor de functie F (CKL) is
' 2 3CKL, met een fout van
E= 5CKL 3 + 2CKL −2 3CKL = CKL 9 − 4CKL 9 + 6CKL .
Als we aannemen dat CKL 1 is deze variatie erg klein en is het een legitieme
F (CKL) ' − 16 15π r 3 5CKL( 1 2ln( CKL 3 ) + 2).
Merk op dat door deze benaderingen F (CKL) voor kleine waarden van CKL eigenlijk
li-neair afhankelijk is van CKL, aangezien ln (CKL) bijna niet varieert ten opzichte van CKL.
In het paper van Antognini [1] wordt er een waarde gekozen voor bewegingsconstante χ, namelijk χ ≡ F (φq), waarbij φq ≡ CKL+ 12Θ een bewegingsconstante is voor de
octupelterm. Deze waarde van de bewegingsconstante wordt gekozen omdat hier de flips gebeuren voor een willekeurig kleine oct en hier volgt uit dat
F (CKL, min) = F (φq) − oct.
Door de lineaire afhankelijkheid van F met zijn variabelen, kunnen we nu zeggen dat
φq− CKL, min∼
oct
k , (5.10)
waarbij k nog de logaritmische afhankelijkheid bevat. Om de periode te bepalen van de EKM-oscillatie moet we de integraal [1]
τEKM= 256√10 15πoct Z CKL,max CKL,min K(x) p2(φq− CKL)(4 − 11CKL) × 1 −(χ − F (CKL)) 2 2oct (6 + 4CKL) −12 dCKL (5.11)
oplossen. Een systeem is echter alleen integreerbaar als er genoeg (n op een vari¨eteit van dimensie 2n) bewegingsconstantes zijn. De octupelterm is niet integreerbaar, maar in het geval van rotatie zijn de parameters Θ, CKLen Ωete benaderen als constanten, zodat de
integreerbaarheid van het systeem behouden blijft. Doordat φq een bewegingsconstante
is, wordt Θ geminimaliseerd als CKLwordt gemaximaliseerd. We kunnen dus stellen dat
voor CKL,max geldt dat Θ = 0 en dus CKL,max= 0. De breedte van de integraal kunnen
omschrijven naar
∆CKL≡ CKL, max− CKL, min= φq− CKL, min∼ oct.
We bekijken de termen van de integraal 5.11. Omdat x dichtbij 1 zit, geldt K(x) ∼ ln(CKL
3 ) en omdat CKLklein is, beschouwen we deze term als constant. Volgens dezelfde
redenering beschouwen we√6 + 4CKLen (4 − 11CKL) als respectievelijk
√
6 en 4. Van-wege vergelijking 5.10, zeggen we dat p2(φq− CKL) ∼
√ 2oct.
Als we alle in alle benaderingen gebruiken voor de integraal in 5.11, zien we dat het enige dat van oct afhangt, zijn de breedte van de integraal en de worteltermp2(φq− CKL).
Uiteindelijk heeft de integraal dus een afhankelijkheid van τEKM ∼
1 √
oct
6 Conclusie
Het doel van deze scriptie was om het Hamiltoniaans formalisme te bestuderen om met behulp van deze kennis naar de tijdschalen van de relevante mechanismes van hi¨erarchisch tripelsystemen te kijken. De scriptie begon met de beschrijving en definitie van het hi¨erarchisch tripelsysteem in hoofdstuk 2. In dit hoofdstuk staat ook een beschrijving van de belangrijkste mechanismes van het systeem: de Kozai-Lidov-oscilaties en het excentrische Kozai-Lidov-mechanisme. Deze mechanismes zijn beschreven door de per-tubatieterm van de Hamiltoniaan.
In hoofdstuk 3 hebben we het Hamiltoniaans formalisme bestudeerd. Hier hebben we een systeem gedefinieerd met een vari¨eteit M , de Poissonhaakjes π en een afbeelding, de Hamiltoniaan H. Met al deze ingredi¨enten hebben we een stroom en een integreerbaar systeem kunnen defini¨eren.
De theorie die we daar hebben onderzocht is toegepast in hoofdstuk 4. Hier werd eerst een co¨ordinatentransformatie gedaan naar een co¨ordinatenstelsel ten opzichte van het zwaartepunt van het tripelsysteem, waarna een transformatie naar baanelementen is ge-daan. Als laatste hebben we door secularisatie en eigenschappen van het systeem nog meer kunnen reduceren, waardoor onze Hamiltoniaan afhankelijk was van vier variabe-len: e1, e2, g1 en g2. De vari¨eteit waarop de Hamiltoniaan was gedefinieerd was dus
(0, 1)2× T2.
In het laatste hoofdstuk, hoofdstuk 5, hebben we gekeken naar een paper van Antognini en een analyse gedaan van zijn benadering. We hebben naar de fouten van zijn analyse gekeken, maar omdat de fouten vaak afhankelijk waren van CKLen Θ, en deze heel klein
zijn, waren de fouten altijd begrensd door kleine getallen. Uiteindelijk ging het ook om de afhankelijkheid van τEKM van okt en het bleek dat de afhankelijkheid
τEKM∼
1 √
oct
legitiem is. Het paper is alleen op wiskundige correctheid gecontroleerd, maar of de benadering astronomisch correct zijn, is nog iets waar verder onderzoek naar kan worden gedaan.
7 Populaire samenvatting
De zon is een ster die geen interactie heeft met andere sterren, maar er zijn ook sterren die wel interactie hebben met ´e´en of meerdere sterren. Twee sterren die aangetrokken worden door elkaars zwaartekracht noemen we een dubbelster. Deze sterren draaien dan om elkaar heen en maken een baan in de vorm van een cirkel of ellips. Van een dubbelster kunnen we bewegingsvergelijkingen opstellen, zodat we altijd weten op welke plek de sterren zijn ten opzichte van elkaar.
Als er drie sterren zijn die worden be¨ınvloed door elkaars zwaartekracht, is het systeem chaotisch. Hiervan kunnen we in het algemeen niet bepalen op welke plekken de sterren staan. Daarom kijken we naar verschillende systemen die uit drie sterren bestaan, zodat we per soort systeem aannames en benaderingen kunnen doen. Ik heb in deze scriptie gekeken naar het hi¨erarchisch tripelsysteem. Dit systeem bestaat uit drie sterren, waar-van twee sterren, zegge ster 1 en ster 2, dichtbij elkaar staan. Hierdoor gaan deze twee sterren om elkaar heen draaien. De derde ster staat weg van ster 1 en ster 2, zodat ster 1 en ster 2 samen om ster 3 draait.
Om van dit systeem de bewegingsvergelijkingen op te stellen, moeten we de totale hoe-veelheid energie weten. Deze hoehoe-veelheid energie kan je berekenen met de Hamiltoniaan en deze is afhankelijk van de plaatsen van de sterren en de snelheden. Omdat we drie sterren hebben, met elk drie co¨ordinaten voor de plaats en drie co¨ordinaten voor de snelheid, hebben we al achttien getallen die we moeten invullen. Dit kunnen we redu-ceren tot minder dimensies. Neem bijvoorbeeld een balletje aan een stok in 2D, waarbij de stok lengte 1 heeft en vast zit bij het punt (0, 0), waardoor de stok nog wel rond kan draaien. Het balletje heeft een plaats die beschreven wordt door twee co¨ordinaten, namelijk een x co¨ordinaat en een y co¨ordinaat, en een snelheid die beschreven wordt door twee co¨ordinaten, ook weer door een x en een y. De plaats van het balletje is altijd op afstand 1 van het punt (0, 0), dus we hoeven de plaats alleen te beschrijven met een hoek ten opzichte van de positieve x-as. De snelheid kan ook maar twee kanten op, namelijk met de klok mee of tegen de klok in. Nu kunnen we de plaats en snelheid dus beschrijven met een hoek en een getal. Een vergelijkbare reductie heb ik ook gedaan, zodat de Hamiltoniaan in plaats van achttien variabelen maar vier heeft.
Als we de bewegingsvergelijkingen hebben gevonden, vinden we bepaalde effecten. De twee belangrijkste effecten zijn de Lidov-oscillaties en het excentrische Kozai-Lidov-mechanisme. Elliptische banen worden gedefinieerd door hun excentriciteit, een maat voor hoe elliptisch de baan is. Als de excentriciteit 0 is, dan is de baan een cirkel en als de excentriciteit 1 is, dan is de baan een lijn, zoals te zien is in figuur
Figuur 7.1
7.1. Bij Kozai-Lidov-oscillaties oscilleert de excentriciteit van de binnenste dubbelster en bij het excentrische Kozai-Lidov-oscillatie varieert ook nog het maximum van de oscillatie. Omdat deze effecten de evolutie van de sterren be¨ınvloeden, heb ik gekeken naar de tijdschalen waarop deze effecten plaatsvinden. Dit is al beschreven in het paper ’Timescales of Kozai-Lidov oscillations at quadruple and octuple order in the test particle limit‘ van Antognini. Ik ben nagegaan of alle benadering die hij doet legitiem zijn en de conclusie daarvan is dat zijn resultaat een legitiem resultaat is.
Bibliografie
[1] Antognini, J.M.O. “ Timescales of Kozai-Lidov oscillations at quadruple and octuple order in the test particle limit”. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 452, 4, 3610-3619. (2015)
[2] Cannas da Silva, A. “Symplectic Geometry”. (2015)
[3] Hamers, A.“The Evolution of Coeval Stellar Hierarchical Triple Systems”.Master onderzoeksthesis, Universiteit van Utrecht, Utrecht, Nederland. (2015)
[4] Takhtajan, L.A. “Quantum Mechanics for Mathematicians”. Stony Brook University, New York, Verenigde Staten.
[5] Nipoti, C. “ Celestial Mechanics”. Lecture notes, Universiteit van Bologna, Bologna, Itali¨e. (2013)
[6] Naoz, S., Farr, W.M., Lithwick, Y., Rasio, F.A., Teyssandier, J. “Secular dynamics in hierarchical three-body systems”. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 431, 3, 2155-2171. (2013)
[7] Toonen, S., Hamers A., Portegies Zwart, S. “The evolution of hierarchical triple star-systems”. Computational Astrophysics and Cosmology, 3, 1, 36. (2016)
[8] Tu, L.W. “An Introduction to Manifolds”. Springer. (2008)
[9] Weisstein, E. W. “Complete Elliptic Integral of the First Kind.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ CompleteEllipticIntegraloftheFirstKind.html (3 juli 2018 laatst geupdate) [10] Weisstein, E.W. “Complete Elliptic Integral of the Second Kind”. From
MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ CompleteEllipticIntegraloftheSecondKind.html (3 juli 2018 laatst geupdate) [11] Wen, L. “On the eccentricity distribution of coalescing black hole binaries driven by
the Kozai mechanism in globular clusters”. The Astrophysical Journal, 598, 419–430. (2003)
