CSE VWO WB 2013 tijdvak 2

Eerste- en derdegraadsfunctie 4p 1 f (0 )=(0−1)

(

0+11 2

)

=−1 1 2 door A ( 0, 1 ½ ) x [(¿¿2−1)(x +11 2)]'=[ x 3 +11 2x 2 −x−11 2]'=3 x 2_{+3 x−1} f ' ( x )=¿ f'_{(0)=0+0−1=−1} g (0)=0+11 2=1 1 2 door A ( 0, 1 ½ ) g ' ( x)=−1 6p 2 Opp(driehoek OAB)= ½ . 1½ . 1 ½ = 9/8 Opp (links onder f) =

_∫

0 1 x3−11 2 x 2 −x +11 2dx=⌊ 14x 4 −1 2x 3 −1 2x 2 +11 2x⌋ 10 = ( 1 4− 1 2− 1 2+1 1 2¿−(0)= 3 4

Dus Opp(rechtsonder driehoek OAB) = 9₈−3 4=

3 8=

1

2opp (links onder)

Verzadigingsgraad van hemoglobine 3p 3 v = 100 p 3 p3₊₂₅₀₀₀=75 geeft 75

(

p 3 +25000

)

=100 p3dus 75 p3_{+1875000=100 p}3 25 p3=1875000 p3₌₇₅₀₀₀ p=

√

375000 ≈ 42,1716 … dus ongeveer 42 mmHg 4p 4 v'=

[

100 p 3 p3+25000

]

' =¿ ¿

(

p 3 +25000

)

∙ 300 p2−100 p3∙ 3 p2 (p3+25000)2 =¿ ¿300 p 5 +7500000 p2−300 p5 (p3+25000)2 = 7500000 p2

(p3+25000)2

is het grootst voor p=…?

Uitwerkingen Wiskunde B VWO 2013-2

¿GR invoeren Y 1= 7500000 p

2 (p3+25000)2

venster [-1,100] x [-1,10]

[Calc][Max] geeft x=23,207945… dus p=23

4p 5 v 100−v= 0,00004 p3 1 geeft 0,00004 p 3 ∙(100−v )=v 0,004 p3 −0,00004 p3v=v 0,00004 p3v +v=0,004 p3 v

(

0,00004 p3₊₁

₎

_{=0,004 p}3 v = 0,004 p3 0,00004 p3+1= 25000 25000∙ 0,004 p3 0,00004 p3+1= 100 p3 p3+25000

Vermenigvuldigen in horizontale en verticale richting

4p 6 f ( x )=1+ln ( x )

x maal e t . o . v .−as geeft

f ( x )=e 1∙

1+ln( x )

x =

e+eln( x )

x maal 1/e t.o.v. de y-as geeft f ( x )=e+eln(e ∙ x ) e ∙ x = e(1+ln (e ∙ x )) e ∙ x = 1+ln (ex ) x = 1+ln( e)+ln( x ) x = 1+1+ln ( x) x dus c=2 4p 7 Opp( V ) = boven−onder dx=¿

∫

1 e ¿ 3+ln(x) x − 1+ln(x) x dx=¿

∫

1 e ¿

∫

1 e 2 xdx=2 1 x dx=¿

∫

1 e ¿

2

(

ln (e )−ln (1)

)

=2.1=2

[

ln ⁡(x )

]

e

1=2¿

Gelijke hoeken 3p 8

TEBEW BEKEND Bewijs

△ ABD ≈ △ ADC ∠ D1=∠C2(Hoek KoordeRaaklijn=Omt . hoek op koorde BD) △ ADB ≈ △ ACD( HH ) ∠ A=∠ A

4p 9

TEBEW BEKEND Bewijs

∠Q2=∠ P₂

∠Q2+∠D12+∠ A1=180

O _{(Hoeken som △ ADQ )}

∠ P4+∠ B1+∠ A2=180

O

(Hoeken som △ APB ) ∠ P₂=∠ P₄ (Overstaande hoeken)

∠B1=∠ D12(mbv vorige vraag△ ADB≈ △ ACD)

∠ A1=∠ A2 (gelijke hoeken biss.) dus ∠ P4+∠ B1+∠ A2=180O wordt dus ∠ P2+∠D12+∠ A1=180O

Een hartvormige kromme 8p 10

y’(t) = 2cos(t) – 2 cos(2t) =0 dus cos(t) = cos(2t)

dus t=2 t+k .2 π∨ t=−2t +k .2 π dus −t=k .2 π∨3 t=k .2 π dus t=−k .2 π∨t=k .2 3π dus t=0∨t=2 π ∨ t=2 3π∨t= 4 3 π dus max. Waarde voor y is y( 2

3π¿=2 sin

(

2 3π

)

−sin

(

4 3π

)

=

√

3− −1 2

√

3=1 1 2

√

3 6p 11 x=1 dus 2cos(t)-cos(2t) = 1 dus 2cos(t) - (2 cos2

(t )−1¿=1

dus 2 cos (t )−2 cos2(t)+1=1 dus 2 cos(t )−2 cos2(t)=0 dus 2 cos (t )

(

1−cos (t )

)

=0

dus 2cos(t)=0 v cos(t)=1 dus t=1 2π∨t=1 1 2π t=0∨ t=2 π dus y( 1₂π¿=2 sin

(

1 2π

)

−sin (π )=2−0=2 en y( 11 2π¿=2 sin

(

1 1 2π

)

−sin (3 π )=−2−0=−2 dus a=2

De leeftijd van ons zonnestelsel 3p 12 a (t )=a (0 )∙ e−λt=1 2a (0 ) dus e−λt =1 2 dus – λt=ln

(

1 2

)

dus t= ln

(

1 2

)

−λ = ln (2) λ ≈ 4,88 … 10 10 jaar

3p 13 a(t)+b(t) = a(0)+b(0) geeft a(t)+b(t) - a(0) = b(0) en

a (t )=a (0)∙ e−λt _{geeft a (0)=}a (t )

e−λt=a (t)e

λt

geeft

a(t)+b(t) - a(t)eλt _{= b(0) dus a(t)∙(1−a (t )e}λt

)+b(t ) = b(0) 4p 14 Voor M1 geldt: 0,739+

(

1−eλt

)

∙ 0,60=b (0)

Voor M2 geldt: 0,713+

(

1−eλt

)

∙ 0,20=b (0) Dus 0,739+

(

1−eλt

)

∙ 0,60=0,713+

(

1−eλt

)

∙ 0,20 Dus

(

1−eλt

₎

_{∙−0,40=0,026} Dus

(

1−eλt

)

=0,026 −0,40 Dus −eλt=0,026 −0,40−1 Dus λt=ln(1,065) Dus t = ln (1,065 ) λ ≈ 4.434 .845 .011 jaar Dus 4 miljard jaar

Koordenvierhoek 5p 15

TEBEW BEKEND Bewijs

∠ E2=∠ F2 ∠ D1=∠C1Const . op AB

Constante hoek op koorde AB ∠ D1=∠ A1 Basishoeken gelijkbenige △ ADE

dus A,B,E en F op cirkel ∠ E2=∠ D1+∠ A1 buitenhoek △ ADE Dus ∠ E2=2∠ D1=2∠C1 ∠B1=∠C1 Basishoeken gelijkbenige △ BCF

∠ F₂=∠C₁+∠B₁ buitenhoek △ ADE Dus ∠ F2=2∠C₁ Dus ∠ E₂=∠ F₂

4p 16 Bewijs dat EF evenwijdig is aan DC.

TEBEW BEKEND Bewijs

∠C2=∠F3Gelijke F Hoeken ∠B3=∠ F3Const . op AE

∠B₃=∠C₂Const . op AD dus ∠C2=∠F3

Lijnstuk en parabool

4p 17 P(0,8) en R(a,0) Geeft midden PR=( 0+a 2 ,

8+0 2 ¿=(

1

2a , 4 ) op grafiek van f dus f( 1 2a )=4 Dus 8−1 2( 1 2a) 2 =4 Dus 8−1₈a2 =4 Dus 1 8a 2 =4 Dus a2 =32

Dus a=

√

32=4

√

2 v a=−

√

32=−4

√

2 en a>0 Dus a=

√

32=4

√

2 5p 18 lengte boog=

_∫

0 4

√

1+(f' ( x ))2dx =

_√

a2+82 =

_√

a2+64=lengte PR Mbv GR:

Y1=-x invoeren en mbv [MATH][9:fnInt( ]

∫

0 4

√

1+(f'( x ))2dx ≈ fnInt

(

√

1+(Y 1)2, x , 0 , 4

)

≈ 9,293567 … dus

√

a2_{+64 ≈ 9,293567 …} a2 +64 ≈ 86,3703… a2≈ 22,3703 … a ≈ 4,73 einde ∎