MULO-B Meetkunde 1907 Algemeen

(1)

Uitwerkingen Meetkunde MULO-B 1907 (

1 2

1

_uur)

Opgave 1.

analysefiguur

Gegeven zijn de lijnstukken Ad CD GH, , en EF .

Nu geldt 1 1 1

2( ) 2 2 2

EF AB CD EF  AB CDAB EF CD , dus is naast AB ook

1 2

( )

AH  AB bekend. In het analysefiguur geldt, dat GS AD// , dus SH AH DG en

GS AD. Van _SHG zijn dus alle drie de zijden bekend en deze driehoek is dus te

construeren. De rest van de constructie, het tekenen van trapezium ABCD is dan verder geen probleem.

Opgave 2.

Gegeven is, dat de omtrekken van zeshoek ABCDEF en achthoek PQRSTUVW gelijk zijn. Stel deze omtrekken gelijk aan 24a, dan geldt AB4a en

3

ST  a.

In _AGM geldt, dat AG2a. Verder is _AGM een

1 2  3 driehoek, dus 2 3 MG a , dus 2 1 2 ( ) 4 2 3 4 3

O ABM   a a  a , dus is de oppervlakte van zeshoek ABCDEF gelijk aan

2 24a 3.

In de figuur van de achthoek is VR een middellijn, dus geldt __VSR_₉₀o_{. Omdat de hoeken}

van een achthoek gelijk zijn aan ₁₃₅o_{geldt dus, dat}__KST _₄₅o_{, dus}__KST _{is een}

gelijkbenig rechthoekige driehoek. Omdat TS 3a kunnen we dus KS en KT uitrekenen. We

vinden 3

2 2

(2)

oppervlakte is gelijk aan 1 3 3 9 2

22a 22a 2 4a . Dit geldt ook voor LUV. Voor rechthoek

LKTU geldt een oppervlakte van 3 9 2

2a 2 3 a2a 2.

De oppervlakte van trapezium VSTU is dus gelijk aan 9 2 9 2 9 2 9 2

4 2 2 2

2 a  a 2  a  a 2. Dat geldt ook voor trapezium PQRW. Verder is de oppervlakte van rechthoek WRSV gelijk aan

2 2

3 3

2 2

3 (a a 2 3 a a 2) 9 a 9a 2. De totale oppervlakte van de rechthoek is dus gelijk

aan 2 2 9 2 9 2 2 2

2 2

9a 9a 2 2( a  a 2) 18 a 18a 2.We vinden dus:

O(regelmatige zeshoek) : O(regelmatige achthoek) _₍₂₄_a2 _{3) : (18}_a2_₁₈_a2 ₂₎_ 4 3 : (3 3 2).

Opgave 3.

Gegeven is _ABC met ABE EBC en

CBD HBD

   .

Te bewijzen: AD CE  AE CD .

Bewijs: BE is bissectrice in _ABC, dus geldt volgens de bissectricestelling: AE CE: AB BC:

(1).

Ook de buitenbissectrice van een hoek van een driehoek deelt de overstaande zijde uitwendig in stukken die zich verhouden als de lengtes van de opstaande zijden, dus

: :

AD CD AB BC (2)

Uit (1) en (2) volgt, dat

: :

AE CE AD CDAD CE AE CD

De eigenschap van de binnenbissectrice (de bissectricestalling) is wel bekend. Die van de buitenbissectrice m.i. minder. Daarom van deze laatste eigenschap nog even het bewijs. In de figuur hiernaast is BD de

buiten-bissectrice. Teken CF BD// dan geldt ( hoeken) ( hoeken) (gegeven) FCB CBD Z CFB DBH F CBD DBH           _     _ BCF BFC BF BC      . Omdat CF BD// geldt CD AD BF AB:  : , dus : : : : CD AD BF AB CD AD BC AB BF BC       _ : : AD CD AB BC